mat progressoes geometric as _002

8/3/2019 Mat Progressoes Geometric As _002

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Curso Wellington Matemtica Progresses Geomtricas Prof Hilton Franco

1. Aps o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em umacaderneta de poupana, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, ato ms em que o valor do depsito atingisse R$ 2.048,00. No ms seguinte o pai recomeariaos depsitos como de incio e assim o faria at o 21 aniversrio do filho. No tendo ocorridofalha de depsito ao longo do perodo, e sabendo-se que 2 10 = 1.024, o montante total dos

depsitos, em reais, feitos em caderneta de poupana foi dea) 42.947,50.b) 49.142,00.c) 57.330,00.d) 85.995,00.e) 114.660,00.

2. Em uma Progresso Geomtrica estritamente crescente com razo igual ao triplo doprimeiro termo e na qual, o quarto termo igual a 16875, correto afirmar quea) o terceiro termo igual a nove vezes o primeiro termo.b) a soma dos trs primeiros termos igual a 241 vezes o primeiro termo.c) o segundo termo igual a 9 vezes o quadrado do primeiro termo.d) a soma do primeiro e do terceiro termo igual a 25 vezes o segundo termo.e) os termos tambm esto em progresso aritmtica.

3. O quarto termo de uma progresso geomtrica descrita pela sequncia( )nna 3 , com n *,

=

a) 1 .27

b) 1 .81

c) 1 .243

d)1

.27 e) 1 .

81

4. Um colgio promoveu uma Olimpada Interna de Matemtica cuja prova consistiu de dezquestes, numeradas de um a dez, que poderiam ser resolvidas em qualquer ordem e queforam pontuadas de acordo com as seguintes regras:

a cada questo no resolvida, resolvida de forma parcial ou totalmente incorreta foiatribudo valor 0;

resoluo correta da questo um foi atribudo o valor 1; resoluo correta da questo dois foi atribudo o valor 2; resoluo correta da questo trs foi atribudo o valor 4; resoluo correta da questo quatro foi atribudo o valor 8, e assim sucessivamente, at a

questo dez.

Nessas condies, pode-se afirmar que um participante da Olimpada que obteve um total de213 pontos resolveu corretamentea) seis questes, das quais apenas uma de numerao mpar.b) seis questes, das quais apenas uma de numerao par.c) cinco questes, das quais apenas uma de numerao mpar.d) cinco questes, das quais apenas uma de numerao par.e) trs questes de numerao par e trs questes de numerao mpar.

5. Considere a equao algbrica ( )3 4 k

kk 1 x a 0

= = . Sabendo que x = 0 uma das razes eque (a1, a2, a3) uma progresso geomtrica com a 1 = 2 e soma 6, pode-se afirmar que

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a) a soma de todas as razes 5.b) o produto de todas as razes 21.c) a nica raiz real maior que zero.d) a soma das razes no reais 10.e) todas as razes so reais.

6. No sendo paga quantia alguma relativa a um emprstimo feito por uma pessoa, sero aele incorporados juros compostos de 2,5% a.m.Assim, o montante desse emprstimo, considerado ms a ms, crescer segundo umaprogressoa) aritmtica de razo 0,25 .b) geomtrica de razo 1,025 .c) aritmtica de razo 1,205 .d) geomtrica de razo 10,25 .e) aritmtica de razo 12,05 .

7. Observe a sequncia de figuras

ABCD um quadrado, cujo lado mede x cm. Ligando os pontos mdios dos lados dessequadrado, obtm-se o quadrado MNPQ. Realizando esse procedimento indefinidamente, asoma das reas de todos os quadrados sombreados dessa sequncia igual a 64 2 cm2. Area do quadrado sombreado da dcima figura dessa sequncia, em centmetros quadrados, igual a

a) 2 .16

b) 2 .4

c) 2. d) 4 2. e) 8 2.

8. Trs nmeros formam uma progresso geomtrica de razo 3. Subtraindo 8 unidades doterceiro nmero, obteremos uma progresso aritmtica cuja soma dos termos a) 16.b) 18.c) 22.d) 24.e) 26.

9. Se a e b so nmeros reais positivos tais que a sequncia (a,6,b) uma progressoaritmtica e a sequncia (a, 11,b) uma progresso geomtrica, ento o produto de a e b :a) 6.

b) 10.c) 11.d) 66.

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e) nda.

