Mecanica e Ondas

fascıculo 24

May 31, 2008

Contents

24.1 Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42724.2 Equacao fundamental da hidrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . 43024.3 Princıpio de Arquimedes (impulsao hidrostatica) . . . . . . . . . 43424.4 Equilıbrio dos corpos fluctuantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43424.5 Metodos de descricao e regime de escoamento . . . . . . . . . . . 43624.6 Equacoes integrais. Nocao de volume de controle . . . . . . . . . 43724.7 Conservacao da massa. Equacao de continuidade . . . . . . . . . 43824.8 Equacao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

Mario J. PinheiroDepartamento de Fısica e Instituto de Plasmas e Fusao NuclearInstituto Superior Tecnicoemail: mpinheiro@ist.utl.pt

426

“Do not say a little in many words but a great deal in a few.”

- Pitagoras.

24.1 Fluidos

A mecanica dos fluidos tem grande importancia para o engenheiro mecanicoporque e necessario uma boa compreensao no estudo de compressores, motoresa jacto, trocadores de calor. Tem igualmente grande importancia para o engen-heiro naval ou aeroespacial, porque e necessario conhecer a fundo o escoamentodo ar em torno dos objectos. Nos aqui faremos uma curtısiima introducao.

A dinamica estuda o movimento da materia e esta dividida em dinamica doscorpos rıgidos e a dinamica dos corpos nao rıgidos. A dinamica dos corposnao rıgidos compreende a teoria da elasticidade (corpos elasticos solidos) e amecanica dos fluidos.

Um fluido e uma substancia que nao resiste a uma forca de cisalhamento ou auma tensao no sentido geral sem se mover. Tensao de cisalhamento 1 e um tipode forca aplicada em sentidos opostos porem na mesma direccao.

Um fluido poder ser um gas ou um lıquido. Um lıquido esta sujeito a forcasintermoleculares que manem as moleculas unidas de modo a formar volume,embora sem forma definida. Quando um lıquido e colocado num reservatorio,ocupa o espaco delimitado pela forma do reservatorio e a superfıcie livre dolıquido. Os lıquidos caracterizam-se pela fraca compressiblidade e a sua massaespecıfica ρ varia pouco com a temperatura ou a pressao.

As partıculas constituintes de um gas estao sujeitas a forcas mais tenues e col-idem entre si de modo caotico, tendendo a dispersar-se sem terem forma ouvolume definidos, ou a ocuparem completamente o volume do reservatorio.

No estado de equilıbrio a tensao normal (isto e, a pressao p) nao depende daorientacao da superfıcie sobre a qual se exerce (lei de Pascal):

p = px = py = pz (24.1)

A pressao que existe num fluido resulta da sua compressao. Como nao podehaver constangimentos tangenciais a um fluido, as propriedades elasticas dofluido caracterizam-se por um unico constrangimento elastico, o coeficientede compressao:

γ = − 1V

∂V

∂p(24.2)

Se supusermos que durante a compressao a temperatura do fluido permanececonstante, deveremos escrever a formula anterior da seguinte maneira:

γT = − 1V

(∂V

∂p

)

T=const

. (24.3)

1Tambem conhecida por tensao de corte.

427

Figure 1: O mar do Japao pintado pelo grande artista japones do perıodo Edo,Katsushika Hokusai (1760 - 1849) .

Figure 2: Tensao de cisalhamento.

428

Figure 3: Efeito das minas anti-submarino.

Os lıquidos sao muito pouco compressıveis. Uma experiencia simples pode serfeita que ilustra esta propriedade. Encha-se de agua pela metade um recipienteem plastico. Um tiro de bala de pressao de ar perfurando a garrafa de plasticoacima da superfıcie livre do lıquido fara apenas um pequeno buraco no plastico;um tiro que atravesse o lıquido provoca a explosao da garrafa porque o lıquido esujeito a fortes pressoes. Este efeito e devastador para os submarinos porque aexplosao de minas anti-submarinos 2 desenvolve pressoes terrivelmente elevadas,capazes de destruir o submarino (Fig. 3).

