math 2bac sx national de 2003 a 2008 avec corrigés
TRANSCRIPT
بسم اهللا الرحمن الرحيم
والصالة والسالم على من ال نبي بعده محمد خير األنام وعلى آله وصحبه أجمعين
وفهرست تجميع وترتيب
Almohannad
عضو بمنتديات دفاتر
وع للفهرس إضغط ٬ وللرج ضغط على عنوانه في الفهرس وكذلك التمارين لتصفح أي درس إ على
: هذه المواضيع قدمت من طرف
الموضوع 2003 يونيوSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الحل 2003 يونيو
الموضوع 2003 يوليوزSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الحل 2003 يوليوز
.lycos.fr/hamidbouayoun الموضوع 2004 يونيوSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الحل 2004 يونيو
Membr .lycos.fr/hamidbouayoun الموضوع 2004 يوليوزSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الحل 2004 يوليوزSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الموضوع 2005 يونيو
محمد السادس ورزازات . محمد الحيان ثا الحل 2005 يونيوSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الموضوع 2005 يوليوزSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الحل 2005 يوليوز
http://arabmaths.ift.fr الموضوع 2006 يونيوProf: BEN ELKHATIR Lycée :KhémissetALFATH الحل 2006 يونيو
WWW .0ET1.COM الموضوع 2006 يوليوزMOUZDAHIR LAHSAN http://arabmaths.ift.fr الحل 2006 يوليوز
محمد ميسوري : ذ الموضوع 2007 يونيو محمد السادس ورزازات . محمد الحيان ثا الحل 2007 يونيو محمد ميسوري : ذ الموضوع 2007 يوليوز محمد ميسوري : ذ الحل 2007 يوليوز
http://arabmaths.ift.fr الموضوع 2008 يونيو محمد السادس ورزازات . محمد الحيان ثا الحل 2008 يونيو عضو بمنتديات دفاتر المربي الموضوع 2008 يوليوز
غير متوفر الحل 2008 يوليوز
es
Mem resb
: 2003 ) (
: 3 :7
اول ا )ل اء ا ا 1) )2
1lnI x dx= ∫
ا ا 2)ln 4
0
xJ x e dx= ∫ ) xt! و e= (
ا ا
وآر&) 2 ، 1 ، 1 ، 0 ، 0 ، 0!%0ي آ). $- , آرات )'ء &% ا$#اد
1 ، 00داو! &%4ن ا#د!
).6 ! ا)) ) 5 . (
. ا).=% $>0ا;) و:9 8ن وا # آر&)
:ا ا ل آ ا%#<)) 1
A " : 0نا .B= (0%ا ر&)."
B " : #م %0)ا ر&)ا -$ (Eا #د!اء ا#."
0ع ا#د! اE) $- ار&) اJي !رI آ %G=XE Gر اF)ر ا>0ا;9 ) 2
.ا0%)
#د L=0ن ا ل اF)ر ا>0ا;9 X.
ا ا
(m M0 )ر !#O$ و$#&ه 2 $#دا α!#O0$ ا$#اد اE 9: رG=و
2: (E)اد 2 0mz z m− + m و m ه0 را:J=m Sآر أن ( = mm=.(
(1 9 : ه(E)اد ) أن 1 i
zm
+′ و =1 i
zm
−′′ =.
و ′′z و ′zاآ آ 2) z
z
′′′
9UUا V -$ .
)0ب إ- YZ # Y :9 ا0ى اO#ي ا 3) ), ,O u v
IO ر اG= ،Aو Bو C
z و ′′z و ′zا9 أ%5L $- ا0ا9 ه9 z′ . رOACB) أن ار9$ , .+′′
اا ا
`O ر اG= ،YZ # Y -0ب إ ء ا'B9 ا:A (2,0,2)0ىوا
( )P د3 ذا ا 0x y z+ − − =
(1 Y(O !4 رار(U& د# (D) را A0ى و0دي $- اا( )P.
1
1
0.5
1
1.5
1
1.5
1
0.5
#د إ #ا<)ت 2) B Y(Oا cO& `O= (D) 0ىوا ( )P.
(3 Bر اG=( )S 9 رآها A 0ىا `O& 9وا ( )P 9#ا;رة اا S:و
2 وB 5$Vرآه
#د Vع اB - أ ( )S .
)اآ د د!ر&) B - ب )S.
ـــــــــــــــــ
: !9 ار: $- G=fر ا#ا
( ) ( )
( )
3
2
ln 1
4 3
f x x
f x x x x
= −
= −
. # fY 9: YZ ا % - اU #ا (C)و)
.0 ص :9 ا f `O ) أن ا#ا -أ) 1
=Jآر hن ( L 0OV4ق :9 ا f `O ) أن ا#ا - ب ( )
0
ln 1lim 1t
t
t→
+=.(
[ & Lص) $- اE( fأن ا#ا ) ) 2 ] و ∞−0,] [1, ] و&ا!#! $- اEل ∞+ ]0,1.
) ا -أ) 3 )limx
f x→−∞
) و )limx
f x→+∞
.
SO%& 0x أ=ه - ب < ، ( ) ( ) ( )3ln 1ln
3xf x x
x x x
−−−= +.
.(C) ادرس اBر$) ا4=5;)) % - - ج
.(C)أ=>l ا % - 4)
(5 (h #اص0ر اLf لEا -$ ] [,0−∞.
[ &O اEل h) أن - أ . !E 0%= JM#!#%& Eل ∞−0,]
#د - ب ( )1h x− x لEا J.
)=Gر ا) ) 6 )nu9! :را :
0
4
9u 2 و =
1 4 3n n n nu u u u+ = − n .
.f! :) !9 ال =;p درا ا#ا
) ر أن -أ 4
19 nu≤ ≤ n .
)) أن ا) - ب )nu!#!ا& .
)ا p أن ا) - ج )nu5!5= . Oر <Y ا
0x <
0x ≥
0.5
0.5
0.5
0.5 1 1.5 0.5 0.5 0.5 1 0.5 1 0.5 0.5 1
:التمرین األول 1( 12ln2ln 2
1 xxxI.
2(42ln84 IJ)2
(t
dtdxet x .
:التمرین الثاني 1(
7
428
22
26
C
CCAp .
14
1128
24
14
14
C
CCCBp.
2(
:التمرین الثالث 1(
m
iz
m
izmm
1",
1'11' 2mm
2(
4
,1"zو
4
,1'z إذن
2,1
"
' z
z.
3( BaffAaffCaffOBOAOCOABC متوازي األضالع.
1"
'
z
z
OB
OAOABC معین و
22"
'arg,
z
zOAOBOABC مربع .
:التمرین الرابع
1(
tz
IRtty
tx
D
2
2
.
2( 0322/,, tttIRtPDzyxB
1,1,31 Bt 222-أ)3 drR )R ، شعاع الفلكةr ، شعاع الدائرة PAdd ,(
2r 3و3
322
d ) 3أو ABd ( 7R.
3210ix
28
328
13
11 C
CC4
128
14
11
23 C
CCC
7
328
14
13 C
CC
14
328
24
C
C ixXp
- ب 722: 222 zyxS
:مسألة -أ)1 00limlim
00fxfxf
.
- ب 034limlim
00
xx
x
xf 00'df.
0
1ln.lim
1lnlimlim
3
32
0
3
00
x
xx
x
x
x
xf.
1
1lnlim
0 t
t 00'gf
0'0' gd fff 0قابلة لالشتقاق في.
2( 0'0,1
3'0
3
2
xfxx
xxfx
.
xxxfx 16'0)2
3
xxx . (01و لدینا x على المجال 1,0 01و x على المجال ,1 إذن ،:
-أ)3
xflim و
3
4limlim 2
xxxf.
- ب x
xx
x
xx
x
xx
3333 1lnln31ln1ln0
x
x
x
x 31lnln3
- ج
xx
x
xfC 34limlimیقبل فرعا شلجمیا في اتجاه Oyبجوار.
0lim
x
xfCیقبل فرعا شلجمیا في اتجاه Oxبجوار.
:المنحنى )4
متصلة و تناقصیة قطعا على h-أ)5 0, إذنh تقابل من 0, نحو ,00,h.- ب 0,,0/1 yوxyhxxhy
xeyyx 11ln 33
13 xey3 1 xey إذن 31 10 xexhx .
0n :1من أجل -أ)69
4
9
40 U) العالقة محققة(
1أن نفترض 9
4 nU :f تزایدیة على المجال
1,9
إذن 4 19
4fUff n
1یعني 27
16
9
41 nU.
1: إذن 9
4 nUINn.
لدینا : بالترجع - ب9
4
27
1601 UU)0أجل من العالقة محققةn.(
nnنفترض أن UU 1:f تزایدیة على المجال
1,9
)()(إذن4 1 nn UfUf
12یعني nn UUإذن nUتزایدیة.
نضع- ج
1,9
4I .f متصلة علىI و IIf
1,27
16.
nU إذن نھایتھا) رة تزایدیة و مكبو( متقاربةl تحقق llf .
:إذن 9
1l 1أوl أو 0 lllf 1و منھlim
nU.
ع ز– ع ت أ –ع تجريبية : الشعبة
ساعات3: المدة
االمتحان الوطني الموحد لنيل شهادة البكالوريا المملكة المغربية وزارة التربية الوطنية و الشباب
1التمرين
) و الفلكةPنعتبر المستوى مباشر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم )Sالمعرفين على التواي بالمعادلتين
) : الديكارتيتين ) : 3 0p x y z+ − + ) و = ) 2 2 2: 2 2 1 0S x y z x z+ + − + + =.
)مرآز و شعاع الفلكة حدد -1 )S.
)المستوىبين أن -2 )Pمماس للفلكة ( )S .
)المستوى حدد نقطة تماس -3 )P الفلكة و( )S.
التمرين2
1أحسب التكامل -11 lne
eI x dx
x= ∫.
بحيث b و a أوجد -أ -22
1 1t bat t= +
+ + من t لكل 1− −.
أحسب التكامل - ب7
2
11 2
J dxx
=+ 2tيمكن وضع ( ∫+ x= + (
3التمرين
.2 و 1 و 1 و 0 و -1 و -2تحمل األعداد ، ولتمييز بينها باللمس يحتوي آيس على ست آرات ال يمكن ا
.ت من الكيساآرثالث نسحب عشوائيا في آن واحد : نعتبر االختبار التالي
:الحدثيننعتبر -1
A " : من بين الكرات المسحوبة، توجد آرة على األقل تحمل"
S " :منعدم ة مجموع األعداد المكتوبة على الكرات المسحوب"
A أحسب احتمال الحدث - أ
يساويS بين أن احتمال الحدث – ب 15
.
).نعيد في آل مرة الكرات المسحوبة إلى الكيس( نكرر االختبار السابق أربع مرات -2
. ثالث مرات بالضبطS ما هو احتمال الحصول على الحدث
4تمرينال
) أآتب عل الشكل الجبري العدد العقدي -أ -1 )24 i+.
) المعادلة حل في المجموعة- ب ) ( )2 2 3 5 1 0z i z i+ − − + =
1 التي ألحاقها على التوالي هي C و B و A نعتبر في المستوى العقدي النقط -2 2a i= 3b و + i= − 6c و + i=.
أآتب على الشكل المثلثي العدد العقدي - أc ab a−−
.
. متساوي الساقين و قائم الزاويةABC استنتج أن المثلث – ب
02, 5
0,5
0,5
1,5 02,5
1
0,5
1
02,5
0,5
1 1
02,5
0,5
1
1
1
دورة يوليوز 2003
المسألة
الجزء األول ] الدالة المعرفة على f نعتبر : بما يلي∞+;0]
( ) 2 2f x x x= − +
) بين أن -1 )limx
f x→+∞
= +∞
0 على اليمين في النقطة f أدرس قابلية اشتقاق الدالة -2
] تناقصية على المجالf بين أن -3 ] و تزايدية على المجال1;0[ [1;+∞.
الجزء الثاني
)نعتبر المتتالية )nuالمعرفة بما يلي :
0 2u ) و = )1n nn u f u+∀ ∈ =
.f يمكنك في ما يلي استعمال نتائج دراسة الدالة
1بين بالترجع أن -1 2nn u∀ ∈ ≤ ≤
)بين أن المتتالية -2 )nuناقصية ت.
)استنتج أن المتتالية -3 )nuمتقاربة ثم أحسب نهايتها
الجزء الثالث
] الدالة المعرفة على g نعتبر ) : بما يلي∞+;0] ) ln( 2 2)g x x x= − +
)ليكن )Cالمنحنى الممثل للدالة fفي معلم متعامد ممنظم .
) أحسب - أ-1 )limx
g x→+∞
) أدرس الفرع الالنهائي للمنحنى - ب )C.
نقبل أن ( g أدرس تغيرات الدالة-2 ( ) ( )
0
0limx
g x gx+→
−= −∞(
) أنشئ المنحنى -3 )C .
] على المجال g قصور الدالةh ليكن -4 [1;+∞.
] تقابل من h بين أن - أ . يجيب تحديده J نحو مجال ∞+;1]
) حدد - ب )1h x− لكل xمن J.
09
0,5
0,5 1
1
0,5 1
0,5
0,5
1 1
0,5
1
:التمرین األول 1( 0111: 222 zyxS 1,0,1 1مركز الفلكة وrشعاعھا.
2( rPdP
1
441
221مماس للفلكة , S.
3( cbaH س نقطة تما,, P و SHھي تقاطع العمودي على Pالمار منمع المستوى P
إذن 2,2,1n المنظمیة على Pموجھة ل ومنھ ، :
0222
21
2
1
/
cba
tc
tb
ta
IRt.
إذن 02212221 ttt3
1t
3
1,
3
2,
3
4H
:التمرین الثاني 1(
1
11
ln1
ln1
e
edxx
xdxx
xI
و xxxx
xxIe
e
lnln'ln1
ln2
1ln
2
1
1
21
1
2
1إذنI.
-أ)2t
baat
t
ba
t
t
ba
aaوb
111
2
0
222.
xttx- ب dttdxو 222 2
dtt
tJ
3
2 1
2.
:-مال أباستع
4
3ln221ln2
1
22
3
2
3
2ttdt
tJ.
:التمرین الثالث "1كرات ال تحمل الرقم3سحب :"ھو Aالحدث-أ)1
5
1
5
436
34
C
CApAp
-1و كرة تحمل الرقم1كرة تحمل الرقم أو-2ة تحمل الرقموكر1كرتان تحمالن الرقم:"ھو Sالحدث - ب:إذن " 0و كرة تحمل الرقم -2و كرة تحمل الرقم 2كرة تحمل الرقمأو0كرة تحمل الرقمو
5
136
11
11
12
11
11
11
11
22
C
CCCCCCCCSp
ثالث مرات بالضبط ، إذن Sقاحتمال تحقpينسم)2625
16
5
11
5
13
34
Cp.
:التمرین الرابع لدینا -أ)1 ii 8154 2 .
- ب iiiid 815120324 2 )الجذرین المربعین ل(
iإذن ii
zوiii
z
32
432'21
2
432".
لدینا -أ)2 i
ii
i
i
ab
ac
ab
ac
17
441
4
41
2,1.
1- ب
ab
ac
AB
ACABC متساوي الساقین رأسھA.
2
2arg,
ab
acACABABC قائم الزاویة فيA.
:مسألة :الجزء األول
منxلكل)1 ,0 لدینا
xxxxf
22إذن 1
xf
xlim.
منxلكل)2 ,0 لدینا xx
xx
x
fxf
x
fxfx
21
200lim
0
.0غیر قابلة لالشتقاق في fإذن ،
منxلكل)3 ,0 لدینا : x
x
xxf
111'
إذن إشارة xf .1xھي إشارة '
: جدول التغیرات
:الجزء الثاني0n:221من أجل )1 0 U .العالقة محققة
21نفترض أن nU .بما أنfتزایدیة على المجال 2,1 فإن 21 fUff n
2241إذن 1 nU 21و منھ 1 nU)2224 (21: و بالتالي nU لكلn منIN.
nn: نبین بالترجع أن )2 UU 1 لكلn منIN .
0n :20من أجل U 2241و U 01إذن UU nnنفترض أن UU 1بما أنfتزایدیة على المجال 2,1 فإن nnnn UfUfUU 112
nn: و بالتالي UU 1 لكلn منINأي أن المتتالیة ، nU تناقصیة.المتتالیة)3 nUفھي إذن متقاربة 1تناقصیة و مصغورة بالعدد.
نضع 2,1I . لدیناf متصلة على IوIIf و 224,1 nU، متقاربة
تحققlإذن نھایتھا llf وھذا یعني أنlll .1lأي 22
:لثالث الجزء ا-أ)1
xfxg
xxlimlim.
- ب 0
22.
22
22lnlimlim
x
xx
xx
xx
x
xgxx
: ألن 1
22lim0
22
22lnlim
x
xxوxx
xxxx
.
C بجواراألفاصیلیقبل فرعا شلجمیا في اتجاه محور.
لدینا )2 xf
xfxgx
'',,0 .
إذن إشارة xg ھي إشارة ' xf ' ) 0xfلكلxمنIR .(
و منھ جدول إشارة xg :ھو '
:المنحنى)3
متصلة وتزایدیة قطعا على المجالh-أ) 4 ,1فھي تقابل من ، ,1 نحو ,0,1h.: لدینا -- ب yhxxhyyx 1,1,,0
: إذن
ye
eوyye
ye
yyxyye
x
xx
x
x
2
2
11
010111
11
22ln22
: و منھ 21 11 xexhلكلxمن ,0
: 2004 ) (
: 3 :7
) و 3 ( اول ا )ا ء )E ) ! ب إ ), , ,O i j k
"#( )S $% & ا( ), ,M x y z'(2: *ح 2 2 4 2 2 0x y z y z+ + − + + =
)*)" أن 1) )S آ0ه $#2 ( )0, 2, 1Ω 3r و3% − =.
) 9ح8 " أن ا7$ -أ 2) )1,1,0A − $#) 9: إ ا )S.
#$ (P) اآ= د$ ا! ى -ب ) اس )S $7ا % A.
2: 9ح8 " أن-أ 3) 0x y z+ + − ) د$ دA#ر9)$ ! ى = )Q ار
)" ا$7 )1,3, 2B ) و − )1,1,1n
)ه% $( $3& .
) *)" أن -ب )Q C7A ( )S3%ة حدا آ0ه وEو82 دا .
) و 3( ا ا
$Aاد ا%Fاد$ 2: & %$ ا :( ) ( )2: 4 4 1 0E z iz i− − + =.
) ح: اد$ 2z و 01z ب )E '(ح* ( )1 0z >Re
)*)" أن )0 اد$ 1) )E ه ( )2
2 2 1 i ∆ = + دI J 1z 2 وz.
(2 C 2a i= و ( )2 1b i= +
91zح8 " أن a b= 2z و+ a b= b:K و a واآ= −Kا L#Mا % .
