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UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA
Laboratorio #2 de matemática IV
Tema: Las matemática y el arte.
Ing. Mario Tobar.
Integrantes:
NOMBRE CARNE
Byron Estuardo López LO100306
Brenda Somoza Gross SG100606
Marvin Ernesto Sánchez Lobos SL100106
Juan José Rivera Miranda RM104407
Francisco Vladimir Fabián Joya FJ100306
Romel Stanley Albanez Moreno AM101705
UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIAMatemática IV
TEMA: Las matemáticas y el arte
INTRODUCCION
En el presente trabajo se pretende ver la relación entre el arte y la matemática, desde los inicios de la civilización. Ellos aparecen en todas las culturas. Es una relación profunda en donde se mezclan el sentido de la estética, la búsqueda de un ideal de perfección, la exploración del espacio tiempo y el reconocimiento de formas y patrones de repetición, en el presente trabajo se presentan diferentes entidades matemáticas que nos permitirán comprobar su relación con el arte, la música, literatura, escultura y hasta la naturaleza.
Conoceremos acerca del número áureo, el cual se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc. También, veremos el concepto de El número plateado o razón plateada es una constante matemática. Su nombre es una alusión a la razón áurea; análoga a la forma en que el número áureo es la proporción limitante de la sucesión de Fibonacci, el número plateado es la proporción limitante de la sucesión de Pell. El término número plateado a veces es confundido con el número plástico. Entenderemos la definición deπ (pi) que es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. Aprenderemos que es un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.[ El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. Asimilaremos el concepto de las teselaciones que han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, ropas, etc. También muchos artistas han utilizado teselaciones en su trabajo: M.C. Escher es, probablemente, el más famoso de todos ellos. El artista holandés se divirtió teselando el plano con figuras de intrincadas formas, que recuerdan pájaros, peces, animales. Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita.
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TEMA: Las matemáticas y el arte
OBJETIVO GENERAL
Dar a conocer la definición y simbología, que se utiliza en el número áureo, la razón plateada, la constante pi, Los fractales, teselaciones, el rectangulo aureo y sucesión de Fibonacci. La historia de donde surgen, los personajes famosos que influyeron en su creación, fechas importantes. Además de Presentar ejemplos de cómo aplicarlos en el arte.
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TEMA: Las matemáticas y el arte2.1 Numero áureo
Definición
El número áureo se puede definir en que hay dos números positivos los cuales se tomaran a y b llevándonos a la razón aurea si y solo si:
a+ba
=ab=φ
Para llegar al resultado del φ partiendo de la razón aurea tenemos que:
Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:
1+ xx
= x1
Se multiplican ambos lados por x y se redondea:
x2−x−1=0
Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación sean:
x1=1+√52
=φ≈1,61803
x2=1−√52
=−1φ≈−0,61803
La solución positiva es el valor del número áureo.
El número de Oro
A este número inconmensurable se le llama número de oro ó razón áurea, se representa por el símbolo y su valor es aproximadamente 1,61803...
El símbolo para la relación áurea fue propuesto por el matemático americano Mark Barr. La letra fue elegida en honor al escultor griego Phidias (s.V a. C) que solía usar la relación áurea en sus esculturas.
El nombre de "número de oro" se debe a Leonardo da Vinci.
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TEMA: Las matemáticas y el arteLos griegos obtuvieron este número al hallar la relación entre la diagonal del pentágono regular y su lado. Esto hace posible construir un pentágono regular usando regla y compás.
Al trazar las diagonales de un pentágono regular resulta la estrella pentagonal o estrella de Italia, era el símbolo de la escuela pitagórica y servía a los pitagóricos para reconocerse entre sí.
También se halla presente la sección áurea en una figura de resonancias míticas y religiosas como es el pentágono estrellado. Si se observa la siguiente figura es evidente que las diagonales del pentágono que dan lugar a la estrella se cortan en la sección áurea. El pentágono, asimismo, es la base para construir el cuerpo sólido perfecto, el dodecaedro. Platón en el Timeo afirma que el dodecaedro es la materia de la que está hecho el elemento perfecto, el éter, y simboliza además la perfección del Universo.
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Dodecaedro
La sección áurea se encuentra en todas las manifestaciones del arte. Desde Mesopotamia, Egipto y Grecia, hasta nuestros días. Fue estudiada por Pitágoras, Euclides y Vitrubio. En el Renacimiento la investigaron, Uccello, De la Francesca, Paccioli y Alberti. Miguel Ángel, Rafael, Leonardo y Durero la emplearon con mucha frecuencia y aún pintores modernos, como Mondrian, la manejan a menudo. Se emplea igualmente, desde tiempos remotos, en la escultura y en arquitectura.
También está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular con una cara que sigue las citadas proporciones.
Pero lo que quizás nos pueda resultar más curioso es la presencia de la razón áurea en la naturaleza. Hay enigmáticas conexiones de la espiral de los nautilus (un tipo de caracol) y las espirales de los girasoles con la razón áurea.
Se encuentra además en las proporciones de las diferentes partes del hombre o de varios animales, es el patrón de crecimiento de gemas de vegetales, de fósiles y puede identificarse en la forma de las galaxias y en la agrupación de los átomos de algunas substancias. Por lo mismo constituye un elemento técnico importante que ofrece unidad, equilibrio, balance y elegancia en el arte universal
Rectángulo Áureo
Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones... de proporción divina.
Los rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea. Este tipo de rectángulo, como veremos más adelante, lo empleó Phidias en la fachada del Partenón.
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También podemos verlos hoy en la construcción de muebles, en las cajetillas de tabaco, en las tarjetas de crédito, etc.
Construcción Divina
Primero, dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Luego, lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es nuestro maravilloso número áureo
Simbología
La simbología que hace referencia al número áureo es la letra griega Fhi (Φ,φ) que tiene el puesto como vigésima primera letra en el alfabeto antes mencionado.
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Historia (personajes famosos y fechas importantes)
En la antigua Grecia
En la escuela de Pitágoras (570 / 480 antes de JC) se dice "todo está arreglado con el numero". Pitágoras y sus discípulos descubren los segmentos inconmensurables apoyándose sin duda en la proporciona áurea.
Fidias (490 / 430 antes de JC) utilizó la proporción áurea en el Partenón.
Euclides (325 / 265 antes de JC) define la proporción correspondiente al número áureo en los "elementos de geometría". Aunque Euclides no relaciona el numero Phi con nada estético o divino.
