math stat i diaf1 web
TRANSCRIPT
7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web
http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 1/13
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web
http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 2/13
Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων
∗ Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς.
σ-άλγεβρα
΄Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω.
1 A είναι µη κενή.
2 A
∈ A ⇒ A c
∈ A.
3 A 1, A 2, . . . ∈ A ⇒ A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∈ A.
τότε A ονοµάζεται σ-άλγεβρα.
Μετρήσιµος Χώρος
΄Εστω Ω είναι ένα σύνολο αναφοράς και A είναι σ-άλγεβρα, τότε ηδυάδα (Ω, A) ονοµάζεται µετρήσιµος χώρος και τα σύνολα που
ανήκουν στην A ονοµάζονται µετρήσιµα σύνολα.
Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web
http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 3/13
Τυχαία Πειράµατα
Ως Πείραµα εννοούµε µια συγκεκριµένη ενέργεια, η οποία µπορεί να
επαναληφθεί άπειρες ϕορές, κάτω από τις ίδιες συνθήκες, και σαν
συνέπεια έχει την έκβαση κάποιων αποτελεσµάτων.
1. Αιτιοκρατικά
΄Αµεση σχέση αιτίου και αποτελέσµατος αφού καταλήγουµε σε
καθορισµένο είδος αποτελεσµάτων.
2. ΤυχαίαΜας οδηγούν σε πλήθος δυνατών αποτελεσµάτων.
Παραδείγµατα.
1 Ρίψη ενός νοµίσµατος. Κ, Γ .
2 Ρίψη ενός Ϲαριού.
1, 2, 3, 4, 5, 6
.
3 Λήψη ενός χαρτιού από µια τράπουλα.
4 Πλήθος τηλεφωνηµάτων που ϕτάνουν σε ένα τηλεφωνικό κέντρο
µέσα σε µία ώρα. 0, 1, 2, . . . .
5 Μέτρηση ϐάρους, ύψους, κ.λ.π.
6 ∆ιάρκεια Ϲωής κάποιου µηχανήµατος. t : t 0.Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web
http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 4/13
Χώρος Πιθανότητας
Το πλήθος των δυνατών αποτελεσµάτων ενός τυχαίου πειράµατος
καλείται δειγµατοχώρος. (Ω)
Τα σηµεία του δειγµατοχώρου ονοµάζονται δειγµατοσηµεία.
΄Εστω A µία σ-άλγεβρα εφοδιασµένη στον Ω, τότε A ονοµάζεται
σ-άλγεβρα ενδεχοµένων (ή γεγονότων) και κάθε µέλος της (δηλ.
σύνολο) ονοµάζεται ενδεχόµενο (ή γεγονός).
Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov )
Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο.
΄Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο (ή µια πιθανότητα) P είναι µια
συνολοσυνάρτηση, P : A → R, µε τις εξής ιδιότητες,
1
∀ A
∈ A, P ( A ) 0.
2 P (Ω) = 1.
3 Αν A 1, A 2, . . . γεγονότα ανά δύο ξένα µεταξύ τους (δηλ. A i ∩ A j = ∅,
∀i = j ), τότε P (∪∞i =1 A i ) =∞
i =1 P ( A i ).
Η τριάδα (Ω, A, P ) ονοµάζεται πιθανοθεωρητικός χώρος.
Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web
http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 5/13
Τυχαία Μεταβλητή
Ορισµός
΄Εστω (Ω, A, P ) είναι ένας χώρος πιθανότητας, τότε
X : Ω → R
ονοµάζεται τυχαία µεταβλητή, εάν ω ∈ Ω : X (ω) x ∈ A, ∀x ∈ R.
΄Ετσι εξασφαλίζεται η ύπαρξη της
P (ω ∈ Ω : X (ω) x ) = P ( X x ) = F (x )
Εµπειρικός Ορισµός Τυχαία µεταβλητή είναι οποιαδήποτε ποσότητα για την οποία έχει
έννοια να µιλήσουµε για πιθανότητα η ποσότητα αυτή να πάρει κάποια
τιµή ή η τιµή της να είναι µέσα σε κάποιο διάστηµα.
Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web
http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 6/13
Είδη τυχαίων µεταβλητών
1. ∆ιακριτού τύπου
X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής,
x 1,
x 2, . . . ,
x n , . . .
. f (x ) = P ( X = x ) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας,
Ιδιότητες:
(i ) f (x i ) 0, ∀i = 1, 2, . . ., (ii )+∞
i =
1
f (x i ) = 1.
2. Συνεχούς τύπου
X ονοµάζεται συνεχής τ.µ. αν υπάρχει f : R → R, τέτοια ώστε
P ( X ∈ B ) = B
f (x )dx
f (x ) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας,
Ιδιότητες:
(i ) f (x ) 0, ∀x ∈ R, (ii )
+∞
−∞
f (x )dx = 1.
Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web
http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 7/13
Ροπές τυχαίων µεταβλητών
Ορισµός - Μέση τιµή
E X =
x
x f (x ) , X διακριτή τ.µ.
