Mecanica e Ondas

fascıculo 1

Copyright c© 2008 Mario J. PinheiroAll rights reserved, V.1

February 25, 2008

Contents

1 Introducao 2

2 Espaco e Tempo 72.1 Nocoes pre-classicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Intervalos de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Ordens de grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Incertezas em medicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Arredondamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Sistemas de dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Equacoes de dimensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8 Homogeneidade dimensional. Analise dimensional . . . . . . . . . 142.9 Teorema Pi de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.10 Medidas de comprimento: distancias pequenas . . . . . . . . . . 182.11 Medidas de comprimento: longas distancias . . . . . . . . . . . . 182.12 Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.13 Medidas de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Mecanica e OndasLicenciatura de Engenharia Mecanica e Engenharia Naval

Mario J. Pinheiro

1

Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow. The im-portant thing is not stop questioning - A. Einstein

1 Introducao

Estes apontamentos de “Mecanica e Ondas” destinam-se aos alunos da licen-ciatura de Engenharia Mecanica e de Engenharia Naval do Instituto SuperiorTecnico. Procuramos expor a materia com objectividade e com cunho pratico.Neste curso nao se pretende que se memorizem muitas formulas, apenas asessenciais que assinalaremos no devido tempo. Procuramos transmitir conceitos,ideias e as leis da mecanica e, ao mesmo tempo, introduzir os princıpios funda-mentais da fısica.

Alguns problemas de aplicacao procuram ilustrar melhor a aplicacao da materia.Todos os assuntos teoricos e exercıcios que estejam marcados com asterisco saofacultativos, recomendaveis aos alunos mais interessados.

No desenrolar do curso iremos conhecer quais foram as contribuicoes cientıficasde grandes mestres pensadores, como o foram Kepler, Galileu, Copernico,Maxwell, Einstein, entre uma pleiade de muitos outros. Os seus trabalhos con-stituem o fundamento da nossa compreensao do mundo actual que, nao obstante,continua em perpetua transformacao.

A Mecanica estuda o movimento e as suas causas.

Introduziremos os elementos essenciais da linguagem da fısica:

• medidas de grandezas fısicas, unidade fısicas e padroes de unidades;

• calculo diferencial e integral;

• algebra vectorial.

Comecaremos por introduzir os elementos da linguagem que descreve o movi-mento:

• partıcula pontual em movimento rectilıneo;

• movimento no plano (movimento parabolico/balıstico);

• trajectoria do movimento circular.

E de capital importancia que alcancemos uma boa compreensao da relacao entreforca e movimento e veremos que essa relacao e bem representada pelas tres leisdo movimento de Newton.

2

Figure 1: Mecanica classica.

Figure 2: Partıcula ideal.

Sempre que uma partıcula e acelerada, desacelerada, ou muda a direccao esentido do seu movimento e porque esta sujeita a uma forca. As tres leis deNewton estabelecem a relacao entre forca e movimento.

Veremos qual a relacao entre a teoria e a experiencia pois que a fısica e umaciencia experimental. Toda a teoria deve estar fundamentada na experiencia.

A resolucao de problemas permitira adquirir uma solida compreensao das leisde Newton.

Em mecanica classica estudaremos o movimento de uma partıcula. O seumovimento e descrito atribuindo-lhe uma posicao em funcao do tempo.

O par de coordenadas (posicao + tempo) constitui um evento.

A descricao do movimento de uma partıcula ideal requer unicamente a medida

3

da sua posicao, instante de tempo e massa.

Posicao:

Se a partıcula move-se ao longo de uma:

• curva → 1 dimensao;

• superfıcie → 2 dimensoes;

• volume → 3 dimensoes.

A descricao do movimento requer

• a escolha de um sistema de referencia apropriado (a Terra, uma viatura,um plano inclinado,...) 1;

• um sistema de coordenadas com uma origem (sistema de eixos orienta-dos);

• instrucoes para associar o ponto material com o sistema de eixos eorigem 2.

No ambito da Mecanica classica o espaco e a 3 dimensoes, Euclideano, isto e, asoma dos angulos internos de um triangulo no plano e: ∆ = 180 0.

O tempo e absoluto, isto e, a taxa de variacao do tempo e e independente dolugar e da velocidade (isto e, e o mesmo para todos os observadores).

