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Medição de Fenômenos Biológicos
Sensores Reativos, Termoelétricos e Piezoelétricos
Sensores reativos, termoelétricos e piezoelétricos
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 1
Controle de Versões
2013 Versão 1 – Com base nas notas de aula de COB783, Hardware and HousekeepingTechniques, Circuit Board Layout Techniques e Noise Reduction Techniques inElectronic Systems.
Última alteração: 06/06/2013
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 2
Índice
7 Transdutores capacitivos...................................................................................................................4
7.1 Dielétrico de Eletreto.................................................................................................................4
7.2 Variação de Posição...................................................................................................................5
7.3 Sensibilidade e Linearidade.......................................................................................................6
7.4 Formas de Medida.....................................................................................................................9
8 Transdutor Indutivo.........................................................................................................................12
8.1 Aspectos de não linearidade....................................................................................................16
8.2 Transdutores com uma bobina (um indutor)............................................................................19
8.3 Transdutores com dois indutores.............................................................................................21
8.4 Transdutores de três indutores (LVDT – Linear Variable Differential Transformer).............22
9 Transdutores Termoelétricos...........................................................................................................23
10 Transdutores Piezoelétricos...........................................................................................................28
10.1 Análise fenomenológica........................................................................................................29
10.2 Transdutor piezoelétrico no modo direto e com carga..........................................................42
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 3
7 Transdutores capacitivos
Um outro transdutor que pode ser utilizado de modo similar aos transdutores resistivos é o
transdutor capacitivo. De modo análogo, uma certa fonte de tensão deve ser utilizada para a
obtenção do sinal de saída, com exceção dos transdutores cujos dielétricos são constituídos de
eletreto ou apresentam propriedades piezoelétricas.
O capacitor de placas paralelas apresenta capacitância dada por
Cd=A⋅K⋅0
l d
onde 0=8,85⋅10−12 é a permissividade do ar, K⋅0 é a permissividade do material, A é
área das placas e lg é a distância entre as placas.
Sendo assim qualquer arranjo que modifique A, lg, ou K pode ser transformado em um
transdutor capacitivo. Um número expressivo de arranjos pode ser utilizado na construção de
transdutores capacitivos. Alguns exemplos podem ser vistos abaixo.
7.1 Dielétrico de Eletreto
Caso o capacitor seja produzido com dielétricos de eletreto, geralmente Teflon ou Lexan
(policarboneto especial), eles possuem a propriedade de que quando uma polarização é induzida por
bombardeamento de elétrons ou por um campo elétrico intenso, tal polarização é retida após a
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remoção do efeito externo; de tal modo que uma tensão permanente ve (análogo ao magnetismo
residual de um imã permanente) permanecerá armazenada no dielétrico.
Normalmente ve=500V, mas só pode ser medido com um eletrômetro (uma espécie de
Voltímetro cuja impedância de entrada é muito elevada, alguns TΩ, o que minimiza a circulação de
corrente a alguns fA). Tal valor de ve pode durar por 20 anos.
7.2 Variação de Posição
Neste capítulo estudaremos especificamente os transdutores sem dielétricos de eletreto ou
piezoelétricos. Supondo um sensor de posição capacitivo, com gap variável entre suas placas e o
elemento dielétrico, conforme mostrado abaixo
A capacitância do gap é dada por
C g=A⋅0
l g
Por sua vez a capacitância do dielétrico pode ser escrita como
Cd=A⋅K⋅0
l d
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 5
Uma vez que as duas capacitâncias estão em série a capacitância equivalente é calculada
como
C=1
1C d
1
C g
C0=
A⋅K⋅0
l d
⋅A⋅0
l g
A⋅K⋅0
l d
A⋅0
l g
C0=
A2⋅K⋅0
2
l d⋅l g
A⋅0⋅K⋅l gl d
l d⋅lg
C0=A⋅0
l gl d
K
Considerando que o gap sofre pequenas variações em torno de um ponto central de repouso
l g=l g0 l g
C=A⋅0
l g0 l gl d
K
Esta é a equação da capacitância em função de variações do tamanho do gap. Para
representar melhor este transdutor podemos calcular a variação relativa de capacitância com relação
a capacitância de repouso (semelhante ao que foi feito com o strain gauge). Esta razão definiria
uma espécie de sensibilidade adimensional dada por C /C0 .
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 6
7.3 Sensibilidade e Linearidade
Seja uma função y=f(x), onde y representa a saída de um transdutor de deslocamento e x a
sua entrada então
dyy0
= yy0
=y− y0
y0
=yy0
−1
Supondo a função y cujo ponto médio é dado por
y0=b
x0c
muito semelhante a função encontrada para a capacitância, então
dyy0
=yy0
−1=
bxc
bx0c
−1
dydy0
=x0c
xc−1
Substituindo-se x= x0dx
dyy0
=x0c
x0dxc−1
que pode ser reescrita como
dyy0
=1
1dx
x0c
−1
Como 1
1A=1−AA2
... , então
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 7
dyy0
=1−dx
x0c
dx2
x0c2−1
dyy0
=−1
1cx0⋅ dx
x0 1
1 cx0
2⋅dxx0
2
que é da forma
dyy0
=1⋅dxx0 2⋅ dx
x0 2
Por comparação encontramos
1=1
1 cx0
2=1
1cx0
2.
