matematika diskrit - logika
DESCRIPTION
Materi mengenai logika pada matematika diskritTRANSCRIPT
![Page 1: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/1.jpg)
Selamat Datang
di
MA 2151 Matematika Diskrit
Semester I, 2012/2013
1
Rinovia Simanjuntak & Edy Tri Baskoro
![Page 2: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/2.jpg)
Referensi
Pustaka Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, 7th edition, 2007.
On the Web http://courses.fmipa.itb.ac.id/ (Berisi informasi perkuliahan, slide, bahan kuliah, dan tugas. Juga memuat forum diskusi yang dapat dimanfaatkan peserta kuliah) Daftarkan diri Anda dengan enrolment key: diskritrino untuk kelas Rinovia Simanjuntak (K-01) diskritedy untuk kelas Edy Tri Baskoro (K-02)
2
![Page 3: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/3.jpg)
Evaluasi
• Ujian: UTS dan UAS 50%
• Tugas Kelompok: 3 kali 30%
• Tugas Individu: 2 kali 10%
• Tugas Pemrograman (Kelompok): 4 kali 10%
3
![Page 4: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/4.jpg)
Matematika Diskrit? Cabang matematika yang mempelajari tentang obyek diskrit. (Diskrit berarti memuat elemen yang berbeda dan tak terhubung).
Berbagai masalah yang dapat dipecahkan dengan menggunakan matematika diskrit: – Ada berapa cara untuk memilih password yang valid untuk suatu sistem
komputer? – Berapa peluang untuk menang dalam suatu undian? – Apakah ada link antara dua komputer dalam suatu jaringan komputer? – Bagaimana mengenali e-mail spam? – Bagaimana cara mengenkripsi pesan sehingga hanya orang tertentu dapat
membacanya? – Bagaimana menentukan lintasan terpendek antara dua kota dengan
menggunakan sistem angkutan umum? – Bagaimana mengurutkan suatu kumpulan data? – Berapa langkah yang diperlukan untuk melakukan pengurutan tersebut? – Ada berapa alamat internet yang valid? – Bagaimana memetakan genetik manusia? (Genome project) – Bagaimana mengatur jadwal take-off/landing/parkir pesawat-pesawat di
bandara? 4
![Page 5: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/5.jpg)
Mengapa Belajar Matematika Diskrit ?
• Dapat dibangun kedewasaan dalam bermatematika, yaitu kemampuan untuk memahami dan membuat argumen matematis.
• Merupakan landasan berbagai bidang matematika: logika, teori himpunan, teori bilangan, aljabar linier dan abstrak, kombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit).
• Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, teori basis data, bahasa formal, teori automata, teori compiler, sistem operasi, dan pengamanan komputer (computer security).
• Memuat latar belakang matematis yang diperlukan untuk memecahkan masalah dalam riset operasi (optimasi diskrit), kimia, ilmu rekayasa, biologi, dsb.
5
![Page 6: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/6.jpg)
Silabus
• Logika (1.1-1.5)
• Bukti (1.6-1.8)
• Struktur Disktrit – Himpunan (2.1-2.2, 2.5)
– Fungsi (2.3)
– Barisan dan Deret (2.4)
– Matriks (2.6)
• Algoritma (3.1-3.3)
• Induksi (5.1-5.2)
• Rekursi (5.3)
• Counting – Dasar counting (6.1)
– Prinsip Sarang Merpati (6.2)
– Permutasi dan Kombinasi (6.3)
– Koefisien Binomial (6.4)
• Peluang Diskrit (7.1-7.2)
• Teknik Counting Lanjut – Relasi recurrence (8.1-8.2)
– Fungsi pembangkit (8.4)
– Inklusi-Ekslusi (8.5-8.6)
• Relasi (9.1, 9.3-9.6)
6
![Page 7: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/7.jpg)
1.1. PROPOSITIONAL LOGIC
Bab 1 The Foundations: Logic and Proofs
7
![Page 8: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/8.jpg)
Logika dan Proposisi
• Logika merupakan dasar dari semua penalaran matematis.
• Aturan logika memberikan arti pada pernyataan matematika dan digunakan untuk membedakan pernyataan yang valid dan tidak valid.