(3 ) 2: ا! ى اي ا! ب إ ), ,O u v
ا ا: C و B و Aا % 3Oا: اح a و b 1 وz
OC: و9ح8 " أنC و B و LKA ا أ ـ OA OB= +
OA وأن OB=.
): )" J أنOBCAاسQ أن ب ـ ) [ ]1
3arg 2
8z
π π≡.
) 3 ( ا ا
O(* C!9 % S(ح ي آAS *)Oن *) وان 9حVن: ت A T#" ا))3(* 0 *
Oم 1 اOرFا Lاء 9حI تO(* ثVJم 2،2،1وOرFا Lت س داء 9حO(* C*2، 2، 1، 1 وأر.
S(#ت " اO(* ثVJ Iن واZ :2و (Eا M% =ح!.
:I!= اIل آL اIFاث ا)$ أ 1)
A " : ان Fا $ ) ".*)O$ " آL ن ) اO(ت اVKث ا!ح *$ ^
B " : Oا S Lث ا!ح *$ 9حVKت اO(ا."
C " : اءI ةIوا $O(* LOFا % a 9 $* ت ا!حO(ا "(* "."
A: اI!= اIل احث) 2 B∩
1 0.25
1
0.5
0.75
1
1
1
0.5
0.75 0.75
0.75
0.75
) 10 ( اا ا
اول اــــــــــء
"#f :(اح (u $Aاا$ اد x: ا$2 %A * :( ) 1 21
2 1xf x x
e= − −
+
)و )C $ا LKا 2: f ه اح ( ), ,O i j
.
: 9ح8 " أن-أ 1)1 1
11 1x xe e− = −
+ + L# x " .
. دا$ 2دf$A اسQ أن -ب
(2 =!Iا( )limx
f x→+∞
.
): *)" أن-أ 3) )2
1 1
2 1
x
x
ef x
e
−′ = − + L# x " .
f أ% aول u9)ات اا$ -ب % +.
: اسQ أن-ج 2 1
11 2x
xe
− ≤+
L# x " +.
): *)" أن 4) ) 1lim 1 0
2xf x x
→+∞
− − =
.J أول هس) هxy ا)&$
(5 )أM 2: ا ), ,O i j
ا!) اyي ده 1
12
y x= − .J (C) أM اح
C * xt -أ 6) e−=أن "(* :0
1
1 1ln
1 2x
edx
e−
+ = + ∫
وح ر ا2Fص)L وا!))"(C) اI $I! =!I)0 ا! ى اح ر *)" اح -ب
ا ا: 1x اAy" د3 % = 0x و − =.
ا اــــــــــء
"#( )nu:A * $2ا $A0: ا)$ اد 1u 1 و =
21
1nn uu
e+ = −+
L# n" .
0nu: *)" *اCa أن 1) > L# n" .
: 9ح8، *سل )&$ ا!ال اK' ج " ا&0ء اFول، " أن-أ 2)
1
1
2n nu u+ ≤ L# n" .
) اسQ أن ا)$ -ب )nu$(O9 .
: *)" أن 3)1
2
n
nu ≤
L# n" =!Iا J lim nx
u→∞
.
0.5 0.5 0.5
1.25 0.5 0.5 0.5 1.5
1.25
0.75 0.5 0.5 0.5
0.75
http://membres.lycos.fr/hamidbouayoun
:التمرین األول لدینا )1 312224 222222 zyxzyzyx
إذن 312 222 zyxمعادلة دیكارتیة ل Sفلكة مركزھا 1,2,0
.3rو شعاعھا-أ)2 SAA 3.
- ب 00.,, zyxAMAPzyxM.-أ)3 1,1,1n
منظمیة على Q 0: dzyxQو QBd 2.
- ب 3
3
3
2120,
QdrdQ یقطع S وفق دائرة شعاعھا
3
2222 drRو مركزھا cbaH علىالمسقط العمودي ل,, Q.
: إذن
02
1
2/3
13
1,37,3
1
cba
tc
tb
ta
IRttH.
:التمرین الثاني 1( ii 1611616 و 22
12122 iii . iiiz 222221222' و iiiz 222221222"
0"Re" 1 zzz 2و' zz .
2(
2,2
aو
4,2
b.
-أ)3
BaffAaffCaffOBOAOC
1b
a
OB
OAOBOA .
OBOAOCOBCA- ب متوازي األضالعOBOAOBCA معین . 2,arg 11 OCez
.
2,,,28
3,
2
1arg, 11 1OCOBOBeOCeOAOBbOCe
.
:التمرین الثالث 1(
7
239
14
13
12 C
CCCAp ،
6
139
34
35
C
CCBp
CpCp 1)C" :ال توجد أي بیدقة حمراء من بین البیدقات المسحوبة("
21
5
21
1639
36
C
CCpCp
2( BANRBC
CCCBAp :""
21
11113
9
12
11
12.
:التمرین الرابع-أ)1
1
11
1
11
11
1,
xx
x
x
x
x ee
e
e
e
eIRx.
متماثل بالنسبة للصفرIR- ب
و xfe
xe
xxfIRxxx
1
112
2
11
1
2
2
11,
2(
xfxlim.
-أ)3
2
2
2
2 1
1
2
1
1
12
2
1
1
2
2
1',
x
x
x
xx
x
x
e
e
e
ee
e
exfIRx .
لدینا IRمنxلكل- ب 0' xff تناقصیة قطعا علىIR إذن ،:
:، إذنIRتناقصیة قطعا على f- ج 00 xfxf 0یعني1
2
2
11
xex
xو منھ e
IRxx 2
1
1
21:
.
4( 02
11limlim
xxfe
x
x
x .
Cیقبل مقاربا مائال بجوار معادلتھxy2
11
المنحنى)5
xet-أ)6t
dtdx إذن
2
1ln
1
1
11
1 110
1
edt
tt
dt
t
tdx
e eex .
- ب umee
xxdxxf
2
1ln2
4
5
2
1ln2
4
10
1
20
1.
II-0n :010من أجل )1 U.
1ومنھ 21nUeإذن 0nUنفترض أن 2
1nUe
0أي 2
111
nUne
U.
.0nUINn: إذن
xلدینا -أ)2e
IRxx 2
1
1
21:
. نضعnUx )0nU ( فنجدnU
Ue n 2
1
1
21
nnأي UU2
11 لكلn منIN.
nnلدینا- ب UU2
11 0
2
11 nnnn UUUUمتتالیة تناقصیة.
0n:1من أجل )32
11
0
0
U
نفترض أن n
nU
2
إذن 11
2
1
2
1
n
nU ومنھ1
1 2
1
n
nU)ألنnn UU2
11 .(
إذن n
nU
2
.INمن nلكل 1
لدینا n
nU
2
10 0و
2
1lim0lim
n
nU.
: 2004 ) (
: 3 :7
ن و( اول ا (
) ا اد )nu 0: ا 1u و =3
1 23 1n
nn
uu
u+ =+
n .
0nu أن -أ) 1 > n .
) أن ا - ب )nu &'( .
) ا+'* أن - ج )nu . ر
1 أن -أ) 2
1
3n nu u+ ≤ n .
: ا+'* أن- ب 1
3
n
nu ≤
n ./012 ا lim nx
u→+∞
.
) وط3 ( ا ا
) ا>;ء ا'/9ب إ7 1 '16 5 ), , ,O i j k
)ا'ط )1, 2, 2A ) و− )0,3, 3B ) و− )1,1, 2C ) وا/9ى − )Pه3: ا@ي د 0x y+ − =.
) ا0/. / ا' -أ) 1 )0,1, 1Ω ) A ا/9ى − )P.
-ب < ) ا+'* أن د در) )S هCآ ا ( )0,1, 1Ω ) وا+ /9ى− )P
2: ه 2 2 2 2 0x y z y z+ + − + =
AB 0د -أ) 2 AC∧
C و B و A 12 ا+'* أن ا'ط / E . 3: أن- ب 0x z− − ) د در) /9ى = )ABC.
)GF -أ) 3 ) ا> )S 9ى/ + ( )ABC.
) وا+'* )س CΩ ا0/. ا/ - ب )S 9ىوا/ ( )ABC.
) ط3 ( ا ا
اAIاد اA9J ): اد ا ) 22 2 1 0E z iz− − =
0 -أ 1) ) اد )E ) .1z 2 وz KG ) ه L0 اد )1 0z >Re.(
ا2zOO و 1z اآ. اG -ب P7 اA .
) '16 ا/9ى اي ا'/9ب إ7 1 2) )1 2, ,O e e
: ه ا أ7A Q&G ا9ا S و B و A ا'ط 1 1
2 2a i= و +
1 1
2 2b i= − s و + i=.
اOO اد اي -أ P7 اA .اآ :a s
b s
−−
.
.S /وي ا/& و&1R اCاو SABا+'* أن اKO -ب . AOASBS أن ا -ج
hamidbouayoun/fr.lycos.membres://http
0.5 0.5
0.25
0.5
0.75
0.5
1
0.75 0.5
0.25 0.5
0.75
0.5
0.75
0.5 0.5
) ط 3 ( اا ا
f9ي آG1U 1&ن اLG( & 7A 1 1&ا G( ت& S7 أرA2، و ) f Q' Cا i.( f9ي آG2وU اء;j آات Sث آات 0اء وأرL2 7A ) l@آ f Q' Cا i.( f وا0ة ا& R9اPA .G/1U .
. أ0/. ا0ل ا2Gن ان 1) A " : 1&ا G( 9G/ا ".1ا&
B " : 1&ا G( 9G/ا ".2ا&
(2 اR9اPا Jال اr/ه@ا ا .
f وا0ة ا& .G/1UQ&ر J/و :
.2U 9م /G. آة وا0ة اf 1إذا آن ه@ا ا&1 ه9 -
.2U 9م /G. آ) uن وا0 اf 2آن ه@ا ا&1 ه9 وإذا -
n f9 اG/اء اGات ا A 2Uد ا
" آة 0اء 9nل ;ط 7A اG" اGث 2E و
): أن -أ )1
11
21p E ) و = )2
2
21p E =.
. GA 1EF أن اGث Aا0/. ا0ل اGث -ب
) ط 8( ـــــــــــــــــ f Gا w ): ا x اا اد ) ( )2ln 2 2f x x x= − +
ا (C) و O7 ا'G'ه9 ا f 1 16' ( ), ,O i j
.
): )GF أن-أ) 1 )22 2 2 1 1x x x− + = − + x .
) 12 ا0/. f 7A ا+'* أن - ب )limx
f x→+∞
) و )limx
f x→−∞
.
): أن 2) ) ( )2f x f x− = x ه1 ا@ي د* أن ا/'1 12 ا+x 9Gر =
7'G'ا 2((C).
): )GF أن-أ 3) ) ( ) 2
1 22ln ln 1
2f x x
x = + − +
x لJا [ [1, +∞.
: ا+'* أن -ب ( )
lim 0x
f x
x→+∞= J'ا y@12 أو ه'+ ه .
): أن-أ 4) ) ( )( )2
2 1
1 1
xf x
x
−′ =
− + x .
. f 7AأAط ول )wات اا -ب
0.5 0.5 1.5 0.5
0.25
0.75
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
): أن-أ 5) ) ( )( )
22
2 2
1 1
x xf x
x
−′′ =
− +
x .
.(C) ادرس ) ا'G'7 -ب
(6 7'G'ا ~Pأ(C).
(7 h ]ل 7A اfJ &9ر اا [1, +∞
اJل h أن -أ ( [ [1, . J 9G JyG( 1ل ∞+
)0د -ب )1h x− x J.
S9 1t - أ 8) x= ) : أن− ) ( )1 0 2
0 1ln 1f x dx t dt
−= +∫ ∫
CIاء أن-ب ): +ل )20 02
21 1ln 1 ln 2 2
1
tt dt dt
t− −+ = −
+∫ ∫
: أن-ج 20
211
1 4
tdt
t
π−
= −: 0i أن ( ∫+
2
2 2
11
1 1
t
t t= −
+ + t .(
و 9Gر اIص (C) ا+'* /0 C0 ا/9ى ا9Gر ا'G'7 -د
1xوا/ ا@ ده 7A ا9ا 0x و = =
hamidbouayoun/fr.lycos.membres://http
0.5
0.5
0.75
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
:لالتمرین األو0n :010من أجل -أ)1 U . 0نفترض أنnU 03إذن nU 0ومنھ
1 2
3
1 n
nn U
UU
.
.INمن nلكل 0nUبالتالي و
لدینا - ب
01
12
2
1 n
nnnn U
UUUU
إذن nU تناقصیة.
- ج nUفھي إذن متقاربة 0تناقصیة و مصغورة ب ،.
22لدینا -أ)2 313 nn UU إذن 2
3
2
33
3130
n
n
n
nn U
U
U
UU
أيnn UU
3
11 لكلn منIN.
:لدینا - ب
01
12
21
1
3
13
1
3
13
1
UU
UU
UU
UU
nn
nn
نجد) كل األطراف موجبة(نضرب طرفا بطرف n
nU
3
INمن nلكل 1
13
110
3
1lim
n
0limإذن 0nUو لدینا nU.
:التمرین الثاني -أ)1 2
2
310,
Pd.
- ب rS , مماسة للمستوى P 2، إذنr ومنھ 211: 222 zyxS
: إذن معدلة دیكارتیة للفلكة ھي 022: 222 zyzyxS
-أ)2 0,1,01,1,1 ACوABkiACAB
0
ACAB وإذن النقطACوB غیر مستقیمیة.
ACABلدینا - ب منظمیة على ABC إذن ، 0: dzxABC
ABCB 3,3,0 3إذنd و منھ 03: zxABC.
لدینا -أ)3 rABCd
22
310الفلكةإذن , S مماسة للمستوى ABC.
- ب 1,0,12 CC إذن SC و لدینا ABCCھي نقطة تماس C: إذن Sو ABC.
: مرین الثالثالن'1-أ)1
2
1
2
1'
2
1
2
1" izوiz . لدینا إذن 0"Re z 21أي '" zzوzz .
لدینا - ب
4,
2
2
4
3,
2
212
zوz.
iلدینا –أ )2i
i
sb
sa
1
إذن 1
2,1
sb
sa.
1لدینا - ب
sb
sa
SB
SA إذن المثلثSAB متساوي الساقین رأسھS.
و 2
2arg,
sb
saSBSA یعني أن المثلثSABقائم الزاویة فيS.
basلدینا - ج یعني BaffAaffSaff ومنھOBOAOS Sمتساوي الساقین رأسھ وقائم الزاویةSABمتوازي األضالع ، و بما أن المثلث OASBإذن الرباعي
.مربعOASBفإن
:التمرین الرابع 1(
3
1
6
4 ApوBp
-أ)2 21
11
21
8
7
1
3
2
7
3
3
127
14
13
1
C
CCEp
و 21
2
3
227
23
2 C
CEp.
لدینا - ب 1
11 Ep
EApApE
و
7
1
7
3
3
1. 11 EpApEAp A.
إذن 11
31
ApE.
:التمرین الخامسلدینا -أ)1 1111222 222 xxxxxلكلx منIR.
- ب 011 2xلكلx منIR إذنIRD f .
xflim و
xflim.
لدینا )2 22224442 22 xxxxxxf إذن xfxf 2لكلx منIR.axالمستقیم ذو المعادلة :االستنتاج محور تماثل Cفي م م م jiOxfxaf
,,2 IRx
محور تماثل 1xالمستقیم ذو المعادلة : إذن C.
لدینا :أو CyxMxfy و لتكن , ','' yxM مماثلةM 1المعادلةلمستقیم ذيلبالنسبةx ،
: إ ذن
yy
xx
'
12
'وھذا یكافئ
yy
xx
'
2'و بما أن . xfxf 2 فإن '' xfy
إذن CM ' و بالتالي C1المعادلةمتماثل بالنسبة للمستقیم ذيx.
-أ)3
22
22 22
1lnln22
1lnxx
xxx
xxf .وبما أن ,1x
xxفإن ln2ln 2 إذن
222 22
1lnln222
1lnxx
xxx
xxf.
لدینا - ب 0
221ln
ln2limlim
2
x
xx
x
x
x
xfxx
)0ln
lim00
x
xو(
إذن C یقبل فرعا شلجمیا في اتجاه محور األفاصیل بجوار.
-أ)4 11
12
22
'22'
22
2
x
x
xx
xxxfIRx.
- ب
-أ)5
2222
22
11
22
11
14222"
x
xx
x
xxxxfIRx.
نلخص إشارة- ب xf :في الجدول التالي "
المنحنى لھ نقطتي انعطاف 2ln,0A و 2ln,2B
المنحنى)6
متصلة وتزایدیة قطعا على المجالh-أ)7 ,1فھي تقابل من ، ,1 نحو ,0,1h.: لدینا - ب yhxxhyyx 1,1,,0
إذن 11ln 2 yx 11 2ye x 11 xey)010 xex(
11فإن 01yو بما أن xey . إذن 11,0 1 xexhx
لدینا -أ)8 11ln 2 xxf إذن 11ln 2 xtttf وdxdt .
منھ و
0
1
21
01ln dttdxxf.
نضع - ب 21ln1' ttuوtv فنجد 21
2'
t
ttuوttv
إذن:
0
1 2
20
1 2
20
120
1
2
122ln
1
21ln1ln dt
t
tdt
t
tttdtt
لدینا- ج22
2
1
11
1 tt
t
إذن
41
1
11
10
1
0
1 2
0
1 2
2
tarctgtdtt
dtt
t.
صور بین المنحنىمساحة الحیز المحAلتكن-د C ومحور األفاصیل و المستقیمین اللذین معادلتاھما على التوالي
1x 0وx إذن ، 2
22ln4
122ln0
1
dxxfAبوحدة قیاس المساحة.
.یتكون ھذا الموضوع من أسئلة مستقلة فیما بینھا و تمرینین و مسألة-.رمجةیسمح باستعمال اآللة الحاسبة غیر القابلة للب-
)أربع نقط و نصف(: أسئلة : المعادلة Cحل في)1 0412122 iziz.)1ن(
1: بین أن )22
312
i.)1ن(
:باستعمال مكاملة باألجزاء، بین أن )3 9
12ln3
1
2
edxxx
e)ن1(.
