matemÃ¡tica universitaria conceptos y aplicaciones en ingenierÃ

8/15/2019 MatemÃ¡tica universitaria conceptos y aplicaciones en ingenierÃ

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MATEMÁTICAUNIVERSITARIA:

Conceptos y Aplicacionesen Ingeniería(1ª edición revisada)

Ana Patricia Ramírez V.Juan Carlos Cárdenas A.

(Mayo 2012)


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Contenidotemático:

1. Conceptos básicos de ÁlgebraNúmeros reales y uso de la calculado

Exponentes y radicalOperaciones con Polinomi

FactorizaciExpresiones racional

2. Ecuaciones y DesigualdadesEcuaciones linealEcuaciones cuadrátic

Ecuaciones de forma cuadrátiEcuaciones con radical

Sistemas de ecuaciones lineal Apli cac ión de sistemas de ecuacion

Desigualdades lineaDesigualdades no-linea

Aplicac ión de desigualdad

3. Funciones y gráficasConceptos básicos de funcion

Dominio máximo de funcionSistema de coordenadas rectangular

Gráfica de una función constante y lineFunción lineal, gráficas y aplicacion

Función cuadrática, gráficas y aplicacionGráficas de funciones definidas por part

4. Funciones exponencial ylogarítmica

Funciones y ecuaciones exponencialFunciones y ecuaciones logarítmic

Interés compuesto: aplicaci

5. TrigonometríaConceptos básicos en trigonomet

Funciones trigonométricas y sus gráficTriángulos rectángulos y aplicacion

Identidades trigonométricCírculo trigonométri

Ecuaciones trigonométricLey de Senos y aplicacion

Ley de Cosenos y aplicacion

6. GeometríaClasificación triángulos y ángulTeorema de Thales y aplicacion

Figuras geométricas: áreas y volúmenProblemas de aplicaci


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Prefacio al estudianteHe aquí algunas sugerencias para iniciar este curso y terminarlo con éxito:

Lea el material antes de cada clase. Si usted conoce de la materia que se verá eclase y lo que contiene el libro, podrá ocupar más tiempo en escuchar y comprender exposición del profesor.

Después de la clase reescriba sus notas mientras vuelve a leer el tema tratadremarcando los conceptos adicionales que parezcan útiles. Resuelva los ejercicioasignados cada lección.

Si algo le confunde es aconsejable que consulte a su profesor antes de atrasarse. Eese caso lleve sus tentativas de solución a los ejercicios para que el profesor ubiqucon claridad sus puntos problemáticos.

Trate de cumplir estas 5 Reglas de Oro:

1. ¡NO SE ATRASE! El curso es muy rápido y recuperar el tiempo perdido resulta m

difícil.2. ¡NO FALTE A CLASES! Para cumplir con el punto anterior no falte a la clase,

mayoría de los temas tienen relación con el anterior. Al faltar, puede que usted sienta perdido y desmotivado, y tal vez hasta necesite recurrir a un tutor externo.

3. ¡RESUELVA MUCHOS PROBLEMAS! Todo necesita práctica y los problemas ayudarán a descubrir los puntos que aún no tiene claros. Para ayudarlo con este punsu profesor le asignará ejercicios semanales de tarea. Hágalos a conciencia y variveces si es necesario.

4. ¡EVALUACIÓN CONTÍNUA! No falte a los quices semanales, además de ser parte la calificación del curso, le ayudarán a entrenarse para los exámenes (vencer lnervios). Los quices son una herramienta tanto para usted como para su profesopara analizar en qué puntos no está clara la materia, y qué partes debe repasar.

5. ¡CREA EN USTED! Todos podemos aprender y quitarnos esas fobias, no piense qla matemática es difícil, si le costó durante su época colegial, no necesariamenpasará igual en la Universidad. Hay que considerar que muchos temores no s linfunden en los años que somos más susceptibles, la niñez o la adolescencia. Ahousted es un estudiante universitario y su futuro está en sus manos…pi ense que puey ¡podrá!


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INTRODUCCIÓN¿Qué son las matemáticas? Durante siglos, matemáticos y filósofos han tratado de dar urespuesta simple a esta pregunta aparentemente simple. Un filósofo podría decir que lmatemáticas son un lenguaje, mientras que los defensores de la lógica podrían decir que lmatemáticas son una extensión de la lógica misma.

La mayoría de los conceptos matemáticos básicos tienen sus raíces en las situaciones físicque los hombres encaran en su vida diaria. Por ejemplo, uno de los conceptos más primitivy básicos de todos es el de contar. Al mismo tiempo este concepto es la raíz de otrconceptos tan abstractos como el número y la aritmética.

Así por ejemplo, dos piedras y tres piedras son cinco piedras, lo que nos conduce a unproposición más general: dos cosas y tres cosas son cinco cosas, es decir:

2 + 3 = 5

La habilidad del hombre para formular conceptos relacionados con la experiencia física eproporciones abstractas, breves y concisas de este tipo, ha sido la base para el desarrollo duna civilización fundada en la comprensión de su medio ambiente.

Los antiguos mercaderes árabes desarrollaron una notación conveniente y sistemática comuna ayuda para conservar la cuenta de sus bienes. Los antiguos egipcios desarrollarmuchas de las ideas fundamentales de trigonometría para poder determinar los límites de lpropiedades después de los desbordamientos del río Nilo. Isaac Newton fue inducidoconsiderar los conceptos fundamentales del tema llamado ahora cálculo para describir conducta de los objetos en movimiento.

Como vemos, estos conceptos han sido el resultado de la necesidad de determinar algocomo un suplemento a nuestro lenguaje ordinario.


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INDICE

1. CONCEPTOS B SICOS DEL LGEBRA 11.1 Números Reales y uso de la calculadora 11.2 Exponentes y Radicales 101.3 Operaciones con Polinomios 19

1.4 Factorización de Polinomios 331.5 Expresiones fraccionarias: Simplificación 441.6 Racionalización 55

2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES 572.1 Ecuaciones lineales 57 2.2 Ecuaciones cuadráticas 612.3 Ecuaciones con radicales 682.4 Sistemas de ecuaciones lineales 712.5 Problemas de aplicación 772.6 Desigualdades 822.7 Problemas de aplicación 92

3. GR FICAS Y FUNCIONES 943.1 Cálculo de ámbitos, imágenes y pre-imágenes 98 3.2 Dominio máximo de funciones 1043.3 Sistemas de coordenadas rectangulares 109 3.4 Función lineal 1103.5 Gráfica de una función constante y una lineal 1163.6 Gráfica de una función cuadrática 1203.7 Gráfica de funciones definidas por partes 128

4. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGAR TMICA 1344.1 Funciones y Ecuaciones Exponenciales 1344.2 Funciones y Ecuaciones Logarítmicas 1394.3 Aplicaciones de las ecuaciones exponencial y logarítmica 154

5. TRIGONOMETRÍA 1615.1 Conceptos básicos 1615.2 Cálculo de funciones trigonométricas y valores de ángulos 1645.3 Triángulos rectángulos 1685.4 Problemas de aplicación usando triángulos rectángulos 1705.5 Identidades trigonométricas 1785.6 Círculo trigonométrico 1835.7 Ecuaciones trigonométricas 1865.8 Ley de Senos y de Cosenos: Aplicaciones 190

6. GEOMETRÍA 2026.1 Clasificación de ángulos 2026.2 Clasificación de triángulos 2056.3 Teorema de Thales 2096.4 Figuras geométricas básicas: áreas y volúmenes 213


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PRODUCTOS ESPECIALESY

FORMULAS DE FACTORIZACION

222 2 bababa

222 2 bababa

bababa 22

32233 33 babbaaba

32233 33 babbaaba

2233 babababa

2233 babababa

LEYES DE POTENCIAS

nmnmaaa nnn baab )(

mnnmaa )(

nm

n

m

aa

a

n

nn

b

a

b

a

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

mnm nnnnnmn m aabaabaa /


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Matemática Cap. 1: CoUniversitaria básicos de

Derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total

1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA

El álgebra clásica se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de númeespecíficos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgemoderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructumatemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objecon reglas que los conectan o relacionan.

Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebrael idioma de las matemáticas.

En este capítulo se presentan los números reales y sus propiedades. Se realizan operaciocon potencias, radicales y combinaciones de estas. Se introducen las expresiones algebracon sus operaciones básicas, y también se estudiarán diversos métodos de factorizacióracionalización para estas expresiones.

Finalmente se estudia la simplificación de expresiones racionales y complejas a su forma msimple, con el fin de facilitar los cálculos y el tiempo de evaluación numérica.

1.1 Números reales y uso de la calculadora.

El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Eellas, se pueden mencionar los siguientes 4 conjuntos:

Conjunto de los números naturales: que se denota por ó también por + {0} 1. usualmente se presenta así:

= {0,1, 2, 3, 4, 5, ...}Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de

sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales.

2. Conjunto de los números enteros : que se denota por , usualmente se presenta a = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

En el conjunto de los números enteros, se incluyen los números negativos. Nótese los números naturales están contenidos en el conjunto de los números enteros, es d

escrito en forma matemática,

3. Conjunto de los números racionales: que se denota por , simbólicamenterepresenta así:

= { , a , b , b 0 }

tiene como característica ser un conjunto denso, es decir que entre dos númracionales cualesquiera, siempre existe otro racional. En lo sucesivo, cuando se hreferencia a cualquier número racional a/b, se entenderá que a y b son números entey que los denominadores son diferentes de cero.

4. Conjunto de los números irracionales : en muchos temas de la geometría se planen general, problemas para cuya solución el conjunto de los números racionresulta insuficiente. Así, por ejemplo, al considerar el problema de determinar la long


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de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permestablecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2. El conjunto de los números irracionaque se denota por *, está constituido por los números reales que no admitenrepresentación racional. Ejemplos de esta clase de números son el número e (baselogaritmo natural), , , etc. En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones quetienen solución en , como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cusoluciones son: x = , que no son números racionales. Los números irraciontambién se representan con el símbolo

Finalmente se define el Conjunto de los números reales como : Gráficamentetipos de números que utilizaremos en el estudio del álgebra se aprecian en la siguiente figura

Figura no.1: Conjunto de los números reales.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedades en la suma

La adición esconmutativa

abba 5+4=4+5No importa el ordenal sumar dosnúmeros.

La adición esasociativa

cbacba 354354 No importa elagrupamiento alsumar tres números

La adición tieneelemento neutroaa 0 303 Al sumar 0 a todonúmero se obtiene

el mismo número.

En la adición, a es el inversoaditivo de a

0 aa 022 Al sumar un númerocon su negativo seobtiene cero.

Números Reales,

Irracionales{... - ,-2, 2, ,...} Racionales {... -7/8,-3/4,1/4,27/9,...}

Enteros {... -2, -1, 0, 1, 2...}

Enteros Negativos - { …, -4,-3,- 2,-1}

+ {0} Números naturales { 0, 1, 2, 3,... }


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Propiedades en la multiplicación

La multiplicación esconmutativa

abba 123443 No importa el orden cuse multiplican dos númer

La multiplicación esasociativa

)()( cbacba )53(25)32( No importa el agrupamcuando se multiplican números.

El 1 es el elementoneutro multiplicativo

aa 1 515 Al multiplicar cualnúmero por uno se obtiemismo número.

Sia

aa 1,0 1 será

su inverso multiplicativo1

1

aa 1

4

14

Al multiplicar un núdiferente de cero porreciproco se obtiene cero

Propiedades de los números negativos

La Ley de Signos dice que: a) producto de signos iguales = resultado positivob) producto de signos diferentes = resultado negativoc) –(a-b) = -a+b, es decir, se distribuye el signo “–“.

Estas y otras propiedades de los números negativos, se resumen en el siguiente cuadro:

aaa )()1( 5)5()1(5

baba 63232

baba 42626

)( baba 24)38(38

baba 85353

aa 1 881

Valor absolutoEl valor absoluto de un número cualquiera a se denota colocando el número entre 2 baverticales, así: a , y se define como:

a , si 0a

a 0 , si 0a

a , si 0a De la definición podemos concluir que cuando hablamos del valor absoluto de cualqnúmero a, siempre tendremos como resultado ese número a, pero positivo.Visto de otra forma, y con la ayuda de la recta numérica, el valor absoluto de un número ind

la distancia que hay entre este y el origen. Esto se aprecia claramente en la siguiente figura

Figura N° 1 Concepto de valor absoluto, tal que │3│ = 3, y │-3│ = 3

-3 3

3 3


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Prioridad de las operaciones

Primero se efectúan las potencias y radicales, de izquierda a derecha según comoaparezcan.

Seguidamente, las multiplicaciones y divisiones, igual de izquierda a dere(direccionalidad)

Por último, las sumas y restas.

Si la operación contiene paréntesis se debe seguir el siguiente orden:Primero los paréntesis redondos o los más internos.Luego los paréntesis cuadrados o corchetes.Por último las llaves o más externos.

Dentro de cada paréntesis se debe seguir la prioridad de las operaciones.

Ejemplo 1.1: Calcule el valor de la expresión 25632

23032

25632

Se realizan las operaciones de los paréntesis

internos. Note que aplicando la jerarquíaoperacional, primero se multiplica y luego se suma.

70352

3232

Se vuelve a sumar dentro del paréntesis y por últimose efectúa la multiplicación, para obtener el resultadofinal.

Ejemplo 1.2: Calcule el valor de la expresión

25

4

10

7

2

5

5

4

3

11

2

5

4

3

3.

2.1.

25

4

10

7

2

5

5

4

3

11

2

5

4

3

No No

No

Se tienen tres términos separados por sumas y restas.

8

7

4

12

8

7

5

14

10

72

6

7

4

3

Primeros se realizan las operaciones de los paréntesisy luego se suman las fracciones.

Leyes de PotenciaCuando hablamos de una potencia, esta se define como el producto de un número pomismo, las veces que lo indica el exponente. De esta forma:

a • a • a • a • a • n veces = an Está compuesta por:

62554 De esta forma tenemos, por ejemplo: -5·-5·-5·-5 = (-5)4 = 625

Potencia

Exponente

Base


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Las leyes de potencia se describen a continuación:

Producto potencias de igual base)( nmnm

bbb

23 · 24 = 27 = 128

División potencias igual base)( nmnm

bbb

24 ÷ 22 = 24-2 = 4

Potencia de una potencia

)( nmnm bb (52)3 = 52·3 = 15625

Potencia de un producto

mmm

baba (10 · 3 · 5)3 = 3375000

Potencia de una fracción

m

mm

b

a

b

a

49

9

7

3

7

32

22

Potencia con exponente negativo

m

m

bb

1

25

125

Potencia con exponente cero

10 b

(9)0 = (-7)0 = (½)0 = 1

Potencia con exponente fraccionario

n

m

n mbb 3

43 4 55

Ejemplo 1.3: Calcule el valor de la expresión2

1

2

342

2

7

5

2

3

5

9

44

2

1

10

39

3

5

2

342

2

7

5

2

3

5 2

1

Se suman las fracciones dentro del paréntesis, se elevan alexponente correspondiente los términos.

18

145

9

42

2

13 Se hacen las multiplicaciones de cada término. Finalmente se

suman las fracciones.

