matematicki list 1968 ii 5

7/28/2019 Matematicki list 1968 II 5

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1968-ii-5 1/19

-_

VAZNA OBAVESTENJA

l. UredniStvo moli sve nastavnike i profesore matematike da Salju svojepriloge za list: dlanke, odabrane zadatke, zadatke sa prijemnih ispita i mate-matidkih takmidenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi (osimudenidkih resenja zadataka) budu pisani pisaiom maSinom s proredom, a crteiiizraileni na posebnoj dvr5Coj hartiji. Rukopisi se ne vradaju.

2. ,,Matematiiki list" izlazi u 5 brojeva godi5nje i to: 5. X, 5. XII, 5. lI,5. III i 5. V. List je namenjen svim udenicinra V-VIII razreda osnovne Skole.

3. Godi5nja pretplata (za svih 5 brojeva) iznosi 6 novih dinara. Pojedini pri-merci prodaiu se po 1,50 novih dinara. NarudZbe treba slati na adresu lista, a

novac na iiro-raiun ,,Matematitkog lista" broj 608-8-1433-10 sa naznakomza koliko se kompleta vrSi uplata, odnosno za koje brojeve, Navesti tadnu adresuna koju list treba slati.

Da bismo znali u kojem tiraZu da Stampamo ,,Mat. list" III. I za sle-

deiu Skolsku godinu i da bi on na vreme iza5ao, molimo da narudZbe izvr5itedo 15. lX.

Napominjemo da raspolaZemo jo5 izvesnirn koliEinama svih brojeva listaza ovu Skolsku godinu, tako da ih moZete naknadno naruditi.

4. Molimo poverenike da izmire svoja dugovanja za primljene brojeve

,,Matematidkog lista" najkasnije do 10. Vl 1968. godine.

5. Adresa dasopisa: ,,Matematiiki list", Beograd, p. p.728.Svu prepisku slati iskljudivo na tu adresu.

Novi broj iiro-raEuna ,,Matemati6kog lista'6 je: 608-8-1433-10

SADRZAJ

10.

11.

12.13.

i

MATEMATICKI LISTZA U.ENIKE OSNOVNE STOTB

il

t.2.J.

4.5

6.

18.9

BEOGRAD1968.



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATICARA, FIZIEARA I ASTRONOMAJUCOSLAVIJE

MATEMATIEKI LIST

za uEenike osnovne Skole

God. Il, broj 5 (1967/68)

lzlazi pet puta godiSnjc

IZ,DAJF, DRUSTVO MATEMATIEARA, FIZIEARA I ASTRONOMASR SRBTJE

Beograd, p. p. 791, Knez Mihailova 35/IV

Uretluje Redakcioni odbor

Glavni urednik prof. dr M. ILIC-DAJOVIC

Odgovorni urednik B. MARINKOVIC, prof.

Sva prava umnoZavanja, pre5tampavanja i prevodenja zadriava

Drultvo matemati€ara, fiziEan i astronoma SR Srbije

Mnxauro flerpoarah(1868-1943)

Stampa: Beogradski grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvode Mi3iia br. 17



Dr l{. Oplon lEeorpaa)

XI,IBOT I,I PAA MI,IXAI,IJIA IIETPOBI{hA

C)nc roAnrte HaBpmaBa ce cro ro,qr{Ha oa pobena r .{BaAecer rrer roAr{Ha

o/l cMp'rn lrajneher cpncror MareMaruqapa Muxauna llerporuha (7. llaja 1868

-- 8. jyrta 1943.). Paa Mr.rxar.ua llerponnha roJrxro je obrnrvran, Tonr.txo 3rra-.niarr u y Hcrn Max roJmro pa3HoBpcrag, ga je :aracra r{3Bar{peAHo rerrr(o y

Kpil r K()M n3narar6y Aoqaparr,r qr,rraoquMa raj nsyrerau xnBor r.rcnyrLer crBapa-

JrttrKnM paAoM: rrucaneM reopajcrux paAoBa H3 MareMarnxe, 6r,r3r,rre, xeuraje

u ac'r'1'rorrorrauje, xoHcTpyucarLeM qHTaBor Hr{3a anapaTa - oA MepHr|x r4HcTpy-

Mcrrillir, [peKo ayroMara 3a HaBl,Irauvljy n Henpexr{arror MerLaqa 6prr,rue ro4u())l4Jrir, cBe Ao nrrerparopa*)

-ga florrryHo oprrruHanunM npnuqr-rnr.rua 4ejc-

r-rlll, c'r'BapalbeM KaApoBa npo$ecopa MareMarr{Ke 3a cpeArre rrrxore }r crBapa-

rbcM Hayyrrrx pa.qur.rKa, 3aro hy osae Hacrojarr,{ Aa rroByqeM 6ap ocHoBHe

rrolc3c y jegroj cxllqn r43HaA cBera Hecebuuue, [rr4poKe rr ilnpoxorpyAe Ae-Jlil.T.tfocTtI.

Muxanno flerpoauh ce poArro 7. uala 1868. ro,qrare y Eeorpaay. V upe-Mc r.beroBor lerlrrbcrBa r{ AeqarrrrBa ocr{oBla rtrxora, rr,rura:nja ra Be.nr,lra

lrn(oJla llana3ilne cy ce y r,rcroj srpa4u**), TaKo ,qa je no4 ucrlrrlr KpoBoM M. fle rpo-unh nponeo nyrrrax 65 roAr.rfa

-xao batt, xao cryAeHT u rao npo$ecop Belure

[r(oJlc I,{ Vrtureplr.rrera.

Bch y cpegnoj nrrolu nra:ao je BeoMa 3anaxeue yctrexe, a va cry4v-java ce jacno ucnoruo rberoB r43y3eraH rr BeJrrzKr,t MareMarriuxr4 Ta;reHar.

foAnrrc 1890. orraruao je na Aare crygr.rje y llapras, rojra je rapa 6uo Eajpa3-

oujcrrujra varevarr.rqrra Hayr-rlil rIeHTap. V llapr.rsy je 1894. roAr,rue rrocrao

AOKTOp MaTeMaTrrgnr4x IIayKa; oA Te roArrHe llollttrbe lberoB paA Ha IIayIIr4.

Hayvrrr,r paAoBr,r Muxar-rna llerpoauha [orer(Jrr{ cy oAMax Kao rrrr4poKa peraKaKo y [orneAy cBor nHTer3r4Tera raKo r4 y norJreAy pa3]IoBpcrocru rpo6,reua

rta xojc cy ce oAHocr{JrE. Ha rtpllMep, TonoM Henyne rpr,r npBe rogrlre crojerlirytruc Aenaruocrtr Mr.rxarlno llerpoer,rh je objaeuo 16 pagora, og rojux 13

n3 MrrrcMaruKe (n ro r,r3 rrer yxrax o6,racru vareuarrre), ABa v3 Mexaur,rKe

u jc4arr u3 xer"ruje. Tarsa pa3HoBpcuocr upobneua o.q caMor fioserKa

,qo xpaja rloyqror crBapaJrarrrrBa je4r,rrcreen je cnyuaj y ucropr.rja nayxa.

i) l,Irrrerparopq cy jeuna Bpcra MareMarErKHx Mawna: M. flerpoauh je sa caoj xua-porrfcrprrop lo6ro noracny aunnoMy 1907. ro.q. tsa u3rox6u y Jlongouy.

**) y Toj 3tpa!.fr, Ha Cry.{eurcrou rpry, E .qaaac ce Bua3E Perropar Yuuaeplurera.

129



Objasnite: a) konstrukciju normale u datoj ta1ki A prave c;b) postupak deljenja datog ugla na dva jednaka ugla.

2. Sada 6emo posmatrati dva naporedna ugla, tj. dva ugla a iB sa istim temenom i jednim zajednidkim krakom diji je zbirI 80" (sl. 3a).

Zadatak 2.-

Konstruisati simetrale dvaju naporednihuglova i dokazati da se one seku pod pravim uglom.

Re5enje.-

Po5to se simetrale s, i.s, konstruiSu na ve6pokazani nadin (sl. 3 b), preostaje da se dokaZe da je ugao izmedusimetrala s, i .r, (koji iemo obeleZiti sa y) prav.

Znamo da simetrala s, deli ugao o( na dva jednaka ugla a,a2, a simetrala s, deli ugao p na dva jednaka ugla p, i $r; zbogtoga je \:ez+9r:tlrn*tl19:tlr@+9); kako su pak uglovi

q i B naporedni, tj. a-+ P:180", to je zaista y:90o, 5to je itrebalo dokazati.

Na osnovu zad. 2 sad je lako reSiti i sledeie zadatke:

'9r:::::i

st. 4

Zadatak 3.-

Dokazati da se simetrala unutra5njeg i si-metrala susednog spolja5njeg ugla trougla seku pod pravim uglom(sI.4).

Zadatak 4--Za dve prave koje se

seku (lt i 12 na sl. 5)mogu se povuii dve ose

simetrije (s, i sr); do-

kazati da se te ose sekupod pravim uglom.

3. Uodimo u ravni ugao AOB i tadku P van toga ugla (sl. 6).Odigledno, kroz tadku P moZemo povudi koliko god Zelimo pravihkoje seku krak OA redom u tadkama Ar, Az, Ar,...; pri tom su

odgovarajuii odsedci OA1 i OB1, OA2 i OBz, 04 i OB3, . .. raz-lidite duZine. U vezi s tim je i slede6i zadatak iz prakse:

t32

Trasiranje nove ulice.-

U jednom ltovom naselju (sl.7a).u kojem su vet izgradene ulice OA i OB, treba izgraditi novuulicu koja prolazi od trga P i sede ulice OA i O.B tako da su

duZine OM i ON jednake. Kako treba trasirati novu ulicu?