A obra de Sir Isaac Newton (1642 - 1727) intitulada “Philosophiae NaturalisPrincipia Mathematica” (publicada em 1686) constitui a base da explicacaocientıfica do mundo fısico e nao foi alterada desde entao. As leis enunciadas porNewton:

• leis do movimento,

• gravitacao universal,

constituem os fundamentos da engenharia e da fısica actuais. Nao obstante, foinecessario proceder a correccoes pois que os postulados do espaco-tempo taiscomo Newton os concebeu nao sao totalmente exactos.

Por exemplo, sabe-se que os raios de luz sofrem um desvio na proximidade deuma estrela o que se deve ao facto de que a geometria na proximidade de umaestrela e distorcida, de tal forma que ∆ 6= 180 0.

1Veremos mais tarde que este nao se confunde com o sistema de coordenadas.2Por exemplo, se as coordenadas forem esfericas teremos x = r sin φ cos θ e se forem co-

ordenadas cilındricas teremos por sua vez x = r cos θ, onde os sımbolos tem o significadohabitual.

4

Figure 3: Na base da Mecanica classica esta a suposicao de que o universo eregido por uma geometria euclideana e o tempo e absoluto.

Figure 4: Desvio de um raio de luz na proximidade de uma estrela.

5

Relogios que se movam a velocidades proximas da luz (v ∼ c) ou que estejamsujeitos a campos gravıticos registarao uma taxa de variacao temporal diferentequando comparados com relogios em repouso ou longe da accao de camposgravıticos, fenomeno que tem o nome de dilatacao do tempo.

Existem outros domınios onde os conceitos da Mecanica Classica claramentenao se aplicam. E tambem o caso das estrelas de neutroes onde se verificamaceleracoes da ordem dos a = 1011 g e os buracos negros que aprisionam aluz. Para descrever, compreender e predizer fenomenos com essa amplitude foicriada por Albert Einstein duas novas teorias:

• Teoria da Relatividade Especial,

• Teoria da Relatividade Generalizada (onde se assume que a energia curvao espaco-tempo e esta curvatura dita a dinamica dos corpos).

Contudo, os efeitos acima referidos sao desprezaveis a baixas velocidades (v ¿c) desempenhando um papel muito insignificante na mecanica newtoniana queiremos aqui estudar.

As partıculas elementares nao podem ser estudadas no ambito classico, pois queelas normalmente se deslocam a v ∼ c numa escala de tempo e espaco muitopequena onde os efeitos quanticos adquirem uma importancia muito grande.

6

A Mecanica desempenhou um papel fundamental no desenvolvimento das outrasciencias. A ciencia de Aristoteles 3 e os Escolasticos4 que a seguiram de perto,desenvolveram uma ciencia qualitativa e descritiva. A Mecanica actual e umaciencia que mede e faz previsoes.

2 Espaco e Tempo

Todos os processos fısicos tem lugar no espaco e no tempo. Todas as leis fısicascontem, explıcita ou implicitamente, relacoes entre comprimentos (espaco) eintervalos de tempo (duracao).

Movimento e a mudanca de posicao espacial dos corpos com o tempo. A posicaodo corpo e uma posicao relativa, definida em relacao a outros corpos. Ate aactualidade, e apos a revolucao conceptual inaugurada por Einstein com a Teoriada Relatividade Restrita, o conceito de posicao absoluta, isto e, a posicao deum corpo no espaco absoluto nao tera qualquer sentido.

2.1 Nocoes pre-classicas

Na verdade, a nocao de espaco absoluto ou eter desde muito cedo entrou na lin-guagem da ciencia. Parmenides 5 (544-460 AC) introduziu a nocao de contınuoem fı sica em oposicao a ordenacao descontınua de todos os corpos, incluindo arecta que como toda a figura geometrica, seria formada de monadas - corpusculos- postas em sequencia, ideia defendida por Pitagoras de Samos 6 (c. 580 e 504AC). Um dos discıpulos mais famosos de Parmenides foi Zenao de Eleia.

A ideia de Parmenides teve eco em Descartes que imaginava que o vacuo naoera vazio, que a materia e contınua e que ela forma uma coisa com extensao (resextensa).