Ejercicios de Práctica

1)

25

4

10

7

2

5

5

4

3

11

2

5

4

3 8

7/ R

2)2

3

5

4

3

7

5

16

5

3

10

12

3

7

12

1

4

13

4

9/

R

3)

3

1

4

5

6

12

8

1

9

11

7

2

6

5

2

1 42

1/ R

4)

2

1

3

2

4

3

2

3

3

7

5

1

2

11

5

11 5

12/

R


13/226



5)

3

1

5

112

4

32

3

1

5

165

31

31

31 3/ R

6)

4

131

31

41 112

2

1

12

11

6

543

3

46/ R

7)

12

13123

3

11

4

142

31

41

21

31

21

41

24

11/ R

8) 2

6

1

3

523

4

4

3

8

7

1

14

1

252

515/ R

9) 72 3 8

7/ R

10) 3422

7

5

2

3

5 1

2

11/ R

11) 23463 1 3/ R

12) 43

4 2

4

9/ R

13)2

2

9

4

1

2

1

7

2

2

1

4

3

7

1

3

2

475

288/ R

14)4/1

2

01

3

16

1

5

2

81

16

323

1

627

1096/ R

15)

23/1

23

013

23

1

5

1

8

1

)1(2

633 1143

1580/ R

16)2

2

28

26232

22

52

4

529

/ R

17) 111 32 56

/ R


14/226



18)2

23

3

4

4

1

2

1

2

9/

R

19)3

32 10 9

4/ R

20) 31

20

21

43

54

17/ R

Leyes de Radicales

La radicación es la operación inversa a la potenciación, y consiste en que, conociendopotencia y el exponente, se calcule la base. La radicación está compuesta por:

6362 En la práctica el índice 2 se omite, es decir, no aparece, por lo tanto si nos encontramos raíz sin índice se asume que es una raíz cuadrada. Así: 636 .

Las propiedades o leyes de radicales son

1. nnn baba ·· entonces 3333 805·165·16

2. mnm n aa entonces 226464 6 62·33

3. nmn m

aa entonces 434 3 55

4.n

n

n

b

a

b

a entonces

3

4

27

4

27

4 3

3

33


42

6428

1

1

133

3

8

18

3

8

1

8

1

2

1

42

1

)4(2

2

1

42

642

8

1 1

1

133

Note como se siguen respetandola jerarquía operacional, ademásde aprovechar las propiedades depotencias y radicales.

Note que en la calculadora científica usted ya puede introducir esta expresión en forma completa, paraello la forma correcta de escribirla sería:

4)1(2))1())64(2(3/18/1( 3

Cantidadsubradical

Índice o gradode la raíz

Signo radicalRaíz cuadrada


15/226




21) 4 36 6/ R

22)6 64 2/ R

23) 32

8 4/ R

24)333 729327264 25/ R

25) 32

27

1

5

3

3

2

2516

/ R

26)3 3

3/12/1

12

8

1

6

1

6

1

18

5

18

1/ R

27) 3 825 5/ R

28)

3

1

6 864

1 4

1/ R

29)4

9

32

243 5/1

1/ R

30)41

523

61

31

2

18

191

/ R

31)

2

21

3

5

3

81

4

323

1

138

31/

R

32)

42

6428

1

1

133

3/ R

33)

33/1

3

13

38

1

14.2

332 583

12/ R


16/226



34)2

01

3

5

2

81

16

323

1

627

158/

R

35)

2

21

3

5

3

81

4

232

1

184

33/

R


17/226



1.2 Exponentes y radicales.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica, es cualquier expresión compuesta por números y letras, por ejem

8a3b2c, 2x1/2 ,

es una expresión algebraica, en este caso un monomio, el cual tiene co

parte numérica al número 8 y como parte literal a3b2c. Nótese que los exponentesconsideran parte literal.

Existen dos tipos de expresiones algebraicas, y son:

a) Monomios: Es una sola expresión algebraica. Ejemplos de monomios son:

4x4y2 como se puede ver es una sola expresión con partenumérica y parte literal

8a

3

b

2

c

en este caso la letra c no tiene exponente, cuando esto

suceda se asume que dicho exponente es 1, así: 8a3b2c1

m2n3 en este caso aparentemente no hay una parte numérica,cuando esto suceda nosotros sabremos que hay un 1,así: 1m2n3

b) Polinomios: Son dos o más expresiones algebraicas (con diferente parte literal) queestán sumando o restando. Ejemplos de polinomios son:

3x2y +5x3y2 Este es un polinomio de dos términos o binomio.las partes literales son diferentes, pues los

exponentes no son iguales.

3x4 +xyz -2y2zAhora tenemos un polinomio de tres términos otrinomio.

a3 -a2b +2ab2 -5b3 Otro ejemplo de polinomio.


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Como se puede ver, los polinomios tienen la forma:1 2· · · ·n na x b x f x g x h x·

Se le llama grado de un polinomio al mayor de los valores de los exponentes de los coeficienliterales del polinomio, al cual llamaremos “n”. Esto indica que el polinomio puede tenemáximo de “n” soluciones. Así por ejemplo:

Q(x) = x3 + 2x2 + 5x + 3 polinomio grado 3 Q(x) = x4 + 2 polinomio grado 4

Q(x) = 5 polinomio grado 0

En álgebra, cuando se habla de términos semejantes se refiere a aquellos monomios tienen los mismos coeficientes literales.

4x4y2 ¾ x4y2 Términos semejantes ya que ambos tiene elmismo coeficiente literal x4y2

8a3b2c 8a3b2c2 Términos no-semejantes, ya que el coeficienteliteral “c” tiene exponentes distintos.

n3 2 n3 Términos semejantes ya que ambos tiene elmismo coeficiente literal n3.

OPERACIONES CON MONOMIOS

Multiplicación de Monomios

Al realizar la siguiente multiplicación de monomios se obtiene:

(3 x2) (5 x

3) = 3(5) x

2+3 = 15 x

5 (se conserva la base y se suman exponentes)

Y es que para multiplicar monomios no es necesario que sean términos semejantes, ya quprocedimiento consiste en multiplicar por un lado la parte numérica y por la parte literal. esta forma podremos multiplicar un monomio con cualquier otro monomio.

Por ejemplo, se desea multiplicar: a) 5x2y5 b) 2x3y2zDebemos tratar por separado a la parte numérica y a la parte literal. Primero evaluemos la pnumérica:

(5x2y5)(2x3y2z) la parte numérica es algo que ya conocemos y que no cambiara, 5 2 = 10En la parte literal debemos tomar especial cuidado con las letras que se repiten en los térm

pues los exponentes se sumaran.Primero vemos que se repite la letra x, y luego la letra y:

(5x2y5)(2x3y2z) primero para la letra x, sumamos los exponentes 2+3 =(5x2y5)(2x3y2z) ahora sumamos los exponentes de la letra y, 5+2 = 7

(5x2y3)(2x3y2z) = 10 x2+3 y3+2 zAtención con la respuesta: 10 x5 y5 z


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Factores primos

En ocasiones el factor numérico es muy elevado por lo que para poder multiplicarlo o divides más sencillo si lo llevamos a sus factores primos dada la limitación de la calculadora pmanejar cifras muy elevadas.

Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se pu

descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de númeprimos y sus potencias.

Por ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 2×2×3×5factores primos de 60 son 2, 3 y 5, tal que:

60 = 2 2 3 5

= 22 3 5

Ejemplo 1.5: Efectúa la multiplicación de monomios indicada.

)60)(81( 1232/11 baba Para multiplicar los monomios, se pasa el factor numérico a susbases más simples (factores primos).

)532)(3( 12232/1)1(4 baba Se multiplican los exponentes del factor primo con el externo.

27

20

3

52

523

523

22/3

3

22/32

22/323

1322/1214

ba

ba

ba

ba

Se conserva la base y se suman exponentes, para poner enexponente positivo se pasa al denominador.

División de Monomios

Para dividir monomios tampoco es necesario que estos sean términos semejantes.

