Capítulo 1 MATRICES Y DETERMINANTES

INTRODUCCION.- Generalmente todo proceso viene de la transformación de una variable.

ENTRADA X Y SALIDA

Por ejemplo:

Materia prima (X) Producto (q)

q= α x α= factor de proceso

t x t= tiempo x=v t

x= distancia v= Factor de proceso

Pero generalmente se tiene más de una variable de entrada y en la salida puede existir más de

dos salidas.

Por ejemplo:

Costo Materia Prima

Costo transformación qA

Costo Administrativo qB

Ganancia qC

Materia Prima

TABLA MULTIVARIABLE

Matriz de Costos

Productos Costo Materia Prima Costo transformación Costo Administrativo Ganancia

qA 200 300 60 80

qB 150 120 60 40

qC 80 70 60 30

*Bs/Unidad

PROCESO

PROCESO

PROCESO

PROCESO

Matriz de Salarios

Salario Ejecutivos Operativos Administrativos Obreros Servicios

A 6000 4500 2800 2000 1800

B 5000 4300 2800 1950 1800

*Salario Promedio/Empleado

Definición.- Una matriz se define como un ordenamiento rectangular de elementos dispuestos

en filas y columnas.

Nomenclatura.- Para matrices utilizamos letras mayúsculas con dos subíndices con un signo de

multiplicación.

Amxn Indica la cantidad de columnas mxn= Orden de la matriz

Indica la cantidad de filas

Los elementos se simbolizan

ai j Indica la columna a la que pertenece el elemento

Indica la fila a la que pertenece el elemento

Entonces:

Amxn= [ai j]; Amxn= (ai j)

� Solo se puede usar “[]” y “()”

� No se puede usar “||” o “{}”

� “||” es para determinantes

� “{}” se usa para conjuntos

Por ejemplo:

A2x4=�6000 4500 2800 18005000 4300 2800 1800

Ejemplo: En la matriz

A= � 2 �1 5 7 24 �3 �6 9 8�7 2 10 12 �13�

Se pide:

a) Su orden

b) Indicar los elementos: A13 , A2 2, A3 4

Solución:

a) A3x5

b) A1 3= 5; A2 2= -3; A3 4= 12;

Generación de matrices.- Algunas matrices y sus elementos responden a reglas de recurrencia

o asignaciones condicionales por lo cual es sencillo generarlas.

Por ejemplo: Hallar

A4x4= [ai j� �����!�!��! ] Solución:

A4x4= a1 1 a1 2 a1 3 a1 4

a2 1 a2 2 a2 3 a2 4

a3 1 a3 2 a3 3 a3 4

a4 1 a4 2 a4 3 a4 4

a1 1� �����!�!��! � 2

a2 1� �����!�!��! � 3

a3 1� �����!�!��! � 4

a1 1� �����!�!��! � 5

a1 2� �����!�!��! � 3

a2 2� �����!�!��! � 6

a3 2� �����!�!��! � 10

a1 2� �����!�!��! � 15

a1 3� �����!�!��! � 4

a2 3� �����!�!��! � 10

a3 3� �����!�!��! � 20

a1 3� �����!�!��! � 35

a1 4� �����!�!��! � 5

a2 4� �����!�!��! � 15

a3 4� �����!�!��! � 35

a1 4� �����!�!��! � 70

Rpta.- A4x4=�2 3 4 53 6 10 154 10 20 355 15 35 70�

Ejemplo: Hallar

B3x4= [bi j ={ 1 �� � � 0 �� � ! �1 �� � " ]

B3x4= b1 1 b1 2 b1 3 b1 4

b2 1 b2 2 b2 3 b2 4

b3 1 b3 2 b3 3 b3 4

Respuesta: B3x4=� 1 0 0 0�1 1 0 0�1 �1 1 0� Operaciones Matriciales

Producto Escalar.- Sea una matriz Amxn = [ai j] y “k” un escalar no nulo # |R

Se define

kAmxn=[k ai j]

Ejemplo: Sea

A3x2=� 2 �5�3 46 7 � Hallar:

a) 3A

b) -2A

Solución:

a) 3A=3 � 2 �5�3 46 7 �=& 3�2� 3��5�3��3� 3�4�3�6� 3�7� '=� 6 �15�9 1218 21 � b) -2A=� �4 106 �8�12 �14�

