1

SADRAJ:

1. Matrice ................................................................................................... 2

1.1. Sabiranje matrica ............................................................................ 3

1.2. Mnoenje matrice skalarom ........................................................... 4

1.3. Mnoenje matrica ........................................................................... 4

1.4.Transponovana matrica ................................................................... 7

2. Determinante ......................................................................................... .8

2.1.Osobine determinanti........................................................................ 9

2.2.Izraunavanje determinante ............................................................ 11

2.3.Adjungovana matrica ...................................................................... 13

2.4.Inverzna matrica. ............................................................................. 14

2.5.Rang matrice. ................................................................................... 15

Literatura ......................................................................................................... 17

2

1. Matrice Definicija 1. Matrica tipa m x n nad poljem (brojeva) P je pravougaona shema elemenata iz P koja ima m vrsta i n kolona:

Elemente ( i=1,2,,m; j=1,2,,n ) polja P nazivamo elementima matrice. Elementi nalaze se u i-toj vrsti i j-toj koloni matice. Matrice emo obeleavati velikim slovima latinice: A, B, C, Matricu tipa m x n skraeno emo oznaavati

Definicija 2. Matrica sa istim brojem vrsta i kolona, dakle matrica u kojoj je m=n, odnosno matrica n x n naziva se kvadratnom matricom reda n. Definicija 3. Matrica iji su svi elementi jednaki nuli, naziva se nula-matrica. Obeleava se sa .

Za matrice koje imaju isti broj vrsta i isti broj kolona kaemo da su matrice istog tipa, a u sluaju kvadratne matrice da su istog reda. Definicija 4. Dve matrice A i B nad skupom P su jednake ako su istog tipa i ako su im odgovarajui elementi jednaki. Tj., ako su date matrice i onda je

Definicija 5. Za kvadratnu matricu kaemo da je dijagonalna ako su svi njeni elementi van glavne dijagonale jednaki 0.

Ako su svi elementi dijagonalne matrice jednaki onda se takva dijagonalna matrica naziva skalarnom matricom. Definicija 6. Kvadratna matrica reda n iji su svi elementi na glavnoj dijagonali jedinice, a ostali nule, naziva se jedinina matrica i oznaava se sa nI .

3

Definicija 7. Matrica tipa 1 x n ,

naziva se matrica-vrsta, a matrica tipa m x 1

,

naziva se matrica- kolona. Ove vrste matrica se zovu i vektori. Ako su svi elementi kvadratne matrice reda n ispod glavne dijagonale jednaki nuli, takva se matrica naziva gornja trougaona matrica. Ako su svi elementi kvadratne matrice reda n iznad glavne dijagonale jednaki nuli, takva se matrica naziva donja trougaona matrica.

1.1.Sabiranje matrica

Definicija 8. Dve matrice istog tipa nad skupom P sabiraju se tako to im se saberu odgovarajui elementi

Sabiranje matrica je komutativno i asocijativno

Neutralni element za sabiranje matrica tipa m x n je nula matrica tipa m x n.

Matrica A definisana sa je suprotna matrica za matricu A.

Primer1: Neka su date matrice

.

Nai matricu A+B i A-B?

4

1.2.Mnoenje matrice skalarom

Definicija 9. Matrica se mnoi skalarom (brojem) tako to se svaki element matrice pomnoi tim skalarom. Ako je onda je

Za mnoenje matrice skalarom i sabiranje matrica vai:

Primer2: Neka je data matrica A. Odredi matricu 3A.

.

1.3.Mnoenje matrica

Definicija 10. Matrice mogu da se pomnoe samo ako je broj kolona matrice A jednak broju vrsta matrice B, odnosno ako je n = q. U tom sluaju dobija se matrica koja ima broj vrsta kao matrica A i broj kolona kao matrica B, odnosno proizvod matrica je matrica Elementi matrice C se izraunavaju na sledei nain

Za proizvod matrica vae zakoni:

Za matrice u optem sluaju ne vai komutativnost mnoenja

Primer3: Pokaimo da vai

5

Primer4: Date su matrice A i B. Odredi njihov proizvod AB.

6

1.4.Transponovana matrica

Definicija 11. Transponovana matrica matrice A tipa m x n je matrica TA tipa n x m koja se od matrice A dobija tako to vrste matrice A zamene mesta s odgovarajuim kolonama

7

Za transponovane matrice vai:

Primer5:

Matrica A za koju je A= TA naziva se simetrina matrica. (naravno, matrica A mora biti kvadratna).

Primer6:

2. Determinante Za svaku kvadratnu matricu postoji odgovarajua determinanta, pri emu se svaka determinanta moe izraunati, odnosno svakoj determinanti odgovara odreena brojevna vrednost. Ako je A kvadratna matrica drugog reda:

onda se odgovarajua matrica drugog reda oznaava sa:

a izraunava se na sledei nain:

Elementi determinante, isto kao i elementi matrice, oznaavaju se sa , gde indeks i oznaava vrstu, a indeks j kolonu determinante kojoj pripada element . Za kvadratnu matricu A treeg reda odgovarajua determinanta se oznaava sa:

a izraunava na sledei nain:

Za izraunavanje determinante treeg reda moe se koristiti Sarusovo pravilo: u produetku determinante dopiu se prva i druga kolona, a potom se sa pozitivnim znakom uzimaju proizvodi elemenata na glavnoj dijagonali i du dve njoj paralelne linije, a sa negativnim znakom proizvod elemenata na sporednoj dijagonali i du dve njoj paralelne linije.

Vano je napomenuti da Sarusovo pravilo vai samo za determinante treeg reda i ne moe se uoptavati na determinante vieg reda.

Definicija 12. Ako je A kvadratna matrica i det A=0, za matricu A kaemo da je singularna, a ako je det A 0 matrica je regularna.

