Galera de curvas en el planoMaradelCarmenFernandezGarcandice general1.Introduccin 12.Familias de curvas 52.1. Envolturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.1. Determinacin de las envolturas . . . . . . . . . . . . . 152.2. Custicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.1. Un ejemplo del clculo de una custica. . . . . . . . . 192.3. Rodamientos y resbalamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.1. Cicloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2. Epicicloides y epitrocoides . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.3. Hipocicloides e hipotrocoides . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.4. Escaleras que resbalan [13] . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.1. Evolutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.2. Involutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.3. Inversa con respecto a un crculo . . . . . . . . . . . . 322.4.4. Curvas pedal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.Galera de curvas 353.1. Astroide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Bruja de Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3. Cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4. Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6. Crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7. Cisoide de Diocles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8. Deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.9. Epicicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

NDICE GENERAL3.10. Hipocicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.11. Espiral de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.12. Espiral de Cornu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.13. Espiral Equingular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.14. Espiral de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.15. Espiral Hiperblica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.16. Lituus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.17. valos de Cassini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.18. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.Conclusiones 91A. Cdigo en Maple 9 de las grcas 95ndice de guras2.1. Trayectoria de un proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Trayectoria de una bala, 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Parbola de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Trayectoria de un proyectil auxiliar en el caso ideal, bajo laaccin nica de la fuerza de gravedad, desdeando la accinde cualquier otra fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5. Curva balstica (lnea continua) y trayectoria del proyectil bajola inuencia nica de la fuerza de gravedad. . . . . . . . . . . 102.6. Vuelo supersnico de un avin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7. Lmite de la zona de audibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8. Zona de audibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9. Cardioide formada por rayos de luz reejados en una taza deleche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.10. (A) Custica de un crculo; (B) Un rayo reejado . . . . . . . 192.11. Nefroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.12. Cicloide alargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.13. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.14. Cicloide acortada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.15. Epicicloide - Epitrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.16. Hipocicloide - Hipotrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.17. Escalera que resbala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.18. Varias posiciones de la escalera en las que est sealado elpunto medio de sta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.19. Varias posiciones de la escalera en la que est marcado unpunto jo que no est en el centro de la escalera . . . . . . . . 262.20. Barra de longitud uno que resbala en una pared vertical . . . . 272.21. Astroide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.22. Familia de elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

NDICE DE FIGURAS2.23. Evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.24. Parbola y su evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.25. La catenaria y su involuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.26. Involuta Aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.27. Inversa con respecto a un crculo . . . . . . . . . . . . . . . . 332.28. Pedal positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.29. A la izquierda la pedal positiva de la parbola con respectoa su foco. A la derecha la pedal negativa de una recta conrespecto a un punto fuera de ella. . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1. La astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. (A) Astroide; (B) Generacin doble de la astroide . . . . . . . 363.3. Trasmallo de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4. La astroide como envolvente de elipses . . . . . . . . . . . . . 373.5. Evoluta de la astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6. La longitud de la tangente cortada por los ejes es constante . . 383.7. Logo de los Pittsburgh Steelers . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.8. Bruja de Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.9. (A) Cardioide; (B) Generacin doble de la cardioide . . . . . . 423.10. Generacin de cremona de la cardioide . . . . . . . . . . . . . 433.11. La cardioide como envolvente de crculos . . . . . . . . . . . . 433.12. Evoluta de la cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.13. Leva en forma de cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.14. Conjunto de Mendelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.15. Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.16. Arco situado en el corazn de la ciudad de St. Louis Mis-souri, Estados Unidos. En la fotografa de la izquierda, apareceadems el Antiguo Palacio de Justicia. . . . . . . . . . . . . . 473.17. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.18. Cicliode acortada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.19. Cicloide alargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.20. Rueda de un tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.21. Crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.22. P es un punto de la cisoide de las dos curvas con respecto a O 563.23. Cisoide generada por un crculo que se mueve a lo largo deuna recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.24. Construccin de la cisoide dada por Diocles . . . . . . . . . . 583.25. Construccin de la cisoide dada por Newton . . . . . . . . . . 58NDICE DE FIGURAS 3.26. Construccin de la tangente a un punto P de la cisoide . . . . 603.27. Duplicacin del cubo con ayuda de la cisoide de Diocles . . . . 603.28. La deltoide como envolvente de las rectas de Simpson de untringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.29. Deltoide generada por rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.30. Propiedades de la deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.31. Evoluta de la deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.32. Deltoide rotor dentro de una astroide estator . . . . . . . . . . 643.33. Motor Wankel el cual se encuentra en el museo Deutsches deMunich, Alemania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.34. (A) Epicicloide; (B) Generacin doble de la epicicloide . . . . 663.35. (A) Hipocicloide; (B) Generacin doble de la hipocicloide . . . 683.36. Una rama de la espiral de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . 703.37. Espiral de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.38. Leva generada por un arco de una espiral de Arqumedes . . . 723.39. Espiral de Cornu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.40. Espiral equingular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.41. Pentgono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.42. A la izquierda Jakob Bernoulli, junto a l Johann Bernoulli . . 773.43. Espiral equingular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.44. Espiral equingular con longitud de los sucesivos radio vec-tores 0R0 = 0, 0R1 = 1, 0R2 = 2,... . . . . . . . . . . . . . 793.45. Espiral equingular derivada de un rectngulo ureo . . . . . . 803.46. Inversa de la espiral equingular . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.47. Espiral de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.48. Espiral hiperblica o reciproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.49. Espiral hiperblica y su asntota . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.50. Lituus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.51. valos de Cassini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.52. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.53. Tractriz y catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 NDICE DE FIGURASCaptulo 1IntroduccinLo ms curioso, es que todos aquellos que estudian seriamenteesta Ciencia, caen en una especie de pasin. Verdaderamente, loque ms placer proporciona no es el saber, sino el estudiar; no esla posesin, sino la conquista; no es el estar aqu, sino el llegarall.Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855)La humanidad fue fascinada por las curvas mucho antes de que estasfueran vistas como objetos matemticos. Como evidencia estn la forma deolas y espirales en la alfarera prehistrica, o los esplndidos pliegues de lasesculturas griegas y gticas. Fueron los gemetras griegos quienes iniciaron elestudio de curvas denidas geomtricamente como, por ejemplo, el contornode la interseccin de un plano con un cono. La recta y el crculo fuerondistinguidos como bordes de secciones planas de un cono. Algunas curvasfueron generadas por el movimiento de mecanismos articulados, o al menosfueron imaginadas para ser generadas as: la espiral de Arqumedes (287-212antes de J. C.) fue de este tipo. Una clasicacin en curvas geomtricasy mecnicas (la cual no corresponde al uso moderno de estos trminos)qued ja hasta el siglo diecisiete cuando la geometra analtica hizo posibledistinguir con precisin que debemos (siguiendo a Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)) llamar ahora curvas algebraicas1y trascendentes2.1Aquellas que pueden ser expresadas por potencias racionales de x y y vinculadas poroperaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin; por ejemplo: y2= x/(x + y).2Una curva o ecuacin trascendental es aquella que no es algebraica; por ejemplo:y = 2x, y = sinx.12 CAPTULO 1. INTRODUCCINBuscando la forma de las rbitas planetarias Johannes Kepler (1571-1630)trat una variedad de curvas antes de encontrar que la elipse daba el mejorajuste. En el antiguo sistema de Claudio Ptolomeo (85-165 despus de J. C.)se supona que los planetas describan rutas que podan ser construidas pormedio de epiciclos (crculos transportados por otros crculos o esferas).Cuando Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) trat de explicar sumtodo de clculo de volmenes (Principio de Cavalieri), tuvo el cuidado deusar un tipo de curva realmente general, pero le falt un mtodo