بین أن )4
20 61
xx
dx ) 1یمكنك وضع xt()1.5ن(
)نقطتان و نصف(:التمرین األول في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ،نعتبر المستوى P 03الذي معادلتھ yxو الفلكةSالتي
معادلتھا 211 222 zyx.ستوىالمبین أن)1 Pمماس للفلكةS.)1ن(و Sحدد مثلوث إحداثیات نقطة تماس )2 P.)1.5ن(
)ثالث نقط(: نيالتمرین الثا.باللمسیمكن التمییز بینھایحتوي صندوق على ثالث كرات بیضاء وسبع كرات سوداء ال
:الحدثین التالیین BوAلیكن. نسحب عشوائیا و في آن واحد كرتین من الصندوق)1A ":الكرتان المسحوبتان لونھما أسود"
B ":ألقل كرة لونھا أسودمن بین الكرتین المسحوبتین توجد على ا"
یساوي Aبین أن احتمال الحدث 15یساوي Bو أن احتمال الحدث 7
15)ن1.25(.8
عن السحب و إذا كانت سوداء نسحب كرة واحدة من الصندوق، فإذا كانت بیضاء نتوقف: نعتبر التجربة العشوائیة التالیة )2:الحدثین التالیین DوCلیكن . نضعھا جانبا ثم نسحب كرة ثانیة و أخیرة من الصندوق
C ":الحصول على كرة بیضاء في السحبة األولى"D ": كرة بیضاءالحصول على"
)نC.)0.75احسب احتمال الحدث -أ
یساوي Dبین أن احتمال الحدث - ب15)ن1(.8
)عشر نقط(: مسألة :الجزء األول المعرفتین على المجالhوgنعتبر الدالتین ,0بما یلي : xxxg ln1و xxxxh ln2.
احسب -أ)1 xg من المجالxلكل ' ,0ثم ادرس منحى تغیرات الدالةg.)0.75ن(استنتج أن - ب 0xg لكلxمن المجال ,0.)0.25ن(
بین أن -أ) 2 xxxgxh ln11 لكلxمن المجال ,0.)0.5ن(بین أن - ب 0ln1 xx لكلxمن المجال ,0.)0.5ن(
استنتج أن ) 3 0xh لكلxمن المجال ,0.)0.5ن(
:الجزء الثاني المعرفة على المجالfنعتبر الدالة ,0 بما یلي : 2lnln1 xxxxf و لیكن fC المنحنى الممثل
.في معلم متعامد ممنظم fللدالةاحسب -أ)1 xf
x 0limن0.5(.و أول النتیجة ھندسیا(
احسب - ب xfx limثم حدد الفرع الالنھائي للمنحنى fCبجوار).1ن(
الحظ أن (
x
xxxxf
ln1.ln1.(
بین أن -أ) 2 x
xhxf ' لكلxمن المجال ,0.)0.5ن(
تزایدیة قطعا fاستنتج أن الدالة - ب ,0.)0.25ن(لیكن) 3 المستقیم المماس للمنحنى fC في النقطة 1,1A.
بین أن معادلة دیكارتیة للمستقیم -أ ھيxy .)0.5ن(: تحقق من أن - ب xgxxxf 1ln لكلxمن المجال ,0.)0.5ن(ادرس إشارة - ج xxf للمستقیم ثم استنتج الوضع النسبي والمنحنى fC.)1ن(أنشئ ) 4 fCو للمنحنى نقبل أن.(في نفس المعلم fC ن0.75()1.5و1نقطة انعطاف أفصولھا محصور بین(
:الجزء الثالثنعتبر المتتالیة nu المعرفة بما یلي :eu 0 و nn ufu 1 لكلn منIN.
eunبین بالترجع أن)1 1 لكلn منIN.)0.5ن(بین أن المتتالیة)2 nuن1().من الجزء الثاني- ج)3نك استعمال السؤال یمك.( تناقصیة(استنتج أن المتتالیة)3 nuن1(.متقاربة ثم احسب نھایتھا(
:أسئلة
): المعادلة , نعتبر في المجموعة ) 1 ) ( )2: 2 1 2 1 4 0E z i z i− + + + =.
) للمعادلة المختصرالمميز )Eهو : ( ) ( ) ( )2 22 1 2 1. 1 4 1 4 4 1 4 4 2b ac i i i i i′ ′∆ = − = + − + = + − − − = − =
) إذن للمعادلة )E 1: هما حلين مختلفين1 2 2 1 4
1b i iz i
aα′− + + +
= = = 2 و +1 2 2 1
1b i iz
aα′− − + −
= = =
2iα حيث )وبالتالي فإن مجموعة حلول المعادلة . ∆′ المربعين للعدد العقدي ينأحد الجذر هو = )E هي : 1,1 4S i= +.
3 : لدينا ) 2 3 1 cos sin 1,2 2 2 6 6 6
i i iπ π π+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ .
] : لدينا , موافر عالقة حسب ] [ ]12 12
123 1, 1 ,12 1,2 1,0 12 6 6
i π π π⎛ ⎞+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = × = = =⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
و : نضع ) 32( )
( ) lnu x xv x x′⎧ =
⎨=⎩
و : إذن
31( )31( )
u x x
v xx
⎧ =⎪⎪⎨⎪ ′ =⎪⎩
.
uو vدالتين متصلتين وقابلتين لإلشتقاق على المجال [ ]1,eو u v و′ ] دالتين متصلتين على المجال′ ]1,e . لدينا , حسب المكاملة باألجزاء :
[ ]2 3 2 3 3
11 1 1 111
1 1 1 1ln( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ln( )3 3 3 9
eee e e e ex x dx u x v x dx u x v x u x v x dx x x x dx e x⎡ ⎤′ ′ ⎡ ⎤= = − = − = − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫
: وبالتالي فإن 3
2
1
2 1ln( )9
e ex x dx +=∫
1t: نضع ) 4 x= ): إذن , − ) ( 1) 1122 1 1
x dxdt x dx dxx x
′−′= − = =− −
2 إذن 1
dxdtx
=−
21x :لدينا و. t= و +
2 1x t= ⇔ 4 و = 3x t= ⇔ = . )1x x ] معرفة من − ]2, ,1 نحو4 3⎡ ⎤⎣ ] وقابلة لإلشتقاق على⎦ ]2, 4. (
: نحصل على , حسب المكاملة بتغيير المتغير
[ ] ( ) ( )( )4 3 32 12 1
2 2 tan( ) 2 tan 3 tan 1 21 3 4 61
dx dt Arc t Arc Arctx x
π π π⎛ ⎞= = = − = − =⎜ ⎟+− ⎝ ⎠∫ ∫
:1التمرين
):لدينا) 1 ) ( ) ( )2 22: 1 1 2S x y z− + + − )؛ إذن= )Sفلكة مرآزها ( )1,0,1Ω2 وشعاعهاR )ولدينا , = ) : 3 0P x y+ − =
) و المستوىΩ وبما أن المسافة بين النقطة )Pتحقق ما يلي : ( )( )2 2 2
1 0 3 2, 221 1 0
d P R+ −
Ω = = = =+ +
,
) فإن المستوى )P للفلكةمماس( )S .
) لدينا)2 )1,1,0Pnمتجهة منظمية على المستوى ( )P , إذنPnموجهة للمستقيم ( )وى والعمودي على المستΩ المار من∆( )P.
) ومنه تمثيل بارامتري للمستقيم : هو ∆(1
/1
xyz
αα α
= +⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩
)نعتبر . ), ,H x y zنقطة تماس الفلكة ( )Sو المستوى ( )P.
): لدينا ) ( )H P∈ ∆ 1 ؛ إذن ∩ 3 0 1α α α+ + − = ⇒ : ومنه فإن =1 1 211
xyz
= + =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
): ؛ وبالتالي فإن )2,1,1H.
الثانية بكالوريا علوم تجريبية الدورة العادية 10 / 06 / 2005 ا تصحيح اإلمتحان الوطني ثانالموحد
: الصندوق :التمرين الثاني
3 7B B B N N N N N N N
pا آرتين من الصندوق ؛ إذن األمر يتعلق بالتأليفات لكرتين والرمز المستعمل نسحب عشوائيا وتآني) 1nC.
A " : ؛"الكرتان المسحوبتان لونهما أسود ) NN .( B ": ؛ "من بين الكرتين المسحوبتين توجد على األقل آرة لونها أبيض)BNأو BB(
): هو A إحتمال الحدث )272
10
Cp AC
: ولدينا =2
2 77
7 6 212! 1 2AC ×
= = =×
و 2
2 1010
10 9 452! 1 2
AC ×= = =
×):ومنه . ) 21 7
45 15p A = =
): هوB إحتمال الحدث )1 1 23 7 3
210
3 7 3 3 8 845 45 15
C C Cp BC
× + × + ×= = = )سحب آرة بيضاء وآرة سوداء أو سحب آرتين بيضاوين ( =
B 3 :شجرة اإلمكانيات) 210
B 3 19 3=
3 6
B B B N N N N N N N. 710
N 6 29 3=
C ": إحتمال الحدث " . الحصول على آرة بيضاء في السحبة األولىC هو : ( )13110
310
Cp CC
= =.
D ": إحتمال الحدث " . الحصول على آرة بيضاءD : : هو D ؛ ومنه فإن احتمال الحدث Ω يكونان تجزيئا للفضاءC وC ؛ إذنΩ واتحادهما حدثان غير منسجمانC وC لدينا
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C Cp D p C p D p C p D p D C p C p D p C p C p D= × + × = + × = + ×∩
): وبما أن ) 310
p C ) و = ) ( ) 3 71 110 10
p C p C= − = − ) و = )1319
3 19 3C
Cp DC
= = : فإن =
( ) 3 7 1 9 7 16 810 10 3 30 30 15
p D += + × = = =
[ :المسألة [ ( )0, ( ) 1 ln( ); ( ) 2 ln( )x g x x x h x x x x∀ ∈ +∞ = − − = + −
:الجزء األول
[ليكن ) أ) 1 [0,x ∈ ) : لدينا , ∞+ ) 1 1( ) 1 ln( ) 1 xg x x xx x
−′′ = − − = − =.
)1: ولدينا ) 0 0 1 0 1xg x x xx−′ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ [ على المجالgجدول تغيرات الدالة . = [0,+∞ :
[ متصلة وتناقصية قطعا على المجالg لدينا –) ب [ ؛ إذن0,1[ ]( ) [ [
00,1 (1), lim ( ) 0,
xg g g x
+→
⎡ ⎡= = +∞⎢ ⎢⎣ ⎣[ و ]0,1 : ( ) 0x g x∀ ∈ ≥.
] متصلة وتزايدية قطعا على المجالg ولدينا- ]إذن ؛∞+,1] [( ) [ [1, (1), lim ( ) 0,x
g g g x→+∞
⎡ ⎡+∞ = = +∞⎣ : ومنه فإن ⎣
[ [1, : ( ) 0x g x∀ ∈ +∞ [: وبالتالي فإن . ≤ [0, : ( ) 0x g x∀ ∈ +∞ ≥
[باستعمال المجالين المفتوحين ( [ و 0,1] [: ؛ يمكن أن نبين أن ∞+,1] [ ] [0,1 1, : ( ) 0x g x∀ ∈ +∞ >∪(
[ليكن) أ) 2 [0,x ∈ ): لدينا . ∞+ ) ( 2) ln( ) 1 1 ln( ) ( 1) ln( ) 1 ( ) ( 1) ln( )h x x x x x x x x g x x x= + − = + − − + − = + + −
[ليكن) ب [0,x ∈ ] :لدينا . ∞+ [ 1 1 01, ( 1) ln( ) 0
ln( ) 0 ln( ) 0x x
x x xx x≥ − ≥⎧ ⎧
∈ +∞ ⇒ ⇒ ⇒ − ≥⎨ ⎨≥ ≥⎩ ⎩
] ] 0 1 1 00,1 ( 1) ln( ) 0
ln( ) 0 ln( ) 0x x
x x xx x< ≤ − ≤⎧ ⎧
∈ ⇒ ⇒ ⇒ − ≥⎨ ⎨≤ ≤⎩ ⎩
[: وبالتالي فإن [0, : ( 1) ln( ) 0x x x∀ ∈ +∞ − ≥
[ليكن) 3 [0,x ∈ ): لدينا . ∞+ 1) ln( ) 0x x− ) ب ؛ و – 2حسب , ≤ ) 0g x :إذن . ب – 1حسب , ≤
( ) 1 ( ) ( 1) ln( ) 1 0h x g x x x= + + − ≥ [ : خالصة . < [0, : ( ) 0x h x∀ ∈ +∞ >
[ : الجزء الثاني [ ( )20, : ( ) 1 ln( ) ln( )x f x x x x∀ ∈ +∞ = + −
): لدينا ) أ) 1 )2
0 0lim ( ) lim 1 ln( ) lnx x
f x x x x+ +→ →
= + − = ؛ ألن ∞−0
lim ln 0x
x x+→
و =0
lim lnx
x+→
= −∞.
) : تأويل هندسي )C 0 معادلته مقاربا عموديا يقبلx =.
): لدينا ) ب )2 lnlim ( ) lim 1 ln( ) ln lim 1 ln 1x x x
xf x x x x x xx→+∞ →+∞ →+∞
⎛ ⎞= + − = + − = +∞⎜ ⎟⎝ ⎠
lnlim: ؛ألن 0x
xx→+∞
=
lim و lnx
x x→+∞
= ): ولدينا . ∞+ )21 ln( ) ln( ) 1 lnlim lim lim ln 1x x x
x x xf x xxx x x x→+∞ →+∞ →+∞
+ − ⎛ ⎞= = + − = +∞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
) : تأويل هندسي )Cإتجاهه محور األراتيب , ∞+ يقبل فرعا شلجميا بجوار.
[يكنل) أ) 2 [0,x ∈ ) :لدينا . ∞+ )( )2 1 1( ) 1 ln ln ln 2 lnf x x x x x x xx x
′′ = + − = + × − × ×
ln ln 2ln ( 2) ln ( )ln 1 2 x x x x x x x x h xxx x x x
+ − + −= + − = = =
[ :خالصة [ ( )0, : ( ) h xx f xx
′∀ ∈ +∞ =
[: من الجزء األول ؛ لدينا ) 3(ل حسب السؤا) ب [ ( )0, : ( ) 0h xx f xx
′∀ ∈ +∞ = [ تزايدية قطعا على المجالfإذن . < [0,+∞.
) معادلة المماس) أ)3 ) للمنحنى∆( )C(1,1) في النقطةA (1): هي( 1) (1)y f x f′= − ) أي + 1) 1y x= − y يعني + x=.
[ليكن) ب [0,x ∈ ): لدينا . ∞+ ) ( ) ( )2 2( ) 1 ln ln 1 ln ln 1f x x x x x x x x x− = + − − = − + −
( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 ln 1 ln ln 1 ln 1 1 ln ln 1 ( )x x x x x x x x g x= − + + − = − − − = −
: لدينا ln 1
( ) 0( ) 0 1x x e
f x xg x x
= =⎧ ⎧− = ⇔ ⇔⎨ ⎨= =⎩ ⎩
): إذن . )Cو ( ) و A يتقاطعان في النقطتين∆( , )B e e.
)إشارة , ب 3 حسب )f x x− هي إشارةln 1x [: وبما أن . − [ ln 1 ln 1 00, :
0 ln 1 ln 1 0x e x x
xx e x x
≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≥⎧∀ ∈ +∞ ⎨ < ≤ ⇒ ≤ ⇒ − ≤⎩
]: فإن [, : ( ) 0x e f x x∀ ∈ +∞ − ≥ ⇐ ( )C يوجد فوق ( ] على المجال ∆( [,e +∞.
[ : و ]0, , ( ) 0x e f x x∀ ∈ − ≤ ⇐( )C يوجد تحت ( [ على المجال ∆( ]0,e.
)إنشاء المنحنى) 4 )C:
0 :الجزء الثالث
1 ( ) ;n n
u eu f u n+
⎧ =⎪⎨
= ∈⎪⎩
0nمن أجل ) 1 0uلدينا , = e= , 01: إذن u e< nليكن . > 1نفترض أن , ∋ nu e< 11 ونبين أن > nu e+< ؟>1 بما أن nu e< ] تزايدية قطعا على المجالf وأن> ]1,e (1): ؛ فإن ( ) ( )nf f u f e< 11: أي > nu e+< <.
:: لدينا , حسب مبدأ الترجع 1 nn u e∀ ∈ < <.
[: نعلم أن ) 2 [1, : ( ) 0x e f x x∀ ∈ − <) II – 3 وأن ) ج: 1 nn u e∀ ∈ < ): ؛ إذن > ): 0n nn f u u∀ ∈ − <
:1: أي 0n nn u u+∀ ∈ − )وهذا يعني أن . > )n nu
∈ . متتالية تناقصية
[) i(لدينا ) 3 [: 1,nn u e∀ ∈ ] متصلة على المجالii(f( و ∋ ]1,e و )iii ([ ]( ) [ ]1, 1,f e e= و )iv( ( )n nu
∈ متتالية تناقصية
) ؛ إذن1 ومصغورة بالعدد )n nu
∈): بحيث l متقاربة نهايتها )f l l= . ولدينا :
l e= أو ( )( ) ( ) 0 ln 1 ( ) 0 1f l l f l l l g l l= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ) ج – 3 ب و - II 3أنظر (=
:0: وبما أن 0 nn n u u e∀ ∈ ≥ ⇒ ≤ 0l ؛ فإن = u e≤ 1l: وبالتالي فإن . = = . lim 1nnu
→+∞=
.یتكون ھذا الموضوع من أسئلة مستقلة فیما بینھا و ثالث تمارین و مسألة-.لبرمجةیسمح باستعمال اآللة الحاسبة غیر القابلة ل-
)أربع نقط(:أسئلة '''06: حل المعادلة التفاضلیة ) 1 yyy.)1ن(
اكتب على الشكل المثلثي العدد ) 2i
iZ
1
)ن1(.31
:باستعمال مكاملة باألجزاء، بین أن ) 3 20
12
1ln.
dxxCosxCos.)1ن(
نذكر أن ( xCosxSin 22 1(
: نضع ) 4n
n nu
3nn: المجموع nاحسب بداللة. IN*من nلكل 1 uuuS )ن1(.21...
)نقطتان(:التمرین األول في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ،نعتبر المستوى P 01الذي معادلتھ zxو الفلكةS التي مركزھا
0,0,1 2و شعاعھاr.بین أن)1 PوS یتقاطعان وفق دائرة .)0.5ن(حدد مركز و شعاع الدائرة )2 .)1.5ن(
)نقطتان و نصف(:مرین الثاني تالاكتب على الشكل الجبري العدد العقدي )1 21 i.)0.25ن(: المعادلة Cحل في)2 0632122 iziz.)0.75ن(النقطتیندينعتبر في المستوى العق)3 iA و3 iB 2.