Exemplo 1: Calcule o incremento de pressao da Vo = 1 litro de agua (a pressaode po = 1 Pa) quando este e submetido ao aumento de volume ∆V = 10−3Vo l.Sabe-se que γT = 0.4776× 10−9 Pa−1 a temperatura de 10 o C.

Pela Eq. 24.2 temos em primeira aproximacao∫ p

podp′ = − 1

γ

∫ V

Vo

dVV

∆p = p− po = − 1γ ln V

Vo

∆p = 2.1× 106Pa.

(24.4)

Resulta daqui um incremento de pressao enorme!

Devido a sua pequena compressibilidade dos lıquidos, despreza-se com frequencia2Em ingles, designam-se por “depth charges”.

429

a sua variacao de volume, tratando o fluido como incompressıvel. Os gases pos-suem uma compressibilidade notavel.

No estado de equilıbrio a pressao p de um lıquido ou de um gas varia com a suadensidade ρ e a sua temperatura T :

p = f(ρ, T ). (24.5)

Esta relacao e conhecida por equacao de estado.

Quando um fluido esta em movimento ele pode ser submetido nao so a forcasde tensao normal (pressao), mas tambem a forca tangenciais, onde se incluema viscosidade.

Um fluido no seio do qual nao existem forcas de atrito e dito fluido perfeito.

24.2 Equacao fundamental da hidrostatica

As forcas que se exercem sobre um fluido subdividem-se em forcas massicas(volumicas) e forcas de superfıcie.

A equacao de equilıbrio de um fluido e dada por

−→f =

1ρ

−−→gradp =

1ρ∇p, (24.6)

onde representamos por−→f a forca por unidade de massa (em unidades N/kg).

A pressao e definida como tensao, ou forca de contacto por unidade de area:

p ≡ lim∆S

∆F

∆S=

dF

dS. (24.7)

Exemplo 2: Determine a formula que da a elevacao de pressao com a alturade uma coluna de fluido no campo gravıtico em equilıbrio estatico.

Sendo a unica forca a que esta sujeito o fluido o campo gravıtico (suposto agirao longo do eixo Oz), da Eq. 24.6 podemos escrever

fx = 0; fy = 0 ; fz = −g∂p∂x = 0; ∂p

∂y = 0; ∂p∂z = −ρg∫ p2

p1dp = −ρg

∫ z2

z1dz

p2 − p1 = ρg(z2 − z1).

(24.8)

Tratamos o fluido como incompressıvel, ρ = const.

Assim, defenirmos p1 a pressao a superfıcie de um lıquido, z = 0, a Eq. 24.8-(d)determina a pressao que o fluido exerce sobre o fundo ou as paredes laterais dorecipiente que o encerra. E a formula mais importante da hidrostatica.

430

Exemplo 3: Hidrostatica dos fluidos compressıveis.

Use a equacao de estado dos gases ideais 3, p = RTµ ρ, onde µ e o peso molecular

do gas e R e a constante dos gases perfeitos cujo valor numerico aproximado eR = 8.31 J.K−1.mole−1. A equacao que nos interessa e

dpdz = −ρg= − µg

RT p(24.9)

Na ausencia de ventos ou correntes atmosfericas, estando a atmosfera imovel,dizemos que ela se encontra no estado de equilıbrio mecanico. Se alem disso,considerarmos que ela se encontra no estado de equilıbrio termico com a tem-peratura T igual em todos os pontos do espaco dizemos que a atmosfera eisotermica. A Eq. 24.9 pode-se entao integrar facilmente:

dpp = − µg

RT dz

ln ppo

= − µgRT z

∴ p = poe−µgz

RT

∴ ρ = ρoe−µgz

RT .

(24.10)

As duas ultimas relacoes chamam-se de formulas barometricas, onde po e ρo saoa pressao e a densidade ao nıvel do solo.