Vitrubio (1º siglo antes de JC) arquitecto y ingeniero romano autor de "De Architectura" aborda la importancia de las proporciones en la arquitectura pero sin referencias al número Phi sino al estudio de las proporciones humanas.
Vitrubio (1º siglo antes de JC) arquitecto y ingeniero romano autor de "De Architectura" aborda la importancia de las proporciones en la arquitectura pero sin referencias al número Phi sino al estudio de las proporciones humanas.
En la edad media
Fibonacci (1175 / 1240) recoge los conocimientos de Euclides, su sucesión tiene relación directa con el numero phi.
En el renacimiento
Luca di Borgo (nacido en 1445) también llamado Luca Pacioli utiliza el número Phi en su libro "de divina proportione" ilustrado por Leonardo de Vinci. Aunque este tratado es puramente geométrico nada sobre el arte. Luca Pacioli fue fraile Franciscano y profesor de matematicas.
Leonardo de Vinci reflexiona sobre las proporciones humanas perfectas basada en el número Phi que el denomina "sectio aurea". Menciona la proporción divina en su tratado sobre pintura.
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TEMA: Las matemáticas y el arteJohannes Kepler (1571 /1630) Astrónomo alemán considera el numero phi uno de los grandes tesoros de la geometría.
En el siglo XX
Martin Ohm Matemático alemán escribió sobre la sección Áurea en 1835 en su libro "Die reine elementar-mathematik", también fue el primero en utilizar la denominación phi en honor a Fidias.
Adolf zeising (1810 / 1876) doctor en filosofía y profesor habla de la sección Áurea pero no del punto de vista geométrico o matemático sino sobre la estética y la arquitectura. Busca y encuentra esta proporción en los monumentos clásicos. Es el que introduce el lado mítico y místico del número phi.
Matila Ghyka rumano que escribe sobre el número Phi y lo encuentra en multitud de monumentos pero también en la naturaleza.
Le corbusier arquitecto Francés inventa el "modulator" que es un sistema de proporciones arquitecturales y la rapidez de construcción.
Salvador Dalí utiliza el rectángulo áureo en algunos de sus cuadros.
Aplicación en al arte (pintura, escultura, música, literatura, arquitectura y la naturaleza misma)
Pintura
Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione, quizás la referencia más temprana en la literatura a otro de sus nombres, el de "Divina Proporción". Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea. En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.
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El rostro de la Gioconda proporcionado con rectángulos áureos.
Joaquin Torres Garcia. Constructivo con campana, también realizada en 1932 obra del artista uruguayo Joaquín Torres García (Montevideo, Uruguay; 28 de julio de 1874 —8 de agosto de 1949), titulada Construcción misteriosa (1932).
Construcción misteriosa (1932)
El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.
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Leda atómica de Salvador Dalí.
En "el hombre ideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, es el número de oro.
Leonardo da Vinci estudió en profundidad la aparición de la razón áurea en el Cuerpo Humano. Si se quiere comprobar se puede medir desde tu hombro hasta la punta de los dedos de la mano extendida. El resultado divídelo por la medida desde el codo hasta la punta extendida de los dedos
El hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci
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TEMA: Las matemáticas y el arteEscultura
Un ejemplo "simple" de proporción numérica aplicada al arte es el canon de Policleto, escultor griego del s. V a. C. En su estatua "Doríforo" ("el que lleva la lanza") muestra que el cuerpo humano perfecto ha sido creado de tal manera que su altura es ocho veces la cabeza. Esta es una proporción conmensurable, es decir, que emplea números enteros.
El Doríforo de Policleto s. V a.C.
Existen relaciones basadas en la sección áurea en algunas de las más célebres estatuas griegas como el Hermes de Praxíteles (390-330 a. C.)
Hermes con Dionisio niño.
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Música
El cociente de un término de la sucesión con el anterior tiende al número áureo.
El compositor húngaro Bela Bartok y el francés Olivier Messiaen utilizaron esta serie para determinar la duración de las notas de algunas de sus obras.
El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899 -1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales).
En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea. ¿Intuición?
Tampoco se sabe si fue consciente de ello, pero en su Quinta Sinfonía Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la sección áurea.
Arquitectura
El cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.
Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.
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Los griegos también la emplearon en sus construcciones, especialmente Phidias en El Partenón. La fachada del Partenón está construida sobre rectángulos áureos.
Partenón
Naturaleza
En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracoles.
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2.2 La razón Plateada
El número plateado o razón plateada es una constante matemática. Su nombre es una alusión a la razón áurea; análoga a la forma en que el número áureo es la proporción limitante de la sucesión de Fibonacci, el número plateado es la proporción limitante de la sucesión de Pell. El término número plateado a veces es confundido con el número plástico.
La razón plateada (δS) es un número irracional definido por la suma de 1 y la raíz cuadrada de 2. Esto es:
Se sigue de esta definición que:
Fracción continua
En fracción continua, la razón plateada [2,2,2,...] se expresa:
Propiedades
No equidistribución mod 1
En las aproximaciones diofánticas, la secuencia de partes fraccionales de
xn, n = 1, 2, 3, ...
Se puede ver que la equidistribución mod 1, para casi todos los números reales que x > 1. La razón plateda es una excepción.
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TEMA: Las matemáticas y el arte Potencias de la razón plateada
Las potencias inferiores de la razón plateada son:
Las potencias continúan con el patrón
donde
Por ejemplo, empleando esta propiedad:
Empleando y como condición inicial, una fórmula tipo-Binet daría la solución en forma recurrente...
lo cual acaba siendo...
Expresiones plateadas
La expresión general se conoce con el nombre de expresión plateada. La razón dorada es una expresión plateada para n = 1, mientras que la razón plateada es para n = 2. Los valores de las diez primeras razones plateadas se muestran a la derecha.[1]
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Expresiones plateadas
0 0 + √1 1
1 ½ + √1¼ 1.618033989
2 1 + √2 2.414213562
3 1½ + √3¼ 3.302775638
4 2 + √5 4.236067978
5 2½ + √7¼ 5.192582404
6 3 + √10 6.162277660
7 3½ + √13¼ 7.140054945
8 4 + √17 8.123105626
9 4½ + √21¼ 9.109772229
Propiedades de la razón plateada
Estas propiedades sólo son válidas para enteros m; para números no enteros las propiedades son similares, pero difieren ligeramente. Las propiedades mostradas más abajo para las potencias de la razón plateada son una consecuencia de las propiedades que muestran. Para la expresión de la razón plateada S de m, la propiedad puede generalizarse como
donde
Empleando las condiciones iniciales and , esta relación recurrente llega a ser ...
UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIAMatemática IV
TEMA: Las matemáticas y el arteLas potencias de la razón plateada poseen otras propiedades interesantes:
Si n es un número entero positivo y par:
Además,
También,
La media de la razón plateada S de m también tiene la propiedad que:
lo cual significa que la media de la expresión plateada tiene la misma parte decimal que la correspondiente expresión plateada. Empleando esta propiedad, la expresión de la razón plateada definida para todos los números debe satisfacer:
Si expandimos la expresión de la razón dorada S de m tal que
donde a es la parte entera de S y b, entonces la siguiente propiedad es cierta:
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Por ser (para todos los m mayores que 0), la parte entera de Sm = m, a=m. Para m>1, donde tenemos que
Por lo tanto, la expresión de la razón plateada de m es una solución de la ecuación
Es interesante resaltar que la expresión de la expresión S of −m es la inversa de la expresión S de m.
Otro resultado interesante se puede obtener mediante un ligero cambio en la fórmula de la expresión. Si consideramos un número
entonces las siguientes propiedades son ciertas:
si c es real,
si c es un múltiplo de i.
En el cuadro de Dalí de título “Hyperxiological sky”, [2], se combinan losrectángulos de proporción p2 y su descomposición en cuadrados y rectángulosde plata. Ver figura
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.: Hyperxiological sky:.
2.3 HISTORIA DE CONSTANTE PI (π)
La constante matemática pi (3.14159...), ese misterioso número que en ciencias como física y matemática se nos aparece hasta en la sopa, describe la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Fue bautizada así por lo griegos ya que pi es la primera letra de la palabra perímetro en griego y con ese nombre ha llegado hasta nosotros (aunque es conocida desde tiempos más remotos). Muy probablemente pi sea el número más famoso y estudiado en la historia de las matemáticas.
Un versículo poco conocido de la Biblia dice:Hizo una fuente de metal fundido que medía 10 codos de diámetro: era completamente redonda, y su altura era de 5 codos y una línea de 30 codos lo rodeaba. (I Reyes 7, 23) El mismo versículo puede encontrarse en II Crónicas 4, 2. Aquí aparece en una lista de especificaciones para el gran templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C. y su interés aquí radica en que da un valor de π = 3. No es un valor muy preciso, desde luego, e incluso no muy preciso para su época, lo egipcios y mesopotámicos habían dado valores de 25 / 8 = 3,125 y de √10 = 3,162 respectivamente en épocas mucho más recientes: aunque en defensa de los artesanos de Salomón debería hacerse notar que el elemento que se describe parece ser una pieza de metal fundida muy grande, donde un alto grado de precisión geométrica no es posible ni necesario.
El hecho de que la razón de la circunferencia al diámetro de un círculo es constante ha sido conocido durante tanto tiempo que es casi imposible de rastrear. Los primeros valores para pi que incluyen el valor 'bíblico' de 3, fueron casi con certeza encontrados mediante medida. En el Papiro Egipcio de Rhind, que data del 1650 a. C., hay buenas pruebas para tomar 3.16 como valor para π.
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El papiro de Rhind
La letra griega Pi, (π) es usada en matemáticas como el símbolo del cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el valor de Pi se encuentra entre 3 + y 3 + .
El primer cálculo teórico parece haber sido llevado a cabo por Arquímedes, cosa que hoy desconoce mucha gente, que π no es igual a 22 / 7, y no hizo ninguna afirmación de haber descubierto el valor exacto. Si tomamos su mejor aproximación como la media de estos dos límites obtenemos 3.1418, un error de aproximadamente 0,0002.Además de Arquímedes distintas personas lo hicieron, entre los que podemos mencionar están:
Nombre Año Precisión
Ptolomeo 150 a. C. 3,1416
Zu Chongzhi430-501 a. C.
355 / 113
al-Khwarizmi 800 3,1416
al-Kashi 1430 14 dígitos
Viète 1540-1603 9 posiciones
Roomen 1561-1615 17 posiciones
Van Ceulen 1600 17 posiciones
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TEMA: Las matemáticas y el artePara Zu Chongzhi, sobre quién no sabemos prácticamente nada y que es muy improbable que conociese el trabajo de Arquímedes, no se produjo ningún avance teórico en estas mejoras, solo mayor energía en el cálculo. Nota como, al igual que en todas las cuestiones científicas, el liderazgo pasó de Europa hacia el Este desde el milenio que va del 400 al 1400 D. C.
El símbolo π fue usado por primera vez para representar esta razón en 1706 por el matemático inglés William Jones, pero su uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737. En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que π es un número trascendente —esto es, no puede ser la raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. De esta manera, Lindemann fue capaz de demostrar la imposibilidad de la cuadratura del círculo algebraicamente o usando la regla y el compás.
Aunque es un número irracional, es decir, tiene un número infinito de cifras decimales, se puede calcular con la exactitud deseada utilizando series. Ha sido calculada con cien millones de cifras decimales utilizando ordenadores, aunque esta precisión carece de utilidad práctica.
Antes que existieran los ordenadores hubieron personas, que pudieron calcular varias cifras decimales, entre los que sobresalen:
1699: Sharp usó el cálculo de Gregory para obtener 71 dígitos correctos
1701: Machin usó una mejora para obtener 100 dígitos. Los siguientes usaron sus métodos
1719: de Lagny encontró 112 dígitos correctos
1789: Vega obtuvo 126 lugares y en 1794 obtuvo 136
1841: Rutherford calculó 152 dígitos y en 1853 obtuvo 440
1873: Shanks calculó 707 posiciones, de las cuales 527 eran correctas
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PI en geometría.
De todas las figuras planas con igual perímetro, el círculo es la de mayor área. El cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es una constante que se representa como , o pi. El área del círculo es igual a multiplicado por el cuadrado del radio.
Es una de las constantes matemáticas más importantes y desempeña un papel fundamental en muchos cálculos y demostraciones en matemáticas, física y otras ciencias, así como en ingeniería. Pi es aproximadamente 3,141592, aunque considerar 3,1416, o incluso 3,14, es suficiente para la mayoría de los cálculos
En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).
