matematica manual do aluno 6ª classe

8/20/2019 Matematica Manual Do Aluno 6ª Classe

1/96


2/96

T Í T U L O

Matemática 6.a Classe

A U T O R E S

Isabel Ferreira do Nascimento

Wandanda Mbanza João

C O L A B O R A Ç Ã O E R E V I S Ã O

Cungatiquilo Cano

E D I T O R

ÁRVORE DO SABER

P R É - I M P R E S S Ã O , I M P R E S S Ã O

E AC A B A M E N T O S

Damer Gráficas, S.A.

M O R A D A

Rua Rainha Ginga, 182-A

Bairro Ingombotas

Luanda • ANGOLA

Internet: [email protected]

© 2 0 1 0Á R V O R E D O S A B E RLUANDA, 2010 • 1.ª EDIÇÃO

REGISTADO NA BIBLIOTECA NACIONAL

DE ANGOLA SOB O N.º 9197/10


3/96

INTRODUÇÃO

Os conteúdos seleccionados para esta classe visam adaptar o aluno

ao desenvolvimento e progresso com diferentes motivações, interes-ses, capacidades e conhecimentos; criando condições para a sua inser-ção num mundo em mudança.

Para melhor compreensão, iremos tratar os seguintes conteúdos:

1Números e operações

Multiplicação de números inteiros e números decimais; decompo-sição de números naturais em factores primos na forma potencial;critérios de divisibilidade por 10, 5 e 2; cálculo de m.m.c. e de m.d.c.de dois ou mais números naturais; números racionais, adição e sub-tracção de fracções; divisão de números em forma de fracções; ex-pressões numéricas e respectivas propriedades.

2Geometria

Paralelogramo; triângulo; eixo de simetria; bissectriz de um ângu-lo; área de círculo; medição de volumes cilíndricos; área do triângulo;área do paralelogramo.

3Proporcionalidade

Proporções, percentagens, gráficos circulares, escala. Esclarece-seque, nesta classe, a ordem de apresentação dos conteúdos é linear; istoquer dizer que os conteúdos se encontram em «blocos» e essa é a or-dem lógica por que devem ser tratados.

4Estatística

Noções elementares de estatística: a moda, a média aritmética, amediana, tabelas e gráficos.


4/96

ÍNDICETema 1Números e operações

Multiplicação de números inteiros e de números decimais ................................................ 8Multiplicar um número inteiro por um número decimal ..................................................... 8Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtracção................ 11Números primos e números compostos .................................................................................. 14Decomposição de números inteiros em factores primos sob a forma de potência........... 14Critérios de divisibilidade por 2 ............................................................................................... 15Critério de divisibilidade por 10 e 5......................................................................................... 16Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum ............................................................ 17Ampliação de fracções................................................................................................................ 19Simplificação de fracções ........................................................................................................... 20Uso do máximo divisor comum para a simplificação de fracções ...................................... 22Operações com números racionais ........................................................................................... 23Adição e subtracção de fracções................................................................................................ 23Fracções com denominadores diferentes................................................................................. 25Adição e subtracção de fracções representadas sob a forma mista ..................................... 27Propriedades da adição de números fraccionários ................................................................ 28Propriedade associativa.............................................................................................................. 28

Propriedade comutativa ............................................................................................................. 29Existência de elemento neutro................................................................................................... 29Operações com números decimais envolvendo as fracções decimais ................................ 30Adição de fracções decimais...................................................................................................... 30Adição escrita dos números decimais ...................................................................................... 31Subtracção de fracções decimais ............................................................................................... 31Multiplicação de números fraccionários.................................................................................. 33Multiplicação de uma fracção por um número inteiro.......................................................... 35Inverso de um número ............................................................................................................... 39Divisão de números fraccionários............................................................................................. 40

Multiplicação de números decimais......................................................................................... 43Divisão de números fraccionários representados por números decimais.......................... 44

Tema 2Geometria

Triângulos ..................................................................................................................................... 48Construção de triângulos ........................................................................................................... 48Construção de triângulos segundo os lados ........................................................................... 48Construção de triângulos segundo os ângulos e lados ......................................................... 53Quadriláteros................................................................................................................................ 58Propriedades dos quadriláteros ................................................................................................ 58


5/96

ÍNDICEPropriedades dos paralelogramos ............................................................................................ 60Eixo de simetria e bissectriz de um triângulo......................................................................... 63Eixo de simetria ........................................................................................................................... 63Bissectriz de um ângulo ............................................................................................................. 64Área do paralelogramo............................................................................................................... 67Área do triângulo ........................................................................................................................ 68Área do círculo............................................................................................................................. 69Cálculo da medida da área do círculo...................................................................................... 69O volume do prisma ................................................................................................................... 71Prisma cuja base é um paralelogramo ..................................................................................... 71Volume dos prismas triangulares rectos.................................................................................. 71

Volume de prismas rectos não triangulares ............................................................................ 72Volume do cilindro...................................................................................................................... 72

Tema 3Proporcionalidade

Sucessões numéricas ................................................................................................................... 76Sucessões numéricas proporcionais.......................................................................................... 76

Proporcionalidade directa .......................................................................................................... 77Sistema de coordenadas rectangulares .................................................................................... 79Gráficos cartesianos duma proporcionalidade directa .......................................................... 79Proporções .................................................................................................................................... 81Noção de proporções .................................................................................................................. 81Designação dos termos de uma proporção............................................................................. 82Propriedade fundamental das proporções.............................................................................. 82Percentagens................................................................................................................................. 84Percentagens e cálculo mental................................................................................................... 84Conversões de fracções ordinárias em percentagens............................................................. 85Gráficos circulares ....................................................................................................................... 86

Percentagens................................................................................................................................. 86Escala............................................................................................................................................. 87

Tema 4Estatística

Noções elementares de estatística............................................................................................. 92Medidas de tendência central.................................................................................................... 92

A moda.......................................................................................................................................... 92A média aritmética ...................................................................................................................... 93Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94


6/96

• Multiplicação de números inteiros e números decimais

• Propriedade distributiva da multiplicação em relaçãoà adição e à subtracção

• Números primos e números compostos• Decomposição de números inteiros em factores primos

sob a forma de potência

• Critérios de divisibilidade por 2

• Critérios de divisibilidade por 10 e por 5

• Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum

• Ampliação de fracções

• Simplificação de fracções

• Uso do máximo divisor comum para a simplificação

de fracções

• Cálculo com números racionais

• Adição e subtracção de fracções representadassob a forma mista

• Propriedade de adição de números racionais

• Cálculo com números decimais envolvendo as fracçõesdecimais


7/96

Números

e operações

TEMA 1


8/96

TEMA 1Multiplicação de números inteiros e de números decimais

Observa a conversa entre amigos.

Repara: 4 × 0,3 = 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3Se 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 1,2

então, 4 × 0,3 = 1,2.

E se fosse 3 × 4,5 = 4,5 + 4,5 + 4,54,5 + 4,5 + 4,5 = 13,5

então, 3 × 4,5 = 13,5.

Multiplicar um número inteiro por um número decimal

1. Quantos metros de tecido terá de comprar a Dona Anita para fazer 2 vestidos,

se cada vestido levar 1,5 m?R.: ________________________________________________________________________________________________________

Multiplicam-se os números como se fossem inteiros.O produto tem tantas casas decimais como o número decimal.

8

Oh! João,

é muito simples.Mário,

sabes calcular

4 × 0,3?


9/96

2. Calcula mentalmente.

6 × 2,5 = 2,8 × 10 =5,5 × 2 = 19 × 0,5 =

2,5 × 4 = 0,15 × 5 =

3. A Dona Maria colocou uma renda à volta de uma toalha com a configuração dafigura abaixo apresentada.

Quanto gastou ela, se cada metro de renda custou 15 000 kz?

R.: ______________________________________________________________________________________________________________________

Observa os produtos.

0,6 × 3 = 1,8 5,2 × 8 = 41,6

3 × 0,6 = 1,8 8 × 5,2 = 41,6

Certamente observaste que o produto não se altera se trocarmos a ordem dosfactores. A isto chama-se Propriedade Comutativa da Multiplicação.

1. Resolve.

4,5 × 6 = 5 × 8,3 =

6 × 4,5 = 7,9 × 2 =

8,3 × 5 = 2 × 7,9 =

2. Completa utilizando a propriedade comutativa da multiplicação.

16,6 × 4 = 4 × ________

25,1 × ________ = 5 × 25,1

3,15 × 2 = ________ × 3,15________ × 9,6 = 7 × ________

2,50 m

1,20 m

9

NÚMEROS E OPERAÇÕES


10/96

TEMA 1 Já conheces também outra propriedade: a Propriedade Associativa.

Observa: (1,6 × 8) ________ = ________ × (8 × 4)

(2,3 × ________) × 5 = 2,3 × (10 × ________)

O cálculo de produto torna-se mais simples se utilizarmos a propriedade associa-tiva da multiplicação

Observa e completa, como nos exemplos.