10. De um dos lados de uma avenida retilnea, esto dispostos alguns postes nos ponto1 2 iP ,P ,...,P,i .

Do outro lado dessa mesma avenida, esto dispostas algumas rvores nos pontos

1 2 jA , A ,..., A , j

. Sabe-se que:

- 1 2PP 3 dam=- 1 iPP 63 dam=- ( )1 2 2 3PP ,P P ,... uma progresso aritmtica finita de razo 3.- 1 j 1 iA A PP=- ( )1 2 2 3A A ,A A , . . . uma progresso geomtrica finita de razo 2.- i j=

Com base nessas informaes, correto afirmar que a maior distncia entre duas rvoresconsecutivas , em dam, igual aa) 63b) 32c) 18d) 16

11. Voc tem um dinheiro a receber em pagamentos mensais. Se voc recebesseR$ 100,00 no primeiro pagamento e, a partir do segundo pagamento, voc recebesseR$ 150,00 a mais do que no pagamento anterior, receberia todo o dinheiro em 9 pagamentos.Porm, se o valor do primeiro pagamento fosse mantido, mas, a partir do segundo pagamento,voc recebesse o dobro do que recebeu no ms anterior, em quantos pagamentos receberia

todo o dinheiro?a) 4b) 6c) 8d) 10e) 12

12. A sequncia de termos positivos (a1, a2, a3,... an, ...) uma progresso geomtrica derazo igual a q .Podemos afirmar que a sequncia (loga1 , loga2 , loga3 , ... logan ...) :a) Uma progresso aritmtica de razo q .b) Uma progresso geomtrica de razo q .c) Uma progresso aritmtica de razo log q .d) Uma progresso geomtrica de razo log q .e) Uma progresso aritmtica de razo (loga1 - logq ).

13. Um menino, de posse de uma poro de gros de arroz, brincando com um tabuleiro dexadrez, colocou um gro na primeira casa, dois gros na segunda casa, quatro gros naterceira casa, oito gros na quarta casa e continuou procedendo desta forma at que os grosacabaram, em algum momento, enquanto ele preenchia a dcima casa. A partir dessasinformaes, podemos afirmar que a quantidade mnima de gros de arroz que o meninoutilizou na brincadeira a) 480b) 511c) 512d) 1023e) 1024

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14. A natureza tem sua prpria maneira de manter o equilbrio. Se uma comunidade ficagrande demais, , muitas vezes, reduzida por falta de comida, por predadores, seca, doena ouincndios.Uma certa reserva florestal sofreu um incndio. Na primeira hora, teve 1 km2 e, a cada horasubsequente, foi destrudo pelo fogo o triplo da rea em relao hora anterior. Supondo queesse processo se mantenha, quantos km 2 da reserva sero queimados decorridas k horas do

incio do incndio?a)

k3 12

b) 3k c) 3k-1

d)k32

e)k 13 1

2

+

15. Na sequncia 1, 3, 7,15..., cada termo, a partir do segundo, obtido adicionando-se umaunidade ao dobro do termo anterior. O 13 termo dessa sequncia a) 211-1.b) 211+1.c) 212-1.d) 212+1.e) 213-1.

16. Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em demonstraesmatemticas de sua poca, o filsofo Zeno de Eleia (sculo V a.C.) props o paradoxo deAquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemtico.

Existem vrios enunciados do paradoxo de Zeno. O escritor argentino Jorge Luis Borges o

apresenta da seguinte maneira:

Aquiles, smbolo de rapidez, tem de alcanar a tartaruga, smbolo de morosidade. Aquiles corredez vezes mais rpido que a tartaruga e lhe d dez metros de vantagem. Aquiles corre essesdez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decmetro;

Aquiles corre esse decmetro, a tartaruga corre um centmetro; Aquiles corre esse centmetro,a tartaruga um milmetro; Aquiles corre esse milmetro, a tartaruga um dcimo de milmetro, eassim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcan-la.

Fazendo a converso para metros, a distncia percorrida por Aquiles nessa fbula igual a

( )n1102 n 0

1 1d 10 1 ... 10 .10 10

== + + + + = +

correto afirmar que:Pgina 4 de 12


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a) d = + b) d = 11,11

c) d = 919

d) d = 12

e) d =100

9

17. Na manh de segunda-feira uma empresa comeou sua produo de iogurte do seguintemodo: adicionou a um litro de iogurte, j pronto, trs litros de leite. Aps 24 horas, havia 4 litrosde iogurte, que foram novamente misturados a uma parte proporcional de leite para dar sequencia produo. Se a empresa continuou esse processo, ento, na manh de sexta-feira, o total de litros de iogurte obtidos foi dea) 45 b) 46 c) 28 d) 29

18. Lana-se uma bola, verticalmente de cima para baixo, da altura de 4 metros. Aps cadachoque com o solo, ela recupera apenas da altura anterior.A soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola at omomento de repouso :a) 12 mb) 6 mc) 8 md) 4 me) 16 m

19. Uma bola de boliche de 2 kg foi arremessada em uma pista plana. A tabela abaixo registraa velocidade e a energia cintica da bola ao passar por trs pontos dessa pista: A, B e C.