Exemplo 4: A ponta de uma agulha com uma area de contacto S = 10−8

m2 sobre uma dada superfıcie de apoio, exerce a pressao p = 108 Pa, quandopressionada com a forca de 1 N (ou 100 g).

Exemplo 5: Prensa hidraulica (Fig. 4): Dois cilindros fechados por embolosmoveis de areas S1 e S2 encontram-se ligados um ao outro por um tubo estreito,estando o volume interior cheio de um lıquido (usualmente agua ou oleo). Comoa pressao e a mesma em qualquer ponto da parede e no interior do lıquido, temosa relacao:

p1 = F1S1

= p2 = F2S2

⇒ F2 = S2S1

F1(24.11)

Sendo S2 À S1 conclui-se que actuando com uma pequena forca no cilindromenor, obtem-se uma forca muito maior ni cilindro maior.

Exemplo 6: Vasos comunicantes: Se um recipiente e formado por diversosramos com comunicacao entre si, o princıpio de Pascal ja referido, permite-nos prever que se um lıquido o preencher, entao ele sobe a mesma altura hem todos os ramos (princıpio dos vasos comunicantes, vd. Fig. 5-(a)). Se emdois ramos de um tubo em U temos dois lıquidos nao miscıveis de densidadediferente, ρ1 6= ρ2, eles subirao a alturas diferentes. Podemos considerar umplano AB comum a um mesmo fluido e no qual a pressao e p (Fig. 5-(b)). Comona superfıcie de ambos os lıquidos a pressao devera ser necessariamente igual,conclui-se que

p = po + ρ1gh1 = po + ρ2gh2

∴ h1h2

= ρ2ρ1

.(24.12)

431

Figure 4: Prensa hidraulica.

Figure 5: (a) Lıquido homogeneo em vasos comunicantes; (b) Alturas de lıquidosnao misciveis com densidades diferentes em vasos comunicantes.

432

Figure 6: Sujeito mergulhado na agua e respirando por um tubo.

Exemplo 7: Muitas pessoas pensam, ingenuamente, que se um tubo flexıvelestiver com a boca fluctuando acima do nıvel da agua sera possıvel respiraratraves dele enquanto estiverem mergulhadas (Fig. 6). Porem, a pressao ex-ercida pelaagua nos seus pulmoes opoe-se a expansao do torax e dos pulmoes.Imagine que voce seja capaz de respirar deitado no chao com um peso de 400 Nsobre a caixa toracica. A que profundidade, na agua, voce conseguiria respirar,admitindo que a area frontal da caixa toracica seja de 0.09 m2?

Tem-sedF = pdS = ρghLdh

F =∫ h2

h1dF =

∫ h2

h1ρghLdh = 1

2ρgL(h22 − h2

1)(24.13)

A area frontal da caixa toracica e S = L(h2 − h1) e L e a largura da caixatoracica da pessoa. Podemos rearranjar a expressao anterior na forma

F = 12ρgL(h2 − h1)(h2 + h1) = 1

2ρgS(h2 + h1)h = 1

2 (h1 + h2)⇒ F = ρgSh

∴ h = FρgS

h = 400N(103kg/m3)(9.8m/s2)(0.09m2) ≈ 45cm.

(24.14)

3Por vezes chamada por equacao de Clapeyron (1799-1864).

433

24.3 Princıpio de Arquimedes (impulsao hidrostatica)

Consideremos um corpo solido de forma cilindrica imerso num lıquido dedesnidade ρ ate a profundidade h. As forcas laterais exercidas sobre o cilindroequilibram-se simetricamente. Porem, a pressao exercida na base do cilindro dearea S e maior do que a pressao exercida no topo:

p2 − p1 = ρgh (24.15)

A resultante das forcas, a impulsao−→E , edirigida para cima:

E = (p2S − p1S) = ρghS = ρV g = mfg−→E = mf

−→g = −−→w f .(24.16)

onde mf e a massa do fluido deslocado. A impulsao de Arquimedes produz umaperda aparente de peso que e igual ao peso do lıquido deslocado, −→w f .