Como a equação de C é análoga a equação de y podemos escrever que
dCC 0
=−1
1 l d
k⋅l g0⋅ dl g
l g0 1
1 l d
k⋅l g0 2⋅ dlg
l g0
2
onde
1=−1
1 l d
k⋅l g0
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 8
2=1
1l d
k⋅l g0
2
Uma medida de não linearidade pode ser obtida pela relação
∣2
1∣=1
1 l d
k⋅l g0 que deve ser feita a menor possível.
Para os casos onde a variação do gap é muito pequena a razão C /C0 pode ser escrita
como
dCC 0
=−1
1 l d
k⋅l g0⋅ dl g
l g0
7.4 Formas de Medida
Em vez de se medir diretamente o valor da capacitância C, pode-se converter as variações de
capacitância em variações de tensão por meio de circuito, como por exemplo
Assumindo-se que a capacitância média permanecerá igual a C0 , apesar das variações
devidas ao mensurando,
q=C0⋅ve
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 9
Se RL for grande a corrente não poderá variar rapidamente e consequentemente a carga no
circuito permanecerá praticamente constante, de tal modo que
vc t =q
C t
Assim, a tensão de saída do circuito pode ser calculada como
vout t =ve – vc t =ve –ve⋅C 0
C t
vout t =ve⋅1–C0
C t
como 1−C 0
C t =
C t−C0
C t ≈
CC t
≈CC 0
pois C t ≈C0
Então
vout t ≈ve⋅CC 0
≈ve⋅dCC0
vout t ≈ve⋅1
1l d
k⋅l g0⋅
dl g
l g0
≈−ve⋅ l g
l g0ld
k
Note que a equação de vout indica que o mesmo é diretamente proporcional as variações de
largura do gap, que por sua vez são proporcionais ao deslocamento.
Uma outra opção de circuito para o uso dos transdutores capacitivos é a ponte AC.
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 10
A ponte deve ser excitada com um sinal AC de frequência muito mais alta que a maior
frequência mecânica que será transduzida.
Por analogia ao caso anteriormente demonstrada de uma ponte de Wheatstone com 2 braços
ativos e opostos temos que na condição de equilíbrio e na frequência onde Xc=R
V TH=12⋅V 1⋅
CC
RTH=R⋅[1−CC
2
⋅12 ]
Se o circuito for ligado a um amplificador de alta impedância ( RL≫RTH ), então a tensão
V out será igual a V TH .
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 11
8 Transdutor Indutivo
De modo análogo aos transdutores resistivos e capacitivos, os transdutores indutivos são
transdutores ativos que requerem uma fonte de excitação externa para proporcionar uma tensão de
saída, que pode ser vista como uma certa modulação da mesma, que neste caso deve ser AC.
Uma variante muito usada dos transdutores indutivos é o LVDT (Linear Variable
Differential Transformer), no qual o acoplamento entre o primário e o secundário de um
transformador é variado por ação de um núcleo ferromagnético móvel, como será visto adiante.
Um indutor com enrolamento cilíndrico apresenta indutância definida por
l
ANμμ=L r ⋅⋅⋅ 2
0
onde mHπ=μ /104 70
−×⋅ é a permissividade do espaço livre, rμ é a permeabilidade
relativa, N é o número de espiras, A é a área de secção reta do núcleo, l é o comprimento do núcleo.
Outras formas geométricas apresentam indutância dependente de outras variáveis. De
qualquer forma um número expressivo de arranjos permitem a construção de transdutores indutivos,
baseados na alteração de rμ , N, A ou l.
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 12
Considere inicialmente o seguinte modelo para um indutor real
onde R modela as perdas resistivas do fio, as perdas de corrente de fuga pelo núcleo e
também as perdas de histerese e C modela a capacitância parasita associada ao enrolamento.
Como todo circuito RLC produz uma equação diferencial da forma
xω
+xQ
ω+x=x
ω+xωζ+x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
20
020
0
112
onde
a frequência de ressonância é CL
=ω⋅
10 e o fator de qualidade do circuito é
R
Lω=Q
⋅0 .
Sendo assim, no circuito RLC,
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 13
Q
Lω=R
⋅.
Analisando a impedância do circuito equivalente para o indutor real temos que
( ) CLL XX+R=Z //
Cωj+Lωj+
Q
Lω
CωjLωj+
Q
Lω
=Z L
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
1
1
⋅−⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
CωLωj+
Q
Lω
CωjLωj+
Q
Lω
=Z L 1
1
⋅
−⋅⋅⋅⋅⋅
−
⋅
⋅⋅⋅
Cω
CLωj+
Q
LωCω
j
Lωj+Q
Lω=Z L
12
( ) ( )122
−⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅−
⋅
⋅⋅⋅
CLω+Q
CLωCω
Cωj
Lωj+Q
Lω=Z L .
Supondo que 1Q , tal que ( ) ( )12
2
−⋅⋅<<⋅⋅CLω
Q
CLω
( )1
12 −⋅⋅
−⋅
⋅⋅⋅
CLωLωj+
Q
Lω=Z L
( ) ( )CLω
Lωj+
CLωQ
Lω=Z L ⋅⋅−
⋅⋅⋅⋅−⋅
⋅22 11
.