• Blok pembangun logika adalah proposisi.
Proposisi: pernyataan yang bernilai benar atau salah, tapi tidak keduanya.
• Untuk menotasikan proposisi, digunakan alfabet seperti p, q, r, s
• Kita katakan bahwa nilai kebenaran dari suatu proposisi adalah benar (T) atau salah (F).
• Berkorespondensi dengan 1 dan 0 dalam dunia digital.
8
![Page 9: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh Proposisi
“Gajah lebih besar daripada kucing.”
9
Ini suatu pernyataan ? ya
Ini suatu proposisi ? ya
Apa nilai kebenaran dari
proposisi ini ? T
![Page 10: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh Proposisi (2)
“1089 < 101”
10
Ini pernyataan ? ya
Ini proposisi ? ya
Apa nilai kebenaran dari
proposisi ini ? F
![Page 11: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/11.jpg)
Contoh Proposisi (3)
“y > 15”
11
Ini pernyataan ? ya
Ini proposisi ? tidak
Nilai kebenaran bergantung pada nilai y yang
tidak spesifik.
Pernyataan seperti ini kita sebut fungsi
proposisi atau kalimat terbuka.
![Page 12: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh Proposisi (4)
“Bulan ini Februari dan 24 < 5.”
12
Ini pernyataan ? ya
Ini proposisi ? ya
Nilai kebenaran dari
proposisi tersebut ? F
![Page 13: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh Proposisi (5)
“Jangan tidur di kelas.”
13
Ini pernyataan ? tidak
Ini proposisi ? tidak
Hanya pernyataan yang dapat menjadi
proposisi.
Perintah dan pertanyaan bukanlah proposisi.
Ini permintaan.
![Page 14: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh Proposisi (6)
“Jika gajah berwarna merah,
mereka dapat berlindung di bawah pohon cabe.”
14
Ini pernyataan ? ya
Ini proposisi ? ya
Apa nilai kebenaran
proposisi tersebut ? F (?)
![Page 15: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh Proposisi (7)
“x < y jika dan hanya jika y > x.”
15
Ini pernyataan ? ya
Ini proposisi ? ya
Apa nilai kebenaran dari
proposisi tsb ? T
… sebab nilai kebenarannya
tidak bergantung pada nilai
x dan y.
![Page 16: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/16.jpg)
Proposisi Majemuk
Satu atau lebih proposisi dapat digabung membentuk sebuah proposisi majemuk dengan menggunakan beberapa operator logika.
– Negasi (NOT)
– Konjungsi - Conjunction (AND)
– Disjungsi - Disjunction (OR)
– Eksklusif Or (XOR)
– Implikasi (IF-THEN)
– Bikondisional (IF AND ONLY IF)
Tabel kebenaran dapat digunakan untuk menunjukkan nilai kebenaran dari proposisi majemuk.
16
![Page 17: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/17.jpg)
Negasi (NOT)
Operator Uner, Simbol:
17
P P
true false
false true
![Page 18: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/18.jpg)
Konjungsi (AND)
Operator Biner, Simbol:
18
P Q PQ
true true true
true false false
false true false
false false false
![Page 19: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/19.jpg)
Disjungsi (OR)
Operator Biner, Simbol:
19
P Q PQ
true true true
true false true
false true true
false false false
![Page 20: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/20.jpg)
Exclusive Or (XOR)
Operator Biner, Simbol:
20
P Q PQ
true true false
true false true
false true true
false false false
![Page 21: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/21.jpg)
Implikasi (IF-THEN)
Implikasi p q adalah proposisi yang bernilai salah jika p benar dan q salah, dan bernilai benar jika lainnya.
21
false false true
true true false
true false false
true true true
PQ Q P
![Page 22: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/22.jpg)
Implikasi p q
• Jika p, maka q
• Jika p, q
• p mengakibatkan q
• p hanya jika q
• p cukup untuk q
• Syarat perlu untuk p adalah q
• q jika p
• q ketika p
• q diakibatkan p
• q setiap kali p
• q perlu untuk p
• Syarat cukup untuk q adalah p
22
![Page 23: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh Implikasi
Implikasi
“Jika hari ini hari Jumat maka 2+3 > 7.”
bernilai benar untuk semua hari kecuali hari Jumat, walaupun 2+3 > 7 bernilai salah.