24.4 Equilıbrio dos corpos fluctuantes

Na posicao de quilıbrio, a resultante da impulsao−→I e o peso −→w tem que ser

nula, assim como o torque respectivo. PAra que tal aconteca, O centro deimpulsao C e o centro de gravidade G do corpo devem estar alinhados sobre amesma verticla (Fig. 7-(a)). Quando o corpo gira a porcao de fluido deslocadomuda de forma e o centro de impulsao passa a ocupar uma nova posicao C ′.O prolongamento ascendente da vertical que passa por C ′ encontra o eixo quepassa pelos pontos C e G num ponto M que se chama de metacentro. Se Mesta localizado acima de G, o torque resultante tende a restabelecer a posicaode equilıbrio e o equilıbrio e estavel; se M estiver abaixo de G, o torque tendea aumentar o desiquilıbrio e este e dito instavel. Por este motivo, quando numapequena embarcacao os ocupantes se levantam, elevam a posicao do ponto G,tornando-o mais instavel, ou provocando o seu desiquilıbrio.

Exemplo 8: Um bloco de madeira, cuja densidade relativa a agua e ρ, tem asdimensoes a, b, c. Enquanto fluctua na agua, com o lado a na vertical, o blocoe empurrado para baixo e abandonado em oscilacao livre. Calcule o perıodo deoscilacoes resultante.

As forcas aplicadas no bloco sao o peso −→w = m−→g e a impulsao−→I = (bcy)

−→j ,

onde−→j e o versor orientado na vertical dirigido ao longo do eixo Oy. A equacao

do movimento e−→w +

−→I = m−→a (24.17)

No equilıbrio mecanico tem-se −→a = 0, donde resulta

−→w = −−→I∴ ρm(abc)g = g(bc)yeqρa

yeq = ρmaρa

(24.18)

434

Figure 7: Embarcacao e forcas responsaveis pelo movimento de rolamento.

435

onde yeq representa a altura imerso a que se encontra o bloco de madeira noestado de equilıbrio mecanico e ρm denota a densidade do material, m = ρmabce ρa a densidade da agua.

No estado fora do equilıbrio, verifica-se

−→w +−→I = m−→a

−ρm(abc)g + g(bc)yρa = ρm(abc)d2ydt2

d2ydt2 = g(−1 + y

aρ )d2ydt2 = − g

aρ (y − yeq)

(24.19)

onde ρ = ρm

ρa. Fazendo uma apropriada mudanca de variavel, Y = y − yeq,

obtemosd2Ydt2 + g

aρY = 0Y (t) = A sin(ωt + δ)

ω =√

gaρ

T = 2πω = 2π

√aρg ,

(24.20)

24.5 Metodos de descricao e regime de escoamento

Como poderemos descrever o movimento de um fluido? Existem dois metodosconhecidos:

Metodo de Lagrange : Segue-se o movimento de uma partıcula do fluido,−→r = −→r (t,−→r o, to). Quando t varia, o vector −→r descreve a trajectoria dapartıcula do fluido. Este metodo raramente tem interesse.

Metodo de Euler : Fixamos a posicao de observacao num dado ponto −→r dofluido e verificamos como varia a velocidade do fluido nesse ponto fixodo fluido: −→v = −→v (−→r , t). Como e natural, em cada instante t sera umapartıcula diferente que aı passara. Este e o metodo descritivo mais uti-lizado.

A cada ponto do fluido encontra-se associado um vector −→v , materializando-seum campo vectorial de velocidades do fluido.

Chama-se linha de corrente num dado instante uma linha tangente em cadaponto ao vector velocidade −→v nesse ponto. Chama-se tubo de corrente asuperfıcie formada num dado instante por todas as linhas de corrente que passampelos pontos de uma dada curva γ fechada no fluido.

O escoamento do fluido designa-se por estacionario, ou em regime permanente,quando o campo de velocidades do fluido nao varia com o tempo:

−→v = −→v (−→r ). (24.21)

436

Figure 8: Continuidade em derivacoes.