Se a capacitância parasita fosse desconsiderada (C=0), então
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 14
Lωj+Q
Lω=Z L ⋅⋅⋅
Comparando-se as duas expressões de ZL podemos concluir que a capacitância parasita
diminui o fator de qualidade, uma vez que
( )CLωQ=Qefetivo ⋅⋅−⋅ 21
Esta expressão vale até que CL
=ω⋅
1 e nestas condições Q<Qefetivo
Além disso, há, também, um efeito de aumento da indutância efetiva, uma vez que esta pode
ser entendida como
( )CLω
L=L=L eqefetivo ⋅⋅− 21
Derivando-se esta última expressão temos
( )( ) 22
22
1
11
CLω
CωL–CLω=
L
Leq
⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅−
∂∂
( ) 22
22
1
1
CLω
CLω+CLω=
L
Leq
⋅⋅−
⋅⋅⋅⋅−∂
∂
( ) 221
1
CLω=
L
Leq
⋅⋅−∂∂
( ) 221 CLω
L=Leq
⋅⋅−
∂∂
de onde
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 15
( )
( )CLω
LCLω
L
=L
L
eq
eq
⋅⋅−
⋅⋅−∂
∂
2
2
1
1
( )CLωL
L=
L
L
eq
eq
⋅⋅−⋅∂∂
21
1
Tal expressão indica que na construção de um transdutor de indutância variável, a
capacitância parasita tende a aumentar a sensibilidade do transdutor (em relação ao caso ideal).
Os efeitos anteriormente mencionados, de capacitância parasita do enrolamento, podem ser
somadas aos efeitos das capacitâncias parasitas associadas aos cabos coaxiais ligados aos
transdutores. Por esta razão, cuidado especial deve ser tomada na escolha do cabo coaxial a ser
utilizado para interligar este tipo de transdutor.
8.1 Aspectos de não linearidade
A não linearidade da saída em função do deslocamento mecânico é uma importante
especificação de transdutores indutivos.
Assumindo a saída e a entrada correlacionadas como ( )xf=y , onde y é a saída e x é a
entrada poderíamos definir dxdy / como sensibilidade e xdyd 22 / como uma medida de não
linearidade.
Como visto nos transdutores capacitivos, uma outra forma, mais conveniente, de se definir
sensibilidade pode ser obtida através do coeficiente 0/ ydy , onde dy é uma pequena variação da
saída ocorrida no entorno do valor quiescente 0y .
Vimos também que se for assumida uma função
c+x
b=y
00 , então
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 16
2
02
0
0
0
01
1
1
1
⋅
⋅
−
x
dx
x
c+
+x
dx
x
c+
=y
dy
onde, neste caso, a sensibilidade e a distorção são dependentes do termo
1
1cx0
Obviamente, neste caso, para que uma boa linearidade seja obtida é necessário que 0/ xc
seja grande. Porém, tal termo traz como consequência a redução da sensibilidade.
Suponha agora uma função de dependência do tipo:
0
0x
b=y
0
0
00
x
b
x
b–
x
b
=y
Δy
y
dy ≈
1
0
0
−
x
bx
b
=y
dy
10
0
−x
x=
y
dy
Substituindo-se dx+x=x 0
10
0
0
−dx+x
x=
y
dy
11
1
0
0
−
x
dx+
=y
dy
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 17
Como
...8
3
21
1
1 2
−
⋅
− Δ
+Δ
=Δ+
,
então
18
3
2
11
2
000
−
⋅
⋅≈
x
dx+
x
dx–
y
dy
2
000 8
3
2
1
⋅−≈
x
dx+
x
dx
y
dy.
Agora temos um valor de não linearidade descorrelacionada com o de sensibilidade, e
ambos fixos.
Uma outra função poderia ser
00 xb=y ⋅
100
0
00
−−
y
y=
y
yy=
y
Δy=
y
dy
11000
−−⋅⋅
x
x=
xb
xb=
y
dy
Fazendo-se dx+x=x 0
10
0
0
−x
dx+x=
y
dy
1100
−x
dx+=
y
dy
Neste caso a expansão será
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 18
( ) ...8
1
211 2 +Δ–
Δ+=Δ+ ⋅ ,
então
18
1
2
11
2
000
−
⋅−
⋅
x
dx
x
dx+=
y
dy
2
000 8
1
2
1
⋅−
⋅
x
dx
x
dx=
y
dy
Que apresenta características similares à da função anterior, quando a não subordinação de
não linearidades e sensibilidade, e ainda apresenta uma melhor linearidade.
Os transdutores indutivos caem geralmente em 3 categorias: 1) com um indutor; 2) com dois
indutores ( 1L aumenta enquanto 2L diminui); 3) com três indutores (um primário e dois
secundários).
