Matemtica

Claudia BroitmanHoracio ItzcovichMara Mnica Becerril

Betina Duarte

Patricia Garca

Vernica Grimaldi

Hctor Ponce

en 7.primaria CABA ________________1.secundaria

5 S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

H ace ms de 4.000 aos los egipcios ya haban inventado distintos modos de resolver clculos. Las operaciones eran muy importantes para esta civilizacin, tanto para hacer negocios como para el reparto de tierras y el cobro de impuestos.Para multiplicar como lo hacan los antiguos egipcios solo hay que duplicar cantidades y sumar. Por ejemplo, para resolver 21 13, se puede pensar que este clculo significa 13 veces 21. En lugar de sumar 21 + 21 + 21 + , los egipcios armaban dos columnas. La primera se iniciaba con el nmero que haba que multiplicar en este caso el 21 y la segunda, con la cantidad de veces que se contaba esta cantidad. Luego comenzaban a duplicar los nmeros de cada columna y ubicaban los resultados debajo de la cantidad anterior. Este proceso de duplicacin poda seguir indefinidamente, pero los egipcios saban dnde convena detenerse para sumar las cantidades y obtener el resultado de su clculo. As hubieran pensado la cuenta 21 13:

NmeroCantidad de veces

que se cont el nmero

21 18 + 4 + 1 = 1342 2

84 4168 8

Como 8 + 4 + 1 = 13, entonces se deben sumar 168 + 84 + 21 = 273.

Operaciones con nmerosnaturales I

1Captulo

6 S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

1 En 2 cajas iguales hay 16 alfajores. Cuntos alfajores habr en 17 cajas iguales?

2 Complet estas tablas.

a) En todas las cajas hay la misma cantidad de paquetes de pastillas.

Cantidad de cajas 12 18 24 36 48 90 144 216

Cantidad de paquetes de pastillas 120

b) En todas las cajas hay la misma cantidad de tornillos.

Cantidad de cajas 2 10 15 24 25 40

Cantidad de tornillos 900 2.700 7.380

3 En el teatro Atlantic estn planificando algunas reformas. La sala tiene 16 filas de 28 butacas cada una.

a) Cuntas localidades tiene el teatro?

b) Los arquitectos quieren que haya 32 butacas en cada fila. Cuntas filas debern colocar si quieren mantener la misma cantidad de localidades?

c) Si quisieran colocar 30 butacas en cada fila, sera posible encontrar una cantidad de filas que permita mantener el total de asientos que tiene en la actualidad?

Problemas y clculos I

7 S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

d) Finalmente deciden que cuando el nuevo escenario se termine, se va a duplicar la cantidad de butacas en cada fila y la cantidad de filas. Es cierto que el nuevo teatro va a tener entonces el doble de butacas que antes de las reformas?

4 En una panadera colocan 24 filas de 18 alfajores cada una sobre una bandeja para baarlos con chocolate. El panadero consigue una bandeja ms grande donde es posible colocar 15 filas completas ms. Cul o cules de estos clculos le permiten averiguar cuntos alfajores van a entrar en total ahora?

a) 24 18 + 15

b) 24 18 + 24 15

c) 24 15 + 18

d) 24 18 + 15 18

e) 24 33

5 Para armar una clave de dos dgitos, una mquina acepta para el primer dgito los nmeros 1 y 2. Para el segundo dgito acepta solamente los nmeros 3, 4, 5, 6 o 7. Cuntas claves diferentes se pueden armar?

6 Para ir de Maracaibo a Monte hay tres caminos diferentes. Para ir de Monte a Totoras hay cuatro caminos distintos. De cuntas maneras se puede viajar de Maracaibo a Totoras, si se debe pasar por Monte?

Una vuelta de tuerca entre todos

8 S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

1 Juan imprimi las 132 fotos de sus vacaciones. Si quiere organizarlas en un lbum ubicando 12 por pgina, cuntas pginas debe tener como mnimo el lbum que tiene que comprar?

2 Andrs quiere colocar sus 132 fotos en un lbum de 12 pginas.

a) Cuntas fotos debe poner en cada una para que en todas haya la misma cantidad?

b) Quedan fotos sin ubicar?

3 El docente de Plstica tiene las 500 hojas de una resma y las quiere repartir en partes iguales a sus 28 alumnos, de manera que cada uno reciba la mayor cantidad de hojas posible. Cuntas hojas no sern repartidas?