2.1.Osobine determinanti 1. Ako u determinanti vrste i kolone zamene mesta determinanta ne menja vrednost

to znai da je Iz ove osobine sledi da svako tvrenje koje vai za vrste, vai i za kolone.

2. Ako u determinanti dve vrste ( kolone) zamene mesta, determinanta menja znak

3. Ako su u determinanti svi elementi jedne vrste (kolone) jednaki nuli i determinanta je jednaka nuli

4. Ako su elementi jedne vrste (kolone) proporcionalni odgovarajuim elementima neke druge vrste (kolone) onda je determinanta jednaka nuli

5. Zajedniki faktor jedne vrste ( kolone) moe da se izvue ispred determinante

6. Vrednost determinante se ne menja ako se elementima jedne vrste ( kolone) dodaju odgovarajui elementi neke druge vrste (kolone) pomnoeni proizvoljnom konstantom c

7. Ako su elementi neke vrste (kolone) dati kao zbir dva sabirka ( u ovom sluaju element i-te vrste)

tada je determinanta jednaka zbiru dve determinante kod kojih su sve vrste sem i-te jednake vrstama date

determinante, a i-tu vrstu jedne determinante ine elementi , a druge ( j=1,2,, n)

8. Ako su A i B kvadratne matrice n-tog reda, tada je

2.2.Izraunavanje determinante

Za svaki element determinante n- tog reda moe se definisati njegov minor koji predstavlja determinantu n 1-og reda, a koja se dobija iz polazne determinante tako to se obriu i- ta vrsta i j-ta kolona.

Za element se dalje pomou minora definie njegov kofaktor

Polazei od pojma kofaktora determinanta proizvoljne matrice se moe izraunati na osnovu Laplasove teoreme: Teorema 1. Neka je i proizvoljna vrsta kvadratne matrice A n-tog reda. Tada je

Izraunavanje determinante na ovaj nain se naziva razvijanjem determinante po i-toj vrsti.

Analogno, ako je j proizvoljna kolona matrice A n-tog reda, tada je

to predstavlja razvijanje determinante po j-toj koloni. Razvijanjem determinante n-tog reda po vrsti ili koloni izraunavanje determinante n-tog reda se svodi na izraunavanje n determinanti n 1-og reda. Primer 7:

Napomena: Razvijanjem determinante etvrtog reda po drugoj vrsti njeno izraunavanje svedeno je na izraunavanje etiri determinant treeg reda.

2.3.Adjungovana matrica Definicija 13. Ako se svaki element u kvadratnoj matrici A zameni svojim kofaktorom , i ako se potom tako dobijena matrica transponuje, dobija se Adjungovana matrica matrice A.

Za adjungovanu matricu vai

pri emu je

skalarna matrica iji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki vrednosti determinante polazne matrice A. Primer8:

2.4.Inverzna matrica

Definicija 14. Inverzna matrica regularne kvadratne matrice A, koja se oznaava sa 1A , je matrica takva da je

Prema tome, kako kvadratna matrica ima inverznu matricu akko je regularna (detA 0) i kako je

onda sledi da je

Ako su A i B regularne matrice istog reda tada je

Za inverznu matricu vae i sledee osobine:

2.5.Rang matrice Definicija 15. Neka je data matrica A tipa m x n. Matrica M tipa p x q gde je nqimp koja je formirana od elemenata p vrsta i q kolona matrice A naziva se submatricom (podmatricom) matrice A.

Primer9:

Napomena: Matrica M formirana je od elemenata prve i tree vrste i druge i etvrte kolone matrice A. Definicija 16. Rang matrice je broj r jednak najveem redu kvadratne regularne matrice A. Vai:

Drugim reima, da bi se odredio rang matrice A, potrebno je ispitivati redom njene kvadratne podmatrice, polazei od kvadratnih podmatrica najvieg mogueg reda (k), koji je jednak manjem od broja vrsta i kolona (k=min(m,n)). Ukoliko je bar jedna od ovih podmatrica regularna (determinant joj je razliita od 0) onda je rang matrice A jednak k. Ukoliko su sve kvadratne podmatrice reda k singularne, onda se ispituje da li meu podmatricama reda k 1 ima regularnih. Ako su i sve matrice k 1-og reda singularne, prelazi se na matrice reda k 2 , i tako redom. Najnii mogui rang matrice koja nije nula matrica je 1. Primer10:

Rang matrice A je r = 2 jer je

2211

regularna matrica, a sve kvadratne podmatrice matrice A treeg reda su

singularne (na osnovu osobine determinante da je jednaka 0 ako su joj elementi dve vrste ili kolone proporcionalni, a budui da je u navedenom primeru trea vrsta matrice A proporcionalna prvoj). Odreivanje ranga matrice moe se pojednostaviti primenom elementarnih transformacija matrice.

Definicija 17. Elementarne transformacije matrice su : 1. Zamena mesta dve vrste (kolone)

2. Mnoenje jedne vrste (kolone) skalarom 0

3. Mnoenje elemenata jedne vrste (kolone) skalarom 0 i dodavanje odgovarajuim elementima neke druge vrste (kolone)

Definicija 18. Ako se matrica B moe dobiti iz matrice A primenom elementarnih transformacija, onda se kae da su matrice A i B ekvivalentne. Ekvivalentnost matrica se oznaava sa

Veoma znaajna osobina ekvivalentnih matrica je da imaju isti rang. To omoguava odreivanje ranga matrice svoenjem na ekvivalentnu matricu iji je rang lake odrediti. Primer11:

Kako je oigledno da je rang matrice dobijene ekvivalentnim transformacijama iz matrice A jednak 2, to je i

LITERATURA

1. Matematika 1...

2.