Suma de Matrices.-

Sean dos matrices Amxn y Bpxq se dice que son conformables para la suma si se verifica

Amxn + Bpxq = Cmxn

En ese sentido

Amxn + Bmxn = Cmxn

[ai j + bi j]=[ci j]

Por ejemplo: Sean las matrices

A3x3=� 2 �5 7�3 6 48 �9 10� y B3x3=�7 �5 �73 5 �89 �10 �11�

Hallar A+B

A+B=& 2 ( 7 �5 ( ��5� 7 ( ��7��3 ( 3 6 ( 5 4 ( ��8�8 ( 9 �9 ( ��10� 10 ( ��11�'

A+B=� 9 �10 00 11 �417 �19 �1�

Propiedades.- Sean A, B y C matrices conformables

i) A+B= B+A

ii) (A+B)+C= A+(B+C)

iii) Amxn+ Ømxn= Amxn

Matriz Nula

Ømxn =[Øi j=0]

Ømxn =�0 0 00 0 00 0 0�

iv) Amxn+(- Amxn)= Ømxn

Inverso Aditivo

(- Amxn)= [(-1) ai j]

Entonces

A-B= A+(-B)

v) k(A+B)= kA+kB

Ejemplo: Hallar una matriz X, si satisface la ecuación:

2(A+B-X+C)=3X+2D-2E+3ª

Donde:

A=�2 �13 4 ; B=�1 33 1; C=�2 00 �3; D=��5 4�3 1; E=��1 11 �1

Solución:

2(A+B-X+C)=3X+2D-2E+3A

2A+2B-2X+2C= 3X+2D-2E+3ª

-A+2B+2C-2D+2E=5X

5X=� �2 �13 4 +2�1 33 1+2�2 00 �3-2��5 4�3 1 ( 2 ��1 11 �1

5X=��2 1�3 �4+�2 66 2+�4 00 �6 ( �10 �86 �2 ( ��2 22 �2

5X=�12 111 �12 //�)

X=&��) �)��) *��) '

Producto de Matrices.- Sean dos matrices Amxn y Bpxq se dice que son conformables para el

producto si se verifica que:

Amxn* Bpxq= Cmxq

=

Por ejemplo:

a) A3x4* B4x2= C3x2

=

b) A4x2* B3x4 El producto no esta definido

+

La definición nos dice:

Si Amxn= [ai j]

Bpxq= [bj k]

Entonces:

Cmxq= A*B= [ci k]

Los elementos

Por ejemplo: Hallar A*B si:

A3x3 =� 2 �1 4�3 5 �26 7 �8�; B3x2 =�2 �57 64 3 �

Solución:

A3x3* B3x2= C3x2

=

C3x2= c1 1 c1 2

c2 1 c2 2

c3 1 c3 2

C1 1= ∑ ���-� a1 j*bj 1=a1 1*b1 1+a1 2*b2 1+a1 3*b3 1 C1 1=2(2)+(-1)7+4(4)= 13

C1 2= ∑ ���-� a1 j*bj 2=a1 1*b1 2+a1 2*b2 2+a1 3*b3 2 C1 2=2(-5)+(-1)6+4(3)= -4

C2 1= ∑ ���-� a2 j*bj 1=a2 1*b1 1+a2 2*b2 1+a2 3*b3 1 C2 1=(-3)2+5(7)+(-2)4= 21

C2 2= ∑ ���-� a2 j*bj 2=a2 1*b1 2+a2 2*b2 2+a2 3*b3 2 C2 2=(-3)(-5)+5(6)+(-2)3= 39

C3 1= ∑ ���-� a3 j*bj 1=a3 1*b1 1+a3 2*b2 1+a3 3*b3 1 C3 1=6(2)+7(7)+(-8)4= 29

C3 2= ∑ ���-� a3 j*bj 2=a3 1*b1 2+a3 2*b2 2+a3 3*b3 2 C3 2=6(-5)+7(6)+(-8)3= -12

C= A*B=�13 �421 3929 �12� Primera Regla Practica

Dibujar el sistema:

