matriks hessenberg dan barisan bilangan bulat (skripsi ...digilib.unila.ac.id/61534/2/skripsi tanpa...
TRANSCRIPT
MATRIKS HESSENBERG DAN BARISAN BILANGAN BULAT
(Skripsi)
Oleh
NUR WAFIQOH HADI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2020
ABSTRACT
MATRIKS HESSENBERG AND INTEGER SEQUENCE
By
NUR WAFIQOH HADI
It consider a particular case of upper Hessenberg matrices, in which all
subdiagonal elements are −1. It investigate three type of matrices related to
polynomials, generalized Fibonacci numbers, and special compositions of natural
numbers. It give the combinatorial meaning of the coefficients of the
characteristic polynomials of these matrices.
ABSTRAK
MATRIKS HESSENBERG DAN BARISAN BILANGAN BULAT
Oleh
NUR WAFIQOH HADI
Dipertimbangkan kasus tertentu dari matriks Hessenberg atas, di mana semua
elemen subdiagonal adalah −1. Diselidiki tiga jenis matriks yang terkait dengan
polinomial, bilangan Fibonacci umum, dan komposisi khusus bilangan asli.
Selanjutnya diberikan arti kombinatorial dari koefisien polinomial karakteristik
dari matriks tersebut.
MATRIKS HESSENBERG DAN BARISAN BILANGAN BULAT
Oleh
NUR WAFIQOH HADI
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKADAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2020
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Nur Wafiqoh Hadi, anak kedua dari lima bersaudara
yang dilahirkan di Madiun Jawa timur pada tanggal 17 Oktober 1997 oleh
pasangan Bapak Prof. Sutopo Hadi dan Ibu Sri Endah Purwaningrum (Almh).
Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Al-Kautsar Bandar
Lampung pada tahun 2009. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP
Negeri 03 Natar. Pendidikan di sekolah menengah atas di MA Al-Muhsin Metro
pada tahun 2016.
Pada tahun 2016 penulis terdaftar sebagai mahasiswi S1 Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui
Jalur SNMPTN undangan. Pada tahun 2018, sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu
di dunia kerja, penulis telah melaksanakan Kerja Praktik (KP) selama 40 hari di
kantor Perusahaan Umum Badan Usaha dan Logistik (PERUM BULOG) Provinsi
Lampung. Dan pada tahun yang sama, sebagai bentuk pengabdian kepada
masyarakat, penulis telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 40
hari di Desa Heni Arong, Kecamatan Lumbok Seminung, Kabupaten Lampung
Barat..
KATA INSPIRASI
Isy Kariman Au Mut Syahidaan
(Hidup Mulia atau Mati Syahid)
Perbuatan yang Baik Akan Membentengi (Seseorang dari) Kehidupan yang Jahat
(Abu Bakar Ash-Shiddiq R.A)
PERSEMBAHAN
Alhamdulillah Wasyukurillah.
Puji dan syukur tiada hentinya terpanjatkan kepada Allah S.W.T Tiada kata
yang lebih mampu mewakili setiap rasa bahagia yang ingin tercurahkan, ku
persembahkan karya kecil ini untuk:
Kedua orang tuaku, Abi dan Ummi
Dan juga Ibun
Kelima saudaraku, Nur Izdihar Hadi, Nur Fawwaz Hadi, Nur Faiz Mudhoffar
Hadi, Nur Maisun Wardah Hadi, dan Miftah Sholihul Hadi, terimakasih untuk
semua pengorbanan, cinta kasih, canda dan tawa yang tidak akan
terbayarkan oleh apapun
Dosen-dosen Pembimbing dan Pembahas yang sangat berjasa dan selalu
memberikan motivasi kepada penulis
Sahabat-sahabatku tersayang, terimakasih atas kebersamaan, keceriaan,
canda, tawa, doa dan semangat yang telah diberikan
Almamaterku, Universitas Lampung
SANWACANA
Alhamdulillahirobbil’alaamiin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas
izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi yang berjudul “Matriks
Hesssenberg dan Barisan Bilangan Bulat”. Shalawat serta salam tak lupa
kepada Nabi Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi
kita semua.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari
bimbingan, bantuan, dan kerjasama dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada
kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Amanto, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing I, yang senantiasa
selalu membimbing dan memberikan arahan kepada penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini ditengah-tengah waktu kesibukannya.
2. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing II, yang telah
memberikan bimbingan serta saran yang membantu penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini.
3. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembahas, terima kasih
atas kesediaannya untuk membahas, memberikan saran dan kritik yang
membangun dalam penyelesaian skripsi ini.
4. Bapak Dr. Aang Nuryaman, S.Si., M.Si.. selaku Dosen Pembimbing
Akademik, terima kasih atas bimbingan dan pembelajarannya dalam
menjalani perkuliahan.
5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Bapak Drs. Suratman, M.Sc., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
8. Abi, dan Ibun tercinta yang tak pernah berhenti memberi semangat, doa,
dorongan, nasihat dan kasih sayang serta pengorbanan yang tak tergantikan
hingga penulis selalu kuat menjalani setiap rintangan yang ada di depan.
9. Mbak dan adik-adikku: Mbak dihar, Fawwaz, Dhoffar, Maisun dan Miftah
yang selalu berbagi canda dan tawa serta selalu menyemangati hingga
terselesaikannya skripsi ini.
10. Sahabat-sahabat seperjuangan: Evrilia Rahmawati, Erisa Aprilia Mely
Hartati, Ismawati, Raratia Ulsa Alfian, dan Wahyu Megarani yang selalu
menemani hari-hari penulis selama menjalani masa perkuliahan.
11. Teman-teman KKN: Reyza Sukma Fahri, Aini Hairunnisa, Elisa Aprilyanti,
Tasya Evita Agnesia, Muhammad Adli dan Muhamad Adnan Anas,
terimakasih untuk kebersamaan dan dukungan yang telah kalian berikan.
12. Teman-temanku Matematika 2016, terimakasih telah memberikan warna dan
keceriaan kepada penulis selama menjadi mahasiswi.
13. Almamater tercinta Universitas Lampung.
14. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu
persatu.
Bandar Lampung, 21 Februari 2020
Penulis,
Nur Wafiqoh Hadi
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ......................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah ......................................................................... 3
1.3 Tujuan Penelitian ........................................................................... 3
1.4Manfaat Penelitian .......................................................................... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Matriks ......................................................................................... 4
2.1.1 Definisi Matriks ................................................................ 4
2.1.2 Beberapa Definisi Khusus dan Operasi Matriks ................ 5
2.1.2.1 Kesamaan Matriks ................................................. 5
2.1.2.2 Penjumlahan Matriks ............................................. 5
2.1.2.3 Pengurangan Matriks ............................................. 5
2.1.2.4 Perkalian suatu matriks dengan suatu bilangan ..... 6
2.1.2.5 Perkalian Matriks................................................... 6
2.1.2.6 Matriks Transpos ................................................... 7
2.1.2.7 Matriks Setangkup (Simetri) dan Matriks Tak Setangkup
(Skew-Simetri) ....................................................... 7
2.1.2.8 Matriks Kompleks Sekawan .................................. 7
2.1.2.9 Matriks Hermite dan (Skew-Hermite) ................... 8
2.1.2.10 Matriks Diagonal Utama dan Jejak Suatu
Matriks ................................................................... 8
2.1.2.11 Matriks Satuan ..................................................... 8
2.1.2.12 Matriks Nol .......................................................... 9
2.1.3. Determinan ........................................................................ 9
2.1.4 Invers Suatu Matriks .......................................................... 10
2.1.5 Matriks Tegaklurus (Orthogonal) dan Uniter (Unitary) .... 11
2.1.6 Macam-Macam Matriks ........................................... 12
2.1.6.1 Matriks diagonal. ................................................. 12
2.1.6.2. Matriks Blok Diagonal dan penjumlahan secara
langsung. ............................................................... 13
2.1.6.3. Matriks Segitiga.................................................... 14
2.1.6.4 Blokir matriks segitiga .......................................... 16
2.1.6.5 Matriks Hessenberg ............................................... 18
2.2 Barisan ......................................................................................... 18
2.3 Polinomial .................................................................................... 19
2.4 Bilangan Fibonacci dan Bilangan Lucas ...................................... 21
2.4.1 Jumlah n Suku Pertama Barisan Fibonacci ........................ 21
2.4.2. Identitas Bilangan Fibonacci dan Lucas ........................... 23
2.5 Komposisi Bilangan Asli ............................................................. 24
2.6 Prinsip Induksi Sederhana ............................................................ 24
2.6.1 Definisi Induksi .................................................................. 24
2.6.2 Basis induksi ...................................................................... 25
2.6.3 Langkah induksi .................................................................. 25
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ...................................................... 26
3.2 Metode Penelitian ....................................................................... 26
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Polinomial .................................................................................... 27
4.2 Bilangan Fibonacci Umum .......................................................... 32
4.3 Komposisi Tertentu dari Bilangan Asli ...................................... 35
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Matematika (dari bahasa Yunani: μαθημα - mathēma, "pengetahuan, pemikiran,
pembelajaran") adalah ilmu yang mempelajari hal-hal seperti besaran, struktur,
ruang, dan perubahan. Para matematikawan merangkai dan menggunakan
berbagai pola dan menggunakannya untuk merumuskan konjektur baru, dan
membangun kebenaran melalui metode deduksi yang ketat diturunkan dari
aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian. Matematika dibagi
dalam beberapa divisi yaitu matematika murni, matematika terapan, matematika
diskrit, dan matematika komputasi. Matematika murni (dari bahasa Inggris: pure
mathematics) adalah studi tentang konsep-konsep matematika secara bebas dari
aplikasi apapun yang berada diluar lingkup matematika.