analtico dedescripcin. Posteriormente en el siglo diecisiete, James Gregory (1638-1675)e Isaac Barrow (1630-1677) dieron reglas de clculo en forma geomtrica parareferirse a arcos montonos simples. As las curvas individuales se estabanperdiendo ya en una teora ms general.Una invencin poderosa fue crear una nueva curva por la transformacinde otra, por ejemplo, la evoluta se forma con los centros de curvatura deuna curva dada. Pero la mayor inuencia en el estudio de las curvas fue,por supuesto, la invencin del clculo, el cual no slo obtiene la solucin aproblemas de rea y longitud de arco, sino que unica todo el campo deinvestigacin. Una gran variedad de problemas mecnicos pueden ser formu-lados con precisin, por ejemplo, para encontrar la curva del ms rpidodescenso, la braquistcrona.Las curvas planas ofrecen un rico y poco explorado campo de estudio, elCaptulo 2 trata de las familias de estas curvas.El Captulo 3, Galera de Curvas, presenta informacin individual de lascurvas, todo lo que me pareci importante decir respecto a ellas, como sulongitud ([8] pp. 755-757), rea ([8] pp. 789-790), supercie de revolucin ([1]p. 423), volumen de revolucin ([1] p. 404), evoluta ([5] pp. 103-104), etc. Lasgrcas se realizaron en Scientic WorkPlace 4, se da el programa generadoen Maple 9 de cada una en el Apndice A.Asimismo en el Captulo 3, para cada curva, las referencias bibliogrcasestn en el primer prrafo de la curva en cuestin, aunque pueden apare-cer ms referencias posteriormente para puntualizar de dnde se extrajo lainformacin que se trata.Hace algunos aos Salvador Lpez Mendoza me dijo que en el nuevoedicio de la Facultad de Ciencias, el Tlahuizcalpan, haba salones equipadoscon computadoras para las materias tericas y que hacia falta material deapoyo para stos, el Captulo 3 de esta tesis se pens como material deapoyo para un curso de Clculo Diferencial e Integral II o III, al respecto ya manera de ejemplo se implementaron en Maple 9 cinco de las curvas de3dicho Captulo.Una de las razones para elaborar esta tesis fue el hecho de que no existaen espaol un texto que hablara de estas curvas.Dentro de los propsitos de esta tesis estuvo incluir al menos las curvasque se consideran ms importantes.Otro de los propsitos al escribir una tesis debe ser el aprender a redactarun libro, armarlo desde su estructura.Antes de realizar este trabajo, intente varias veces hacer la tesis en com-putacin, tuve tres distintos asesores de tesis. Agradezco profundamente alDr. Pedro Miramontes el ayudarme tanto como lo hizo para realizar y concluireste trabajo. Es en verdad en excelente director de tesis.4 CAPTULO 1. INTRODUCCINCaptulo 2Familias de curvas2.1. EnvolturasLa nocin de envoltura1se encuentra en las diversas partes de la matemti-ca.Supongamos que tenemos una familia de curvas que depende de un par-metro que es constante para cualquier curva individual, pero que cambia alpasar de una curva a otra. Las curvas de una familia pueden ser tangentes auna misma curva o a un mismo grupo de curvas. En este caso se da el nombrede envoltura de la familia a la curva o al grupo de curvas. As, la envolturade una familia de curvas es la curva tangente a cada una de las curvas de lafamilia.Problemas para calcular la curva tangente a una familia de curvas fuerondiscutidos extensamente en 1694 entre Leibniz, Johann Bernoulli (1667-1748)y Guillaume Franois Antonie, Marquis de LHpital (1661-1704).En calidad de envolturas aparecen curvas notables que encontramos fre-cuentemente en la matemtica y en las aplicaciones de sta: la parbola, lahiprbola, la astroide, la cicloide, la cardioide, etctera. A continuacin sepresentan la parbola y la hiprbola como ejemplos de envolturas.Tiro parablico [2]Examinemos el movimiento de un cuerpo de manera idealizada, bajo laaccin nica de la fuerza de gravedad, desdeando la accin sobre l de1En algunos textos le dicen envolvente.56 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVASFigura 2.1: Trayectoria de un proyectilcualquier otra fuerza. La gravedad acta verticalmente hacia abajo sobre elcuerpo lanzado con una aceleracin g constante.Sea L la trayectoria por la que se mueve el cuerpo lanzado, ver gura2.1. En cada instante el cuerpo mvil se encuentra en algn punto de sta ytiene una velocidad de movimiento determinada. La velocidad es un vectortangente a la trayectoria L. As L es la envoltura de los vectores de velocidaddel cuerpo lanzado.Consideremos la primera ley del movimiento de Isaac Newton (1643-1727): si ninguna fuerza acta sobre un cuerpo y el cuerpo est en reposo, per-manecer en reposo; si ninguna fuerza acta y un cuerpo est en movimiento,continuar en movimiento a velocidad constante y en lnea recta.La velocidad del cuerpo lanzado puede ser descompuesta en dos compo-nentes: una vertical y otra horizontal. Considerado la primera ley de Newtonsabemos que la fuerza de la gravedad acta, adems el cuerpo es lanzado conun ngulo de elevacin tenemos entonces que la componente vertical esafectada por la gravedad y la horizontal permanece constante durante todoel movimiento. Si designamos por vo a la velocidad con que el cuerpo es lan-zado, ver gura 2.1, y a las componentes horizontal y vertical de la velocidadpor los signos vhy vvrespectivamente, entonces:vh(t) = vo cos (2.1)vv(t) = vo sin gt (2.2)Si yo es la altura inicial del cuerpo lanzado y x(t) y y(t) denotan laposicin del mismo:2.1. ENVOLTURAS 7Figura 2.2: Trayectoria de una bala, 1547x(t) = (vo cos )t (2.3)y(t) = yo + (vo sin )t gt22(2.4)La trayectoria del cuerpo lanzado es una parbola. Las frmulas dadasdescriben el movimiento del cuerpo bajo la accin constante de la gravedad.A principios del siglo XVII no era claro cul sera la trayectoria de unabala disparada oblicuamente; tan es as que, en 1613, el capitn espaol confama de experto artillero, Diego Ufano, public un Tratado de Artillera enel que consideraba que eran tres los movimientos que participaban en ladeterminacin de la ruta seguida por una bala:...estos tiros se producan primeramente como un movimientoviolento o recto, luego como un movimiento mezclado en el quela bala declina de la lnea recta con la que sali del mortero ysigue un arco o lnea curva; nalmente, cuando ya perdi todasu fuerza, sigue el movimiento natural buscando el centro (de latierra) hacia abajo, como aparece en la gura (gura 2.2 [11] pp.27-29)...Ahora, examinemos las trayectorias de los proyectiles lanzados por uncan instalado en cierto punto 0 de la supercie terrestre. Debemos estudiarla trayectoria del vuelo de un proyectil lanzado desde el punto 0 a la velocidadvo bajo el ngulo respecto al horizonte.8 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVASEn la ecuacin 2.4 consideremos yo = 0 desdeando la altura del canque est instalado en la tierra. El origen de coordenadas se elige para quex(t) y y(t) sean cero en t = 0.y(t) = (vo sin )t gt22(2.5)De la ecuacin 2.2 es claro que en el momento t =vo singla componentevertical de la velocidad vves nula. Hasta este instante la componente vverapositiva, es decir, el cuerpo ascenda; despus de este momento es negativay el cuerpo desciende. As, cuando t =vo sing, el cuerpo alcanza su alturamxima de ascensin, que segn la ecuacin 2.5 es igual aym ax = (vo sin)22gPor otra parte, en la gura 2.1 se ve que vv vo y que vv= vo slocuando = 90. Por lo que nalmenteym ax = v2o2gLa altura del proyectil sobre la tierra es nula solamente en dos puntos: enel punto del disparo y en el punto de impacto, al caer a la tierra. Es decir, laaltura es nula para los valores de t que son races de la ecuacin 2.5(vo sin )t gt22= 0esto es, cuando t = 0 t = 2vo sing. La primera raz corresponde al momentodel lanzamiento del proyectil y la segunda al momento de cada. La distanciaentre el lugar del disparo y el lugar de explosin, de acuerdo a la ecuacin2.3, es igual a:xm ax = 2v2o cos sin g= v2o sin2gLa funcin sin 2 alcanza su valor mximo cuando = 45 (o cuando = 135). As la distancia mxima de vuelo se obtiene cuando = 45xm ax = v2og2.1. ENVOLTURAS 9Figura 2.3: Parbola de seguridadla cual es dos veces mayor que la altura mxima de ascensin.Analicemos la zona de tiro, es decir, la parte del espacio que ocupan lastrayectorias de los proyectiles lanzados desde O para diferentes ngulos ,en la suposicin de que la velocidad vo es ja y todas las trayectorias estnsituadas en un mismo plano. La zona de tiro est limitada por la parbolaque pasa a travs del punto de elevacin mxima C = (0, v2o2g) y los puntosD1 = (v2og , 0), D2 = (v2og , 0) de las explosiones ms lejanas, ver gura 2.3. Laparbola en cuestin puede obtenerse lanzando horizontalmente un proyectilcon velocidad vo desde el punto C. Ya habamos dicho que la trayectoria quedescriben las ecuaciones 2.3 y 2.4 es la de una parbola, substituyendo endichas ecuaciones que el proyectil es lanzado horizontalmente, = 0 convelocidad vo desde el punto C, esto es, yo = v2o2g. La posicin del proyectil quese mueve por la parbola de seguridad esta dada por:x(t) =vot (2.6)y(t) =v2o2g gt22Esta parbola se denomina parbola de seguridad ya que limita la zonade tiro, por encima de ella un vuelo est fuera de peligro. Veamos esto (gura2.4), la posicin de un proyectil auxiliar que se lanza desde O con un ngulode elevacin a velocidad vo esta dada por:x1(t) = (vo cos )ty1(t) = (vo sin)t gt22para x(t) = x1(t1) veamos como es y(t) y1(t1). Si t = t1 cos , x(t) = x1(t1),10 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVASy(t) = v2o2g g(t1 cos )22y y1(t1) = (vo sin )t1 gt212ademsy(t) y1(t1) = v2o2g (vo sin )t1 + gt212 (1 cos2) =12g(v0gt1 sin )2 0el que esta diferencia sea no negativa muestra que la trayectoria de cualquierproyectil que se lance desde O a velocidad vo con cualquier ngulo de elevacinest situada debajo de la parbola de seguridad y es tangente a esta ltima enun punto, es decir, la parbola de seguridad es la envoltura de las trayectoriasde vuelo de los proyectiles, bajo el supuesto de que la nica fuerza que actasobre el proyectil es la fuerza de gravedad y que desdeamos la accin sobrel de cualquier otra fuerza.Figura 2.4: Trayectoria de un proyectil auxiliar en el caso ideal, bajo la accinnica de la fuerza de gravedad, desdeando la accin de cualquier otra fuerza.En la gura 2.5 ([2] p. 8) se expone el tipo aproximado de la trayectoriade un proyectil en el aire (la lnea continua es la llamada curva balstica) yla lnea por la que volara el proyectil bajo la inuencia nica de la fuerza degravedad.Figura 2.5: Curva balstica (lnea continua) y trayectoria del proyectil bajola inuencia nica de la fuerza de gravedad.2.1. ENVOLTURAS 11La hiprbola como lmite de la zona de audibilidad [2]Un avin vuela a altura h sobre la supercie terrestre a velocidad super-snica v. Cul es en un momento dado la regin de la supercie terrestreen cuyos puntos ya se ha odo o se oye el sonido del motor del avin? Vamosa suponer que la supercie terrestre sobre la que vuela el avin es absoluta-mente plana y que la altura del avin h y su velocidad v son constantes.En cada instante el avin en vuelo se encuentra sobre cierto punto, asimis-mo el punto de proyeccin del avin sobre la supercie terrestre se mueveuniformemente a la velocidad v, describiendo una lnea recta l paralela aaquella por la que vuela el avin en el espacio, ver gura 2.6. Representemosel