Sl. 7a Sl. 7b

Postavljeni zadatak najpre iemo formulisati-geometrijski:

Zadatak 5. - Kroz tadku P van ugla AOB povuti pravup tako da ona od krakova tog ugla odseca jednake odsedke:OM:ON (sl. 7a).

ReSenje.-

Kako se zahteva da bude OM:ON, to znadida su tadke M i N (preseci prave p i krakova OAi OB) simetriinejedna drugoj u odnosu na simelralu s ugla AOB. Prema tome, nakracima OA i OB treba odrediti dve simetridne radke M i Ntako da prava MN prolazi kroz tadku P i da je normalna na s.Na osnovu toga se trai.ena konstrukcija izvodi na sledeii nadin:

l) najpre se konstrui5e simelrala s ugla AOB (a 1o je isimetrala krakova OA i OB, sl.7b),i

2) zatim se kroz tadku P povude prava normalna na s; toje ttaiena prava p.

Zaista, kako je prava p normalna na s, njeni preseci M i Nsa kracima OA i O,B simetridni su u odnosu na s, Sto znati, naosnovu poznatcg svojstva simetrale duZi, da OM:ON, a to jei trebalo dokazati.

Zapazimo da se osa s i lraiena prava p seku u uglu AOB;ako bi se one sekle van tcg ugla, tada bi prava p sekla produ-i,ene krake ugla AOB, le postavljeni zadatak ne bi imao re5enje.

Re5enjem zadalka 5 dato nam je i reSenje praktidnog zadatkao trasiranju nove ulice.

4. Evo joS jednog primera u kojem se koristi osna simetrija:

a'//'^\,<| 32)_

,a ,"

Sl. 7a

sl. 3b

sl. 5 sl. 6

r33



Zadatak 6. - U ravni su dati prava p i dva nejednakakruga k, i k, sa raznih strana prave p (sl. 8a); odrediti na krugu/cr tadku A i na krugu k, tadku .B tako da je odsedak AB Lp ida su odstojanja talaka A i B od prave p jednaka.

Redenje.- Prema uslovu postavljenom u zadatku, trebaodrediti talke A i .B tako da prava p bude osa simetrije od-selka AB.

Da bismo zadatak reSili, po6i iemo od dinjenice da, ako se

sl. 8e presavij: duZ prave p, tad r ie se simetridne tadke poklopiti.Umesto da presavijemo sliku, mi iemo krug kr preslikati simetridnou odnosu na pravu p; dobiiemo krug kr'; tadke & i Bz zajednidkekrugovima kL' i kz i njima simetridne tadke A, i A, na krugu ktjesu traZene tadke (jer je ArqLp i AtPt: BrPr, ArBrLp iA2P2: 82P2).

S obzirom na polo1aj [krugova kt i k, postoje sledeie

mogu6nosti:

l) krugovi &,' i k, se seku; tada 'zadztak ima dva re5enja,tj. dva para tadaka zadovoljavaju postavljeni uslov;

2) krugovi k't i kz se dodiruju; zadrtak ima jeJno re5enje;

tj. postoji samo jedan par tadaka koji zadovoljava postavljeni uslov;

3) krugovi kt' i k2 nemaju zajednidkih tadaka; zadatak nema

reSenja, Sto znadi da na krugovim.r kt i k2 ne postoji nijedan partadaka koji zadovoljava postavljeni uslov.

Napomena.-

ReSite i zadatke 331-336. iz rubrike,,Odab-rani zadaci".

t34

Eoro;ryd Mapnnxonuh (Eeorpaa)

JOIIr O JII,IHEAPHOJ OyHKTII4JI4

Onge ce rteheuo ynyttrTarr{ y AeraJbro lr3nararbe o mlreapnoj $yHxunjr,reh heuo HaBecrn caMo HeKe rurbeHr,rr;e xoje y nauuu yubexuquva H:,l,cy ygoeonrroj Mepr.r pacBerJbeHe, a Baxre cy sa 6orue pa3yMeBarse onor nojua.

lllra sgaqt,t 3aaarr.r HeKy tfyrruujy? To grra.rn Aarrr HeKo npanlrno (ra-xou, npouuc) nouohy rojera ce 3a aary Bpeafiocr apryrltegra Moxe oApeallrao4ronapajyha BpeaHocr $yrxunje. A ro npasalo ce Mo)r(e 3aaaru rla pa3rreuaqfiHe, lr:wefy ocranor r $opuynoru (aHanurnrrr).

Kao ruro sxare, Synrquoxanwa 3aBacuocr uzue\y [poMeuJbnBnx x r{ /ro.ia, saAaHa aHarLATnv.Rn, rava omurg obnur

y: kx+ h (l)jecre tuneaptu Qyurc4uja. Oe.ue cy k u b c'ramte Beruqure vrv KoHcu.ta*rue.I{lanacy oHe 3araHe, ouaa je rrfiHeapHa $yrrqr.rja rornygo oapefera. nolsara. Harlpr4Mep, aKo HannueMo l:,f(x):2x-3, oHAa cMo rr4Me AaJlr.t npaBlrno no

KoMe ce 3a Aary BpeaHocr apryJuegTa Jc Moxe oapeanTl,r oarosapajyha npe4-rocr gyxxqraje y. Pequvot 3a x:2 ao6r.rjauo rc je y:f(2):2 2-3:l; sax:0 je y: -3 urp.

1. Cnojcrna nnneapse Qyurunjel. Jluaeapna $ynkrytja (l) pacile Kag x pacne arco je k ilotufrueuo; oua

ce yvanyje Kag x pacne arco je k neiatuul*o.V ro ce MoxeMo yBepr.rrr,r Ha fipuMepy Syrruuje y:2x-3. Yruuuo

3a x ABe BpeaHocrr4, HIIp. xr:2 u xz:5; oanonapajyhe BpeaHocTr.r synxqnjecY !r:2.2-3:l u yr:z 5-3:7; eu4uvo la je yr)!, rj.KaAa ce x roBe-haro, noeehano ce l,l /. I,Iar,r yonurre: raa je k >0.oraa 3axz> x, uvavo aa jekxr> kx,, na Kaa o6eua crparaMa aoaaMo b 6whe kxr+ b > kxr+ b uru y2> yDrj. eehoj Bpearocru 3a -r npunaaa n eeha npe.uuocr 3a y, a ro 3Haqu ta y: kx + bpacre xaAa x pacre. Aro je k<0, oxta ce Ha cJrHqaH rarrr noxa:yje aa ceBpearocr Ju.rHeapre $yrxuaje yvanyje Kaaa ,y pacre. Hanve. aro je x, > x,oraa je y oBoM cryvajy n kxr< kxr. kxr+ b < kxr+ b nrr4 y, <y,. Ha npuuep, ea

$ysrqrjy y:-3x+ 5 raa je xt:z uuaMo !r:-3.2+5:-1, a raa je xr:5rMaMo yr: -3. 5 + 5 : - 10, re je :ancra lz < lr,rj. ulro je x sehe 6uhe / Marse.

Moxervro pehll: sa k>0, raaa ce x Merba oA -€ ao *o, olraa.ypacre oa -€ Ao +€; 3a k<0, y onaga, clra*yje ce oA +€ Ao -€Kaa xpacre oa -€ Ao +€,

Oyuxsnja (l) jearaxa je uynn, rj.kx+b:O"u*:-! & + O\. Hnp.k

$ynxquja 2x-3 jemtaxa je 0 sa x:-1,5;'ro ce aobuja u: jearavnxe 2x-3:0.Ilpoverte nrireapre $ynxqnje (rreu rox) obr{qro ce npr.rxasyjy y o6nuxy

rabe.ne:Cnyraj k>0

xl-* V-bkV +oo

yl-*/ o v--;

Cryuaj k< 0

*l-* Z-blkr'+qtl+-\ 0 \*'

sl. 8bl. 8a

OeAe srar y' 3*aqu,,pacre", a arax \ 3naqv ,,ona4a".

135



@ r(po3 Taqry 7 (0;3) noryue lapanena ca roM trpaBoM (lrlu mro je rcro,npana y:2x ce noMepx napaneJrno carvroj ce6ra ga 3 jealuuqe gyx oce y).

Ilpoeepu Aa nn cy cBe npaBe na cn. 3 4o6po uaqprane.

I[ p u v e p l.- OApe.qlr rcoe<pr,rqr.rjenr npaBlra u oAc€qaK Ea /-octr 3anpaey 3 x-2y-6:0. I,Ivavro: -2y: -3x+ 6, oAaxne, y:1,5 x-3, na jek:1,5 u b:-3.

fl p u rra e p 2.- Kaxo ce Moxe Earlprarl,r [paBa 3 x+4 y-12-O?3

Ifpeu nauuu.-Vz Aare jeAnaqme AodnjaMo l:-O

t+3.fpaabEroBe

$yuruuje (npana) rrpraMo Ha Beh orncaHn Hatmu: Itpra c€ trpaBa y---1 *u4IIoBnaqI,t cc rapanerra Kpo3 TaqKy a (0; 3).