24.6 Equacoes integrais. Nocao de volume de controle

No estudo do movimento do fluido consideram-se 4 equacoes basicas:

• Conservacao da massa;

• Conservacao do momento (Segunda Lei de Newton);

• Conservacao da energia;

• Segunda Lei da Termodinamica.

Em geral, nao e conveniente seguir porcoes fixas de fluido (o sistema consid-erado) durante a analise do movimento do fluido. E mais apropriado definiruma regiao fixa do espaco, o volume de controle. Em mecanica dos fluidos,o volume de controle e um conceito matematico abstracto que se utilizado naconstrucao do modelo matematico do processo fısico. Consiste num volumefixo no espaco, definido relativamente a um referencial de inercia, atraves doqual o fluido flui. A superfıcie que encerra o vloume de controle designa-se porsuperfıcie de controle. Em regime estacionario, e na ausencia de trocas deenergia com o exterior sob a forma de trabalho ou calor, pode-se consideraro volume de controle como um volume arbitrario no qual a massa e a energiapermanece constante; isto e, pode-se considerar que a massa e a energia queentram no volume de controlo sao iguais a massa e energia que saem do mesmovolume de controlo.

437

24.7 Conservacao da massa. Equacao de continuidade

Consideremos um tubo de corrente cuja seccao transversal e S (Fig. 9-(a)).Queremos calcular a massa ∆m que atravessa essa seccao num pequeno intervalode tempo ∆t. Se −→v e a velocidade do fluido, entao no intervalo de tempo ∆t oo fluido tera ocupado um cilindro de lado v∆t. O volume do cilindro ocupadopela massa ∆m sera V = Sv∆t. Logo a massa que tera atravessado a seccao Sdo cilindro no intervalo de tempo ∆t sera:

∆m = ρSv∆t (24.22)

Em seguida, consideremos um escoamento estacionario e uma parte do tubo decorrente situado entre duas seccoes transversais de areas S1 e S2 diferentes ondeas velocidades e as densidades do fluido sao, respectivamente, (ρ1, v1) e (ρ2, v2)(Fig. 9). A massa ∆m1 que entra pela superfıcie S1 devera ser igual a massa∆m2 que sai da superfıcie S2:

∆m1 = ρaS1v1∆t = ∆m2 = ρ2S2v2∆t∴ ρ1S1v1 = ρ2S2v2.

(24.23)

No exemplo da Fig. 8 terıamos

ρ2A2v2 + ρ3A3v3 − ρ1A1v1 = 0 (24.24)

onde surge o sinal negativo para a entrada na superfıcie A1 porque a normal asuperfi cie de controle naquele ponto e dirigida para fora.

24.8 Equacao de Euler

Consideremos uma “partıcula de fluido” de volume ∆V . A Segunda Lei deNewton diz-nos que a equacao do movimento e

∆m−→a = ρ−→a ∆V =−→F s +

−→F v. (24.25)

−→a e a aceleracao da “partıcula” e−→F s e

−→F v sao as resultantes das forcas super-

ficiais e de volume. Alem das forcas de vloume externas (tal como a exercidapela gravidade), poderao existir forcas internas, forcas de atrito exercidas entrecamadas de fluido vizinhas, forcas do tipo tangencial, que sao do tipo viscoso.

Todos os fluidos exibem uma certa viscosidade, naturalmente que a aguatambem, embora os efeitos de viscosidade sejam bem menores do que numfluido oleoso. Vamos desprezar o estudo da viscosidade agora, considerandoo chamado fluido perfeito ou fluido ideal.

Vamos considerar unicamente as forcas externas volumetricas, denotando-aspor

−→f e as forcas superficiais de pressao (ou cisalhamento) exercidas sobre um

determinado volume ∆V de fluido. A equacao do movimento e−→F v +

−→F s = (

−→f −−−→gradp)∆V, (24.26)

438

Figure 9: (a) Conservacao da massa que atravessa uma superfıcie cilindrica dearea constante; (b) Conservacao da massa que atravessa duas seccoes de areadiferentes.