movimiento del avin de derecha a izquierda.Figura 2.6: Vuelo supersnico de un avinSupongamos que el avin se encuentra sobre el punto O de la recta l yque hace t segundos el avin se encontraba sobre el punto A de la recta l ala derecha del punto O a distancia OA = vt. Sea B el punto del espacio en elque en este mismo momento se encontraba el avin. Al pasar por el punto Bel avin produjo un ruido que comenz a propagarse desde este punto B entodas direcciones. Designaremos por u la velocidad del sonido en el aire. Parael momento en que el avin sobrevuela el punto O, es decir, transcurridost segundos el sonido logra, desde el punto B, propagarse en una esfera deradio ut cuyo centro es B. Si el radio de esta esfera es mayor que h, el sonidotiene tambin tiempo para llegar hasta la tierra y. adems, la regin en latierra hasta la que llega el sonido desde el punto B ser un crculo que seobtiene de la interseccin de la esfera con la supercie terrestre. De la gura2.6 se ve que el radio de este crculo es igual a u2t2h2, y que su centrose encuentra en el punto A.12 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVASFigura 2.7: Lmite de la zona de audibilidadTomando crculos para todas las posiciones posibles del avin obten-dremos la zona de audibilidad. Sea l cierta semirrecta que parte del puntoO y u, v, h (u < v) tres nmeros positivos. Supongamos que A es un puntoarbitrario de la semirrecta l, y que t es un nmero positivo tal que la longituddel segmento OA es igual a vt. Designemos por KA al crculo con centro enel punto A y radio u2t2h2. Hallar en el plano la regin de todos los cr-culos KA que se obtienen para todas las posiciones posibles del punto A en lasemirrecta l. En la gura 2.7 se exponen varios de estos crculos y una lneagruesa que limita la regin rellena por estos crculos, es decir, la lnea que esel lmite de la zona de audibilidad. Al examinar esta gura podemos concluirque el lmite de la zona de audibilidad es la envoltura de tales crculos.Todos los crculos KA posibles llenan la regin de audibilidad, as quepara que un punto M en el plano pertenezca a la zona de audibilidad esnecesario que pertenezca a algn crculo KA. Sean A = (vt, 0), M = (x, y)y KA el crculo de radio u2t2h2 y centro en el punto A. Para que Mpertenezca al crculo KA es necesario que se cumpla la desigualdad(x vt)2+y2 u2t2h2que es equivalente a(v2u2)t22vxt + (x2+y2+h2) 0 (2.7)El punto M pertenece a la regin de audibilidad si existe un nmero positivot ( se consider que no tiene sentido tomar valores negativos para el tiempo)que satisface la desigualdad 2.7.2.1. ENVOLTURAS 13Se haba dicho que u, v, h y t son nmeros positivos y que u < v entonces(v2u2)t2, x2+y2+h2y 2vt son positivos. Para que se cumpla la desigualdad2.7, x debe ser positivo.Considrese la igualdad(v2u2)t22vxt + (x2+y2+h2) = 0 (2.8)y tmense a = v2 u2, b = 2vx y c = x2+ y2+ h2, a es positivo ya queu < v. Si es discriminante de la ecuacin 2.8, b2 4ac es negativo entoncesla expresinat2+bt +c = a_t +b2a_2 14a_b24ac_es positiva y no se cumple la desigualdad 2.7, por tantob24ac 04v2x24(v2u2)(x2+y2+h2) 04u2x24(v2u2)y24(v2u2)h2Dividiendo esta desigualdad entre el nmero positivo 4(v2u2)h2u2x2(v2u2)h2 y2h2 1x2(v2u2)h2u2 y2h2 1 (2.9)Por lo tanto, la regin de audibilidad se compone de los puntos (x, y)tales que x > 0 y (x, y) satisface la desigualdad 2.9. Si examinamos todos lospuntos cuyas coordenadas satisfacen la igualdadx2(v2u2)h2u2 y2h2 = 1 (2.10)No solo aquellos en que x > 0 obtendremos las dos ramas de la hiprbola.Finalmente, el lmite de la zona de audibilidad es la rama derecha de lahiprbola, que se determina por la ecuacin 2.10. Con lo expuesto se demostrque la rama derecha de la hiprbola es la envoltura de los crculos KA, estoes, todo punto de esta rama es tangente a uno de los crculos KA.14 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVASngulo caracterstico [2]Examinemos el caso h = 0, es decir, cuando el movimiento tiene lugaren la supercie terrestre: en lugar del avin el automvil supersnico. Eneste caso el radio del crculo KA es igual a ut. El punto A en la semirrecta lse encuentra respecto al punto O a distancia vt, ver gura 2.8. Hallar en elplano la regin que se llena con los crculos KA.Figura 2.8: Zona de audibilidadTodos los crculos KA tienen su centro sobre l. Al variar t la distanciaOA = vt y el radio del crculo KA, que es igual a ut varan. Por esto, la regindel plano que se llena por los crculos KA, es decir, la zona de audibilidaden este caso representa en s el ngulo SOT con el vrtice en el punto O, elcual est formado por las tangentes comunes de todos los crculos KA (gura2.8). Podemos decir que los lados del ngulo SOT sirven de envoltura paralas circunferencias KA.La semirrecta l es la bisectriz del ngulo SOT. El ngulo entre la semir-recta l y una de las semirrectas OS, OT, se denomina ngulo caractersticopara el automvil supersnico. Puesto que en el tringulo OAE de la gura2.8 tenemos que OA = vt, AE = ut y OE =_(vt)2(ut)2 = tv2u2sin = AEOA = utvt = uvtan = AEOE =uttv2u2 =uv2u2De esta manera, conociendo las velocidades u y v, se puede calcular lamagnitud del ngulo caracterstico.2.1. ENVOLTURAS 152.1.1. Determinacin de las envolturasLa bsqueda de las envolturas generalmente se efecta mediante la ope-racin de diferenciacin. Sea f(x, y, a) = 0 una familia de curvas, cada valorde a da una curva de la familia. Considrese el sistemaf(x, y, a) = 0 (2.11)fa(x, y, a) = 0Cada punto de la envoltura satisface la ecuacin que se obtiene del sistemaanterior al eliminar el parmetro a ([5] pp. 98-99, [2] pp. 61-64, [4] pp. 570-571).Si la familia de curvas esta determinada mediante dos ecuaciones con dosparmetros a y b.f(x, y, a, b) = 0g(a, b) = 0Entonces cada punto de la envoltura satisface a la ecuacin que se obtienedel sistemaf(x, y, a, b) = 0g(a, b) = 0 (2.12)fa gbga fb= 0omitiendo los parmetros a y b ([2] p. 64).Cabe mencionar que la curva determinada por la ecuacin que se obtienede eliminar los parmetros en los sistemas (2.11) y (2.12) se compone de laenvoltura y del lugar geomtrico de los puntos singulares2de todas las curvasde la familia ([2] p. 70).Ejemplo 1. Hallar la envoltura de la familia de crculos KA con centroen A = (vt, 0) y radio u2t2h2 de la zona de audibilidad que se analizantes(x vt)2+y2= u2t2h22Son puntos singulares: los puntos aislados; aquellos en los que la curva se corta a simisma; o bien, las puntos en los que la curva es tangente a si misma.16 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVASHaciendo a = vt y c = vuh se puede transformar a esta familia enf(x, y, a) = a2_1 h2c2_2ax + (x2+y2+h2) = 0Cada valor de a da una curva de esta familia. La derivada de f(x, y, a) conrespecto de a esfa(x, y, a) = 2a_1 h2c2_2xDe acuerdo a lo dicho con relacin al sistema (2.11), para determinar laenvoltura debemos eliminar a en el sistemaa2_1 h2c2_2ax + (x2+y2+h2) =02a_1 h2c2_2x =0Despejando a de la segunda ecuacin y substituyndola en la primera ecuacinllegamos ah2x2c2h2 y2= h2dividendo entre h2obtenemosx2c2h2 y2h2 = 1que es la ecuacin de la envoltura y representa una hiprbola.Ejemplo 2. Examinemos la familia de trayectorias de los proyectiles queestudiamos al inicio de esta seccin dadas por las ecuaciones paramtricas(2.3) y (2.5)x = (vo cos )ty = (vo sin )t gt22despejando t de la primera de estas ecuaciones y substituyndola en la se-gunda, obtenemos la ecuacin cartesiana de la familia de trayectorias, mul-tiplicando esta ecuacin por 2v2o cos2 llegamos agx22(vo cos )(vo sin )x + 2(v2o cos2)y = 02.1. ENVOLTURAS 17nalmente, haciendo a = vo cos y b = vo sin f(x, y, a, b) = gx22abx + 2a2y = 0g(a, b) = a2+b2v2o = 0Para encontrar la envoltura a la familia de curvas determinadas por dos ecua-ciones con dos parmetros, aplicamos lo correspondiente al sistema (2.12).Calculamos las derivadas:fa = 2bx + 4ay, fb = 2ax, ga = 2a, gb = 2bPara hallar la ecuacin de la envoltura debemos eliminar a y b del sistemagx22abx + 2a2y = 0a2+b2v2o= 0 (2.13)2aby + (a2b2)x = 0Multiplicando por b la primera de estas ecuaciones y por a la tercera ysumndolas obtenemosgbx2a(a2+b2)x = 0De la segunda ecuacin del sistema (2.13) tenemos que a2+ b2= v2o, substi-tuyendo en la ecuacin anterior llegamos agbx2av2ox = 0La recta x = 0 no pertenece a la envoltura (segn se observa en la gura 2.3)pues claramente que x = 0 no es solucin del sistema (2.13), asgbx av2o = 0despejando a de esta ecuacin y substituyndola en la tercera ecuacin delsistema (2.13) llegamos a la ecuacin de la envolturay = v2o2g gx22v2ola cual coincide con la de la parbola de seguridad cuyas ecuaciones paramtri-cas (2.6) se dieron antes.18 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS2.2. CusticasCuando una luz se reeja desde un espejo en otra supercie frecuente-mente se observa una curva de luz brillante en la supercie, esta curva esllamada custica, de la idea de quemar.Un basto ejemplo de envolturas son las curvas custicas, que aunque pare-cen producto de la ptica, pertenecen completamente a la teora de curvas.Son de inters histrico por hacer surgir las primeras preguntas.Una curva custica es la envoltura de rayos de luz emitidos de un puntoreejados (catacustica) o refractados (diacustica) en una curva dada.Los rayos de luz pueden estar a una distancia nita (como una llama) oprcticamente a distancia innita (como el sol).Las curvas custicas fueron introducidas en 1682 por el matemtico alemnEhrenfried Walter von Tschirnhaus (1651-1708), quien trabaj en geometradiferencial y construy espejos con un gran poder para quemar. Asimis-mo fueron estudiadas por Christiaan Huygens (1629-1695), Jakob Bernoulli(1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), LHpital (1661-1704), AdolpheQutelet (1796-1874), Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y otros.Son ejemplos de stas: las curvas luminosas que se ven en la supercie deuna taza de leche (ver gura 2.9, que se adopt de la red de internet) y lospatrones de luz en el fondo de una alberca.Figura 2.9: Cardioide formada por rayos de luz reejados en una taza deleche.Pertenecen a esta familia la cardioide (es la catacustica de un crculocon un punto radiante en su circunferencia), la nefroide (es la catacusticade un crculo en el que se reejan rayos paralelos, o bien, catacustica de unacardioide con un punto radiante en el vrtice), etctera.2.2. CUSTICAS 19Por la forma en como se obtienen, se pueden considerar como curvasderivadas o asociadas.No siempre una fuente de luz reejada (o refractada) en una curva generaotra curva. Por ejemplo, los rayos de luz reejados desde el foco de unaparbola no se intersectan, por lo tanto su envoltura no forma ninguna curva.Actualmente existe software que simula los efectos visuales de las custi-cas generadas por el reejo de los rayos del sol en el agua3.2.2.1. Un ejemplo del clculo de una custicaSea x2+ y2= 1 una circunferencia. Supongamos que rayos paralelosverticales son reejados por esta circunferencia. Estos producen una nuevafamilia de lneas rectas (ver gura 2.10 A). Encuentre la ecuacin de estacustica [5].Figura 2.10: (A) Custica de un crculo; (B) Un rayo reejadoPara representar la familia de rayos reejados elegimos como parmetroel ngulo entre el rayo y el radio del crculo. De la gura 2.10 B, se puedever que la pendiente del rayo reejado es tan(2 