,Tp.yiu ila,aun. - Hajrrogmaje je Aa ce o,qpeAeT?qKc y xojlrr'la npara 3 x+4y-12:0 ceqe KoopAn-

,rh:Hc oce. Cranuuo rkt y:O 4o6nhervro 3 x-12:0,oAar(ne x:4 (oace.raK xoju npaBa qI,IHI,r Ha x-oc[),ruro 3Haqr4 Aa rrpaBa ceqe x-ocy y raqKx A (4;0).Crasrrvlo nN x:0, aobujalro 4y-12:O, rj. 4y:12,oAaKne y:3 (o4ceuaK Kojtr flpaBa qI.IHLr Ha ]-ocil),

ruro 3Haes aa rrpaBa ceqe /-ocy y raqKu B(0;3)..[ar.ne, npana 3 x+4y-12:0 nponasrr Kpo3 Taqxe

A(4;0) u B (0;3). (Veex6aj oBaj Haquu 3a Ilprar$etrpaBrx y KoopA. cl4creMy, jep je jeatrocraruajn).

4. Cnequianru o6.nuqu je4naqfifle [pase

l) Axo je y jeguaur.rnn Ax+By+ C:0 cavo crlo6oArfl.r qnan C:0, onAaA

ra jeAHarrr4nanocraje Ax+By:Ounla y:-E x. Axo -AlB o3EauMo cit &,

avaheuo y:kx, a ro je npana roja u4e xpo3 roopAtrHarHtr rroqeraK.

2) Axo je y jegnauunu Ax+By+ C:0 cauo roe@eqI4ierr A:O, osAaC

jeAnaqr.rna 4o6raja o6nur By + C:O nnv y: -E , urtil KaA -ClB o3EarIIrMo ca

D, ravahepro y:b. Ta je4navuHa noxaayje ,qa je ga 6uro xojy BpeAgocr x-aBpeAHocr 3a y cralrHa (yner ncra). Aaxle, y:b jecte jeAnasaEa upare xoja jetrapanerrHa c x-ocoM r.r ceqe opAl,Isarry ocy y ravrra (0;b)

3) Aro je calro B:0, onAa ce je4na.rzna Ax+By+C:0 csoAr Ira

Ax+C:O, ruro ce Moxe nficaru u Kao x: -9 tou *-^ (craarnu cMo

-ClA:n).To gnaqu: x je yrer r{crorla *onrr*iroo 6ano y. JJanauuaa x:m3aTO trpeACTaBJba npaBy flapanenHy ca /-ocoM Ha yAaJb€HocTu m oL w,

4) Je4Havrarra x:0 gsaqra y-ocy, a jeAsaquna 'y:0 gnasn x-ocy.

5. Kaxo MoxeMo oApeAm[ nfineapuy 0ynrqujy xa,qa.3rlaMo rren rpa$mc?

Jlaxo ce yBepaBaMo aa KoopAanare cBtrx raqa(a roje lexe ua nparojrnja je je4nauraua y:2x-3 aa4onorarajy ry jeguaunry r.r o6pryro, axo ce ypaBHr, lfirna3r.r HeKa raqKa M (xo, y) 'raje xoopAunare 3aAoBoJbarajy ropnyje4xavuuy, oHAa ce oHa HaJIa3u ra npaooj xojoj je ro je4na.rnna. V negu c ruuperlr.rMo ueKoJrr,rKo (oprrcHr.rx npl4Mepa.

Cr. 3

flpagaq rrpaBe y:kx+b saF.ucm oA roeibuqrajeura k yz x: raj 6poj k3oBe ce xoeSu4ujeatil ilpa64a upd6e (yrlouur.r xoe$nqnjesr, xoe$ruujeur cvepau cn.). Aro je k>0 oHAa npaBa ca no3ltrlrBut{M cMepoM r-oce rpaAr4 ourapyrao, a axo je k<0 raj yrao je ryn. Hnp. npana !:2x+ 3 rpagr.r ce no3tr-TIiBHJTM CMepoM x-oce orxTap yrao, a npaBa )r: -2x+3 rpaAr.r Tyrr yrao(cn. 3). Epoj 6 jecre ogceuax xoju npana rparyn Ea y-ocr4.

-IIIra _gnaqr aro y jeAnaqsHu rpaBe y:kx+b 6poj /r rva yBex r{cry BpeA-tocr ko, a b paznuuure ape4xocrr,r? To guagu cxyrr cBux npaBxx roje cy napa-Jrenue c npaBoM y:kox+b. Ha npuvep, rpaQr.rqu Oynxqrja y:2x, y-2x+3,y:2x-24,5 cy naparrenue npaBe.

IIIra rHarr, axo je b crarro (D:Do:xelrgl .). a k ce we6a? To sHa.Mcr(ytr cBr.rx EpaBr.rx xoje npoaa:e Kpo3 Tasxy B (0; b).

Ha cn.3npaaa y:-2x+ 3 ceve x-ocy y raqKr{ ancquce 3l2,rj.y ra'rxu(312; O) To guaqz .qa jeglrayraHy

-2 x + 3 : 0 rpa$rvxfi MorreMo pelnrruTaKo Aa HaupraMo npaay y:-2x+3 r{ oiqpeArlMo atrcqlcy raqre y rojoj ratrpaBa ceqe x-ocy.

3. Je4ua'rnna Ax + By + C :O

Je4na.ruua oeor o6rzra rarofe npegcranra jegnavr.try npaue, jep ce

Moxe AoBecrll na oblur y:kx+b.3aucra, aro je4ra.rruy Ax+By+ C:0 pe-rrruMo tro y, rrvraheuo: Cy:-Ax-C r4rv y:-*.-9o*" ycnot 8t'0), a ro

je je.qHa.rfirra y:kx+ b, trpr qeMy je xoeQuqujeuT trpaBrtra k- -A , a oaceqaKB'xa op4nxarnoj o", b:-9.

138

Ctr, 2 Cn.4

r39



a+.t I r

* I a :'

t.nro,,d

/,flpavep l.-C rrptrMep l. - O.qpean r.rnHeapgy OyHrqrjy roja aa x:2uma

"p.,q"o"i-1, a sa x: -5 r,rMa BDenuocr 13. - --rpeguocr 13.

6. IpaSnvro peuraBarle clcreMa Jruueapaux jeAHaq[Ha

fI p r rnr e p. - Peruu rpaelrvru cucreM jegnauuHa:

'o\

1}.

nj

AIITI$

3aAaqn oA rrprreMu[Te rrcflurtl Bo cpeAH[Te yqfirnurra

Tutuoe Betec, jynu 1967. tog.

' / 4 5\ / I 5\l. flpecr'reraj:

{,17 --8"J-

ln s*7

a)

.rl "'

,JE"'

!

q

n

n, ,r "r,. ,h,'L!4,0

i

l,ti

\ri.,.4

ttrul

Jlr.rxeapna Qysxquja y: kx + b je o4pefeHa aKo 3HaMo k u b. la 6u cnoB.qe oApeAnno k u 6 rpe6a .y y:kx+6 craBv-rlt Aare BpeaHocru 3a x s y.['luauo:-1:2k+b, 13:-5 k+b lcwcrew lnu. je4lr. .u'Z ,i*or"ur.), ,j.b--l-2k u b:5k+13, oaarne 5'k+13:-Zk_1, rrrro Aaje k:_2, na jeb - -l -2. (-2) : 3. flpenra roMe, rpa)r(eHa 0ysrqaja iecre

'y ! _j , a 3-.'

_- _ rypu-Mep 2.- Haqpraj npany roja rporra3u Kpo3 rarr(e M, (2;9) zM, (-4; -3) r o4pe.ur rbeHy j.a"urr"y. -

Ilpany her"ro naxo Hauprarr.r ra(o aa HarlpraMo rauxe M, u Mrn aapo3 Brrx floByqeMo npaBy,

,___-_J"o"u"uHy re npaBe oApeauhevo sa noMeHyrl4 Havun (npxrrreo l). rj. yJeAEalMHtr y:kx+b crasuheNlo Hajnpe x:2, y:9, x: _4,'y': _li

"i'n".i,N{arq jeaEaqtrHe cHerro3Haruva k u'b:9:2Lit"'_l:_it *U-Lii*r"

""oblzja k:2, b:5.Ilpeva ror,ae, jeguaur.r"u .rpuu. MMrrnacu: y:2;;?:'

3AA

[25]

'ti

.i:ar{,

-l''t"'V{ \ t-1"++2y:8\

_ix+Y :) lx".

i"-

I)'

2. rrpecveraj: (, i., ;) , (, +_, :) [r;]3. llpecueraj ro npoueHTor p aKo ce 3r{ae ocuoBHara BpeAuocr

K:225 kg u npoqesrnror r,r3uoc i:34,2 kg. tp:15,2%l4. Cseafi ro alre6apcxrror n3pa3:

_ l-l t 0,8ab-|,2a+2,7ab+3,4b-3,4a-3,9b. 13,5ab-4,6a-0,5b1' 5. flpecrrreraj ,r cBeAn ro anrebapcxr4or r.r3pa3:

_li. -i,Zci Qa+2b)(a-b)+(4a-3b)(2a+3b). Ula2 +5ab-ltb,l

b) 9-(8-x): 7 -(x-6).