Os trabalhos de Young, Fresnel e Huyghens afirmam a teoria ondulatoria daluz em contraposicao a teoria corpuscular da luz. Porem, permanecia por ex-plicar o caracter especıfico da sua propagacao. Servindo-se da analogia com a

3Aristoteles (384 a.C. - 322 a.C.) nasceu em Estagira. Foi discıpulo de Platao e professor deAlexandre, o Grande. Considerado um dos maiores pensadores de todos os tempos e criadordo pensamento logico.

4O Escolasticismo foi uma doutrina professada por academicos nas universidades medievaisno perıodo que decorre de 1100 a 1500 d.C. Integrava a filosofia antiga do tempo dos Gregoscom a filosofia medieval crista. Baseava-se no julgamento, desprezando a observacao dosfenomenos.

5Ele resumiu o seu programa numa frase celebre: Nao se pode conhecer o que nao existe,nem o enunciar: porque o que pode ser pensado e aquilo que pode existir sao uma mesmacoisa.

6Filolau, destacado discıpulo de Pitagoras, afirmou: “todas as coisas tem um numero enada se compreende sem o numero”.

7

propagacao do som, idealizaram que a onda luminosa fazia vibrar um suportematerial elastico e deformavel com propriedades exoticas, o eter 7.

Os trabalhos de James Clerck-Maxwell, publicados em 1873 num trabalhonotavel, mostraram que as ondas electromagneticas e a luz tem uma origemcomum (os campos electrico e magnetico) e mostraram igualmente que a suapropagacao requeria um substrato ”material”, o eter luminıfero.

Como veremos no capıtulo da mecanica relativista, o resultado nulo da ex-periencia de Michelson-Morley, isto e, a aparente impossibilidade de se detectaro movimento no eter, veio evidenciar o caracter superfluo do conceito de espacoabsoluto.

Esta e a concepcao actual do espaco-tempo, porque a tradicao Aristotelica domi-nou o pensamento europeu ate a Idade Media. A Escolastica medieval emped-erniu muitas das ideias de Aristoteles ate ao exagero.

A nocao cosmologica que Aristoteles introduziu, sugeria que todo o universo econstruıdo em 7 esferas, ocupando a Terra o seu centro. Todo o objecto tinhao seu lugar natural, para o qual tenderia desde que nada o impedisse. Assim,o movimento era determinado pelas ”causas finais” e accionado pelas ”causaseficientes”.

A doutrina de Aristoteles argumentava que os corpos celestes, sendo constituıdospor materia mais perfeita do que os objectos terrestres, deveriam mover-se emorbitas perfeitas por natureza. Atendendo a que a figura geometrica mais per-feita, concluıa-se que os planetas deveriam descrever circulos em volta da Terra.O sistema Ptolemaico, para ajustar os desvios das trajectorias planetarias emrelacao ao cırculo, introduziu epiciclos (cırculos dentro de cırculos), convertendoo movimento dos planetas numa mecanica extremamente complicada.

Com a Escolastica Medieval, o espaco adquiriu uma estrutura hierarquica e otempo so depois foi introduzido, no sentido em que foi imaginado um instanteda criacao do Universo com um final implıcito.

Com Copernico foi inaugurada uma revolucao no pensamento. Nao era maisnecessario tanta orbita complicada para descrever movimentos bem simples.Bastava colocar o Sol no centro do sistema planetario. Esta singular visao doCosmos contribuiu para a evolucao da nocao do tempo, nao havendo necessidadede conceber um instante da criacao do Universo e o seu terrıvel final. A evolucaodo pensamento a partir daqui levou a construcao duma visao do Cosmos ondenao ha pontos do espaco e nem instantes do tempo privilegiados. As leis daFısica podem ser referidas a qualquer ponto do Universo, assumidos como ocentro, e estabelecer-se determinadas relacoes entre grandezas.

7Ou ainda “aether” na linguagem dos maxwellianos, actualmente designa-se por vacuofısico ou ainda campo do ponto zero (em ingles, zero-point field).

8

2.1.1 Comprimento

Todas as leis fısicas contem relacoes do tipo espaco-tempo. Comprimentos saomedidos com reguas. So corpos rıgidos podem ser usados como reguas.

O padrao usado na medida de comprimentos e o metro. Em mecanica astres grandezas fundamentais sao: comprimento (L), massa (M) e tempo(T). Todas as outras quantidades fısicas (grandezas derivadas) podem serexpressa com essas quantidades.

