MARILDA  ANTONIA  DE  OLIVEIRA  SOTOMAYOR:    

Some  Fundamental  Results        

Game  theorists  are  special  people  

•  Lots  of  people  came  to  Brazil  for  the  World  Cup  

•  We  came  to  Brazil  to  celebrate  Marilda,  and  her  career,  and  the  area  in  which  she  has  worked  and  made  famous.  

Some  quick  personal  history  •  I  first  met  Marilda  in  1985,  in  PiSsburgh:  •  From  her  CV:  VisiUng  PosiUons:  •  Department  of  Economics,  University  of  PiSsburgh,  U.S.A.  -­‐  03/1985  to  07/1985,  01/1986  to  02/1986,  06/1986  to  07/1986,  06/1987  to  07/1987,  06/1988  to  07/1988,  08/1989  to  12/1989,  08/1991,  08/1992,  08/1996  to  05/1997  .    

1990  

2010  (Duke)  

Marilda  has  many  important  results,  and  some  fundamental  ones  

 

Many  important  results  in  matching  •  Existence  of  stable  matchings  

–  Sotomayor:  simple  matchings,  non-­‐construc3ve  proof  •  OpUmal  stable  matchings—lacces,  other  structure  

–  Sotomayor,  many  papers  on  lacce  structure  –  Gale  and  Sotomayor,  decomposi3on  lemma  

•  IncenUves:  Demange  Gale  and  Sotomayor  on  –  limits  of  manipula3on  –  Equilibria  –  blocking  lemma  –  Simultaneous  mul3-­‐item  auc3ons  

•  Unmatched  workers  and  firms—rural  hospitals  –  Gale  and  Sotomayor:  early  general  results  for  college  admissions  problem  

•  Couples  –  Sotomayor:  counter  example  

•  Many  to  one  matching  has  different  structure  than  one  to  one  –  Sotomayor  and  Roth:  structure  of  stable  matchings  in  college  admissions  

problem    

Two  kinds  of  fundamental  theoreUcal  results  

•  Some  theory  is  fundamental  because  it  plays  a  big  role  in  producing  new  theory,  and  understanding  mathemaUcal  structure  

•  And  some  theory  is  fundamental  because  it  helps  us  understand  the  world,  make  sense  of  empirical  observaUons,  and  explains  how  and  why  successful  market  designs  work.  

•  Fundamental  results  don’t  have  to  be  old  results,  but  it’s  easier  to  tell  which  results  are  fundamental  by  giving  them  some  Ume  to  show  their  worth.  

Some  papers  with  fundamental  results  •  Some  Remarks  on  the  Stable  Matching  Problem,    David  Gale  and  Marilda  Sotomayor,  Discrete  Applied  Mathema1cs,  1985  (decomposiUon)  

•  Mul3-­‐Item  Auc3ons,  Gabrielle  Demange,  David  Gale,  and  Marilda  Sotomayor,  Journal  of  Poli1cal  Economy,  1986  (simultaneous  ascending  aucUon)  

•  A  Further  Note  on  the  Stable  Matching  Problem,  Gabrielle  Demange,  David  Gale,  and  Marilda  Sotomayor,  Discrete  Applied  Mathema1cs,  1987  (limits  to  manipulaUon)  

•  A  Non-­‐construc3ve  Elementary  Proof  of  the  Existence  of  Stable  Marriages,  Marilda  Sotomayor,  Games  and  Economic  Behavior,  1996  (structure,  sUll  to  come?)  

Mul3-­‐Item  Auc3ons  By  Gabrielle  Demange,  David  Gale,  and  Marilda  Sotomayor  Journal  of  Poli1cal  Economy,  1986  “A  collecUon  of  items  is  to  be  distributed  among  several  bidders,  and  each  bidder  is  to  receive  at  most  one  item.  Assuming  that  the  bidders  place  some  monetary  value  on  each  of  the  items,  it  has  been  shown  that  there  is  a  unique  vector  of  equilibrium  prices  that  is  opUmal,  in  a  suitable  sense,  for  the  bidders.  In  this  paper  we  describe  two  dynamic  aucUon  mechanisms:  one  achieves  this  equilibrium  and  the  other  approximates  it  to  any  desired  degree  of  accuracy.”  