2.4 LOS FRACTALES
La geometría surgió para el hombre como una necesidad, con el objetivo de medir la tierra.Posteriormente olvidó, como tantas otras ciencias, sus orígenes. Hizo uso desde un principio de la intuición y el razonamiento y progresó durante siglos incursionando otras ciencias. Investigó además la medida y la forma del universo, pero siempre pensando en un universo estable y ordenado, aprehensible mediante la intuición, previsible y racional.En nuestro siglo la idea del universo fue cambiando: la Geometría Clásica no es capaz de dar respuesta a un universo en el que tiene cabida el caos, el azar, en el que se combina lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande: las partículas elementales y el cosmos.Aparecieron otras Geometrías (u otras ramas de la Geometría), que reconvirtieron a esta ciencia en el estudio de las ciencias de la realidad y en el arte, entre el orden y el caos.
Es complicado dar una definición general de fractales porque muchas de estas definiciones no se pueden aplicar a todas las familias de fractales existentes. Sin embargo, todos los fractales tienen algo en común, ya que todos ellos son el producto de la repetición, de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación aparente extraordinaria. Es decir que cada
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TEMA: Las matemáticas y el arteporción del objeto tiene la información necesaria para reproducirlo todo, y la dimensión fractal no necesariamente entera.
El matemático francés Benoit Mandelbrot acuñó la palabra fractal en la década de los 70, derivándola del adjetivo latín "fractus". El correspondiente verbo latino: frangere, significa romper, crear fragmentos irregulares.
Fractal, en matemáticas, figura geométrica con una estructura compleja y pormenorizada a cualquier escala. Normalmente los fractales son autosemejantes, es decir, tienen la propiedad de que una pequeña sección de un fractal puede ser vista como una réplica a menor escala de todo el fractal. Un ejemplo de fractal es el “copo de nieve”, curva que se obtiene tomando un triángulo equilátero y colocando sucesivos triángulos, cada vez de menor tamaño, en el tercio medio de los lados cada vez más pequeños. En teoría, el resultado es una figura de superficie finita pero con un perímetro de longitud infinita, y con un número infinito de vértices. En el lenguaje matemático del cálculo, dicha curva no se puede diferenciar. Se pueden construir muchas de estas figuras repetitivas aunque desde su aparición en el siglo XIX se habían considerado como un concepto extravagante.
Un cambio decisivo en el estudio de los fractales ocurrió con el descubrimiento de la geometría fractal por el matemático francés de origen polaco Benoît B. Mandelbrot en la década de los setenta. Mandelbrot utilizó una definición de dimensión mucho más abstracta que la usada en la geometría euclídea, afirmando que la dimensión de un fractal se debe usar como un exponente al medir su tamaño. El resultado es que no se puede considerar estrictamente que los fractales existen en una, dos o un número entero de dimensiones, sino que se han de manejar matemáticamente como si tuvieran dimensión fraccionaria. La curva del “copo de nieve” tiene una dimensión fractal de 1,2618.
La geometría fractal no es solamente una idea abstracta. Un litoral, considerado desde el punto de vista de su irregularidad más pequeña, tendería hacia una longitud infinita, lo mismo que ocurre con el “copo de nieve”. Mandelbrot sugirió que las montañas, nubes, rocas de agregación, galaxias y otros fenómenos naturales son similares a los fractales, por lo que la aplicación de la geometría fractal a las ciencias es un campo que está creciendo rápidamente. Además, la belleza estética de los fractales los ha convertido en elemento fundamental de los gráficos por ordenador o computadora.
Los fractales también se usan en ordenadores para reducir el tamaño de fotografías e imágenes de vídeo. En 1987, el matemático inglés Michael F. Barnsley descubrió la transformación fractal, capaz de detectar fractales en fotografías digitalizadas. Este descubrimiento engendró la compresión fractal de imágenes, utilizada en multimedia y otras aplicaciones basadas en la imagen.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
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TEMA: Las matemáticas y el arte Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos
tradicionales. Posee detalle a cualquier escala de observación. Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística). Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su
dimensión topológica. Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
Benoît B. Mandelbrot (1924- )
Matemático polaco, nacionalizado francés, que desarrolló la geometría fractal como campo independiente de las matemáticas. Nació en Varsovia y estudió en universidades de Francia y de Estados Unidos, obteniendo el doctorado en matemáticas en la Universidad de París en 1952. Ha enseñado economía en la Universidad de Harvard, ingeniería en Yale, fisiología en el Colegio Albert Einstein de Medicina, y matemáticas en París y Ginebra. Desde 1958 ha trabajado como miembro de IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson en Nueva York. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión de la que caracteriza a la geometría convencional. Cada vez tiene más aplicaciones en diferentes áreas de la ciencia y de la tecnología.
Los ejemplos clásicos
Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto.
Sucesivos pasos de la construcción de la curva de Koch
Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después, su alfombra.
Construcción de la alfombra de Sierpinski:
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Paso 1 (semilla) Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5
Estos conjuntos mostraban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos como objetos artificiales, una "galería de monstruos", como los denominó Poincaré. Pocos matemáticos vieron la necesidad de estudiar estos objetos en sí mismos.
En 1919 surge una herramienta básica en la descripción y medida de estos conjuntos: la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.
Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch
Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:
La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa, nubes, árboles, etc. Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos.
Dimensión de fractales producidos por un IFS. (Sistemas de Funciones Iteradas)
En ese caso, cuando no haya solapamiento, se demuestra que DF = DH y que ambas pueden calcularse como solución de la ecuación:
donde ci designa el factor de contracción de cada aplicación contractiva del IFS.
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TEMA: Las matemáticas y el arte La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición más
compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.
Autosimilitud estadística de un fractal generado por el proceso de agregación por difusión limitada.
Los conjuntos de Julia
Estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los años 1920, surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas
.
Analicemos el caso particular de funciones polinómicas de grado mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a . Al conjunto de valores de que no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto de Julia.
Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.
Ejemplos de conjuntos de Julia para fc(z) = z2 + c
En negro, conjunto de Julia Conjunto de Julia relleno
Conjunto de Julia relleno asociado a fc, c=-0.835-0.2321i
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TEMA: Las matemáticas y el arte
relleno asociado a fc, c=φ-2, donde φ es el número áureo
asociado a fc, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.4+0.6i
En negro, imagen del conjunto de Mandelbrot superpuesto con los conjuntos de Julia rellenos representados por algunos de sus puntos (en rojo los conjuntos de Julia conexos y en azul los no conexos).
Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot
La familia de conjuntos de Julia {fc}, asociadas a la reiteración de funciones de la forma fc(z) = z2 + c presenta conjuntos de una variedad sorprendente.
Dicha familia tendrá especial relevancia al quedar parametrizada en un mapa de fractales llamado conjunto de Mandelbrot. Este conjunto M representa un mapa en que cada pixel, correspondiente a un valor del parámetro , se colorea de modo que refleje una propiedad básica del conjunto de Julia asociado a fc. En concreto, si el conjunto de Julia asociado a fc es conexo.