Por ejemplo se pueden dividir los monomios, 81a2b3c4d5 entre 3b2c2 (nótese que en el divdeberán estar las mismas letras que en el dividendo, de ninguna manera podría dividirse, ejemplo, 81a2b3c4d5 entre 3b2c2

Entonces tenemos:22

5432

3

81

cb

d cba

Primero dividiremos la parte numérica como tradicionalmente lo hacemos, es decir: 81 ÷ 3 =

2235

60301551


20/226



Ahora en la parte literal, aplicamos las reglas de potencias ya conocidas cuando tenemos baiguales. En nuestro caso, estas bases son las letras que se repiten, en este caso, la letra b letra c:

81a2b3c4d5 ÷ 3b2c2 en este caso restamos 3 - 2 = 1, lo que nos da b

81a2b3c4d5 ÷ 3b2c2 en este caso restamos 4 - 2 = 2, lo que nos da c 2

De esta forma se obtiene:1

27

3

81 522

22

5432d cba

cb

d cba

Entonces la respuesta será: 27a2bc2d5 (el exponente 1 de la letra b no es necesario poneigual que el denominador 1)

Cabe resaltar que en algunos casos la letra "desaparecerá", esto ocurrirá cuando su exponeresulte 0 (cero).Por ejemplo en 5a2b2 ÷ ab2 (al restar los exponentes para la letra b dará como resultado 0)resultado final de la división de estos polinomios sería 5a

Potenciación de Monomios

Recordemos siempre que un monomio tiene una parte numérica y otra parte literal. Primtrabajaremos la parte numérica como siempre lo hemos hecho, es decir, aplicando la definicde potencia. Luego trabajaremos con la parte literal, en la cual multiplicaremos el exponentecada letra por el exponente de la potencia dada.

En el ejemplo (3x2y)4 se nos pide elevar el monomio 3x2y a la potencia 4Tal como hemos dicho primero haremos la parte numérica: 3 4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81Y ahora pasaremos a la parte literal: (x2y1)4 = x2x4y1x4 = x8y4

Finalmente la respuesta será: 81x8y4

Ejemplo 1.6: Calcule el valor de la expresión)4)(2( 53 x x

)4)(2( 53 x x Se multiplica la base numérica

253

88

x x En la parte literal se conserva base y se suman exponentes.

2

8

x Para pasar a exponente positivo se pasa al denominador.


21/226




3535355 )( y x y x

3535355 )( y x y x Se multiplican los exponentes interno con el externo

15

151515

y

x y x Si alguno queda negativo se pasa al denominador.


4/12/12

4/134

cba

cba

4/12/12

4/134

cba

cba

En el caso de expresiones racionales con exponentes negativos ofraccionarios se pueden aplicar los siguientes pasos.

4/12/124/134cbacba

Se pasan todas las letras al denominador cambiando el signo delexponente.

4/14/12/1324 cba Se conserva la base y se suman exponentes.

2/7

2/162/12/76

b

cacba

Si queda algún exponente negativo se puede pasar aldenominador.

Simplificación de monomios usando las leyes de potencias

Hasta este punto ya hemos repasado como multiplicar, dividir y potenciar monomios. A p

de ahora veremos casos más generales de monomios, en los cuales además hay que aplas leyes de potencias, también ya repasadas, para poder simplificarlos en una expresalgebraica más simple. A continuación se presentan dos casos, uno con exponentes enterel otro con exponentes fraccionarios.

Ejemplo 1.9: Simplifique el monomio:

4234

2353

4435

2543

28

8

98

14

z y x

z y x

z y x

z y x

42342

23533

44352

2543

72

2

72

27

z y x

z y x

z y x

z y x Se descomponen los factores numéricos a sus

bases más simples

8121648

6106

16122084

108622

72

2

72

27

z y x

z y x

z y x

z y x Quitamos los paréntesis, multiplicando cadaexponente interno por el externo.

6106

8121648

2222262

182022

2

72

7 z y x

z y x

z y x

z y x Pasamos la división a multiplicación, invirtiendo

la segunda fracción.


22/226



6106

8121648

2222262

182022

2

72

7 z y x

z y x

z y x

z y x

Simplificamos los factores restándolos ymantenemos el resultado donde este elexponente mayor.

42427

1

z y x

Simplificamos los factores restándolos ymantenemos el resultado donde este elexponente mayor.

Ejemplo 1.10: Simplifique el monomio:

3/1

8/93/5

5/92/3

3/22/34/33/2

2/35/24/53/1

3

2

3

32

x

y

y x

y x

3

1

8

9

3

1

3

5

3

1

5

9

3

1

2

3

3

2

2

3

3

2

4

3

3

2

3

2

2

3

5

2

2

3

4

5

2

3

3

1

5

3

2

3

2

x

y

y x

y x

Se descompone el 32 en5

2 . Quitamoslos paréntesis, multiplicando cadaexponente interno por el externo.

83

95

5

3

2

1

121

94

5

3

8

15

2

5

3

2

3

2

x

y

y x

y x

Multiplicamos los exponentes

5

3

2

1

8

3

9

5

12

1

9

4

5

3

8

15

2

5

2

3.

3

2

y

x

y x

y x

Pasamos la división a multiplicación,invirtiendo la segunda fracción.

5

3

2

1

8

3

9

512

1

9

4

5

3

8

15

2

5

2332 y x y x y x Subimos el denominador al numeradorcambiando el signo de los exponentes.

5

31

5

3

2

1

8

3

8

15

9

4

9

5

2

1

2

5

32 y x Conservamos bases y sumamosexponentes

y

x

y

x y x

123232

2

2

21212

Se cambian los exponentes negativos,aplicando leyes de potencia, yfinalmente se simplifica la partenumérica.


23/226




36) 325243 618 baba 14217532/ ba R

37) 32223 53 xba 6463253/ xba R

38)128

3243

)5( y x

z y x

635/ xz R

39)

4

2

22

323

33

3

20

54

62

xy

z

z

y x

2

22

/ y

z x R

40)

345

432

433

344

4

2

6

6

y x

y x

z x

z x

3

2/

7 x

R

41) 2421021 24 cbacba 3222

/ a

cb

R

42)3/15/33/25/23/12/1 89 baba

15/1115/14223/ ba R

43)321

8223

z y x

z y x

11433/ z y x R

44)

4

341

53

d c f

cd f

820

8

/d c

f R

45)

1

1

232

12

21

56

92

y xb x

ba y x

443

363

2

53/

ab

y x R

46) 34/13/13/1321125

y x y x

4/13/15

1/

y x R

47)

4

3

23

52

4

2

6

a

bc

cb

a

72

3

2

3/

cb R

48)

312

554764

33

7582

2

32

3

6

y y

z y x

xz

z y x

2215256632

1/

z y x R

49)

6/13/12/13/12/12/14/32/1

4

1025

ba

baba

12/1

25/

a R

50) 72/103/24/33/43

32/12/33/44/13/8

3

33

x x y x

y y x

36/193

/ x

R


24/226



51)

3/1

8/93/5

5/92/3

3/22/34/33/2

2/35/24/53/1

3

2

3

32

x

y

y x

y x

y

x R

12/

2

52)2/3

6/13/2

24/1

32/12

32/11

3

2

16

81

a

b

ba

ba

2

1/ R

53)

3/26/54/33/8

9/79/11

2/32/33/54/3

4/33/83/1

3

5

25

5

y x

y

y x

x

x

y

R 9/25

324/8819/16

5

3

/

54)

4

2/1

32

3

c

ba

cb

a

3

2/5

/b

ca R

55)2

4

4

3

4

23

21

20

7

10

z

y x

z

y x

4

42

14

53/

z

xy R

56)2

2

34

3

44

5

4

7

3

6

14

7

3

y

x

x

y

y

x

102

82

3

7/

y

x R

57)

2

3

3

5432

23

34

6

2

4

8

30

xy

ba

xy

ba

ba

y x

1431193225/ ba y x R

58)

3

3

3

4432

23

34

6

2

2

3

20

xy

ba

xy

ba

ba

y x

35

9141042

3

25/

a

b y x R

59)

22

32

4

23

8

7

3

214

830

y

x

xy y

ba x

693

231783

2

753/

ba

y x R

60)