1,5 × 1,2 × 4 × 2 =

= (1,5 × 2) × (1,2 × 4)

= 3 × 4,8

= 14,4

3,1 × 3 × 0,2 × 5 = (3,1 × 3) × (0,2 × 5)

= 9,3 × 1

= 9,3

8 × 7 × 9 × 5 = (8 × 5) × (________ × ________)

= ________ × ________

= ________

18 × 6 × 9 × 3 = (________ × ________) × (________ × ________)

= ________ × ________

= ________

10


11/96

Propriedade distributiva da multiplicaçãoem relação à adição e à subtracção.

A Mónica tem 2 irmãos.Deu a cada um deles 3 rebuçados e 4 pastilhas.Ao todo, quantas guloseimas deu a Mónica?

1.° ProcedimentoObserva como é fácil calcular.Número total de guloseimas

3 + 4 = ________2 × (3 + 4) = ________ × ________

= ________

2.° ProcedimentoNúmero total de guloseimas para os dois irmãos

2 × 3 = ________

Número total de pastilhas para os dois irmãos

2 × 4 = ________

Número total de guloseimas e de pastilhas para os dois irmãos

2 × 3 + 2 × 4 = ________ + ________

Concluímos então que:

A Mariana comprou 5 bananas e 3 maçãs para levar para o hospital.Cada fruta custou 200 kwanzas.Quanto pagou a Mariana pelas frutas?

1.° ProcedimentoO número total de frutas

5 + 3 = ________

Quantia a pagar(5 + 3) × 200 = ________ × ________

2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4

11



12/96

TEMA 1Quantia total a pagar pelas bananas

5 × 200 = __________

Quantia total a pagar pelas maçãs:

3 × 200 = __________

Quantia total a pagar pelas frutas:

5 × 200 + 3 × 200 = __________ + __________ = __________

Concluímos então que:

Será que a multiplicação também é distributiva em relação à subtracção?

Observa

A Nanda comprou 4 cadeiras no Super África, cujo preço era de 15 000 kz cada. Noentanto, foi feito um desconto de 200 kz por cada cadeira. Quanto pagou a Nanda?

«Contas» feitas pela Nanda.Quantia a pagar por cada cadeira: 15 000 kz – 200 kzQuantia a pagar pelas 4 cadeiras:

4 cadeiras = 4 × (15 000 – 200) = ____________ × ____________ = ____________

Super África

Preços das cadeiras sem descontos: 4 × 15 000 = ______________

Total dos descontos: 4 × 200 = ______________

Total a pagar: 4 × 15 000 – 4 × 200 = ______________ – ______________ = ______________

Conclusão

4 × (15 000 – 200) = 4 × 15 000 – 4 × 200

Esta propriedade chama-se Propriedade Distributiva da Multiplica-ção em Relação à Adição.

(5 + 3) × 200 = 5 × 200 + 3 × 200

12


13/96

Concluímos que a multiplicação também é distributiva em relação à subtracção.

Calcula como no exemplo:6 × (9 – 5) = 6 × 9 – 6 × 5= 54 – 30= 24

16 × (10 – 7) = (________ × ________) – (________ × ________)

= ________ – ________ – ________

= ________

5,2 × (6 + 4) = (________ × ________) + (________ × ________)

= ________ + ________

= ________

2,7 × (13 – 10) = (________ × ________) – (________ × ________)

= ________ – ________

= ________

6,7 × (9 + 7) = (________ × ________) + (________ × ________)= ________ + ________

= ________

Completa usando a propriedade distributiva:

5 × (13 + 6) = ________ × 13 + ________ × 6

Verificas que há um factor comum aos dois produtos. Este factor é o 5. Então, tam- bém podemos escrever:

5 × 13 + 5 × 6 = 5 × (13 + 6)

Põe em evidência o factor comum.

6 × 9 + 6 × 5 5,2 × 6 – 5,2 × 4 12 × 3 + 1,2 × 3 7 × 93 + 16 × 7

8 × 3 + 8 × 7 7,6 × 9 + 9 × 3 2,5 × 5 + 0,8 × 5 3 × 24 + 9 × 2417 × 4 + 4 × 8 4,8 × 2 + 4,8 × 4 10 × 2,3 – 3 × 2,3 32 × 8 + 14 × 8

13



14/96

TEMA 1Números primos e números compostos

Estudámos o conjunto de divisores de alguns números naturais.

Divisores de 3 = {1; 3}Divisores de 12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}Divisores de 17 = {1; 17}Divisores de 9 = {1; 3; 9}Divisores de 8 = {1; 2; 4; 8}

Verificamos que os números 3 e 17 só têm dois divisores, o número 1 e o próprionúmero. Esses números chamam-se números primos.

Os restantes números chamam-se compostos porque admitem mais de dois divi-sores.O número 1 nem é primo nem é composto porque admite apenas um divisor: elepróprio.

Indica todos os números primos compreendidos entre os seguintes números:

a) 10 e 20 b) 50 e 60c) 30 e 40 d) 0 e 20e) 40 e 50 f) 70 e 80

Qual é o maior número primo inferior a 20?Diz o maior número primo compreendido entre 13 e 17.

Decomposição de números inteiros em factores primos sob a forma de potência

Decomposição em factores primos

Repara:

30 = 2 × 15 ou 30 2 28 = 2 × 14 ou 28 215 3 14 25 5 7 71 1

2 × 3 × 5 2 × 2 × 730 = 2 × 3 × 5 28 = 2 × 2 × 7

Um número chama-se primo se admitir dois e só dois divisores, o nú-

mero 1 e o próprio número.

14


15/96

Número

Resto dadivisão por 2

7 16 23 39

1

72 92 45 144

0

60 113 40 17 98

O que verificaste?

Ao fazermos a decomposição de um número inteiro em factores de maneira quetodos os factores sejam números primos, efectuamos uma decomposição em fac-tores primos.

Decompõe como no exemplo:108 = 2 × 54

= 2 × 2 × 27= 2 × 2 × 3 × 9= 2 × 2 × 3 × 3 × 3108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3

128 =

50 =

162 =

Decomposição sob a forma de potência

Observa o exemplo anterior.

108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Nesta decomposição em factores primos, aparecem repetidos factores comuns quepodemos escrever sob a forma potencial.

2 × 2 = 22 (lê-se dois ao quadrado)

3 × 3 × 3 = 33 (lê-se três ao cubo)

Esta forma de escrever chama-se potência. Numa potência «an» em que «a» é a base e «n» é o expoente, o expoente indica o número de factores iguais à base.Escreve os números dos exercícios anteriores sob a forma de potência.

Critérios de divisibilidade por 2

Observa o quadro seguinte e completa.

15



16/96

TEMA 1Diz quais são os números que, ao serem divididos por 2, dão resto zero.Certamente verificas que dão resto zero os números que terminem em 0, 2, 4, 6 e 8.

Critério de divisibilidade por 10 e 5

Observa e completa o quadro seguinte.

Diz quais os números que, ao dividirmos por 10, dão resto zero.Certamente verificas que dão resto zero os números que terminem em zero.

Tal como na divisão por 10, 30, 660 e 810, os números também dão resto zero.Realizamos o mesmo raciocínio para encontramos um critério para a divisibilidadepor 5.

Utilizando os critérios de divisibilidade, escreve quais dos seguintes números sãodivisíveis por 2, por 5 ou por 10.

Número

924

96 500

4586

3670265 300

2 5 10

Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.

Um número é divisível por 10 quando o algarismo das unidades for 0.

Número

Resto dadivisão por 10

25 96 10 15 30 105 600 810

Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidadesé 0, 2, 4, 6 e 8, se o número for par. Os outros números não sãodivisíveis por 2.

16


17/96

Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum

Para conhecermos o m.d.c. e o m.m.c., podemos começar a organizar conjuntos dedivisores.

Observa:Escreve o conjunto de divisores comuns de 9 e 15.

D9 = {1; 3; 9}

D15 = {1; 3; 5; 15}

{divisores comuns de 9 e 15} = {1; 3}

Certamente irás perguntar qual será o m.d.c.Formamos, para cada um dos números dados, o conjunto dos respectivos divisorese, com base neste, determina-se o conjunto dos divisores comuns, sendo o seu ele-mento máximo o m.d.c.

No exemplo precedente, 3 é o m.d.c. de 9 e 15.Mas como calcular o máximo divisor comum?

Consideremos os números 18, 48 e 72.

17


18 = 2 × 3 × 3

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

18 = 2 × 32

48 = 24 × 3

72 = 23 × 32

2 e 3

2 × 3 = 6

m.d.c. (18, 48, 72) = 6

1. Decompor em factores primos

2. Escrever os produtos sob a forma potencial

3. Seleccionar os factores primos comuns

(de menor expoente)

4. Formar o produto das potências

seleccionadas


18/96

TEMA 1

Consideremos agora os múltiplos comuns de 3 e 5.Múltiplos de 3 = {3; 6; 9; 12; 15; 18; …; 30; …}Múltiplos de 5 = {5; 10; 15; 20; 25; 30; …}

Consideremos agora os múltiplos comuns dos números 3 e 5 = {15; 30; 45; …}Entre todos os múltiplos de 3 e 5, existe o menor múltiplo comum, que é 15.Assim, m.m.c. (3; 5) = 15

Como calcular o mínimo múltiplo comum?Consideremos os números 27 e 40.