Konsep ini berasal dari fakta pada dunia nyata, dan hasil yang diporelah dapat
diaplikasikan tetapi matematikawan murni tidak termotivasi oleh beberapa
pengaplikasian. Sebaliknya, daya tarik ini dikaitkan dengan tantangan intelektual
dan keindahan estetika dari mengerjakan konsekuensi logis dari prinsip-prinsip
dasar.
2
Matematika murni mencakup banyak hal yang dipelajari atau dibagi menjadi
banyak bidang didalamnya; seperti teori graf, aritmetika, aljabar, geometri,
trigonometri, kalkulus/analisis, analisis fungsional, teori himpunan, logika, teori
bilangan, kombinatorika dan topologi. Yang akan penulis bahas yaitu pada bidang
teori bilangan. Teori bilangan adalah bagian dari Matematika murni yang
mempelajari tentang bilangan bulat dan fungsi bilangan bulat yang bernilai.
Dalam hal ini, penulis akan membahas tentang kasus tertentu dari sebuah matriks
yaitu Matriks Hessenberg atas di mana semua elemen subdiagonalnya adalah
dengan bentuk
[
]
(1.1)
Penulis akan mempertimbangkan tiga jenis matriks yang terkait dengan
Polinomial, Fibonacci dan Komposisi Bilangan Asli, untuk menemukan makna
kombinatorial dari koefisien dari karakteristik polinomial. Sehingga akan
mendapatkan 3 koefiseien dari karakteristik polinomial dari 1 tipe matriks.
Koefisien polinomial karakteristik dari matriks jenis pertama, yaitu penjumlahan
minor utama, yang terkait dengan beberapa identitas binomial. Koefisien
polinomial karakteristik dari matriks jenis kedua, sebagai kasus tertentu, yang
3
disebut bilangan Fibonacci terkonvolusi. Koefisien dari polinomial karakteristik
dari matriks jenis ketiga dihubungkan dengan jenis komposisi bilangan alami.
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana cara menemukan
Koefisien dari Polinomial Karakteristik dari 3 jenis matriks.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mengaplikasikan Matriks Hessenberg Atas dengan Fibonacci, Polinomial
dan Komposisi Bilangan Asli .
2. Mendapatkan Koefisien dari karakteristik Polinomial dari 3 jenis matriks.
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Mengetahui jenis matriks yang baru dipelajari yaitu Matriks Hessenberg.
2. Mengetahui Matriks Hessenberg Atas yang dapat dikaitkan dengan
Fibonacci, Polinomial, Komposisi Bilangan Asli
3. Menambah pengetahuan baru tentang Teori Bilangan.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Matriks
2.1.1 Definisi Matriks
Suatu matriks berukuran atau matriks adalah suatu jajaran bilangan
berbentuk persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom. Matriks tersebut
ditulis dalam
(
) (2.1)
Setiap bilangan dalam matriks ini dinamakan elemen (unsur). Indeks dan
berturut-turut menyatakan baris dan kolom dari unsur tersebut.
Suatu matriks akan seringkali dinyatakan dengan suatu huruf, seperti misalnya A
dalam (1), atau dengan lambang ( ), yang menunjukkan unsur yang sesuai.
Suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris dinamakan suatu
( ) sedangkan suatu matriks yang hanya
mempunyai satu kolom disebut ( ). Jika
5
banyaknya baris dan kolom sama, matriksnya dinamakan matriks
bujursangkar berukuran , atau disingkat . Suatu matriks dikatakan matriks
riil atau matriks kompleks sesuai dengan apakah unsurnya bilangan riil atau
kompleks.