2) = cos 2sin2 y que laecuacin de la recta del rayo reejado esy = 12 cos xcos 2sin 2 = 12 cos + x2_sin cos cos sin _(2.14)La custica es a n de cuentas una envoltura, as de la segunda ecuacin del3Para informacin respecto al software se recomienda consultar la siguiente direccinen la red de internet http://www.lysator.liu.se/~kand/caustics/.20 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVASsistema (2.11) de la seccin anterior tenemos quef(x, y, ) = sin 2 cos2 +x2 cos2sin2 = 0de dondex = sin3 (2.15)substituyendo en la ecuacin 2.14 llegamos ay = 12_1cos + sin4cos sin2cos _= cos _12 + sin2_(2.16)esta ecuacin junto con la ecuacin 2.15 son las ecuaciones paramtricas dela custica. Para quitar el parmetro despejamos sin de la ecuacin 2.15,de la relacin sin2 + cos2 = 1 despejamos cos y los substituimos en laecuacin 2.16, obtenemosy = _1 x23_12 +x23_que es la ecuacin cartesiana de la custica y representa una nefroide, comose dijo antes en esta seccin (ver gura 2.11).1 0.5 0 -0.5 -10.50-0.5xyxyFigura 2.11: Nefroide2.3. Rodamientos y resbalamientosPertenecen a esta familia las curvas que se obtienen por rodamientos. Masespeccamente, las que se obtienen como lugar geomtrico de un punto adistancia h del centro de un crculo de radio b que rueda: sobre una recta2.3. RODAMIENTOS Y RESBALAMIENTOS 21ja; en el exterior de un crculo jo de radio a; o en el interior de un crculojo de radio a. En esta familia se encuentran las cicloides, epicicloides (comola cardioide y la nefroide), hipocicloides (como la astroide y la deltoide),epitrocoides, hipotrocoides, etctera.Tambin pertenecen a esta familia las curvas que se obtienen por resba-lamientos, como la astroide.2.3.1. CicloidesUn crculo de radio a rueda, sin resbalar, sobre una recta. Por qu curvase mueve un punto jo P = (x, y) a distancia h, h > a del centro del crculoque rueda?Figura 2.12: Cicloide alargadaComo se observa en la gura 2.12, cos(t 2) = uh, por lo queu = hcos(t 2) = hsin tAs la coordenada x del punto jo sobre el crculo es x = at u = at hsin t.Por otro lado, sin(t 2) =vh, de dondev = hsin(t 2) = hcos tpor lo que la coordenada y del punto jo es y = a + v = a hcos t. Lascoordenadas x y y obtenidas son las ecuaciones paramtricas de la cicloidealargada. Substituyendo h por la distancia del origen del crculo que ruedaal punto jo P = (x, y) se obtienen las ecuaciones paramtricas correspon-dientes a la cicloide de que se trate: cicloide alargada si h > a (ver gura2.12), cicloide si h = a (ver gura 2.13) y cicloide acortada si h < a (vergura 2.14).22 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVASFigura 2.13: CicloideFigura 2.14: Cicloide acortada2.3.2. Epicicloides y epitrocoidesPor qu curva se mueve un punto jo a un crculo de radio b que ruedasin resbalar en el exterior de un crculo de radio a? Si el punto est en lacircunferencia del crculo que rueda, la curva generada es una epicicloide; siel punto generador no est en la circunferencia, la curva es una epitrocoide.Sea el punto generador aquel en donde se tocan los dos crculos y sea eleje x la recta por la que pasan a los centros de los dos crculos y el punto ge-nerador. Considrese otra posicin del crculo que rueda, ver gura 2.15. SeaH = (x, y) el punto generador; sean BF = a, FG = b, FBC = , JGF =, GH = c; como CF = FJ, a = b; GHK = ( +) = .cos = BDBGcos = KHGHBD = BGcos KH = GH cos BD = (a +b) cos KH = c cos( ( +)) = c cos( +)Por lo que la coordenada x del punto H esx = BD +KH = (a +b) cos c cos( +)sin = GDBGsin = GKGHGD = BGsin GK = GH sin GD = (a +b) sin GK = c sin( ( +)) = c sin( +)2.3. RODAMIENTOS Y RESBALAMIENTOS 23Figura 2.15: Epicicloide - EpitrocoideAs la coordenada y de H esy = GDGK = (a +b) sin c sin( +)si a +b = mba = (m1)b(m1)b = b = (m1) + = my las coordenadas de H sonx = mb cos c cos my = mb sin c sinmLas ecuaciones paramtricas de la epicicloide se obtiene al hacer c = b,mb = a +b y m = a+bbasx = (a +b) cos b cos a +bb (2.17)y = (a +b) sin b sin a +bb2.3.3. Hipocicloides e hipotrocoidesEstas pueden ser generadas por un punto enlazado a un crculo de radiob que rueda sin resbalar en el interior de un crculo de radio a. Como antes,24 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVASFigura 2.16: Hipocicloide - Hipotrocoidesi el punto est en la circunferencia del crculo que rueda, la curva es unahipocicloide. Si no, la curva es una hipotrocoide.Sea el punto generador el punto de interseccin de los dos crculos y seael eje x la recta que pasa por el punto generador y el centro de los doscrculos. Considrese otra posicin del crculo que rueda, ver gura 2.16. SeaF = (x, y) el punto generador; OH = a, GH = b, HOC = , HGD = ,GF = d; como DH = HC, a = b; FGE = 2 ( ) = .Procediendo como antes, las coordenadas de F sonx = OA+EF = (a b) cos +d cos( )y = GAGE = (a b) sin d sin( )si a b = mb, entoncesx = mb cos +d cos my = mb sin d sin mHaciendo d = b, mb = ab y m = abbse obtienen las ecuaciones paramtricasde la hipocicloidex =(a b) cos +b cos a bb (2.18)y =(a b) sin b sin a bbSi en estas ecuaciones se reemplaza b por b, se obtienen las ecuacionesparamtricas de la epicicloide y viceversa.2.3. RODAMIENTOS Y RESBALAMIENTOS 25Cuandoab es racional, despus de un cierto nmero de revoluciones, elpunto generador regresa a una posicin anterior, la curva es cerrada, y al-gebraica; pero siab no es racional, el punto generador nunca regresar a lamisma posicin y la curva ser trascendente.Todas las curvas antes mencionadas fueron trazadas por un punto rgida-mente sujeto a un crculo que rueda sin resbalar sobre una recta, sobre uncrculo, o en el interior de un crculo. Es una extensin natural pensar enqu curva trazar un punto jo sujeto a un crculo, si el crculo rueda sobrealguna otra curva. Se observa que esta forma de generar curvas produciruna innidad de ellas.2.3.4. Escaleras que resbalan [13]Una escalera situada sobre el suelo liso y apoyada con un extremo en lapared se desliza hacia abajo. Por qu curva se mueve el peldao en el centrode la escalera (gura 2.17)?Figura 2.17: Escalera que resbalaNuestro problema es hallar el conjunto de centros de un segmento delongitud dada, cuyos extremos resbalan sobre una pared vertical y el piso.Tracemos el punto medio del segmento en varias de las posiciones de su res-balamiento (ver gura 2.18 A) para darnos una idea de la curva en cuestin.Para determinar de que curva se trata establezcamos un sistema de coor-denadas, tomando a los ejes x y y como el suelo y la pared respectivamente.Sea d la longitud de la escalera y el ngulo de inclinacin de sta con res-pecto al suelo (gura 2.18 B). El peldao en el centro de la escalera est enel punto medio del segmento de longitud d, as y =d2 sin , y x =d2 cos para 0 2.26 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVASFigura 2.18: Varias posiciones de la escalera en las que est sealado el puntomedio de staFigura 2.19: Varias posiciones de la escalera en la que est marcado un puntojo que no est en el centro de la escalerax2+y2=_d2_2El conjunto de puntos que satisfacen esta ecuacin es una circunferencia.Formulemos la pregunta anterior ms ampliamente. Por qu curva semover un peldao de la escalera que no est en el centro de la escalera?En la gura 2.19 A estn dibujados algunos puntos de la curva que des-cribe el peldao (que no est en el centro) de la escalera al resbalar sta.Consideremos ahora que la longitud de la escalera est dividida en dos partesa y b, es decir, d = a +b (ver gura 2.19 B). Como antes, determinamos lascoordenadas de (x, y), y = b sin y x = a cos para 0 2.x2a2 + y2b2 = 1En este caso el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen esta2.3. RODAMIENTOS Y RESBALAMIENTOS 27ecuacin es una elipse.1 010Figura 2.20: Barra de longitud uno que resbala en una pared verticalLa astroide como envoltura de una escalera que resbalaConsideremos una escalera de longitud uno que resbala a lo largo de unapared vertical. Sean (0, a) y (1 a2, 0) los extremos de la escalera, a [0, 1].La distancia entre estos dos puntos es uno. Si conectamos estos puntos conuna lnea rectay = a ax1 a2(2.19)obtenemos una innidad de rectas las cuales crean una interesante curva, vergura 2.20. El problema es calcular esta curva. La envoltura a la familia decurvas dada por la ecuacin 2.19 al variar el parmetro a, nos da la ecuacinde la curva en cuestin. Empleando una vez ms el sistema (2.11) de laseccin 2.1.1 tenemosf(x, y, a) = a ax1 a2 y = 0fa(x, y, a) = 1 + x1 a2a2x(1 a2)121 a2= 0despejando a de la segunda ecuacin del sistema tenemosa =_1 x23substituyendo el valor de a en la primera ecuacin del sistema llegamos ax23 +y23 = 1que es la ecuacin de la curva generada por la escalera de longitud uno queresbala a lo largo de una pared vertical, la cual resulta ser una astroide (gura2.21).28 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS1 0 -110-1xyxyFigura 2.21: AstroideLa astroide como envoltura de una familia de elipsesEncuentre la envoltura a la familia de elipsesx2c2 +y2(a c)2 = 1con parmetro c, la suma de cuyos ejes es la constante a > 0, c (0, a), vergura 2.22.Figura 2.22: Familia de elipsesy = (a c)_1 x2c2Para obtener la ecuacin de la envoltura empleemos el sistema (2.11) dela seccin 2.1.1f(x, y, c) = (a c)_1 x2c2 y = 0fc(x, y, c) =(a c)x2c3_1 x2c2_1 x2c2 = 02.4. PROPIEDADES GENERALES 29despejando c de la segunda ecuacin obtenemosc = (ax2)13substituyendo en la primera ecuacin llegamos ax23 +y23 = a23que es la ecuacin de la astroide.2.4. Propiedades GeneralesEn esta seccin veremos cmo a partir de una curva dada se puede obtenersu evoluta, involuta con respecto a un punto, inversa con respecto a un crculoy pedal con respecto a un punto.2.4.1. EvolutasEl concepto de evoluta se origin con Huygens (1673). Sin embargo, seremonta a Apolonio de Perga (262-190 antes de J. C. aproximadamente) enel ao 200 antes de J. C. donde aparece en el libro V de sus Secciones Cnicas([14] p. 86, [3]).Figura 2.23: EvolutaLa evoluta de una curva es el lugar geomtrico de sus centros de curvatura.Ver gura 2.23. Si (, ) es este centro = x R. sin = y +Rcos 30 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVASdonde R es el radio de curvatura, el ngulo tangencial y (x, y) es un puntode la curva dada. Las cantidades x, y, R y pueden ser expresadas entrminos de una sola variable la cual acta como parmetro en la ecuacinde la evoluta.Asimismo, la evoluta es la envoltura de las normales de una curva dada.A continuacin se presenta un par de deniciones que se requieren paracalcular la evoluta de una curva dada ([14] p.86, [8] pp. 483, 500,501 y 503,[5] p. 103).Denicin. Sea f : I R R2, f(t) = (x(t), y(t)) un camino regular4dos veces diferenciable. Se dene la curvatura (con signo) de f en t comok(t) = x(t)y(t) x(t)y(t)((x(t))2 + (y(t))2)32Denicin. Sea f : I R R2, f(t) = (x(t), y(t)) un camino regulardos veces diferenciable. Para los puntos p(t) R2de la curva que describe fen los cuales la curvatura k(t) es no nula, se dene el radio de curvatura def en p denotado por r(t), como r(t) =1|k(t)|. Se llama crculo osculador de lacurva en p al crculo que pasa por p, tiene radio igual a r(t) y cuyo centro seencuentra en _x(t) y(t)k(t) f(t), y(t) +x(t)k(t) f(t)_(2.20)Ejemplo. Determine la evoluta de f : R R2, f(t) = (t, t2). De acuerdocon la denicin antes dada la curvatura de esta funcin esk(t) =2(1 + 4t2)32por otro lado f(t) = (x(t), y(t)) = (1, 2t). As que f(t) = 1 + 4t2.Como la evoluta de una curva es el lugar geomtrico de los centros de cur-vatura, substituyendo en la ecuacin 2.20 el valor de las funciones se llega ala ecuacin de la evoluta._t 2t2(1+4t2)3/21 + 4t2, t2+12(1+4t2)3/21 + 4t2_=_4t3, 12 + 3t2_En la gura 2.24 estn la funcin f y con lnea gruesa su evoluta, es decir,la grca de la funcin _4t3, 12 + 3t2_.4Un camino es regular si la primera derivada de las funciones coordenadas de f soncontinuas y f(t) = 0 (vector 0 de R2) para toda t I.2.4. PROPIEDADES GENERALES 31Figura 2.24: Parbola y su evolutaFigura 2.25: La catenaria y su involuta2.4.2. InvolutasLa involuta de un crculo fue discutida y utilizada por Huygens en 1673en relacin con sus estudios de un reloj sin pndulo para el servicio de barcosen el mar.Para obtener la involuta de una curva con respecto a un punto en sta,considrese la tangente a la curva en ese punto. Sea ese punto un punto josobre la recta tangente. La involuta es la trayectoria del punto jo sobre larecta tangente, cuando la recta gira sobre la curva.Siempre ocurre que si E es la evoluta de la curva C, entonces C es unainvoluta de E ([14] p. 135, [3], [7] pp. 166-171).Ejemplo. La involuta de la catenaria cuya ecuacin cartesiana esy = cosh xcon respecto al punto (0,1) es la tractriz cuya ecuacin cartesiana esx = ln_1 +_1 y2y__1 y2ver gura 2.25, en ella estn la catenaria y su involuta con lnea gruesa.32 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVASPara dibujar una involutaLa involuta de una curva dada puede dibujarse aproximadamente comosigue. Dibujar un nmero de tangentes a la curva dada. Con centro en lainterseccin de dos tangentes consecutivas dibujar un arco que pase a travsdel punto de contacto de una de ellas (ver gura 2.26), continuar as.El error en este mtodo se debe al hecho de que la longitud de arco de lacurva original es remplazada por la suma de los segmentos de las tangentes,la cual es mayor a la verdadera longitud de arco, pero el error puede ser tanpequeo como se desee tomando las tangentes sucientemente juntas.Figura 2.26: Involuta Aproximada2.4.3. Inversa con respecto a un crculoLa inversin geomtrica parece deberse a Jakob Steiner (1796-1863), quienmostr conocimiento del tema en 1824. En 1825 Lambert Adolphe JacquesQuetelet dio algunos ejemplos. En apariencia fue descubierta de manera inde-pendiente por Giusto Bellavitis (1803-1880) en 1836, y por William Thomson(Lord Kelvin) en 1845, quien la emple con notable xito en sus investiga-ciones elctricas.Considere un crculo con centro 0 y radio k. Dos puntos A y B colinealescon 0 (gura 2.27), son mutuamente inversos con respecto a este crculo si(0A)(0B) = k2En coordenadas polares con 0 como polo, esta relacin esr. = k22.4. PROPIEDADES GENERALES 33Figura 2.27: Inversa con respecto a un crculoDos curvas son mutuamente inversas si cada punto de una tiene un inversoque pertenece a la otra ([14] p. 127, [7] p. 177).Ejemplo. Pruebe que la parbola y2= bx es la inversa de la cisoidey2=x32ax con respecto al crculo de radio 2ab con centro en el origen(gura 2.27). Haciendox =r cos y =r sin se obtienen las ecuaciones polares de la parbola r =b cos sin2 y la cisoide =2a tan sin. Al realizar el producto de r por , llegamos a quer = 2abpor lo que la parbola y la cisoide dadas son mutuamente inversas con res-pecto al crculo de radio 2ab con centro en el origen.2.4.4. Curvas pedalLa idea de las curvas pedal positiva y negativa se le ocurri a ColinMaclaurin (1698-1746) en 1718. El nombre de pedal se debe a Terquem.La teora de las curvas custicas incluye a las pedal (Quetelet, 1822) ([14]pp. 160-165, [7] pp.152-159).El lugar geomtrico G de los pies de las perpendiculares de un punto joP (el punto pedal) sobre la tangente a una curva dada C es la pedal positivade C con respecto al punto jo P (gura 2.28). La curva dada C es la pedalnegativa de G. O bien: Dada una curva y un punto jo 0, dibuje la tangente aun punto P cualquiera en la curva, marque un punto Q en la tangente tal que34 CAPTULO 2. FAMILIAS DE CURVASFigura 2.28: Pedal positivalas rectas PQ y 0Q sean perpendiculares, repita las dos ltimas instruccionespara cada punto P en la curva. El lugar geomtrico de Q es la pedal positiva(o pedal) de la curva dada con respecto al punto 0. Pedal negativa. Dadauna curva y un punto jo 0, dibuje una recta de 0 a cualquier punto P enla curva, dibuje una perpendicular a la recta 0P que pase por P, repita lasdos ltimas instrucciones para cada punto P en la curva. La envoltura de lasrectas es la pedal negativa de la curva dada con respecto al punto 0.Ejemplo. La pedal de una parbola con respecto a su foco es una recta.A la inversa, la pedal negativa de una recta con respecto a un punto fuerade ella es una parbola, ver gura 2.29.Figura 2.29: A la izquierda la pedal positiva de la parbola con respecto asu foco. A la derecha la pedal negativa de una recta con respecto a un puntofuera de ella.Captulo 3Galera de curvas3.1. AstroideFigura 3.1: La astroideBuscando la mejor forma para los dientes de los engranes Olaf Roemer(1644-1710), astrnomo dans, descubri en 1674 las curvas cicloidales ([9]p. 284), una de las cuales es la astroide. La generacin doble fue observadaprimero por Daniel Bernoulli (1700-1782) en 1725 ([14] pp. 1-3, [7] pp. 52-61,[6] pp. 173-174, [4] p. 655, [3]).Astroide es una palabra para nombrar un asteroide (del griego aster,astro, y eidos, forma), objeto celestial en una rbita alrededor del sol, detamao intermedio entre un meteorito y un planeta.La astroide adquiri ste nombre, en un libro publicado en Viena, en [7](p.61) se dice que el libro se public en 1938, sin embargo segn la pgi-na de internet http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/astroid.html ellibro se public en 1836 por Karl Ludwing von Littrow. An despus de la3536 CAPTULO 3. GALERA DE CURVASpublicacin de dicho libro fue conocida por otros nombres como cubocicloide,paracicloide, curva de cuatro vrtices, etc. Johann Bernoulli y Jean Le RonddAlembert (1717-1783) trabajaron con esta curva en 1691 y 1748 respectiva-mente. La ecuacin cartesiana de la astroide se encontr en correspondenciade Leibniz de 1715.EcuacionesLa ecuacin cartesiana de la astroide es:x23 +y23 = a23Las ecuaciones paramtricas de la astroide son: 1x = a cos3t = (a4)(3 cos t + cos 3t)y = a sin3t = (a4)(3 sin t sin 3t)La astroide es una hipocicloide de cuatro vrtices. Curva que describe unpunto jo en un crculo de radioa4 rodando en el interior de un crculo jode radio a (gura 3.2 A).Figura 3.2: (A) Astroide; (B) Generacin doble de la astroideO bien, lugar geomtrico de un punto en un crculo de radio3a4rodandoen el interior de un crculo de radio a, esta descripcin recibe el nombre degeneracin doble (gura 3.2 B).1Se dedujeron en la seccin 2.3.3, b = a4 en las ecuaciones (2.18).3.1. ASTROIDE 37La envoltura de una barra de longitud a que resbala a lo largo de unapared vertical, genera tambin a la astroide (ver gura 3.6), como se demostren la seccin 2.3.4.Un aparato mecnico compuesto de una barra ja con extremos resba-lando en dos vas perpendiculares es llamado trasmallo de Arqumedes (vergura 3.3, adoptada de la red de internet), as la astroide es la envoltura deun trasmallo de Arqumedes.Figura 3.3: Trasmallo de ArqumedesAsimismo, la astroide es la envoltura de la familia de elipsesx2c2 +y2(a c)2 = 1con parmetro c, la suma de cuyos semiejes es constante e igual a a, 0 < c < a(gura 3.4), como se vio al nal de la seccin 2.3.4.Figura 3.4: La astroide como envolvente de elipsesPropiedades de la astroide:Longitud: 6a38 CAPTULO 3. GALERA DE CURVASrea:3a28Supercie de revolucin respecto al eje x:125 a2Volumen de revolucin respecto al eje x:32105a3Su evoluta es otra astroide, ver gura 3.5Figura 3.5: Evoluta de la astroideDenamos los ejes de la astroide por dos rectas perpendiculares quepasan por sus vrtices. Propiedad: La longitud de la tangente cortadapor los ejes es la constante a (gura 3.6).Figura 3.6: La longitud de la tangente cortada por los ejes es constanteExisten mquinas cuyo estator2tiene forma de astroide.El logo del equipo de ftbol americano profesional Pittsburg Steelers con-sta de tres astroides el de arriba es amarillo, el de en medio rojo y el de abajoazul, ver gura 3.7 que se adopt de un documento publicado en la Wikipediade la red de internet.2Parte ja de una mquina rotatoria por oposicin a la parte mvil o rotor.3.2. BRUJA DE AGNESI 39Figura 3.7: Logo de los Pittsburgh Steelers3.2. Bruja de AgnesiEsta curva fue estudiada por Pierre de Fermat (1601-1665) en 1666 yLuigi Guido Grandi (1671-1742) en 1703. En 1748 fue estudiada y nombradacorrectamente versiera por Mara Gaetana Agnesi (1718-1799) en su libroInstituzioni Analitiche ad uso della giovent italiana ([3], [14] pp. 237-238, [6]pp. 90-93). Respecto a este libro, un informe de la Academia de las Cienciasde Paris declara:Se requiere de mucha destreza y sagacidad para reducir, co-mo el autor lo hizo, a mtodos casi uniformes estos hallazgosdispersos en medio de los trabajos de matemticos modernos yfrecuentemente presentados por mtodos muy diferentes unos deotros. Orden, claridad y precisin reinan en todo este trabajo. ...Estimamos que este es el tratado ms completo y mejor hecho.Mara Agnesi domin lenguajes como el latn, griego y hebreo a muytemprana edad. A raz de la publicacin de su libro fue designada profesorade matemticas de Bolonia por el Papa Benedicto XIV (1750), es probableque ella no haya rechazado ni aceptado el cargo, sin embargo, su nombrequed en los documentos de la universidad por cuarenta y cinco aos, a pesarde que nunca fue a Bolonia. El nombre de la curva tiene una pintorescahistoria. Versiera es el nombre dado por Grandi, el cual signica librepara moverse, viene de la palabra italiana la versiera. Al traducir el librode Agnesi el ingls John Colson tradujo incorrectamente la versiera porlaversiera palabra que signica bruja. Hoy en da la curva es conocidacomo versiera, bruja de Agnesi, cbica de Agnesi y agnsienne.40 CAPTULO 3. GALERA DE CURVASDado un crculo jo con centro en (0, a2) y radioa2 y dos rectas paralelasy = 0 y y = a, las rectas son tangentes al crculo en 0 y K respectivamente.Una secante 0A a travs del punto jo 0 corta al crculo en Q. Construya QPperpendicular al dimetro 0K y AP paralelo a l. El punto P es un puntode la Bruja de Agnesi (ver gura 3.8).Figura 3.8: Bruja de AgnesiLa bruja es tambin el hiperbolismo3de un crculo, un punto jo en stey una recta tangente al crculo en el lado opuesto al punto jo.Con a =1 la curva se parece a la funcin de densidad Cauchy de proba-bilidad.Esta curva se parece a las curvas de resonancia. Por ejemplo las que sirvenpara caracterizar (por medio de dos parmetros: la frecuencia de resonanciay el factor de calidad de la cavidad) a un semiconductor que se encuentradentro de la cavidad de un microondas.En la gura 3.8 se observa que la coordenada x del punto P es igual a ladel punto A, y que la coordenada y del punto P coincide con la del puntoQ. Por otra parte Q = (a2 cos , a2 + a2 sin ). La ecuacin de la recta que pasapor 0 y Q es:y = x1 + sin cos esta recta corta a la recta y = a en el punto A cuya coordenada x es:x =a cos 1 + sin 3Dada una curva C1, un punto 0 y una recta L1, el