1. Determina o m.d.c. dos seguintes números:a) 4; 9; 24 b) 6; 34; 221

2. Determina por meio de decomposição em factores primos o m.m.c. dos seguin-tes números:

a) 8; 10; 12 b) 44; 78; 143 c) 15; 18; 24

O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números éo produto de factores comuns e não comuns de maior expoente.

O máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números

é igual ao produto de factores comuns de menor expoente.

18

27 = 3 × 3 × 3

40 = 2 × 2 × 2 × 5

27 = 33

40 = 24 × 5

23; 33 e 5

23 × 33 × 5 = 1080

m.d.c. (27, 40) = 1080

1. Decompor em factores primos

2. Escrever os produtos sob a forma potencial

3. Seleccionar os factores primos comuns

(de maior expoente) e não comuns

4. Formar o produto das potências

seleccionadas

Exercíc ios


19/96

Ampliação de fracções

Observa as seguintes fracções:

As fracções resultam da ampliação da fracção .

Essas fracções chamam-se fracções equivalentes.

Amplia as seguintes fracções por 2, 3 e 4:

a)

b)

c)

Vamos representar as fracções seguintes na semi-recta numérica: .

Neste caso, constata-se que várias fracções podem corresponder ao mesmo pontoda semi-recta numérica.

0 321

32

64

128

2416

; ; e

Se multiplicarmos os dois termos da fracção pelo mesmonúmero, obteremos uma fracção ampliada.

32

2

6

12

3

2

6

4

12

8

24

16

= =

3 22 2

6 24 2

12 28 2

2416

××

= ×

× =

××

= …

33

64

128

2418

; ; e

19


32

64

128

2416

; ; ;


20/96

TEMA 1

20

Exercíc ios

1. Amplia a fracção sucessivamente pelos números seguintes.a) 4

b) 2

c) 12

d) 7

2. Representa as fracções na semi-recta numérica.

Simplificação de fracções

Observa as seguintes fracções:

As fracções resultam da simplificação da fracção por 2.

Simplifica as seguintes fracções:

a) b) c)

d) e) f)

Se se efectuar a simplificação sucessiva às fracções por 2, obteremos a

fracção .32

24

16

12

8

6

4

; ;

140200

6090

1218

3648

1624

24

2416

128

64

32

; ;

2416

22

128

22

64

22

32

÷ = ÷ = ÷ =

24

16

12

8

6

4

3

2

; ; ;

1

2

3

4 0 5

7

6

6

3; ; , ; e

34


21/96

21


35

27

49

34

; ; ;

24

16

12

8

6

4

3

2; ; ;

A fracção não pode mais ser simplificada, pois é uma fracção irredutível.

As fracções representam o mesmo número , portanto, são chamadas

fracções equivalentes.

Vamos representar as fracções na semi-recta numérica.

Neste caso, constata-se que várias fracções podem corresponder ao mesmo pontoda semi-recta numérica.

1. Representa as fracções na semi-recta numérica.

2. Escreve algumas fracções equivalentes a:

a) b) c) d) e)

f) g) h) i) 1415

2122

39

1315

126

29

510

45

13

0 3 765421

128

12

43

568

; ; e

0 321

2416

128

64

32

; ; ;

3

2

24

16

12

8

6

4; ;

Uma fracção chama-se irredutível se os seus termosforem primos entre si.

32


22/96

TEMA 13. Demonstra por meio do desenho que:

a) b) c)

4. Completa as equivalências.

a) b) c) d)

e) f) g)

5. Simplifica.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

6. Determina as fracções equivalentes a cujos numeradores estão compreendi-dos entre 34 e 95.

Uso do máximo divisor comum para a simplificação de fracções

A simplificação de fracções cujos termos são muito grandes torna a divisão suces-siva dos termos mais fastidiosa. Vamos usar o máximo divisor comum para sim-plificar as fracções.

Exemplo: para simplificar a fracção , decompomos em factores primos:

105 = 21 × 5 = 3 × 7 × 5 = 3 × 5 × 7

140 = 14 × 10 = 2 × 7 × 2 × 5 = 22 × 5 × 7

m.d.c. (105; 140) = 5 × 7 = 35

104140

79

90

900

=72

360

=48

96

=14

28

=

1618

=3672

=1248

=5

15 =

1514 28=99 19=16 82=

1 1236

=25 40

=14 12

=23

8=

14

312

=25

410

=13

39

=

22

105 335 57 71

140 270 235 57 7

1105 = 3 × 5 × 7 140 = 22 × 5 × 7


23/96

Dividimos os termos da fracção pelo m.d.c. (105; 140 = 35)

Simplifica as seguintes fracções (usando o m.d.c.):

a) b) c) d)

Operações com números racionais

Adição e subtracção de fracçõesFracções com o mesmo denominador

A Isabel comprou uma tablete de chocolateque dividiu em 5 partes iguais.

No primeiro dia comeu e no segundo dia . Qual é a parte de chocolate que a

Isabel comeu nos dois dias?

Para resolver este problema, vamos adicionar as duas fracções.

Conhecendo a parte de chocolate que a Isabel comeu, podemos calcular a parte queficou.

Já se sabe que o chocolate foi dividido em 5 partes iguais ou .

A parte de chocolate que ficou é igual a .

Para adicionar fracções de igual denominador, somam-se os numeradores, man-tendo-se o denominador comum.

Para subtrair fracções de igual denominador, subtraem-se os numeradores, man-tendo-se o denominador comum.

1522

922

15 922

622

– – = =4

525

4 25

25

– – = =

18

38

28

1 3 28

68

+ + = + +

=37

27

3 27

57

+ = +

=

55

45

15 – =

55

15

35

1 35

45

+ = +

=

35

15

300180

600630

153432

3690

105140

3535

34

÷ =

23



24/96

TEMA 1

1. Calcula as somas ou diferenças das fracções seguintes.A B

a) g)

b) h)

c) i)

d) j)

e) l)

f) m)

2. Completa com a fracção que falta.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i) + =9

29

22

29 –

3

11

11

11=

6

15

2

15

15

15+ + =

14

14

44

+ + =49

19

– =1915

715

– =

139 59 – =1825 825= +97 157+ =

13819

10219

1419

– – 17

27

37

+ +

32

63

17

63

– 8 2

15

4

15

++

101344

99344

– 1715

1815

+

2212

1112

1012

– – 1513

413

+

2953

2053

– 1513

413

–

2325

1225

– 24

14

–

24

Exercíc ios

a)

b)

c)

c)

d)697

173

45

173

28

173

– +

106

96

166

+ +

205120

150120

90120

+ –

106

96

166

+ –

135

25

45

+ +


25/96

Fracções com denominadores diferentes

Como adicionar ou subtrair fracções com denominadores diferentes.

Exemplo:

Já aprendeste a transformar as fracções noutras equivalentes.

Vamos transformar essas fracções em fracções equivalentes, ampliando-as, de

modo a obter fracções com denominadores iguais.

As fracções são equivalentes.

De modo igual, é equivalente a têm o mesmo denominador.

Assim, .

De modo igual, .

Para adicionar fracções com denominadores diferentes, deve-se:

– reduzir as fracções ao mesmo denominador;

– calcular a soma dos numeradores, mantendo o denominador comum.

De igual modo, para subtrair fracções com denominadores diferentes, deve-se:

– reduzir as fracções ao mesmo denominador;– calcular a diferença dos numeradores, mantendo o denominador comum.

810

25

810

410

8 410

410

– – –

= = =

32

57

2114

1014

21 1014

+ = + = +

1014

2114

1014

; e57

32

2114

e

32

64

96

128

1510

1812

2114

57

1014

= = = = = = …

=

32

57

810

25

+ = =; –

25



26/96

TEMA 1

1. Calcula.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j)

Calcula a soma das seguintes fracções:

Se os denominadores tiverem grandes números, temos de achar o m.m.c. dos de-nominadores.

m.m.c. (21, 35) = 105Assim:

De modo igual, para calcular , procedemos como no caso anterior.

m.m.c. (21, 35) = 105, logo:

1621

80105

1235

36105

1621

1235

805 3( ) ( )× ×

= =

= –

e

110536

10544

105 – =

1621

1235

–

1621

80105

1235

36105

1621

1235

805 3( ) ( )× ×

= =

+ =

e

110536

105116105

+ =

1621

1235

+ =

158

69

+ =34

27

– =

105

67

– =56

38

– =78

512

– =25

34

12

+ + =

14

56

+ =34

12

– =57

814

+ =23

12

+ =

26

Exercíc ios


27/96

Utilizando o m.m.c., calcula a soma ou a diferença dos dois números seguintes.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

Adição e subtracção de fracções representadas sob a forma mista

Exemplo:

a) b)

c) ou 9138

547

858

397

595 31256

28356

– –

–

=

=

=

9138

547

9 5138

47

491 32

56

45956

– – –

–

= ( ) +

= +

=

734

545

7 534

45

1215 16

20

123120

1311

2

+ = +( ) + +

= + +

=

=

00

312

1035

3 1012

35

2 5 10

13

+ =

+( ) + + ( ) =

+

. . . ,m m c

112

35

135

106

1013

5 610

141

105 2×( ) ×( )

+ = + + = +

=

17

66

3

44

2

33

7

55+ – –

4

7

1

6

5

14

16

21

1

3

17

8+ + + + +

11

24

17

36

7

81+ +

3940

4930

+3591

2565

– 1220

815

–

427

536

– 116

221

+5

12138

+

27


Exercíc ios


28/96

TEMA 1

1. Calcula.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j)

Propriedades da adição de números fraccionários

Propriedade associativa

A soma pode calcular-se da seguinte forma:

ou25

34

512

25

34

512

25

9 512

25

+ + = + +

= + +

= ++

= +

=

1414

24 7060

9460

= +

+

= +

= +

=

8 1520

512

2320

512

69 2560

9460

25 34 512 25 34 512+ + = + + =25 34 512+ +

7 4550

5 1428

+21 910

+

315

216

– 474

3 – 9 635

– 185

7520

35210

+

106

158

1260

+114

15

– 659

727

– 513

217

+

28

Exercíc ios


29/96

Logo, .