2.1.2 Operasi Matriks
2.1.2.1 Kesamaan Matriks
Dua matriks ( ) dan ( ) yang berukuran sama (yaitu memiliki
jumlah baris dan kolom yang sama) dikatakan sama jika dan hanya jika
2.1.2.2 Penjumlahan Matriks
Jika ( ) dan ( ) mempunyai ukuran yang sama didefinisikan jumlah
dari A dan B sebagai ( ) ( ).
2.1.2.3 Pengurangan Matriks
Jika ( ) dan ( ) berukuran sama, didefiniskan selisih dari A dan B
sebagai ( ) ( )
6
2.1.2.4 Perkalian suatu matriks dengan suatu bilangan
Jika ( ) ( ) didefinisikan hasilkali
sebagai ( )
2.1.2.5 Perkalian Matriks
Jika ( ) suatu matriks berukuran sedangkan ( ) suatu
matriks berukuran maka didefiniskan atau dari matriks A dan B
sebagai matriks ( ) dimana
∑ (2.2)
Dan C berukuran .
Perhatikanlah bahwa matriks didefinisikan jika dan hanya jika banyaknya kolom
dari A sama dengan banyaknya baris dari B. Matriks demikian seringkali
dinamakan conformable. Secara umum , yaitu hukum komutatif untuk
perkalian tidak berlaku secara umum. Tetapi hukum asosiatif dan distributif
berlaku, yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) (2.3)
Suatu matriks dapat dikalikan dengan dirinya sendiri jika dan hanya jika
matriks bujursangkar. Hasil kali dalam kasus ini ditulis . Dengan cara
7
yang sama didefinisikan pangkat suatu matriks bujur sangkar yaitu
dan seterusnya.
2.1.2.6 Matriks Transpos
Jika menukar baris dan kolom suatu matriks A, maka matriks yang dihasilkan
dinamakan transpos dari A dan dinyatakan Dengan lambang ditulis, jika
( ) maka ( )
2.1.2.7 Matriks Setangkup (Simetri) dan Matriks Tak Setangkup (Skew-
Simetri)
Suatu matriks bujursangkar dinamakan simetri jika dan skew-simetri
jika . Suatu matriks bujursangkar riil (yaitu matriks yang semua
unsurnya riil) dapat selalu dinyatakan sebagai jumlah dari matriks setangkup riil
dan suatu matriks tak setangkup riil
2.1.2.8 Matriks Kompleks Sekawan
Jika semua unsur dari suatu matriks diganti dengan kompleks sekawannya
maka matriks yang diperoleh dinamakan kompleks sekawan dari dan
dinyatakan
8
2.1.2.9 Matriks Hermite dan (Skew-Hermite)
Suatu matriks bujursangkar yang sama dengan transpos dari kompleks
sekawannya, yaitu dinamakan matriks Hermite. Jika , maka
dinamakan matriks (skew-Hermite). Jika riil, ini dapat direduksikan berturut-
turut menjadi matriks setangkup dan matriks tak setangkup.
2.1.2.10 Matriks Diagonal Utama dan Jejak Suatu Matriks
Jika ( ) adalah suatu matriks bujursangkar, maka diagonalnya yang terdiri
unsur-unsur ( ) dengan dinamakan diagonal utama dan jumlah semua
unsurnya dinamakan jejak dari matriks suatu matriks yang memnuhu
dinamakan suatu matriks diagonal.
2.1.2.11 Matriks Satuan
Suatu matriks bujursangkar yang semua unsur pada diagonal utamanya sama
dengan 1 sedangkan unsur lainnya nol dinamakan matriks satuan dan dinyatakan
dengan . Suatu sifat penting untuk adalah
(2.4)
Matriks satuan dalam aljabar matriks mempunyai peranan yang sama dengan
bilangan 1 dalam aljabar biasa.
9
2.1.2.12 Matriks Nol
Suatu Matriks yang semua unsurnya nol dinamakan matriks nol dan seringkali
dinyatakan dengan atau disederhanakan menjadi 0. Untuk suatu matriks yang
berukuran sama seperti 0 berlaku
(2.5)
Juga bila dan 0 adalah matriks bujur sangkar, maka
(2.6)
Matriks nol dalam aljabar matriks mempunyai peranan yang sama dengan
bilangan nol dalam aljabar biasa.