حدد ثم أنشئ Dمجموعة zM النقط بحیثiziz )ن1.5(.23
)ثالث نقط و نصف(:التمرین الثالث .یمكن التمییز بینھا باللمسیحتوي كیس على أربع كرات بیضاء و كرتین سوداوین ال
)ن0.5(ما ھو احتمال الحصول على كرة بیضاء؟. نسحب عشوائیا كرة واحدة من الكیس)1)ن1(ما ھو احتمال الحصول على كرة بیضاء مرتین بالضبط؟. كرات من الكیس5نسحب عشوائیا بالتتابع و بإحالل )2.ة من الكیسكرnنسحب عشوائیا بالتتابع و بإحالل )3
كرة بیضاء على األقل ھو بین أن احتمال الحصول على -أn
p
3)ن1(.11
نأخذ .(999.0pما ھو العدد األدنى من السحبات التي من أجلھا - ب 48,03log حیثlog ھو اللوغاریثم)ن1().العشري
)ثمان نقط(:مسألة المعرفة على المجالfنعتبر الدالة العددیة 2,0 بما یلي :
x
xxf
2lnو لیكن fCحنى الممثل المن
.في معلم متعامد ممنظم fللدالةاحسب -أ)1 xf
x 0lim و xf
x 2lim.)1ن(
بین أن - ت xxxf
2من xلكل '2 2,0.)0.75ن(
)نf.)0.5أعط جدول تغیرات الدالة - ثبین أن النقطة -أ)2 0,1Aمركز تماثل المنحنى fC.)0.5ن(
اكتب معادلة دیكارتیة للمماس - ب D للمنحنى fC في النقطة 0,1A.)0.5ن(نضع ) 3 xxfx لكلx من 2,0.
0بین أن -أ23
0و
47
). نأخذ 1,13ln 94,17وln ()0.5ن(
المعادلة استنتج أن - ب xxf تقبل حال بحیث47
23
ن0.75(.و أول النتیجة مبیانیا(
)ن0.5(.1fتقبل دالة عكسیة fبین أن الدالة -أ) 4
بین أن - ب x
x
e
exf
1)نIR.)0.5من xلكل 21
أنشئ في نفس المعلم المنحنى ) 5 fC و المنحنى 1fC 1الممثل للدالةf.)1ن(
احسب -أ) 6
0 1dx
e
ex
x
)ن0.5(.
احسب مساحة الحیز المحصور بین المنحیین - ب fCو 1fCن1(.و محوري المعلم(
:أسئلة 062: المعادلة الممیزة ھي ) 1 rr ،2532 12 rوr.
لة التفاضلیة ھي حلول المعاد xx eeyحیثIR 232, .
2 (
3,231
4,21
127,2
iوiZ.
نضع ) 3 xCosxuxCos
xSinxu
1ln1
'
xCosxvxSinxv '
إذن
20
220
20 1
1ln.1ln.
dxxCos
xSinxCosxSindxxCosxCos
12
10 20
20
xSinxdxxCos
:مالحظة )4 nuعبارة عن مجموع متتالیتین، إحداھما حسابیة nvn و األخرى ھندسیة
n
nw31.
لدینا إذن n
n nS
31...
31
31
31...321
32
23111
311
311
31
21
nn
nnnn
:للتمرین األوا1 ( rPdPوS
2
211
.یتقاطعان وفق دائرة,
على المستوى المسقط العمودي للنقطةHمركز الدائرة ھو) 2 P
لیكن المستقیم المار من والعمودي على P إذن ، 1,0,1 nالمنظمیة على Pموجھة ل .
H ھي تقاطع و Pمثلوث إحداثیاتھا ھو حل النظمة ، :
01
01
011
zx
tz
y
tx
tt
و منھ 1tإذن 1,0,0H.
222شعاع الدائرة ھو drR.
:التمرین الثاني1( ii 21 2 .: نحسب الممیز المختصر) 2 22 126321' iiii
izإذن 31 وiz 22.izizBMAMلدینا ) 3 23.
إذن Dقطمجموعة النM ھي واسط القطعة AB.iyxzنضع :طریقة تحلیلیة . إذن 2222 12323 yxyxiziz
01 yx
إذن Dمجموعة النقطM ھي المستقیم الذي معادلتھ 01: yxD
:التمرین الثالث ، إذن "الحصول على كرة بیضاء: "الحدث Aلیكن)1
64
Ap.
، "الحصول على كرة بیضاء مرتین بالضبط:" الحدث Bلیكن)2 24340
31
32 32
25
CBp.
"داءكرة سوnالحصول على :" C،إذن " الحصول على كرة بیضاء على األقل:"الحدث Cلیكن-أ)3
nn
CpCp
31
3احتمال سحب كرة سوداء ھو . (11
31.(
999.0999.0لدینا - ب311001.0
31
pnn
310log31log
n
33log.n
25.63log
3n
.7إذن ، العدد األدنى من السحبات ھو
:مسألة -أ)1
0
2limlim
00 x
xxf و
x
xxf
2limlim
22.
من xلكل - ب 2,0لدینا : xxx
x
xx
xx
x
xf
222
22
2
2' 2
'
: تغیراتجدول ال- ج
:تذكیر -أ)2 baA لمنحنى مركز تماثل ل, ff CxfbxafوDxa 222نبین أن xfxf 2 :202202 xxDx f
و xfx
xxf
2ln2 إذن 1,1Aمركز تماثل للمنحنى.
معادلة - ب D ھي : 111' fxfy و 21' f إذن ، : 22: xyD.
-أ) 3 04.0233ln
23
و 019.0
477ln
47
.
متصلة على الدالة - ب
47,
20و ) فرق دالتین متصلتین(3
47.
23
إذن حسب مبرھنة القیمة الوسیطیة ،
من فإنھ یوجد على األقل عدد
47,
2حیث 3 0 أي f.
المنحنى : التأویل المبیاني fC یقطع المستقیم ذو المعادلةxy )في النقطة ) المنصف األول ,I.
دالة متصلة وتزایدیة قطعا على المجال f-أ)3 2,01ھي تقبل دالة عكسیةإذن فf.تفابل من f- ب)4 2,0 نحوIR و yfxxfyyIRx 12,0,.
y
yx
2ln
y
ye x
2yyee xx 2
x
x
e
ey
12
: إذن x
x
e
exfIRx
12, 1
:المنحنى 5)
لدینا -أ) 6 x
x
x
xx
x
x
e
e
e
eedx
e
e
1
11
1ln1
'
00
2ln1ln e
لدینا :بداللة eنحسب f یعني
2ln
یعني
e2
إذن
221 e
: و بالتالي
2ln10
dxe
ex
x
.
ة الحیز المحصور بین المنحیین مساحSلتكن - ب fCو 1fCو محوري المعلم.
: إذن
0
12 dxxxfS)بوحدة قیاس المساحات(
002
14 dxxdx
e
ex
x
22ln4
:طریقة ثانیة
10
1 dxxfdxxfS.
: لدینا 2ln2
0
1 dxxf .نحسب dxxf
1:باستعمال مكاملة باألجزاء
نضع x
xxu
xxxu
2ln
22'.
1' xvxxv.
: إذن dxxx
xxdxxf
11
1 22
2ln
2ln22ln2
2ln 2
1x) ألن
f
2ln(
: و منھ 22ln4 S)بوحدة قیاس المساحات.(
) :2006(
:––
:3 :7
0.75
0.75
0.5.
0.75
1
0.25
1
1
0.5
0.75
0.25
: ) (
1 ( :y '' 6y ' 9y 02( :3x(E) : y '' 6y ' 9y 2e
-uIR :2 3xu(x) x e(E).
-(E).
: ) (
C:2z 2 3(1 i)z 8i 0
1z2z1 2Re(z ) Re(z )
1 ( 1z2z . ) :2(1 i) 2i (
2 ( -:21z 4( 3 i)12z iz.
-4( 3 i).
-1z2z.
3 ( (o;u;v)
AB1z2z.
2
1
zarg( )z
OAB.
: ) (
(O,i, j,k)A(1, 1,3)
(P) :x y 3z 0.
1 ( -:x ty t (t IR)z 3t
(OA).
-(Q)A.
-(P)(Q).
2 ( (S)(Q)A(P)
O33.
0.75
1.25
0.5
0.75
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.75
0.5
0.25
0.5
0.25
1
1.25
0.25
0.25
-(a,b,c)(S)(OA)b ac 3a.
- :2 2A O 33a b 3c 11.
-(S)2 11.
: ) 10(
I(g0, :g(x) ln(1 x) x.
1 (–g '(x)x0,g0,.
– :g(x) 0x0,.
2 ( :0 ln(1 x) xx0,.
II (fx :x 1f (x) x lnx 1
(C)f(O,i, j). ) 1cm (
1 ( f : D , 1 1,.
2 ( -f.
-xlim f (x)
x 1x 1limf (x)
3 ( – :2
2
x 3x D f '(x)x 1
-f1,.
4 ( -( )y x(C).
-x 1lnx 1
) :x 1 2x D 1x 1 x 1
(
-(C)( ).
5 ( (C)(O,i, j) ) 3 1,7f ( 3) 3 (
6 ( - :4
2
x 1ln dx 5ln5 6ln3x 1
) (
–2cm(C)
:x 2x 4y x.
III (n n 2(u ) :nu f (n) nnIN * 1
1 (–n
2u ln 1n 1
nIN * 1.
0.75
0.5
0.5
-n n 2(u ).
2 ( -n
20 un 1
nIN * 1 . ) I ( 2( (
-:nxlim u.
eme SC EXP2
–2006
:- 1 -
: )(1 ( :" '6 9 0y y y21 : 6 9 0r r
26 4 9 0.
:0
63
2r:
3 2: / ,xy x Ax B e A B.0,75
2 (- :2 3: xu x x e:' 2 3
" 2 3
3 2:
9 12 2
x
x
u x x x ex
u x x x e
:" ' 2 2 2 36 9 9 12 2 6 3 2 9 xu x u x u x x x x x x e
:" ' 36 9 2 xu x u x u x e2 3: xu x x e :0,75
" ' 3: 6 9 2 xE y y y e.
-E :2 3 2: / ,xz x x Ax B e A B0,5
: )(
1 (2 2 3 1 8 0z i z i:2' 3 1 8 2i i i
: 2' 1 i:
1 3 1 3 1z i2 3 1 3 1z i . 0,75
2 (- :2
2
1 3 1 3 1z i2 2 2
23 1 3 1 2 3 1 4 3 4 4 3i i i
:2
1 4 3z i
2 3 1 3 1 3 1 3 1z i i i
:2 1z i z . )1(
- :3 1
3 2 2 cos sin2 2 6 6
i i i
:4 3 8,6
i . )0,25(
- :2
1 4 3 8,6
z i :1 8, 2 2,12 12
z
2 1 1, 2 2, 2 2,2 12 2 12
z i z
:2
52 2,
12z . )1(
3 ( :22 1
1
arg arg arg 2z z zz
:2
1
5arg 2
12 12
zz
: 2
1
arg 23
zz
.
:2
1
, arg 2zOA OBz
:, 23
OA OB
:2 1 2 2z z :2 2OB OAOAB . )1(
eme SC EXP2
–2006
:- 2 -
: )(
1 (-OA,O OA :
0 1
0 1 /
0 3
x ty t tz t
:: /
3
x tOA y t t
z t . )0,5(
- :Q OAQOA:
, , . 0M x y z Q AM OA1 1 3 3 0
3 11 0
x y zx y z
:: 3 11 0Q x y z )0,75(
(1, 1,3nPQ ://P Q.
)0,25(2 (-QSA :A Q
:OA Q ://OA A :OA A
:OA.
:, , /
3
a ta b c OA t b t
c t:b a3c a . ) 0,75(
-QS ) r A(
O33 :2 2 2OA O A :2 233 O A )33OAA(
:2 2 33A O.
:2 2 22 2 2 2 21 1 3A O a b c a b c
:2 2 2 1 2 1 6 9A O a b c :2 2 33 2 1 2 1 6 9 33A O a b c
:2 2 6 22 0a b c :3 11a b c ) 1,25(
- :3 11
3
a b cb ac a
:
11 11
3
ab ac a
:1,1, 3 . )0,5(
: )10(-Ig0, :ln 1g x x x.
1 (- :'''0, : ln 1x g x x x
'1
11
11
1
1
xx
xx
x :' 0g xx0,g
0, . )0,75(
-g0,:
0, : 0x g x g0 ln1 0g
:0, : 0x g x .
)0,25(
eme SC EXP2
–2006
:- 3 -
2 (g0,:0, : 0x g x g
:0, : 0x g x
0 ln 1g x x x.
:0, :1 1x x :ln 1 ln1 0x
ln0,.
:0, : 0 ln 1x x x . )0,5(
-IIf :1
ln1
xf x xx
.
1 (Df:1 0
1 1 0 , 1 1,10
1
xx D x x xx
x :, 1 1,D . )0,5(
2(-f0:1 1
: ln ln1 1
x xx D f x x xx x
:1 1
: ln ln1 1
x xx Dx x
:x D f x f x.
f . )0,5(
- :1 1
lim 1 lim ln ln1 01 1x x
x xx x
:lim limx x
f x x.
:1 1
1 2lim lim
1 1x x
xx x
:1
1lim ln
1x
xx
:1 1
1lim 1 lim ln
1x x
xf xx
. ) 0,5(
3 (- :
'
''
2
1 11
1 1 11: 1
1 11
1
xxxx D f x x
x xxx
:' 21
1 1f x
x x
:2 2
'
2 2
1 2 3:
1 1
x xx D f xx x
. )0,75(
- :'
2
3 3:
1
x xx D f x
x :'1, : 3x sg f x sg xf
3,1, 3 . ) 0,5(
4 (- :1
lim lim ln 01x x
xf x xx
:1 1
lim 1 lim ln ln1 01 1x x
x xx x
.
y xC . )0,25(
- :1 2
: 11 1
xx Dx x
:
11, : 1
1
xxx
1, 1 : 1
1
xxx
:
11, : ln ln1 0
1
xxx
1, 1 : ln ln1 0
1
xxx
)0,5(
eme SC EXP2
–2006
:- 4 -
:12 : n nn u u2n n
u. ) 0,75(
2 (-I (2 (:2 2
2 : 0 ln 11 1
nn n
)2
1x
n(
:2
2 : 01
nn un
. )0,5(
-2n n
u:
22 : 0
1nn u
n2
lim 01n n
:lim 0nnu.
)0,5(
-:, 1 :x f x x1, :x f x x
, 1C1,
C . )0,25(
6 (- :'
1ln
1
1
xu xx
v x :
'
2
2
1u x
xv x x
:4
4 4
22 22
1 1 2ln ln
1 1 1
x x xdx x dxx x x
4
2
2
1ln ln 1
1
xx xx
)1,25(
:4
2
1 5ln 4ln ln 15 3ln 3 5ln 5 6ln 3
1 3
x dxx
.
-C2x4xy x
:4 4
2
2 2
1ln 5ln 5 6ln 3
1
xf x x dx dx cmx
. )0,5(
-III2n n
u :2 : nn u f n n.
1 (- :1
2 : ln1
nnn un
1 1 2 21
1 1 1
n nn n n
:2
2 : ln 11
nn un
. )0,25(
- :2 2
2 :1
nn n
:2 2
2 :1 1 1
nn n
:2 2
1 11 1 1n n
2 2ln 1 ln 1
1 1 1n n
5 (C : )1(
eme SC EXP2
–2006
:- 5 -
rg- ,J.-.-, is!-.-n
;-+.-r.tJ a--..+.+.j.JJ arjt,*--I-:+ .-r---t--.--lJlt
rt---".-.-J.^Ji ié-rJl,
r.râ!! éJ! jrs^!
C: RS22
Fl,a'-'
'95js!f rrjrJl ,J$Jt 6Lj,.:t(2006:,+$6-tl irriD
e*J'rj
Él+lril ;6,tt 'rl
4jrlrll pt'll -i4,-Yl 4J+J+$l eJùtll -ir+JÉll p-ÈJl :(r),,. - Irt
' t ! : ; i -ea,(;ac') s-5iJl ;- i . ]" l . f/(a à.c)r5l -= jo.ts
0,75
n rsô 5
( i+.âll .qlill Jir i.;.,Iâll Âltl Jud-,ti e-.+ )
( lij eùt3 ) cl.rtl cr-y.;lt
8 (1 . - l . l ) tA \1 .2 . - 2 ) L i r l (O . , . . 1 . k ) J " j . i + . r L - i - - L ' i . . L - J l . : F i J l ' r ' À \ l # -É - i
.c \2, t , -2) :
. ,ts n AC a+rl .:.,rrl,- j ";
.': -l it I 0,,. (ABC) , .s - i * l l < I :É . iJ . r t - - , r - r x+y+z- l=0 : û i ! x -+ , iO,S
1. R= t: Lp',''-ir O(l,l,l) t";S_r él islilt (S) jlSX(2
.(s) r (rBC) o,L.i:.Ln 11
. a 2 + b 2 , r '
êçr -J èJJ:. r, p: (S) âsliii c.jÈr- (ABC) é j,-Àt ii .x -i I t,ZS
( Ëj l,i: ) ,rrtl:t +;*ilt21l \ o . n - l s , " - . ,= iu , r - -u , 1 u ,= l Juo -0 , éLr i i ' ' l r ( i l , ) 4JEr ,J _É ' j
w ,=5" t r , r r ,=u , . , - !u , : N rFn l$Jc .à j
. 12 ilY+i., *6t É I C.t r+-.ja (v,) aJtii"lr ;i .,i 11' ' 5
.5 k-Li +rr..L..r(w, ) 4J1ËJt jl û* -l (2-
.r i iJ)+ r, l . dn.r l f z i lJ+ u,, , , i (r - . , ,
. N ' . . r r Js l 0 < u , . , S?r " : ; l ; - i 13)
. r imrz, - . . , . . . - tÉ ru' ;n -JSr 0< , ,=(?)- ' . i ie in-,- . , lo. t t
t.r":J'l!