8.2 Transdutores com uma bobina (um indutor)
Seja o seguinte transdutor de relutância variável com núcleo ferromagnético de
comprimento total lm, área Am e permeabilidade magnética 0μμ=μ rm ⋅
Pode ser demonstrado que neste caso a indutância do transdutor é dada por:
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 19
⋅⋅
⋅⋅
rg μAm
lmAg+l
NAgμ=L
20
tal parâmetro é da forma
c+x
b=y
onde gl=x
que, como visto anteriormente, possui
2
02
0
0
0
01
1
1
1
⋅
⋅
−
x
dx
x
c+
+x
dx
x
c+
=y
dy
Como normalmente
1<<⋅⋅
rμAm
lmAg
pois AmAg ≈ , gllm ≈ e μr ≫1
teremos
2
000
−
x
dx+
x
dx=
y
dy
o que implica que o transdutor não possui uma boa linearidade. Tal fato já era esperado pelo
aspecto hiperbólico da indutância do transdutor em função do gap, descrito pela equação
⋅⋅
⋅⋅
rg μAm
lmAg+l
NAgμ=L
20
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 20
Uma maneira simples de transformar a variação da indutância em variação de tensão é
através do seguinte arranjo:
Se fizermos LωRs ⋅ , então
LωRs
ve=vout ⋅⋅
e com amplitude e frequência fixa de excitação
LK=vout ⋅
8.3 Transdutores com dois indutores
O circuito mais comumente encontrado em aplicações que empregam dois elementos
transdutores é a ponte de Wheatstone com excitação AC. Em tal circuito normalmente é montado
um arranjo de indutores onde as variações de indutância são opostas (quando o acoplamento
magnético aumenta em um diminui em outro). Como uma ponte com 2 braços ativos possui a
característica de cancelar problemas de linearidade e temperatura, grande parte dos inconvenientes
dos transdutores com somente um indutor são eliminados.
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 21
No circuito acima as resistências Rs modelam além das perdas ôhmicas, perdas no núcleo e
de histerese. O potenciômetro Rp é colocado para compensar as diferenças existentes entre os dois
valores das perdas e deve ser ajustada de modo a zerar a ponte numa condição onde sabidamente
0=ΔL .
Para altos valores de Q (Q>10) a saída na condição de circuito aberto ( ∞=RL ) tende para a
tensão de Thevenin estudada para o caso de uma ponte resistiva com 2 braços ativos, ou seja:
L
ΔLve=vout
⋅
8.4 Transdutores de três indutores (LVDT – Linear Variable Differential
Transformer)
O LVDT é um transformador com acoplamento magnético variável produzido pelo
movimento de um núcleo ferromagnético colocado entre os enrolamentos. De modo a zerar a saída
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 22
na situação de deslocamento mecânico nulo, os dois enrolamentos do secundário são conectados em
oposição elétrica.
Pode ser demonstrado que
( )( )
⋅⋅−⋅⋅
⋅−⋅⋅⋅
⋅⋅≈2
322
1223
43
x–lplclc
x–lplcx
Npls
Nsvevout
onde Ns é o número de espiras do secundário, Np é o número de espiras do primário, ls é o
comprimento do enrolamento secundário, lp é o comprimento do enrolamento primário, lc é o
comprimento do núcleo móvel e x é o deslocamento do núcleo.
Este tipo de transdutor é muito comum e existem muitos circuitos que podem ser utilizados
para excitar e retirar sinal CC destes transdutores.
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 23
9 Transdutores Termoelétricos
Em 1823 Seebeck descobriu que se 2 metais diferentes forem conectados em um circuito
com as junções em temperaturas diferentes, uma certa corrente fluiria no circuito.
T1 T2
iMaterial A
Material BT1<T2
Tal fenômeno envolve a absorção de calor pela chamada junção fria (Tf) e liberação de calor
pela junção quente. A força eletromotriz de Seebeck, responsável pela corrente circulante depende
dos tipos dos metais envolvidos e é aproximadamente proporcional a diferença de temperatura entre
as duas junções.
Peltier (1834) demonstrou o efeito inverso através da introdução de uma bateria no circuito
composto por 2 metais diferentes e da constatação de que o calor era absorvido em uma das junções
e irradiado na outra.
Calor Calor Absorvido Liberado
Material A
Material B
+V-
Tal efeito é a base da refrigeração Termoelétrica.
Na sua forma mais simples um termopar tem o seguinte aspecto
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 24
T1 T2+V-
T1 T2+ V -
A tensão de Seebeck pode ser expressa aproximadamente como
( ) ( )21
2212 TTγ+TTα=V −⋅−⋅
onde α e γ são constantes associadas do tipo de termopar.
Normalmente o valor de γ não é tão elevado, de modo que para uma boa faixa de
temperatura o comportamento pode ser descrito como praticamente linear.
A sensibilidade do termopar, para uma dada temperatura T2 é dada por
22
2 Tγ+α=T
V=S ⋅⋅
∂∂
Outra possibilidade de configuração é a de somente uma junção (junção quente), onde o
ponto de medição é considerado estar numa temperatura de referência.
Uma vez que a equação que descreve a tensão de Seebeck não é exata, ela pode ser usada
para calibração para uma faixa muito extensa de temperatura. Normalmente os dados de calibração
são tabulados medindo-se a tensão de Seebeck quando uma das junções é mantida na temperatura
de gelo (0ºC).
Os tipos de termopares são dependentes das ligas metálicas usadas para sua fabricação, onde
normalmente o primeiro elemento do par corresponde ao elemento positivo, e em algumas normas o
elemento negativo é pintado de vermelho.