2.1.3. Determinan
Jika yang disajikan dalam (1) adalah suatu matriks bujur sangkar, maka
didefinisikan dengan suatu bilangan yang dinyatakan oleh
|
| (2.7)
10
yang dinamakan determinan dari dengan ukuran , ditulis ( ) untuk
mendefiniskan nilai suatu determinan, diharuskan mengenali beberapa konsep
berikut.
1. Minor
Diberikan suatu unsur dari . Suatu determinan berukuran ( ) yang
diperoleh dengan menghilangkan semua unsur di baris ke dan kolom ke
dinamakan minor dari
2. Kofaktor
Jika minor dari dikalikan dengan ( ) , maka hasilnya dinamakan
kofaktor dari dan dinyatakan dengan .
Nilai determinan didefinisikan sebagai jumlah dari hasilkali unsur-unsur pada
suatu baris [atau kolom] dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian, dan ini
dinamakan uraian Laplace. Dalam lambang ditulis
( ) ∑ (2.8)
2.1.4 Invers Suatu Matriks
Jika untuk suatu matriks bujursangkar terdapat suatu matriks sehingga
maka dinamakan invers dari dan dinyatakan Dasarnhya adalah
rumus berikut ini :
11
Jika suatu matriks tak singular berukuran , ( ) -
maka terdapat satu invers sehingga dan dapat
dinyatakan dalam bentuk
( )
( ) (2.9)
dimana ( ) adalah matriks dari kofaktor dan ( ) ( )
adalah transposnya
Bentuk berikut ini menyatakan sifat invers matriks:
( ) ( ) (2.10)
2.1.5 Matriks Tegaklurus (Orthogonal) dan Uniter (Unitary)
Suatu matriks riil dinamakan suatu matriks tegaklurus (orthogonal) jika
transposnya sama dengan inversnya, yaitu jika atau Suatu
matriks kompleks dinamakan suatu matriks uniter (unitary) jika kompleks
sekawan transposnya sama dengan inversnya, yaitu jika atau
Perhatikanlah bahwa matriks riil adalah matriks ortogonal (Murray, 1994).
12
2.1.6 Jenis-jenis Matriks
2.1.6.1 Matriks diagonal.
Matriks , - ( ) adalah diagonal jika dengan . Jika
semua entri diagonal dari matriks diagonal adalah bilangan real positif (tidak
negatif), kami menyebutnya sebagai matriks diagonal positif (nonnegatif). Itu
istilah matriks diagonal positif berarti bahwa matriks tersebut diagonal dan
memiliki entri diagonal positif; itu tidak merujuk ke matriks umum dengan entri
diagonal positif. Matriks identitas adalah matriks diagonal positif.
Matriks diagonal persegi D adalah sebuah matriks skalar jika semua entri
diagonalnya sama, yaitu, untuk beberapa . Perkalian kiri atau
kanan dari sebuah matriks dengan matriks skalar memiliki efek yang sama dengan
mengalikan dengan skalar yang sesuai.
Jika , - ( ) * +, maka diagonal
[ ] dinotasikan sebagai vektor entri diagonal dari ( ).
Sebaliknya, jika dan jika adalah bilangan bulat positif sehingga
* + , lalu diag ( ) menunjukkan matriks diagonal
sedemikian rupa sehingga diag ; untuk diag harus didefinisikan
dengan baik, keduanya harus ditentukan. Untuk ,
diag( ) selalu menunjukkan matriks , - ( ) sedemikian
rupa sehingga untuk setiap dan jika .
13
Misalkan , - , - ( ) adalah diagonal dan misalkan
, - ( ) diberikan. Maka (a) ∏ ; (b) D adalah
nonsingular jika dan hanya jika semua ; (c) perkalian kiri dari A dengan D
mengalikan baris A dengan entri diagonal D ( baris ke- dari adalah kali
dari baris ke-i dari A); (d) perkalian kanan dari A dengan D dengan mengalikan
kolom-kolom dari A oleh entri diagonal D, yaitu, kolom ke-j dari AD adalah
kali kolom ke-j dari A; (e) jika dan hanya jika setiap ;
(f) jika semua entri diagonal D berbeda dan , maka A adalah diagonal;
(g) untuk semua bilangan bulat positif k, (
); dan (h) dua
matriks diagonal dengan ukuran perhitungan yang sama:
( .
