Matriz de covarianza 1

Matriz de covarianzaEn estadística y teoría de la probabilidad, la matriz de covarianza es una matriz que contiene la covarianza entre loselementos de un vector. Es la generalización natural a dimensiones superiores del concepto de varianza de unavariable aleatoria escalar.

DefiniciónSi las entradas del vector-columna

son variables aleatorias, cada una con varianza finita, entonces la matriz de covarianza Σ es la matriz cuya entrada(i, j) es la covarianza

donde

es el valor esperado de la entrada i-ésima del vector X. En otras palabras, tenemos

Como una generalización de la varianzaLa anterior definición es equivalente a la igualdad matricial

Por tanto, se entiende que esto generaliza a mayores dimensiones el concepto de varianza de una variable aleatoriaescalar X, definida como

donde

Matriz de covarianza 2

Propiedades

Para y , las siguientes propiedades fundamentales se

demuestran correctas:1.2. es semidefinida positiva3.4.5.6. Si los vectores y son de igual dimensión, entonces

7.8. Si y son independientes, entonces donde y son vectores aleatorios de dimensión , es un vector aleatorio , es

, y son matrices de .La matriz de covarianza (aunque muy simple) es una herramienta muy útil en varios campos. A partir de ella sepuede derivar una transformación lineal que puede de-correlacionar los datos o, desde otro punto de vista, encontraruna base óptima para representar los datos de forma óptima (véase cociente de Rayleigh para la prueba formal yotras propiedades de las matrices de covarianza). Esto se llama análisis del componente principal (PCA por sussiglas en inglés) en estadística , y transformada de Karhunen-Loève en procesamiento de la imagen.

Lecturas avanzadas• Covariance Matrix [1] en MathWorld• van Kampen, N. G. Stochastic processes in physics and chemistry. New York: North-Holland, 1981.

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ CovarianceMatrix. html

Fuentes y contribuyentes del artículo 3

Fuentes y contribuyentes del artículoMatriz de covarianza  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=64934239  Contribuyentes: Farisori, Felipebm, Juan Mayordomo, Riviera, Ronald2308, 4 ediciones anónimas

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