Em 1960 foi estabelecido um conjunto de padroes para essas quantidades fun-damentais - trata-se do Sistema Internacional de unidades (SI). As outras quan-tidades estabelecidas pelo comite criado para o efeito sao:

• o Kelvin, para a temperatura, sımbolo (K);

• o mol, sımbolo (mol), para a quantidade de substancia;

• o ampere, para a corrente electrica, sımbolo (A);

• a candela para intensidade luminosa, sımbolo (cd).

No total constituem 7 unidades fundamentais.

A necessidade de um padrao comum de unidades pode-se compreender com umasituacao que ocorria com frequencia e completamente arbitraria: em 1120 o reide Inglaterra decretou que o padrao de comprimento no seu paıs seria o “yard”,igual a distancia que ia da ponta do seu nariz ate a ponta do braco do soberano...

Em 1979, em Franca definiu-se o metro como a decima milionesima parte dadistancia do Equador ao Polo Norte ao longo da linha horizontal (meridiano) quepassa por Paris. Em Outubro de 1983 redifiniu-se o metro como a distanciapercorrida pela luz no vacuo durante o intervalo de tempo igual a1/299792458 segundos. Esta definicao estabelece que a velocidade da luz novacuo e 299792458 m/s 8.

Uma quantidade fısica e uma propriedade atribuıda aos fenomenos naturais,corpos, substancias que pode ser quantificada, por exemplo, a massa ou a cargaelectrica. As quantidades fısicas podem ser usadas em equacoes matematicasutilizadas em ciencia e tecnologia.

A unidade e uma quantidade fısica particular, definida e adoptada por con-vencao, com a qual outras quantidades particulares da mesma especie sao com-paradas de modo a expressar o seu valor.

O valor de uma quantidade fısica e a expressao quantitativa (numerica) de umaquantidade fısica particular e e apresentada como o produto de um numero

8Esta definicao resulta do Postulado da Teoria da Relatividade Restrita, onde se defineque a velocidade da luz e constante e nao depende da direccao de propagacao.

9

Table 1: Unidades fısicas fundamentais.Sistema de unidades L M T

CGS cm g sSI m kg s

por uma unidade, o numero e o seu valor numerico. O valor numerico de umaquantidade fısica particular depende da unidade com que e expressa.

Por exemplo, a estatua equestre de D. Jose que se encontra no Terreiro do Pacotem a altura h = 14 m. Aqui h e a quantidade fısica. O seu valor expresso naunidade “metro” (sımbolo da unidade m) e 14 m. O seu valor numerico quandoexpresso em metros e 14.

2.1.2 Massa

O padrao de massa e o kilograma (kg) e e definido como a massa do prototipo in-ternacional em platina iridiada, sancionada pela Conference Generale des Poidset Mesures, reunida em Paris em 1889, e que se encontra depositado no Paveillonde Breteuil, em Sevres.

2.2 Intervalos de tempo

Intervalos de tempo sao medidos com relogios ou por qualquer outro processorepetitivo, cıclico.

A sua unidade padrao e o segundo (s) e define-se como a duracao de 9192631770perıodos correspondentes a transicao entre dois nıveis hiperfinos do estado fun-damental do atomo de cesio 133. Resumindo, as unidades destes objectos fısicosfundamentais encontram-se na Tabela 1.

2.3 Ordens de grandeza

2.3.1 Comprimentos

• O mais longınquo quasar 9 (1987): 2× 1026 m;

• Comprimento de onda da luz visıvel: 10−7 m;

• Raio do protao: 10−15 m.9Os quasares (abreviatura de Quasi stelars objectus) sao objectos de extrema luminosidade

encontrados na fronteira do Universo conhecido, distando mais de dois bilhoes de anos-luz daTerra. Tratam-se possivelmente de nucleos galacticos activados por buracos negros.

10

Figure 5: Massa molecular relativa de uma substancia.

2.3.2 Tempo

• Vida media de um protao: 1039 s;

• Idade do Universo: 5× 1017 s;

• Vida media da partıcula mais instavel: 10−23 s;

• Tempo de Planck 10: 10−43 s.

2.3.3 Massa

• Universo conhecido: 1053 kg;

• Elefante: 5× 103 kg;

• Electrao: 9× 10−31 kg.10Em fısica, o tempo de Planck (tP ), e a unidade de tempo no sistema de unidades conhecido

por unidades de Planck, denominado assim em honra de Max Planck. E o tempo que leva umfotao viajando a velocidade da luz no vacuo a percorrer a distancia igual ao comprimento dePlanck.