4 Para cubrir la pared de un bao se colocan filas de 42 cermicos. Hay 1.156 cermicos.

a) Para cuntas filas alcanza?

b) Cuntos cermicos se utilizaron cuando se completaron todas las filas posibles?

5 Un constructor necesita 5.780 ladrillos para la reparacin de una casa. La fbrica los vende en paquetes cerrados de 400.

a) Cuntos de esos paquetes debe encargar?

b) Cuntos ladrillos le sobran?

Problemas y clculos II

9 S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

6 Para decorar una bandeja rectangular, Marisa va a utilizar 864 venecitas.

a) Si las va a colocar en filas de 18 cada una, cuntas filas iguales puede ubicar en la bandeja?

b) Es cierto que si coloca la mitad de las filas y la mitad de las venecitas por fila, va a usar la mitad de las 864 venecitas?

7 Para la biblioteca del aula se invirtieron $ 2.890 en la compra de 34 ejemplares de una misma novela. Cunto se habra gastado si hubieran adquirido 35 ejemplares?

8 Complet esta tabla, en la que se relaciona la cantidad de saquitos de t y de cajas en las que se envasan, sabiendo que en todas las cajas hay la misma cantidad de saquitos.

Cantidad de saquitos de t 8 48 60 300 1.200 4.800

Cantidad de cajas 200

Machete: En algunos de estos problemas las cantidades estn organizadas en filas y columnas, en otros hay que repartir en partes iguales una cantidad y determinar cunto le toca a cada uno, o bien es preciso averiguar entre cuntos se puede realizar el reparto. Es posible resolver estas situaciones de distintas maneras: sumar o restar varias veces el mismo nmero, o multiplicar para buscar el nmero que ms se acerca. Estos clculos tambin pueden pensarse como una divisin. En algunos casos en los que se utiliza la divisin, es muy importante tener en cuenta el resto al hacer esa cuenta.

10

S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

1 Son correctas estas formas de resolver el clculo 18 40?

a) 18 4 y al resultado agregarle el 0 del 40.

b) 18 10 4

c) 18 2 2 10

2 Calcul mentalmente.

a) 42 10 =

b) 42 20 =

c) 42 30 =

d) 42 50 =

e) 42 70 =

3 Busc tres maneras distintas de resolver estos clculos.

a) 36 40 =

b) 12 101 =

4 En una calculadora no funciona la tecla del L . Cmo puede hacerse para calcular?

a) 1.254 18 b) 468 28

5 Calcul mentalmente.

a) 24 5 = 140 5 = b) 24 50 = 120 50 =

36 5 = 260 5 = 28 50 = 210 50 =

84 5 = 320 5 = 42 50 = 304 50 =

6 Calcul mentalmente estas divisiones.

a) 480 : 4 =

b) 55.000 : 5 =

c) 1.240 : 4 =

d) 30.030 : 3 =

e) 1.218 : 6 =

f) 24.600 : 6 =

7 Para calcular mentalmente el resultado de 180 : 5, Ana divide por 10 y al resultado lo multiplica por 2. Es correcta esta manera de hacerlo?

Multiplicar y dividir mentalmente

11

S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

8 Calcul mentalmente los cocientes.

200 : 50 = 800 : 50 = 2.200 : 50 =

400 : 50 = 1.200 : 50 = 2.400 : 50 =

9 Calcul mentalmente el cociente y el resto de estas divisiones.

Clculo Cociente Resto

4.328 : 10

4.328 : 100

4.328 : 1.000

1.745 : 10

1.745 : 100

Clculo Cociente Resto

1.745 : 1.000

3.217 : 10

3.217 : 100

3.217 : 1.000

10 Si 24 10 = 240, 24 100 = 2.400 y 24 1.000 = 24.000, en qu columna debera colocarse el cociente de cada uno de estos clculos? Luego pods comprobar con la calculadora.

11 Complet el cuadro indicando cuntas cifras cres que tendr el cociente de estas divisiones. Luego us la calculadora para comprobarlo.