- III Cuadrante.- Matriz A

- I Cuadrante.- Matriz B

- IV Cuadrante.- Matriz A*B

Ejemplo

�2 �57 64 3 �

� 2 �1 4�3 5 �26 7 �8�

�2�2� ( ��1��7� ( 4�4� �10 � 6 ( 12�6 ( 35 � 8 15 ( 30 � 612 ( 49 � 32 �30 ( 42 � 24�

A*B=�13 �421 3929 �12�

Segunda Regla Practica

- Fila por columna y se suma mentalmente

A*B=� 2 �1 4�3 5 �26 7 �8� �2 �57 64 3 �=�13 �421 3929 �12�

Propiedades.- Sean A, B, C matrices conformables

i) A*B+B*A

ii) (A*B)*C=A*(B*C)

iii) Amxn*Inxn= Amxn Matriz Identidad

(Siempre es cuadrada)

La matriz identidad se genera por:

Inxn=.1 si � � 0 si � + 1

I3x3= �1 0 00 1 00 0 1� I2x2=�1 00 1

iv) Amxn* A-1nxm = Imxm

A-1nxm * Amxn= Inxm Pseudoinversas

Solo si la matriz es cuadrada

Anxn* A-1nxn = Inxn

Matriz Inversa

A-1nxn * Anxn= Inxn

v) A*(B+C)= A*B+A*C Premultiplica

(B+C)*A= B*A+C*A Postmultiplica

Ejemplo

Si se cumple

�2 b 1 da �2 c 1*�1 1 2 03 0 1 20 3 0 00 0 1 1� =A

Donde:

A= �11 5 a 0�5 7 1 �b

Hallar:

E= a+b+c+d

Solución:

Multiplicando

�2 b 1 da �2 c 1*�1 1 2 03 0 1 20 3 0 00 0 1 1� =A

.62 ( 3b7 62 ( 37 64 ( b ( d7 62b ( d76a � 67 6a ( 3c7 62a � 2 ( 17 6�4 ( 171

.62 ( 3b7 5 64 ( b ( d7 62b ( d76a � 67 6a ( 3c7 62a � 17 �3 1=�11 5 a 0�5 7 1 �6

2+3b=11

b=3

E=a+b+c+d=1+3+2-6

E=0

2b+d=0

-6=d

4+3-6=a

1=a

a+3c=7

1+3c=7

3c=6

c=2

Nota.- Potencia de matrices

An= A*A*A*A…*A

n veces

Matriz Traspuesta.- Sea Amxn = [Ai j] se define “At” como:

Atnxm= [Ai j]

Por ejemplo: Hallar At si A3x2= � 3 �5�6 73 4 �

At2x3=� 3 �6 3�5 7 4

Propiedades

i) (At) t= A

ii) (kA)t= kAt

iii) (A+B)t= At+Bt

iv) (A*B)t= Bt*At

v) (A-1)t= (At)-1

Diagonal Principal

En toda matriz cuadrada Anxn= [ai j], la diagonal principal son los elementos “ai i”

Ejemplo: En

A4x4= � 5 6 �7 01 �8 9 �12 3 4 0�1 3 6 �9�

Indicar la diagonal principal

Solución

A1 1=5; A2 2=-8; A3 3=4; A4 4=-9;

Traza de una Matriz

Se define la traza de una matriz

Anxn= [ai j] como:

tr(Anxn)= ∑ 89�-� i i

En el anterior ejemplo

i) tr(Anxn)= tr(Atnxn)

ii) tr(kAnxn)= ktr(Anxn)

iii) tr(A+B)= tr(A)+ tr(B)

Matrices Especiales.- Es un conjunto de matrices que responden a ciertas

características peculiares, estas son:

Matriz Evolutiva

A2

nxn= Inxn

Matriz Idempotente

A2

nxn= Anxn

Matriz Nilpotente

Aknxn= 0nxn

K= Indice de nilpotencia

Matriz Periodica

Ak+1

nxn= Anxn

K= Periodo de una matriz

Matriz Triangular Superior

Anxn=.ai j si i < j0 si i = j1

Por ejemplo

A3x3= �2 �5 30 1 �30 0 �2� Debajo de la diagonal principal es cero

Matriz triangular inferior

Bnxn=. 0 si i ! bi j si i = j1

Por ejemplo

B3x3= � 2 0 0�1 1 00 2 �1� Encima de la diagonal principal es cero

Teorema.- Toda matriz cuadrada Anxn se puede expresar como el producto de una matriz

triangular inferior por una matriz triangular superior.

