SWorld – 18-27 December 2012 http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/december-2012

MODERN PROBLEMS AND WAYS OF THEIR SOLUTION IN SCIENCE, TRANSPORT, PRODUCTION AND EDUCATION‘ 2012 Доклад/ Физика и математика - математика

УДК: 614.8

Велегурин В.А., Турдуматов Б.М., Мучкинова Л.И.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ

ЧРЕЗВЫЧАЙНОЙ СИТУАЦИИ КАК НЕРАВНОВЕСНОГО ПРОЦЕССА

НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ НАХОДЯЩЕЙСЯ В

НЕУСТОЙЧИВОМ ПОЛОЖЕНИИ

Калмыцкий государственный университет

Элиста, Пушкина 11, 34070

UDC: 614.8

Velegurin V. A, Turdumatov B. M, Muchkinova L.I.

MATHEMATICAL MODELLING OF DEVELOPMENT OF THE

EMERGENCY SITUATION AS NONEQUILIBRIUM PROCESS OF NON-

STATIONARY SYSTEM BEING IN UNSTABLE POSITION

Kalmyk state university, Elista, Pushkin 11, 34070

Аннотация. В настоящее время существуют методы математическо-

го прогнозирования и ликвидации чрезвычайных ситуаций. Предлагается метод

описания с помощью дифференциальных уравнений, который был проанализи-

рован при явном и неявном методе решения.

Ключевые слова. Математическое моделирование. Чрезвычайные ситу-

ации. Дифференциальные уравнения. Явный и неявный метод решения диффе-

ренциальных уравнений.

The summary. Now there are methods of mathematical forecasting and liqui-

dation of emergency situations. The method of the description by means of the differ-

ential equations which has been analysed at an obvious and implicit method of the

decision Is offered.

Keywords. Mathematical modelling. Emergency situations. The differential equa-

tions. An obvious and implicit method of the decision of the differential equations.

Современные методы прогнозирования и ликвидации чрезвычайных си-

туаций требуют глубокой автоматизации и компьютеризации этих процессов,

что пока не происходит в достаточной степени.

В данное время существуют и ведутся разработки прикладных программ

для оценки масштабов возможных ЧС и алгоритмов реагирования на них, то

есть моделирование возможной ситуации в динамике.

Течение процесса подавляющего большинства ЧС система нестационар-

ная во времени в общем виде. Но в частных случаях можно выбрать некоторые

промежутки времени ∆ t при которых система находится в устойчивом положе-

нии, то есть изменяется предсказуемо по определенным законам. Поэтому для

математического моделирования представляет большой интерес анализ устой-

чивости, так как только он может позволить спрогнозировать дальнейшее тече-

ние неравновесного процесса.

Не существует простого правила, относящегося ко всем случаям, но ясно,

что устойчивость тесно связанна с обратной связью. Для дифференциальных

уравнений идея устойчивости ведет по ложному пути, и относительная устой-

чивость является более разумным критерием.

Методы прогноза и коррекции для интегрирования обыкновенных диф-

ференциальных уравнений широко используются благодаря многим преимуще-

ствам.

Некоторый недостаток состоит в том, что методы сложны для программи-

рования. При использовании методов прогноза и коррекции для интегрирования

обыкновенных дифференциальных уравнений возникают разного рода трудно-

сти:

1.Ошибки от отбрасывания членов, которые возникают от апроксимации

производных.

2.Распространение ошибок – неустойчивость, которая возникает при ре-

шении апроксимирующих разностных уравнений, не соответствующих реше-

ниям исходных дифференциальных уравнений.

3.Усиление ошибок округления из-за комбинации коэффициентов в ко-

нечно-разностных формулах.

Ошибка от отбрасывания членов. Самая общая формула линейной кор-

рекции, использующая информацию о функции и первой производной в по-

следних трех точках решения и оценку производной в точке, которая должна

быть вычислена, имеет вид:

Можно использовать и другие линейные формы, но это включает большое чис-

ло общих методов, Здесь мы имеем обратную связь не только через значения

старого решения, но и через члены с производными; следовательно, изучение

устойчивости будет здесь более сложным. Формула (1) предполагается точной

для многочленов до четвертой степени, то есть для y=1,х,х2,х3,х4 . Используя эти

пять условий и определив а1 и а2 в качестве параметров, получаем:

Пять коэффициентов из семи используются, чтобы уменьшить ошибку от от-

брасывания членов. При помощи двух других, вместо того чтобы дальше

уменьшать ошибку от отбрасывания членов, постараемся уменьшить ошибки

второго и третьего типов. Разность прогнозированного и скорректированного

значений будет использована, для того чтобы дать оценку ошибки и для того,

чтобы "уничтожить" главный член ошибки. Обычный метод нахождения оста-

точного члена основан на использовании ряда Тейлора

с A= -2h и n=4 получим R(y)= dSSGSyh

h)()(

2

5∫− , где G(S) функция влияния.

Если G(S) имеет постоянный, то существует такое θ (-2h < θ < h), что ошибка

может быть записана в виде:

Если G(S) меняет знак, то найдутся f (S), для которых ошибка не может быть

представлена в виде (5).