Â,-l, 'aill ' d*Jl -L- 'rill ' nLll
4.,"lJjll eJ*!l -4,!..Y1
ffilcRSrr-l
Uu["sr! r!.ll e.ilrl ùLr!.f l(2006 :4Ér.,li-Il 6JrJl) d.l!ÉlrJlll ;5rL-Jl
( !!i Éùti ) ÉJÉlr c,.,.J'.:ll
1,'', sas ç;É-+; t 3 É-rl1 ...)L.-:;É!+:2 p ji cL; r-:.ri-!rti è)i : .:,li+ 5 -l'U, ..ré +r".t
( _*l:;3r+Jl Jlc j-#' j+ Y ) -vr' r... _É+ ;.L;+;,1!rll è)3 : -:,1!+ 5 -lc
L/') J"Jnl (j|^4É+ n:'t;;l o3; !Él ;. .'-.'É1+J;.J-;J ar'r .r,Sll ù.;-blj A-!+ Ul:È.,*
. L./r -pgsl J LJ*JI ilJl 4L-:1 ç; Jl 3s-.!t 9t 4 eL;'
. i.FJr cl r.aJt ._._,G 'tJl :rc çyr-a çrlr ;l *Ji +iJl X ùsJl
. f *Jl *iJl 'iiiJl JU1-l ;rrt6:r: (l
. Jf ;l q.:Jl )I,i-il ç;lr)Jl J.Yl !"!,.'l (2
(JeÂj ôYj ) çt;Ir a.,;irtr
z2 +22 ,r7.+i =0 : il:Lll C 4trbil rj:cyt 4- +.+- j .,,:,..,.am(,2, ) >0 . i , ,J- , i l rL l l
" ra*H r , , z i ç j - ; ' r
. ( ( l - i ) ' - . -2 i i ' L .Y ) z , .e z , r : - (1: l-it\l (O.t,n)iL* J;:^. :.L.-- ,J^^ *Ll +.-i"tr (5ri,.lr |9 ;Jl ç.! J$ (2
v - v -; - r 9 - - I ! - - - + I
t l r _i jrlr *L'#L-Ji ,)t ld, .e M, j I) .e ,4
l.' 1... o.]j:;r J<.'.!r -t - ! * 1^1 i *t.lJ' .::Jl . '',<t -i- 2
: L ; t l r ! - i i é I l t ' I tMr l i . i . i . i t . ; . ^ r , o a 11 1ÀU,=On u i . r . . . i j i - - . :.M1s | 11 , s I J : A
.arg( : , ) = lLpo1Ji J i r * AoBM t - , i
: ; . r - r - :
t t '
0,75
r )<
I ..à è.ll
4-.,,+J+l f3-.,l -4p;J.à:ll aJl'll.Çt1,lt p3,:'.tt -igo:l
F*t-ril
%|E;R34I
t JJLqll ll'J,^11 çjlrl èli!.fl
2006 :1É!rr:-f l 6r.rJl) d!\ÉtjJlll : à:t--ll
!i.; 6uJ ) a-ti..,.
() : f , " -2; t"+ y = .r -1 : <,Jr. : . l r Ç;u;1i T: l ' - i1 É.- i ( i
. ,r. " 2 .v ' -,r' .. 0 : i.J;tùlt il:L-lt ,-!- (1
- .i,;, : -r ) a x -tb : 1Fi .-1. (I) il:!'Jl l,-ti )-- 'r1i -i (2
'(I') il:'--tt rul JJI l.cl -','
' r ' (0)=1 r /1(0)-0 : -qi- ç:Jt ( f ) ! - l : r* i l f i .$ i : : - r -g
.g (x )= (x - l )e ' + r+ l : êL+ [0 .+ "o [ J '+11 . J l . r j l l g â i l i i l JÉ ' j ( 3
" [O . r * [ . . , j ' L ^ ] " s lq r i ga j l : J r ; i e rn " t Ê [o , i - [ J . r r JSJ 8 ' ( x ) ç - , -1 - l
. ( s t0)=0: ; i ! .y ) [0 , - "c [ ù* - r Js g(x)>O : ù i i * - . , ,xe'
, / ( . r )= . . ;(É , ' - t )
. (o . i .i ) +t- -r,&.& ./ ./
.i ir',i\t orÀ U!+- -lri j ( lim '
;l = t
. ( i ' r e 1Â ' l t r ) - t
: r i i = \ ) ' r j , r r r . 51 UU* " i r i 61 i i n r / 1 . r t =0 : " ; i - + . =c . ( 1 -e
' ) -
. ](- l ,+ "o[ i , .. r JsJ / '(x)..-; ;L.f,s(x) : ; i ir]r - i (3
f " - IJ
. ]0,+*[ .rb f aiJl irt *n Jr\r lci -,r
.., (('l i,;l1 (4
: . r i ! - ï ) | . . ; , J t=2 tn2 - l n3 : ; i J r lY - i ( 5J ) t \ r _ t )
f."l , rï )cl" = l' ,!--- ttt : ,.1\ ;* r=e' ê;rp-?J l n 2 J : ( t _ l ) .
f t lnr ' l
J, -f (û = Iin2 ilnI ' ji J# "lj+Y!
al.K" JL"'i! -i (6
r,.alJ:L- .;:lll ir;+i!Jl3 .J.!.aLàYl J e\^J (C) rj-J, ;s+ ;,9.-=Ji g; n-*.ll ;, 4-1,* ejn-t -. ,
. ( l n3= l , l 3 l n =0 ,7 : : i L ) x - l n3 r - r= l n2 : ; l é l . L
, é L"i /R'slê ;-À Jl / 4+j,ll illil JÉ,j (ll
ÂllJl JÀJl ,r--,Jl rÀ ((') _t
.L:;s iJl.: /Ci .x (l
ai rsi ) hq/'-r) , . .-t -i (2
0,750,250,2.50,5
4,75
0,25
0.5
0,75
0,75
0,5
0.5
0,s
0,5
\
0,25
, l! (
_ _' r ( r -1 ) r - l r
06 يوليوز االستدراكية الدورة امتحان تصحيح : التمرين االول
AB,0): لدينا -أ) 1 AC,1) و (3,3− AB(3,3,3): اذن . −(1,0 AC∧ 0.5
AB: لدينا - ب AC∧( ) ABC متجهة منظمية على المستوى
( , , ) ( ) .( ) 03.( 1) 3.( 2) 3.( 2) 03.( 1) 0
M x y z ABC AM AB ACx y zx y z
∈ ⇔ ∧ =
: اذن
⇔ − + − + + =⇔ + + − =
)وبالتالي معادلة ديكارتية للمستوى )ABC 1: هي 0x y z+ + − = 0.5
) الى المستوى Ω(1,1,1)كز مسافة المر-أ) 2 )ABCهي :1 1 1 1 21² 1² 1² 3
d+ + −
= =+ +
d R=( )
ABC( )S المس: ومنه إذن H. 0.5 في نقطة مماس للفلكة توى :
) مع المستقيم )HΩهذه النقطة هي تقاطع المستوى ذو تمتيل برامتري( )ABC :
11 ( )1
x ty t t IRz t
= +⎧⎪ = + ∈⎨⎪ = +⎩
111
1 0
x ty tz tx y z
= +⎧⎪ = +⎪⎨ = +⎪⎪
: النظمة بحل
+ + − =⎩
: نجد 2
3t −=
1 1 1( , , )3 3 3
H 0.75 اذن :
) لتكن - ب , , )M a b c( )ABC. نقطة من المستوى
: إذنلدينا 1 0
2( , )3
a b c
d M
+ + − =⎧⎪⎨ Ω ≥⎪⎩
:إذن 1 0
4( 1)² ( 1)² ( 1)²3
a b c
a b c
+ + − =⎧⎪⎨
− + − + − ≥⎪⎩
: أي
1
² ² ² 2(
a b c
a b c
+ + =⎧⎪⎨ 4) 3
3a b c+ + −⎪⎩+ + + ≥
: أي 1
4² ² ² 2 33
a b c
a b c
+ + =⎧⎪⎨
+ + − + ≥⎪⎩
: وبالتالي1² ² ²3
a b c+ + ≥ 0.75
:التمرين الثاني
: لدينا من لكل ) 1 nIN1 2 1 1 1
1 1
1 2 1 1. ( . . ) .5 5 25 5
1 1 1 1. . .( . )5 25 5 5 n
n n n n n n
n n n
v u u u u u
u u u u
+ + + + +
+ +
= − = − −
= − = −
1: اذن 1 .5n nv v+ =
) متتالية هندسية أساسها :وبالتالي )nv15
q 0: وحدها األول= 1 01 . 15
u= − =
:
v u 0.5
إذن1: ( )5
nnn IN v∀ ∈ = 0.25
1 : لديناnIN من لكل -أ) 2 1 11 1
1 15 . 5 .( . ) 5 . 5 .5 5
n n n nn n n n nnw u v u u+ + ++ += = + = +
1 5n nw w+ = +
): متتالية حسابية أساسها وبالتالي: إذن )nw5r =0 0w : وحدها األول 0.25 =
): لدينا-ب : 5. )nn IN w n∀ ∈ ): إذن 0.25 = : )5
nn n
wn IN u∀ ∈ =
1 : أي
5.*:5 5n n n
n nn IN u −∀ ∈ = = 0.25
: إذن .5: لدينا من لكل - أ)3 n*IN0n1*: 0nn IN u +∀ ∈ 0.25
1: نا n*IN لدي من ولكل 2 1 2. 1.5 5 5 5n n n n n
n n nu u+
+ −− = − : ن= 1إذ
2 . 05n nu u+ − ≤
:
1وبالتالي2*: 0 .5n nn IN u u+∀ ∈ ≤≺ 0.5
: لدينا: من أجل - ب 1=1 n1u 0 : نإذ =1
20 ( )5
u ≤≺
*n IN
.∋ لنفرض أن الخاصية محققة من أجل
1) لدينا حسب أ20 .5n nu u+ 12: لذن≻≥ 2 20 . .( )
5 5 5n
n nu u1−
: إذن ≻+ ≤ ≤120 (5
nnu + ≤≺
n
)
+1: الخاصية محققة بالنسبة ل إذن
12*: 0 ( )5
nnn IN u +∀ ∈ ≤≺ 0.5 : وبالتالي
12lim ( ) 05
n
n
−
→+∞= بما أن
25
− ≺ ≺1 ) حسب مصاديق التقاربإذن : فان 1 nu: متقاربة (
lim 0nnu
→+∞= 0.25 : و
: التمرين الثالث
أو بيدقة أو 0 يمكن الحصول على إذن U نسحب كرتين في آن واحد من الكيس فإننا 2يدقة تخمل الرقم سحبنا بإذا .تين لونها أحمربيدق
2
2 أو 0 على يمكن الحصولإذن Uبيدقات في آن واحد من الكيس 3 نسحب فإننا 3 سحبنا بيدقة تحمل الرقم إذاو . بيدقة أو بيدقتين لونها أحمر
: ومنه2 أو 1 أو 0: هي X القيم التي يأخذها المتغير العشوائي إذن ( ) 0,1,2X Ω = 0.5
]: الحدث * ]0X =1
2
Uمن الكيس 2أي نسحب بيدقة تحمل الرقم " ل على أية كرة حمراءنحص ال:" هو الحدث 1 3 ونسحب U من الكيس 3 نسحب بيدقة تحمل الرقم أو Uونسحب بيدقتين بيضاوين في أن واحد من الكيس
U. 2واحد من الكيس في أن ء بيضابيدقات
: إذن2 3
3 32 3
5 5
3 2 3 3 2 1[ 0] . . . .5 5 5 10 5 10 50
C Cp XC C
= = + = + =
:]X
11 0.75
]لكي يتحقق الح* 1 وسحب بيدقة حمراء وبيدقة بيضاء من U من 2 يجب سحب بيدقة تحمل الرقم =دث
U 1
2
12 : إذن U من ) بيدقة حمراء وبيدقتين بيضاء ( وسحب U من 3سحب بيدقة تحمل الرقم أو
1 1 2 13 2 3 2
2 35 5
. .3 2 3 6 2 6 3[ 1] . . . .5 5 5 10 5 10 50 5
C C C Cp XC C
0 3= = + = + = = 0.75
]: لكي يتحقق الحدث * ]2X 12 أو U وسحب بيدقتين حمراوين من U من 2جب سحب بيدقة تحمل الرقم ي=
12 : إذن U من ) وبيدقة بيضاءحمراوينبيدقتين ( وسحب U من 3سحب بيدقة تحمل الرقم 2 12
2 322 3
5 5
.3 2 3 1 2 3[ 2] . . . .5 5 5 10 5 10 50
C CCp XC C
= = + = + =9
0.75
: هو Xجدول قانون احتمال المتغير العشوائي : تالي وبال2 1 0 ( )a X∈ Ω
950
1150
[ ] 3050
p X a=
: هوXاألمل الرياضي للمتغير العشوائي ) 211 30 9 48 24( ) 0. 1. 2.50 50 50 50 25
E X = + + = =
: أي24( )25
E X = 0.25
:التمرين الرابع
4: ة هومميز المعادل )1 0.25 4(1 ) 4i i∆ = − + = −
).2: اذن 2 ) 2.(1 )² ( 2 .(1 ))²i i i∆ == − = − = 1).2 هو ∆ المربعة ل الجذور احد إذن . − )iδ = −
1: والحلول هي 2 2.
2z (1 )i− − −2 و =
2 2.(1 )2
iz − + −=1Im( ) 0z ): ألن (
1: وبالتالي 2 21 .
2 2z i= − − 2 و 0.25 +
2 21 .2 2
z i= − + − 0.25
: لدينا - أ )22 2 . cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
2 2 4 4 4 4i i iπ π π ππ π− + = − + = − + −
: اذن2 2 3 3 3. cos( ) sin( ) 1,
2 2 4 4 4i iπ π π⎡ ⎤− + = + = ⎢ ⎥⎣ ⎦
0.5
Mz يرمز للحق النقطة M. ب -
: لدينا 1
2 2 2 21 . 1 .2 2 2 2M A Bz z i i z z− = − − + + = − + = −
1
O
AM : إذن O= B 0.25
1 2 2 12 2
M MA
z zz
+ −= = − ] القطعة هي منتصف A: فان = ]1 2M M
1
: بما أن 0.25
AM : أن بما - ج OB=AOBM1OA= =AOBM
: OB متوازي أضالع وبما أن : فان 0.5 . معين: فان
]: لدينا ]1 1 1 13 34( , ) ( , ) ( , ) 24 2 4 8
e OM e OB OB OM
ππ π π π≡ + ≡ + = +
] : إذن ]7 281 1( , )e OM ]: اذن.≡ ]1
7 28
Argz π π≡ π π 0.5
مسألةI- ":المعادلة المميزة للمعادلة التفاضلية ) 1 2 'y y 0y− + =:² 2 1 0r r− + =1r =
:: ( ) xax b e+
:وهي تقبل حال مزدوجا هي 0.25 yب حلول المعادلة التفاضلية هي الدوال المعرفة إذن x 0.5 . حيث ( , ) ²a b IR∈
0: ( '( )x IR y x a 0: لدينا-أ) 2 "( ) 0)y x ∀ و = ∈ =
0 0 0: "( ) 2 '( ) ( ) : إذن
x IR y x y x y x x 1∀ ∈ − + = 0y حل للمعادلة التفاضلية ⇔ −: 2 1x IR a ax b x ∀ ∈ − + + = − ⇔ ab=⎧
⎨ =⎩
12 1
ab a=⎧
⎨ − = −⎩⇔ ⇔
11
0 : إذن : 1y x x ) حل خاص للمعادلة التفاضلية + )E. 0.25 y : المعرفة ب الدوالهي للمعادلة التفاضلية ة العامول الحل-ب
: ( ) xax b e x+ + + ( , ) ²a b IR 1y x 0.25 ∋:حيث
: لدينا -ج( ) ( ) 1
:'( ) ( ) 1
x
x
h x ax b e xx IR
h x ax a b e
⎧ = + + +⎪∀ ∈ ⎨= + + +⎪⎩
: اذن(0) 0 1 0 1 1'(0) 1 1 1 1
h b b ah a b b a b
= ⇔ + = ⇔ = − =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= ⇔ + + = ⇔ = − = −⎩ ⎩
:: ( ) ( 1) 1x
xوبالتالي IR h x x e x∀ ∈ = − + + 0.5
:: لدينا - أ )3 '( ) ( 1) 1x xx IR g x e x e∀ ∈ = + − +
: '( ) 1xx IR g x xe
∀: إذن ∈ = + 0.5
: ]بما أن [0, : 1 0xx xe+∞ +g[ [0,+∞ ∀ على 0.25 قطعا تزايدية دالة فان ∋
]على g]على قطعا دالة تزايدية g بما أن -ب [0,+∞ [0,+∞(0)g هي القيمة الدنوية للدالة : فان
[ [0, : ( ) (0)x g x g∀ ∈ +∞ : إذن ≤
(0) : أنوبما 0g ]: فان= [0, : ( ) 0x g x∀ ∈ +∞ ≥. 0.25
IIx* x* لدينا IR من لكل ) 1 - IR− : و ∋
2
( ) .1 1( 1)² ( 1)² ( 1)²( 1)² ( )²
x xx x
xx x
x x
x xxe x e xee ef x
ee ee e
−
−
x
x xe e
−−
− = = = − = − −−− −−
*: ( ) ( )
−
x: اذن IR f x f x∀ ∈ − f 0.5 فردية دالة وبالتالي−=
: لدينا - أ )20 0 0 0
². 1lim ( ) lim lim lim .1( 1)² .( 1)² ( )²
x x x
xx xx x x x
xe x e ef xee x e x
x
+ + + +→ → → →= = = = +∞
−− −
0x
05
0.25 مقارب للمنحنى =اذن المستقيم ذو معادلة
0lim
x
x
ex+→= +∞ : ألن
0lim
x
x
e+→
1 1x−
و =
-ب1lim ( ) lim lim . 0
.(1 )² (1 )²x x x xx x x
x xf xe e e e− −→+∞ →+∞ →+∞
= = =− −
0.25
lim: ألن x
x
ex→+∞= lim و ∞+ (1 )² 1x
xe−
→+∞− =0y = 0.25 مقارب للمنحنى اذن المستقيم ذو معادلة .
: لدينا - أ )32 2
4
( )( 1)² 2 ( 1) ( 1)[( 1)( ) 2*: ' )( 1)
x x x x x x x x x
x
e xe e xe e e e e xe xex IR f xe
+ − − − − − + −∀ ∈ = =
−
x
2 2 2
3 3
2 1.( 1) ( 1)
x x x x x x xx
x x
e xe e xe xe e xe xee e
+ − − − − − −= =
− −
.