Esta igualdade traduz a propriedade associativa de adição dos números racionais.

De modo geral, se com são números fraccioná-

rios, temos:

Então, diz-se que a adição dos números fraccionários é associativa.

Propriedade comutativa

Esta igualdade traduz a propriedade comutativa da adição dos nú-

meros fraccionários.

De modo geral, se com são números fraccionários, temos:

Então, diz-se que a adição dos números fraccionários é comutativa.

Existência de elemento neutro

. 0 é o elemento neutro da adição dos números fraccionários.

Em geral, sendo um número fraccionário qualquer, tem-se:

a b

a b

a b+ = + =0 0

a b

710

0 0710

710

+ = + =

a b

cd

cd

a b

+ = +

b e d≠ ≠0 0a

be

cd

27

58

58

27

+ = +

a b

cd

ef

a b

cd

ef

+

+ = + +

b d e f ≠ ≠ ≠0 0 0,a

bcd

eef

;

25

34

512

25

34

512

+

+ = + +

29



30/96

TEMA 1

1. O tio André comprou um terreno a prestações. Na primeira prestação, pagoua quantia correspondente à metade do terreno. Na segunda prestação

. Que parte do terreno falta pagar?

2. Um bolo foi dividido em 15 partes iguais. O pai comeu de bolo, a mãecomeu . Que parte de bolo ficou?

3. O senhor Dias resolveu de exercícios de matemática de manhã. No perío-

do da tarde, resolveu . Que parte de exercícios fez no total? Que parte

de exercícios ficou por fazer?

4. Um auditório com 430 cadeiras está lotado com homens, mulheres e crian-ças. O número de mulheres é igual ao de crianças e o número de homens édo número de mulheres. Quantas crianças estão no auditório?

5. As turmas A e B da 6.a classe têm no total 105 alunos. A turma A tem donúmero de alunos da 6.a B. Quantos alunos tem cada turma?

Operações com números decimais envolvendo as fracções decimais

Adição de fracções decimais

José e Isabel estavam a pintar o pavimentoda sala, que se apresenta da seguinte forma:

No fim o pavimento ficou com este aspecto.

O José assinalou com J os quadrados que por ele foram pintados e com I os que

foram pintados pela Isabel.Determina a parte pintada pelos dois.

47

25

15

13

415

315

13

30

Problemas

J J I I

J I I


31/96

O José pintou 0,3 ou 3/10 do pavimento e a Isabel pintou 0,4 ou 4/10.

Os dois pintaram: 0,3 + 0,4 = 3/10 + 4/10

Outro exemplo de adição:

Adição escrita dos números decimais

Com o mesmo número de casas decimais, pode ser efectuada a adição escrita dos

números naturais.Colocam-se unidades por baixo de unidades, décimas por baixo de décimas, cen-tésimas por baixo de centésimas de forma que as vírgulas fiquem no mesmo ali-nhamento.

0,3 13,005+ 0,4 2,346

0,7 0,008+ 112,239

127,598

Subtracção de fracções decimais

No exemplo precedente sobre o pavimento, pode calcular-se a parte da sala quenão foi pintada.

Já sabemos que a parte pintada representa os de pavimento.Que fracção representa a restante parte?Sabemos que a sala foi dividida em 10 partes.

As 10 partes são representadas pela fracção .

foram pintadas. É claro que podemos calcular a parte que resta.710

1010

710

13 005 2 346 0 008 112 239

130051000

234610

, , , ,+ + +

= +000

81000

1122391000

13003 2346 8 112239100

+ +

= + + +00

1275981000

127 598

=

= ,

= +

=

=

3 4107100 7,

31



32/96

TEMA 1Assim, teremos:

Outro exemplo de subtracção:

A subtracção escrita dos números decimais com o mesmo número de casas deci-mais pode ser efectuada do mesmo modo que a adição escrita dos números natu-rais, respeitando as condições dadas na adição escrita.

1,0 15,269– 0,7 – 10,385

0,3 4,884

1. Calcula sob a forma fraccionária.1. a) 3,5 + 2,18 + 21,009 e) 0,7 + 0,25 + 4,008 + 1,572

b) 5,19 + 4,2 f) 3,5 + 6,01 + 0,8c) 6,4 + 10 + 1,38 g) 0,008 + 0,014 + 1,006d) 12 + 3,106 + 0,004 h) 6,4 + 1,25 + 0,425 + 1,4

2. a) 13,5 – 11,06 e) 5 – 0,03 b) 9,86 – 5,998 f) 1,4 – 0,76c) 0,8 – 0,567 g) 2,412 – 1,367

d) 3,2 – 1,289 h) 0,763 – 0,397

15 269 10 385152691000

103851000

15269 103

, – , –

–

=

=885

100048841000

4 884

=

= ,

1010 710 10 710

310

– –

=

=

32

Exercíc ios e Problemas


33/96

2. Calcula sob a forma de números decimais.

1. a) 5,7 +9,09 + 10,21 e) 18,23 – 7,615 b) 3,4 + 5,23 f) 12 – 0,09

c) 2,3 + 5,6 + 0,004 g) 3 – 0,003

d) 26,206 – 12,14 h) 75,2 – 68,54

3. Um motorista percorreu no 1.° dia 15 km, no segundo dia 19 km e 7 m e no ter-

ceiro 25 km e 8 m. Calcula a distância percorrida pelo motorista durante os trêsdias.

4. A Ana preparou um bolo que comeu da seguinte forma:

No primeiro dia comeu do bolo, no segundo dia comeu e no terceiro dia

comeu . Qual foi a parte do bolo que sobrou?

5. Quanto tenho de juntar a 15,7 para obter 20,5?

6. O José comprou 3,50 m de tecido para fazer duas calças, uma com 1,25 m e outracom 1,75 m. Quantos metros de tecido sobraram?

Multiplicação de números fraccionários

A Cecília cultivou de da área do seu quintal. Qual é a área total destinada à

plantação?

Para responder, precisamos de calcular de , ou seja, .

Considera o rectângulo seguinte, querepresenta a área total do quintal daCecília dividida em 3 partes iguais.

23

56

×56

23

5

6

2

3

210

510

510

33


Exercíc ios e Problemas

23


34/96

TEMA 1Considera o mesmo rectângulo, dividido em 6 partes iguais.

Sobrepõe os dois rectângulos: obténs um rectângulo dividido em 18 partes iguais.

Assim, ou .

Calcula:

Para multiplicar dois números representados por fracções, mul-tiplicam-se os numeradores e os denominadores entre si.

12

53

1 52 3

56

× = ×

× =

23

56

2 53 6

1018

× = ×

× =

23

56

1018

× =

34

56

56

2

3


35/96

Multiplicação de uma fracção por um número inteiro

Exemplo 1:

Já sabes que todo o número inteiro pode escrever-se sob a forma de uma fracçãocom denominador 1. Assim:

Exemplo 2:

Usando a regra:

Podes também calcular deste modo:

1. Calcula.

a) b) c) d)

e) f) g) h)16

0 36× ,23

1 5× ,34

0 5× ,1

189×

15

35×2530

414

×12

64

×57

19

×

12

1 5 0 5 1 5 0 7575

10075 25

100 25× = × = =

÷÷

=, , , , ou334

12

1 512

1510

1 151 10

1520

34

× = × = ×

× = =,

12

1 5× =,

Para multiplicar uma fracção por um número inteiro, multipli-

ca-se o número pelo numerador, mantendo o denominador.

25

825

81

2 85 1

165

25

82 8

5165

× = × ×

× = × =

×=, logo, ou

25 8× =

35


Exercíc ios


36/96

TEMA 1

2. Faz os cálculos indicados e simplifica os resultados obtidos para expressões sim-ples (fracções irredutíveis).

a) b) c) d)

e) f) g) h)

3. Calcula.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

4. Calcula.a) 15,2 × 14,8 × 5,3 b) 4,02 × 5,4 × 6 c) 12,8 × 13,2 × 4,7d) 1,2 × 1,5 × 3,9 e) 3,02 × 1,51 × 3,1 f) 1,6 × 4,1 × 5,07

Propriedades da multiplicação de números fraccionários

Completa a tabela seguinte.

Com base nos resultados obtidosna tabela, completa e tira uma con-clusão.