Características de un fractal Autosimilitud
Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.
Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:
Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).
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Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.
Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.
Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:
Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de aplicaciones: el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el copo de nieve de Koch o la Esponja de Menger, son algunos ejemplos.
Fractales de algoritmos de Escape, definidos por una relación de recurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo): el conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, y el fractal de Lyapunov.
Fractales aleatorios, generados por procesos estocásticos, no deterministas: el movimiento browniano,el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los árboles brownianos. Éstos últimos son producidos por procesos de agregación por difusión limitada.
Aplicaciones
Se han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinas científicas.
Compresión de imágenes
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TEMA: Las matemáticas y el arte
Comprimir la imagen de un objeto autosemejante como el helecho de la figura no es difícil: haciendo uso del teorema del collage, debemos encontrar un IFS, conjunto de transformaciones que lleva la figura completa (en negro) en cada una de sus partes autosemejantes (rojo, azul celeste y azul marino). La información sobre la imagen quedará codificada en el IFS, y la aplicación reiterada de dichas transformaciones permite obtener la imagen procesada en cuestión.
Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchas imágenes reales: no esperamos, por ejemplo, que la imagen de un gato presente pequeños gatitos distorsionados sobre sí mismo. Para solventarlo, en 1989 Arnaud Jacquin creó el esquema de sistemas de funciones iteradas particionadas: en él se subdivide la imagen mediante una partición y para cada región resultante se busca otra región similar a la primera bajo las transformaciones apropiadas.
El esquema resultante es un sistema de compresión con pérdidas, de tiempo asimétrico. Lamentablemente aún se tarda mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy rápida. La compresión, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresión JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por uno u otro sistema.
Modelado de formas naturales
Fracción de un fractal Mandelbrot.
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TEMA: Las matemáticas y el arteLas formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (Las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja).
Sistemas dinámicos
Un atractor extraño: el Atractor de Lorenz.
Pero además las formas fractales no sólo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos. Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos los cuales forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo. Las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.
En manifestaciones artísticas
Imagen generada con el programa Apophysis.
Se usan tanto en la composición armónica y rítmica de una melodía como en la síntesis de sonidos. Esto se debe al uso de lo que en composición se llaman "micromodos", o pequeños grupos de 3 notas, a partir de los cuales uno puede trabajarlos de manera horizontal (melódica), o vertical (armónica). A su vez, el
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TEMA: Las matemáticas y el arteritmo puede ser trabajado en sucesiones temporales específicas, que son determinadas por sucesiones de fractales.
Literatura y poesía
Se usan también como punto de unión entre el arte y la ciencia, un ejemplo de eso es el científico-poeta chileno-alemán Mario Markus.
Artes gráficas
Con programas informáticos como Apophysis o Ultra Fractal se pueden hacer imágenes con técnicas diversas; cambiando parámetros, geometría de triángulos o con transformaciones aleatorias (a veces llamadas "mutaciones").
Extrapolación de conceptos a Ciencias Sociales
Varias ciencias particulares pueden hoy aprovechar los conceptos de la teoría de fractales en sus respectivas áreas de conocimiento. Incluso se han encontrado ejemplos de objetos fractales en ciencias sociales como la economía. Una extrapolación demasiado esquemática de la geometría fractal a las ciencias sociales será siempre una utopía, ya que la sociedad no es precisamente una abstracción matemática. Una sociedad no puede hallar una ecuación sumaria que genere una estructura determinada, por el simple hecho de que los pilares de una sociedad son más elásticos que simples coordenadas ideales. Sí que se da lo que la teoría del caos se denomina "sensibilidad extrema" a los "estados iniciales" de un proceso, que pueden redundar en drásticos cambios pasado un tiempo del inicio, como postula la Teoría del Caos, ¿No puede una crisis económica (nacional) repercutir sobre todo el sistema de la economía mundial?
Con el estudio del genoma humano, lo que se está tratando de hacer es sacar las leyes que rigen el desarrollo del ser humano, haciendo posible predecir fenómenos que antes eran imposibles de estudiar. Sin embargo, la sociedad no tiene un "ADN" tan rígido como el ser humano. El análisis del "ADN social", o sea, de todas sus tendencias internas de desarrollo, puede realizarse siguiendo los parámetros de esta teoría. Dicho de otra manera, es una forma novedosa que puede tomar el método dialéctico que funda Marx.
Marx también estudió otras ecuaciones sumarias que engendraban a la estructura capitalista mundial: Una de ellas era la propiedad privada de los medios de producción. Estudió cómo se desarrollaría este fenómeno histórico. Y sacó la conclusión de que la propiedad privada tendía al monopolio. Pero no pudo determinar "exactamente" el porvenir del sistema, ya que el capitalismo no tiene un ADN que permita predecir con exactitud su desarrollo diacrónico, histórico. Y si lo tuviera, en tiempos de Marx nadie lo entendería aún.
UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIAMatemática IV
TEMA: Las matemáticas y el artePor ello, las ciencias sociales se baten entre las ciencias duras y las blandas. No llega a ser una "ciencia dura" por esta imposibilidad de hallar leyes precisas. Pero puede hallar leyes elásticas, que acerquen al objeto de estudio sin renunciar a la ciencia. El método que puede servir para ello es la teoría del caos y los fractales.
En esto se relacionan la teoría de fractales y la teoría del caos, las cuales son parte de un mismo y novedoso paradigma emergente en la Dogmatismo. La teoría de Sistemas de Ludwig von Bertalanffy también tiene sus aportes para hacer, al igual que la Teoría de las catástrofes, de René Thom.
Música Fractal
Música y matemática siempre tuvieron una cercana relación. Desde Pitágoras se sabe que la armonía de tono está íntimamente vinculada a la frecuencia numeral.
Otra aplicación de los fractales aparentemente irrelevante es la música fractal. Ciertas músicas, incluyendo las de Bach, Beethoven y las de Mozart, cumplen con
las propiedades fractales.