11

2.4 Incertezas em medicoes

Nas aulas de laboratorio terao oportunidade de adquirir bases mais solidas.

Qualquer medida de uma quantidade fısica nao e perfeita. Utiliza-se o termo“incerteza da medicao” para expressar este desvio em relacao ao seu valor real.Por outro lado convem ter presente que os resultados das medidas experimen-tais sao adaptados as necessidade reais, pois que ao procurar obter-se o valorde uma quantidade fısica com grande exatidao ha sempre um custo a pagar.Muitas analises sao efectuadas de modo a verificar se determinados limites naosao ultrapassados, por exemplo, a concentracao de fluoreto na agua potavel naodevera ultrapassar o 1 mg/l. Na era da globalizacao e fundamental comparar re-sultados no ambito do comercio e da industria. Tal so e possıvel se for conhecidaa incerteza da medicao da quantidade fısica.

A o efectuar medidas experimentais deve efectuar o seguinte procedimento(basico):

1. Especificar o “mensurando” 11;

2. Identificar as fontes de incerteza (por exemplo, apoiando-se num diagramade Ishikawa ou Espinha-de-peixe) 12;

3. Quantificar as componentes da incerteza;

4. Escolher o metodo usado para os estimar (tipo A-analise estatıstica deuma serie de observacoes; ou tipo B-outro que nao estatıstico de umaserie de observacoes);

5. Se escolher o metodo do tipo A, calcule a media e o desvio-padrao;

6. Se escolher o metodo do tipo B, entao um dos processos mais vulgarconsiste em assumir uma distribuicao triangular na ausencia de mais in-formacao. Estime os valores do limite inferior e superior a− e a+ da quan-tidade fısica em questao de modo que a quantidade em questao tenha 100% de probabilidade de se encontrar nesse intervalo. A melhor estimativado resultado e dado por X = (a++a−)/2 com incerteza uc = (a+−a−)/2.

Os resultados experimentais apresentam-se usualmente na forma, Xexp =X ± uc, onde uc e normalmente o desvio-padrao. Significa que o valor exper-imental estara provavelmente algures entre X ± uc com intervalo de confiancade aproximadamente 68 %.

11O que esta sendo medido.12Consulte o sıtio: http://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama espinha de peixe

12

Table 2: Equacoes dimensionais de diferentes grandezas fısicas.Grandeza Equacao de definicao Equacao de dimensao (MLT)

Massa F = ma [M]=MForca F = ma [F ] = MLT−2

Velocidade v = drdt [v] = LT−1

Aceleracao a = dvdt [a] = LT−2

Trabalho W = (F · dr) [W ] = ML2T−2

Energia potencial −∆V = W [V ] = ML2T−2

Energia cinetica T = 12mv2 [T ] = ML2T−2

2.5 Arredondamentos

A regra mais simples e a seguinte:

• quando o algarismo imediatamente a seguir ao ultimo algarismo a serconservado e inferior a 5, este ultimo algarismo a ser conservado permanecesem modificacao;

• quando o algarismo imediatamente seguinte ao ultimo algarismo a serconservado e igual ou superior a 5, este ultimo algarismo a ser conservadoe aumentado de 1 unidade.

2.6 Sistemas de dimensoes

A expressao de uma grandeza fısica A envolve a exactidao e precisao dessamedida assim como o estabelecimento de uma equacao de dimensao

[A] = F (L,M, T, ...). (2.1)

Esta equacao de dimensao e uma lei em potencia do tipo

[A] = MαLβT γ . (2.2)

2.7 Equacoes de dimensao

A equacao de dimensao de uma grandeza fısica so tem significado num dadosistema de dimensao. Na tabela 2 apresentamos a equacao de dimensao dediferentes grandezas fısicas.

A equacao de dimensao da forca e [F ] = MLT−2 e significa que a relacao entreas duas medidas F1 e F2 em dois sistemas de unidades diferentes e a seguinte:

F1 = MLT−2F2. (2.3)

13

Exercıcio: Converta newton (N) para dine 13.

Arbitremos a relacao 1N = x dine:

F1 = xdine F2 = 1Newton (2.4)

Isto implica que x = 103 × 102 × (1)−2=105, ou seja 1 N=105 dine.