[4O x'zl

lx:5O

[x:6]

Tpe6a y rrcroM xoopAnHarHoM cr{creMy Harrp-rarx o6c npaBe Aare roplbl4M je4Hauurava. (Hanpe.qcI,I Br4.Ueo Aa ce TO MoXe ypaAI,tTr,I Ha HeKOJIr4i(O

rraqr,rHa (uaj6pxe ce npaBa Moxe Haqpraru Aa ce

Cn. 5 oApeAe rrcHe npeceqHe Taq(e ca XoopAxHaTHHM oca-va). Koopaunare npeceqHe raqre rt x npaeux(yxonuxo

npec.er uocrojra) aajy pemeu,e cr4creMa. V orou cny.rajy .. ,rpu". cexy-y raqrrS(2;3). flpeva roMe, perrerle aaror clrcreMa jecre nap (2;3), rj. x:i; y:3.

7. 3aaaqn ga nexdarle

l) .{ara je jegnavzra 2mx-v:3g)_ III^ra je rpa@nr $yxx,quje 3aAaHe roM je4Havranov? Haqpraj ra

3a m: -0,5; 0; l. IIIra saraxalrr?b) Oapeau m r?:<o 4a_ rpa(bur Synrqaje 3aaalre AaroM jeguavrlHorr:

(1) rpoaarz xpo3 raqKy M (-O,5;-2); (2)"6yaE ,rupun"lau ca npaBoM y: _2x,

^c)^ Veruu la je m: l. na oApe,qr4 oge BpeAxocrtr x-a :a roje je

(1) y:0, (2) y<0, (3) y>0._ d) 3a m: -0,5 oapeara 3a Konr4(o ce npoMeur,r y KaAa x nopacre oa-l ao 3. Il y: _41

2) V ncroru KoopA. crrcreMy Harrprarr.r rpaSuxe 3aBrrcgocrr4 'i ! S , + z

i !=:j

t_!?:V levy ce pauuxyjy rn rpadlrqrl? .florararra ra npu no"ehauu*yx-a npBa pyurquja panrovepugtpacre, a Apyra paBHoMepHo onaaa.3) Kaxo uacr ieasanzna-fnpane roja npolarn Kpo3 raexe M(_Z;O)u N(3; s)? -

",1 *, [y:x+2]

1', ^ -2 "q

6. tr{:rprur.r Aene}be: (-0,8 x6 ys) : (- 0,02 t' y5) : ?

*-l2

7. Pernr.r rH paBeHKr,rre: a) - -l:8:

J

-.i F J,

A 8.3aueuu x:-0,1 u y:-0,2 Bo r.{3pa3or !:-: tll 5x_2y9. flpecrvreraj ja nonpumHara Ha Kpyror aKo rrepr.rMerapo.r 0:47,1 cm.

IP:776,625 cm2]

-10.flpecveraj nepuverap Ha npaBoaroJrHr{(or Kora ce tro3uar}r ru}tpr,r-

aara 28. cnr u 4ujaroHanara 53 cm. tO: la6 iml11. flpecveraj ja nonput'*rara

'apaBHoKpaK Tpr4aronHr.rr vaja e ocHoBa

a:24 cm il xpaK lr:35 cm. [p:393,6 cmr]

12- fla nu rpxaronruKor ABC e [paBoaroJreH Kora ce 3Hae aera aur{Tee, a:36" 24'45" n

B -53"35' t5"?

fa+p:y:90",

A ABC-npa:aoaroreu]13. flpecrr.reraj ro BoJryMeHor rra npaBnnua trerrpt4crpaHa ru.rpaMr.{Aa Korace AaAeHr.r ocuoBHr4o-r'pa6 a:4,5 cm 14 Br,rcr{Hara 1{:8cm. lV:54cm3l

3a 6eleuK a.-

yseHruuTc Ko{ ru peuaBue aanFEr EaBeleHETe 3araqE noKaxanelp;loBorurenHu 3{ae*a o! MareMaruKa. llo. caMo val 6prrjyceHnurrupeunnecuTe3aAa{ucoceMaTosuo. PeuhTe rg h caMA oatre 3aAaqu tr r3Bpoure trpoaep(a co laAeHtrre pe3ynTaTg.

€

putr'*''

i;

{.};l"{

. $' *i g,,"Y.:{"'i,;X"":2:+1ff"#""

!i.

"-o*

a ,'

140



Resenja konkursnih zadataka iz ,,Mttematiikog lista" II.3 i II.4

32. Nastavnik je zadao uienicima da saberu dva decimalna broia. Jedan

ufunik je greS;kom pomerio decimalni zarez u vetem broju za dve cifi.'e . ulevo' pa

fi"'i"Li- i,ii OZ,SAIO. Medutim taian zbir (koii su ostali uienici bili dobili)-iznosio je 295. Koie bro,'eve ie tebalo sabrati2

Prvi naiin. -Prenosenjem zareza u jednom od sabiraka u'levo za dve

cifre uEenik je ustvari ur"o .u-o njegov stoti deo,,tj. on je.taj sabirak smanjio

iilO-put", ij.'za 0,99 njegove velidine. Zbir- se_ onda umanjio za isto toliko.

ii.tiu f.i-", igs-az,ie1e :232,4124 eini 0,!l t.t,i.99%) nepoznatos sabirka(ve6ce), Tai sabirak naii cemo

'kada232,4124 podelimo sa 0,99. Dobija se

>:i;,i!. diiei-*uii"r. je onda 2ss-234,i6:6o,24. znatl, trebalo je sabrati

troj"u" 60,;4 i 234,76.-

Slobodan lvanovii, VIr, OS ,,V. Miliievi6", Grocka

Drugi naiin. - Oznadimo brojeve koje je trebalo sabrati sa x i y' Akoie udenik ir broiu x dec. zarez pomerio ulevo za dva mesta, on je time umesto

ti.:"-,

"r".sa-o nj"gou stoii d.o, te prema uslovima zadatka moZemo

""p'i."|lr-riy:zgs I tioo+v:62,58i6. oiatle. se lako dobija da je x:234,76

i i-eo,zq, Prema tome, trebalo je sabrati brojeve: 234,76 i 60,24,

Dragan Dordevii, VIIIT, OS u Stublu kod Priboja Vranjskog

Napomena.- ZadataksemoZepostavitiikaoprob|emdesifrovanja(rekonslrufciie) slcdeca dva sabiranja (redosled cifara u sabircima je isti, raz-

iiku 1" rurno-u poloZaju zareza i prvom sabirku):

, *r**x* r *x{<rxxr

*x,**** ' **,xt **

34. Tri lica su medusobno podelila izvesnu svotu novca. prvo lice jelt

dobiloa

cele svote i joi 72 dinara; drugo lice je dobilo- ostatka i joi 72 din.,

Ia trete lice je dobilo : novog ostatka i joi preostalih 72 dinara. Koliko je dobilo3svako lice?

Prvi naiin. - Treie lice je dobilo ] aruro, ostatka i poslednjih 72 din.J

Zna(i, tih 72 dinara eini ? drugog osratka, u rr,f,:108 jeste_d4ugl ostatak

(ujedno i suma koju je dobilo trede lice).

Drugo lice je osim] O.uou ostatka dobilo jo5 72 dinara, posle iega je

ostalo 108 dinara (za treie lice). Prema tome, 72+108:180 (dinaral eini 33prvog ostatka. ZnaEi, 18O:+:270 (dinara) jeste prvi ostatak.

Prvo lice je dobilo lr.rkrpo" svote i jo5 72 dinara, ali je posle toga

preostalo 270 dinara (prvi ostatak). Prema tome,72+270:342 (dinara), a to122

predstavlja t -T :, ukupne svote. Ta svota je 342:- :513 (dinara). Sad nije

te5ko naii da je prvo lice dobilo 243 dinara, drugo lice 162 d,inara, a treie108 dinara. Proba pokazuje da smo zadatak taEno reSili. (MoZe se pri re5avanjuzadatka zakljudivati i tako da se postepeno ustanove svote koje su dobilapojedina lica, a onda da se odredi ukupna svota).

Vladimir Liiievii, V\, ,,2. J. Spanac", N. Beograd

Drugi na[in. - Ako sa x oznadimo svotu novca koju treba podeliti, ondaI I r lt \-l

ce I lice dobiti- x+72, drugo ce dobiti

T ["-lir*72)]+72iti kad se

s.cdi2

x+48,arre6e rice ie dobiri +{'-l(;".n)+(f,.+-)l}.tt..4 ll -t/r2 \ /4

ili kad se srcdi - x r32. Mora biti: l- x+72127 ' - \3 ,7(i '*+t).(;'."):''Re5avanjem ove jednaEine dobija se x:513 (ukupna svota). I sad se lako ut-vrtluje da je prvo lice dobilo 243 dinara, drugo 162 dinara i trece l0g dinara.

Duian Pagon, VII b, OS Cerkno, SR Slovenija

__ 35. D.at je trougao ABC i tadka M na jednoj njegovoj stranici (vidi slike.K19z 1u ta:'ku povuti jednu pravu tako da njome trougao bude podetjin na tliadela jednaka po povriini.