553

434

364

445

36

54

48

72

y x

y x

y x

y x 1173632/ y x R


25/226



61) 6

5

2

1

3

4

4

3

3

1

3

1

2

3

8

9

3

42/34/33/2

3/1

4/112

71

3

3

2

2

y x

y x

y x

y x

2

18

47

3

2/

x

y R

62)3

35

4

24

5

23

2

48

4

3

5

6

4

1

25

3

y x

z x

y x

z x

y R

3/

63)

61

63

2

1231

3

2

2

3

4

9

4

3

3

8

3

2

1

729

64

27

16

y x

y x

y x

y x

3

/ y

R

64)2

57

345

5

23

434

9

32

16

27

9

4

8

3

nm

y x

nm

y x

m

x R

3/

65)3

1

2

1

1

4

1

22

1

3

2

3

2

4

3

2

1

1

6

1

14

3

2

3

12

128

9

4

xy

y x

y x

y x

y x

R

3

2

3

1/


26/226



1.3 Operaciones con Polinomios.

Un polinomio de una variable, de grado n, siendo n un entero no negativo,es una expresión de la forma

hgx fxbxax nn 21 ...

donde a, b,…, f, g, h son números reales constantes llamados coeficientesdel polinomio

Un monomio es una expresión de la forma nax .Un binomio es la suma de dos monomios.

El mayor exponente para las potencias de x que aparece, se llama gradodel polinomio.

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

En un polinomio podremos sumar o restar solamente los términos semejantes, todo lo demquedara exactamente igual.

Digamos que queremos sumar los siguientes polinomios:P1: 5x2y +3xy2

P2: 3x3 -2x2y +xy2 -4y3

Entonces la suma será:

( 5x2

y + 3xy2

)

+ ( 3x3

- 2x2

y + 1xy2

- 4y3

)

Ahora debemos ver si hay términos semejantes:P1 + P2 = 5x2y + 3xy2 + 3x3 - 2x2y + 1xy2 - 4y3

Operamos los términos con x2y: 5x2y -2x2y = 3x2yOperamos los términos con xy2: 3xy2 +1xy2 = 4xy2

Introducimos los resultados parciales en nuestro polinomio respuesta:P1 + P2 : 3x2y +4xy2 +3x3 -4y3 (esta es la respuesta)

Para realizar una resta, el procedimiento es similar, pero debemos tener mucho cuidado consignos. Digamos que ahora queremos restar los mismos polinomios anteriores, es decir, PP2, entonces:

P1 - P2 = 5x2y + 3xy2 - ( 3x3 - 2x2y + 1xy2 - 4y3 ) Note que P2 está entre parénteP1 - P2 = 5x2y + 3xy2 - 3x3 + 2x2y - 1xy2 + 4y3 Note el cambio de signo en todo

Buscamos los términos semejantes y realizamos las operaciones:P1 - P2 = 5x2y + 3xy2 - 3x3 + 2x2y -1xy2 + 4y3

P1 - P2 = 7x2y + 2xy2 + 3x3 - 4y3 (esta es la respuesta)


27/226



MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

En la multiplicación de polinomios tendremos que multiplicar todos los términos entre ellos:

(x + 2)( x2 2x + 3) = x·x2 x·2x + x·3 + 2·x2 2·2x + 2·3= x3 2x2 + 3x + 2x2 4x + 6= x3 x + 6

Digamos que queremos multiplicar los polinomios con los que hemos venido trabajandodecir:

P1: 5x2y +3xy2

P2: 3x3 -2x2y +xy2 -4y3 Entonces:

(5x2y +3xy2)(3x3 -2x2y +xy2 -4y3)

(5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3) (Se puede colocar 1 donde se necesite

Se multiplica el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segu

polinomio: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3), tal que:(5x2y1)(3x3) = 15x5y1 (el exponente 1 no es necesario ponerlo)

(5x2y1)(-2x2y1) = -10x4y2

(5x2y1)(+1x1y2) = 5x3y3

(5x2y1)(-4y3) = -20x2y4

Ahora multiplicando el segundo término del primer polinomio:

(+3x1

y2

)(3x3

) = +9x4

y2

(+3x1y2)(-2x2y1) = -6x3y3

(+3x1y2)(+1x1y2) = +3x2y4

(+3x1y2)(-4y3) = -12x1y5 (el exponente 1 no es necesario ponerl

Ahora se acomoda la respuesta, para lo cual hay que recordar que términos semejantessuman o restan (El factor literal debe ser el mismo y se suma el factor numérico) y lu

simplificar: 15x5y1 - 10x4y2 + 5x3y3 - 20x2y4 + 9x4y2 - 6x3y3 + 3x2y4 - 12x1y5

15x5y - 10x4y2 + 5x3y3 - 20x2y4 + 9x4y2 - 6x3y3 + 3x2y4 - 12xy5

15x5y -10x4y2 + 9x4y2 + 5x3y3 - 6x3y3 - 20x2y4 + 3x2y4- 12xy5

La respuesta es:15x5y - 1x4y2 - 1x3y3 - 17x2y4 - 12xy5


28/226



Resumiendo lo visto anteriormente, sean P1 y P2 dos polinomios tales que:

P1 = 3x2 - 2

P2 = x2 + 3x + 2

a) Sumar los polinomiosP1 + P2 = 3 x

2 - 2 + x2 + 3 x + 2 = 3 x2 + x2 + 3 x

b) Calcular 2x·P1 + x·P22x·P1 + x·P2 = 2x·(3x2 - 2) + x·(x2 + 3x + 2)= 6x3 - 4x + x3 + 3x2 + 2x= 7x3 + 3x2 + 2x

c) Restar los polinomiosP1 - P2 = 3x2 - 2 - (x2 + 3x + 2) = 3x2- 2 - x2 - 3x – 2

= 2x2 - 3x - 4

d) Multiplicar los polinomiosP1·P2 = (3x2 - 2)·(x2 + 3x + 2)

= 3x

4

+ 9x

3

+ 6x

2

- 2x

2

- 6x – 4= 3x4 + 9x2 + 4x2 - 6x – 4

PRODUCTOS NOTABLES

Existen algunas respuestas características para algunos casos en los que debemos multiplestos son los productos notables. Los principales son:

a) Cuadrado de la suma de dos cantidades:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término má

doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.Por ejemplo:

(5x + 7)2 = (5x)2 + 2(5x)(7) + (7)2

El cuadrado del primer término es: (5x1)2 = 25x2

El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70xEl cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49Finalmente la respuesta será: (5x +7)2 = 25x2 + 70x + 49

b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:

(a - b)

2

= a

2

- 2ab + b

2

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer térmmenos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.Por ejemplo:

(5x -7)2 = (5x)2 - 2(5x)(7) + (7)2

El cuadrado del primer término es: (5x1)2 = 25x2

El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70x


29/226



El cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49Finalmente la respuesta será: (5x -7)2 = 25x2 - 70x + 49

c) Diferencia de Cuadrados: (a – b)(a + b) = (a2 – b2)

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del pritérmino menos el cuadrado del segundo término.Por ejemplo: (4a +7y3)·(4a -7y3) = (4a)2 - (7y3)2

El cuadrado del primer término es: (4a

1

)

2

= 16a

2

El cuadrado del segundo término es: (7y3)2 = 49y6

Finalmente la respuesta será: (4a +7y3)·(4a -7y3) = 16a2 - 49y6

Nótese que al efectuar la Adición, Substracción, Multiplicación y simplificación de polinomioobtiene una regla mecánica: Para suprimir dos paréntesis (u otros símbolos de agrupacicada término dentro de ese símbolo se multiplica por el coeficiente de los paréntesis.