Lnxn= Triangulo Inferior

*L= Lower

Unxn= Triangulo Superior

*U= Upper

Anxn= Lnxn*Unxn Factorización L.U.

Matriz Simetrica

A3x3t= Anxn

Por ejemplo

A3x3= � 2 �1 4�1 0 34 3 6�

At= � 2 �1 4�1 0 34 3 6�

Matriz Antisimetrica

Anxn= -Anxnt

Por ejemplo

B3x3= � 0 �1 5�1 0 �4�5 4 0 �

Bt= � 0 1 �5�1 0 45 �4 0 � -B

t= � 0 �1 5�1 0 �4�5 4 0 �

Teorema.- En toda matriz anti simétrica Anxn se verifica que:

ai i= 0

Demostrando

Anxn= -Atnxn

[ai j]= -[aj i]

En la diagonal principal i=j

ai i= - ai i

2ai i= 0

ai i= 0

Teorema.- Toda matriz cuadrada se puede expresar como la suma de una matriz simetrica y

otra antisimetrica.

Anxn= Snxn+Hnxn

S= St ^ H= -H

t

Para hallar una expresión de S y H tenemos:

A y At

A + At analizamos

i) (A + At)= (A + A

t)

t

A + At= A

t + (A

t)

t

A + At= A

t + A

A + At= A + A

t Es simétrica

Tambien analizamos

A - At

(A - At)= -(A - A

t)

t

A - At= -( A

t – (A

t)

t)

A - At= -( A

t – A)

A - At= -A

t + A

A - At= A – A

t Es anti simétrica

> Anxn= �� (A + A

t) +

�� (A - At)

S H

Ejemplo: Expresar

B4x4� � 2 �1 5 73 6 �1 8�4 �1 0 56 2 �1 6�

Como la suma de una matriz simetrica y otra antisimetrica

Solución

B� � 2 �1 5 73 6 �1 8�4 �1 0 56 2 �1 6� ^ Bt= � 2 3 �4 6�1 6 �1 25 �1 0 �17 8 5 6 �

S= �� (B+ Bt

)=

?@@@@A

2 1 �� ���1 6 �1 5�� �1 0 2��� 3 2 6 BCCCCD; H=

�� (A+ At)=

?@@@@A

0 �2 E� ��2 0 0 3*E� 0 0 3*�� �3 �3 0BCCCCD

Matriz Hermitica

Anxn= (Ānxn)t

Siendo Anxn # Cnxn y Ā se lee A conjugada

Ejemplo

A2x2= � 2 2 ( i2 � i �1

Ā= � 2 2 � i2 ( i �1 Āt= � 2 2 ( i2 � i �1

Matriz Antihermitica

Anxn= -(Ānxn)t

Ejemplo

A2x2= � i 3i3i �3i

Ā= � �i �3i�3i 3i Āt=� �i �3i�3i 3i

- Āt=� i 3i3i �3i Toda matriz cuadrada compleja Anxn se puede expresar como la suma de una matriz

hermitica y otra anti hermitica.

Matriz Escalonada

Emxn= �1 y / o 0 si i � je ij si i ! 0 si i " �

E3x4= �1 2 �1 00 1 2 50 0 0 2�

Matriz Escalonada Reducida

Fmxn= �1 y / o 0 si i � j0 si i " 0 si i ! � Diagonal

F3x4= �1 0 0 �10 1 0 30 0 1 �2�

Matriz Normal

Nmxn = .1 si i � j0 si i + j1

Por ejemplo

N3x4= �1 0 0 00 1 0 00 0 1 0�

Teorema.- Toda matriz Amxn se puede transformar en una matriz escalonada,

escalonada reducida o normal.