1 554

54

1 5, ,× = × =e

1512

3163

× ×153

128

22× ×

12

29

15× ×5

123

45

× ×

512

345

× ×53

47

2120

× ×58

84

15× ×

37

56

23

× ×

15 315

×315

10×54

15×

35

15×

334

8×1274

×213

6×4

153×

36

Exercíc ios

×

0

1

2

1,5

5

4

1

4

5

6

7

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2

0

1,5

0

5

4

0

1

0

4

5

0

6

7

0


37/96

A multiplicação dos números fraccionários é comutativa. Se a e b são númerosfraccionários, temos a × b = b × a.

0 é o elemento absorvente da multiplicação dos números fraccionários. Se a é umnúmero fraccionário, temos: a × 0 = 0 × a = 0

. 1 é o elemento neutro da multiplicação dos números frac-

cionários.

Se a é um número fraccionário, temos: a × 1 = 1 × a = a.

Considera a seguinte expressão:

Calcula este produto. É óbvio que obténs ou . Calculamos esta expressãoda seguinte forma:

Podes concluir que:

Já conheces esta propriedade: Propriedade Associativa.

Se a, b e c são números fraccionários, temos:a × (b × c) = (a × b) × c

25

37

34

27

37

34

× ×

= ×

×

25

37

54

25

37

54

25

1528

× ×

×

×

= × =

ou

6635

54

30140

×

=

314

30140

25

37

54

× ×

112

12

1× = × =e

067

67

0× = × =e

37



38/96

TEMA 1O Pedro e o André estiveram a fazer o seguinte cálculo:

Vejamos como os dois procederam:

Finalmente, os dois chegaram ao mesmo resultado.

O André utilizou um procedimento. Como se chama esta propriedade?

Logo, a propriedade que o André utilizou é a propriedade distributiva.

Tu também vais utilizar os dois procedimentos, procurando chegar ao mesmoresultado.

Com certeza que nos dois procedimentos chegaste ao mesmo resultado: ou .

Podes concluir o seguinte:

A multiplicação dos números fraccionários é distributiva emrelação à adição e à subtracção.

Se a × (b ± c) = a × b ± a × c

1415

2830

4

5

5

3

1

2

×

= –

André

32

15

46

32

15

32

46

310 12123

1

× +

= × + ×

= +

=00

1

310

1010

3 1010

13

10

+

= +

= +

=

Pedro

32

15

46

32

6 2030

32 26303 262

× +

= × +

= ×

= ×

××

=

÷÷

=

307860

78 669 6

1310

32

15

46× +

38


39/96

Inverso de um número

A São e a Laura estavam a fazer perguntas em Matemática.A Laura perguntou à São: Qual é o número que, multiplicado pelo número dado,dá 1?Exemplo: 7 × ? = 1

A São responde o seguinte: É , pois .

A São, por sua vez, fez a pergunta à Laura.

Se o número for a fracção :

A Laura respondeu que este número é , pois .

Assim, os números e são chamados inversos de 7 e .

O inverso de um número fraccionário é o número cujo produto com este é

igual a 1 ou o inverso de um número fraccionário é a fracção obtida, permu-tando os seus termos.O recíproco de .

Se é um número fraccionário diferente de zero, então temos:

. Todo o número tem inverso, excepto o 0.

1. Calcula, aplicando a propriedade distributiva.

a) b) c)

d) e) f)57

75 5

14 – ×

813

23

35 – ×

711

211

2325 – ×

75

34

1545

+

×

34

24

53

+

×3

52

25

× +

a b

ba

a b× = ≠ ≠( )1 0 0;

a b

ab

éba

57

75

17

57

75

1× =75

57

1× =57

717

1× =17

39


Exercíc ios


40/96

TEMA 1

2. Calcula, aplicando a propriedade comutativa.

a) b) c)

d) e) f)

3. Completa.

a) b) c)

d) e) f)

4. Aplica a propriedade associativa.

a) b) c)

d) e) f)

Divisão de números fraccionários

Determinação do quociente de dois números fraccionários

• D iv i são de um número nat ural por uma fracção

O Diogo comprou 7 laranjas e quer dividir cada uma em três partes. Quantos

terços terá o Diogo?

O problema consiste em dividir as 7 laranjas em três partes iguais.

Seja .7 13

21 7 31

21÷ = × =ou

3 1 2 5 4, ,× ×35

12

87

× ×23

15

49

× ×

1113

32

13

× ×32

610

4× ×15

27

12

× ×

1510

1× =3

141× =1

13

= ×

19

16= ×

5322

1× =169

1× =

15

9× =1213

25

× =32

68

× =

643

× =73

97

× =14

5× =

40

Exercíc ios


41/96

• D iv i são de uma f racção por um número nat ural

Se dividirmos um terço da laranja por dois alunos, cada um receberá:

(um sexto da laranja)

• D iv i são de doi s números f racci onári os

A divisão de

Para dividir dois números fraccionários diferentes de zero, multiplica-se odividendo pelo inverso do divisor.

• Cálcul o ment al da di v i são de números f raccionári os

O quociente de dois número fraccionários iguais, diferentes de zero, é 1.

Sabes que .

Qual é o valor de ?

Qualquer número dividido por 1 dá um resultado igual ao próprio número.

35

135

÷ =

35

1÷

713 21÷ =

13

13

1÷ =

35

92

35

29

645

215

÷ = × = ou

13 12 13 12 13 21 23por é: ÷ = × =

13

216

13

12

16

÷ = × =ou

41



42/96

TEMA 1

1. Calcula.

a) b) c)

d) e) f)

2. Faz o cálculo indicado e verifica o resultado.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

3. Calcula mentalmente.

a) b) c) d)

e) f) g) h)219

1100

÷12

11

÷6

101÷7

17

÷

315

÷114

÷15

16

÷25

25

÷

543

199

÷635

2210

÷435

4615

÷8113

1813

÷

4523

946

÷0

5838

÷34

25

÷14

13

÷

32

14

÷15

12

÷24

13

÷

17

115

÷14

5÷312

÷

42

Exercíc ios


43/96

Multiplicação de números decimais

• M ul t i pl i cação de um número nat ural por um número decimal

Já aprendeste a multiplicar um número inteiro por uma fracção e também a trans-formar números decimais em fracções decimais. Utiliza esta transformação paramultiplicar o que se segue.

Mais simplificado:

• M ul t i pl i cação de números nat urai s reduzi dos a fr acções decima i s

Exemplo a)

Exemplo b)

0 721 5 1

721

1000

51

10

36771

10000 3 6771, , ,

× = × = =

4 6 2 74610

2710

1242100

12 42, , ,× = × = =

5 2 3 523

1011510

11 5

× = ×

=

=

,

,

5 2 32310

2310

2310

2310

2310

23 23 23 23

× = + + + +

= + + + +

,

223

1011510

11 5

=

= ,

43



44/96

TEMA 1

1. Escreve os seguintes produtos em fracções decimais e calcula.a) 0,12 × 5 b) 0,125 × 8 c) 33,2 × 0,072

d) 0,24 × 0,25 e) 0,0084 × 13,7 f) 0,3 × 0,4 × 0,5

g) 33,2 × 0,072 h) 81,4 × 0,6 × 0,5 i) 0,01 × 0,01 × 0,01

2. Sabendo que 172 × 35 = 6020, escreve o valor dos seguintes produtos, sem efec-tuares cálculos.

a) 0,172 × 3,5 b) 1,72 × 0,35 c) 1,72 × 3,5d) 17,2 × 3,5 e) 17,2 × 0,35 f) 0,172 × 0,35

3. Ordena os produtos seguintes do menor para o maior, sem efectuares os cálcu-los.

a) 2,5 × 3,36 b) 25 × 3,36 c) 0,25 × 0,336

d) 2,5 × 33,6 e) 0,025 × 0,336 f) 25 × 336

Divisão de números fraccionários representados por números decimais

• D iv i são de fracção decimal por um número nat ural

A Mimi comprou 12,25 m de tecido, com os quais quer fazer 5 saias iguais paravender.Quantos metros utilizou a Mimi para cada saia?Para saber quantos metros a Mimi utilizou, dividimos 12,25 por 5.

Transformamos 12,25 em fracção decimal.

12 251225100

1225100

51225100

51

1225100

1

, =

÷ = ÷

= ×55

245

1002 45

=

= ,

44

Exercíc ios


45/96

• D iv i são de doi s números decima i s

Exemplo 1:Transformamos os dois números decimais em fracções decimais.

Exemplo 2:

Transformamos os dois números decimais em fracções decimais.

1. Efectua as seguintes divisões, transformando os números decimais em fracçõesdecimais.

a) 15,03 : 6 b) 5 : 0,2 c) 3,5 : 1,7d) 13,09 : 10,5 e) 0,5 : 0,001 f) 0,75 : 3,9

g) 98,6 : 0,6 h) 2,31 : 1,35

2. A mãe da Amélia comprou uma caixa de morangos de 350 kg. A caixa contémcaixinhas de 0,25 kg. Quantas caixinhas contém a caixa?