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 25
Ref Material Faixa µV/ºC Erro
B Platina 30% Rodio/Platina 6% Rodio
[0,1800] 3 0,5%
E Cromel/Constantan [-200, 1000] 63 ±1,7 ºC ou 0,5%
J* Ferro/Constantan [-200, 900] 53 ±2,2 ºC ou 0,75%
K* Cromel/Alumel [-200,1300] 41 ±2,2 ºC ou 0,75%
N Nirosil/Nisil [-200/1300] 28
R Platina/Platina 13% [0 1400] 6 ±1,5 ºC ou 0,25%
S Platina/Platina 10% [0 1400] 6 ±1,5 ºC ou 0,25%
T* Cobre/Constantan [-200, 400] 43 ±1 ºC ou 0,75%
Os tipos mais comuns são J, K e T
Existem basicamente duas opções para se realizar a medida de temperatura com um
termopar: 1) Usando-se uma temperatura de referência, normalmente um banho de gelo e um
voltímetro para obter-se a tensão de Seebeck e posteriormente interpretando-se o valor medido
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 26
através de uma tabela (o que pode ser feito manualmente ou por software); 2) Usando-se um
indicador de temperatura dedicado com uma certa compensação de temperatura.
Os circuitos mais simples para a medição podem ser vistos a seguir. Note que a tensão do
transdutor é aquela estabelecida somente entre os metais contidos entre a região quente e a região
que define a temperatura de referência (normalmente o banho). A partir daí os dois condutores de
cobre somente levam tal tensão para o voltímetro (que é considerado estar na temperatura
ambiente), sem interferir na tensão proporcional a temperatura.
T1 T2 Tamb
O esquema abaixo ilustra a utilização de fios de extensão e de um conector, ideal para casos
onde o banho de referência não pode ficar próximo e o tamanho do sensor também não pode ser
grande. Note que a temperatura da zona de conexão deve ser uniforme (igual para os dois fios).
T1 0 ºC Tamb
A diferença de temperatura entre duas pontas pode ser obtida com um arranjo onde neste
caso os dois fios considerados negativos devem ser interligados e mantidos juntos em uma
temperatura qualquer (normalmente a temperatura ambiente) e os fios positivos colocados um em
cada ponto onde se deseja medir a diferença. A diferença de potencial entre os dois fios positivos é
proporcional a diferença de temperatura entre os dois pontos considerados.
Temperatura (ºC) E J K N R S T
-200 25,1 21,9 15,3 9,9 - - 15,7
-100 45,2 41,1 30,5 20,9 - - 28,4
0 58,7 50,4 39,5 26,1 5,3 5,4 38,7
100 65,7 54,3 41,4 29,7 7,5 7,3 46,8
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 27
Temperatura (ºC) E J K N R S T
200 74,0 55,5 40,0 33,0 8,8 8,5 53,1
300 77,9 55,4 41,4 35,4 9,7 9,1 58,1
400 80,0 55,1 42,2 37,0 10,4 9,6 61,8
500 80,9 56,0 42,6 - 10,9 9,9 -
600 80,7 58,5 42,5 - 11,3 10,2 -
700 79,9 62,2 41,9 - 11,8 10,5 -
800 78,4 - 41,0 - 12,3 10,9 -
900 76,7 - 40,0 - 12,8 11,2 -
1000 74,9 - 39,8 - 13,2 11,5 -
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 28
10 Transdutores Piezoelétricos
Outro tipo bastante utilizado de transdutor passivo é o transdutor piezoelétrico, que produz
um sinal elétrico de saída quando excitado mecanicamente. Além disto estes transdutores são
recíprocos o que significa que se for aplicada ao transdutor uma certa tensão elétrica eles são
capazes de produzir uma vibração mecânica. Devido a esta característica tais transdutores são muito
utilizados na área biomédica como por exemplo em: a) microfones específicos para transdução de
sons cardíacos; b) acelerômetros para medição de tremores; c) sensores ultrassônicos para medição
de fluxo sanguíneo; d) sensores ultrassônicos para imageamento; e) dispositivos ultrassônicos para
cirurgia.
A piezoeletricidade é um fenômeno associado a geração de cargas elétricas na superfície de
um material quando a ele é aplicada uma certa tensão mecânica capaz de deformá-lo; ou a
correspondente mudança da forma do material quando uma certa tensão elétrica é aplicada em
algumas de suas superfícies. A piezoeletricidade é então uma maneira de converter-se energia
mecânica em energia elétrica, ou vice-versa.
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 29
Os primeiros materiais piezoelétricos estudados foram o quartzo, a turmalina e os sais de
Rochelle. Antigamente todos os cristais eram considerados materiais piezoelétricos, mas a partir de
1940 certas cerâmicas (titanite de bário e titanite de zircônio, especialmente) têm sido
especialmente fabricadas como os materiais piezoelétricos mais usuais.
10.1 Análise fenomenológica
Considere o modelo abaixo como uma longa e fina barra de material piezoelétrico.
Fo,vo Fl,vl
x=0 x=l
η (x,t)
camada condutor
+v(t)_
W
h
Consideremos que na face esquerda da barra seja aplicada uma força F0 (aplicada a partir de
algum meio externo) e que a tal força está associada uma velocidade local V0. Na face direita uma
força F2 será transmitida ao ei externo, com uma correspondente velocidade local vl. Consideremos
ainda que as perturbações só se propagam na direção x, fazendo com que o material da barra se
desloque pontualmente de uma pequena distância η .