2.8 Homogeneidade dimensional. Analise dimensional

Todas as equacoes fısicas satisfazem ao princıpio da homogeneidade dimensional.

Exercıcio: Durante um exame um estudante escreveu as seguintes equacoes:

v = v0 + at2

md2xdt2 = g

(2.5)

Faca uma analise dimensional de cada equacao e diga porque nao esta correcta.

A analise dimensional e util para:

1. encontrar erros nas formulas obtidas atraves de um calculo ou mesmo errostipograficos;

2. util para verificacao das unidades no final de longos calculos matematicos.

A analise dimensional e baseada no facto que todos os termos de uma equacaoque descreve um fenomeno tem as mesmas dimensoes.

Aplicacoes da analise dimensional:

1 verificacao de derivacoes matematicas;

2 transformacao de uma expressao matematica noutra forma mais simples paraverificacao experimental;

3 Deducao, a partir de um grande numero de dados experimentais, de umaformula mais apropriada para usos praticos;

4 obtencao de coeficientes e relacionar o modelo matematico com o modelofısico;

5 simplificacao da apresentacao de dados experimentais.

Dimensionalidade:

• Um parametro nao-dimensional nao ve o seu valor alterado aquando deuma transformacao de unidades

13Escreve-se mesmo dine por extenso.

14

Figure 6: Novo exemplo de analise dimensional com a equacao da velocidade.

• Num problema envolvendo N parametros fısicos, se m−k parametros se en-contram expressos em termos dos restantes k parametros, os k parametrossao dimensoes fundamentais (por ex., M, L, T, etc) e os n−k sao dimensoesderivadas

• em mecanica classica, k → M, L, T

• em propagacao de calor, k → M, L, T, θ

• em electrodinamica, k → M, L, T,Q

• A escolha destas unidades fundamentais nao e necessaria.

Resumindo, as regras a reter desde ja sao as seguintes:

• Numa equacao so podemos adicionar ou subtrair quantidades com amesma dimensao;

• as quantidades nos dois membros de uma equacao devem ter a mesmadimensao;

• a analise dimensional nao permite verificar se constantes como π,√

2,...estaocorrectas ou nao.

15

Figure 7: Ultimo exemplo: obtencao da expressao do perıodo do pendulo simplespor meio da analise dimensional.

2.9 Teorema Pi de Buckingham

14

Qualquer equacao fısica completa

f(X1, X2, X3, ..., Xn) = 0 (2.6)

envolvendo n variaveis Xn, cada uma das quais podendo ser medida em termosde k dimensoes fundamentais, e dimensionalmente equivalente a uma funcao den− k produtos independentes adimensionais. Assim,

f(X1, X2, X3, ..., Xn) = 0 =⇒ φ(Π1, Π2, Π3, ..., Πn) = 0 (2.7)

Exemplo: Considere um problema que envolve 5 parametros fısicos:

f(X1, X2, X3, X4, X5) = 0. (2.8)

Se este problema nao envolve fluxos de calor ou electrodinamica, entao k = 3,n = 5 e

φ(Π1, Π2) = 0, (2.9)

14Este e um topico mais avancado. Pode omitir.

16

onde se verifica[ Π1] = [Xα1

1 Xβ12 Xγ1

3 X4] = [1][ Π2] = [Xα2

1 Xβ22 Xγ2

3 X4] = [1](2.10)

α, β e γ devem ser tais que Π1, Π2 nao tenham dimensoes.

Exemplo: A equacao de Langmuir-Child

Suponha que realizou uma serie de experiencias com correntes electricas quefluem entre dois electrodos separados por um plasma. Determinou que a variaveldependente J , a densidade de corrente em A/m2 e as variaveis independentes:

n - e/m

L - distancia entre os electrodos

V - potencial aplicado

ε - permitividade do meio

Entao:f(J, n, L, V, ε) = 0 (2.11)

Aplicando o Teorema Π de Buckingam

[Π1] = [Π2] = [nα.Lβ .V γ .εδ.J ] = [1] (2.12)

Esta expressao pode ser apresentada numa forma mais util:

J = C0nαLβV γεδ, (2.13)

onde C0 e uma constante e α = 1α , e por aı adiante. Da Tabela 2, concluımos

que:[J]=QL2T [V]=L2M QT 2

[n]=QM [ε] = T 2Q2

L3M[L] = L -

(2.14)

Conclui-se que:(

Q

M

)α

.Lβ .