Ejemplo 1.11: Efectúe la operación indicada: 22 323432323 y x x y y x x y x y x y

22222222

22222222

22

69441249349

69441249349

323432323

y xy x x xy y xy x y xy x y

y xy x x xy y xy x y xy x y

y x x y y x x y x y x y

Se aplica los productnotables dondecorresponde

222222

222222

8103491549

8103491549

x xy y x y xy x y

x xy y x y xy x y

Se suman semejantedentro del paréntesisse multiplica por elnegativo

2

2222

35

412549

y xy

x y xy x y

Se suman semejante


66) x x x 463 32463/ x x x R

67) x x x x 1455 432

455/ x x x x R

68) x x x x 3461 432 3461/ x x x x R

69) 1231223 x y x y x 3222/ xy y x R

70) 222 3243352 x x x x x x x x x R 165152/ 23

71) )3()23()(4 22222 y x xy y xy x x 243/ y xy R


30/226



72) )(3)32)(32()2( 2 x y x y x y x y x R/ 22 1073/ y xy x R

73) x xaa xaa xa 4223232 aaaxa xa R 32 446672/

74) 22113 xa xa xa xa x x 22 52/ aa xax x R

75) 2222 3343 y x y x y x 22 4142/ y yx x R

76) y x y x y x y x 553223 22

0/ R

77) baabbabaab 43223121232 222 22 142412/ aabb R

78) y x y x y x y x y x y x 66322243 22 22 43630/ y xy x R

79) x y x y x y x y x y x 22 3 43223 210102/ y x y y x y x R

80) y x y x x y y x y x 154423 222 0/ R

81) 252 2 x x x 1032/ 23 x x x R

82) 11 22 x x x x 12/ 24 x x x R

83) y x xy y x xy x y 334422 281624 66 64/ y x R

84) x y x y x y x y x y x .2 22 33224 51372/ xy y x y x x R

85) Sean: A = 4y-3x, B = 3y+4x, C = (5x+2y)·(5x-2y), D = y·(x-29y),calcule: C - A2 - B2 – D xy x y y x R 2142525/ 22

86) Sean: A = 5y-2x, B = 7y+3x, C = (3y+x)·(x-3y), D = (2y+13x)·y,

calcule: A2 + C - B2 – D xy x x y R 13104/ 2

87) Sean: A = (3x-2y)2, , C = (5x+3y), D = (2x+3y)·(x+y),calcule: {[A -C] - D}

22 18273142/ y xy x y x R

88) Sean: A = 3x-4y, B = 3y+2x, C = (x+2y)·(x-2y), D = (-7y+x)·(y+5x),calcule: B2 – C - 2(A2 + 2D)

22 2113628822/ x xy y x y R

89) Sean: A = 3x-2y, B = 2x+y, C = x-3y, D = 3x+2y,calcule: A·D – B·C - B2 - C2 R/ 2x2-11y2+7xy

90) Sean: A = 4x-5y, B = 3x+2y, C = (2x-7y)(2x+7y), D = (x+15y)(-3x-4y),calcule: A2 - B2 – C + D R/-101xy+10y2


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DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división de polinomios es, tal vez, la operación más complicada dentro de las expresioalgebraicas. Debemos tener mucho cuidado al resolverlas.

Se tienen dos casos:a) División de un polinomio entre un monomio:

En este caso tendremos que dividir cada uno de los términos del polinomio entrmonomio.

Vamos a resolver un ejemplo: (4x2y -2xy2 + 8x3) ÷ 2xHaremos: 4x2y ÷ 2x1 = 2x1yLuego: -2x1y2 ÷ 2x1 = -1y2

Luego: 8x3 ÷ 2x1 = 4x2

Finalmente la respuesta será: 2xy -1y2 + 4x2

b) División de dos polinomios:En este caso lo mejor es ir directamente a un ejemplo:

Ejemplo 1.12: Efectúe la operación indicada: )()4( 2432 x x x x x x

1) Se ordenan los términos del dividendo y eldivisor en forma descendente (respecto algrado de la variable)

)()4( 2234 x x x x x x

2) Acomodando los términos como una divisióntradicional, se divide el 1er término deldividendo entre el 1er término del divisor,obteniendo así el 1er término del cociente.

2

2234 4

x

x x x x x x

3) Este primer término del cociente semultiplica por todo el divisor .El producto obtenido se resta del div idendo,(uso cambio de signo, escribiendo cada término

debajo de su semejante).Los demás términos del dividendo se “bajan”,para formar un nuevo dividendo.

x x x

x x x

x x x x x x

23

234

2234

30

4

4) El procedimiento se repite hasta obtener unresiduo cuyo grado sea menor al grado deldivisor . En este ejemplo específico:

Cociente: x2 + 3x - 2Residuo: x

x

x x

x x

x x

x x x

x x x x

x x x x x x

0

22

20

33

30

334

4

2

2

23

23

2

2234

Del ejemplo podemos ver que los pasos para hacer la división de polinomios serían:

1. Ordene los términos del dividendo y el divisor en potencias descendentes de la variab

2. Divida el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obteneprimer término del cociente.


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3. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto obtese resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada térmdebajo de su semejante. (Ponga especial cuidado en que el hecho de cambiarle el sa los datos, tiene como objetivo simular la resta de términos requerida)

4. Luego de la resta, baje los demás términos del dividendo, para formar un nudividendo.

5. El procedimiento se repite hasta obtener un residuo cuyo grado sea menor al gradodivisor.

Ejemplo 1.13: Indique el cociente y el residuo de la siguiente división de polinomios:

)863()3246113( 2235 x x x x x

000

322412

24120

24189

3090

16126

360

432863

863320461103

2

2

23

23

234

34

23345

22345

x x

x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x x x x

x x x x x x x


91) x x x x 23 3227 R/ 24:39: xr xc

92) 127932 234 x x x x x 3:42:/ 2 r x xc R

93) 1743 223 x x x x 32:43:/ xr xC R

94) 2134 223 x x x x 77:34:/ xr xC R

95) 435243810953 3223456 x x x x x x x x x

R/ 332

3

8

3

8:

3

52: 223

x xr x x xc

96) 22432234 27971031142427 y xy x y xy y x y x x


33/226



R/ 74:353: 422 yr y xy xc

97) 1319 326 x x x x xr x xc R 6:13:/ 3

98) 2364762 242356 x x x x x x x 112:32:/ 32 xr x xC R

99) 72852131 3526 x x x x x x 0:325:/ 23

r x x xC R

100) 510277 2245 x x x x x x 0:25:/ 2 r x xC R

101) 1122 2345 x x x x x xr x xC R :1:/ 2

102) 6326363 232567 x x x x x x x x 0:1:/ 234

r x x x xC R

103) 2791031142427 2234 x x x x x x 4:353:/ 2 r x xc R

División sintética para la división de polinomios

La división sintética es un método para efectuar la división de polinomios, siempre y cuanddivisor sea de la forma ax+b que sea lineal con grado 1.Los pasos para hacer la división de polinomios serían:

1. Se determina para que valor de x el divisor es cero x = -b/a2. Se hace la división sintética usando –b/a como factor.3. El resultado que de el cociente baja un grado respecto al polinomio original y se di

entre a.4. El último término es el residuo.

Ejemplo 1.14: Indique el cociente y el residuo de la siguiente división de polinomios: 11632 23 x x x x

x-1 es cero en x = 1

2 3 -6 1 12 5 -1

2 5 -1 0

El cociente se divide entre lo que multiplica a x en el divisor

0152 2

residuo x x


104) 11632 23 x x x x R/ 0:152: 2 r x xc


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110) Determine el valor de k en el polinomio 14323 234 kx xkx x xP sabiendo que 0. Efectúe por división sintética la operación 2 x xP .

3:3:/ 3 x xQK R

111) El residuo de la operación xk kx xkx 2627 234 es –4. Determine el polino

cociente. 232:/ 23 x x x xQ R

112) El residuo de la operación 262 234 xkx xkx x es 15. Determine el polinocociente.

3

13

6

312:/ 23 x x x xQ R

113) El producto de dos polinomios es 7236143 256 x x x x . Si uno de ellos es 23 x xDetermine el otro polinomio.