Entre 0 y 10 Entre 10 y 100 Entre 100 y 1.000

207 : 24

2.487 : 24

1.715 : 24

12.587 : 24

23.305 : 24

Cantidad de cifrasClculo 1 2 3 4 5

43.789 : 23

5.760 : 45

7.890 : 21

203.765 : 19

12

S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

1 Desde el nmero 1.328 se resta de 13 en 13. Cul es el nmero ms cercano a 0 que se alcanza?

2 Las figuritas Todo ftbol vienen en paquetes de a 9. Hoy se imprimieron 2.885 figuritas. Cuntas ms hay que imprimir como mnimo para hacer una cantidad entera de paquetes?

3 Para un cumpleaos deben comprarse 165 hamburguesas.

a) Cuntas cajas como esta se necesitan?

b) Cuntas hamburguesas sobran?

4 Un edificio tiene 11 oficinas por piso.

a) En qu piso est la oficina 192?

b) Cules son todas las oficinas que estn en ese piso?

5 Juan debe actualizar el antivirus de su computadora cada 180 das. Si lo acaba de hacer hoy, que es viernes, es cierto que la prxima vez deber hacerlo un martes?

Problemas nuevos para clculos conocidos I

13

S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

6 Nicols debe tomar todos los comprimidos de la caja; uno cada 6 horas. Si el primer comprimido lo consume a las 8 de la maana, a qu hora va a tomar el ltimo?

Para hacer en parejas 7 Entre qu dos mltiplos consecutivos de 7 est el nmero 9.297?

Machete: Dividendo Divisor 38 | 7 3/ 5 Resto Cociente

En algunos problemas que pueden resolverse con la divisin es muy importante tener en cuenta el resto al hacer la cuenta de dividir. En ciertos casos lo que debe averiguarse es justamente el resto, en otros hay que considerarlo para interpretar la informacin que da el cociente. Hay problemas en los que es necesario determinar cules son todos los restos posibles, si se tienen fijos el divisor y el cociente, y en otros casos es preciso analizar que al dividir distintos nmeros por un mismo divisor se obtiene el mismo resto.

Una vuelta de tuerca entre todos

14

S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

1 Nicols quiere apilar 4 ladrillos de un juego. De cuntas formas diferentes puede ordenar los ladrillos?

2 Ana quiere formar una pila con 4 ladrillos. Si los colores pueden repetirse, de cuntas formas distintas podra armar la pila?

3 En el torneo de ftbol de verano participan 5 equipos.

a) Cuntos partidos va a haber en todo el campeonato si juegan todos contra todos una sola vez?

b) Cuntos partidos habra si cada equipo jugara partido y revancha?

Problemas nuevos para clculos conocidos II

15

S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

Machete: En los problemas en los que hay que calcular la cantidad posible de combinaciones aparecen cantidades que se repiten. La manera de organizar la informacin es muy importante en estas situaciones para considerar todas las posibilidades e identificar qu clculos son necesarios. Para no tener que contar o sumar todas las posibilidades a veces se puede utilizar multiplicaciones. Adems, hay que tener en cuenta si es posible o no repetir los elementos a combinar, porque las cuentas con las que puede calcularse el total en cada caso son diferentes.

Para hacer en parejas 4 En una competencia de natacin participan 5 pases. Se van a premiar los 3 primeros puestos. De cuntas maneras distintas se puede ocupar esos lugares?

5 Augusto compr este candado que tiene 4 rueditas con nmeros del 1 al 4, pero quiere otro con una mayor cantidad de combinaciones. Le conviene elegir un candado que tenga un nmero ms en cada ruedita u otro que tenga una ruedita ms del

0 al 4?

Una vuelta de tuerca entre todos

16

S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

1 Sabiendo que 36 24 = 864, averigu el resultado de estos clculos. Luego pods comprobar con la calculadora.

a) 360 24 =

b) 36 240 =

c) 36 48 =

d) 36 12 =

e) 18 48 =

f) 72 24 =

g) 72 48 =

h) 864 : 36 =

i) 864 : 24 = 2 Sabiendo que 12 20 = 240, calcul mentalmente los resultados de:

a) 22 20 =

b) 32 20 =

c) 42 20 =

d) 12 30 =

e) 12 40 =

f) 12 50 =

3 Para cada clculo se ofrecen tres resultados posibles, pero solo es uno correcto. Sin hacer las cuentas, seleccion el que correcto en consideres cada caso. Luego pods comprobar con la

calculadora.