3. Com 1 kg de ouro, quantos anéis de 0,01 kg se podem fabricar?

4. Quantas tabletes de chocolate de 0,020 kg se podem fabricar com 30 kg de choco-late?

525100

1015

525

10 1535103 5

×

=

×=

= ,

5 25 1 5525100

1510

, ,÷ = ÷

122 5 4 9122510

4910

122510

1049

122549

25

, ,÷ = ÷

= ×

=

=

122 5 4 9, ,

÷

45


Exercíc ios


46/96


47/96

Geometria

TEMA 2


48/96

TEMA 2Triângulos

Construção de triângulos

Construção de triângulos segundo os lados

1.° caso: Construção de um triângulo equilátero dado o comprimento de um lado.Vamos construir o triângulo [ABC], conhecendo a medida do lado AB

____.

Dado: AB____

= 3 cm

Construção

1.° Com auxílio de uma régua, traça um segmento de recta AB____

de comprimento

3 cm.

2.° Com o compasso, transporta a medida do segmento (AB____

= 3 cm).

A B

A B

Sim! É mais

fácil!

Ó Bela, na 5.ª classe, aprendemos a classificaros triângulos quanto aos ângulos e quanto aos lados.Agora, vamos aprender a construção dos triângulos.

48


49/96

3.° Com o bico do compasso no ponto A do segmento de recta AB____

, traça o arco dacircunferência de raio 3 cm.

4.° Faz o mesmo na outra extremidade B. Assinala o ponto de intersecção C.

5.° Une os pontos A, B e C e obténs o triângulo [ABC].

2.° caso: Construção de um triângulo isósceles dado o comprimento de dois lados

iguais.Vamos construir o triângulo [QRP], conhecendo as medidas dos lados PQ

____, PR

____e QR

____.

Dados: PQ____

= 4 cm; PR____

= 4 cm; QR____

= 2 cm.

Construção

1.° Com auxílio de uma régua, traça um segmento de recta QR____

de comprimento2 cm.

Q R

A B

C

A B

C

A B

49

GEOMETRIA


50/96

TEMA 22.° Com o compasso, mede o segmento traçado (QR

____= 2 cm).

3.° Com o bico do compasso no ponto

Q do segmento de recta QR____

, traça oarco da circunferência de raio 4 cm.

4.° Faz o mesmo na outra extremidade R.Assinala o ponto de intersecção P.

5.° Une os pontos Q, R e P e obténs otriângulo [QRP].

3.° caso: Construção de um triângulo escaleno, dado o comprimento de três lados.Vamos construir o triângulo [MRA], conhecendo as medidas dos lados MR

_____, RA

____e

MA

_____

.Dados: MR

_____= 4 cm; RA

____= 6 cm; MA

_____= 8 cm.

Q R

50

Q R

Q

P

R

Q

P

R


51/96

Construção

1.° Começa por traçar o segmento de recta MR_____

com 4 cm.

2.° Com o compasso, transporta a medida do segmento RA____

= 6 cm.

3.° Com o bico do compasso no ponto

R do segmento de recta MR

_____

, traça oarco da circunferência de raio 6 cm.

4.° Faz o mesmo colocando o bico docompasso no ponto M. Traça oarco da circunferência de raio8 cm e assinala o ponto deintersecção por A.

M

R A

R

M R

51

GEOMETRIA

M R

M R

A


52/96

TEMA 25.° Une os pontos A, M e R e obténs

o triângulo [MRA].

1. Completa, indicando o nome dos triângulos com as seguintes medidas.

2. Com o auxílio da régua, mede, em centímetros, o comprimento dos lados dotriângulo [ABC] e completa.

AB

____

= ________________________

BC____

= ________________________

AC____

= ________________________

O triângulo [ABC] é um triângulo __________________________________________________ .

a3 cm

4 cm3 cm5 cm

b5 cm

4 cm2 cm5 cm

c2 cm

4 cm3 cm2 cm

Nome do triângulo

52

Exercíc ios

A

B C

M R

A


53/96

Construção de triângulo segundo os ângulos e lados

1.° caso: Construção de um triângulo acutângulo com os comprimentos de doislados e a amplitude do ângulo por eles formados.

Vamos construir um triângulo [ABC], conhecendo as medidas dos lados AB____

== 4 cm, AC

____= 3,5 cm e a amplitude do ângulo BAC^ = 60°.

Construção

1.° Traça o lado AB____

= 4 cm.

2.° Com o auxílio do transferidor, marca o ângulo de 60° com vértice em A.

3.° Marca o ponto C, medindo o comprimento AC____

com a régua, AC____

= 3,5 cm.

4.° Une os pontos A, B e C e obténs o triângulo [ABC].

A

C

B60°

A

C

B60°

A B60°

A B

53

GEOMETRIA


54/96

TEMA 22.° caso: Construção de um triângulo obtusângulo [MRA], conhecendo a medidade um lado e a amplitude dos ângulos adjacentes a esse lado MR

_____= 4 cm.

RMA^ = 45° e MRA^ = 30°

Construção

1.° Traça o segmento de recta MR_____

= 4 cm.

2.° Com a ajuda do transferidor, marca o ângulo RMA^ de modo que RMA^ = 45°.

3.° Com a ajuda do transferidor, marca o ângulo MRA^ de modo que MRA^ = 30°.

4.° Prolonga as semi-rectas, com origens em M e R, até que se encontrem. No pontode intersecção, escreve A.

M

A

R45°

30°

M R45° 30°

M R45°

M R

54


55/96

5.° Une os pontos M, R e A e obténs o triângulo [MRA].

3.° caso: Construção de um triângulo rectângulo [JKL], conhecendo a medida de JK___

= 5 cm e a amplitude do ângulo LJK^ = 35°.

Vamos construir um triângulo rectângulo [JKL], conhecendo a medida do lado JK___

= 5 cm e a amplitude do ângulo LJK^ = 35°.

Construção

1.° Marca o segmento de recta KJ___

= 5 cm.

2.° Com a ajuda do transferidor, ou com umesquadro, marca o ângulo JKL^ de modoque JKL^ = 90°.

3.° A partir do ponto J, marca o ângulo

KJL^ = 35°.

K J

M

A

R° 0°

55

GEOMETRIA

K J

90°35°

K J

90°


56/96

TEMA 24.° Marca o ponto L, intersecção de KL

____e JL

___.

5.° O triângulo [JKL] é o triângulo procurado.

1. Completa e indica o nome dos triângulos formados.

Tipo de ângulos

Ângulo rectoÂngulo obtusoÂngulo agudo

Nome do triângulo

K J

L

°

°

K J

L

90°35°

56

Exercíc ios


57/96

2. Sendo o ângulo CAB^ = 40° e CBA^ = 30°, com ajuda da régua e do transferidor,constrói e classifica o triângulo [ABC], sendo AB

____= 4 cm.

3. Sendo um dos ângulos de um triângulo igual a 90° de amplitude:

a) Que tipo de triângulo se poderá construir?

b) Constrói-o.

4. Dado o comprimento do lado EF____

= 6 cm, constrói o triângulo [EFG] tal que osângulos EFG^ e GEF^ meçam, respectivamente, 110° e 40°. Classifica-o.

5. Constrói e classifica o triângulo [MNP]. MN_____

= 3,5 cm; MP_____

= 4 cm; PMN^ = 90°.

6. Constrói e classifica quanto aos lados os seguintes triângulos.a) O triângulo [ABC]AB____

= 4 cm

BAC^ = 50°

ABC^ = 50°

b) O triângulo [MNP]

MN_____

= 4,5 cm

MP_____

= 5 cm

PMN^

= 90°c) O triângulo [RST]

RT____

= 3 cm

SRT^ = 45°

ATR^ = 45°

d) O triângulo [XOP]

XP____

= 5 cm

XO____

= 3 cm

OXP^

= 45°

57

GEOMETRIA

Exercíc ios


58/96

TEMA 2Quadriláteros

Propriedades dos quadriláteros

Observa as figuras.

Quantos lados têm as figuras A, B, C, D, E, F e G?As figuras A, B, C, D, E, F e G têm 4 lados: são quadriláteros.

No conjunto dos quadriláteros, há diferenças.

Poderás «arrumar» os quadriláteros tendo em conta algumas características co-muns.

A

B

EF

C

G

D

Na 5.ª classe aprendemoso que eram linhas paralelase linhas perpendiculares.Agora vamos estudara classificação dosquadriláteros.

E agora?

58


59/96

Observaste certamente que há quadriláteros que têm, pelo menos, dois lados para-lelos. São trapézios.

Mas também há quadriláteros que têm dois pares de lados paralelos. São paralelo-gramos.

No conjunto de paralelogramos, também há diferença.Quais são os que não têm os ângulos rectos?São os paralelogramos não rectângulos.

O paralelogramo F tem os seus lados geometricamente iguais, então, é um losango.

Os paralelogramos E e G têm os quatro ângulos rectos, são paralelogramos rectân-

gulos.

No conjunto dos paralelogramos rectângulos, também há diferença.Uns têm os quatro lados geometricamente iguais: são quadrados. É o caso do para-lelogramo G.

Outros têm os seus lados paralelos geometricamente iguais, dois a dois: são rectân-gulos. É o caso do paralelogramo F.