3*: '( ) . ( )( 1)
x
x
ex IR f x g xe
∀ ∈ = −−
0.75 : إذن
[: على المجال -ب [+∞ :1 0xe − 0'( ) 0f x ≺ جدول : وبالتالي: إذن و و لدينا,0
0.5 : تغيرات هو كالتالي
0xe( )g x
+∞ 0 x - f’(x)
+∞ 0
f(x)
f : 0.5منحنى الدالة )4
Cf
] : لدينا -أ) 5 ]3 3
3
22 2
1 1 1( ) ln( 1) ln( 1) 1
dt dt t tt t t t
= −=−−− −∫ ∫
0.5 2ln 2 ln 3− = 3
2
1 2 1ln( ) ln( ) ln( ) ln 2 ln 3 ln 23 2
tt−⎡ ⎤= = − =−+⎢ ⎥⎣ ⎦
x=x t
t: نضع - ب e إذن :ln= و 1dx dtt
و =.ln( )
( 1)²t tf xt
=−
2 l3 l
x tx t= ⇒=⎧
⎨ = ⇒=⎩
: ولدينا n 2n 3
:إذن ln3 3
ln 2 2
.ln 1 ln( ) .( 1)² ( 1)²t t tf x dx dt dt t t
= =− −∫ ∫∫ t 0.5
1'( )
1( )1
u tt
v tt
⎧ =⎪⎪⎨ −⎪ =⎪ −⎩
: نضع -أ) 6( )
'( )
u t
v t
=⎧⎪⎨ =⎪⎩
ln1
( 1)²
t
t − و
: إذن 33 3
22 2
ln ln 1( 1)² 1 ( 1)
t tdt dtt t t t
− −⎡ ⎤= −⎢ ⎥− −⎣ ⎦∫ ∫
−
ln 3 ln 2 2ln 2 ln 32
−= ++−
3
2
ln 33ln 2 ln 3( 1)² 2
t dtt
= −−∫ 0.5 : إذن
]f موجبة ومتصلة على المجال بما أن الدالة -ب ]2,3ln3
ln 2
( )A f x= ∫ dx: ي المساحة المطلوبة ه: فان
33ln 2 ln 32
A = − 0.45أي . بوحدة المساحة : ساحة هي المإذن .A u a= 0.5
تا اآ
ان ا ا آر
) )2007اورة اد
:ة ا*ز ا'ع ا'&ت: ادة
+ :ا , ام ارا2&+ ام ا*& + ام ا*& ا/.& ) : ة(ا-
ا78
1 2
C :NS22
3
7
)* ل ا? ا< =& ا>;>; A6(
) ن3 ( :ا3 ا/ول
ا ء ا ب إ( , , , )o i j k
ه (S)ا د : اx2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z + 8 = 0 ى # ه (P) و ا .x – y + 2z + 1 = 0 : ا %ي د
1( ) ه ا (S) /0.-, ان آ( ا )1,2,3Ω 1وي .6 أن 32
ى )2 6078(P) , أن ا .(S) س ?د 8<-= .را 1-أ )3 .(P) و ا دي 2 Ω ا ر , (∆)0-
.(S) و(P) 0/ 8س ω ?د <ث إ?اA-ت -ب
Bن3 ( :ا3 ا (
D ا Cي ا د ا 0ي -أ) 1E 2( 2i – 3) أآF 2 ا z2 – 2(4 + i )z + 10 + 20i = 0: ا د 2C D?ℂ ا2Gاد ا 10 - ب
2 (3 ى ا 0ي ا ب إ ا( ), ,O u v H0 2 C وB و AاI7 أ ا
ا ه . c = 5 + 9i وb = 7 – i وa = 1 + 3i : ا
c: .-, أن -أ ai
b a
− =−
K أن ا <J -بLا ABC .وي ا I-, و MI ا (او1
)2,5 ( :3 اCB ا
: 6078 , ان )12 1
11 1
xx
x x= − +
+ + D x , 1− −ℝ.
: .-, أن )222
0ln3
1
xdx
x=
+∫.
ل .OG(اء ، .-, أن )3L. :2
0
3ln( 1) ln3
2x x dx+ =∫
1 0,75 0,5 0,75 0,5 1 0,5 1 0,5 1 1
ان ا ا آر ) )2007اورة اد
ا'ع
ا78
2 2
:ادة ا'&ت
ام + ام ا*& ا/.& م ارا2&ا+ ا*&
, )ة(ا-C :NS22
2,5
0,75 0,5
0,5
0,25
1,5
0,75
0,5
0,5 0,75
0,25
1
0,5 0,5
0,75
D;2,5( :ا3 اا(
1 و 1 و1 و -1 و0 و0 و710ي آ-2 R I -. QLت D78 ا2Gاد ) R --( .-, ا - Iت . 1, ا U.(
- C. ا ا :R- .E2 F7اM- و Vن وا? A=ث .- Iت , ا
- , اG?اث ا : A " : د ". , .-, ا - Iت ا <=A ا O8 U0 .7 أD78 I-. 1 اB " : X أ2ادا D78 تI -. ث=A F7L > >. " C " : Gع اCم7. ".2اد ا C 2 ا - Iت ا <=A ا
,-A7 2 ه A C .-, أن ا?ل ا 7ث C وAا?F ا?ل آD , ا
7
E6: ) 9ن ( I( 1د ا ا اg 2 ): . 1 ℝ ا ) 1xg x e x−= + −.
1 ( F?اg ‘(x) D x , ℝ أن KLا A g 2 118(ا [ [0,+∞ 2 -[I8 و] ],0−∞.
).-, أن ) 2 ) 0g x ≥ D x , ℝ ) أن \?Ug(0) = 0 ( أن KLا A 1xe x− + ≥ D x , ℝ.
II ( 1د ا ا اf 0-07 [- ا x 1 . ) : ا )x
xf x
x e−=+
,- ا (C) و D> f ا 7 ا ( , , )o i j
. ل -C ا _ال ( ℝ ه f ?-( 81^ ا ا .-, أن) 1Lا ,1I(2. ( (
: .-, أن –أ ) 21
( )1
1x
f x
xe
=+
D x , *ℝ
lim: .-, أن – ب ( ) 0x
f x→−∞
lim و = ( ) 1x
f x→+∞
= ,-C- .A أول هL- ه8-, ا
: .-, أن –أ ) 3 ( )2
(1 )'( )
x
x
x ef x
x e
−
−
+==+
D x , ℝ.
.O Qb A fول 8[-ات ا ا f ‘(x) ادرس إ3رة - ب . أDd ا O ا 0/ (C) اآF د ا س 7 -أ) 4
): 6078 , أن - ب )( )
( ) 1
xg xx f x
g x− =
+ D x , ℝ ادرس إ3رة A ( )x f x− 2 ℝ.
7 - ج K ا Qb اLا (C) -0 # ه (∆) و ا .y = x: ا %ي د
5 ( gEو(∆)أ (C) ) ا , , )o i j
) %hi10,6
1 e−
−≃.(
III ( 1د - ا ا)Un( 1 . Un+1 = f ( Un ) D وU0 = 1 ا n , ℕ. QO أن )1 . ,-. 0 1nU≤ ≤ D n , ℕ 2 (- ل -C ا _ال ( (Un) -[I8.-, أن اLا ,1II(4(ب.( K أن ) 3 Lا(Un)10ر. A ?د .
االمتحان الوطني تصحيح الموحد للبكالوريا
الرياضيات: المادة
ساعات3: مدة االنجاز 2007 الدورة العادية 7: المعامل شعبة العلوم التجريبية
:التمرين األول ) المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم Eنعتبر في الفضاء ), , ,O i j k:
) الفلكة ) 2 2 2: 2 4 6 8 0S x y z x y z+ + − − − + =
) و المستوى ) : 2 1 0x y z− + + =P
: بما أن . 1
( ) ( ) ( )
2 2
22 2
2 2 2
2
2
1
2 4 6 8 0 2 1
2
1 4 4 4 6 9 9 8 0
3 6
y yx z x y z x x y
x
z z
y z
+
− +
+ + − − − + = ⇔ − + − − + − + − +
− + −
=
⇔ =
− +
): فإن )S فلكة مرآزها ( )1,2,3Ω 6 وشعاعهاR =.
): لدينا . 2 )( ) ( )( )22 2
1 2 2 3 1 6, 661 1 2
d R− + × +
Ω = = = =+ − +
P . إذن( )Pمماس للفلكة ( )S .
) لدينا -أ. 3 ) والعمودي على المستوىΩ هو المستقيم المار من النقطة∆( )P ولدينا ( )1, 1,2n متجهة −
) منظمية على المستوى )Pيم فهي موجهة للمستق( )، ومنه نستنتج تمثيال بارامتريا للمستقيم∆( )∆
: آما يلي
12 /3 2
x ty t tz t
⎧⎪⎨⎪⎩
= += − ∈= +
) لتكن - ب ), ,x y zωنقطة تماس آل من ( )P و ( )S . لدينا :( )ω∈ P و ( )Sω∈ . إذن:
12 /3 2
x ty t tz t
⎧⎪⎨⎪⎩
= += − ∈= +
2 و 1 0x y z− + + : ، ومنه فإن =
( ) ( )1 2 2 3 2 1 0
1
6 6 0t t t
t
t+ − − + + + = ⇔
= −⇔
+ =
: وعليه فإن
031
xyz
⎧⎪⎨⎪⎩
===
): ، وبالتالي فإن )0,3,1ω.
:التمرين الثاني
): لدينا -أ. 1 )23 2 9 12 4 5 12i ii− = − − = −.
): المعادلة نعتبر في المجموعة - ب ) ( )2: 2 4 10 20 0E z i z i− + + + =.
) المميز المختصر المعادلة )E هو :
( )( ) ( ) ( )2 224 1 10 20 16 8 1 10 20 5 1 32 2b ac i i i i i i∆ = − = − + − × + = + − − = − = −−′ ′
) إذن للمعادلة )E 1: حلين هما4 3 2 7
1i iz i+ + −= = 2 و −
4 3 2 1 31
i iz i+ − += = +
) وبالتالي فإن مجموعة حلول المعادلة )E هي : 1 3 , 7S i i= + −.
)في المستوى العقدي. 2 )Pالمنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ومباشر ( ), ,O u v نعتبر النقط ، A و B
1: لحاقها على التوالي هي التي أC و 3a i= 7b و + i= 5 و − 9c i= +.
: لدينا - أ( ) ( )( ) ( )
( )5 9 1 3 6 45 9 1 3 4 67 1 3 6 4 6 47 1 3
i i i ic a i i ib a i i i ii i
i+ − + −− + − − += = = = =
− − − − − −− − +.
ic: لدينا - ب ab a− =−
1AC :إذن . iAB
c ab a == − =−
AB: و منه فإن AC=.
: ولدينا
( )( )
( )
, arg
arg 2
, 22
2c aAB ACb a
i
AB AC
ππ π
π⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
−≡−
≡
≡
,1ألن 2i π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
.A مثلث متساوي الساقين وقائم الزاوية فيABCوبالتالي فإن . =
:التمرين الثالث ليكن . 1 1x ∈ − : ، لدينا −
( )( )2 2 2 1 11 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1x xx x x xx x x x x x x− +− + −= = + = + = − +
+ + + + + + +
: لدينا . 222 22 2
0 00
11 ln 1 ln31 1 2
x xdx x dx x xx x
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
= − + = − + + =+ +∫ ∫.
: نضع . 3( )
( ) ( )ln 1u x x
v x x=′
= +: إذن .
( )
( ) ( )
2
1 11 1
2xx x
xu x
v x′+=
+ +
=
=′
.
⎡0,2 متصلتين وقابلتين لالشتقاق على المجال v وu: لدينا ⎤⎣ u: ولدينا⎦ v و′ ⎤0,2 متصلتين على المجال′ ⎡⎦ ⎣.
: حسب تقنية المكاملة باألجزاء ، لدينا
( ) ( )22 22 2
0 00
3 ln1 1ln 1 ln 1 2ln3 ln32 2 1
322
x xx x dx x dxx
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
+ = + − = − =+∫ ∫
:التمرين الرابع :تحمل األعداد ) ال يمكن التمييز بينها باللمس ( يحتوي آيس على سبع بيدقات
:، نعتبر األحداث التالية نسحب عشوائيا وفي آن واحد ثالث بيدقات من الكيس
: Aمن بين البيدقات الثالثة المسحوبة 0 أية بيدقة تحمل العدد د ال توج : B سحب ثالث بيدقات تحمل أعدادا مختلفة مثنى مثنى : Cمسجلة على البيدقات الثالثة المسحوبة منعدم مجموع األعداد ال
: هي C وB وA احتماالت األحداث
( ) ( )( )
3437
435
Card A Cp ACard C
= = =Ω
( ) ( )( )
1 1 13 1 3
37
935
Card B C C Cp BCard C
× ×= = =Ω
( ) ( )( )
( )1 1 13 1 3
33
37
1035
27
C C CCCard Cp C
Card C+ × ×
== = =Ω
:مسألة
I .نعتبر الدالة العدديةg المعرفة بما يلي :( ): 1xx g x e x−∀ ∈ = + −.
xليكن. 1 ): ، لدينا ∋ ) ( )1 1x xg x e x e− −′ == + −′ − +.
( ) 0 1 010
0
x
x
g x ee
xx
−
−
= ⇔ − + =′⇔ =⇔ − =⇔ =
( )
0 01
1 00
x
x
x xe
eg x
−
−
≥ ⇒ − ≤⇒ ≤⇒ − + ≥⇒ ≥′
و
( )
0 01
1 00
x
x
x xe
eg x
−
−
≤ ⇒ − ≥⇒ ≥⇒ − + ≤⇒ ≤′
⎡,0 تزايدية على المجالg: إذن ⎡⎣ ⎤0, و تناقصية على المجال ∞+⎣ ⎤
⎦ ⎦−∞.
): لدينا . 2 ) 00 0 1 1 1 0g e= + − = − xليكن . = ⎡,0 تزايدية على المجالg ، لدينا ∋ ⎡⎣ و تناقصية ∞+⎣
⎤0, على المجال ⎤⎦ :إذن . ∞−⎦
( ) ( )( )
0 00
x g x gg x
≥ ⇒ ≥⇒ ≥
و ( ) ( )( )
0 00
x g x gg x
≤ ⇒ ≥⇒ ≥
): ومنه نستنتج أن ): 0x g x∀ ∈ :: أي . ≤ 1 0xx e x−∀ ∈ + − ≥.
:: وبالتالي فإن 1xx e x−∀ ∈ + ≥
II .لتكنfالدالة العددية للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي :( ) xxf x x e −=+
.
) وليكن )Cالمنحنى الممثل للدالة fفي المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ( ), ,O i j.
xليكن. 1 0x:، لدينا ∋fx x e −∈ ⇔ + ≠D وبما أن ، : 1xx e x−∀ ∈ + : ، فإن ≤
: 0xx e x−∀ ∈ + f: إذن . ≠ =D
x* ليكن-أ. 2 : ، لدينا ∋( ) ( )1 1
1 1 1 11
x
x x xx xx x
xe x x f xxe xe x ee xexe xe
−−= = = = =
+ + +++.
) - ب ) 1lim lim 110
x xx
f x
xe→−∞ →−∞
==+
lim: ، ألن 0xx
xe −→−∞
و =1lim xx xe→−∞
= −∞.
( ) 1lim lim 111
x xx
f x
xe→+∞ →+∞
==+
lim: ، ألن xx
xe→+∞
و =∞+1lim 0xx xe→+∞
=.
) نستنتج مما سبق أن المنحنى )C0، معادلته ∞− يقبل مقاربا أفقيا ، بجوارy ؛ ويقبل مقاربا أفقيا ،=
1y ، معادلته ∞+ بجوار =.
x ليكن -أ. 3 : ، لدينا ∋
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( ) ( )( )
2
2
2
2
..........
..........
..........
1
1
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x x e x x e
x e
x e x e
x e
x e x xex e
x e
x
f x x e
f xe
x
− −
−
− −
−
− −
−
−
−
−
′⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
′+ − +′
+
+ − −
+
+ − +
+
=′ +
=
=
=
=′+
+
) إشارة - ب )f x′هي إشارة على ( )1x : آما يلي على f ، ومنه نستنتج جدول تغيرات الدالة+
( ) 1 11 1 1f e e−− = =
− + −
)معادلة المماس -أ. 4 ) للمنحنى∆( )C في النقطة O هي :( )( ) ( )0 0 0y f x f= − +′.
): أي ) : y x∆ =.
x ليكن- ب ) : ، لدينا∋ ) 1xg x e x−= + ): ، إذن − ) 1 xg x e x−+ = : ، ومنه فإن +
( ) ( ) ( )( )
1111
x
x x x
x x e xg xxx f x x xx e x e x e g x
−
− − −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+ −− = − = − = =
+ + + +
)إشارة : إذن )f x x−هي إشارة على x.
: السؤال السابق ، لدينا حسب - جـ
( )C يوجد تحت المستقيم ( ⎡,0 على المجال ∆( ⎡⎣ ⎣+∞.
( )C يوجد فوق المستقيم ( ⎤0, على المجال ∆( ⎤⎦ ⎦−∞.
)إنشاء المنحنى. 5 )Cوالمستقيم ( ) في المعلم∆( ), ,O i j:
III.لتكن ( )n nu
∈ : المتتالية العددية المعرفة بما يلي
( )0
1
1;nn
uu f u n+
⎧⎪⎨⎪⎩
== ∈
0nمن أجل . 1 0 ، لدينا = 1u 00: ، إذن = 1u≤ ≤.
0 ، نفترض أن ∋n ليكن 1nu≤ 10 ونبين أن ≥ 1nu +≤ ≤.
0 لدينا 1nu≤ ⎡0,1 تزايدية على المجالfو ≥ ⎤⎣ ) ، إذن ⎦ ) ( ) ( )0 1nf f u f≤ ) وبما أن≥ )C يوجد تحت
) المستقيم ⎡0,1 على المجال ∆( ⎤⎣ ) ، فإن ⎦ )1 10 1nu f+ ≤≤ ≤.
:: وبالتالي فإن 0 1nn u∀ ∈ ≤ ≤
): ب ، لدينا .II.4حسب السؤال . 2 )0,1 : 0x x f x⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ − ): إذن . ≤ )0,1 : xx f x⎡ ⎤
⎣ ⎦∀ ∈ ≤.
:: وبما أن 0 1nn u∀ ∈ ≤ ): ، فإن ≥ ): n nn f u u∀ ∈ ≤ ،
:1 : ومنه فإن nnn u u+∀ ∈ ≤
) وبالتالي فإن )n nu∈
. متتالية تناقصية
)بما أن . 3 )n nu∈
. نهايتهاlلتكن. فإنها متقاربة 0 متتالية تناقصية ومصغورة بالعدد
: لدينا f0,1 دالة متصلة على المجال⎡ ⎤
⎣ ⎦.
( ) 10,1 : 0 xx f x⎡ ⎤⎣ ⎦ ≤∀ ∈ ≤ ): إذن . ≥ )0,1 0,1f ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⊂.
0,1: nn u ⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ ∈.
( )n nu∈
.l متقاربة نهايتها
): إذن )f l l= 0,1 وl ⎡ ⎤⎣ ⎦∈.
: ب ، لدينا .II.4 حسب السؤال
( )( )( )
0 00 00 0
x f x xx f x xx f x x
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
− > ⇔ >
− < ⇔ <
− = ⇔ =
0l: إذن . = .
lim : وبالتالي فإن 0nnu
→+∞=.