Suponha agora que por meio das finas camadas de material condutor uma tensão v(t) seja
aplicada à barra. Tal diferença de potencial resulta num campo elétrico uniforme com a distância. A
densidade de corrente por sua vez é uma função da distância e do tempo, uma vez que o campo
elétrico interagirá com o deslocamento mecânico, sendo a corrente externa i(t) a integral de tal
densidade de corrente.
Uma vez que o campo elétrico faz um ângulo reto com o movimento mecânico, tal
configuração é chamada de modo transversal. O modo direto seria aquele onde o campo elétrico
estivesse alinhado com a direção do movimento mecânico.
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 30
Suponha um distúrbio mecânico senoidal viajando na barra na direção x
Nos picos do deslocamento a tensão e a deformação são nulas pois não há nem compressão
nem expansão.
Podemos escrever que
x
η=S
∂∂
A lei de Hooke estabelece que para um dado material:
SY=T ⋅0
onde é o módulo de Young (módulo de elasticidade) e T é a força sobre a área..
O fenômeno de polarização elétrica, por sua vez, pode ser expresso como
Eζ=PE ⋅
onde é o módulo do vetor de polarização, é a susceptibilidade, e E é o módulo do campo
elétrico aplicado.
A susceptibilidade do material está relacionada com a constante dielétrica via
( )10 −⋅ Kε=ζ
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 31
onde, para o vácuo, 0=ζ e 1=K .
Como grande parte dos materiais piezoelétricos possui uma alta constante dielétrica
podemos aproximar
Kε=ζ ⋅0
e 12108,85 −×=K
Se o material é piezoelétrico a lei de Hooke e a de polarização devem ser alteradas uma vez
que há uma contribuição na deformação mecânica gerada pelo campo elétrico, assim como uma
contribuição no vetor de polarização gerado pela tensão mecânica. Logo
Edp+TY
=S ⋅⋅0
1
Tdp+Eζ=PE ⋅⋅
onde dp é a constante piezoelétrica.
Ilustremos tal característica pelos seguintes casos
No primeiro caso uma tensão V é aplicada e a barra piezoelétrica é expandida.
+V_
∆ l
+++++
- - - - -
Comprimento: lLargura : WAltura : h
Uma vez que a barra não está carregada mecanicamente a tensão T é nula,
consequentemente
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 32
l
Δl
V
h=
hV
lΔl=
E
S=dp ⋅
/
/
onde h é a altura da barra.
No segundo caso uma força F é aplicada fazendo com que a barra se contraia (onde F e
lΔl / são considerados negativos).
q
∆ l
+++++
- - - - - F
Comprimento: lLargura : WAltura : h
Se um curto-circuito é feito na barra, o campo elétrico externo é nulo, porém a força F causa
o movimento de uma carga q, criando uma polarização negativa, como mostrada. Neste caso
Tdp=PE ⋅
hW
Fdp=
lW
q
⋅⋅
⋅
h
lFdp=q
⋅⋅
No terceiro caso, tanto uma força F, como uma tensão V, são aplicados simultaneamente.
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 33
+V_+++++
- - - - -
Comprimento: lLargura : WAltura : h
F
As magnitudes são ajustadas de modo que a força F negativa cancele exatamente uma
tensão positiva V, de tal modo que o comprimento da barra permanece o mesmo. Neste caso
Edp=TY
⋅⋅0
1
h
Vdp=
hW
F
Y⋅
⋅⋅
0
1
VYWdp=F ⋅⋅⋅ 0
No quarto caso, embora uma força F seja aplicada a transferência de carga não pode ocorrer
em virtude do circuito aberto.
+V-
∆ l
+++++
- - - - - F
Comprimento: lLargura : WAltura : h
Neste caso uma tensão a circuito aberto (que decairá com o tempo) poderia ser medida,
refletido o campo elétrico criado Neste caso
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 34
Tdp=Eζ ⋅⋅
hW
Fdp=
h
Vζ
⋅⋅⋅
Wζ
Fdp=V
⋅⋅
Podemos definir a energia elétrica armazenada no primeiro e terceiro casos como iguais e
dadas com
2
2
1VC ⋅⋅
onde
h
ζlW=C
⋅⋅
Obs.: Em baixas frequências os elementos piezoelétricos tem comportamento
eminentemente capacitivo.
Nos casos onde ocorreu expansão da barra, podemos dizer que houve trabalho mecânico,
uma vez que uma força F foi aplicada e houve um deslocamento Δl . Consideremos agora uma
característica do material que será chamada de coeficiente de acoplamento K, definida como
armazenada entrada de energia
saída de líquida energia=K
Pode ser demonstrado que
0Y
ζ
dp=K
ζ
Ydp=K 0⋅
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 35
As principais características de alguns materiais piezoelétricos pode ser vista abaixo. Note
que algumas constantes são negativas, significando neste caso que o material é orientado de acordo
com o eixo cristalográfico e que neste caso a aplicação de uma tensão V positiva causa uma
contração em vez de uma expansão do comprimento l.