2.1.6.2. Matriks Blok Diagonal dan Penjumlahan Langsung.
Sebuah matriks ( ) dengan bentuk
[
] (2.11)
di mana ( ) ∑ , dan semua blok atas dan
bawah dari blok diagonal adalah blok nol, sehingga disebut blok diagonal. Lebih
mudah untuk menulis seperti berikut
(2.12)
14
Ini adalah penjumlahan langsung dari matriks . Banyak sifat matriks
diagonal blok yang menggeneralisasi sifat matriks diagonal. Misalnya, det
( ) ∏ ( )
, sehingga adalah nonsingular jika dan
hanya jika setiap adalah nonsingular, . Selanjutnya, dua
penjumlahan langsung dan
di mana setiap
memiliki ukuran yang sama dengan , dengan merubah jika dan hanya jika
setiap pasangan dan diubah, . Juga, barisan ( )
∑
Jika adalah nonsingular, maka ( )
dan
( ( ))( ) ( )( )( )
(( )( ) ( )( ) ), jadi argumen kontinuitas
memastikan hal itu
( ) ( ) ( ) (2.13)
2.1.6.3. Matriks Segitiga
Matriks , - ( ) adalah segitiga atas jika setiap . Jika
setiap , maka dikatakan segitiga atas rapat. Dianalogikan, T
adalah segitiga bawah (atau segitiga bawah rapat) jika transposnya adalah segitiga
atas (atau segitiga ketat rapat). Matriks segitiga adalah segitiga bawah atau atas;
15
matriks segitiga rapat adalah segitiga atas rapat atau segitiga bawah rapat.
Matriks segitiga satuan adalah matriks segitiga (atas atau bawah) yang memiliki
matriks pada diagonal utamanya. Kadang-kadang istilah adalah kanan (di tempat
atas) dan kiri (di tempat lebih rendah) digunakan untuk mendeskripsikan matriks
segitiga.
Misalkan ( ) diberikan. Jika T adalah segitiga atas, maka , -
jika , sedangkan 0 1 jika ; * +( ) adalah segitiga
atas dan adalah arbitrer (kosong jika ). Jika T adalah segitiga bawah,
maka , - jika , sedangkan [ ]jika ; * +( )
adalah segitiga bawah dan adalah arbitrer (kosong jika ).
Matriks segitiga kuadrat berbagi dengan matriks diagonal kuadrat properti yang
determinannya adalah produk dari entri diagonalnya. Matriks segitiga persegi
tidak perlu bolak-balik dengan matriks segitiga persegi lainnya dengan ukuran
yang sama. Namun, jika berbentuk segitiga, yang memiliki entri diagonal
yang berbeda, dan berpindah dengan , maka B harus berbentuk segitiga
dengan tipe yang sama dengan T (2.4.5.1).
Untuk setiap , perkalian kiri dari ( ) dengan matriks segitiga
bawah ( ) menggantikan baris ke-i dari A dengan kombinasi linear dari
yang pertama melewati baris ke-i dari A. Hasil melakukan sejumlah terbatas
16
operasi baris 3 tipe pada A (0.3.3) adalah matriks , di mana adalah matriks
segitiga unit yang lebih rendah. Pernyataan yang sesuai dapat dibuat tentang
operasi kolom dan perkalian kanan dengan matriks segitiga atas.
Pangkat matriks segitiga setidaknya, dan bisa lebih besar dari, jumlah entri bukan
nol pada diagonal utama. Jika matriks segitiga persegi adalah nonsingular,
kebalikannya adalah matriks segitiga dengan tipe yang sama. Sebuah produk dari
matriks segitiga persegi dengan ukuran dan tipe yang sama adalah matriks
segitiga dengan tipe yang sama; setiap entri diagonal dari produk matriks
tersebut adalah produk dari entri faktor.
2.1.6.4 Blokir matriks segitiga.
Matriks ( ) dari bentuk
[
] (2.14)
di mana ( ) ∑ , dan semua blok bawah blok
diagonal adalah nol, adalah blok segitiga atas; itu benar-benar memblokir segitiga
atas jika, dengan tambahan, semua blok diagonal adalah blok nol. Matriks adalah
blok segitiga bawah jika transposnya adalah blok atas segitiga; itu benar-benar
memblokir segitiga bawah jika itu transposnya secara ketat memblokir segitiga
atas. Dikatakan bahwa sebuah matriks adalah blok segitiga jika merupakan salah
satu dari blok segitiga bawah atau blok segitiga atas; sebuah matriks adalah kedua
17
blok bawah segitiga dan blok segitiga atas jika dan hanya jika adalah blok
diagonal.