Kapan pernyataan berikut bernilai benar?
“Jika hari tidak hujan maka saya akan pergi ke Lembang.”
23
![Page 24: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/24.jpg)
Konversi, Kontrapositif, dan Invers
• q p disebut konversi dari p q
• q p disebut kontrapositif dari p q
• p q disebut invers dari p q
24
![Page 25: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/25.jpg)
Bikondisional (IF AND ONLY IF)
Operator Biner, Simbol:
25
P Q PQ
true true true
true false false
false true false
false false true
![Page 26: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/26.jpg)
1.2. APPLICATIONS OF PROPOSITIONAL LOGIC
26
![Page 27: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/27.jpg)
Bahasa dalam Ekspresi Logika (1)
Contoh. Ubah ke dalam ekspresi logika:
“Anda mempunyai akses internet hanya jika anda mahasiswa Matematika ITB atau anda bukan mahasiswa TPB”
Solusi. Misal a : “Anda punya akses internet”
m: “Anda mhs Matematika ITB”
f: “Anda mhs TPB”
a (m f)
27
![Page 28: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/28.jpg)
Bahasa dalam Ekspresi Logika (2)
Soal 1. Ubah kedalam ekspresi logika.
“Anda tidak boleh naik roller coaster jika tinggi anda kurang dari 100 cm, kecuali usia anda sudah melebihi 16 th.”
“Saya akan ingat tentang kuliah besok hanya jika kamu mengirim sms.”
“Pantai akan erosi ketika ada badai”
28
![Page 29: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/29.jpg)
Puzzle Logika (1)
29
(Smullyan, ‘98)
Suatu pulau mempunyai dua macam penghuni, yaitu penjujur (orang yg selalu berkata benar) dan pembohong (orang yg selalu berkata salah/bohong).
Anda bertemu dua orang A dan B di pulau itu. Jika A berkata bhw “B penjujur” dan B berkata bhw “kami berdua mempunyai tipe yg berlainan”, maka apa yang dapat anda simpulkan tentang A dan B.
![Page 30: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/30.jpg)
Puzzle Logika (2)
§1.1 No. 60
Alice: Carlos did it. Carlos: Diana did it.
Diana: Carlos is lying. John: I didn’t do it.
Oracle: Only one of them is telling the truth.
Problem: Who did it?
30
![Page 31: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/31.jpg)
Dengan menggunakan tabel kebenaran, cari baris di mana hanya 1 pernyataan yang benar
31
![Page 32: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/32.jpg)
1.3. PROPOSITIONAL EQUIVALENCES
32
![Page 33: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/33.jpg)
Salah satu langkah penting dalam argumentasi matematis adalah mengganti suatu pernyataan dengan pernyataan lain yang memiliki nilai kebenaran yang sama.
33
![Page 34: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/34.jpg)
Tautologi dan Kontradiksi
Tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang selalu benar.
Contoh:
• R(R)
• (PQ)(P)(Q)
Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.
Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.
34
![Page 35: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/35.jpg)
Tautologi dan Kontradiksi (2)
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah.
Contoh:
• R(R)
• ((PQ)(P)(Q))
Negasi dari suatu tautologi adalah suatu kontradiksi, negasi dari kontradiksi adalah suatu tautologi.
35
![Page 36: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/36.jpg)
Pernyataan yang Ekivalen (1)
36
P Q PQ (PQ) (P)(Q)
true true true false false
true false false true true
false true false true true
false false false true true
![Page 37: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/37.jpg)
Pernyataan yang Ekivalen (2)
Pernyataan (PQ) dan (P)(Q) ekivalen
(Note: (PQ)(P)(Q) selalu benar) 37
P Q (PQ) (P)(Q) (PQ)(P)(Q)
true true false false true
true false true true true
false true true true true
false false true true true
Dua pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kasus yang mungkin disebut ekivalen secara logika. Notasi p ≡ q berarti p dan q ekivalen secara logika.