Matriz Diagonal

Dmxn= .d ii si i � j0 si i + j1

Por ejemplo

D4x4= �2 0 0 00 �1 0 00 0 5 00 0 0 6�

Propiedad

(Dnxn)k= (di i)

k si i=j

0 si i+j

Por ejemplo

(D4x4)100

= 2100

0 0 0

0 (-1100

) 0 0

0 0 5100

0

0 0 0 6100

Matriz Ortogonal

(Anxn)-1

= (Anxn)t

Operaciones Elementales

Son cambios que se realizan en las filas y/o columnas de una matriz con el objetivo de

encontrar una matriz equivalente, estas operaciones son:

i) Intercambio dos filas o columnas

fi ---> i-esima fila

fj ---> j-esima fila

ci ---> i-esima columna

cj ---> j-esima columna

fi <---> fj o ci <---> cj

Por ejemplo

En A=�2 �5 31 2 �1

Realizar: c2 <---> c1

Solución

�2 �5 31 2 �1 � ��5 2 32 1 �1

c2 <-> c1

ii) Multiplicar por un escalar a una fila o columna

kfi <-> kci

El valor de k+0 ��5 2 32 1 �1� ��5 2 3�4 �2 2

f2 *(-2)

iii) Sumar una fila o columna a otra

fi + fj � fj o ci + cj � cj

iv) Sumar el múltiplo de una fila o columna a otra

kfi + fj � fj’ o kci + cj � cj’

��5 2 3�4 �2 2� ��9 0 5�4 �2 �2� ��1 4 1�4 �2 2

f2 + f1 (-2)f2 + f1� f1’

Ejemplo: En una matriz

A= � 2 �5 6 3�4 3 2 15 7 �1 3�

Se realizan las siguientes operaciones elementales

i) f1<-> f2

ii) f2(��)

iii) f3+ f1 -> f1’

iv) f1(2)+ f3 -> f3’

Hallar la matriz equivalente

Solución

� 2 �5 6 3�4 3 2 15 7 �1 3� ���4 3 2 12 �5 6 35 7 �1 3� �&�4 3 2 11 � )� 3 ��5 7 �1 3'�&1 10 1 41 � )� 3 ��5 7 �1 3'

f1<-> f2 f2(��) f3+ f1 -> f1’ f1(2)+ f3 -> f3’

�&1 10 1 41 � )� 3 ��5 7 �1 3' = B

Metodo del pivote.- Es una secuencua de pasos que permite transformar cualquier matriz en una matriz

escalonada, escalonada reducidad o normal, a partir de operaciones elementales.

1º Paso.- Encontrar un 1 principal en la primera columna y llevar a la posición 1-1

2º Paso.- Convertir en “0” los elementos restantes de la columna del 1 principal

3º Paso.- Encontrar un segundo 1 principal en la segunda columna pero en la primera fila y llevarlo a la

posición 2-2. Luego hacer que los elementos restantes de su columna se hagan “0”

4º Paso.- Aplicar los anteriores pasos a todas las columnas.

Ejemplo

Transformar la matriz A= � 2 �5 6 3�4 3 2 15 7 �1 3� a su forma escalonada, escalonada reducida o normal.

Solución

a) Escalonada

� 2 �5 6 3�4 3 2 15 7 �1 3� ��2 �5 6 31 10 1 45 7 �1 3� ��1 10 1 42 �5 6 35 7 �1 3���1 10 1 40 �25 4 �50 �43 �6 �17�

f3+ f2 -> f2’ f1<-> f2 -2f1+ f2 -> f2’ -2f2+ f3 -> f3’

-5f1+ f3 -> f2’

��1 10 1 40 �25 4 �50 7 �14 �7���1 10 1 40 3 �52 �330 7 �14 �7 ���1 10 1 40 3 �52 �330 1 90 59 �

f3(4)+ f2 -> f2’ f3(-2)+ f3 -> f3’ f2<-> f3

��1 10 1 40 1 90 590 3 �52 �33� ��1 10 1 40 1 90 590 0 �322 �210��&1 10 1 40 1 90 590 0 1 �J)�K�'

f2(-3)+ f3 -> f3’ f3(-� ����) Forma Escalonada

f3(-1) + f1 -> f1’

f3(-1) + f2 -> f2’

b) Escalonada Reducida

?@@@A1 10 0 )�E�K�0 1 90 � )E)�K�0 0 1 �J)�K� BCC

CD�

?@@@A1 0 0 K�L)�K�0 1 0 � )E)�K�0 0 1 �J)�K� BCC

CD

f2(-10)+ f1 -> f3’ Escalonada Reducida

c) Normal

?@@@A1 0 0 K�L)�K�0 1 0 � )E)�K�0 0 1 � �J)�K�BCC

CD��1 0 0 00 1 0 00 0 1 0�

C1 (*K�L)�K� ) + C4 � C4’