An  early  simultaneous  ascending  aucUon:  

In  the  United  States,  the  Federal  CommunicaUons  Commission  (FCC)  conducts  aucUons  of  licenses  for  electromagneUc  spectrum.  The  FCC  has  been  conducUng  compeUUve  aucUons  since  1994  …  the  FCC  has  conducted  87  spectrum  aucUons,  which  raised  over  $60  billion  for  the  U.S.  Treasury...    The  aucUon  approach  is  widely  emulated  throughout  the  world.    The  FCC  auc3ons  have  used  a  Simultaneous  Mul3ple  Round  Auc3on  …  (SMRA,  also  referred  to  as  the  Simultaneous  Ascending  Auc3on)  in  which  groups  of  related  licenses  are  auc3oned  simultaneously  over  many  rounds  of  bidding..  …As  the  auc3on  progresses,  the  standing  high  bid  changes  to  highest  new  bid  and  the  corresponding  bidder  is  the  person  who  makes  said  bid.  In  addi3on  to  pos3ng  the  round  results,  minimum  bids  for  the  next  round  are  also  posted.  …  For  an  aucUon  to  come  to  a  close  there  are  several  different  opUons.  McAfee,  suggested  that  aucUons  should  come  to  a  close  aler  a  predetermined  number  of  rounds,  in  which  the  license  receives  no  new  bids.  Wilson  and  Paul  Milgrom  of  Stanford  University  proposed  that  all  auc3ons  should  end  simultaneously,  when  there  is  no  new  bid  on  a  license.  To  date,  the  laSer  is  used  in  the  spectrum  aucUons.  

Spectrum  AucUons  (from  Wikipedia:)  

2014:  “Of  Geese  and  Game  Theory:  Auc3ons,  

Airwaves  –  and  Applica3ons”  

Some  Remarks  on  the  Stable  Matching  Problem,    David  Gale  and  Marilda  Sotomayor  Discrete  Applied  Mathema1cs,  1985  

DecomposiUon  

•  Implies  that  median  stable  matchings  exist  •  Applies  to  one-­‐sided  roommate  problems…  

Theorem  4.11:  Limits  on  successful  manipulaUon  (Demange,  Gale,  and  Sotomayor).  Let  P  be  the  true  preferences  (not  necessarily  strict)  of  the  agents,  and  let  P  differ  from  P  in  that  some  coaliUon    C  of  men  and  women  misstate  their  preferences.  Then  there  is  no  matching  µ,  stable  for  P,  which  is  preferred  to  every  stable  matching  under  the  true  preferences  P  by  all  members  of  C  

The  limits  to  manipulaUon  theorem  sheds  new  light  on  an  empirical  puzzle  •  Unstable  matching  mechanisms  are  olen  observed  to  fail—for  reasons  that  seem  closely  related  to  producing  unstable  matchings,  or  giving  agents  incenUves  to  misrepresent  (or  both)  

•  Stable  matching  mechanisms  have  mostly  succeeded—for  reasons  that  seem  closely  related  to  producing  a  stable  matching  

•  But  no  stable  mechanism  makes  it  a  dominant  strategy  for  all  par3cipants  to  state  their  true  preferences  

20  

Stable  Clearinghouses  (those  now  using  the    Roth  Peranson  Algorithm)  

NRMP  /  SMS:  Medical  Residencies  in  the  U.S.  (NRMP)  (1952)  Abdominal  Transplant  Surgery  (2005)    Child  &  Adolescent  Psychiatry  (1995)    Colon  &  Rectal  Surgery  (1984)    Combined  Musculoskeletal  Matching  Program  (CMMP)    •  Hand  Surgery  (1990)    Medical  SpecialUes  Matching  Program  (MSMP)    •  Cardiovascular  Disease  (1986)    

•  Gastroenterology  (1986-­‐1999;  rejoined  in  2006)    

•  Hematology  (2006)    •  Hematology/Oncology  (2006)    •  InfecUous  Disease  (1986-­‐1990;  rejoined  in  1994)    •  Oncology  (2006)    •  Pulmonary  and  CriUcal  Medicine  (1986)    •  Rheumatology  (2005)    Minimally  Invasive  and  GastrointesUnal  Surgery  (2003)    Obstetrics/Gynecology    •  ReproducUve  Endocrinology  (1991)    •  Gynecologic  Oncology  (1993)    •  Maternal-­‐Fetal  Medicine  (1994)    •  Female  Pelvic  Medicine  &  ReconstrucUve  Surgery  (2001)    Ophthalmic  PlasUc  &  ReconstrucUve  Surgery  (1991)    Pediatric  Cardiology  (1999)    Pediatric  CriUcal  Care  Medicine  (2000)    Pediatric  Emergency  Medicine  (1994)    Pediatric  Hematology/Oncology  (2001)    Pediatric  Rheumatology  (2004)    Pediatric  Surgery  (1992)      