ت اآ ا
ا آ ر ان ا
)2007ا راآ اورة (
ع ا'ت: ادة ' : ة ا*ز ا
:ا,+ ا, م ارا3+ ا, م ا* + ا* ا01 ا, م) : ة(ا.,-
ا45
1 2
C :RS22
3
7
1
0,75 1
0,25 0,5
0,75 0,75
1 1
0,5
0,5 1
)* )<= 8 ,ل ا; ا : ا89 ) ن 3,5( ا? ا1ول
) نعتبر في الفضاء المنسوب الى معلم متعامد ممنظم , , , )o i j k
,2,0) النقط 1)A B(2,4,2) و −
) و الفلكة C(3,3,3)و )S 2: التي معادلتها الديكارتية هي 2 2 4 4 8 20 0x y z x y z+ + − − − + =
) هي النقطة (S)بين ان مركز الفلكة ) 1 )2,2,4Ω 2أن شعاعها يساوي و
)ليكن ) 2 )P المستوى المار من النقطةAو العمودي على المستقيم ( )BC. ) بين أن معادلة ديكارتية للمستوى )P 1: هي 0x y z− + − =
) بين أن المستوى –أ ) 3 )P يقطع الفلكة ( )S وفق دائرة ( )Γ 1 شعاعها يساوي. ) حدد تمثيال بارامتريا للمستقيم – ب ) و العمودي على Ω المار من ∆( )P. )مركز الدائرة ω حدد مثلوث احداثيات النقطة - ج )Γ.
) ن 2,5( ا@ ا?
).تمييز بين البيد قات باللمسال يمكن ال( يحتوي كيس على ثالث بيدقات بيضاء و أربع بيدقات سوداء .نسحب عشوائيا وفي آن واحد ثالث بيد قات من الكيس ما هو احتمال الحصول على بيدقتين بالضبط لونهمأبيض ؟ ) 1 ما هو احتمال الحصول على ثالث بيدقات من نفس اللون ؟ ) 2 ما هو احتمال الحصول على بيدقة بيضاء على األقل ؟ ) 3
) ن 3( ا@A ا?
) لتكن )nu 0: المتتالية المعرفة بما يلي 2u 1 و =
1( 4 1)
5n nu u n+ = − .ℕمن n لكل −
1nنضع nv u n= + .ℕمن nلكل −
)بين أن ) 1 )nv متتالية هندسية أساسها 1
5.
.n بداللة nv احسب –أ ) 2
lim ثم احسب n بداللة nu استنتج - ب nx
u→+∞
.
0نضع ) 3 1 ..............n nT v v v= + + 0 و + 1 .............n nS u u u= + + .ℕ عنصر من n حيث+
: بين أن 1 1
54 5n n
T = −
و أن ( 1)( 2)
2n n
n nS T
+ −= .ℕمن nلكل −
Prof : MISSOURI mohamed
ا آ ر ان ا )2007ةا راآ اور(
ع ' ا
ا45
2 2
:ادة ا'ت
ا, م + ا, م ا* ا01 ا, م ارا3+ ا*
)ة(ا.,-C :RS22
0,25
0,75
0,5
1
0,5 1
0,5
0,75
0,25
0,5
10,5
1,5 1
0,5
0,75 0,75
) ن 3(التمرين الرابع
)2 : ق من أنتحق )1 2 2 ) 2 4 2i i+ = − +.
2: المعادلة ℂحل في مجموعة األعداد العقدية )2 ( 2 2) 2 2 2 0z z i− + + + − =
1نعتبر العددين العقديين )3 1z i= 2 و − 1 2z i= + + .
.1z حدد الشكل المثلثي للعدد العقدي –أ
1: بين أن –ب 2 2. 2z z z= ) 2z 2 هو مرافق العددz. (
]: استنتج أن ]1 2arg( ) 2arg( ) 0 2z z π+ ≡
.2z حدد عمدة للعدد –ج
) ن8( مسألة
I( ن لتكg الدالة العددية المعرفة على ] : بما يلي ∞+,0]1
( ) 2lng x x xx
= − −.
بين أن )12
2
( 1)'( )
xg x
x
[ من xلكل =− [على g ثم استنتج منحى تغيرات الدالة ∞+,0] [0,+∞.
)بين أن )2 ) 0g x [ من x لكل ≥ )و أن 0,1[ ) 0g x ] من x لكل ≤ (1)ن الحظ أ( ∞+,1] 0g =. (
II( نعتبر الدالة العدديةf المعرفة على ] 21: بما يلي ∞+,0]( ) (ln ) 2f x x x
x= + − −.
) ليكن )C المنحنى الممثل للدالةfعامد ممنظم في معلم مت( , , )o i j
.
بين أن –أ )12(ln )
limx
x
x→+∞tيمكن وضع ( x= ( ثم احسبlim ( )
xf x
→+∞.
: تحقق من أن –ب 1
( ) ( )f f xx
[ من x لكل = [0,+∞.
احسب –ج 0
0
lim ( )xx
f x→≻
يمكن وضع ( 1
tx
.ثم أول النتيجة هندسيا ) =
) بين أن – د )Cهو المستقيم الذي معادلته هي يقبل فرعا شلجميا اتجاهه المقارب :y x=.
: بين أن) 2( )
'( )g x
f xx
[ من x لكل = .f، ثم ضع جدول تغيرات الدالة ∞+,0]
)أنشئ المنحنى ) 3 )C في المعلم( , , )o i j
.
:ة بين أن الدال-أ ) 4 lnG x x x− دالة أصلية للدالة : lng x x→ على ] [0,+∞.
2: باستعمال مكاملة باألجزاء ، بين أن - ب
1(ln ) 2
ex dx e= −∫.
) حدد مساحة حيز المستوى المحصور – ج )Cفاصيل و المستقيمين و محور األ
1x: اللذين معادلتاهما x و = e= .
الوطني الموحدموضوع االمتحانتصحيح للباكالوريا مادة الرياضيات
2007االستدراكيةالدورة
العلوم التجريبية األصيلة: الشعب العلوم التجريبية العلوم الزراعية
1
0,75 1
0,25
0,5
:ا اول )في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم , , , )o i j k
,2,0)النقط لدينا 1)A B(2,4,2) و −
) و الفلكة C(3,3,3)و )S 2: التي معادلتها الديكارتية هي 2 2 4 4 8 20 0x y z x y z+ + − − − + =
) هي النقطة (S)بين ان مركز الفلكة ن ) 1 )2,2,4Ω 2 أن شعاعها يساوي
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
( , , ) ( ) 4 4 8 20 0
( 4 ) ( 4 ) ( 8 ) 20 0
( 4 4) 4 ( 4 4) 4 ( 8 16) 16 20 0
( 2) (
M x y z S x y z x y z
x x y y z z
x x y y z z
x y
∀ ∈ ⇔ + + − − − + =⇔ − + − + − + =⇔ − + − + − + − + − + − + =⇔ − + − 2 2 22) ( 4) 2z+ − =
) هي النقطة (S)مركز الفلكة إذن )2,2,4Ω 2 و شعاعهاR=.
)بين أن معادلة ديكارتية للمستوى ن )2 )P 1: هي 0x y z− + − = ) معادلة المستوى )P 0تكتب على الشكلax by cz d+ + + ) حيث = , , )n a b c
. متجهة منظمية عليه
,1) إذن C(3,3,3)و B(2,4,2) لدينا 1,1)BC −
) لدينا المستوى )P عمودي على المستقيم (BC)1) إذن المتجهة, 1,1)BC −
) منظمية على )P ) ومنه فان معادلة )P 0هيx y z d− + + =
) لدينا المستوى )P 2,0)يمر من النقطة, 1)A 2إذن − 0 ( 1) 0d− + − + 1d أي = = − )معادلة ديكارتية للمستوى إذن )P1: ي ه 0x y z− + − =.
)بين أن المستوى ن – أ ) 3 )P يقطع الفلكة ( )S وفق دائرة ( )Γ 1 شعاعها يساوي.
)معادلة ديكارتية للمستوى لدينا )P 1: هي 0x y z− + − ) هي النقطة (S)مركز الفلكة و = )2,2,4Ω
لدينا 2 2 2
2 2 4 1 3( , ( )) 3
31 ( 1) 1d P
− + −Ω = = =
+ − + R = 2ولدينا
)بما أن , ( ))d P RΩ )المستوى إذن ≻ )P يقطع الفلكة ( )Sة وفق دائر( )Γشعاعها r حيث :
2 2 2 22 3 4 3 1r R d= − = − = − = ) للمستقيم احدد تمثيال بارا متري ن- ب ) و العمودي على Ω المار من ∆( )P. )معادلة ديكارتية للمستوى لدينا )P 1: هي 0x y z− + − ,1) إذن = 1,1)n −
. متجهة منظمية عليه)لدينا المستقيم )عمودي على ∆( )P 1)إذن, 1,1)n −
) مللمستقي موجهة )∆.
)متري للمستقيم راإذن التمثيل البا )المار من النقطة∆( )2,2,4Ω 1) و الموجه بالمتجهة, 1,1)n − : هو
2
2
4
x t
y t
z t
= + = − = +
)مركز الدائرة ωوث إحداثيات النقطة حدد مثلن - ج )Γ. ω مركز الدائرة( )Γ هي تقاطع( )و∆( )P.
( ) ( ) ( ) ( )
2
(1) : 1 0 (2) : y=2-t
4
P P و
x t
x y z و
z t
ω ω ω= ∆ ∩ ⇔ ∈ ∈ ∆
= +⇔ − + − = = +
ض )1( ) 2( :(2 ) (2 )(2 ) (2 ) (4 ) 1 0
1
t t t t t
t
+ − − + − − + + − == −
2007الدورة االستدراكية الوطني الموحد للباكالوريا مادة الرياضياتموضوع االمتحانتصحيح
0,75
0,75 1 1
0,5
0,5
نحصل على ) 2( في t = -1نعوض قيمة
2 ( 1) 1
2 ( 1) 3
4 ( 1) 3
x
y
z
= + − = = − − = = + − =
.ω(1,3,3) إذن
:ا ا ).ن البيد قات باللمسال يمكن التمييز بي( سوداء ت بيضاء و أربع بيد قات يحتوي كيس على ثالث بيد قا
.نسحب عشوائيا وفي آن واحد ثالث بيد قات من الكيس
3 لدينا 7( ) 35card CΩ = =
)أي "الحصول على بيدقتين بالضبط لونهما أبيض " Aالحدث ) 1 ), ,B B N
2 لدينا 13 4( ) 12card A C C= ⋅ إذن =
( ) 12( )
( ) 35
card Ap A
card= =
Ω
)اي ". من نفس اللون تالحصول على ثالث بيد قا " Bالحدث ) 2 ) ( ), , , أو ,B B B N N N
3 33 4( ) 1 4 5card B C C= + = + إذن =
( ) 5 1( )
( ) 35 7
card BP B
card= = =
Ω
"الحصول على بيدقة بيضاء على األقل " Cالحدث) 3
) الثالث المسحوبة سوداءتالبيد قا(يعني " عدم الحصول على أية بيدقة بيضاء "Cالحدث المضاد
3لدينا 4( ) 4card C C= : إذن =
( ) 4( )
( ) 35
card CP C
card= =
Ω : إذن
( ) 1 ( )
4 1
3531
35
p C p C= −
= −
=
:ا ا
) لتكن )nu 0: المتتالية المعرفة بما يلي 2u 1 و =
1( 4 1)
5n nu u n+ = − .ℕمن n لكل −
1nنضع nv u n= + .ℕ من nلكل −
)بين أن ن ) 1 )nv متتالية هندسية أساسها 1
5.
1 1: ( 1) 1
1 ( 4 1)
51
( 4 1 5)51
( 1)51
5
n n
n
n
n
n
n v u n
u n n
u n n
u n
v
+ +∀ ∈ = + + −
= − − +
= − − +
= + −
=
ℕ
) ادن )nvسية أساسها متتالية هند1
5q =
.n بداللة nvحسب ن–أ ) 2
)لدينا )nv متتالية هندسية أساسها 1
5q 0 وحدها األول = 0 0 1 2 1 1v u= + − = − 0إذن =
nnv v q= أي ⋅
1
5
n
nv =
2007الدورة االستدراكية الوطني الموحد للباكالوريا مادة الرياضياتموضوع االمتحانتصحيح
0,5 1
0,25
limب احس ثم n بداللة nuج ا استنت-ب nx
u→+∞
.
1nلدينا nv u n= + 1n إذن − nu v n= − ومنه فان . +1
15
n
nu n = − +
لدينا 1
1 15
− ≺ إذن ≻1
lim 05
n
x→+∞
=
)و لدينا )lim 1x
n→+∞
− + = limإذن ∞− nx
u→+∞
= −∞
3 ( 0 1 ..............n nT v v v= + + 0 و + 1 .............n nS u u u= + + +
: بين أن ن 1 1
54 5n n
T = −
0 1
1
0
1
1
1
1
..............
1
1
11
5 1
11
5
5 1 1
4 5
1 1 5 5
4 5
1 1 5 5
4 5
1 1 5
4 5
n n
n
n
n
n
n
n
T v v v
qv
q
+
+
+
+
+
= + + +
−= ⋅−
− = ⋅−
= −
= −
= − ⋅
= −
نبن أن ( 1)( 2)
2n n
n nS T
+ −= −
1nلدينا nu v n= − : اذن +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
0 1
0 1 2
0 1
.............
( 1) 0 1 ................ ( 1)
.............. ( 1) 0 1 2 ............. ( 1)
( 1) ( 1) 1
21 2
2
n n
n
n
n
n
S u u u
v v v v n
v v v n
n nT
n nT
= + + += − − + − + − + + − −
= + + + − − + + + + + −
− + − += −
+ −= −
: ا اا
: تحقق من أنن )12( 2 2 ) 2 4 2i i+ = − +
( )2 22( 2 2 ) 2 2 2 2 2
2 4 2 4
2 4 2
i i i
i
i
+ = + ⋅ +
= + −
= − +
2007الدورة االستدراكية الوطني الموحد للباكالوريا مادة الرياضياتموضوع االمتحانتصحيح
0,75
0,5 1
0,5 1
2: المعادلة ℂحل في مجموعة األعداد العقدية ن) 2 ( 2 2) 2 2 2 0z z i− + + + − =
لدينا مميز المعادلة هو
( ) ( )2
2
2 2 4 2 2 2
2 4 2 4 8 4 2 4 2
2 4 2
( 2 2 )
i
i
i
i
∆ = − + − + −
= + + − − +
= − +
= +
: إذن اد ه( )
1
2 2 2 21
2
iz i
+ − += = و −
( )2
2 2 2 22 1 2
2
iz i
+ + += = + +
1 العددين العقديين لدينا)3 1z i= 2 و − 1 2z i= + + .
.1zحدد الشكل المثلثي للعدد العقدي ن –أ
#$%1 1 2z i= − : إذن =
1
2 2z 1 2 2 cos sin 2 cos sin
2 2 4 4 4 4i i i i
π π π π = − = − = + = − + −
1: بين أن ن –ب 2 2. 2z z z= ) 2z 2 هو مرافق العددz. ( :لدينا
( ) ( )
( )
1 2
2
1 1 2
1 2 2 1
2 2 2
2 2 1
2
z z i i
i i i
i
i
z
⋅ = − + +
= + + − − +
= + −
= + −
=
] : ا)'#'ج ]1 2arg( ) 2arg( ) 0 2z z π+ ≡
#$%1 2 2. 2z z z= اذن :( ) ( )[ ]1 2 2arg . arg 2 2z z z π≡ أي ( ) ( )[ ]1 2 2arg( ) arg( ) arg 2 arg 2z z z π+ ≡ +
)و* أن ) ( )[ ]2 2arg arg 2z z π≡ ) و − ) [ ]arg 2 0 2π≡ ن [ ]1 2arg( ) 2arg( ) 0 2z z π+ ≡
2zحدد عمدة للعدد ن –ج
]لدينا ]1 2arg( ) 2arg( ) 0 2z z π+ ) و ≡ ) [ ]1arg 24
zπ π≡ ) إذن − ) [ ]2arg 2
8z
π π≡ −
:
I (لدينا g الدالة العددية المعرفة على ] : بما يلي ∞+,0]1
( ) 2 lng x x xx
= − −.
بين أن ن) 12
2
( 1)'( )
xg x
x
[ من x لكل =− [على gستنتج منحى تغيرات الدالة ثم ن∞+,0] [0,+∞.
2007ة االستدراكيةالدور الوطني الموحد للباكالوريا مادة الرياضياتموضوع االمتحانتصحيح
0,5
0,75
0,25
] [
( )
2
2
2
2
2
2
10, : '( ) 1 2ln
1 1 1 2
1 2
1
x g x xx
xx
x x
x
x
x
∀ ∈ +∞ = + −
= + − ⋅
+ −=
−=
[ من x لكل %$# [0,+∞ ( )21 0 x − 2 و ≤ 0x ≻.
[إذن [ ( )0, : ' 0x g x∀ ∈ +∞ [.-ا$%$ ا,ل g و*' ن ا%ا ≤ [0,+∞
[تزايدية على المجال g%$# ا%ا )2 [و 0/ ا,ل ∞+,0] إذن 0,1[
] ]0,1 0 1 ( ) (1)x x g x g∀ ∈ ⇒ ≤ ⇒ ≤≺
(1)* أن 0g ) ن = ) 0g x ≤ 1x 23 ا,ل ] ]0,1
]تزايدية على المجال g %$# ا%ا ] إذن ∞+,1] [1, 1 (1) ( )x x g g x∀ ∈ +∞ ⇒ ≤ ⇒ ≤
(1) بما أن 0g )ن = ) 0g x ≥ 1 x23 ا,ل [ [1,+∞
II( الدالة العددية f المعرفة على ] 21: بما يلي ∞+,0]( ) (ln ) 2f x x x
x= + − −
بين أن ن –أ )12(ln )
limx
x
x→+∞t يمكن وضع ( x= ( حسب ثم نlim ( )
xf x
→+∞
tنضع x= 2 إذنx t= عندما x → t فان ∞+ → +∞
لدينا( ) ( ) ( )
22 22 2
2 2
lnln 2ln ln4
tx t t
x t t t = = =
#$%ln
lim 0t
t
t→+∞إذن =
( )2 2ln lnlim lim 4 0x t
x t
x t→+∞ →+∞
= =
( ) ( ) ( )22
2
ln1 1 2ln 2 1
xf x x x x
x x x x
= + − − = + − −
لدينا ( )2
2
ln1 2lim lim و 0 lim و 0 0x x x
x
x xx→+∞ →+∞ →+∞= = ) إذن = )lim
xf x
→+∞= +∞
: تحقق من أن ن – ب 1
( ) ( )f f xx
[ من x لكل = [0,+∞.