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TEMA: Las matemáticas y el arte
Una simple pieza de la música de Beethoven, la "Primera Escossaien" muestra líneas con un análisis formal; son un total de 32 unidades o compases que se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una: A (1 a 16), B (17 a 32), y a la vez se dividen en 2 períodos: A (1y2) y B (3y4), que se fraccionan en 2 partes: (a y a') compuestas por 4 unidades (1,2,3,4) agrupadas cada una de a 2 (1y2) que serán definidas y diferenciadas con letras y números.Presenta esta melodía un balance simétrico de 2 partes. Cada sucesiva
UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIAMatemática IV
TEMA: Las matemáticas y el artesubdivisión de 32 unidades es una unidad binaria y una réplica más pequeña de la unidad más larga que la contiene. Sus divisiones forman motivos y pequeñas unidades de estructuras binarias autosimilares. "Períodos" y "Secciones" son construcciones de pequeñas unidades acumuladas dentro de un gran grupo binario (A y B). La forma binaria es, probablemente la más corriente en la música encontrándose distintas variedades de esta forma. Incluso la forma ternaria (ABA) está constituida sobre motivos binarios y también las forma sonata.Cada sección (A y B) son construcciones con unidades binarias. Desde entonces sinfonías y conciertos usan formas sonatas teniendo el mismo tipo de estructura jerárquica.La forma de "Escossaien" de Beethoven no es una excepción entre las composiciones musicales, muchas composiciones son estructuradas de manera similar con unidades de 4 y de 2 compases.
Otro ejemplo es el Scherzo, construido sobre un compás de 3 tiempos, tiene un motivo claramente identificable: 2 corcheas y una negra ( ) como acorde desplegado en forma descendente.El principal motivo consiste en 2/8 (dos corcheas) agregadas en conjunto en 1/4 (una negra) como acorde.
UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIAMatemática IV
TEMA: Las matemáticas y el arteEste motivo ternario (porque está compuesto por 2 corcheas y una negra(2+1=3)), es repetido en todas las partes del Scherzo. El Scherzo tiene formas ternarias y binarias en varias escalas.Estas combinaciones son abundantes en toda la literatura musical.Las formas fractales fueron generadas al usar una simple fórmula repetitiva y una "semilla" o "motivo". Esta semilla es la forma básica usada para generar un fractal.Todas las partes de un árbol pueden ser hechas por una línea geométrica básica y una simple regla de transformación.
Música generada por software:
En los últimos años, estalló un nuevo campo de ciencias: caos, fractales y autosimilitud, dentro de las cuáles se desarrolló una nueva forma de edición musical generada por diferentes programas:
Musinum: es un programa gratuito de sonificación que convierte números dentro de la generativa música Fractal. Este suma los dígitos en números binarios y cada una de las sumas es una "nota".
Nº decimales Nº binarios Suma de dígitos Tono 2º 4º
1 1 1 c
2 10 1 c c
3 11 2 d .
4 100 1 c c c
5 101 2 d . .
6 110 2 d d .
7 111 3 e . .
8 1000 1 c c c
9 1001 2 d . .
10 1010 2 d d .
11 1011 3 e . .
12 1100 2 d d d
13 1101 3 e . .
14 1110 3 e e .
15 1111 4 f . .
16 10000 1 c c c
K*OS: para producir una canción en este programa se debe crear por lo menos tres fractales. Los cuales pueden ser usados para el ritmo, estructura o melodía de
UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIAMatemática IV
TEMA: Las matemáticas y el artela canción. Si está siendo usado para la melodía., luego se elige el instrumento a utilizar.
MUSICA GA: es una demostración interactiva fácil para el usuario de un algoritmo genético. El paso interactivo, la frecuencia mutación y recombinación (operadores genéticos) son todas controladas por el usuario. Cada serie de notas musicales es representada en forma binaria en un orden de 128 elementos de largo. Esto permite un máximo de 30 notas por melodía y provee una solución con aproximadamente 3.4* 10 ^ 38 melodías posibles. El GA debe ser capaz de encontrar una cercana melodía óptima después de buscar sólo una fracción de espacio de solución.
2.4.1 Teselaciones.
Si tenemos nuestra disposición una provisión infinita de piezas de rompecabezas, pero todas iguales: se dice que la pieza es teselante cuando es posible acoplarlas entre sí sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el plano; la configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre teselación.
Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, ropas,.......
UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIAMatemática IV
TEMA: Las matemáticas y el arteTambién muchos artistas han utilizado teselaciones en su trabajo: M.C. Escher es, probablemente, el más famoso de todos ellos. El artista holandés se divirtió teselando el plano con figuras de intrincadas formas, que recuerdan pájaros, peces, animales...
Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita. Los matemáticos y en particular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales; incluso las más sencillas de estas plantean problemas colosales.
Algunas teselaciones importantes.
Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la teselación es regular.
Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares: la malla de triángulos equiláteros, el reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez y la configuración hexagonal, como la de los paneles.
Teselación de Triángulos.
Teselación de Cuadrados.
Teselación de Hexágonos .
Teselaciones.
UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIAMatemática IV
TEMA: Las matemáticas y el arteLos trabajadores de la construcción hacen paredes y suelos montando grandes cantidades de cuerpos sólidos geométricos, la mayoría de las veces, idénticos. Muchas aceras, calzadas, zócalos, frisos e incluso paredes completas se hacen con losetas de diferentes tamaños, formas y unidas entre sí en distintas posiciones.
A las losetas que cubren una superficie plana y se ajustan bien entre sí, sin dejar huecos ni montarse unas encima de otras, se les llaman teselas. Cuando una superficie se puede cubrir perfectamente en todas las direcciones con este tipo de losetas o teselas, decimos que hemos realizado una teselación.
La figura A es un pentominó, con ella podemos rellenar el plano, es decir, podemos hacer una teselación -figura B-. Observen que no deja huecos ni se monta una sobre otra.
Utilizando los polígonos regulares que se dan, investigar cuál o cuáles de ellos pueden ponerse alrededor de un vértice sin que dejen huecos ni se monten unos encima de otros. Combinando más de un polígono regular, construir distintas Teselaciones.
El rectángulo áureo.
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial a travez de un arco de circunferencia (como se muestra en la figura) de esta manera obtenemos el lado mayor de un rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro del teorema de Pitágoras (ver
siguiente figura) que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es
(nuestro número de oro).
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Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...).
Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.
En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán entonces:
Vamos a demostrar que los vectores
y son proporcionales; en efecto:
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Por lo tanto, los tres puntos están alineados.
Construcción de un rectángulo áureo.
1. El rectángulo áureo; Si en un rectángulo áureo dividimos la longitud del lado largo entre la longitud del lado corto nos da el número de oro.