Primary  Care  Sports  Medicine  (1994)  Radiology    •  IntervenUonal  Radiology  (2002)    •  Neuroradiology  (2001)    •  Pediatric  Radiology  (2003)    Surgical  CriUcal  Care  (2004)    Thoracic  Surgery  (1988)    Vascular  Surgery  (1988)      Postdoctoral  Dental  Residencies  in  the  United  States  •  Oral  and  Maxillofacial  Surgery  (1985)  •  General  PracUce  Residency  (1986)  •  Advanced  EducaUon  in  General  DenUstry  (1986)  •  Pediatric  DenUstry  (1989)  •  OrthodonUcs  (1996)  Psychology  Internships  in  the  U.S.  and  CA  (1999)  Neuropsychology  Residencies  in  the  U.S.  &  CA  (2001)  Osteopathic  Internships  in  the  U.S.  (before  1995)  Pharmacy  PracUce  Residencies  in  the  U.S.  (1994)  ArUcling  PosiUons  with  Law  Firms  in  Alberta,  CA(1993)  Medical  Residencies  in  CA  (CaRMS)  (before  1970)  

         ********************  

BriUsh  (medical)  house  officer  posiUons  •  Edinburgh  (1969)  •  Cardiff  (197x)    New  York  City  High  Schools  (2003)  Boston  Public  Schools  (2006)  

Large  core  in  balanced  markets  

Theorem[PiSel  1998,  Knuth,  Motwani,  PiSel  1990]  Consider  a  random  market  with  𝒏  men  and  𝒏  women.        1.  With  high  probability,  the  average  ranks  in  the  MOSM  are  

𝑅↓Men =log  𝑛  and  𝑅↓Women = 𝑛/log𝑛   2.      The  frac3on  of  agents  that  have    mul3ple  stable  partners  tends  to  1  as  𝒏  tends  to  infinity.        

Theorem  [Ashlagi,  Kanoria,  Leshno  2013]  

Consider  a  random  market  with  𝑛  men  and  𝑛+𝑘  women,  for  𝑘≤𝑛/2.    With  high  probability  in  any  stable  matching  

𝑅↓Men ≤1.01  log(𝑛/𝑘 )  and  𝑅↓Women ≥ 𝑛/1.01  log(𝑛/𝑘)   Moreover,  𝑅↓Men (WOSM)≤(1+𝑜(1)) 𝑅↓Men (MOSM)  𝑅↓Women (WOSM)≥(1−𝑜(1)) 𝑅↓Women (MOSM)  

And  𝒐(𝒏)  of  men  and  women  have  mul3ple  stable  matches.  

Percent  of  matched  men  with  mulUple  stable  partners  |𝒲|=40  

0  

10  

20  

30  

40  

50  

60  

70  

20   25   30   35   40   45   50   55   60   65   70   75   80  

Average    Percent  of  M

atched

 Men

 with

 Mul3p

le  Stable  Pa

rtne

rs  

Number  of  Men  

So  the  set  of  stable  matchings  is  mostly  small  

•  So  the  limit  on  manipulaUon  theorem  says  that  virtually  no  one  can  do  beSer  than  to  state  their  true  preferences  –  In  which  case  stable  mechanisms  will  produce  stable  matchings…  

An  important  result  that  may  yet  prove  fundamental  

Structure  of  set  of  stable  matchings  

•  Lacces  –  Tarski’s  theorem:  works  on  the  lacce  of  pre-­‐matchings,  fixed  points  are  the  sublacce  of  stable  matchings  

–  Preferences  are  subsUtutes—  – MulUtude  of  subsUtute  condiUons  (starUng  with  Kelso  and  Crawford)  

– Maybe  not  the  right  unifying  structure?  •  Other  possibiliUes  – DecomposiUon?  

DefiniUon  2:  The  matching  µ  is  simple  if,  in  the  case  a  blocking  pair  (m,w)  exists,  w  is  single    Theorem:  The  set  of  stable  matchings  for  the  marriage  market  is  nonempty.  

1996,  Games  and  Economic  Behavior.