+∞
−∞
x f (x )dx , X συνεχής τ.µ.
Γενίκευση
Eg ( X ) =
x
g (x ) f (x ) , X διακριτή τ.µ.
+∞−∞
g (x ) f (x )dx , X συνεχής τ.µ.
Παρατήρηση
g ( X ) = ( X
−E X )2, τότε E( X
−E X )2 = VarX διαπορά της τ.µ. X .
Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web
http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 8/13
Ροπές τυχαίων µεταβλητών
Ιδιότητες - Μέση τιµή1 Ec = c , c σταθερά.
2 E(aX + b ) = a E X + b
3 X 0 ⇒ E X 0.
4
|E X
| E
| X
|.
Ιδιότητες - ∆ιασπορά
1 Varc = 0, c σταθερά.
2 Var (aX + b ) = a 2VarX
3 VarX = E X 2 − (E X )2
4 VarX = E X ( X − 1) + E X − (E X )2
Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web
http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 9/13
Μέση τιµή και ∆ιασπορά γνωστών κατανοµών
∆ιωνυµική κατανοµή, X ∼ B (n , p )
f (x ) = P ( X = x ) =n
x p x (1 − p )n
−
x , x = 0,1, . . . , n , 0 < p < 1.
E X = np , VarX = np (1 − p ).
Poisson κατανοµή, X ∼ P (λ)
f (x ) = P ( X = x ) = e −λλx
x ! , x = 0,1, . . . , λ > 0.
E X = VarX = λ.
Γεωµετρική κατανοµή, X ∼ Ge ( p ) f (x ) = P ( X = x ) = p (1 − p )x , x = 0,1, 2, . . .
E X = 1 − p
p , VarX =
1 − p
p 2 .
Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
έ ή ά
7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web
http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 10/13
Μέση τιµή και ∆ιασπορά γνωστών κατανοµών
Κανονική κατανοµή ή κατανοµή του Gauss, X ∼ N (µ, σ2)
f (x ) =
1
√ 2πσ2 e
−(x −µ)2
2σ2
, x ∈ R
, µ ∈ R
, σ > 0.
E X = µ , VarX = σ2.
Γάµµα κατανοµή, X ∼ G(a , β )
f (x ) = 1Γ(a )β a
x a −1 e −x /β , x > 0 , a , β > 0.
E X = a β , VarX = a β 2.
Εκθετική κατανοµή, X ∼ E (σ)
f (x ) = 1
σ e −
x σ , x > 0 , σ > 0.
Παρατήρηση: E (σ) ≡ G(a = 1, β = σ).
E X = σ , VarX = σ2.
Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Μ ί ί βλ ώ
7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web
http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 11/13
Μετασχηµατισµοί τυχαίων µεταβλητών
Θεώρηµα
΄Εστω g (·) µια παραγωγίσιµη και γνησίως µονότονη συνάρτηση. Αν X
είναι µια συνεχής τ.µ. µε πυκνότητα πιθανότητας f X
(x ), τότε η τ.µ.
Y = g ( X ) είναι συνεχής τ.µ. µε πυκνότητα πιθανότητας
f Y (y ) = f
X (g −1(y ))
dg −1(y )
dy
Παράδειγµα 1
Αν X ∼ G (n , θ), τότε Y = cX ∼ G (n , c θ), c > 0.
Παρατήρηση
Αν c = 2
θ, τότε Y =
2 X
θ ∼ G (n ,2) ≡ X 22n .
Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Ρ ή Τ ί Μ βλ ή
7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web
http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 12/13
Ροπογεννήτρια Τυχαίας Μεταβλητής
ΟρισµόςM X (t ) = Ee tX , για εκείνα τα t που υπάρχει η µέση τιµή.
Παρατήρηση
Αν γνωρίζουµε τη ϱοπογεννήτρια µιας τ.µ. X και υπάρχει σε µια
περιοχή του 0, τότε γνωρίζουµε την κατανοµή αυτής και αντίστροφα.
Ιδιότητες
1 M X (0) = 1
2
M aX +b = e tb
M X (at )3
d k M aX +b (t )
dt k
t =0 = E X k
Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Ρ ή Τ ί Μ βλ ή
7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web
http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 13/13
Ροπογεννήτρια Τυχαίας Μεταβλητής
Παραδείγµατα γνωστών κατανοµών
1
X ∼ B (n , p ),
M X (t ) = ( pe t + 1 − p )n , ∀t ∈ R.
2 X ∼ P (λ),
M X (t ) = e λe t −λ ,
∀t
∈ R.
3 X ∼ N (µ, σ2),
M X (t ) = e t µ+ 12σ2 t 2 , ∀t ∈ R.
Παρατήρηση : X ∼ N (0,1),
M X (t ) = e 12 t
2
, ∀t ∈ R.
4 X ∼ G(a , β ),
M X (t ) = 1
(1 − t β )a , t <
1
β .
Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