Propriedades Unidades PZT-4A PZT-5A PZT-5H
K(1kHz) - 1400 1600 3400
tan(δ) - 0,05 0,02 0,02
Ec KV/cm 14,4 11,8 5,5
PR μC/cm2 31,0 23,0 12,9
Psat μC/cm2 40,1 27,7 19,5
kef - 0,49 0,50 0,53
kp - 0,54 0,56 0,59
d33(x10-12) m/V 225 350 585
g33(x10-3) Vm/N 8,5 16,6 12,5
k33 - 0,35 0,53 0,59
d31(x10-12) m/V -85 -190 -265
g31(x10-3) Vm/N -7,5 -13,7 -8,5
k31 - 0,22 0,40 0,36
Densidade g/cm3 7,6 7,7 7,4
K: Constante dielétrica; k: coeficiente de acoplamento; dxx: coeficiente piezoelétrico (na
direção xx); gxx: coeficiente de tensão elétrica piezoelétrica.
Uma vez que o transdutor piezoelétrico é um dispositivo eletromecânico recíproco, torna-se
conveniente analisarmos o seu desempenho do ponto de vista de um circuito elétrico. Em tal
abordagem as características mecânicas devem ser modeladas por seus respectivos análogos
elétricos.
Seja o seguinte modelo para um transdutor piezoelétrico.
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 36
onde o transformador é utilizado para acoplar as variáveis mecânicas a variáveis elétricas.
Neste modo de vibração do modelo considera-se que a velocidade de propagação da onda
mecânica no dispositivo (velocidade de propagação do som) é dada por
Ds ρ
Y=v 0
assim como a sua impedância característica
DsD ρv=ρY=Z ⋅⋅00
Supondo que a vibração mecânica oscila numa frequência angular o comprimento físico
do transdutor representa um certo ângulo mecânico associado ao período de oscilação, ou uma certa
fração do comprimento de onda.
λπ →⋅2
lθ →
f
vlπ
=λ
lπ=θ
s
⋅⋅⋅⋅ 22
ss v
lω=
v
lfπ=θ
⋅⋅⋅⋅2
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 37
No modelo as reatâncias XL e XC são definidas em função de tal ângulo mecânico e são
dadas por
⋅
⋅⋅⋅2
tan0 θ
v
YWhj=X
sL
θv
YWhj=X
sC sen
10 ⋅⋅⋅⋅
De modo análogo a relação de espiras de um transformador (N) é dada por
WdpY=N
⋅⋅0
1
e a capacitância C0 por
h
YWle=C 0
0
⋅⋅⋅
onde 2
0
dp–Y
ζ=e
e se o material não for piezoelétrico (dp=0), tal valor se reduz a expressão de um capacitor
de placas paralelas
00
*0 Y
h
Wl
Y
ζ=C ⋅⋅⋅
( )h
Aεε=C r ⋅−⋅ 10
*0
Em aplicações biomédicas, normalmente as ressonâncias mais baixas são as usualmente
utilizadas. Isto é, aquelas onde o comprimento do transdutor corresponde a 2/λ , ou seja, π=θ
(também chamada de modo 180º). Então a frequência de ressonância será
l
vπ=
l
vθ=ω srr
r
⋅⋅ (ressonância mecânica).
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 38
Para transdutores duplamente acoplados ao vácuo ou ar, a carga mecânica equivalente é
vista como curto-circuito (velocidade qualquer e força igual a zero). Isto faz com que os dois
indutores do modelo estejam conectados em paralelo. Embora a expressão de XL tenda para infinito
na ressonância, pois
⋅⋅⋅
2tan0
pY
v
Wh=X
sL
podemos avaliá-la nas vizinhanças de tal frequência, como
Δ+π=θ , logo
2tan
2tan
Δ+π=
θ
Como
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )baba
ab+ba=
b+a
b+a=b+a
sensencoscos
cossencossen
cos
sentan
⋅−⋅⋅⋅
então
⋅
−
⋅
⋅
⋅
2sen
2sen
2cos
2cos
2cos
2sen
2cos
2sen
2tan
ΔπΔπ
πΔ+
Δπ
=Δ+π
⋅
⋅
2sen
2sen
2cos
2sen
2tan
Δπ
Δπ
=Δ+π
−
2cot
2tan
Δ=
Δ+π
Porém tal função ainda poderia ser expandida em séries de Taylor ( 0→Δ ) como
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 39
...6
2
2cot
2tan
2tan +
Δ+
Δ=
Δ=
Δ+π=
θ −
−
De modo análogo pode ser demostrado que para Δ+π=θ
( ) ( ) ...6
1
sen
1
sen
1+
Δ
ΔΔcsc=
Δ+π=
θ−−≈−
Em tal condição (transdutor duplamente conectado ao ar), o circuito equivalente pode ser
reduzido para:
onde
−−⋅⋅⋅⋅−
6
10
Δ
ΔY
v
Whj=X
sC
⋅⋅⋅⋅
6
10
Δ+
ΔY
v
Whj=X
sC
2
1
6
20
* ⋅
−⋅⋅⋅⋅ Δ
+Δ
Yv
Whj=X
sL
−⋅⋅⋅⋅
12
10
* Δ
ΔY
v
Whj=X
sL
A reatância total vista pelo secundário do transformador é então
−⋅⋅⋅⋅
12
1
6
10
** Δ+
Δ
Δ+
ΔY
v
Whj=X+X=X
sLCsec
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 40
40
ΔY
v
Whj=X
ssec ⋅⋅⋅⋅
(comportamento indutivo)
Refletindo-se agora tal reatância para o primário, multiplicando-se por 2N .