hiperbolismo de C1 es la curva C2formada por los puntos P tales que: si Q es un punto de C1, entonces la recta L2 a travsde 0Q intersecta a L1 en A; si L3 es una recta paralela a L1 a travs de Q; entonces P esla proyeccin de A en L3.3.2. BRUJA DE AGNESI 41as las coordenadas de cualquier punto P de la bruja de Agnesi son P=( acos 1+sin, a2(1 + sin )). Haciendo =2 2t tanto en x como en y llegamos alas ecuaciones paramtricas de la bruja de Agnesi:x =a cos 1 + sin =a cos(2 2t)1 + sin(2 2t) =a sin 2t1 + cos 2t =2a sin t cos t1 + cos2t sin2t = a tan ty = a2(1+sin ) = a2(1+sin(22t)) = a2(1+cos 2t) = a2(1+cos2tsin2t) = a cos2tEcuacionesLa ecuacin cartesiana de la bruja de Agnesi es:y(x2+a2) = a3Las ecuaciones paramtricas de la bruja de Agnesi son:x = a tan t, y = a cos2tPropiedades de la bruja de Agnesi:La recta y = 0 es una asntota de la curva4.El rea entre la bruja y su asntota es cuatro veces el rea del crculojo dado (a2).Tiene puntos de inexin en x = a/3.Una curva llamada la Seudobruja se produce duplicando las ordenadas dela bruja. Esta curva fue estudiada por James Gregory (1638-1675) en 1658 yusada por Leibniz en 1674 para derivar la expresin:4 = 1 13 + 15 17 +...4Una recta y = L es llamada asntota horizontal para la grcade f silmx+f(x) = L o lmxf(x) = L([1] p. 258).42 CAPTULO 3. GALERA DE CURVAS3.3. CardioideLa cardioide es un caso especial del caracol de Pascal estudiado por Eti-enne Pascal (1588-1640), padre de Blaise Pascal (1623-1662). Tambin es uncaso especial de las curvas cicloidales estudiadas por Roemer (1674) en unainvestigacin de la mejor forma de los engranes([3], [7] pp. 34-43, [14] pp. 4-7,[6] pp. 118-120).El nombre de cardioide (del griego cardi, corazn, y eidos, forma) fue usa-do primero por Johann Castillon (1704-1791) en The Philosophical Transac-tions of the Royal Society de 1741. Su longitud fue encontrada por Philippede La Hire (1640-1718) en 1708.La cardioide es la curva que dibuja un punto jo P en un crculo querueda sobre el exterior de un crculo jo de igual tamao (gura 3.9 A).Figura 3.9: (A) Cardioide; (B) Generacin doble de la cardioideO bien, es el lugar geomtrico de un punto jo P en un crculo de radio 2aque rueda en el interior de un crculo jo de radio a, esta descripcin recibeel nombre de generacin doble (gura 3.9 B).La cardioide tambin puede obtenerse como:La inversa de la parbola, con foco en el origen, con respecto a su foco5.La pedal de un crculo con respecto a un punto en su circunferencia.La custica de un crculo con un punto radiante en su circunferencia.5Considere el crculo con centro 0 y radio k. Dos puntos A y A, colineales con 0,son mutuamente inversos con respecto a este crculo si (0A)(0A) = k2. En coordenadaspolares con 0 como polo (origen), esta relacin es r = k2([14] pp. 127-134, [7] pp.177-181).3.3. CARDIOIDE 43Figura 3.10: Generacin de cremona de la cardioideFigura 3.11: La cardioide como envolvente de crculosAdems la curva puede ser vista como una espiral sinusoidal (con p = 12)o, como se dijo al inicio, como un caso especial del caracol de Pascal.La cardioide es tambin la envoltura de cuerdas de un crculo. Sean 36puntos igualmente espaciados en un crculo, etiquetados del 0 al 35. Conectelos puntos 1 y 2, 2 y 4, 4 y 8, ...; 3 y 6, 6 y 12, ...; etctera. Esta construccinse llama generacin de Cremona (gura 3.10).Asimismo, la cardioide es la envoltura de los crculos que se describen acontinuacin. Se dibuja un crculo base y se marca en el un punto jo A. Concentro en cualquier punto Q en el crculo base y radio QA, se dibuja otrocrculo. Se repite lo anterior para puntos Q uniformemente espaciados en elcrculo base. El punto A es el vrtice de esta cardioide (gura 3.11).44 CAPTULO 3. GALERA DE CURVASEcuacionesLa ecuacin cartesiana de la cardioide es:(x2+y22ax)2= 4a2(x2+y2)Las ecuaciones polares de la cardioide son:r = 2a(1 cos ), r = 2a(1 sin )Las ecuaciones paramtricas de la cardioide son: 6x = 2a cos t a cos 2ty = 2a sin t a sin2tPropiedades de la cardioide:Longitud: 16area: 6a2Supercie de revolucin respecto al eje x:1285 a2Volumen de revolucin respecto al eje x:643 a3Su evoluta es otra cardioide (la ms pequea), ver gura 3.12.La custica de una cardioide con un punto radiante en el vrtice es unanefroide.Figura 3.12: Evoluta de la cardioideLa cardioide puede ser usada como leva7. Si la cardioide es montada sobreun eje en el vrtice y rotada con velocidad angular constante, una clavija,3.3. CARDIOIDE 45Figura 3.13: Leva en forma de cardioidesujeta a un poste jo y sostenida en la cardioide, se mover con un movimientoarmnico simple, ver gura 3.13 ([14] p. 6).Existen cardioides de billar. Las rbitas peridicas de la catica cardioidede billar son estudiadas para introducir una dinmica binaria simblica.Figura 3.14: Conjunto de MendelbrotLa cardioide es la gura central grande del conjunto de Mandelbrot, verla gura 3.14, la cual se adopt tambin de la red de internet. El conjuntode Mandelbrot es un fractal que esta denido como el conjunto de puntos cen el plano complejo tales que:zo = 0yzn+1 = z2n +c converge.6Estas se dedujeron en la seccin 2.3.2, con b = a en las ecuaciones (2.17).7Rueda provista de un resalte o de una muesca, destinada a transmitir o a accionar elmovimiento de una mquina.46 CAPTULO 3. GALERA DE CURVAS3.4. CatenariaFigura 3.15: CatenariaLa catenaria (del latn catena que signica cadena), tambin conocidacomo Cadeneta o curva Funicular, describe la forma asumida por una cadenaperfectamente exible e inextensible de densidad uniforme colgando de dossoportes y accionada por la gravedad. Fue investigada primero por GalileoGalilei (1564-1642), quien arm que la curva era una parbola. Su errorfue detectado experimentalmente en 1669 por Joachim Jungius (1587-1657),gemetra alemn ([9] pp. 287-289, [4] p. 654, [3], [14] pp. 12-14, [7] pp. 118-124, [6] p. 195).La verdadera ecuacin de la curva fue obtenida hasta 1690-1691 por Leib-niz, Huygens y Johann Bernoulli, en respuesta a un desafo puesto por JakobBernoulli para encontrar la ecuacin de la curva cadena. David Gregory,profesor de Oxford, escribi un extenso tratado sobre la catenaria en 1697.Huygens fue el primero en usar el trmino catenaria en una carta a Leibnizen 1690.Cuando la vela de un buque esta sujeta a dos barras horizontales y elviento sopla en direccin perpendicular a las barras, la vela forma una cate-naria.Como antes se dijo, la catenaria es la forma asumida por una cadenainextensible de densidad uniforme que est en reposo.Asimismo, la catenaria puede obtenerse como la evoluta de la tractriz.3.4. CATENARIA 47Figura 3.16: Arcosituado en el corazn de la ciudad de St. Louis Missouri,Estados Unidos. En la fotografa de la izquierda, aparece adems el AntiguoPalacio de Justicia.En St. Louis, Missouri, Estados Unido existe un arco con la forma deuna catenaria invertida que mide 192 metros, tanto de alto como de ancho.El interior del arco es hueco, contiene un sistema de transporte, escalerasde emergencia y un rea de observacin en la cima. Fue diseado por elarquitecto nlands-americano Eero Saarinen, en 1947. La construccin delarco empez en febrero de 1963 y termin en octubre de 1965. La formadel arco no es exactamente el de una catenaria invertida, Saarinen preriuna forma que fuera ligeramente alargada y ms delgada en la cima, paratransferir ms peso de la estructura abajo en lugar de en el exterior en la base.Ver la gura 3.16 que se adopt de un documento publicado en la Wikipediade la red de internet.La longitud de arco s medida desde el punto ms bajo (el cual situamosen (0, a)) a cualquier punto en la catenaria, es proporcional a la tangente delngulo que forman la tangente horizontal (ya que la tangente en el puntoms bajo es horizontal) con la tangente en el extremo superior. En cualquierpunto de la catenarias = adydx(3.1)48 CAPTULO 3. GALERA DE CURVASLa longitud de arco tiene como base un tringulo rectngulo, en el cual dx ydy son los lados, as ds2= dx2+dy2, por lo que para la ecuacin de la curvadebemos teners2+a2= a2ds2dx2dx2a2=ds2s2 +a2dxa=dss2 +a2(3.2)Resolviendo esta ecuacin tenemosxa = ln_s +s2 +a2_+kSea k = ln 1a, asxa = ln_s +s2 +a2_+ ln_1a_(3.3)exa =_s +s2 +a2__1a_(3.4)Por otro lado, multiplicando por 1 cada lado de la ecuacin 3.3 obtenemosxa = ln_s +s2 +a2_ln_1a_xa = ln_s +s2 +a2_1+ ln_1a_1xa = ln_1s +s2 +a2_+ ln (a)exa =as +s2 +a2s s2 +a2s s2 +a2exa = s +s2 +a2a(3.5)Sumando las ecuaciones 3.4 y 3.5 resulta queexa +exa = 2s2 +a2a(3.6)3.4. CATENARIA 49Ahora, despejando dy de la ecuacin 3.1 tenemosdy = sdxaSubstituyendo en esta ecuacin el lado derecho de la ecuacin 3.2 obtenemosdy =sdss2 +a2resolviendo esta ecuacin llegamos a quey =s2 +a2substituyendo el valor des2 +a2 en la ecuacin 3.6 obtenemos la ecuacincartesiana de la catenariaexa +exa = 2yay =_a2__exa +exa_La ecuacin cartesiana de la catenaria es:y = a cosh_xa_=_a2_ _exa +exa_Propiedades de la catenaria:Leonhard Euler (1707- 1783) mostr en 1744 que una catenaria rotadaalrededor de su asntota genera un catenoide, la nica supercie derevolucin mnima.Su evoluta es la tractriz.50 CAPTULO 3. GALERA DE CURVAS3.5. CicloideFigura 3.17: CicloideNicholas de Cusa (1401-1464) fue el primero en estudiar la cicloide, cuan-do estaba intentando encontrar el rea de un crculo por integracin ([3], [14]pp. 65-70, [9] pp. 275-278, [7] pp. 80-89, [6] pp. 192, 195).Marin Mersenne (1588-1648) dio la primera denicin formal de la cicloideen 1599 y estableci propiedades obvias tales como que la longitud de la basees igual a la circunferencia del crculo que rueda. Intent encontrar el reabajo la curva por integracin pero fracas.En 1599 Galileo Galilei dio nombre a esta curva. Trat de encontrar elrea por comparacin de esta rea con la del crculo generador. Despus defallar, recurri a introducir cortes de pedazos de pesos de metal dentro dela forma de la cicloide. Encontr que la razn de las pesos era aproximada-mente tres a uno, pero decidi que no era exactamente tres, de hecho crey(equivocadamente) que la razn no era racional.Mersenne propuso el problema del rea al francs Gilles Personne deRoberval (1602-1675) en 1628. ste fue resuelto por Roberval en 1634. Sia = h entonces el rea bajo la curva de un arco es 3a2. Roberval orgullosode su resultado, le escribi a Ren Descartes (1596-1650) dndoselo. Descartesreplic que el resultado era uno bueno del cual no me haba dado cuentaantes, que no causa dicultad a ningn gemetra moderadamente hbil.Descartes ret a Roberval a encontrar un mtodo para dibujar una tan-gente a la cicloide habiendo descubierto l mismo como construir una. Rober-val fracas, pero Fermat, quien estaba incluido en el reto, tuvo xito.Vale la pena notar que de manera independiente: Evangelista Torricelli(1608-1647) descubri el rea de la cicloide; y Vincenzo Viviani (1622-1703)encontr un mtodo para construir una tangente.En 1658 Blaise Pascal resolvi los problemas del rea y el centro degravedad de cualquier segmento de la cicloide. Tambin resolvi los pro-3.5. CICLOIDE 51blemas del volumen y el rea de la supercie del slido de revolucin formadopor la rotacin de la cicloide respecto al eje x.Pascal (bajo el nombre de Dettonville) public un reto ofreciendo dospremios por la solucin de los dos primeros problemas antes mencionados.El ingls John Wallis (1616-1703) y Antoine de Lalouvre (1600-1664) se