144 99 = 1.276 3.276 14.256

200 39 = 3.900 7.800 12.600

418 30 = 1.240 12.540 25.840

12.474 : 11 = 1.134 5.134 10.134

4 Calcul mentalmente los siguientes productos.

a) 14 99 =

b) 21 999 =

c) 431 9 =

d) 15 19 =

e) 11 79 =

f) 30 59 =

5 Sabiendo que 1.080 : 12 = 90, averigu el resultado de los siguientes clculos. Luego pods comprobar con la calculadora.

a) 10.800 : 12 =

b) 1.080 : 90 =

c) 540 : 12 =

d) 1.080 : 120 =

e) 1.080 : 24 =

f) 1.080 : 6 =

Clculos mentales de multiplicaciones y divisiones

S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

17

S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

17

Una coleccin de problemas para estudiar1 Una hoja cuadriculada tiene 52 filas de 42

cuadraditos. Si se duplican las cantidades de filas y de cuadraditos por fila, la cantidad total de cuadraditos ser el doble, el triple o el cudruple de la inicial?

2 Para abrir una cuenta de correo electrnico Nicols decidi usar una clave de 4 caracteres con las siguientes letras y nmeros: N, C, 0 y 2, sin que se pueda repetir ninguno. Cuntas claves distintas puede armar?

3 A Nicols le parece que su clave es muy fcil de descubrir y quiere hacer algn cambio para tener ms combinaciones. Piensa en dos alternativas:

a) Agregar una letra y que la combinacin tenga cinco caracteres.

b) Hacer la combinacin de 4 caracteres pero con la posibilidad de repetirlos.

Cul le conviene?

5 Cinco amigos viajan en colectivo. De cuntas maneras pueden sentarse uno al lado del otro en los asientos del fondo? Y si dos de ellos quieren sentarse juntos, cuntas posibilidades hay?

6 Daniela quiere visitar a sus 6 hermanos que viven en el mismo barrio. De cuntas maneras distintas puede programar sus visitas en un mismo da?

7 Ana compr una caja de 250 CD para grabar. Todas las semanas graba 45.

a) Para cuntas semanas le alcanza?

b) Cuntos CD necesita para que le alcancen para una semana ms?

4 Complet estas tablas. En la primera, en todas las cajas hay la misma cantidad de tornillos, y en la segunda, en todas las cajas hay la misma cantidad de cermicas.

Cantidad de cajas 3 8 12 20 28 30 33 50

Cantidad de tornillos 1.500

Cantidad de cajas 20 30 50 120 180 200

Cantidad de cermicas 175 1.750 3.500

1818

S

antil

lana

S.A

. Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia.

Ley

11.

723

8 Para una exposicin de fotografa se colocan sobre un panel rectangular las 462 fotos que participan. Si quieren acomodarlas en filas de 22 fotos, cuntas deben colocar en cada fila?

9 El portero elctrico de un edificio de oficinas tiene 392 timbres. Si hay 14 oficinas por piso, cuntos pisos tiene ese edificio?

10 En una casa de empanadas hornean 1.200 por da. Si las cocinan en fuentes de 75 unidades, colocando siempre la mayor cantidad posible, cuntas fuentes preparan?

11 Sabiendo que 32 14 = 448, averigu el resultado de los siguientes clculos. Luego comprob con la calculadora.

a) 32 140 = d) 32 28 =

b) 64 14 = e) 16 7 =

c) 32 7 =

12 Us que 24 30 = 720 para calcular:

a) 34 30 = c) 24 40 =

b) 14 30 = d) 24 50 =

13 Sin hacer las cuentas, seleccion el resultado que consideres correcto en cada caso. Luego comprob con la calculadora.

253 9 = 2.277 22.077 84.077

304 99 = 3.906 30.096 80.096

125 60 = 1.500 3.500 7.500

21.857 : 11 = 87 487 1.987

9.720 : 30 = 4 324 4.324

14 Una mquina produce una pieza cada 7 horas. Si se pone en funcionamiento a las 5 de la maana de un lunes y nunca se detiene, en qu momento de la semana termina la pieza nmero 15?

15 Los alfajores se venden en cajas de 24.

a) Si ya tienen listos 3.314, cuntas cajas completas ya se envasaron?

b) Cuntos ms tienen que hacer para que se puedan envasar 2 cajas ms?