2NX=X secpri ⋅
2
00
1
4
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅WdpY
ΔY
v
Whj=X
spri
2220
0
1
4 WdpY
ΔY
v
Whj=X
spri ⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
WdpYv
Δhj=X
spri ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅2
04 (comportamento indutivos)
Então, do ponto de vista elétrico, um transdutor piezoelétrico pode ser visto como o circuito
ressonante abaixo
onde ωYlWe
hj=
Cω
j=X C0 ⋅⋅⋅⋅
⋅−⋅
⋅−
00
1
e, em rω=ω
sC0 vYWeπ
hj=X
⋅⋅⋅⋅⋅−
0
Embora na frequência rω=ω , onde 0=Δ e π=θ , a indutância do modelo devesse se
tornar um curto circuito, e a impedância do circuito ir a zero, devido a perda, tal efeito não ocorre,
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 41
sendo tal impedância limitada a um certo valor R1. Além disso, também devido a fatores ligados a
perdas construtivas, na frequência onde há a ressonância do LC resultante ( aω ) a impedância do
circuito também não será infinito. Tal frequência de ressonância pode ser definida com a frequência
onde o denominador do paralelo fosse nula. Nesta condição teremos
ss vdpWY
Δh=
vYWeπ
h
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ 200 4
ou seja
eπ
dp=Δ
⋅⋅ 24
e consequentemente
eπ
dp+π=Δ+π=θa ⋅
⋅ 24
l
v
eπ
dp+
l
vπ=
l
vθ=ω sss
a ⋅⋅
⋅⋅⋅ 22 4
(ressonância elétrica)
ou seja
leπ
vdp+ω=ω s
ra ⋅⋅⋅⋅ 24
Devido ao fato do circuito equivalente anterior apresentar uma indutância variável (função
de Δ ) ele é normalmente substituído por um outro que utiliza parâmetros fixos, sendo que o mais
utilizado é:
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 42
onde h
YlW=C 0
0
2 ⋅⋅⋅
220
18 svdpWY
lh=L
⋅⋅⋅⋅⋅
hπ
YWldp=C
⋅⋅⋅⋅⋅
20
2
1
8
onde 11
1
CL=ωr ⋅
( )1
011
1
C+C
CCl
=ω
D
a ⋅⋅
O valor de R1 deve ser obtido experimentalmente, uma vez que a modelagem realizada não
inclui o efeito de perdas internas
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 43
10.2 Transdutor piezoelétrico no modo direto e com carga
O modo transversal anteriormente estudada não é o modo normalmente usado em ultrassom.
Em tais aplicações o transdutor está normalmente carregado e opera no chamado modo direto
Fo,vo Fl,vl
x=0 x=l
+v(t)-
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 44
O modelo elétrico para este caso é
A comparação com o modelo do modo transversal nos mostra que houve o aparecimento de
mais uma reatância indutivo que depende tanto das propriedades mecânica, como das propriedades
piezoelétricas do transdutor.
Em tal modelo temos
sv
lω=θ
⋅ (como no caso anterior)
l
YeA=C 0
0
⋅⋅ (diferente do caso anterior, onde agora A é a área da camada condutora
metálica)
⋅
⋅⋅⋅
2tan
θ
ve
ζAj=X
sL1
θve
YdpAj=X
sL2 ⋅⋅
⋅⋅⋅ 02
( )θve
ζAj=X
sC1 sen⋅⋅
⋅⋅−
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 45
dpYA
l=N
⋅⋅ 0
Embora tais transdutores operem normalmente na ressonância, para obtenção da máxima
eficiência mecânica em termos de movimento nem sempre tal fato se dá para uma sintonia em meio
comprimento de onda. Consequentemente não podemos utilizar as aproximações para θ ,
( )2/tan θ e ( )θ1sen − , anteriormente demonstrada. Neste caso a solução deve ser obtida por
tentativa e erro, ou algum método numérico.
Para vários casos práticos de interesse o circuito equivalente anterior pode ser modificado,
combinando-se as indutâncias 1L em uma única indutância 2/1L e substituindo-se a carga por um
equivalente resistivo Req.
Se tal modelo é considerado válido, então a série L1/2X+X C1 resulta em:
( )
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅−
2tan
2sen
1L1/21
θ
ve
ζAj+
θve
ζAj=X+X=X
ssC1
( )
−
⋅
⋅⋅⋅⋅
θ
θ
ve
ζAj=X
s sen
2
2tan
21
Mas como
( )
⋅
2tan1
2tan2
sen2 θ
+
θ
=θ
então
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 46
⋅
⋅
−
⋅
⋅⋅⋅⋅
2tan2
2tan12
2tan
2
2
1 θ
θ+
θ
ve
ζAj=X
s
Logo
⋅⋅⋅
⋅⋅−
2tan
1
21 θve
ζAj=X
s (reatância capacitiva)
Então o modelo poderia ser redesenhado como:
A reatância total vista pelo secundário do transformador então é
θve
YdpAj+
θve
ζAj=X+X=X
ss
L2sec ⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅− 02
1
2tan2
⋅
−⋅
⋅⋅⋅
2tan2
02
θ
ζ
θ
Ydp
ve
Aj=X
ssec
Como a ressonância ocorre quando 0=X sec isto implica em
⋅
⋅
2tan2
02
θ
ζ=
θ
Ydp
r
Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 47