23:/ 23 x x x xP R114) De un polinomio P(x) de grado 3, calcule el valor de P(-2) si se tiene que:

P(4) = P(-5) = 02x+3 es un factor de P(x)

2/ P R

115) Efectúe la operación. Indique el cociente y el residuo. x x x x 239246 24 .

8

19

4

9

2

93:/ 23 R x x x xQ R

116) Dado el polinomio P(x) = x4 + 2kx3 - 7x2 + 11kx + 24 se sabe que x-2 es un factodicho polinomio. Factorice completamente P(x).

117) En una división de polinomios, calcule el polinomio divisor si se sabe que:El dividendo es x5-2x4+2.El cociente es x3-x2-1.El residuo es –x+1.

:/ 2 x x xQ R

118) En una división de polinomios el dividendo es 467 mmm , el cociente es mmm 24

el residuo es m. Determine el divisor, tal que (DO-R)/Q R/123 mmm

119) El producto de dos polinomios es 1384 345 x x x . Si uno de ellos es 2 2 x xDetermine el otro polinomio. R/ 132 23 x x x


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SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Cuando un monomio o polinomio contiene raíces o radicales, estos se pueden simplifutilizando sus propiedades, las cuales se mencionaron con anterioridad, pero que para efede facilidad volvemos a resumir a continuación.

Ley Ejemplo

nnn baab aaa 32727 3 333 3

mnm n aa 3/2216/46/126/66/141266 41263 4126

cbacbacbacbacba

nmn m aa / 22510

5 10 x x x x

n

n

n

ba

ba 4

2

9

12

3

3

3

1

3

6

3

1

3 123

3 63

123

6

32

27

8

27

827

8am

x

ma

x

ma

x

ma

x

Ejemplo 1.16: Simplifique la expresión:15 69

20 168

27

256

ba

ba

15 693

20 1688

15 69

20 168

3

2

27

256

ba

ba

ba

ba

Se descomponen los factores numéricos en susfactores primos.

5 23

5 422

5 3 693

5 4 1688

3

2

3

2

ba

ba

ba

ba

Se descomponen los índices de las raíces, buscandodejar por un lado, que las raíces externas seaniguales en el numerador y en el denominador; y porotro lado, que la raíz interna se pueda eliminar.

5

2

523

422

3

4

3

2

a

b

ba

ba Se unen las raíces y se simplifica la expresión final.


120) 3 4327 y x

33/ y xy R

121) 4 3714

z y x 4 3223/ z y x y x R


37/226



122) 4 229 y x xy R 3/

123) 3 573 53 192108 y x y x 333 1212/ xy y x R

124)53

2

12

75

ba

ab bab

R2

5/

125)22

3

50

147

ba

ba 2

3

5

7/

2 abb R

126) 12 3627 y x

4 23/ y x R

127) 3 1397160 z y x 3 2432 522/ xz z y x R

128) 2223 33 y x y x 13/ x xy R

129)6 33

4 22

125

25

ba

ba 1/ R

130)8 24

12 363

49

5

y x

y x

4

7

5/ R

131) 15 69

20 168

27

256

y x

y x

5

2

3

4/

x

y R

132)3 25

3 7

81

125

y x

y x 3

2

33

5/

y

x x R

133)23

31

40

615

y x

y x xy

x y R2

3/

134)4 26

6 93

4

8

ya

ya a

y R /

135)23

31

40

25

y x

y x xy

x y

R2

/


38/226



136)8 24

12 36

49

125

y x

y x

4

7

5/ R

137)3 11

3 5732

325

10830

xy xy

y x y x

39/ x R

138) 5 835 345 43 36182123 baabbabbaa 54

36/ ba R

139)4 26

6 93

22

31

4

8

50

147

y x

y x

y x

y x

x

y y R

2

3

5

7/

3

140)6 24

3041

84

352

110

4

27

8

320

50

y x

y x x

y x

y x

y x

3 5

6/ y

x R

En lo que se refiere a suma y simplificación de radicales, lo veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.17: Simplifique la expresión:4 10106 2198 2012 3243512540963 babbaabaab

22912

4 10106 2198 2012

92324251224096

3243512540963

babbaabaab

No se pueden sumar las raíces, ya qutienen índices distintos. Pasando factores primos los coeficientenuméricos

2 2 1010222 3 21992 4 201212

4 1010226 21998 201212

9232523

9232523

babbaabaab

babbaabaab Se pasan todas las raíces a la mism

raíz externa.

abbaabbaabba

babbaabaab

233225223

3232523

323232

552733533

Se saca todo lo que se puede de la raíz

abba

abbaabbaabba

25

2921026

32

323232 Se suman términos semejantes.


141) 1752108282 R/ 3676

142) 3 493 453 453 48 320313534025 y x y x x y x x y x 333 22 512512/ y y x y x y x R


39/226


40/226



1.4 Factorización de polinomios

La factorización es el proceso de expresar una suma de términos en forma de un producto.

ejemplo 3392 x x x , los polinomios 33 x y x son factores de 92 x .

La factorización es importante en matemática, porque se puede usar para reducir el estudiouna expresión complicada, al de varias expresiones más simples. Por ejemplo, pue

determinarse las propiedades del polinomio 92 x examinando sus factores 3 x y xcomo se vera posteriormente, otro uso importante para la factorización es determsoluciones de ecuaciones.

Factorizar un polinomio quiere decir expresarlo en forma de productos de polinomirreducibles.

Para factorizar es necesario, saber multiplicar polinomios y recordar las fórmulas notablescontinuación se exponen algunas de los métodos más útiles para factorizar polinomios, serán de gran importancia para resolver ecuaciones e inecuaciones en el siguiente capítulo.

MÉTODO DEL FACTOR COMÚN Y MÉTODO DE AGRUPACIÓN

Este método de factorización consiste en encontrar los factores comunes en cada una desumandos de la expresión que se quiere factorizar.

El método de agrupación consiste en agrupar los términos o expresiones que tengan algocomún de manera que se pueda usar el método de factor común en cada grupo, para de nuaplicar el método de factor común.

Ejemplo 1.18: Factorice las siguientes expresiones:

1))39(3

9327

cba

cba

En este caso solo la parte

numérica tiene factor común

2))215(5

105252

32

x xy x

x x y x

Se toma el menor exponente de laparte literal.

3)

)4(4

z y x

y x z y x

Si se tiene paréntesis iguales enambos términos se saca a factorcomún.

4)

)87)((

)(8)(7

)(8)(7

2

2

x y x x

y x x y x x

x y x y x x

Si la única diferencia entre losparéntesis es el signo se saca unnegativo y luego se saca a factorcomún.


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1)

mababambaa

abmbaa

ambmbaa

ambmbaa

34

)(3)(4

)(3)(4

)33()44(

3344

2

2

2

23

23

En el caso de que no todos los términostengan factor común, se agrupan porsemejanza.Se agrupan entre paréntesis con un signode suma en el medio por ser un operadorneutro.Para que una agrupación funcione el

término que queda entre los paréntesis decada término debe ser igual. Esto con elobjetivo de sacar un factor común

2)

x x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

11

111

11

11

)()(

2

2

3

432

432

Se agrupan entre paréntesis con un signode suma en el medio por ser un operadorneutro.Si es necesario se saca el factor comúnnegativo con el fin de que el paréntesisquede igual.Si al sacar a común, aún se puedefactorizar más, se realiza en este caso la

diferencia de cuadrados.