(L2M

QT 2

)γ

.

(T 2Q2

L3M

)γ

=Q

L2T(2.15)

Separando os expoentes, tem-se

M : -α + γ − δ =0L : β + 2γ − 3δ =-2T : -2γ + 2δ = −1Q : α− γ + 2δ =1

(2.16)

Resolvendo o sistema de equacoes obtem-se

α = 12 β = −2 γ = 3

2 δ = 1 (2.17)

e, finalmente, obtemos a relacao procurada:

J = C0εn1/2V 3/2/L2. (2.18)

17

2.10 Medidas de comprimento: distancias pequenas

As medidas das grandezas fısicas so poderao ser directas se estiverem dentro deuma gama de 4 ou 5 ordens de grandeza em torno da nossa escala natural, quee digamos, 1 m.

Distancias pequenas sao medidas com um microscopico optico se as distanciasestiverem na gama dos comprimentos de onda da luz visıvel, ou por microscopiaelectronica se as distancias forem ainda menores, da ordem de 10−8 m (tamanhotıpico de um vırus).

A natureza ondulatoria dos objectos microscopicos introduzem limitacoes naprecisao com que a sua dimensao pode ser definida, expressas no “Princıpio daIncerteza de Heisenberg” 15.

2.11 Medidas de comprimento: longas distancias

Distancias longas sao medidas com frequencia pelo metodo da triangulacao.Munidos de um teodolito 16, dois pontos de observacao O e O distantes de b,poderıamos determinar a distancia a um ponto A (Fig. 8):

d sin α = d′ sin α′

d cos α + d′ cosα′ = b(2.19)

donde se obtem:d =

b

(cos α + sin αsin α′ cos α′)

. (2.20)

Esta tecnica e muito usada em Astronomia, onde e conhecida como “paralaxetrigonometrica” e e aplicada na determinacao das distancias a que se encontramas estrelas.

Eratostenes 17 usou uma variante deste processo no seculo III AC para mediro raio da Terra. Aristoteles tinha argumentado que a Terra era redonda poisera esta forma da sombra projectada pela Terra sobre a superfıcie lunar sempreque se interpoe entre o Sol e a Lua. O seu metodo foi o seguinte: no dia do

15Werner Karl Heisenberg (1901 1976) foi um celebre fısico Alemao e premio Nobel. Foium dos fundadores da Mecanica Quantica e um dos maiores fısicos do Sec. XX. Em MecanicaQuantica, o Princıpio da Incerteza de Heisenberg afirma que a localizacao de uma partıculamicroscopica numa pequena regiao faz com que a determinacao do seu momento linear fiqueafectado de uma incerteza, ou de modo complementar, quando se mede o momento linear deuma partıcula, tal implica que a posicao da mesma e incerta.

16O teodolito e um pequeno telescopio usado em geodesia ou astronomia. Geralmente tem aforma de um tripe centrado sustentando uma plataforma onde se encontra o telescopio opticocolocado de tal forma que permite a leitura em escalas graduadas dos angulos de direcao e deinclinacao de um determinado ponto.

17Eratostenes de Alexandria (276-194 AC), nascido em Cirene, actual Shahhat, Lıbia, foium famoso geografo grego. A cidade de Alexandria foi um importante centro cultural, fundadapor Alexandre Magno.

18

Figure 8: Metodo da triangulacao.

soltıscio de verao (o dia mais longo do ano), na cidade de Siena (actual Aswan)ao meio dia os raios solares eram exactamente verticais. Ao mesmo tempo, emAlexandria, sobre o mesmo meridiano 18, os raio solares faziam um angulo deθ ' 7.20 com a vertical. Conhecia-se a distancia s entre Alexandria e Siena.Ora e facil de ver que

s = Rθ =⇒ R =s

θ=

5000stadia

7.2, (2.21)

donde se tiras

2πR=

7.2360

=150

=⇒ C = 2πR = 50s, (2.22)

eR =

5000× 157m

7.2× π180

= 39250km. (2.23)

Ou seja, Eratostenes determinou que o raio da Terra seria de 39250 m, obtendo-ocom um erro inferior a 2 % o que constitui um facto notavel.