62,5876 295,0000

I sad se postepeno mcgu odrediti sve cifre koje nedostaju'

Na ovoj nadin je zadatak relio Milan Mi'in, YIII. b'-93 ,{' KaradZii",u Srbotianu. Tako je iostupio i Traite Georgievski, VIII b, OS ,,13.. noemvri",

Skopje. Medutim, on je zadatak reiio na jo5 jedan nadin (geometrtlskr;'

33. Dva iasoynika su navijena 5. II 1968. godine u 9 iasova (iziutra).

Iedan od lih [asovnika je talan, a drugi ,,Zuri" minit ipo (svakog (asa)' Kada te

o6a iasovnika opet poiazati isto vreme (kojeg dana i u koliko iasova)?

oba Easovnika 6e opet pokazivati isto vreme u trenutku kada drugiiasovnit (onaj Sto Zuri) bu4e ,,otiiao" napred za 12 6asova. Poito svakog

eu"a arugi daiovnik iuri po minut ipo, da bi ,,oti5ao" napred za--12- iasova

iiZO -i"-"t"1 u odnosu na tadatl dasovnik, bi6e mu potrebno 720:1,5:480(dasova), tj. 20 dana.

Oba ie dasovnika prvi put opet pokazati isto vreme kroz 20 dana u 9

iasova izjutra, lj. 25. ll 1968. godine u 9 dasova izjutra.

'svetolik 2ivkovii, VIIIT, oS ,,V. M." Grocka

146 147



Prvi naiin. - Pretpostavimo da je MN traiena prava (sl. l). Treba od-rediti poloZaj taike N, tj. dul AN:x. Povucinro iz temena CteZiSnuliniju CPi visinu CQ:h trougla ABC, zatim normalu MR:hr iz ta(ke M na stranicu

AB:c datog trougla ABC.

st. I sl. 2

Poznato da je teZi5na linija trougla delr trougao na dva po povrSini jednaka

trougla (ti trougli imajujednaku

stranicu i zajednidku visinu koja tim strantcamaodgovara), dakle: Pz Apc: PlBcp. No prema uslovu zadatka mora bitiPz ,awtt : Pz epc (jer svaki od delova na koje .ie A ABC podeljen pravom MNpo povr3ini mora biti jednak polovini povr5ine A ABC).

I lrc\Medutim, P's,cuu :T *h, i Pz,tpc :Z

\Z)l, pa iemo s obzirom da

su te povr5ine jednake, imati: x.,h, :(clz).h ili, napisano u obliku proporcije,

h,'.h : (c12):x.

ZnaEi, du? x:AN je Eetvrta proporcionala za duli h,, h i cl2 (a ove supoznate), te je moZemo konstruisati. Konstrukcija ie data na sl. 2 (g-proizvoljanugao, OD:h,, OE:h; OF:c12, ECIDF, OG:x-tralena dui). [ObrazloZiteispravnost te konstrukcijel. Ako tako konstruisanu duZ prenesemo na stranicu lEtrougla ABC (sl.l) podev od temena A,pololaj taEkeN biie odreclen. A toseitraZilo.

Primedba. -Kod ovog nadina re5avanja zadatka moguie su razne

varijante. Na primer, polaze6i od toga da mora biti (sl. 7): Pzesc:2'PlANM,ll

imamo : ch:2.:xh,. tj. ch:2xh' odakle izvodimo proporciju 2lrr:h:c:x,22

Sto znaEi da je x detvrta proporcionala za duii 2 h, h i c, te je moZemo napoznati nadin konstruisati (princip isti kao na sl. 2). A kada je poznata duZAN:x, onda je i poloZaj taEke N potpuno odreclen.

Mica Srefanouii, VII,, OS u Stublu iZlatica Milisavljevit, VIIIT, OS ,,Kadinjada" u Loznici

Drugi natin. - Odredimo tadku N u kojoj tralena prava treba da sede

stranicu ,4.8 (sl. 3). Neka je P srediste stranice lB. Povucimo teZisnu liniju CP.Njome je d.ati / ABC podeljen na dva trougla APC i BCP po povr5ini jednaka(fer imaju jednake osnovice i istu v.isinu). Povladenjem prave kroz M trebasad.a / APC prelvoriti u drugi trougao iste povr5ine tako da mu jedno temebude u M i ugao kod I da ostane zajednidki (ta prava kroz M treba od

148

trouglova APC i BCP da,,odseca.. jednake povr5ine). Spojimo M sa p i krozC povucimo pravu CN paralelno sa Mp. Timc je potoial taike .r\y' potpuno

A ANM bi6e jcdnaka r/2 povrsinerooli'r,ii;':"Y;":l

J"":f,T:".'J;"3'.illill(ANM i BCMN) na koje je L,ABC podeljen'pravom MN jednake.

Milan Milin. VIIIb, OS ,,V. K... Srbobran i

Duian Pagon, VII b. OS Cerkno, SR Slovenija

36. Dijagonala osnove pravilne tetvorostrane piramifu ima duZinu d, obot1nq iyi.t obrazuje sa ravni osnove ugao od 45,'.

l) Nacrtati mreiu te piramide uzimajuti da je d:4 cm2) Izraziti povriinu i zapreminu .te piranritle pomotu d.3) Izrafunati povriinu i zapreminu piramide ako je d:4 cm.

Po5to bodna ivica obrazuje sa ravni osnove ugao od 45., to je / OBS

jednakokrako-pravougli (st.\in:(. Trougti OBS i ABO su podudarni tezd,_je s:a: ^ V Z. Pr'ramida je, zna6, jednakorvidna.2

_ l) MreZu iemo lako nacrtati: nacrta sc kvadrat dijagonale d:4 cm i nad,svakom njegovom stranicom jednakostranidni

gao: njegova je povriina dvaput manja odpovr5ine ABC, ti. prava MN deli ABC nadva dela (ANM i MNB) jednaka po po-vr5ini. Zaisra, / MPN: / MpC, jer imajuzajednidku osnovicu MP i jednake odgova-rajuie visine (udaljenost rzmedu paraGlnihpravih MP i CiI svuda je ista). Dodamoli. trouglu APM trougao MPN dobijamo/ ANM, a rko istom trouglu APM dodamo/ MPC, dobijamo / ApC. Otuda su A ANM

l. 3

trougao (sl. 2; umanjena je dva puta).

odreden. Trougao ANM ie traZeni irou-

sl. I

149



2) Omotai date piramide sastoji se od 4 jednakostranidna trougla stra-d,-

nice s:a: - V 2, baza piramide je kvadlat, tel ce povr5ina cele piramide2

a2 ,- / d ,-\2 d2biti; P:a2+4.7V s:a'(+V 3), tj.P:(

2V3) (r+V 3):; (t+t/ 3. zap-

I ld2d d3remina 6e biti: V:- BH:

3 3 2212

3) Za d:cm dobiiemo: P':8 (l +l/ 3) cm2o2l,86 cm2; V:Sl cm'J

felena Matovit,VIII2, OS,,S. Dukii", Beograd

37. Zbir idtiri brojaje 324. Ako se prvom broju doda 5, od drugoga oduzme 5,

treii pomnoii sa 5, a ietvrti podeli sa 5, onda ie se dobiti iednaki rezultati. Kojisu to brojevi?

Prvi nattin (algebarski).-

Zbir detiri broja ie 324. OznaEimo li te

brojeve sa a, b, c i d, onda moZemo pisati:

bro.jeva, xzet za uslovnu jedinicu (r dgo) iednak. je tatra 324..36:g. sada nijetesko_naci ostale brojeve.: detvrri je_s.zi -zzs;. drugi rrioj urnun;.n rii"i"onutje 9.5:.45, a sam broj )2q2* 5-;5_0; prvi broj uvcir,,, zi S ieanakle i.'S:+S,

il?-^idid,?je sam broj 45-5:40. prema tome, trazcrri bio.levi;;;'0,';0. gi22S.

r\ue se resko uventt da oni zadovoljavaju oba uslovlr zadatka.- 38. Jedan ugao trougla je za 25"1- manji od drr,ltogi, i

'za20"1 ie vetiod trelega. Izraiunati uglove tog trougti (na minure ttrr,no).

Ako uglove trougla obelezimo redom sa a, p i y, onda prema usrovima

zadatka imamo da je c:75% p ili c:1 F i o:l?u% y ili or:1 1,. Odatle,

izraleni pomoiu c, uglovi tog trougla jesu: a, p+ ", ,:1 ".po5to zbir

sva tri ugla treba da iznosi 180". to ie c+1 5 19

3", 6c:180", tj.

=

c:180.,

odakle jec:r8o':f , t:. ax56,8421". Onda jc Bol.rep+Z:75,78s4. i

5yx-'56,842r :47,3684'. Kada izvrsimo preraEu.'vanje u viieimene brojeve

imacemo:.aey56"50'3.2", po,75"47)ll',,1t7!7"22.6'.. prema tome, uglovi trougla(zaokruglJeno na minute) su: 56'51', 75"47' i47"22,.

39. Izradunai:Milomir Bolianovii, vlIIr, Os ,,A. Savdii", valjevo

Ir s,@'6

* 9,12t9fp, tr,u

I(o,uo,, 0,, - 1 rJ;)

(4, 6,rs_+ . _; .,,rt .

I 30-+3-ILeer

Izraz u uglastoj lsrednjoj) zagradijednak je e:f .1J4!!:f S:l?:34 -34

(2)

a+b+c+d:324 (l)

Ako se prvom broju doda 5, od drugoga oduzme 5, tre6i pomnoZi sa 5,

a Eetvrti podeli sa5,dobiiesc jedanisti rczultat(oznadimogasak),tj.a+5:k,b-5 : k, c.5 : k, di5 : k, odakle je:

a:k-5, b:k+5, c:k15, d:5 k.