[ من xلكل لدينا ∞+,0]
( )
( )
2
2
2
1 1 1 1ln 2
1
1 ln 2
1 ln 2
( )
fx x x
x
x xx
x xxf x
= + − −
= + − − −
= + − −
=
2007الدورة االستدراكية الوطني الموحد للباكالوريا مادة الرياضياتموضوع االمتحانتصحيح 0,5
0,5
1,5 1
حسب ن – ج 0
0
lim ( )xx
f x→≻
نضع 1
tx
0x إذن عندما = tفان →+ → و منه فان ∞+0 0
0 0
1lim ( ) lim lim ( )x x tx x
f x f f tx→ → →+∞
= = = +∞
≻ ≻
)إذن المنحنى )C 0يقبل مقاربا رأسي معادلتهx = )بين أن ن – -د )C يقبل فرعا شلجميا اتجاهه المقارب هو المستقيم الذي معادلته هي :y x=
)لدينا )limx
f x→+∞
= ) و∞+ ) ( )2
2
ln1 2lim lim 1 1x x
xf x
x x x→+∞ →+∞
= + − − =
( ) 21lim lim (ln ) 2x x
f x x xx→+∞ →+∞
− = − − = ) إذن ∞− )Cيقبل فرعا شلجميا اتجاهه المقارب هو المستقيم الذي معادلته
y: هي x=
: بين أن )2( )
'( )g x
f xx
[ من x لكل = [0,+∞
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
1' 1 2 ln ln '
1 1 1 2 ln
1 1 2 ln
f x x xx
xx x
x xx x
g x
x
= − −
= − − ⋅
= − −
=
)إشارة )'f xهي إشارة( )g x
f جدول تغيرات الدالة
0 1 +∞ x
- φφφφ + ( )'f x
+∞ +∞ 0
( )f x
ا##) 3
2007الدورة االستدراكية الوطني الموحد للباكالوريا مادة الرياضياتع االمتحانموضوتصحيح
0,5
0,75
0,75
:بين أن الدالة ن -أ ) 4 lnG x x x− دالة أصلية للدالة : lng x x→ على ] [0,+∞
لدينا
] [ ( ) ( )0, : ' ' ln ln ' 1
1 ln 1
ln 1 1
ln
x G x x x x x
x xx
x
x
∀ ∈ +∞ = + −
= + ⋅ −
= + −=
.gدالة أصلية للدالة G الدالة إذن
2: بين أن نباستعمال مكاملة باألجزاء ، - ب
1(ln ) 2
ex dx e= −∫
نضع ( ) ( )( )
2ln
' 1
u x x
v x
=
= إذن
( )
( )
ln' 2
xu x
xv x x
= =
إذن
( ) ( )
( )
( ) [ ]
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
22
1 11
2
11
2
11
2 2
lnln ln 2
ln 2 ln
ln 2 ln
ln 1 ln1 2 ln 1ln1 1
2
ee e
e e
e e
xx dx x x x dx
x
x x x dx
x x x x x
e e e e e
e
= − ⋅
= −
= − −
= − − − − −
= −
∫ ∫
∫
)مساحة حيز المستوى المحصور – ج )C 1: و محور األفاصيل و المستقيمين اللذين معادلتاهماx x و = e=
] دالة موجبة و متصلة على المجال f نا لدي ]1,eإذن المساحة المطلوبة هي
( )
( )
( )
2
1 1
2
1 1
2
1
2
2
1 (ln ) 2 dx
1 2 dx ln dx
ln 2 22
1 ln 2 ln1 2 2
2 2
12
e e
e e
e
A f x dx x xx
x xx
xx x e
ee e e
e
= = + − −
= + − −
= + − − −
= + − − + − − +
= + −
∫ ∫
∫ ∫
2
12 2 2
29
32 2
e e
ee
− + − +
= − +
إذن2 9
3 e2 2
eA = − بوحدة قياس المساحة +
KV„JR)’RcXT)‡„t)Kc„K‚R)’†KŠ‚„Kj)
KŠ‚„j†R)UKX„‚T„J)‡„u„J)’Rul))
a[†„J)r„J)ÉK[T†¤J)\[nT))
’aKu„J)‘ca„J)Kc„K‚R„„)2008))
c†T„Jhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)…¦J)ÉC))
راشمبو نعتبر في الفضاء المنسوب إللى معلم متعامد ممنظم ( ), , ,O i j k تين النقط( )0, 1,1A )و − )1, 1,0B −
والفلكة ( )S 2 :التي معادلتها 2 2 2 4 2 0y z x zx + + − − + = .
): لدینا . 1 ) ( ) 22 22 2 2 22 4 2 0 1 2 3y z x z x y zx + + − − + = − + + − =⇔.
)إذن )S فلكة مرآزها( )1,0,2Ω 3وشعاعهاR ): ولدینا . = )22 210 1 2 0 4 1 2 0−+ + − × − × + )، إذن = )A S∈ .
:لدینا . 21
10
OB⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
و −0
11
OA⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
:ومنه فإن ، −1 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 1OA OB i j k i j k
− −− + = + +
− −∧ =
): وبالتالي فإن )1,1,1OA OB∧.
): لدینا . 3 )1,1,1OA OB∧ ى المستوىلية عممتجهة منظ( )OAB .إذن معادلة المستوى( )OAB تكتب على شكل
0x y z d+ + + )، وبما أن = )O OAB∈ 0، فإنx y z+ + )معادلة دیكارتية للمستوىهي = )OAB.
)عن المستوى Aلنحسب مساقة النقطة )OAB : ( )( ) 2 2 2
1 0 2 3, 331 1 1
OAB Rd + +Ω = = = =
+ +.
)وعليه فإن المستوى )OAB مماس للفلكة( )S طة قفي النA على اعتبار أن ( )A S∈ و( )A OAB∈.
J„T†cÉ)J„VKhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)C))
2 : ةلداعملا ةعومجملا يف ربتعن .1 6 34 0z z− + ) : وه ةلداعملا هذه زيمم . = ) ( )2 23 1 34 9 34 25 5i− − × = − = − =∆ =. : امه نيقفارتم نيیدقع نيلح ةقباسلا ةلداعملل نإف يلاتلابو
( )1
3 51
3 5ib iza
i− − += =
′ ′− + −∆= و +( )
2
3 51
3 5ib iza
i− − −= =
′ ′− − −∆= −
: يه ةلداعملا لولح ةعومجم نإف يلاتلابو 3 5 , 3 5S i i= − +.
)رشابمو مظنمم دماعتم ملعم ىلإ بوسنملا يدقعلا ىوتسملا يف .2 )1 2, ,O e e، طقنلا ربتعنA وB وC يلاوتلا ىلع اهقاحلأ يتلا
3 5a i= 3 و + 5b i= 7 و − 3c i= ) ةطقنلا نكتل . + )M z′ ) ةطقنلا ةروص ′ )M z ةحازالابT ةهجتملا تاذu يتلا 4اهقحل 2i− . ) : انیدل -أ ) ( ) 4 2M T M MM u z z aff u z z i′ ′ ′= ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + −′
4 : نأ امبو 2 3 5 4 2 7 3a i i i i c+ − = + + − = + ) :نإف ، = )AC T= يأ C ةروص يه A ةحازالابT .
: انیدل -ب ( )2 4 23 5 7 3 4 8
3 5 7 3 4 2 4 22i ib c i i i
a c i i i ii− +− − − − − −= = = =
− + − − − + − +.
2 : انیدل -ـج 2,2
b c ia c
π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
− = =−
: نذإ . ( )
( )
, arg 2
, 22
b cCA CBa c
CA CB
π
π π
⎛ ⎞⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤⎣ ⎦
−≡−
≡
2CB : انیدلو Cيف ةیوازلا مئاق ثلثم ABC نإف هنمو b cCA a c
−= =−
2BC : نذإ . AC=.
J„T†cÉ)JV„„Khhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)WC))) ))
) سمللاب اهنيب زييمتلا نكمی ال ( ءارضخ تارآ ثالثو ءارمح تارآ تس ىلع قودنص يوتحی : pא : فنصلا تيبثت .قودنصلا نم تارآ ثالث ) مهم ريغ بيترتلا ( א يفو ايئاوشع بحسن .1
nC .
: وه RRV ءارضخ ةرآو نیوارمح نيترآ ىلع لوصحلا لامتحا - أ 2 16 3
39
15 384
1528
C CC× ×= = .
: وه VVVوأ RVVوأ RRVلقألا ىلع ةدحاو ءارضخ ةرآ ىلع لوصحلا لامتحا : 1 ةقیرط - ب 2 1 1 2 36 3 6 3 3
39
15 3 6 3 14
1618 2
C C C C CC
+ + × + × += =.
. لقألا ىلع ةدحاو ءارضخ ةرآ ىلع لوصحلا A: ثدحلا عضن : 2 ةقیرط . - RRR- ءارمح تارآ ثالث ىلع لوصحلا A: : وه Aثدحلل داضملا ثدحلا
) : انیدل ) ( )3639
20 641 184 84
1621
1 CA AC
p p = − = − = == −.
.قودنصلا نم تارآ ثالث ) دراو ريغ راركتلاو مهم بيترتلا ( ايئاوشع بحسن .2
: pאא : فنصلا تيبثت nA .
: وه ءارمح تارآ ثالث ىلع لوصحلا لامتحا 3639
120504
521
AA
= = .
J„T†cÉ)J„cJRhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhv)C))
J„Xi•)J¦…)C))
⎤,0لاجملا ىلع ةفرعملا ةیددعلا ةلادلا gنكتل ⎡⎦ ) : يلی امب ∞+⎣ ) 2lnx x xg = − .
x,0نكيل -أ .1 ⎤ ⎡⎦ ⎣∈ ) : انیدل ، ∞+ ) ( )2ln 21 2x x xg xx x
′= − = − =′ − .
) : نأ ملعن - ب ) 20, : xxx
x g⎤ ⎡⎦ ⎣−+∞ =∀ ∈ ) ةراشإ نذإ . ′ )xg ⎤,0لاجملا ىلع ′ ⎡⎦ 2x ةراشإ يه ∞+⎣ − .
0,2 : انیدلو 2 2 0x x x⎤ ⎤⎦ ⎦ ⇒ ≤ ⇒ − ,2 و ∋≥ 2 2 0x x x⎡ ⎡⎣ ⎣∈ +∞ ⇒ ≥ ⇒ − : نذإ . ≤
g 0,2لاجملا ىلع ةيصقانت⎤ ⎤⎦ ⎡,2لاجملا ىلع ةیدیازتو ⎦ ⎡⎣ : ةصالخ .∞+⎣
2 : نأ امب .2 1 ln 2 1 ln 2 0e > ⇒ > ⇒ − ) : نإف ، < ) ( )2 2 1 ln 2 0g = − > .
) : انیدلو ) ( )2 2 1 ln 2g = ⎤,0لاجملا ىلع gةلادلل ةقلطم ةیوند ةميق − ⎡⎦ :ن إف هنمو . 2 ددعلا دنع ∞+⎣
( ) ( )0, 2 0: xx g g⎤ ⎡⎦ ⎣+∞ >∀ ∈ ≥
J„Xi•)J„VK)C))
⎤,0لاجملا ىلع ةفرعملا fةیددعلا ةلادلا ربتعن ⎡⎦ ) : يلی امب ∞+⎣ ) ( )2lnx x xf = − .
) : انیدل .1 ) ( )2
0 00 0
lim lim lnx xx x
f x x x→ →> >
= − = : نأل ، ∞−0
0
lim lnxx
x→>
= −∞ .
)ىنحنملا )C 0 هتلداعم ایدومع ابراقم لبقیx = .
t : عضن - أ .2 x= . نذإ : t
x→+∞→ lnlim نأ ثيحو . ∞+ 0
tt
t→+∞ : نإف ، =
( ) ( )22 22 2lnln ln lnlim lim lim lim 2 0
x x t t
tx x tx t tx→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
= = = × =
) : انیدل - ب ) ( ) ( )22 ln
ln 1lim lim limx x x
xf x x x x
x→+∞ →+∞ →+∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= − = − = : نأل ، ∞+( )2ln
lim 0x
xx→+∞
=.
: انیدلو ( ) ( )2ln
1lim lim 1x xx
f x xx→+∞ →+∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= − =.
) : انیدل -ـج ) ( ) ( )22 lnlnlim lim limx x x
xf x x xx x→+∞ →+∞ →+∞
−= − = =− − ىنحنملا نإف ، قباسلا لاؤسلا بسحو ،∞−
( )C ميقتسملا ههاجتا ∞+راوجب ايمجلش اعرف لبقی( y : هتلداعم يذلا ∆( x= .
) : انیدل -د ) ( )20, ln 0: x x xfx ⎤ ⎡⎦ ⎣+∞ − = − ≤∀ ) ىنحنملا نذإ . ∋ )C ميقتسملا تحت دجوی( )∆.
x,0نكيل - أ .3 ⎤ ⎡⎦ ) : انیدل ، ∋∞+⎣ ) ( )( ) ( ) ( )2 2ln 2lnln 1 2 ln 1 x x xx x x ln x xx
g xxx
f ′ −′= − = − = − = =′.
) ةراشإ بسحو )xg انیدل ، لوألا ءزجلا يف : ( )0, : 0xfx ⎤ ⎡⎦ ⎣+∞ ′∀ ∈ ⎤,0 ىلع ةیدیازت fنذإ .< ⎡⎦ ⎣+∞ .
: fةلادلا تاريغت لودج - ب
)ىنحنملل سامملا ةلداعم -ـج )C يه 1 اهلوصفأ يتلا ةطقنلا يف : ( )( ) ( )1 1 1f x f yy x= − + ⇔ =′ .
⎤,0لاجملا ىلع اعطق ةیدیازتو ةلصتم f: انیدل .4 ⎡⎦ 1f ةيسكع ةلاد لبقت f :نذإ .∞+⎣ : ثيح Jلاجملا نم ةفرعم −
( ) ( ) ( )00
0, lim , lim ,x xx
J f f x f x→ →+∞>
⎤ ⎡⎥ ⎢⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎦ ⎣⎦ ⎣ ⎥ ⎢⎦ ⎣
= +∞ = = −∞ +∞ I,0 لاجملا وحن = ⎤ ⎡⎦ ⎣= 0نأ امبو ، ∞+ J∈، نإف
)ةلداعملا ) 0xf I,0لاجملا يف α اديحو الح لبقت = ⎤ ⎡⎦ ⎣= +∞ .
1 : نأ امبو 1 11 0ee e e
f ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
−= − = ) و > )21 1 ln 2 02 2
f ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= − ) تايطعملا بسح هنأل ( < )2 1ln 22
< (.
1 : انیدل ، ةيطيسولا ميقلا ةنهربم بسح هنإف 12e α< < .
)ىنحنملا ءاشنإ .5 )C : 0,4948664145α ≈. ( ), 1I e e ) ىنحنملل فاطعنا ةطقن − )C . 2,7e ≈.
) : انیدل - أ .6 ) ( )0, ln ln 1 ln: x x x x x x xln x xx H⎤ ⎡⎦ ⎣
′ ′ ′+∞ = − = + − =∀ ∈ :: نذإ .′ lnH x x x x−
ln ةلادلل ةيلصأ ةلاد يه : lnx x 0 لاجملا ىلع,⎤ ⎡⎦ : انیدلو ، ∞+⎣
( ) ( ) ( ) ( ) ( )11
ln 11 0 1e e
x dx H x H e H⎡ ⎤⎣ ⎦= = − = − − =∫ : انیدل ،ءازجألاب ةلماكملا لامعتساب -ب
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 1 11ln ln ln
ee e ex dx H x x dx H x x H x ln x dx⎡ ⎤
⎣ ⎦= = −′ ′∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )1
lnln 1 ln 1e x x xH e e H dx
x−= − − ∫
( )( ) ( ) ( )1 1
ln 1 ln 1 2e e
x dx x dx e e= − − = − + − = −∫ ∫
- هالعأ لاؤسلا بسح -)ىنحنملا نيب روصحملا يوتسملا زيحلا ةحاسم -ـج )C ميقتسملاو( 1x نيتلداعملاب نيفرعملا نيميقتسملاو ∆( xو = e= يه :
( ) ( )( ) ( ) ( )2
1 1 1ln 0,7 . .2e e e
f x x dx x f x dx x dx u ae− = − = = ≈−∫ ∫ ∫=A
J„Xi•)J„VK„W)C))
)ةیددعلا ةيلاتتملا ربتعن )n nu∈
) : يلی امآ ةفرعملا )0
1
2;nn
uu f u n+
⎧⎪⎨⎪⎩
== ∈
: : نأ عجرتلاب نيبنل .1 1 2nn u ≤∀ ∈ ≤ .
0n لجأ نم 0 : انیدل ، = 2u 0 : نذإ ، = 21 u ≤≤ .
n نكيل ∈ . 1 : نأ ضرتفن 2nu≤ ≤. 11 : نأ نيبنل 2nu +≤ ≤ :
⎤,0لاجملا ىلع ةیدیازت fنأ ملعن ⎡⎦ ) : نذإ .∞+⎣ ) ( ) ( ) 11 21 2 1 2nn nf u fu f u +≤ ≤≤ ≤ ⇒ ⇒ ≤ ≤
) : نأل ) ( ) ( )22 2 ln 2 0 2 2ff − = − ≤ ⇒ ≤ .
: : نإف يلاتلابو 1 2nn u ≤∀ ∈ ≤ .
nنكيل .2 ) : انیدل .∋ ) ( )( )21 ln 0n n n nn u u u uu f+ − = − = − ) : نذإ . ≥ )n nu
∈ .ةيصقانت ةيلاتتم
) نأ امب .3 )n nu∈
: انیدلو .ةبراقتم اهنإف ، 1 ددعلاب ةروغصمو ةيصقانت ةيلاتتم
f 1,2لاجملا ىلع ةلصتم ةلاد⎡ ⎤⎣ ⎦.
f 1,2لاجملا ىلع اعطق ةیدیازتو ةلصتم ةلاد⎡ ⎤⎣ ) : نذإ .⎦ ) ( ) ( )1,2 1 , 2 1,2f ff ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦= ) : نأل ، ⊃ )2 2f ≤.
0 2 1,2u ⎡ ⎤⎣ ⎦= ∈ .
( )n nu∈
. l اهتیاهن ةبراقتم ةيلاتتم ) : انیدل ، براقتلا قیداصم بسح )l lf 1,2l و = ⎡ ⎤⎣ ⎦∈ .
) : انیدلو ) ( )( ) ( )2
ln ln 0 1l l ll ll lf = ⇔ = ⇔ == ⇔ lim : نإف يلاتلابو . − 1nn u→+∞ = .
JTŠhhhhhhhhhhhhhhhhhh“)))ىنحنملا نيب روصحملا يوتسملا زيحلا ةحاسم )Cميقتسملاو( 1xنيتلداعملاب نيفرعملا نيميقتسملاو∆( xو = e= لامعتساب Maple 7
> f:=x->x-(ln(x))^2;
> A:=Int(abs('f'(x)-x),x=1..exp(1))=int(abs(f(x)-x),x=1..exp(1));
> A:=evalf(rhs(A),20);
:= f → x − x ( )ln x 2
:= A = d⌠⌡⎮⎮1
e
− + ( )f x x x − e 2
:= A .7182818284590452354
) ةیددعلا ةيلاتتملل ىلوألا ةتسلا دودحلا ليثمت )n nu∈
: Archimède II لامعتساب ليصافألا روحم ىلع