![Page 38: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/38.jpg)
Ekivalen secara Logika
38
![Page 39: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/39.jpg)
Contoh
Tunjukkan bahwa¬(p ∨ (¬p ∧ q)) dan
¬p ∧¬q adalah ekivalen secara logika.
Solusi.
METODA 1 dengan menggunakan Tabel Kebenaran
METODA 2 dengan menggunakan sekumpulan ekivalensi
39
![Page 40: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/40.jpg)
¬(p ∨ (¬p ∧ q)) ≡ ¬p ∧¬(¬p ∧ q) Hukum De Morgan
≡ ¬p ∧ [¬(¬p)∨¬q] Hukum De Morgan
≡ ¬p ∧ (p ∨¬q)
≡ (¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧¬q) Sifat distributif
≡ F ∨ (¬p ∧¬q) ¬p ∧ p ≡ F
≡ (¬p ∧¬q) ∨ F Sifat komutatif
≡ ¬p ∧¬q
40
![Page 41: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/41.jpg)
1.4. PREDICATES AND QUANTIFIERS
41
![Page 42: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/42.jpg)
Predikat dan Kuantifier
Pernyataan “x > 3” punya 2 bagian, yakni “x” sebagai subjek dan “ adalah lebih besar 3” sebagai predikat P.
Kita dpt simbolkan pernyataan “x > 3” dengan P(x). Sehingga kita dapat mengevaluasi nilai kebenaran dari P(4) dan P(1).
Subyek dari suatu pernyataan dapat berjumlah lebih dari satu.
Contoh. Q(x,y): x - 2y > x + y
42
![Page 43: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/43.jpg)
Kuantifikasi Universal “P(x) benar untuk semua nilai x dalam domain pembicaraan”
x P(x).
Soal 2. Tentukan nilai kebenaran x (x2 x) jika:
x bilangan real x bilangan bulat
Untuk menunjukkan x P(x) salah, cukup dengan mencari satu nilai x dalam domain shg P(x) salah. Nilai x tersebut dikatakan contoh penyangkal (counter example) dari pernyataan x P(x). 43
![Page 44: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/44.jpg)
Kuantifikasi Eksistensi
“Ada nilai x dalam domain pembicaraan sehingga P(x) bernilai benar”
x P(x).
Soal 3.
Tentukan nilai kebenaran dari x P(x) bila P(x) menyatakan “x2 > 12” dan domain pembicaraan meliputi semua bilangan bulat positif tidak lebih dari 4.
44
![Page 45: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/45.jpg)
Negasi
“Setiap mhs dalam kelas ini telah mengambil Kalkulus IA”
x P(x)
Apakah negasi dari pernyataan ini….?
“Ada seorang mhs dalam kelas ini yang belum mengambil Kalkulus IA”
x P(x)
Jadi, x P(x) x P(x). 45
![Page 46: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/46.jpg)
Negasi (2)
Soal 4.
Carilah negasi dari pernyataan berikut:
“Ada politikus yang jujur”
“Semua orang Indonesia makan pecel lele”
Soal 5.
Tentukan negasi dari:
x(x2 > x)
x (x2 = 2)
46
![Page 47: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/47.jpg)
1.5. NESTED QUANTIFIERS
47
![Page 48: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/48.jpg)
Kuantifier Bersusun
x y (x+y = y+x)
berarti x+y = y+x berlaku untuk semua bilangan real x dan y.
x y (x+y = 0)
berarti untuk setiap x ada nilai y sehingga x+y = 0.
x y z (x+(y+z) = (x+y)+z)
berarti untuk setiap x, y dan z berlaku hukum asosiatif x+(y+z) = (x+y)+z.
48
![Page 49: Matematika Diskrit - Logika](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022050711/563dba1d550346aa9aa2d967/html5/thumbnails/49.jpg)
Soal
Soal 6. Artikan kalimat ini dalam bhs Indonesia:
x (C(x) y ( C(y) F(x,y))),
bila C(x) : “x mempunyai komputer”,
F(x,y): “x dan y berteman”,
dan domainnya adalah semua mhs di kampus.
Soal 7. Bagaimana dengan berikut ini:
x y z((F(x,y) F(x,z) (y z) F(y,z))
Soal 8. Nyatakan negasi dari pernyataan
x y (xy=1).
49