Tada na osnovu (l) imamo:

(k-s) I (/( + 5) + (/</5) + (5 k):324,

odakle dobijamo k:45. Sada nije te5ko na osnovu (2) dobiti da su traZenibrojevir a:4O, b:50, c:9, d:225. Kontrola: 40+50+9+225:324.

Ivan Radovit, VIIj, OS ,,Uditelj Tasa", NiS

Drugi naiin (tako<le algebarski; primenilo ga nekoliko re5avatelja).-AkotraZene brojeve oznadimo redom sa x !, z i /, moZcmo odmah postaviti jed-

na6ine: x + y + z + t : 324, x + 5 : y -5 : 5 z : t I 5. Ako iz poslednje detiri jednadine

sve traiene brojeve izrazimo pomo6u z i zameninto u prvoj, :ma6emo: 5 z-5 +5z+5+z+25 z:324, odakle z:9. TraZcni brojevi su: x:5.9-5:40,y:5'9++5:50, z:9, t:25'9:225 i lako se uveravano da oni zadovoljavaju uslove

zadatka.Velibor Dimitrijevit, VIII,, OS ,,M. Mijalkovii", Svetozarevo

Napomena. -Udenici V i VI razreda mogli su ovaj zadatak re5a-

vati aritmetiEki. Mnogi od njih su pogodili o kojin-r se brojevima radi, ali po-

stupak nisu obrazloZili. Evo jedne varijante rcicnja. Kada se treci nepoznatibroj pomnoZi sa 5, a detvrti podeli sa 5, dobije se isti rezultat. To znadi daje Eetvrti broj veci od tredeg 25 puta. Uzmimo tre6i broj za jedan deo, tj. za

uslovnu jedinicu. Tada ie ietvrti broj sadrZati 25 takvih jedinica. Kada se druginepoznati broj smanji za 5, on ce postati 5 puta ve6i od tredeg broja. Znadi,drugi broj umanjen za 5 sadrLi 5 jedinica (delova). Prema uslovu zadatka, prvibroj uve6an za 5 jednak je treiem broju pomnoZenom sa 5. Uzimajuii treiibroj za jedinicu fiedan deo), ima6emo u prvom broju uveianom za 5, pet

takvih jedinica (delova). Svega delova ima 5+5+1+25:36. Treii od traZenih

150

- 15;3:5; izraz u okrugloj (maloj) zagradi jetlnak

.107 207 107 100 5_t_ :l_ _l_:_t80 180 180 I80:t;

rzraz u drugoj

je B:2.15-tY:, t--' 180 20

okrugloj (maloj) zagradi

t6t-165718jcdnak ic C= - - r 0.28:__-_f-:'". I,rcma tome, zadani izraz je jed-2s 5 25 25 25 2s'"-

5 18nak A'B.C= 5.- .- :2.

9 25 Radmila Radovi,,, vrr, oS ,,o. p.-Radisic.., vrsac40. Dat ja izraz 3 a2-3 b2-6 bc-3 c2.1) Uprostiti taj izraz ako je b+c:a.2) Izraiunati numeriikuvrednost datog izraza za b+c:a:fi!

- l) Imanro: 3 a2-3 b2-6 bc-3 c2 :3 kt2-.b2-2bc-c2) :l 1ar|1b, +2bc+^+c)l:-3 [a2-(b+c.),], a s obzirom na dati uslov D +":i,'tolJ-0"i" jeinato3 (a2-a2):3.0:0.

l5l



3PHUA

Epro ogronoPlrre

1. 3a rn'r.rry je rnaheno 4,50 Auuapa n jour nona BpeAgocrl'r Krgfire'

Kortura je qeHa roj rrcuau?

2. lpyna flara uae y urKony: jeAan nAe Hanpe'a' a ABa no3a'qn; jeqaH

je noraAra, a asa uanpea; jeaan je urvefy ABa Apyra llara' a rpl4 cy y (onoHrl'

ko.nr*o je 6Nno yKYrHo baKa?

3. Kanra urrl4uApuqHor o6'nrlra nyua je noAe' Karo heru oaruu raqqo

rronoBnxy re BoAe ue cnyxehr ce HUKaKBoM ApyroM nocyAd'trr Hu MepHI4M

npr.r6oporra?

4, Axo y 12 vacona xofry na4a (oma' MoxeMo JrI4 oHAa oqeKl{Baru 4a

he naron 72 'raca rpeue 6rlru cyu'rauo?

3a seurre rcolrdnuaroPe

V one rpa.uparuhe rpe6a pacnopeAaTn q[Spe oa I ao 8

TaKo Aa ne 6yae cycegRnx Hll xoplr3oHTaJrHo' l{l{ BeprI4KaJIHo'

uu 4r.rjaroHalHol Kaxo here ro yvllnuru?

Epojuaulrtc

Epojvannr cara rpe6a [oAeJII'rr'l aseva rlarujaN{a

ua 'rpr AeJIa raKo Aa y cBa TpI4 Aena r6uponu bpojeea

6y4y jeguarr.

Jecre ,rn Pagorua'ln?

flo Hoeoj roAllHl4 Haru rlonynapHl'{ rnyMau Mlroapar

netpo"rn-qoutu y je4Hoj 6eorpa4croj cavoycry:ra ao6uo

ie osoll.ttco KI4JIorpaMa ,rox,tona xo'rlrro je 6llo rexax' 3ua-

i" ,r" *onr*o je xn,'IorpaNla 6rao rcxax'l

Aro ue 3Hare, oH.qa urPalYlajre: - t

f[ e.uY je jacuo . . .

3a npeue [IlcMeHor para trc MareMaruKe HacraBHI4K obulaglr yqeul{Ke'

BrAeeruu xoA jeAuora rpa3an rannp' ynura ra' rpc6a lt ty-lT:::::lt' A

v"&"- n" ua'to: ,,etd, Apyx(e HacraBHurle' MeHI4 je jacuo Aa Je oBo cl{creM

oa AB€ jeAHa'ruHe ca ,qBe uenoruare; caMo He 3HaM rxra hy ca oeuu x-ovr

u /-on!".TONTOBOPI4 HA NI4TATLA I43 PYBPI4KE "3PHIIA"'--- --y

"rtaerErtleruqKoMIlt''/cry" rl' 4

Ep:o ogroaopnre.-1. 4 \aca'2' Ha lve py(e IrMa 10 npcrujy' a Ha 10 pyxy

nva 50 npcrnjy. 3. Axo liz:iiii rpehuHa ueror 6poja' ou'qa raj 6poj ca4pxrr

3 nyra no ll2,rj. 312- 4. 26 Yueuura

Tpeuyrno ltroxeme.-VnopeAI{Te- crojy ra6:rrauy ca oHoM KoJa Je ltaBeaelra

y ,,Mareuarrl.rxoM rucry" 1. l, irp' 26 (y cpeaquu 'uecro)'

158

PRETPLATNICI ,,MATEMATIEKOG LISTA" U SKOLSKOJ 1967 16S, GODINI

,,Matematiaki list. je ove Skolske godine stampan u ukupnom tirazu od 500- 000 primeraka'

svaki broj u lgb 0OO pri-e.a-ka. List se Salje na preko 2500 adresa sirom cele naie zemlje. Distribuira se

"edu";;p"t"- pretplate. Najbrojniji ditaoci lista su uaenici osn. Skola. Oni su list dobijali preko skola.

ovde(zbogogranidenostiprostora)navodimosamoskolesaviSeodl20pretplatnika.Osnovna Skola,,S. Nikolajevic., Bcograd (552); OS .,J. Kursrrln" Kraljcvo (500); OS .,S. Bertii"

o"ii.t r+ioi, o3"..u;;i"iii;r,i;;Nii tar,rl; oS ,.:. u. iiu'" N. llcosrrd (au0): oS .'J' Panaic" Beosrad

A-06i;dS -in. g..;'i,i."ni ro.r Cner.uirgtii; oS .,S. Mark,ruic" Krrlicvo (19{)); OS ,,J. J. Znraj" Obreno-

i,".-(jooi <jS,,1. f -riuj" Prn.'cuo (-145) j()S,,M. xusic" lvilnjicil (.lll); OS "BraiaDurdevic" vukovar

rjzzl, oi --N. l)." ()kuLiirni tt:,,r: tiS..ti. vuliLcrit" 1'tii 1trtxl; OS,'v('2(l Krrrrttorde" Nis (305); OS

--Or'O- l,l.; ( iltirk (.I{xl): ()S ..N. 1." l(ilk(tvrc:r (.1{x)): ()S .'l{. J " ()Frrlirr (l{x)): OS "1. L. R." Raska

i'zt,illilS'-ll. ii.'; ili.;,..1 r:'r ri; ()S .'J. J. z " llrtrs (20()); ()s ',M'l it(i' Ni{ (290): oS .'t'inki" Futos

iiSSj; OS,,N. I'urit..Vrrljcvr: (184): ()S,.t). M.- tivirr (280); ()S,,S.,Mrrk()vic" Krilgujcvac (280);

i;i',;Nj;;'i:; r',Jiir"u,,. t:isr; <ls ,.Ni. o,.iL,,vi,"' N. llcosrN(l (2.1?) : ()S ,'l| R." li)r 12ol); oaS ',IVk.