2.12 Sistemas de coordenadas

A descricao do movimento e muito subtil. Por experiencia propria todos ja nosapercebemos que quando a chuva cai pode nos parecer que cai na vertical se

18Linha imaginaria passando pelos Polos Norte e Sul e fazendo um angulo recto com oequador.

19

estivermos parados, mas o mesmo fenomeno observado de um carro em movi-mento ja nos parecera diferente, a chuva parecera cair obliquamente. O penduloem oscilacao tera um comportamento diferente quando observado num local emrepouso, mas tera um comportamento diferente se for posto em oscilacao nointerior de uma viatura em andamento acelerado ou em vibracao devido a ir-regularidade do piso. Estas situacoes sugerem uma relatividade do movimento elevanta a seguinte questao: em relacao a que deveremos reportar o movimento?Assim, deveremos definir um referencial e com ele eixos de coordenadas, isto e,um sistema de coordenadas.

Distancias e angulos sao usados para fixar a posicao de um ponto no espaco,em relacao a um dado referencial. O caso mais simples e o das “coordenadascartesianas” 19, definido por uma origem O e dois eixos ortogonais, em relacaoaos quais a posicao de um ponto P e definida pelas suas coordenadas x (abscissa)e y (ordenada): P (x, y), tal como ilustramos na Fig. 6.

O sistema de coordenadas polares e definido por uma origem O e uma direccaode referencia Ox, tal como mostra a Fig. 10. A posicao de um ponto P e fixadapela sua distancia r a origem e pelo angulo θ que a direccao OP faz com Ox:P (r, θ).

O modo mais simples de visualizar o movimento de um ponto no espaco recorrea tres coordenadas (x,y,z) cartesianas (Vd. Fig. 11). Por exemplo, podemosaplicar um sistema a 3 dimensoes semelhante as coordenadas polares para de-screver o movimento de uma nave a superfıcie da Terra com o auxılio de 3numeros: (r, θ, λ).

Dependendo do tipo de problema podera ser mais conveniente usar o sistemade coordenadas esferico (Fig. 12) ou cilindrico (Fig. 13).

2.13 Medidas de tempo

Qualquer fenomeno periodico pode ser associado com um relogio. Exemplos:

• relogio de Sol;

• relogio de agua (clepsidra) 20

19O essencial das matematicas Gregas esta exposto nas obras de Euclides, Pitagoras eArquimedes. Os Gregos desenvolveram uma visao muito clara e abstracta da natureza e dosseus elementos. Reduziram toda a construcao geometrica a algumas figuras que podiam sertracadas com o auxılio de um esquadro e de um compasso. Os Gregos ja usavam de certaforma o que hoje designamos por coordenadas, mas serviam apenas para a representacao, por

exemplo, no estudo das conicas. Assim, eles escreviam MP2

OA2 + MQ

2

OB2 = 1, onde M representa

um ponto sobre a elipse de semi-eixos maior OB e semi-eixo menor OA sendo MP e MQ

comprimentos. A grande descoberta de Descartes consistiu em substituir MP por y e MQpor x, substituindo o que era uma propriedade geometrica de uma elipse por uma expressaoalgebrica.

20Usado por Galileu nas suas experiencias de cinematica.

20

Figure 9: Do estudo das conicas Descartes teve a ideia do sistema de coorde-nadas.

Figure 10: Coordenadas polares.

21

Figure 11: Coordenadas rectangulares. E o sistema de mais facil visualizacao.

Figure 12: Coordenadas esfericas.

22

Figure 13: Coordenadas cilindricas.

• relogio de areais (ampulhetas);

• relogio de pendulo;

• relogio atomico

Os metodos directos de medidas de tempos muito curtos sao metodoselectronicos. Um dos aparelhos utilizados para este fim e o osciloscopio.

O principal metodo empregado para medir tempos muito longos e o dadatacao radioactiva:

t = T1/2 ln(N0

N(t)) (2.24)

onde T1/2 designa a meia-vida. Por exemplo, para o U238, T1/2 ≈ 4.5×109 anos.Se N0 representa a populacao inicial de aatomos radioactivos, apos decorridoum tempo t se encontrara presente na amostra a populacao N(t). Existem aindaoutras alternativas:

1 datacao geologica pelo K40;

2 datacao geologica com carbono radiactivo.

23