C2 ()�)�K�) + C4 � C4’

C3 (*�J)�K� ) + C4 � C4’

Matrices Elementales.- Son aquellas que se forman cuando se realiza una operación

elemental a la matriz identidad conformable con la matriz original.

Amxn Columnas Operaciones elementales columnas Inxn

Filas Operaciones elementales filas Imxm

Por lo tanto:

Emxm= Matrices elementales de filas

Fnxn= Matrices elementales de columnas

Entonces es posible buscar una relación funcional entre:

Amxn; Bmxn; Emxm; Fnxn

Por lo tanto

Emxm* Amxn* Fnxn= Bmxn

Pero se realizan varias operaciones fundamentales

Ek*…*E2*E1* Amxn*F1*F2*F3*…*Fj= Bmxn

Filas Columnas

Pmxm*Amxn*Qnxn= Bmxn Equivalencia de matrices

Ejemplo:

Hallar las matrices elementales que transforman A en B y luego verificar la

equivalencia.

A=�2 �1 3 43 2 1 �15 1 4 3 � B=�1 0 0 50 1 0 70 0 0 0�

Solución

�2 �1 3 43 2 1 �15 1 4 3 � ���1 �3 2 53 2 1 �15 1 4 3 � ���1 �3 2 50 �7 7 140 �14 14 28�

f2(-1)+ f1 -> f1’ f1(3)+ f2 -> f2’ f1(-1)

f2(5)+ f3 -> f3’ f2(-2)+ f3 -> f3’

��1 3 �2 �50 �7 7 140 0 0 0 ���1 3 �2 �50 1 �1 �20 0 0 0 ���1 0 1 10 1 �1 �20 0 0 0 �

f2(*�M ) f2(-3)+ f1 -> f1’ C1(-1)+ C3 -> C3’

C1(4)+ C4 -> C4’

��1 0 1 10 1 �1 �20 0 0 0 � = B

C2 + C3 -> C3’

C2(9)+ C4 -> C4’

Filas

I3x3=�1 0 00 1 00 0 1�

E7=�1 �3 00 1 00 0 1� ; E6= &1 0 00 *�M 00 0 1'; E5=�1 0 00 1 00 �2 1�; E4=��1 0 00 1 00 0 1�; E3=�1 0 00 1 05 0 1�;

E2=�1 0 03 1 00 0 1� ; E1= �1 �1 00 1 00 0 1�

Columnas

I4x4=

F1=�1 0 �1 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1�; F2=�1 0 0 40 1 0 00 0 1 00 0 0 1�; F3=�1 0 0 00 1 1 00 0 1 00 0 0 1�; F4=�1 0 0 00 1 0 90 0 1 00 0 0 1�

La equivalencia

(E7*E6)*(E5*E4)*(E3*E2)*E1*A*(F1*F2)*(F3*F4)

�1 �M 00 *�M 00 0 1� ��1 0 00 1 00 �2 1� �1 0 03 1 05 0 1� �1 �1 00 1 00 0 1�= P

��1 �M 00 *�M 00 �2 1� �1 �1 03 �2 05 �5 1�= P

�1 0 �1 40 1 0 00 0 1 00 0 0 1� �1 0 0 40 1 1 90 0 1 00 0 0 1�= Q

�1 0 �1 40 1 1 90 0 1 00 0 0 1�= Q

� �M �M 0*�M �M 0�1 �1 1� �2 �1 3 43 2 1 �15 1 4 3 �* Q =B

P A

�1 0 1 10 1 �1 �20 0 0 0 � �1 0 �1 40 1 1 90 0 1 00 0 0 1�= B

�1 0 0 50 1 0 70 0 0 0�= B lo que queda verificado