t",i.rr rt,iri"u,t (2(,5); ()S'.1<-

i(,,rrc,rt" Zcrrrtrrr (l(r5): ()S .,V. l(:rrndiii" lloograd (2(r5); OS "J Popovii*

ir",",t,,,r i:i,.rr;irS,.i ' li:'rr,,''r.l,,,rt rir,tt:oS..li. ll."s,'k,rl'irrrit(l(n):()S,'F. F."Cuiak(260t:oSi;,,'i,i. i.l';li:()S,.r. t;. r<.' l.iv;r,' (:r57): ()S '.M I'ijrrdc" Nit (25t'): oS ',R' Crjrvec" zaereb(?56):oS,.rt tt,,t,',"S1 ii',,(l (j\'ll:rlS..(,t,. 1,'i,r."Kr,,lj"u,,(:51):OS..lJ.Dur."Svelozarcvo,(2j0):OS"D'lt,,Li,'','lle,,ririr(l (.'\1):ttS,,lr S:rtrrr"tic,'grrr<l124.1t;OS..M.Dudie'Valje\o(24u):OS..T.Andreev"I vrli ' (.'l(r). rlS ..rr.r',. sril,irrirr" il",'s,.i,l t2.tz); OS,,8. BoZovic'Titograd (235): OS ',D' ierk"l',1r1:r {.) l\); (iS ,.Ni. I'.\rck" <':,ii,,u,,i i:.rst; OS ,.1-j. Nenaa." Zarkovo (230); OS ,,V. K.'-Ripanj

(.' roj:()S ,.,i. nt.'J r.,,','.,' l'()ljc (l:8,: OS uorca (225);OS,,B. M." Dalj (22-5); OS,,A' Savdic" Valjevot.,.'rt; ()s .,s. s. t.itr|'r,vic'. ttcrigrad (i22); OS ,,u.f ."'Sanst<i mo-st (2zt); OS ,,J. J. Z.'Svilajnac^(l:l) ;

Os ..tt. t ' t,.,. rrik (l:{)); OS ,.J. Popovic" N. Sad (220): OS -.S. D.' Kloitar Podravski (220): OS

,.llcz:i1i1.r" llcz.rrrijir tilit): OS..l. v.'tsicko (2lJ): Iv OS T. Uzice (210): OS..9. maj" Prnjaror (210);

i;s ..i;.'i r<,,i'i,,'f ri,,'")"'i. i)o"li os'.4.'o.r!1"'; z*un izozt;'oS ..Z zreni.'N. sao (z,rlt: oS,.1|. JcrL." /.uJc/D;k (:{r{)): OS,.D. Jerk.* Ruma (200): OS KriZ-(200): OS..M. M. Mrsa" Beogmd (200};

irs .,N..t"t." Srrbirc t2l0);OS ,,S. Miletii" Zemun'(200): OS .,V. Nazor" Zeleznik (200): OS "P' K'"Piroi ( l97i; oS ..19. no'.i' Kraljevo ( 195): OS ,.M. P;vlovii" eaaak ( 192): OS ..8- .Buha" .?enica^(J9c):oS..R. P.'Brjind Bista (li0); ueireij. sk. Beograd(187):oS.'v'K"sanskimost(185):oS"F'Presern" Beograd (l8l): OS .,V. t<.* Pirot (182i OS..V. K.'D. Milanorac (l8l): OS "R. Dom''Kragujevac(lb0);oS s,ip"iu.(izsl;oS,,M.B.;BanjaKoviljaia(174);oS,'].L.Rl!r9-.:'N-Sad(175);oS.,s.riarie'N.SrdSI7:):ciS..V.st"ji"'N, Sad(l7l);oS,.D.S."Valpovo(l7l):osB3laje.v.o(170): OS ,,D. Davicl." Smedererio (lzot; OS ..G. D.' Resen (169); OS Drruvar (168): OS '.M'ilursac" tseograd- (168); oS ,,a. ,"p,." pi.ot ilozl; OS ,,D. Vukasovic" zemun (167); oS "B R'"crvenka (165i: oS ,,29. no".':

-3t"'nj"rlosl; bS ,.r. nacin" skopje (175): oS.,,\4rP-:.. Mla-denovo

(165); ,.N. Tesla" N. Sad (165): lbS Catovec(i651;oS..Z. P." Loz;ica(165);oS..l. R Sido'Petrinja(164); oS ..Brar.-Jed.'i vinio".i irerr: oS .,or. n. w."- e;.tovar ( l6l): oS Dolo!o (16:); oS^..J. J. z'"irbobran (162; (16:); oS ..o. ou"ie ig; N. Sia f rOrr; OS ,,1. Veselino'ic" Rcogrrd (l6t): OS..D Mark'Krulevac tl60; OS Koievie (t6U); OS Vrginmost (160)l OS .,V. K." Rihnica kod Kraljeva (159): OlSrem. Karlorci (157); OS ,,Bobij"uo" Rije-ka (t57); OS clogonj (156): oS Padinska Skela (156); O,S

..V. R." Gadzin Han (156t; O5,,V. nt.i Maidanpek (156)i Oi ,,J. !'2.* t."-. 1ql1rovic-a (158); OS

Gracanica Kosovska(I55r:OS--zo.ont."geoeiaatissl:OS..1. L. R."Sombor(1551: OS-"N Popovii"Kruse\ic (155): oS ..n. rc" <or"r". (tsZtl OS ,,M- Mijalk.' Svetozcrevo (l5l); OS..P.T.".Koper(l5l);oS.,b.J6;k.'r. uzi".trsoj;bS ,,i. l. 2-ui''surajeut (150): oS ..K. J. Pitu" Kidevo (150); oS,,M. Todorovii" Kragujevai (ijo); oS ,,D. Natosevii" N. Sad (150);,oS Knin (-l-50); oS Oriovac(150): oS..v. Karadzi;" caeak (150j; oS ,;o. P. Radi(ic" vrirc (l5r)l: ()5..Brat Jed" Beograd (148);

irs ouia.'o ii+ir; oi..v.?r"i,i;;l;; 'ii,iuliciS..6.n.;iBri"nnu,,. it+t't, os vitanovac (t45t: oS

,,8 P." Bueoino (144): OS -.Rraca Ribar" Zacreb (1421: OS Vir t oO Posuija ( I42): OS Zlot kodzajeean,ll+:l; OS ,,NH e.': Trstenik (l4l); os-Kaonr kod ('fli'lr (140): OS-.,Sutieska" zavidoriii(la0); OS,,R. P. Ciik;' Prokuolie (140i: OS ..v. Akscnt." Bcosrird (t40): OS..V' Nazor" Vinkovci(140); os..N. r."-zi.nl"'i;'i'ii5si; iiS D"bi";ii r,J niiiii (rrt);os ..t. Gojrl" Karlovac-(136t; oS,,N. Kirac" Pula (135); OS ,,R. Dz.' Rogatica (135); SO ,,7 sckr. SKOJ-a" Zaereb (134); oS ,.7. okt."

Caaak (lll); OS ..K. ivlisirkov" Kurnr-novo (lJ2)rOS ..Mrrrcotri" Rijcka (1.12): pS..M.- Stanoil."Kragujevac (l3t)); oS ,.v. t'." Delccvo (lld): oS ..V. Krrrdzic" N. Srd (l30): oS ..oslobod.Bgd'je"o;'id rrzsi: oS ["r,ii"""'ilzsrl''o'i,,V."NJ*[.; ipiiii'ij]], bS -xu'n.r".a"" Tonola (-126r; oS.Podmurvice" Rijeka (126): O5,,n.-vlsnjie" Bcogra,.l (lzc); OS ,,2l.maj"Nis(125);OSOSTemskairzsl: oS..F. K. i,iea" ucoci',i'rrial; oS..t. t.. tti"t'ul iunuittz+r;'oS..(. R."Novo Mesto(124): oSLovcenac(t24): of r.r.ri.ilizil:o3-"ii ir': r;ci;;'".'ti vr.iri.tr;bsD.t(u."nn.ud(123)roSD.Lrnac(12.1);OS ..S. Sin(lcti(,.. llcogr:rttit:.r);OS..S. M:rrlovic'iN.Srd (123)iOS RavnaCora_(122);OS ..Sv. Silvir" Ilcr,.qr:r(t (lll)i OS .,1). I)." Ml:rdcnovirc ( l:2): OS .,D. J.* Zrenjanin (l2l); OS Ban.Plandiiute (120); oi,,i. iiIii,rr".i tizoi: oS ,,llrrur Itilri.'; sr."pj" (tzo); oS'Gabrovac (120); oS,.M. Kos." Srbac (t:o); ()S..M. Sirrr,rrrr" l)rrlrrovrrik (llo); OS Postiia 1120); OS..R. Dom." Paracin(tl0): oS ,,S. Kovirccvic' lleogra<l (ll()); oS .,s. l)ukii'Ilcograd (120); oS,,S. Ditrih" ZenicT(lzo\iOS Srpski Milctic (120); ()S Uirrtrrri (120); OS V. C;rilditte (t20); OS Vojka (120). Itd.

1l+0,65 I65

- -0.75

159



__

REZULTATI KONKURSA ZA NAGRADNI ZADATAK BR. 3

pravilnih.

Izmedrt uienika koji su poslali pravilno

redenje Zrcbon je otlluieno da po 20 novihdinara dobijtr sledci'i uicnici:

7. Anclroiec Ljiljana, VII" r. OS ,,Voltino", Zagreb; 2'.Dap-ovit Zlatomir'

Vfff. r. dS u-pilici ioa Uu1i""" Ba5re; 3. Evtimovski tr1itorad, Vllln r. OS ,,29.

