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BWM  12303    

Tutorial  2    1. Solve  

  (a)  21

dy xdx y

=+

        (b)  12

dy ydx x

+=+

 

  (c)   ( )3 21 dyx x ydx

+ =       (d)   x y dye xdx

+ =  

  (e)  2 2dy dyx xy ydx dx

− = −       (f)   2cos 2 tandyy x xdx

= +  

  (g)   ( )2 1dy x ydx

= −         (h)   22 1x dye y ydx

− = + −  

  (i)   5 10, (0) 0dI I Idt

+ = =       (j)   2sec , ( ) 0dyx x ydx

π= =  

 2. Determine  whether  the  functions  given  below  are  homogeneous  or  not.  

  (a)  2

3 3( , ) xyf x yx y

=+

      (b)  2

2

2 3( , )2

xy yf x yx xy

+=+

 

   3. Solve  

  (a)  2dy x y

dx x−=         (b)   2 2 2dyx x xy y

dx= − +  

  (c)   2 22 4dyxy y xdx

= +       (d)  22 3

2dy xy ydx xy

+=  

  (e)   2 3dyx y xdx

= +         (f)   , (1) 1dy y x ydx y x

−= =+

 

  (g)   ( )3 3 2 0dyx y xydx

+ − =       (h)   2 2 2 0dyx y xydx

− − =  

  (i)   ( ) ( )2 2x y dy xy dx+ =       (j)   2 3 33 4 , (1) 2dyxy y x ydx

= − =  

   

4. Solve  the  following  linear  differential  equations.  

  (a)  dyx x ydx

= +         (b)   2 3dyx y xdx

= +  

  (c)   2dy xy xdx

+ =         (d)   2 , (2) 1dyx y x ydx

+ = =  

  (e)     xdy y edx

− =         (f)   xdyx y edx

+ =  

2

  (g)   cot cosdy y x xdx

+ =       (h)  cot dyx x ydx

= +  

  (i)   3xdy xe ydx

−= −       (j)  3

2

( 1)( 1) 21

dy xx ydx x

++ = +−

 

  (k)   2

12 , (1) 11

dyx y ydx x

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟+⎝ ⎠     (l)  

lndy yxdx x x

= −  

   5. Show  that  the  following  differential  equations  are  exact.     (a)   (2 3 ) (2 3 ) 0x y dx y x dy+ + + =     (b)   2(2 cos ) ( sin ) 0x xye x dy e y y x dx− −+ − − =  

  (c)   3 2 21 14 6xy dx x y dyx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

  (d)  sinsin

xy

xy

dy ye y xydx xe x xy

−= −−

 

 6. Solve  the  following  differential  equations.  

  (a)  2

4 32

2 4 2 0x xy dx xy dyy y

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + − + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

  (b)   ( ) ( )3 2 2 2 36 2 2 9 4 4 0xy x y dx x y xy y dy+ + + + + =  

  (c)   ( ) ( )2 22 cos sin 0y ye xy x dx xe x dy+ + + =  

  (d)   ( ) ( )2 cos cos sin 0x y x y x yxe e y xy dx xe xy xy xy dy+ + ++ + + + + =  

  (e)   ( ) ( )2 2cos 1 cos 2 2y ye y xy dx x xy xe dy− + = − −  

  (f)   ( ) ( )( )1 2 0xe y x y dx x y dy+ + + + =  

  (g)   2 2

2 2 18 , (1) 1y xx dx dy yy x y x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

  (h)   2

1 2 ln 1 01 ( 1)

y xdx x dyx y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

 7. A   glass   of   lemonade   with   a   temperature   of   1000F   is   placed   in   a   refrigerator   with  

constant   temperature   of   700F,   and   1   hour   later   its   temperature   is   88.20F.   Find   the  time   when   the   temperature   is   750F.   What   does   the   value   of   the   temperature  approaches  if  the  time  approaches  infinity?  

 8. Cooling  off   a  body   from  1000C   to  800C   takes  5  minutes.   If   the   room   temperature   is  

260C,  how  long  will  it  take  to  reach  300C?          

3

Solutions    

1. (a)  2

2

2y y x C+ = +       (b)   (2 ) 1y C x= + −  

  (c)   ( )1

3 31y C x= +         (d)   y x xe xe e C− −= − − +  

  (e)  2ln 2lny y x C− = − +     (f)   2 24 tan tany x x C= + +  

  (g)   21ln1

y x Cy− = ++

      (h)   1 2 1ln3 1

xy e Cy− = ++

 

  (i)   ( )52 1 tI e−= −         (j)   2 sin 2 cos 2siny x x x x x C= + − +  

 2. (a)  Homogeneous  function     (b)  Homogeneous  function    

3. (a)   21 Ay xx

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠         (b)   11

lny x

Ax⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠  

  (c)   ( )2 2 2 4y x Ax= −       (d)  12 2y x Ax

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠  

  (e)   2 3y Ax x= −         (f)  2 2

1ln tan ln2 4

y x y xx

π−⎛ ⎞+ ⎛ ⎞+ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠  

  (g)   3 33 lny x Ax=       (h)   2 213

Ay xx

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠  

  (i)  2

2 ln2x Ayy

=         (j)   3 4 37y x x= +  

   

4. (a)   lny x x Cx= +       (b)   23y x Cx= − +  

  (c)  21

2xy Ce−= +         (d)  

2y xx

= −  

  (e)   x xy xe Ce= +         (f)  xe Cyx+=  

  (g)  1 sin csc2

y x C x= +       (h)   tan secy x x C x= − + +  

  (i)   31 12 4

x x xy xe e Ce− − −= − +     (j)   2 21 1( 1) ln ( 1)2 1

xy x C xx

+= + + +−

 

  (k)  2

2

1 1ln 12xy

x⎛ ⎞+= +⎜ ⎟⎝ ⎠

      (l)   2 21 1 12 ln 4

y x C xx⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

 

 

4

5. (a)   3M Ny x

∂ ∂= =∂ ∂

        (b)   2 sinxM N ye xy x

−∂ ∂= = − −∂ ∂

 

  (c)   22

112( )

M N xyy x x y

∂ ∂= = −∂ ∂ +

    (d)  

cos sinxy xyM N xye e xy xy xyy x

∂ ∂= = + − −∂ ∂

 

 

6. (a)  2

4 2xxy y Cy

+ + =       (b)   2 3 2 23 ( )x y x y C+ + =  

  (c)   2sinyxe y x C+ =       (d)   sinx yxe y xy C+ + =     (e)   2 sin 2yxe xy y x C− + + =     (f)   2x xxye y e C+ =  

  (g)   22 4 5x y xy x− + =       (h)   ln 2

1xy x x y Cy

+ + + =+

 

 7. 0.5( ) 70 30 tT t e−= + , 3.5835 hrst = ,  700F.  

 8. 0.063( ) 26 74 , 46.31 minutestT t e t−= + = .