E G

D F

D E F G

B C

59

GEOMETRIA


60/96

TEMA 2Propriedades dos paralelogramos

Paralelogramo

obliquângulo

• lados opostos

• paralelos dois a dois

• lados opostos iguais dois a dois

• ângulos opostos iguais dois a dois

e o

nãoqua ra o

• lados opostos paralelos dois a dois


• quatro ângulos rectos

nãoqua ra o

• lados opostos paralelos

dois a dois


• ângulos opostos iguais dois a dois

Quadrado

• lados opostos paralelos dois a dois

• quatro lados iguais

• quatro ângulos rectos

60


61/96

61

GEOMETRIA

Exercíc ios

1. Completa o quadro, escrevendo o nome de cada paralelogramo na primeira co-luna e «sim» ou «não» nas outras colunas, atendendo às propriedades.

Paralelogramos 4 lados1 par de lados

paralelos2 par de lados

paralelos 4 ângulos 4 lados iguais


62/96

TEMA 2

2. Observa os polígonos.

Indica:

a) Os quadriláteros.

b) Os trapézios.

c) Os rectângulos.

d) Os paralelogramos rectângulos.

e) Os paralelogramos não rectângulos.

f) Os quadrados.

3. Diz se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições:a) Os losangos têm lados iguais.

b) Os losangos são quadrados.

c) Os quadrados são rectângulos.

d) Todos os quadriláteros são trapézios.

e) Todos os trapézios são quadriláteros.

f) Todos os paralelogramos são quadriláteros.

g) Todos os quadriláteros são paralelogramos.h) Os rectângulos são paralelos.

i) Os trapézios são paralelogramos.

j) Os rectângulos não são quadrados.

4. Com ajuda da régua e, esquadro, desenha:a) Um paralelogramo.

b) Um quadrado.

c) Um rectângulo.

A B C D EF

62

Exercíc ios


63/96


64/96

TEMA 2Bissectriz de ângulo

Representa um ângulo numa folha de papel.Mede a sua amplitude e regista-a.

Dobra a folha de papel, sobrepondo os lados de um ângulo, e assinala o eixo desimetria.

Com um transferidor, mede a amplitude de dois ângulos.

Com certeza constataste que o ângulo AOB^ ficou dividido em dois ângulos com a

mesma amplitude; a semi-recta OC____

é o eixo de simetria.

O eixo de simetria de um ângulo chama-se bissectriz.

A bissectriz divide o ângulo em duas partes iguais.

Usa o transferidor para representar o eixo de simetria dos seguintes ângulos:

OB

A

C

OB

A

64

a)

b)


65/96

Bissectrizes de um ângulo

Sabes que o triângulo tem três ângulos. Podes traçar a bissectriz de cada ângulo.

Verificaste que as bissectrizes se intersectam num ponto.

Este ponto chama-se unicentro.

65

GEOMETRIA

c)

d)


66/96

TEMA 2

66

Exercíc ios

1. Traça a bissectriz de cada ângulo dos triângulos seguintes.

2. Traça o eixo de simetria das figuras seguintes.

Recorda: Os pontos e figuras do plano que coincidem quando se dobram pelarecta de dobragem estão situados simetricamente em relação a essa recta.


67/96

Área do paralelogramo

Nas classes anteriores, já aprendeste a calcular a área do rectângulo.Recordas também que as figuras equivalentes são as que têm a mesma área, em-

bora tenham formas diferentes.Vamos calcular a medida da área do paralelogramo, usando papel ponteado.Constrói um rectângulo equivalente. Cortamos o triângulo à direita e juntamos àesquerda, obtendo um rectângulo equivalente.O rectângulo obtido e o paralelogramo têm a mesma base (b) e a mesma medidada altura (h).

Como sabes, a medida da área do rectângulo é b × a. Portanto, a medida da área

do paralelogramo será também A = b × a. A área do paralelogramo é igual ao pro-duto da base pela altura.

1. Calcula a área dos paralelogramos seguintes.

2. Se a área de um paralelogramo é igual a 17,68 cm2

e se a medida da altura é 3,4 cm, determinaa medida da base do paralelogramo.

3. Traça a altura dos paralelogramosapresentados à direita.

5 cm

10 cm

2,5 cm

5 cm

base

base

base

altura altura

67

GEOMETRIA

Exercíc ios


68/96

TEMA 2 Área do triângulo

Vais agora aprender como se obtém a área de um triângulo.Conta o número de quadrículas do rectângulo.Quantas quadrículas tem o triângulo colorido?

Observaste que há 180 quadrículas no rectângulo e 90 no triângulo. Como a áreado rectângulo é igual a b × a (b é a base e a é a altura), logo, a área do triângulo é

igual a ou (h é a altura).

1. Calcula a área de cada uma das superfícies coloridas.

2. Desenha no teu caderno vários triângulos de diferentes dimensões. Tira as di-mensões e calcula a área de cada um.

5 cm

7 cm

8 cm

9 cm

3 cm

2,5 cm

A b h

=

×

2A

a b =

×

2

68

Exercíc ios


69/96

Área do círculo

Cálculo da medida da área do círculo

Traça um círculo numa cartolina e divide-o em 12 sectores idênticos. Recorta essessectores e coloca-os, como se vê na figura à direita, de modo a obteres aproximada-mente um paralelogramo.

Podes concluir que:

• o comprimento da figura é aproximadamente metade do perímetro do círculo;

• a sua altura é aproximadamente idêntica ao raio do círculo;

• a área da figura é aproximadamente idêntica à área do círculo.

A r○ = ×Π 2

Área do círculoP

r

rr

r r

r

= ×

= ×

= × ×

=

2

22

2

Π

Π

Π

A área do círculo = metade do perímetro × raio

Metade da circunferência

Raio

69

GEOMETRIA


70/96

TEMA 2

1. Calcula a área de um círculo cujo diâmetro mede 3 cm.

2. Completa a tabela seguinte.

3. Calcula a área da superfície colorida cujas circunferências que a limitam têmcomo medida de raio 16 cm e 46 cm, respectivamente.

4. De uma tábua de madeira com 32 cm de largura e 2 m de comprimento, foramrecortados discos com 16 cm de raio.a) Qual é o número máximo de discos que foram recortados?

b) Qual é a área da tábua de madeira que foi desperdiçada?

5. Determina a área da superfície colorida.

12 cm

14 cm

18 cm

Raio em cm5

Diâmetro em cm 13

124

Área em cm2

13

124

Perímetro

87,92

70

Exercíc ios


71/96


72/96

TEMA 2 Volume de prismas rectos não triangulares

Qualquer prisma recto pode ser considerado uma composição aditiva de prismastriangulares rectos que têm a mesma altura que o prisma inicial e as bases cujasáreas somam a área da base do mesmo prisma.

O volume de qualquer prisma recto calcula-se multiplicando a medida de área de base pela altura.

1. Calcula o volume de um prisma recto cujas bases são triângulos rectângulos ecujos catetos medem, respectivamente, 4,2 cm e 3,8 cm. A altura do prisma é de5 cm.

2. Calcula o volume de um prisma quadrangular cuja área da base mede 25 cm2 ea sua altura 8 cm.

Volume do cilindro

base

base

altura

72

Exercíc ios


73/96

Vamos inscrever prismas nesses cilindros.

Observaste que, à medida que o número de lados do polígono da base aumenta, oprisma inscrito se aproxima cada vez mais do cilindro.

Para calcular o volume do cilindro, aplica-se a fórmula do cálculo da medida dovolume do prisma. Como as bases do cilindro são círculos, o cálculo da medida dovolume do cilindro é dado por .

A medida do volume de um cilindro é igual ao produto da medida da área da basepela medida da altura.

Exemplo: calcula o volume do cilindro seguinte.

1. Calcula o volume de um cilindro que tem 10 cm de diâmetro e 10 cm de altura.

2. Completano quadroos dadosem falta.

V A h

A r cm

cm

c b

b

= ×

= × = × ( )

= =

Π 22 2

2

3 14 1 5

7 065

, ,

, 00 7065

0 7065 6 4 239

2

2 3

,

, ,

cm

V cm m mc = × =

V r hc = × ×Π2

V r alturac = × ×Π2

73

GEOMETRIA

6 cm

3 cm

Exercíc ios

Diâmetro13 cm

Raio

6 cm

Área

7,85 cm2

Volume

8,635 cm3

424,116 cm3

Altura3,5 cm4 cm

2,1 cm


74/96

• Sucessões numéricas

• Sucessões numéricas proporcionais

• Proporcionalidade directa

• Sistema de coordenadas rectangulares

• Proporções

• Noções de proporção

• Propriedade fundamental das proporções

•Percentagens

• Percentagens e cálculo mental

• Conversão de fracções ordinárias em percentagens

• Gráficos circulares

• Escala


75/96

Proporcionalidade

TEMA 3


76/96

TEMA 3Sucessões numéricas

Um camponês cultivou durante seis dias as seguintes áreas:No 1.° dia cultivou 2,5 ha.

No 2.° dia cultivou 2 ha.



No 5.° dia cultivou 2,5 ha.


Representamos numa tábua os dias e as áreas cultivadas.

2,5; 2; 3; 1; 2,5; 3 é uma sucessão. Cada número natural 1, 2, 3, 4, 5, 6 correspondea um só número da sucessão. Cada número da sucessão chama-se termo.1 é o quarto termo da sucessão.