"""'ir"ii':tr."pli; !. Fetahovit Ismet, Yll" r. oS ,,N Matkii", K-ljuC 5t-Grbit

Oiosor, Vlllr';..OS ,,D. Milovic", Tivat; 6' Koturovi| Zorita, V' r-' QS "D'vuta.uu;c- Diogcn", Kupinoro; 7' Milanovii D'agun' v, r' o.5 "M'^Merkovic"'Brzan: 8. Pcr.rArr.i Miodrag, Yl, r. OS,,S. Marinkovic "' Zrcnlrnln:

-e'I<a(k'novrc

"iti""il,i'r.".."ijs",.N.il.ln-,o,ljo", oiij.t; lo'

Srtrovii sne:una, vlr r' os ,'s'

Markovii", Kraljevo.Nagrade ie biti Poslate Podtom'

iREZULTATI'KONKURSA ZA NAGRADNI ZADATAK BR. 4

Trcbalo jc cia deiilruje mnoZenje-

abctl'4 - ii6a'MoZe se rasudivati na slede6i nadin'

l) Mora biti a<3, jer bi inate ubcd.4 otlnosno dcha bio pctocifren broj.

Ali afl, jer jc E6i paran broj (kao proizvod ncliog broja i 4), a takocle i

alO (kao prva cifi'a broja). Znati, a:2'2) Sada ieTiJT.+>a000. 5to znadi da 1ed>7.Ali4.d zavrlavasecifrom

a-2. To je moguie sarro kad je d:8'- - ij "iuau".i" b<3, jer je ve6 240'a:9200 pa bi izaSlo da je d:9' a ne

d-8 (kao Sto smo utvrdili). Broj f D7 dobilcn jc n.rnoZenjem sa 4, znadi. on

je deljiv sa 4, tj.-b2

^orabiti deljivo sa 4' Ali ?? b:3 to je moguie jedino

ako ie b1 :12. i. kad je D:.1. Dakle, 21 c8'4:8c12'^"''4;-po-'i"ii"si s ia 4 ,,pamtili"'smo 3'.MnoZcci zl^tim c'4 i dodavsi 3'

dobija s'e li": r..:i s" zau.sai'i cifrom l, Sto cc biti samo kad se c.4 zavr5ava

cifrom 8. A to se moze-desiti u ova dva sludaja: ili k1d je c-2 ili kad je

"':i. tr4.aut in., , cl2 (zbog a - 2). Prema tome, ostaje c : 7'

Konadno imanro: 2178'4 : 8712'

i,r-i"ilj.r. je Z6]-idgovara, -od_toga235 ispravriih-(1O5 obrazloZenih i

t30 neJrazloZenin;. Z."Uoi .1" odtu6"tto du

-t"

izmcdu l05 udenika, koji su

plrf"f, -.Ui"tioZ.ne oOgovore,-nagrade

sa po 20 novih dinara slcdcci udenici:

1. CLtikovit Eclita, Y" r. OS ,,ZO' april", Badka Topola;- 2' Lii-[-evit Vla;

dintir, it,,. OS",.Z. :.'Spinu..., Novi Beograd 3. lvlotori( _Je1crra, Vll.l., r. OS

S Drrkic" Bcocrad: 4.' Milosovtievit Miriarta, Vlll, r' OS "R' Miljkovic"'

isi"t#^."".1 {.-iiiii',,orit Brinkoivlll, r'-oS

:'J' Paniic"' e,'gcfli;^ 6' orlit

Zelltlio, vtlo r. V oS. nula; 7.- Pantit Vesna., lllo r' oS ,'H'. K'K!c"' sxrajcvo;

E.--"iiii.rnrit Anka. ytll, r.'OS ,.J. J.Zmay-',-Pa.nievo; 9. Ti.\l* Z(trottlil.-Vll, r.

OS :.'S.Mrlctii.., Zcnrurlt rc. Ziio:nik At;S,ytl l, r.OS..P.Vorattc", l\laribor.

Nagrade ce bili Poslate Po$tom'

r60

T.adatak je bio ,,da se posadi 9 drveta

u 10 redova tako da u svakom redu bude po

3 drveta". Rcsenjc je dato na ovoj slici.

Prin.rljeno jc 1628 rcScnja, od toga

N \l.ll llrNl / \ll \ I \h llll ',

Datum,,,it,tl,ty ltut,t ltill,rlu 'let.t 't.'tit',! r, ,l,t,r t t, 'r' r:,',ltrt," ttltt\tttt

sam ovako:,r l. rrt'

ZU tn'o :t,ltl\ltttttl..11,1,, :1,, ti,ltl' ttt','lttlti't r,1r11 ',rttt,, i,tlttr rrltttOlK.,t'tttilr ,ttt ltlttttttt h,,ltl,, 1'11

XX v.) x' ,lrtn, ttt,'r,, 1 1','tl,tlnt, 'lt, ,tlt' ttt.tt.tt,tl't\ttlt \.tttttl

icdna ti/ii'l' l\l't\l!r \1, tt .l.tt,un' I

Nr )ut ilr rrt rullrtrttt,'ntl li,r tttt'lit, t

Zir pr;rvrlrrl tr'r' nlr r'\"1' ;,rrl,rll 'r I'ru r:rllr,rrl, rr' lll tt,, tttl,,t I'l |ltlr lrr

otllttt'itr' )t ll'l(tlilrrlr'ltclr,r prr',lrtlt r'rll,r',trl' rl,' l.1'1 1r.|ft11 llorllttr'! lt,r ,'.llr'rr.rvrlr'

(l:l n:t ,,;ililont t.trlu tt.tv|rlr'lr '.rillr il!tr l.lr,'lllr lrl/lrrl. 'l(illll r lllt .lrr N'r

l\(rv(llt ('lr.t\(/ilil il,t/il,tr1lr' ,,N,r1|rt,lttt r,r,l,rl,rl I't llrlril1r'r rtllrilit tt,tl'

t :tr1t'nrlr olrtirvr( r'nro rr ..N'l.tlr'nt.tltr Lorrr lt,lrt" lll I

NA(illi\l)t,lNl,l sK()1,1,: - - NA.tll()l,.ll I'lll,. II'1,,\'lNl( l

Kot.rkrrrs ,,Malcni:rtiikog lista" zit tutp,r'ittlc Sl\olrnr;r r('l\or (l( r iln;r |r) lrr 'rirlpretplatnika jc zavr5cn l IV 196u. goclinc. l'tettt:t rt:tio; ('\'r(l( n( r1, polctrt r;rtltttltkandidata za nagradc bilo jc viSc (u 20 $koll bilo .jc pnlgrlir(( no vrs(' otl li{)",,

udenika). Medutim, sve nisu ispunile prcdvidcnc l)t'()l)()./.icri( : rr( l\c r)isrr t"iizmirile celu godiSnju pretpatu, a najviic jo onih kojc tristr tlo:lrtvilt: polvtrltto ukupnom broju udenika V-VIII razreda (mada snro to svojcvterttctto.icrlrrirrrraspisom traZili od Skola). Izmeilu onih Skola koje su to blugovtcrncno rriinilcnagradili smo one u kojima je procenat pretplatnika bio najvcci. Za tlvc otl tihSkola sludajno se dogodilo da je i apsolutni broj pretplatnika najvc6i.

l. O.rnovna iliola ,,Siniia Nikolajevi|' u Beogradu, sa 552 prctplatnika(100%), tlobila jc konrpletnu zbirku savremenih matematidkih udila (iz uvoza)u vrctlnosli l0(X) novih dinara.

2. ().\utn,,tu .ilio!u ,.Jovo Kursula" u Kraljevu, sa 500 pretplatika (99,7n,dobila .jc l:rkotk' :lrvlt'rrrenu zbirku udila za matematiku (uvoznu) u vrednostiI 0(X) novilr tlrrur';t.

.1. ()ttrrrttrt ilrtltt tt l'lttJinuna, SR CG, sa 104 pretplatika (99/), nagra-dcnl .jc lt'tlrrrrHrrrlr',rrtorrr Ircllrllttottr za 104 kompleta,,Matematidkog lista" zaslcrlc('rr p.orlrnrr. /n,rr r. u ,k rlcco.l (kolskoj godini ova 6e Skola za svoje u6enikelist tkrltiiirlr lrrIl,tltt.

4. ()rnrtvrt,t tl,,,l,t ..\l hrttttr t't'it"' u Baievcima (na Drini), Sa 83 plet-platniklr (r)1.|",,1, rrirglrrrl, rr.r ;, ;r rlrrol,iotliitt.jottt pretplatom na,,Mat. list" u visininjihovc l)r1'll)lrrlc u ,'\"t ',[,,1.1,r1 llorlirri. l)rcrrra tome, u sledeioj Skolskoj godinii udcnici ovr lIrrlr rlll'tlit,', lt',1 lrr,pl,tltto.

ta*

()vorrr ptillLlrrr ,,rlrr,rllrt, rur '., .rrrrr rrrsl:rvnicirla na saradnji i trudukoji str rrhrlrlr pt l trrrlrr.rlr Nl.rl lr'.1.r" ,/r'11;r rr;tttt .ic cla spisak Skola

--

rck()t'(lcllt lrl llrxrltl I'r,tt,l,rtrrrl ,r rr,r ..Nl,rl lr:,1:r" u slcrlccoj Skolskoj godinibude jo$ dttli. Nrttrtrtt,r I alrir,rI tr,tst.t,l.t

matematicki list 1968 ii 5

Documents