439

Figure 10: Foguetao a ejeccao de agua.

ou sejaρ−→a =

−→f −−−→gradp. (24.27)

Esta equacao esta na base do tratamento de problemas que envolvam foras sobresuperfıcies solidas e outros fluidos, como por exemplo a forca exercida sobre umapa movel de uma turbina, motores de ejeccao, sustentacao e resistencia de umaasa de aviao. No caso de uma forca volumetrica gravıtica, a Eq. 24.27 pode-seescrever na forma

ρ−→a = −−−→grad(p + ρgz). (24.28)

Ve-se que p desempenha o papel de uma densidade de energia gravitacional.

Pode-se integrar a Eq. 24.28 ao longo de um filete de corrente e obter aequacao de Bernoulli entre dois pontos 1 e 2 do filete:

12v21 + gz1 +

p1

ρ=

12v22 + gz2 +

p2

ρ(24.29)

que exprime a conservacao da energia por unidade de massa ao longo do filete.Consideramos aqui o fluido imcompressıvel, doutro modo poderia haver variacaoda energia interna. Podemos ainda escrever a equacao de Bernoulli na forma:

12ρv2 + p + ρgz = Const. (24.30)

cujo valor mantem-se constante, independente do tempo para regimes esta-cionarios, ao longo do filete de corrente.

Exemplo 9: Um tanque de agua encontra-se sobre um carrinho que podemover-se sobre um trilho horizontal com atrito desprezavel. Ha um pequenoorifıcio numa parede, a uma profundidade h abaixo do nıvel da agua do tanque,como ilustra a Fig. 10. A area do orifıcio e A (despreze o factor de contraccaoda veia lıquida), a massa inicial da agua e Mo e a massa do carrinho e do tanquee mo. Qual e a aceleracao inicial do carrinho?

440

Aplicando o teorema de Bernoulli:

QuadroNegro 1

Obtem-se assim a formula de Torricelli:

va =√

2gh. (24.31)

A quantidade de fluido que se esvai do tanque e dada pela equacao de con-tinuidade:

QuadroNegro 2

441

O sistema e de massa variavel:−→F = d−→p

dt = ddt (m

−→v ) = dmdt−→v + md−→v

dt .−→p (t) = (Mo + mo)−→v−→p (t + ∆t) = (Mo − ∆m∆t ∆t)(−→v + ∆−→v ) + mo(−→v + ∆−→v ) + ∆m(−→v + ∆−→v −−→v a)

(24.32)Subtraindo, obtem-se

−→p (t + ∆t)−−→p (t) = (Mo + mo)∆−→v −∆m−→v a. (24.33)

Na ausencia de forcas externas, tais como o atrito das rodas com o solo:

QuadroNegro 3

Exemplo 10: Um sifao e estabelecido aspirando o lıquido do reservatorio (dedensidade ρ) atraves do tubo recurvado ABC e fazendo-o jorrar em C, comvelocidade de escoamento v. (a) Calcule v em funcao dos parametros da Fig. 11.(b) Calcule a pressao nos pontos A e B. (c) Qual e o valor maximo de ho parao qual o sifao funciona?

QuadroNegro 4

442

Figure 11: Sifao.

Exemplo 11: A asa de uma aeronave (Fig. 12) requer uma forca de sustentacao−→E (empuxo dinamico) de 124 kg/m2. Se a velocidade do fluxo de ar ao longoda superfıcie inferior for de 152.4 kg/m2, qual devera ser a velocidade do fluxosobre a superfıcie superior de modo a produzir o referido empuxo?

Desprezando o efeito do campo gravıtico, atendendo que e muito pequeno:

p1 + 12ρv2

1 = p2 + 12ρv2

2

v22 = v2

1 + 2ρ (p1 − p2)

(24.34)

Se p1 > p2 ⇒ v2 > v1:

v2 =

√(152.4)2 +

21.293

(124) = 158.4m/s. (24.35)

443

Figure 12: Asa de avia˜o.

444