2. Como construir un rectángulo áureo En una hoja de papel dibuja un cuadrado y desde el punto medio de la base traza un segmento hasta el vértice D Aquí tienes tú rectángulo áureo D M Con centro en M, traza un arco de circunferencia y prolonga la base del cuadrado. La altura del rectángulo es la misma que la del cuadrado
3. Ahora apliquemos algebra para calcular el valor del numero áureo Fhi mediante la siguiente relación a b a Ahora solo te queda sustituir el valor de a como x y el de b como el valor de 1 y queda Puedes solucionar este polinomio por formula general o completando trinomio cuadrado perfecto
4. Teniendo como solución el número áureo Como el numero Fhi tiene una infinidad de decimales podemos decir entonces que se trata de un número irracional
5. La espiral de Durero En 1525, tres años antes de morir, el genial pintor renacentista y gran enamorado de las Matemáticas, Alberto Durero (1471-1528) publica una obra titulada Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas. Es un precioso libro en el que pretende enseñar a los artistas, pintores y matemáticos de la época diversos métodos para trazar diversas figuras geométricas. En esta obra Durero muestra cómo trazar con regla y compás algunos espirales y entre ellas una que pasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero.
2.5 El Rectángulo de aureoEl Rectángulo áureo, Rectángulo de auri, también denominado rectángulo de oro o rectángulo Φ, es el rectángulo cuyos lados están en razón áurea. Si b y h son los lados, b/h = Φ. Para construirlo a partir de un cuadrado de lado AB, basta con determinar el punto medio M de uno de los lados AB, y trazar, con centro en el punto M, una circunferencia que pase por uno de los vértices C del lado opuesto.
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Leonardo da Vinci, en su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos
áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles
de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo
áureo.
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Teselación de Penrose
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Una teselación de Penrose
Una Teselación de Penrose o suelo de baldosas de Penrose es una teselación no periódica generada por un conjunto aperiódico de baldosas prototipo nombradas después por Roger Penrose, quien investigó esos conjuntos en la década de los 70s. Debido a que todas las teselaciones obtenidas con las baldosas de Penrose no eran periódicas, las teselaciones de Penrose han sido consideradas como teselaciones aperiódicas. Entre el infinito número de posibles teselaciones hay dos que poseen eje de simetría y una simetría rotacional de orden cinco, como en el diagrama mostrado a la derecha, y el término de Teselación de Penrose usualmente se refiere a esos.
Un teselación de Penrose tiene varias propiedades remarcables, la mayoría son notables:
Es no periódica, lo cual significa que carece de simetría translacional alguna. Para mayor información, una copia desplazada nunca concordará con el original de forma exacta.
Cualquier región finita en una teselación aparece un número infinito de veces en esa teselación y de hecho, en cualquier otra teselación. Esta propiedad podría ser trivialmente verdadera en una teselación con simetría translacional, pero es no trivial cuando se aplica en las teselaciones no periódicas de Penrose.
Es un quasicristal: implementadolo como una estructura física una teselación de Penrose producirá una difracción de Braga, el difragtograma revela la simetría subyacente de orden cinco y el orden en un margen amplio. Este orden refleja el factor por el cual la teselación está organizada, no a través de simetría rotacional, pero si a través de un proceso algunas veces llamado “deflación” o “inflación”.
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TEMA: Las matemáticas y el arteRobert Ammann descubrió de forma independiente la teselación al mismo tiempo que Penrose.
2.6 Sucesión de Fibonacci
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.
A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.
Contenido
Historia
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La sucesión de Fibonacci en términos de conejos.
Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.), Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.[1]
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".[2]
Dicho de otra forma, sirve para conocer el número de conejos (parejas de conejos) que habrá en 12 meses, si estos se reproducen continuamente y cada pareja de conejos produce una nueva pareja de conejos (un macho y una hembra). Cada conejo se puede cruzar a la edad de un mes, siendo su periodo de gestación un mes. Siendo así, se tiene que:
Número de Mes
Explicación de la genealogíaParejas de
conejos totales
Fin del mes 0 0 conejos vivos.0 parejas en total.
Comienzo del mes 1
Nace una pareja de conejos (pareja A).1 pareja en total.
Fin del mes 1La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.
1+0=1 pareja en total.
Fin del mes 2La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A.
1+1=2 parejas en total.
Fin del mes 3La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.
2+1=3 parejas en total.
Fin del mes 4Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.
3+2=5 parejas en total.
Fin del mes 5 A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un 5+3=8 parejas
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TEMA: Las matemáticas y el artemes. Se cruzan A, B, C, D y E. en total.
Fin del mes 6A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.
8+5=13 parejas en total.
... ... ...
Fin del mes 12 ... ...
Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.[3]
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea fi ( ) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
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TEMA: Las matemáticas y el arte[editar] Definición formal
Chimenea con la secuencia de Fibonacci
Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones
(1)
(2)
(3) para
Esto produce los números
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y así sucesivamente de manera infinita.
Representaciones alternativas
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.
[editar] Función generadora
Una función generadora para una sucesión cualquiera es la función
, es decir, una serie de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora
(4)
Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:
[editar] Fórmula explícita
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia
con las condiciones iniciales
y
El polinomio característico de esta relación de recurrencia es t2 − t − 1 = 0, y sus raíces son
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De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma
Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes b y d satisfacen la ecuación anterior cuando n = 0 y n = 1, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene
Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como
(5)
Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo
de manera que la ecuación (5) se reduce a
(6)
Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional
. De hecho, la relación con este número es estrecha.
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TEMA: Las matemáticas y el arte[editar] Forma matricial
Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones
Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como
Conociendo a f0 = 0 y f1 = 1, al aplicar la fórmula anterior n veces se obtiene
(7)
Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar la matriz, facilitando así la operación de potenciación, y obteniendo por tanto la fórmula explícita para la sucesión que se especificó arriba.
y más aún
(8)
Estas igualdades pueden probarse mediante inducción matemática.
[editar] Propiedades de la sucesión
Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo (véase Número áureo).
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TEMA: Las matemáticas y el arteLos números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly[4] dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:
La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:
Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.
Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, 17 = 13 + 3 + 1, 65 = 55 + 8 + 2.
Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo m, para cualquier m.
La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada
forma de Binet (de Jacques Binet). Si y , entonces
y
Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir
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TEMA: Las matemáticas y el arte Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a
uno dado es 2 veces éste número menos el número 2 posiciones más atrás:fn + 1 = fn * 2 − fn − 2
La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la posición n + 2 menos uno. Es decir
Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:
Si , entonces para cualquier
(Identidad de Cassini)
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Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.
(con φ = número áureo)
El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. Más específicamente
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Esto significa que y son primos relativos y que divide exactamente
a
Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal. Es decir que para cualquier ,
y más aún
Si fp = a, tal que a es un número primo, entonces p también es un número primo, con una única excepción, f4 = 3; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
La suma infinita de los términos de la sucesión es exactamente . La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces
superior al séptimo número de la serie. El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números.
Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada números.
Generalización
Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.
UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIAMatemática IV
TEMA: Las matemáticas y el arteEl concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión puede expandirse al conjunto de los números enteros como
de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente. Para poder
definir los índices negativos de la sucesión, se despeja de la ecuación (3) de donde se obtiene
De esta manera, si n es impar y si n es par.
La sucesión se puede expandir al campo de los números reales tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación (6)) cuando n es cualquier número real. La función resultante
tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:
para cualquier número real x
Una sucesión de Fibonacci generalizada es una sucesión donde
(9) para
Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no necesariamente comienza en 0 y 1.
Una característica notable es que, si es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces
Por ejemplo, la ecuación (7) puede generalizarse a
UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIAMatemática IV
TEMA: Las matemáticas y el arteEsto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números de Fibonacci.
[editar] Sucesión de Lucas
Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales.
Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la sucesión de Lucas, descrita por las ecuaciones
para
La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:
La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir
La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es
La suma de los primeros n números de Lucas es el número que se encuentra en la posición n + 2 menos uno. Es decir
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Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad
Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad
Algoritmos de cálculo
Calculando f7 usando el algoritmo 1.
Para calcular el n-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen varios algoritmos (métodos). La definición misma puede emplearse como uno, aquí expresado en pseudocódigo:
Algoritmo 1 Versión recursiva (Complejidad )
función
si entonces
devuelve
si no
devuelve
Usando técnicas de análisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo 1 requiere efectuar fn + 1 − 1 sumas para poder encontrar el
resultado. Dado que la sucesión fn crece tan rápido como , entonces el
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algoritmo está en el orden de . Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular f50 este algoritmo requiere efectuar 20365011073 sumas.
Para evitar hacer tantas cuentas, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6), sin embargo, dado que es un número irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es utilizando una aproximación de y obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero incorrecto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado
aun cuando el resultado correcto es f50 = 12586269025. Este error se hace cada vez más grande conforme crece n.
Un método más práctico evitaría calcular las mismas sumas más de una vez.
Considerando un par de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci,
el siguiente par de la sucesión es , de esta manera se divisa un algoritmo donde sólo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que usaríamos normalmente para hacer el cálculo a lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:
Algoritmo 2 Versión iterativa (Complejidad )
función
para desde hasta hacer
devuelve
Esta versión requiere efectuar sólo n sumas para calcular fn, lo cual significa que este método es considerablemente más rápido que el algoritmo 1. Por ejemplo, el algoritmo 2 sólo se requiere efectuar 50 sumas para calcular f50.
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Calculando f100 usando el algoritmo 3.
UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIAMatemática IV
TEMA: Las matemáticas y el arteUn algoritmo todavía más rápido se sigue partiendo de la ecuación (8). Utilizando leyes de exponentes es posible calcular xn como
De esta manera se divisa el algoritmo de tipo Divide y Vencerás donde sólo se requeriría hacer, aproximadamente, log2(n) multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma
De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores a y b, y su cuadrado se puede calcular como
Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:
Algoritmo 3 Versión Divide y Vencerás (Complejidad )
función
si entonces
devuelve
mientras hacer
si es impar entonces
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devuelve
A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular f100, en vez de hacer las 573147844013817084100 sumas del algoritmo 1 o las 100 sumas con el algoritmo 2, el cálculo se reduce a tan sólo 9 multiplicaciones matriciales.
La sucesión de Fibonacci en la cultura popular
Sucesión de Fibonacci in art, Martina Schettina 2008, 40 x 40 cm
En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière.
En el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, los patrones de la batería (Danny Carey) de la canción "Lateralus" siguen la Sucesión de Fibonacci del número 13 (número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...
En la miniserie Taken, la Sucesión de Fibonacci, como la Ecuación de Dios, es descubierta en los planes de los extraterrestres, en ejemplos como que sus naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597 avistamientos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la hibrida humano-extraterrestre Allie, y que finalmente el número
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TEMA: Las matemáticas y el artede abducidos era de 46368. Incidentalmente se habla en de un hombre que fue abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13, 55, 1597, 46368, todos números Fibonacci.
En el filme de Darren Aronofsky π el orden del caos el judío Rabbi Cohen presenta la teoría en hebreo transcrito en números en la cual el personaje Max Cohen relaciona esta última teoría con la secuencia de Fibonacci llegando en conclusión que todo esta basado en la ley del orden y el caos.
En un lateral de la cúpula de la antigua sinagoga ahora convertida en el Museo Nazionale del Cinema, más conocida como Mole Antonelliana, en Torino (Italia), se puede observar una instalación luminosa de la sucesión de números de Fibonacci.
El Dr. Walter Bishop de la serie de televisón Fringe usa numeros de la serie de Fibonacci para las contraseñas de sus cajas de seguridad.
En el videojuego de Assasins Creed 2, en uno de los acertijos de los glifos para resolverlo se debe usar la suceción de Fibonaccci para poder resolverlo
La sucesión de Fibonacci en la naturaleza
La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente.
El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza, pues el planeta que sigue en el Sistema Solar (Júpiter) tiene más de 60 satélites conocidos. Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente (Io, Europa, Ganímedes y Calisto), dado que los otros son marcadamente más pequeños. Así, podemos extender hasta el número 5 la presencia de la serie de Fibonacci en nuestro Sistema Solar.
En el cuerpo humano podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos (2), brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, la sucesión de Fibonacci hasta el 5.
Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.
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TEMA: Las matemáticas y el arteBIBLIOGRAFIA WEB:
http://lourdesgh.blogspot.es/i2008-12/http://es.wikipedia.org/wiki/Teselaci%C3%B3n_de_Penrosehttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_plateado
BIBLIOGRAFIA DE LIBROS:
Kolman, Bernard; Hill, David R. (2006). Álgebra Lineal. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0696-9.
Johnsonbaugh, Richard (2005). Matemáticas Discretas. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0637-3.
Brassard, G; Bratley, P. (1997). Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRETINCE HALL. ISBN 84-89660-00-X.
Kenneth, H. Rosen (2003). Discrete mathematics and its applications. McGraw Hill. ISBN 0-07-123374-1.
Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (1999). Handbook of discrete and combinatorial mathematics. CRC. ISBN 0-8493-0149-1.
N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemáticas Superiores y candidato a doctor en ciencias físico-matemáticas.
A. I. Markushevich (1974; 1981). Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega.
Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires.
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