en-teraron. La solucin de Lalouvre fue errnea. Wallis no tuvo xito. Rende Sluze (1622-1685), Michelangelo Ricci (1619-1682), Huygens, Sir Chisto-pher Wren (1632-1723) y Fermat comunicaron sus descubrimientos a Pascalsin estar enterados de la competencia. La contribucin de Wren fue la msnotable, encontr que la longitud de un arco es 8a.El fsico holands Huygens descubri en 1659 que la cicloide es tautcrona(llamada tambin iscrona), lo que signica que dos partculas de la mismamasa que caen en un arco cicloidal invertido de diferentes alturas alcanzanel punto ms bajo en el mismo instante. El problema de la tautocrona esla determinacin del tipo de curva a lo largo de la cual debe moverse unapartcula sujeta a una fuerza especca para producir un movimiento armni-co. El perodo de este movimiento es 2. En 1673 Huygens demostr que lacicloide es tautcrona, y determin su evoluta.En 1692 Jakob Bernoulli y Johann Bernoulli mostraron que la cicloide esla catacustica (custica por reexin) de un crculo cuando los rayos de luzprovienen de un punto en la circunferencia.El problema de la braquistcronia (del griego brachistos, el menor, ycronos, tiempo) es la determinacin de un camino a lo largo del cual unapartcula se mueve de un punto en un plano a otro, sujeta a una fuerza es-pecca, en el menor tiempo posible. En junio de 1696 Johann Bernoulli reta su hermano Jakob Bernoulli (eran rivales) a resolver el problema. En di-ciembre de 1696 Johann repiti su reto en el Acta eruditorum, pidiendo leenviarn soluciones antes de la pascua de 1697. l ya saba que la cicloide erabraquistcrona y public su solucin en 1697. Adems de Johann y JakobBernoulli tambin Leibniz, Newton y LHpital resolvieron el problema. stefue uno de los primeros problemas variacionales y su investigacin fue elpunto de arranque para el desarrollo del clculo de variaciones.La cicloide puede obtenerse como la catacustica de un crculo en la quela fuente de luz proviene de un punto en la circunferencia.Asimismo la cicloide es el lugar geomtrico de un punto jo P a distanciah del centro de un crculo de radio a que rueda, sin resbalar, a lo largo deuna lnea recta, si h = a (ver gura 3.17). Si h < a es una cicloide acortada(ver gura 3.18), mientras que si h > a es una cicloide alargada (ver gura52 CAPTULO 3. GALERA DE CURVASFigura 3.18: Cicliode acortadaFigura 3.19: Cicloide alargada3.19).Cabe sealar que mientras un tren se dirige de Mxico a Quertaro, haymomentos en que las ruedas retroceden. Las ruedas de los trenes no son slodiscos, hay una saliente especial en cada una de ellas, ver gura 3.20. Lasaliente evita que el tren se salga de la va. La parte ms baja de la ruedaes la que por momentos se mueve en direccin opuesta al rumbo del tren.La curva por la que se mueve la parte ms baja de la rueda es una cicloidealargada.Figura 3.20: Rueda de un tren3.5. CICLOIDE 53Ecuaciones paramtricas de la cicloide:8x = at hsin ty = a hcos tPropiedades de la cicloide:La longitud de un arco es 8a, y fue calculada por Sir Christopher Wrenen 1658.Si a = h, el rea bajo un arco es 3a2, como lo determin Roberval en1628.Su evoluta es una cicloide en una posicin diferente.Su involuta tambin es una cicloide en otra posicin.Es tautcrona, esto es, dos partculas de la misma masa que caen enun arco cicloidal invertido de diferentes alturas alcanzan el punto msbajo en el mismo instante.Es braquistcrona, es decir, es la curva del ms rpido descenso. O bien,el camino que une dos puntos jos que debe seguir una partcula pararecorrerlo en un tiempo mnimo es el de una cicloide.La catacustica de un arco cicloidal cuando los rayos de luz son per-pendiculares a su base est compuesta de dos arcos cicloidales mspequeos.Huygens diseo un reloj con un pndulo de longitud variable. El pndulose mova entre dos molduras, ambas tenan la forma de una cicloide. Huygensuso el hecho de que la involuta de una cicloide es la cicloide misma. En suexperimento Huygens uso tambin la involuta de un crculo en el pndulodel reloj para aproximar la trayectoria de la cicloide. Sin embargo, el uso delprincipio de tautocrona en el diseo del reloj plante demasiados problemasmecnicos para hacerlo prctico.Hay ruedas de engranes que tienen la forma de una cicloide.8Se dedujeron en la seccin 2.3.1.54 CAPTULO 3. GALERA DE CURVASCon un propulsor Voith-Schneider, probado primero en 1927, un buquepuede maniobrar de manera precisa y moverse al lado. El propulsor giraalrededor de un eje, vertical al movimiento, as el buque sigue la trayectoriade una cicloide. La posicin de la hoja determina la direccin del buque, estbasado en el mismo principio que el mecanismo de la aleta de un pez. Elpropulsor es llamado cicloidal o propulsor trocoidal.3.6. CrculoEl estudio del crculo se remonta ms all de la historia registrada. Losprimeros teoremas relacionados con crculos se atribuyeron a Tales de Mileto(624- 547 antes de J. C. aproximadamente) alrededor del ao 650 antes deJ. C. ([14] pp. 21-25, [6] pp. 65-66).Uno de los problemas de los matemticos griegos fue el de encontrar uncuadrado con la misma rea que un crculo dado. Anaxgoras (499-428 antesde J. C.) en 450 a. de J. C. es el primer matemtico registrado que estudieste problema.El libro III de los Elementos de Euclides (325-265 antes de J. C. aproxi-madamente) del ao 300 antes de J. C., trata de las propiedades del crculo.El problema de encontrar el rea de un crculo condujo a la integracin.El crculo es una seccin cnica. Menaechmus (380-320 antes de J. C.aproximadamente) es famoso por su descubrimiento de las secciones cnicas.l fue el primero en mostrar que las elipses, parbolas e hiprbolas se obtienencortando un cono con un plano no paralelo a la base. Menaechmus descubrilas secciones cnicas mientras intentaba resolver el problema de la duplicacindel cubo.Figura 3.21: Crculo3.6. CRCULO 55El crculo es la elipse cuyos ejes son de igual longitud. O bien la coleccinde puntos en el plano que equidistan de un punto jo llamado centro.Como se dijo antes, el crculo es la seccin cnica que se obtiene cortandoun cono con un plano paralelo a la base.El crculo es la pedal de una hiprbola con respecto a uno (u otro) de susfocos.El crculo es una rosa de un ptalo. Las rosas son un tipo de hipotrocoides.La rosa de un ptalo se obtiene haciendo c = 0 en la ecuacin paramtricadel hipotrocoide.Si en la ecuacin polar de la espiral sinusoidal p = 1, la espiral sinusoidalen cuestin es un crculo.EcuacionesLa ecuacin cartesiana del crculo es:x2+y2= a2Las ecuaciones paramtricas del crculo son:x = a cos t, y = a sintPropiedades del crculo:La cardioide es la catacustica (custica por reexin) de un crculocon un punto radiante es su circunferencia.La catacustica de un crculo en el que se reejan rayos paralelos es lanefroide.El caracol de Pascal es la catacustica de un crculo en el que puntoradiante no est en su circunferencia.La envoltura de crculos con centro en un crculo C, donde cada crculopasa a travs de un punto jo A en C, es la cardioide.La forma de un crculo permanece intacta mientras damos una vuelta,lo que la hace muy til como tapa para frascos. Y tambin para relojes conmanecillas que dan vuelta. La cabeza de un tornillo tambin es un crculo.El hombre obtuvo grandes ventajas con el uso de la rueda.56 CAPTULO 3. GALERA DE CURVAS3.7. Cisoide de Dioclessta curva fue descubierta por el griego Diocles (240 180 antes de J.C. aproximadamente) para resolver la duplicacin del cubo o problema deDelian: cunto debe incrementarse la arista de un cubo para duplicar elvolumen del cubo? Diocles tambin estudi el problema de Arqumedes decortar una esfera con un plano de manera que los volmenes de los segmentosestuviesen en una proporcin dada. ([14] pp.26-30, [3], [7] pp.130-133, [4] p.653.)El nombre de cisoide (viene de una palabra griega que signica en formade hiedra) se mencion por el griego Geminus (10 antes de J. C. - 60 des-pus de J. C. aproximadamente) en el siglo primero antes de J. C., esto es,aproximadamente un siglo despus de la muerte de Diocles. Posteriormenteel mtodo usado para generar esta curva se generaliz, llamamos a las curvasgeneradas de este modo cisoides.En los comentarios del trabajo de Arqumedes On the Sphere and theCylinder la cisoide es atribuida a Diocles.Roberval y Fermat construyeron la tangente de la cisoide (1634).En 1658 Huygens y Wallis encontraron que el rea entre la curva y suasntota es 3a2.Figura 3.22: P es un punto de la cisoide de las dos curvas con respecto a ODadas dos curvas y un punto jo O. Sean Q y R las intersecciones de unarecta variable a travs de O con las curvas dadas. El lugar geomtrico de Pen esta recta tal queOP = OR OQ = QRes la cisoide de las dos curvas con respecto a O, ver gura 3.22.3.7. CISOIDE DE DIOCLES 57Figura 3.23: Cisoide generada por un crculo que se mueve a lo largo de unarectaAs la cisoide de dos crculos concntricos de radios r1, r2, con respecto asu centro comn es un crculo con el mismo centro y radio |r1r2| .La cisoide de un crculo de dimetro OA (radio a) y una recta tangenteal crculo en A con respecto al punto jo O es la cisoide de Diocles.Se puede generar la cisoide de Diocles como el conjunto de puntos deinterseccin P de la recta OR con un crculo de radio a tangente en R a larecta L que se obtienen cuando el crculo se mueve rgidamente a lo largo dela recta L, ver gura 3.23.Segn algunas consideraciones modernas en comn (Morris Kline, ThomasL. Heath) aqu est cmo construy Diocles la curva en su libro Sobre Espe-jos Ardientes: sean AB y CD dimetros perpendiculares de un crculo, vergura 3.24. Sea E un punto en el arco BC y Z un punto en el arco BD talque BE y BZ son iguales. Dibuje ZH perpendicular a CD. Dibuje ED. SeaP la interseccin de ZH y ED. La cisoide es el lugar geomtrico de todoslos puntos P determinados por todas las posiciones de E en el arco BC y Zen el arco BD con arco BE igual al arco BZ (la porcin de la curva que caefuera del crculo es una ltima generalizacin).Tambin se puede generar la cisoide de Diocles de la siguiente manera:considere dos parbolas iguales, pngalas vrtice con vrtice y ruede una alo largo de la otra. El vrtice de la parbola que rueda traza una cisoide deDiocles.Newton dio la siguiente construccin para la descripcin de esta curva por58 CAPTULO 3. GALERA DE CURVASFigura 3.24: Construccin de la cisoide dada por Dioclesun movimiento continuo: Un ngulo recto tiene un lado GF de longitud ja,el punto F se mueve a lo largo de la recta ja CI, mientras que el lado GHpasa a travs del punto jo E; un lpiz en el punto medio de GF describirla cisoide de Diocles, ver gura 3.25 ([9] pp. 182-183).Figura 3.25: Construccin de la cisoide dada por NewtonEcuacionesLa ecuacin cartesiana de la cisoide de Diocles es:y2=x32axLa ecuacin polar de la cisoide de Diocles es:r = 2a tan sin 3.7. CISOIDE DE DIOCLES 59Las ecuaciones paramtricas de la cisoide de Diocles son:x =2at21+t2, y =2at31+t2Propiedades de la cisoide de Diocles:La recta x = 2a es una asntota de la curva.El rea entre la curva y su asntota es 3a2.La cisoide es la inversa de la parbola y2= bx con respecto al origen(radio de inversin 2ab ).La pedal de una cisoide de Diocles con respecto a un punto P es lacardioide. Si la asntota de la cisoide es la recta x = 1 y su vrtice elorigen, entonces P = (4, 0).La custica de la cisoide cuando el punto