Sebuah blok matriks segitiga atas di mana semua blok diagonal adalah 1 oleh 1
atau 2 oleh 2 dikatakan quasitriangular atas. Matriks merupakan quasitriangular
bawah jika transposnya merupakan quasitriangular atas; itu dikatakan
quasitriangular jika itu merupakan quasitriangular atas atau quasitriangular
bawah. Matriks yang merupakan quasitriangular atas dan quasitriangular bawah
dikatakan quasidiagonal.
Pertimbangkan blok persegi matriks segitiga A dalam (0.9.4.1). Kami memiliki
. Jika adalah nonsingular (adalah, jika adalah nonsingular
untuk semua ), maka adalah blok matriks segitiga dipartisi yang
sesuai dengan yang blok diagonalnya adalah
.
Jika ( ) adalah segitiga atas, maka 0 [ ]1
adalah blok segitiga
atas untuk setiap partisi berurutan * +
18
2.1.6.5 Matriks Hessenberg.
Matriks , - ( ) dikatakan bentuk Hessenberg atas atau menjadi
matriks Hessenberg atas jika untuk semua :
[
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ]
(2.15)
Matriks Hessenberg atas dikatakan tidak tereduksi jika semua entri
subdiagonalnya bukan nol, yaitu, jika untuk semua ;
pangkat matriks tersebut berada pada sedikitnya sejak kolom
pertamanya independen.
Misalkan ( ) menjadi Hessenberg atas yang tidak tereduksi. Kemudian
adalah bagian atas yang tidak tereduksi dari Hessenberg atas untuk semua
, jadi derajat ( ) untuk semua .
Matriks ( ) merupakan Hessenberg bawah jika adalah Hessenberg atas
(Horn & Roger, 2013).
2.2 Barisan
Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan-bilangan yang
urutannya berdasarkan bilangan asli. Suatu barisan yang terdiri yang terdiri dari n
19
suku biasanya dinyatakan dalam menyatakan suku ke-1
menyatakan suku ke-2 dan menyatakan suku ke- .
Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya
adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah
* +
Contoh-contoh barisan :
Barisan
Bisa dituliskan dengan rumus * +
Barisan
Bisa dituliskan dengan rumus 2
3
Penentuan tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba-coba.
(Dawkins, 2003)
2.3 Polinomial
Fungsi linier dan kuadrat adalah kasus khusus dari polinomial. Sebagai contoh
( ) adalah polinomial derajat 4, dan ( )
merupakan salah satu polinomial berderajat 6. Secara umum, bentuk
fungsi polinomial adalah
20
( )
(2.18)
Di mana n adalah bilangan bulat non-negatif dan merupakan
bilangan konstan, dengan . Kami menyebut merupakan derajat
polinomial, adalah koefisien, dan merupakan koefisien utama.
Polinomial berderajat 0 adalah konstan, salah satu berderajat satu merupakan
fungsi linier tidak konstan, dan salah satu berderajat 2 merupakan fungsi
kuadratik. Kami mengingat beberapa properti polinomial.
Jumlah atau ada dua polinomial juga merupakan polinomial. Jika r adalah akar
dari suatu polynomial ( ) berderajat n, maka ( ) habis dibagi .
( ) ( ) ( ) (2.19)
Dimana ( ) merupakan polinomial berderajat derajat .Sebuah polinomial
berderajat paling banyak memiliki n akar, dengan menghitung multiplisitasnya .
Cara mencari akar polinom dapat menggunakan pembagian. Pembagian polinom
ini dapat diselesaikan dengan dua cara yan pertama dengan cara bersusun dan
yang kedua dengan cara horner.
Contoh
Apakah polinom ( ) memiliki akar ?
Dapat dicari akarnya dengan menggunakan cara bersusun
21
Dengan memisalkan maka
√
Jadi, polinomial memiliki 3 akar yaitu x=3 atau x=2 dan x=6
(Apostol, 2007).
2.4. Bilangan Fibonacci dan Bilangan Lucas
2.4.1 Jumlah n Suku Pertama Barisan Fibonacci
Barisan Fibonacci didefinisikan sebagai berikut :
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Dalam hubungannya mencari jumlah n suku pertama, maka ini tak terlepas dari
deret. Simbol untuk menyatakan jumlah n suku pertama barisan Fibonacci (deret
Fibonacci). dan seterusnya.
22
Penjelasan : deretan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat
dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan
aturan ini, maka deretan bilangan Fibonacci yang pertama adalah :
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, dan seterusnya.
