mat progressoes geometric as p g

8/3/2019 Mat Progressoes Geometric As P G

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PROGRESSES GEOMTRICAS ( P.G.)

1 - DefinioVamos analisar algumas seqncias:

( 4 , 8 , 16 , 32 , 64 ) ( 6, - 18 , 54 , - 162 )

( 8 , 2 , )32

1,

8

1,

2

1

Em todas essas seqncias, a lei de formao : cada termo, a partir do segundo, igual ao anterior,multiplicado por um nmero fixo.

Toda a seqncia que tiver essa lei de formao ser denominada PROGRESSO GEOMTRICA.O nmero fixo pelo qual estamos multiplicando cada termo chamado razo da progresso.

2 - REPRESENTAO DE UMA PROGRESSO GEOMTRICA (P.G. )

A representao matemtica de uma progresso geomtrica (P.G.) :

(a1 , a2, a3 , a4 , ......, an ,...... ) em que :a1 significa primeiro termo ( l-se : a ndice 1 )a2 significa segundo termo ( l-se : a ndice 2 )a3 significa terceiro termo ( l-se : a ndice 3 )


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onde : ......3

4

2

3

1

2GPdarazoaqq

a

a

a

a

a

a

Vejamos alguns exemplos :

1) Escreva uma P.G. de cinco termos em que a1 = 2 e q = 3 .

2) Escreva uma P.G. de cinco termos em que a1 = - 3 e q = 4 .

3) Escreva uma P.G. de cinco termos em que a1 = 800 e q =4

1.

4) Determine a razo de cada uma das P.G. abaixo :a) ( 2, 8 ,32, . . . ) b) ( 200, 50 , . . . )

5) Se a sequncia ( x , 3x + 2 , 10x + 12 ) uma P.G. , calcule x.


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EXERCCIOS

1) Escrever os cinco primeiros termos de cada P.G. abaixo, onde :a) a1 = 5 e q = 2 b) a1= 3 e q = -4

c) a1 = - 2 e q= 3 d) a1 = - 3 e q = - 2

2) Determine a razo de cada uma das seguintes P.G. :a) (3 , 12 , 48 , . . . ) b) (10 , 5 , . . . ) c) ( 5, - 15 , . . . )

d) (10 , 50 , . . . ) e) ( 8 , .)..2

1f) ( .)..,

5

2,

4

3

3) Complete cada uma das P.G. :a) (3,6,......,.......,.....,.......) b) (1 , 5 , ......,........,.........,.........)

c) (400 , 200 , ........ ,.........,..........,............) d) (-2 , - 6 , ......... ,..........,............,..........)


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4) Se a sequncia ( x , 3x + 2 , 10x + 12 ) uma P.G. , calcule x.

5) Determine o valor de x de modo que os nmeros x + 1 , x + 4 e x + 10 , formemuma P.G.

6) Calcule o valor de x de modo que a sequncia ( 1 + x , 3 + x , 4 + x ) seja uma P.G.


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3 - FRMULA DO TERMO GERAL DA P . G.- Da mesma forma como fizemos para a P.A. vamos demonstrar a frmula do termo geral de uma

P.G. , que permite encontrar qualquer termo sem precisar escreve-la integralmente.

Observe:

(a1 , a2, a3 , a4 , ......, an ,...... ) (2 , 6 ,18 , 54 , 162 , 486 , . . . )

EXEMPLOS:

1) Achar o dcimo termo da P.G. ( 1 , 4, . . . ) .

2) Achar o vigsimo termo da P.G. ( 2 ,6 , . . . ) .


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3) Numa P.G. de quatro termos, a razo 5 e o ltimo termo 375. Calcular o primeiro termo dessaP.G.

4) Numa P.G. de 6 termos, o primeiro termo 2 e o ltimo termo 486. Calcular a razo dessa P.G.

5) Numa P.G. de razo 4 , o primeiro termo 8 e o ltimo 231 . Quantos termos tem essa P.G. ?

6) Calcular o nmero de termos da P. G. ( 3 , 6 , . . . , 768 ).


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EXERCCIOS

1) Ache o dcimo segundo termo da P. G. ( 2 , 6 , . . . )

2) Encontre o dcimo termo da P.G. ( )..,.2,2

1

3) Numa P.G. de seis termos o primeiro termo 2 e o ltimo 15552. Calcular a razodessa P.G.

4) Qual o sexto termo da P.G. ( 512, 256, . . . ) ?

5) Numa P. G. o 1 termo 4 e o quarto termo 4000. Qual a razo dessa P . G. ?


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6) Determine quantos termos tem a P G ( 6 , 18 , . . . , 1458 ) .

7) Interpolar quatro meios geomtricos entre 2 e 486 .

8) faa a interpolao de 5 meios geomtricos entre 4 e 2916 .

9) (UGFRJ) Calcule a razo de uma P G , na qual o 1 termo 2

1e o 4 termo

27

4.


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10) Calcule o 1 termo de uma P G , sabendo que a 9 = 1280 e q = 2 .

11) Interpolar ou inserir trs meios geomtricos entre 3 e 48 .

12) (UCB01) Inserindo-se quatro meios geomtricos entre a e 486, obtm-se uma PG de razoigual a 3 . Qual o valor de a ?

13) (UERJ-80) Numa P.G. de razo 3 , o primeiro termo 27 e o ltimo 315 . Quantos

termos tem essa P.G. ?


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4 - FRMULA DA SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.G FINITA

Seja a P.G. finita ( a1 , a2 , a3 , . . . na ) de razo q , a soma dos seus termos dada por :

1 caso : Se q = 1

Sn = n.a1

2 caso : Se q 1

Sn =1

11

q

a qn

ou Sn =1

. 1

q

aqan

EXEMPLOS

1) Dada a P.G. ( 1 , 3 , 9 , 27 , . . . ) calcular a soma dos 6 primeiros termos.

2) Dada a P.G. ( 2 , 8 , . . . ) calcular a soma dos 8 primeiros termos.

3) Qual a soma dos 30 primeiros termos da P.G. em que a1 = 1 e q = 3 ?


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4) Dar o valor de x na igualdade x + 3x + . . . + 729x = 5465 , sabendo-se que os termos do1 membro formam uma P.G.

Exerccios

1) Obtenha a soma dos 6 primeiros termos da P.G. ( 7 , 14 , . . . ) .

2) Qual ser a soma dos 20 primeiros termos de uma P.G. em que a1 = 1 e q = 2 ?

3) Dar o valor de x na igualdade 10x + 20x +40x . . . +1280x = 7650 , sabendo-se que os termosdo1 membro formam uma P.G


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5 - FRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA

Se em uma P.G. 1 < q < 1 ou seja 1q a soma de seus infinitos termos dada por:

q

aS

1

1

EXEMPLOS

1) Calcular a soma dos termos da P.G.

...,

16

1,

4

1,1

2) Calcular a soma dos termos da P.G. infinita

..,

125

24,

25

12,

5

6,3

3) Calcular a soma dos infinitos termos da srie 1 + .....27

1

9

1

3

1


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EXERCCIOS

1) Calcule a soma dos termos de cada uma das seguintes P.G. :

a)

...,

51,1,5

b) (20 , 10 , 5 , . . . )

c)

..,

3

10,10,30


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2) Resolva as equaes em que o primeiro membro representa a soma dos termos de uma P.G.infinita :

a) 80x + 4ox + 20x + ... = 320 b) 12.....93

xx

x

c) 1 + x + x2 + x3 + . . . = 3

3) Calcule a soma da srie infinita ...27

2

9

2

3

2


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