Indica o 2.° e o 5.° termos da seguinte sucessão:

Completa as sucessões seguintes:

a) 2, 4, 6, 8, …, …, 14, …, …, …, 22

b) 0, 5, 10, 15, …, …

Sucessões numéricas proporcionais

Comparemos as seguintes sucessões:

a) 1.a Sucessão 1 2 3 4 5

2.a Sucessão 3 5 6 7 10

b) 1.a Sucessão 1 2 3 4 5

2.a Sucessão 2 4 6 8 10

13

23

33

43

53

63

73

; ; ; ; ; ;

Dias 1 2 3 4 5 6

76


77/96

Mediante comparação, verificamos:

• Nos dois exemplos, cada termo da segunda sucessão é maior do que o seu cor-respondente na primeira.

• No exemplo b), obtemos cada termo da segunda sucessão multiplicando por 2 otermo correspondente da primeira ou, vice-versa, cada termo da primeira sucessão

obtém-se multiplicando por o termo correspondente da segunda.

• Isto não se verifica nas sucessões do exemplo a).

A relação que existe entre as duas sucessões do exemplo b) tem o nome de propor-cionalidade.

Definição: Duas sucessões numéricas são proporcionais, se cada termo de umasucessão se obtiver multiplicando por um factor constante o termo correspondenteda outra. Este factor denomina-se factor de proporcionalidade.

Para investigar se duas sucessões numéricas são proporcionais, formamos os quo-cientes de cada dois termos correspondentes. Se todos estes quocientes são iguais,

então as sucessões numéricas são proporcionais.

Proporcionalidade directa

Um automobilista percorre 30 km por dia. Quantos quilómetros percorre o auto-mobilista em dois, quatro, cinco, oito e dez dias?Colocamos os resultados numa tabela.

Obtemos assim duas sucessões: a sucessão representada pelo número de dias e adistância correspondente percorrida.

a) 2 4 5 8 10

b) 60 120 150 240 300

Dias 2 4 5 8 10

12

77

PROPORCIONALIDADE


78/96

TEMA 3Repara que em dois dias o automobilista percorreu 60 km:

2 × 30 km = 60 km.

Em 4 dias, o automobilista percorreu 120 km:

4 × 30 = 120 km.

As duas sucessões são proporcionais.

Porque, para obter a sucessão b), terá de se multiplicar cada termo da primeirasucessão por uma constante (neste caso por 30) e, vice-versa, para obter a primeira

sucessão, terá de se multiplicar cada termo da segunda sucessão por uma constante(neste caso por ).

As duas sucessões são chamadas proporcionalidades directas.

Duas sucessões são ditas proporcionalidades directas se os quocientes entre ostermos correspondentes dessas sucessões forem iguais.

1. Dos quadros seguintes, quais são proporcionalidades directas e porquê?

B 6 12 18 24 30

A 1 2 3 4 5

D 2 3 4 5 6

C 10 15 20 24 30

F 10 20 30 40 50

E 1 2 3 4 5

H 7 8 9 10 11

G 14 16 18 20 22

7

35

12

24

602 1204 1506 2408 30010 30= = = = =

130

78

Exercíc ios


79/96

Sistema de coordenadas rectangulares

Dois termos correspondentes de duas sucessões numéricas formam um par numé-rico.Sejam as duas sucessões numéricas proporcionais.

Se se determinar qual dos números de um par numérico se deve nomear primeiro,então o par denomina-se par numérico ordenado.Assim, os pares ordenados (x,y) são: (1,3); (2,6); (3,9); (4,12); (5,15); (6,18); (7,21);(8,24); (9,27). E os pares ordenados (y,x) serão: (3,1); (6,2); (9,3); (12,4); (15,5); (18,6);(21,7); (24,8); (27,9).

Gráficos cartesianos duma proporcionalidade directa

Sabes representar números fraccionários mediante pontos numa semi-recta numé-rica e podes representar graficamente pares numéricos ordenados numa parte deplano. Para os representar,traçam-se duas semi-rectasnuméricas perpendicula-res entre si e de origem 0.Estas duas semi-rectas nu-méricas formam o sistemade coordenadas rectangu-lares (sistema cartesiano).

Cada uma delas chama-seeixo de coordenadas. Oseixos de coordenadas re-presentam-se frequente-mente por x e y. O eixo decoordenadas representadopor x denomina-se eixodas abcissas; o eixo repre-sentado por y designa-se

por eixo das ordenadas.

x 1 2 3 4 5

18

6

21 24

7 8

27

9

79

PROPORCIONALIDADE

01 9 x8765432

27

y

24

21

18

15

12

9

6

3


80/96

TEMA 3Representamos os pares ordenados das sucessões precedentes num sistema decoordenadas.

Todos os pontos da representação gráfica desta proporcionalidade estão situadosnuma mesma recta, que passa pela origem 0.Se não existe proporcionalidade directa, então os pontos da representação gráficanão estarão situadas numa recta.

Exemplo: o gráfico seguinte não representa o gráfico da proporcionalidade directa.

1. A tabela seguinte refere-se a duas sucessões.

a) Diz se nas duas sucessões há proporcionalidade directa.

b) No caso de serem proporcionalidades directas, calcula a constante de pro-porcionalidade.

2. Nas duas sucessões numéricas dadas a seguir, indica os 5 primeiros termos.

a) A cada número natural faz-se corresponder o seu duplo.

b) A cada número natural faz-se corresponder o número que se obtém ao mul-

tiplicá-lo por .

c) A cada número natural faz-se corresponder o seu triplo, diminuído em 2,5.

d) A cada número natural faz-se corresponder o seu quadrado.

32

Distância (km) 120 300 150 360 540 660

Tempo (h) 2 5 2,5 6 9 11

y

x

80

Exercíc ios


81/96

3. Investiga as sucessões numéricas (I) e (II) e verifica se são proporcionais. Funda-menta as tuas afirmações. Indica em cada caso a constante de proporcionalidade.

a) (I) 1; 2; 3; 4; 5; 6.(II) 3; 6; 12; 15; 18.

b) (I) 2; 4; 6; 8; 10;12.(II) 3; 5; 7; 9; 11; 13.

c) (I) 48; 42; 36; 30; 24; 18.

(II) 24; 21; 18; 15; 12; 9.d) (I) 3; 5; 7; 9; 11

(II)

4. Representa num sistema de coordenadas rectangulares a relação entre suces-sões numéricas (I) e (II).

5. Determina o factor (constante) de proporcionalidade para as sucessões numéri-cas proporcionais.

a) 1; 2; 3; 4; 5; 63; 6; 9; 12; 15; 18

b) 2; 3,5; 5; 6,5; 83; 5,25; 7,5; 9,75; 12

c) 2; 4; 6; 8; 1018; 9; 6; 4,5; 3,6

Proporções

Noção de proporções

Numa turma da 6.a classe, há duas alunas para um total de 9 alunos, isto é, duas

alunas para cada 9 alunos ou ainda 2 para 9 ou 2 : 9 ou ou (2 : 9). Representa um

quociente que permita comparar dois números.

O quociente indicado entre dois números a e b (em que b =/ 0) chama-se razão entre

eles, a : b ou .

Na razão, a é o antecedente e b é o consequente.

a

b

29

2103

113

6223

; ; ; ;

81

PROPORCIONALIDADE

Exercíc ios


82/96

TEMA 3A Joana comprou 8 kg de carne a 80 kz num supermercado e a sua irmã comprou5 kg no talho e pagou 50 kz.

Exprimimos esses dados sob a forma de quocientes e comparamos.

As fracções são equivalentes porque as razões que apresentam são iguais.

Logo, podemos escrever ou 80 : 8 = 50 : 5.

Esta igualdade lê-se: 80 está para 8 como 50 está para 5.

Uma igualdade entre duas razões a : b = c : d ou chama-se proporção.

Designação dos termos de uma proporção

Consideremos, por exemplo, a proporção.

a, b, c e d são termos da proporção. O antecedente da primeira razão (a) e o conse-quente da segunda razão (d) são chamados extremos da proporção. O consequenteda primeira razão (b) e o antecedente da segunda razão (c) são chamados meios daproporção.

ou

Na proporção , 5 e 6 são extremos, 3 e 10 são meios.

Propriedade fundamental das proporções

Seja a proporção .

Multiplicamos os meios: 5 × 12 = 60Multiplicamos os extremos: 3 × 20 = 60

35

1220

=

53

106

=

a

b

c

d

=a

b

c

d

=a b c d: :=

a b cd ou a b c d= =: :

a b

cd

=

808

505

=

808

505

e

808

10505

10= =e

82

meios

extremos

extremos meios


83/96

Assim, 5 × 12 = 3 × 20Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Isto verifica-se para todas as proporções.

Se (b, d =/ 0), então b × c = a × d.

1. Forma duas razões iguais dos quatro números dados.

a) 14, 26, 28, 13 b) 4, 12, 6, 18c) 5, 4, 10, 8 d) 5, 3, 25, 15

2. A partir da propriedade fundamental das proporções, resolve as seguintes equa-ções.

a) b) c)

d) e) f)

3. Comprova se as seguintes propo

matematica manual do aluno 6ª classe

Documents