Для нас представляет интерес область постоянства знака G(S). В соот-

ветствии с формулой коррекции (1) хотелось бы иметь прогноз, использую-

щий информацию о последних трех точках, а именно:

Коэффициенты можно найти или обычным путем, или положив в уравнении ( 2

) b - 1 = 0. Результаты:

20 8 AA −−=

317 2

0AB +

=

91 =A

3414 2

1AB +

=

22 AA =

31 2

2AB +−

=

3440 2

5AE −

=

(7)

Чтобы воспользоваться разностью n –го прогноза и коррекции для оценки

ошибки (n + 1) – го прогноза, следует определить p n + 1 из

Такая схема иногда бывает полезной, хотя может требовать очень большого ко-

личества вычислений, особенно, когда требуется точное решение дифференци-

альных уравнений. Мы не будем обсуждать ее дальше. Ясно, что она имеет

остаточный член пятого порядка. Если мы хотим иметь семь параметров, чтобы

использовать их в поисках подходящего прогноза, то можно прибавить или одно

более старое значение функции, а именно yn -3 , или одно старое значение произ-

водной, а именно y|n - 3 . Первое предложение включает прогноз Мильна, а вто-

рое содержит прогноз Адамса.

Рассмотрим неявный метод Адамса. Возьмем дополнителное

значение производной y|n - 3 , то получим формулу:

!5)(

)5(5

5/

33/

22/

11/

0221101yhEyByByByBhyAyAyAy nnnnnnnn +++++++= −−−−−+ (9)

Коэффициенты равны:

В этом случае функция влияния G(S) имеет нули в плоскости ( А 1, А2 ) вдоль

линии, первая из которых - прямая А 1 = 9 - для S = -2h поднимается и при-

обретает отрицательные тангенсы угла наклона с увеличением S , не наклады-

вая существенных ограничений на коэффициенты.

Неявная схема метода Адамса и Мильна прогноза и коррекции требуют

специальных приемов для нахождения достаточного числа начальных значений,

чтобы начать прогноз. Вероятно, самыми широко используемыми начальными

методами являются методы Рунге-Кутта. Хотя эти методы можно применять и

на каждом шагу, эффективность в этом случае, вероятно, будет низкой. Типич-

ный метод Рунге-Кутта требует четырех производных для каждого шага вперед,

тогда как неявные методы требуют одного или двух на шаг. В тоже время оба

метода имеют почти одинаковую ошибку от отбрасывания членов. Методы Рун-

ге-Кутта не содержат в себе никакой оценки точности решения на каждом шагу,

следовательно, невозможно догадаться, когда нужно уменьшить иди удвоить

величину шага. Высказывалась идея использования двух интегрирований с раз-

ной величиной шага, но это, очевидно, так увеличивает машинное время, что

предложение не следует принимать всерьез, во всяком случае, в обозримом бу-

дущем.

Существует много вариантов методов Рунге-Кутта; наиболее широко ис-

пользуется следующий, дано:

вычисляется последовательно

),(1 nn yxhfk = ,

)2

,2

( 12

kyhxhfk nn ++=,

),2

,2

( 23

kyhxhfk nn ++=

),,( 34 kyhxhfk nn ++=

22(61

3211 kkkyy nn +++=+

}

(12)

Этот процесс можно представить геометрически. В точке ( Хn , yn ) вы-

числяется тангенс угла наклона (k 1/ h ); используя его, мы идем на полшага

вперед и смотрим тангенс угла наклона здесь. Используя новый тангенс угла

наклона (k 2/ h )мы опять начинаем из ( Хn , yn ) идем вперед на полшага и опять

берем пробу тангенса угла. Взяв этот последний тангенс угла (k3/ h ), мы опять

начинаем из ( Хn , yn ), но делаем теперь полный шаг вперед, где усредняем све-

сами и, беря этот средний тангенс угла наклона, делаем окончательный шаг от

( Хn , yn ) к ( Хn+1 , yn+1 ).

Таким образом, нами были рассмотрены явный и неявный методы реше-

ний дифференциальных уравнений. Который и представляет интерес для моде-

лирования нестационарных процессов. Трудно сказать какой из этих методов

является наиболее приемлемым в данной ситуации, но можно предположить,

что они оба могут быть использованы при создании прикладных программ

направленных на прогнозирование динамики развития чрезвычайных ситуаций.

Литература:

1. Я.С.Бугров, С.М.Никольский Дифференциальные уравнения. М.:

Наука. 1979, 479 с.

2. Н.С.Бахвалов, Н.Д.Жидков,Г.М.Кобельков Численные методы. М.:

Наука. 1976, 562 с.

3. Н.С.Пискунов Дифференциальные и интегральные исчисления. М.:

Высшая школа. 1981, 517 с.

References:

1. J.S.Bugrov, S.M.Nikolsky the Differential equations. М.: science. 1979, 479 with.

2. N.S.Bahvalov, N.D.Zhidkov, G.M.Kobelkov Numerical methods. М.: science.

1976, 562 with.

3. N.S.Piskunov Differential and integrated calculations. М.:Higher school. 1981,

517 with.