Se 1 2 3(E , E ,E ) uma progresso geomtrica

de razo 12

, a razo da progresso geomtrica

1 2 3(V, V , V )est indicada em:a) 1b) 2

c) 22

d) 12

20. Considere o padro de construo representado pelos desenhos a seguir.

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Pontos Velocidade

(m/s)

Energia cintica

(J)

A V1 E1

B V2 E2

C V3 E3


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Na Etapa 1, h um nico quadrado com lado 10. Na Etapa 2, esse quadrado foi dividido emquatro quadrados congruentes, sendo um deles retirado, como indica a figura. Na etapa 3 enas seguintes, o mesmo processo repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior.

Nessas condies, a rea restante na Etapa 6 ser de

a)5

1100 .4

b)61100 .

3

c)51100 .

3

d)63100 .

4

e)53100 .

4

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Gabarito:

Resposta da questo 1: [D]

(1,2,4,8,.. 2048)

Considerando a P.G., temos:

2048 = 1.2n-12n -1 = 211n = 12 (12 meses = 1 ano)

Soma dos montantes S =121.(2 1) 4095

2 1 =

(por ano)

No 21o aniversrio, termos: 21 . 4095 = 85.995,00.

Resposta da questo 2: [B]

Considerando o primeiro termo igual a x e a razo igual a 3x, temos:

P.G. ( )2 3 4 5x,3x ,9x ,27x ,81x ,...427x 16.875=

X= 5 ( P.G. crescente)

Temos a PG de razo 15 e primeiro termo 5 ( 5, 75, 1125 , 16.875, ... )Logo, a resposta b a correta 5 + 75 + 1125 = 241.5.


a4 = (-3)-4 = 41 1

81( 3)=

Resposta da questo 4: [D]

O valor de cada uma das questes, em ordem crescente, : 0 1 2 3 4 5 6 7 82 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 e92 .

Portanto, se um participante obteve 213 pontos, ento ele acertou as questes 1, 3, 5, 7 e 8.

Resposta da questo 5: [A]

2 + 2q + 2q2 = 6 q2 + q 2 = 0, logo q = -2 ou q = 1

Para q = 1 temos:(x-2)3 + (x 2)2 + (x 2) = 0 no apresenta o zero como raiz.

Para q = -2 temos:(x 2)3 + ( x+4)2 + (x 8) = 0 x3 -5x2 + 21x = 0 x.(x2 5x + 21 ) = 0

Resolvendo a equao, temos x = 0 ou x -= 5 i. 592

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Portanto, a soma de todas as razes ser 5.


Se C o capital emprestado, n o nmero de meses aps a concesso e a taxa de juros 2,5% 0,025 a.m.,= segue que o montante dado por n nC (1 0,025) C (1,025) . + = Portanto, o montante desse emprstimo, considerado ms a ms, crescer segundo umaprogresso geomtrica de razo 1,025.


A sequncia uma P.G. infinita de razo 1q2

= , vamos considerar A1 seu primeiro termos e A10seu dcimo termo.

11

A 164 2 A .64 2 32 21 21 2

= = =

Logo, A10 =10 1

1 232 2.

2 16

=


Se (a, b, c) uma progresso geomtrica de razo 3, ento (a,b, c) (a, 3a, 9a).=Por outro lado, de acordo com o enunciado, temos que (a, 3a, 9a 8) uma progressoaritmtica. Logo, sabendo que o termo central a mdia aritmtica dos extremos, vem que

a 9a 83a 5a 4 3a a 2.2+ = = =Portanto, a soma pedida a 3a 9a 8 13a 8 13 2 8 18.+ + = = =

Resposta da questo 9: [C]

Se (a, 11,b) uma progresso geomtrica, ento 2a b ( 11) 11. = =


( )ia 3 (n 1).3 3n3 3n n

63 n 62

= + =+ = =

Sabemos que o nmero de postes igual ao nmero de rvores.

Portanto, na PG temos:6

11

a (2 1) 63 a 12 1

= =

Temos ento a figura:

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Logo, a maior distncia entre duas rvores ser 32m.


Considerando a P.A (100. 250, 400, ...), temos:9

9

a 100 8.150 1300(100 1300).9S 6.300

2

= + =+= =

Considerando agora a P.G. ( 100, 200, 400, ...), temos:

( )n

n

n

2 1100. 6300

2 12 1 632 64n 6

=

==

=

Portanto, receberia o dinheiro em 6 meses.