Deret Fibonacci diberikan dalam bentuk berikut ini :
∑ (2.24)
Bukti :
Dari persamaan diatas , subtitusi maka :
∑
∑( )
∑
∑
∑
23
Tabel 1. Barisan Fibonacci ( )
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
Tabel 2. Deret Fibonacci ( )
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10
1 2 4 7 12 20 33 54 88 144
2.4.2. Identitas Bilangan Fibonacci dan Lucas
Lucas mengembangkan barisan yang mempunyai sifat seperti barisan Fibonacci,
yang selanjutnya disebut barisan Lucas, yaitu 1, 3, 4, 7, 11, 18,...
Sifat dasar barisan Lucas sama dengan barisan Fibonacci, yang berbeda adalah
suku keduanya. Suku ke-n barisan Lucas dilambangkan dengan , dengan bentuk
umumnya
Selanjutnya diperoleh beberapa identitas bilangan Fibonacci dan bilangan Lucas :
a)
( )
b)
( )
c)
d)
24
e)
f)
g)
( )
h)
i)
j) .
k) (Milantika, 2017).
2.5 Komposisi Bilangan Asli
Komposisi dari n adalah suatu barisan berurut dari bilangan bulat positif yang
mempunyai jumlah sama dengan n. Suku-suku dari barisan tersebut disebut
bagian dari n. Diketahui bahwa komposisi dari n adalah dan banyaknya
komposisi dari n dengan k bagian yang sama dengan .
/ (Deutsch, 2005).
2.6 Prinsip Induksi Sederhana
2.6.1 Definisi Induksi
Misalkan ( ) adalah Teorema bilangan bulat positif dan ingin dibuktikan bahwa
( ) adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n. Maka langkah-
langkahnya adalah sebagai berikut :
1. ( ) benar
2. Diasumsikan ( ) benar, maka ( ) juga benar untuk setiap
Sehingga ( ) benar untuk semua bilangan bulat positif
25
2.6.2 Basis induksi
1) Digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan benar bila n diganti
dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil
2) Buat implikasi untuk fungsi berikutnya benar untuk setiap bilangan bulat
positif
2.6.3 Langkah induksi
1. Berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa ( ) benar.
2. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi (Sukirman, 1987).
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Waktu Dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan pada semester ganjil tahun akademik 2019/2020.
Adapun tempat dilaksanakannya penilitian ini adalah di Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Berikut adalah langkah-langkah penelitian yang dilakukan:
1. Memahami Matriks Hessenberg yang subdiagonalnya adalah -1.
2. Mengkaji keterkaitan antara Matriks Hessenberg dengan Polinomial, Bilangan
Fibonacci umum, dan jenis komposisi khusus dari bilangan-bilangan asli.
3. Menarik kesimpulan dari Matriks Hessenberg yang terkait dengan polinomial,
angka fibonacci umum, dan jenis komposisi khusus dari bilangan-bilangan
alami yang telah dibuktikan
V KESIMPULAN
Dari hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya dapat disimpulkan bahwa:
Matriks Hessenberg atas dengan subdiagonalnya adalah didefinisikan dengan
determinan matriks yang pertama sebagai polinomial, lalu yang kedua sebagai
bilangan Fibonacci dan determinan matriks yang terakhir sebagai bentuk
komposisi bilangan asli. Hasil dari pembuktian Matriks Hessenberg atas sehingga
mendapatkan jumlah minor utama dari matriks akan mendapatkan pembuktian
yang tepat dan benar.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. Bivens, I., & Davis, S. 2012. Calculus Early Transcendentals. John &
Wiley Inc., USA
Apostol, T. M. Calculus. 2007. John & Wiley Inc., USA.
Benjamin, A. T. & Quinn, J. J. 2003. Proofs That Really Count. MAA, USA.
Dawkins, P. 2003. Calculus II Sequences and Series. Texas, USA.
Deutsch, E. 2005. Advanced exercise H-641, Fibonacci Quart. 44 (2006), 188.
Grimaldi, R.P. 2007. Compositions and the alternate Fibonacci numbers,
Congruen Numer. 186 (2007), 81–96
Hill, M. G. 1976. Finite Mathematics With Application. Palatino, USA.
Horn, R. & Johnson, C. 2013. Matrix Analysis. Second Edition. Cambridege,
USA
Jancjik, M. 2010. Hessenberg Matrix And Integer Sequences Journal of Integer
Sequences. 13(10): 2-9.
Milantika, S. 2017. Solusi Bilangan Bulat Persamaan Diophantine Melalui
Bilangan Fibonacci dan Bilangan Luccas. (Skripsi).Jurusan
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Lampung. .