156) y x yx y x 323 626 22 3132/ x y x xy R

157) y x z y x 4 y x z R 4/

158) 1312131 p pm pm 41/ m p R

159)2222

3223 aby x yabx 23/ 22 ab y x R

160) x y x y x x 287 y x x x R 87/

161) y x y xa 4 y xa R 14/

162) x x x 228 2 2716/ x x R

163) bxbyayax 48126 ba y x R 2322/

164) ym xm x y y 3366 23 x ym y R 223/

165) 22223 1 xa xaaa 22 11/ xaa R

166) ba xa 117 22 b xa R 71/ 2

167) 8221233 ba xbxax 234/ xba R

168) 632 23 x x x 32/ 2 x x R


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DIFERENCIA DE CUADRADOS Y SUMA Y RESTA DE CUBOS

Este método consiste en utilizar las fórmulas notables mencionadas, para lo cual por supuees indispensable conocerlas:

Fórmula Ejemplo

bababa 22 22

22242

424242164

y x y x

y x y x

2233 babababa

6323

23323

33393

242

*2)2(2

28

y xy x y x

y y x x y x

y x y x

2233 babababa

12626

26626

363183

2510452

55*2)2(52

521258

y xy x y x

y y x x y x

y x y x


169) 162 x 44/ x x R

170) 33 18 aa 1471/ 2 aaa R

171)168

1681 ba 844242 492323/ bababa R

172)93

y x 6323/ y xy x y x R

173) 1253 x 2555/ 2 x x x R

174)99

y x 633622/ y y x x y xy x y x R

175) 93 278 y x 6323 96432/ y xy x y x R

176) 93 1258 y x 6323 2510452/ y xy x y x R

177) 624 27512 sr 4281628 9246438/ ssr r sr R


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FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA CUADRÁTICA

Se refiere a los polinomios de la forma cuadrática cbxax 2 . Este tipo de polinomio tiene posibles formas de ser factorizado, dependiendo del valor del discriminante acb 42 .

Discriminante Método Ejemplo

042 acb Es un cuadrado perfecto. a) Inspecciónb) Por calculadora 2

22

43/16249

xa R xaxa

042 acb a) Inspecciónb) Por calculadora 5234/

15268 2

x x R

x x

042 acb No se puede

factorizar 22 x x

Para factorizar un trinomio de forma cuadrática existen 2 formas: Método de la fórmula general

Método de inspección

Método de la fórmula general

La formula general para determinar los ceros es:

a

b x

21

y

a

b x

22

siendo acb 42 el valor del discriminante, el cual se describió anteriormente.Este método funciona de la misma forma que el “solucionador de ecuaciones” que tienecalculadora, por lo que hay que tener los mismos cuidados al factorizar.

Método de inspecciónEl procedimiento se describe a continuación:

1. Encontrar 2 valores que multiplicados den el 1er término.2. Encontrar 2 valores que multiplicados den el 3er término, pero también que multiplica

en cruz con los primeros valores y sumados den como resultado el 2do término.3. Los términos de la factorización se toman en horizontal sin cambiar el signo.

La dificultad de este método está en las diferentes combinaciones que se tienen que proAdemás si los ceros de la expresión no son números enteros o fracciones, también se comp


2

2

2

3/

9

333

333

96

x R

x

x x x

x x x

x x

15213/

156

15245152

13213

15476

2

2

x x R

x

x x x

x x x

x x


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El solucionador de ecuaciones de las calculadoras puede ser de mucha utilidad para resoestos trinomios cuadráticos, pero se deben tener los siguientes cuidados:

A los resultados x1 y x2 que arroja la calculadora, se les debe cambiar el signo, ya recordemos que estamos factorizando, y no resolviendo una ecuación cuadrática. por ejemplo:

Factorizando 652 x x , la calculadora indica

33

22

2

1

x x

x x, entonces )3)(2(65

2 x x x x

Factorizando 15476 2 x x , la calculadora indica

152

13

215

2

31

1

x x

x x, entonces )152)(13(15476

2 x x x x

Si los términos numéricos del polinomio tienen factor común la calculadora no refleesa característica, dando un resultado erróneo, por lo tanto es indispensable prim

aplicar el método del factor común. Si el término que acompaña a 2 x es negativo, hay sacar el -1 a factor común antesusar la calculadora. (O agregar el negativo a uno de los factores al final).

Cuando la calculadora da una sola respuesta, se trata entonces de un cuadrado perfdel tipo 2ba .

Si la calculadora indica error matemático, “math error”, es porque el trinomio nofactorizable. Aún así se debe tener cuidado ya que algunas calculadoras eprogramadas para manejar resultados con “números imaginarios”, lo cual se constataindicaciones en la pantalla, tal como “ ”, o indican la letra i al lado del resultado

Es preferible una vez que se tienen los términos verificarlos por inspección.


178) 652 x x 32/ x x R

179) 3652 x x 49/ x x R

180) 1272 x x 34/ x x R

181) 25102 x x 25/ x R

182)22

40162 y yx x x y x R 1022/ 183) 22 8012045 y yx x 2435/ y x R

184) 22 9124 y xy x 232/ y x R

185) 352 2 x x 312/ x x R

186) 15268 2 x x 5234/ x x R


45/226



187) 22 16249 y xy x 243/ y x R

188) 22 453510 y xy x y x y x R 925/

189) 402515 2 x x 1835/ x x R

190) 708814 2 x x 7572/ x x R

191) 2510

2

x x

2

5/ x R 192) 22 8012045 y xy x 2435/ y x R

193) 22 243772 y xy x y x y x R 3889/

194)22 9124 xaxa 232/ xa R

195) 22 42025 baba 225/ ba R

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA CUADRÁTICA, CGRADO MAYOR A 2

Todo polinomio de la forma: cbxax nn 2 puede factorizarse con los métodos anterio

(inspección, formula general, calculadora).La única diferencia en el caso de la calculadora o la formula general radica en poner en lugax grado uno, x, el grado que corresponda al segundo término del polinomio, xn.

Ejemplo 1.21: Factorice la siguiente expresión:

88

44

44

48

8181

81811

8182

x x

x x x x

x x

Se factoriza por inspección o usando la

calculadora por ser de la forma cuadrática. Losfactores llevan el grado del exponente del centrodel trinomio.

1199

1812222

44

x x x x

x x

Como quedan dos diferencias de cuadrados, seaplica la fórmula notable respectiva en amboscasos

111339 22 x x x x x x La suma de cuadrados no es factorizable por loque estos factores solo se mantienen, se hace denuevo la diferencia de cuadrados con los términosque restan.


196) 5136 36 x x 5213/ 33 x x R

197) 16409 24 x x 232322/ x x x x R


46/226



198) 42 2712 x x 333/ 2 x x x R

199) 1617 48 x x 42211/ 22 x x x x x x R

200) 1617 24 x x 4411/ x x x x R

201) 96 24 x x 22 3/ x R

202)4224

43 y y x x y x y x y x R 22

4/

203) 9134 24 x x 323211/ x x x x R

204)4224 92516 y y x x y x y x y x y x R 3434/

205) 4224 22513616 y y x x y x y x y x y x R 32325252/

Factorización de un trinomio completando cuadrados

Este método se usa para polinomios de la forma cuadrática de grado mayor a 2., cuanddiscriminante da negativo. Lo que el método busca es que, al sumar y restar un mismo térmnecesario para lograr que el discriminante no sea negativo, se llegue a una diferenciacuadrados, para luego factorizar.

Ejemplo 1.22: Factorice la siguiente expresión: 43 24 x x

más factorizar puedenseno x x x x

x x x x

cuadradosdediferencia x x

x x x

x x x x

bacb

x x

22

22

2

)44(

)43(

4164·1·44

43

22

22

222

224

2224

24

Como el =-7, en primerainstancia no se puedefactoriza. Pero si se suma y se resta el

término x2, esto nos permiteformar un trinomio de formacuadrática, que luego defactorizado forma unadiferencia de cuadrados.


206) 4224 252416 y y x x xy y x xy y x R 454454/ 2222

207) 4224 1612 y y x x xy y x xy y x R 2424/ 2222

208) 4224 9214 y y x x xy y x xy y x R 332332/ 2222

209) 43 24 x x x x x x R 22/ 22

210) 92 24 x x x x x x R 2323/ 22

matemÃ¡tica universitaria conceptos y aplicaciones en ingenierÃ

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