1 2 3 n

2 n 11 1 1 1

1 1 1 1

(loga , loga , loga , , loga , )

(loga , loga q, loga q , , loga q , )(loga , loga logq, loga 2logq, , loga (n 1)logq, ).

=

=+ + +

K K

K K

K K

Como1 1 1 1(loga logq) loga (loga 2logq) (loga logq) logq,+ = + + = =K

segue que 1 2 3 n(loga , loga , loga , , loga , )K K uma PA de razo logq.


A quantidade de gros colocados pelo menino em cada casa constitui uma progresso

geomtrica cujo primeiro termo 1 e cuja razo vale 2. Logo, segue que a quantidade degros colocados at a nona casa foi de

=

92 11 511.2 1

Como os gros s acabaram na dcima casa, temos que a quantidade mnima de gros que omenino utilizou na brincadeira + =511 1 512.


(1,3,9, ...) temos uma P.G de razo 3. A soma das reas na hora k ser:

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k k1.(3 1) 3 1S

3 1 2

= =

.

Resposta da questo 15: [E]

O termo geral da sequncia a n = 2n 1Logo a13 = 213 -1


( )n1102n 0

1 1d 10 1 ... 10 .10 10

== + + + + = +PG infinita de razo 1/10

d = 9100

10

9

10

10

11

10==


Tera ----------------- 1 + 3 = 4 L de iogurte.Quarta ----------------4 + 3.4 = 16 L de iogurte.Quinta ----------------16 + 3.16 = 64 L de iogurte.Sexta ------------------64 + 64.3 = 256 L = 2 8 L de iogurte.


S = 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + +1/2 + ...S = 4 + 4 + 2 + 1 + + ...( P.G. infinita de razo )

S = 4 +2

11

4

(soma dos termos da P.G. Infinita)

S = 4 + 8S = 12m


Sabendo que a energia cintica de um corpo de massa m e velocidade V dada por 2mV

,2

segue que:

221

1 1

222

2 2

2VE V ,

22V

E V2

= =

= =e

223

3 32V

E V .2

= =

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Como 1 2 3(E , E , E ) uma PG de razo1

,2

temos que:2

1 12

E VE

2 2= = e

22 1

3E V

E .2 4

= =

Assim, 22 1 1

2 2V 2V

V V2 2

= =e

22 1 1

3 2V V

V V .4 2

= =

Em que:1 1

3 2

2 1 11

V 2VV V 22 2 ,V V V 22V

2

= = =

ou seja, 1 2 3(V, V, V ) uma PG de razo 2 .2


Na primeira etapa: 10.10 = 100Na segunda etapa: (3/4).100Na terceira etapa: (3/4). (3/4).100 = (3/4)2.100

Temos, ento uma P.G. de razo q = Portanto o sexto termos ser (3/4)5. 100

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Resumo das questes selecionadas nesta atividade

Data de elaborao: 13/10/2011 s 23:10Nome do arquivo: pGeometrica

Legenda:Q/Prova = nmero da questo na provaQ/DB = nmero da questo no banco de dados do SuperPro

Q/prova Q/DB Matria Fonte Tipo

1..................100548.............Matemtica.........Unesp/2011............................Mltipla escolha 2..................104567.............Matemtica.........Upe/2011................................Mltipla escolha 3..................101507.............Matemtica.........Uftm/2011...............................Mltipla escolha

4..................105303.............Matemtica.........Uesc/2011...............................Mltipla escolha 5..................101529.............Matemtica.........Ita/2011...................................Mltipla escolha 6..................105339.............Matemtica.........Uesc/2011...............................Mltipla escolha 7..................102041.............Matemtica.........Ifsp/2011.................................Mltipla escolha 8..................105420.............Matemtica.........Ufrs/2011................................Mltipla escolha 9..................102815.............Matemtica.........G1 - ifal/2011..........................Mltipla escolha 10................106448.............Matemtica.........Epcar (Afa)/2011.....................Mltipla escolha 11................103191.............Matemtica.........Uel/2011.................................Mltipla escolha 12................100045.............Matemtica.........Fgv/2011.................................Mltipla escolha 13................106671.............Matemtica.........Espcex (Aman)/2011..............Mltipla escolha 14................104245.............Matemtica.........Ufsm/2011..............................Mltipla escolha 15................91127...............Matemtica.........Ufrgs/2010..............................Mltipla escolha 16................91299...............Matemtica.........Uff/2010..................................Mltipla escolha 17................93026...............Matemtica.........G1 - cftmg/2010......................Mltipla escolha 18................96745...............Matemtica.........Unemat/2010..........................Mltipla escolha 19................97344...............Matemtica.........Uerj/2010................................Mltipla escolha 20................91126...............Matemtica.........Ufrgs/2010..............................Mltipla escolha

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