radiante es (8a, 0) es unacardioide.La pedal de una parbola con respecto a su vrtice es la cisoide deDiocles.Si los puntos P y Q en la cisoide son tales que el ngulo POQ es rectoentonces el lugar geomtrico de interseccin de las tangentes a P y Qcae en el crculo con dimetro (a2, 0), (2a, 0).Construccin de la tangente. Ver gura 3.26, A tiene la direccin de larecta AC mientras que el punto de la escuadra en B se mueve en ladireccin BQ. Normales a AC y BQ en A y B respectivamente se en-cuentran en el centro de rotacin, D. DP es as normal a la trayectoriade P.Duplicacin del cubo. Dado un segmento CB, con la ayuda de la cisoidede Diocles, podemos construir un segmento CM tal que (longitud CM)3=2(longitud CB)3.60 CAPTULO 3. GALERA DE CURVASFigura 3.26: Construccin de la tangente a un punto P de la cisoideFigura 3.27: Duplicacin del cubo con ayuda de la cisoide de DioclesDescripcin paso a paso, ver gura 3.271. Dados dos puntos C y B.2. Construya un crculo un con centro en C que pase por B.3. Sean O y A en el crculo tales que la recta OA es perpendicular a larecta CB.4. Construya la cisoide de Diocles que se genera con el crculo antes dadoy la recta tangente al crculo en el punto A con respecto a O.5. Construya un punto D tal que B sea el punto medio del segmento CD.3.8. DELTOIDE 616. Construya la recta que pasa por A y D. Sea Q la interseccin de lacisoide y la recta AD. (La interseccin no puede ser encontrada conregla y comps.)7. Sea M la interseccin de la recta CD y la recta OQ, (longitud CM)3=2(longitud CB)3.3.8. DeltoideLa tricspide o deltoide fue concebida primero por Leonhard Euler, matemti-co suizo (1707- 1783), en 1745 en relacin con un estudio de curvas custicas.E investigado en 1856 por otro matemtico suizo Jakob Steiner (1796-1863).A veces es llamada hipocicloide de Steiner. El nombre de deltoide (de formade la letra griega delta mayscula) no es usado en todas partes ([3], [7] pp.72-79, [14] pp. 71-74, [6] pp. 131-135).EcuacionesLa ecuacin cartesiana de la deltoide es:(x2+y2+ 12ax + 9a2)24a(2x + 3a)3= 0Las ecuaciones paramtricas de la deltoide son: 9x = 2a cos t +a cos 2ty = 2a sin t a sin 2tLa deltoide es un hipocicloide de tres vrtices formada por un punto enun crculo de radio a o 2a que rueda en el interior de un crculo jo de radio3a. Se le llama generacin doble a la que ocurre cuando el radio del crculoque rueda es 2a.La deltoide tambin puede obtenerse como la envoltura de un dimetrode un crculo de radio 2a que rueda en el interior de un crculo jo de radio3a.Steiner descubri en 1856 que la deltoide es la envoltura de las rectas deSimson de un tringulo10. El centro de la deltoide es el centro del crculo de9Se dedujeron en la seccin 2.3.3.10Se dibuja un crculo y se inscribe en el un tringulo. Se toma un punto P en el crculoy se marca el pie de las perpendiculares de P a los lados del tringulo. Estos tres puntosse encuentran sobre una recta, la cual es conocida como recta de Simson.62 CAPTULO 3. GALERA DE CURVASlos nueve puntos de dicho tringulo11, ver gura 3.28, asimismo el crculo delos nueve puntos esta inscrito en la deltoide.Figura 3.28: La deltoide como envolvente de las rectas de Simpson de untringuloAdems, la deltoide es la envoltura de las rectas que se describen a con-tinuacin. Se dibuja un crculo base con centro en O y dimetro DOD.Comenzando en D se marcan puntos a intervalos de 10 en sentido contrarioal de las manecillas del reloj, y se los numera 0,1, 2, ..., el punto D es elnmero 0. Comenzando en D, en el sentido de las manecillas del reloj, semarcan puntos cada 20 y se los numera 0,1,2, etc. Se unen los pares de pun-tos con el mismo nmero. Si el radio del crculo base es a, la deltoide quedainscrita en un crculo de radio 3a. Ver gura 3.29.Propiedades de la deltoide:Cuando la deltoide es generada como la envoltura de las rectas deSimpson de un tringulo, el radio del crculo de los nueve puntos es12del radio r del crculo en el que esta contenido el tringulo original.Asimismo el radio del crculo en que esta contenida la deltoide es32r.11El ortocentro es el punto donde concurren las alturas de un tringulo ([10], p. 156).Los puntos medios de los lados de un tringulo, los puntos de interseccin de las alturascon los lados y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vrticesestn sobre un crculo llamado el crculo de los nueve puntos ([10], p. 172).3.8. DELTOIDE 63Figura 3.29: Deltoide generada por rectasLa tangente a la tricspide en un punto P corta a ste en dos puntosE y H. Las normales a la tricspide en E, P y H son concurrentes ysu lugar geomtrico esta en el crculo que contiene a la tricspide, vergura 3.30.Figura 3.30: Propiedades de la deltoideLas tangentes en E y H se encuentran en ngulo recto en el punto K,el cual esta sobre el crculo que esta inscrito en la deltoideLa longitud de la tangente interceptada por la curva (es decir, la lon-gitud de EH) es constante e igual a 4a.El lugar geomtrico del punto medio D del segmento tangente EH estaen el crculo que esta contenido en la deltoide.64 CAPTULO 3. GALERA DE CURVASSi J corta a EH en ngulo recto y esta en el crculo que esta contenidoen la deltoide, J es otra tangente a la deltoide.Longitud:163 area:29a2La astroide es la custica de la deltoide con rayos paralelos en cualquierdireccin.La evoluta de la deltoide es otra deltoide, ver gura 3.31.Figura 3.31: Evoluta de la deltoideLa deltoide puede actuar como un rotor dentro de una astroide estator12,ver gura 3.32.Figura 3.32: Deltoide rotor dentro de una astroide estatorEl motor rotatorio Wankel (ver gura 3.33 que se adopt de un documentopublicado en la Wikipedia de la red de internet) fue inventado por el ingeniero12Parte ja de una mquina rotatoria por oposicin a la parte mvil o rotor.3.9. EPICICLOIDE 65Figura 3.33: Motor Wankel el cual se encuentra en el museo Deutsches deMunich, Alemania.alemn Flix Wankel alrededor de 1951. El rotor de este motor es semejanteal deltoide y se mueve dentro de una epitrocoide.3.9. EpicicloideEcuaciones paramtricas de la epicicloide:Si el eje x pasa a travs de un vrtice son:13x = (a +b) cos t b cos (a+b)tby = (a +b) sint b sin (a+b)tbSi el eje x biseca el arco entre dos vrtices sucesivos son:x = (a +b) cos t +b cos (a+b)tby = (a +b) sint +b sin (a+b)tbHay cuatro curvas estrechamente relacionadas entre si: la epicicloide, lahipocicloide, la epitrocoide, y la hipotrocoide. Todas ellas son trazadas por13Las ecuaciones correspondientes se dedujeron en la seccin 2.3.2.66 CAPTULO 3. GALERA DE CURVASFigura 3.34: (A) Epicicloide; (B) Generacin doble de la epicicloideun punto jo P a distancia h del centro de un crculo de radio b el cual ruedaen un circulo jo de radio a. Las dos primeras ocurren cuando h = b, lasrestantes cuando h = b ([3], [14] pp. 81-85, [9] pp. 278-283, [6] pp. 168-170).Estas curvas fueron estudiadas por Alberto Durero (1471-1528 en alemnAlbrecht Drer) en 1525, Girard Desargues (1591-1661) en 1640, Roemer aquien se atribuye la invencin de estas curvas (1674), Huygens (1679), Leib-niz, Newton (1686), LHpital (1690), Jakob Bernoulli (1690), La Hire (1694),Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725) y Euler (1745, 1781).Daniel Bernoulli fue el primero en darse cuenta de la generacin doble.Apolonio de Perga (262-190 antes de J. C. aproximadamente) gemetragriego (200 antes de J. C.) tuvo la idea de describir los movimientos celestescomo combinacin de movimientos circulares. Fue Hiparco de Nicea (190-120antes de J. C.) el ms grande astrnomo de la Antigedad, quien elabor estateora en detalle (150 antes de J. C.). Los resultados llegaron a ser famosos(150 despus de J. C.) por los libros del astrnomo griego Claudio Ptolomeo(85-165 despus de J. C.). Se pens en la Tierra colocada como centro celeste,alrededor del cual los otros cuerpos celestes rotan. La combinacin de larotacin de la Tierra y la rotacin de los planetas alrededor de ella forman unaepicicloide. Esta teora geocntrica debi ser la teora aceptada por casi 2000aos. La teora heliocntrica (como la construy Nicols Coprnico (1473-1543)), tambin se discuti por los griegos.3.9. EPICICLOIDE 67Los astrnomos encuentran formas de las curvas cicloidales en varias coro-nas14. Tambin ocurren como custicas.La longitud de estas curvas fue dada por Newton.Casos especiales:Si a = b se obtiene una cardioide.Si a = 2b se genera una nefroide.La epicicloide es la curva generada por un punto jo P en un crculo deradio b que rueda en el exterior de un circulo jo de radio a, ver gura 3.34(A).O bien es la curva trazada por un punto jo en un crculo de radio a +bque rueda dentro de un crculo jo de radio a, ver gura 3.34 (B). Estadescripcin recibe el nombre de generacin doble.Propiedades de la epicicloide:Si a = (m1)b con m N, m > 1 el rea y la longitud de la epicicloideson respectivamente: area = b2m(m + 1)longitud =___8mbm1si m = 2n con n N16mbm1si m = 4n 1 con n N8mb si m = 4n + 1 con n NCuando a/b es un nmero racional la curva es cerrada y algebraica.Cuando dicho cociente esta en su forma ms simple (es decir, cuandonumerador y denominador no tienen factores en comn), el numeradores el nmero de veces que el crculo que rueda toca al crculo jo.Cuando a/b no es racional la curva es trascendente.La evoluta de una epicicloide es una epicicloide similar, pero menor entamao (ver evoluta cardioide gura 3.12).14Halo luminoso que suele rodear al Sol y a la Luna.68 CAPTULO 3. GALERA DE CURVASFigura 3.35: (A) Hipocicloide; (B) Generacin doble de la hipocicloideLa pedal con respecto al centro es una rosa: r = c sin n.Las ecuaciones paramtricas de la epicicloide se transforman en las dela hipocicloide al reemplazar b por b en ellas. Si b Z, b = 0 cuando a = 2b se obtiene un segmento de recta. a = 3b se obtiene una deltoide. a = 4b se obtiene una astroide.3.10. HipocicloideHay cuatro curvas estrechamente relacionadas: la epicicloide, la epitro-coide, la hipocicloide y la hipotrocoide. Todas ellas son trazadas por un puntojo en un crculo que rueda en un crculo jo.La hipocicloide es la curva trazada por un punto jo P en la circunfer-encia de un crculo de radio b el cual rueda sin resbalar en el interior de uncrculo jo de radio a, ver gura 3.35 (A). Cuando el punto no est sobre lacircunferencia la curva generada es una hipotrocoide.Generacin doble. Si el radio del crculo que rueda sin resbalar en elprrafo anterior es ab, ver gura 3.35 (B), se genera la misma la hipocicloidedel prrafo anterior.3.10. HIPOCICLOIDE 69Varios tamaos de crculos generan diferentes hipocicloides (epicicloides).Sean a el radio del crculo jo, y b el radio del crculo que rueda. La razna/b dene la forma de la curva, consideremos b = 1 siempre. As las hipoci-cloides (epicicloides) son curvas de un parmetro a, con la propiedad de quecuando a es positivo se genera una hipocicloide. Y cuando a es negativo seobtiene una epicicloide. Las curvas que tienen los vrtices hacia el centro sontradicionalmente identicadas como epicicloides, an cuando son tambinhipocicloides. Asimismo las curvas cuyos vrtices apuntan fuera del centroson identicadas como hipocicloides, an cuando son tambin epicicloides.Estas curvas fueron estudiadas por Alberto Durero (1471-1528) en 1525,Girard Desargues (1591-1661) en 1640, Roemer a quien se atribuye la in-vencin de estas curvas (1674), Huygens (1679), Leib