STT1700 - Introduction a` la statistique

Demonstrations et exercices

[ 1, p. 54] Moyenne arithmetique

x = 1nn

1 xi

[ 1, p. 61] Variance

Il faut demontrer que s2x =n

i=1(xix)2n1 =

ni=1 x

2inx2

n1 .

Proof. On sait, par definition, que x =ni=1 xin . On a :s2 =

ni=1(xi x)2n 1 =

ni=1(x2i 2xxi + x2)

n 1=n

i=1 x2i n

i=1 2xxi +n

i=1 x2

n 1=n

i=1 x2i 2x

ni=1 xi + nx2

n 1=n

i=1 x2i 2x(nx) + nx2n 1

=n

i=1 x2i 2nx2 + nx2n 1

=n

i=1 x2i nx2

n 1

[ 1, p. 63] Cote z

z = xxsx

[ 2, p. 07] Remarque 2.1 : Lois de Morgan

Equivalence (1). (A B)c = Ac Bc

Equivalence (2). (A B)c = Ac Bc

A = A = A (B Bc) = (A B) (A Bc) (Decomposition utile de A)A\B = A Bc (Autre notation pour A\B)

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[ 2, p. 10] Definition 2.7 : Probabilite

Axiome (1). P (A) 0Axiome (2). Pour A1, A2, ..., Ak disjoints entre eux, on a : P (A1 A2 ...Ak) =P (A1) + P (A2) + ... + P (Ak)

Axiome (3). P () = 1

Propriete (1). P (Ac) = 1 P (A)

Proof. Sachant que = A Ac, on a :

P () = 1 = P (A Ac)= P (A) + P (Ac) (Axiome 2)

Propriete (2). P () = 0

Proof. Sachant que P () = 1, on veut P (c), levenement impossible. On a :

P (c) = 1 P () (Propriete 2)= 1 1= 0

Ou encore :

P () = 1 = P ( ) (Axiome 3)= P () + P () (Axiome 2)

1 P () = P ()0 = P () (Axiome 3)

Propriete (3). P (A) = P (A B) + P (A Bc)

Proof. Sachant que A = (A B) (A Bc). On a :

P (A) = P (A B) + P (A Bc) (Axiome 2)

Propriete (4). Si B A, alors P (B) P (A)

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Proof. Si B A, on a : A = B (A\B). Alors les deux evenements sont disjoints :

P (A) = P (B) + P (A\B) (Axiome 2)P (A) P (B) (P (A\B) 0, Axiome 1)

Propriete (5). A 1, pour tout evenement A

Proof. Si A , alors :

P (A) P () (Propriete 4)P (A) 1 (Axiome 3)

Propriete (6). P (A\B) = P (A Bc) = P (A) P (A B)

Proof. Sachant que A\B = A Bc, on a :

P (A\B) = P (A) P (A B) (Propriete 3)

Propriete (7). P (A B) = P (A) + P (B) P (A B), pour A et B independants.

Proof. Sachant que (A B)\B = A\B. En appliquant la propriete 6 de chaque cotede legalite, on obtient :

P (A B) P ((A B) B) = P (A) P (A B)

Sachant que (A B) B = B, on obtient :

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

[ 2, p. 12] Rappel :Propriete. Pour des evenements disjoints :

P (A|B) = 0P (A B) = 0P (A B) = P (A) + P (B)

Propriete. Pour des evenements dependants, mais non disjoints :

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P (A|B) = P (AB)P (B) pour P (B) 6= 0P (A B) = P (A|B)P (B)P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

Propriete. Pour des evenements independants :

P (A) = P (A|B)P (A B) = P (A)P (B)P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

[ 2, p. 12] Exercice 2.5 : Soient A et B, deux evenements tels que P (A) = 0.3, P (B) = 0.5 etP (A B) = 0.7. On doit determiner, a` laide des proprietes :

a) P (A B)

Solution : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0.3 + 0.5 0.7 = 0.1.

b) P (Ac Bc)

Solution : P ((A B)c) = P (1 P (A B)) = 1 0.7 = 0.3

c) P (B Ac)

Solution : P (BAc) = P (B)P (BA) = P (B)P (AB) = 0.50.1 = 0.4

[ 2, p. 13] Exercice 2.6 : Un etudiant prend un cours de biologie et un cours de statistique.La probabilite quil reussisse le cours de biologie est de 0.5 alors que la probabilitequil reussisse celui de statistique est 0.7. La probabilite quil reussisse les deux coursest 0.3. Determiner :

a) La probabilite quil reussisse au moins un cours.

Solution : On a = {A,B}, A = {Letudiant reussit le cours de biologie} =0.5, B = {Letudiant reussit le cours de statistique} = 0.7. On cherche : P (AB) = P (A) + P (B) P (A B) = 0.5 + 0.7 0.3 = 0.9.

b) Il coule les deux cours.

Solution : En considerant les elements definis en a), on cherche P (AcBc) =P ((A B)c) = P (1 P (A B)) = 1 0.9 = 0.1.

c) Il coule le cours de statistique, mais reussit le cours de biologie.

Solution : En considerant les elements definis en a), on cherche P (ABc) =P (A) P (A B) = 0.5 0.3 = 0.2.

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[ 2, p. 20] Definition 2.9 : Probabilite conditionnelle

P (A|B) = P (AB)P (B) , pour P (B) 6= 0

[ 2, p. 21] Exercice 2.7 : On sinteresse aux familles composees de deux enfants.a) Quelle est la probabilite que les deux enfants de chaque famille soient des

garcons, considerant que chaque famille aura au moins un garcon ?

Solution : = {E1, E2, E3, E4}, E1 = {GG}, E2 = {GF}, E3 = {FG},E4 = {FF} et P (Ei) = 14 . On a B = {Les deux familles ont au moins ungarcon} = {E1, E2, E3} et P (B) = P (E1 + E2 + E3) = 34 . On a A = {Les deuxfamilles ont deux garcons} = {E1} et P (A) = 14 . On cherche P (A|B) = P (AB)P (B) .Sachant que (A B) = {E1} = 14 , on trouve : P (A|B) =

1434

= 13 .

b) Quelle est la probabilite que les deux enfants de chaque famille soient desgarcons, considerant que le premier enfant de chaque famille est deja` un garcon ?

Solution : = {E1, E2, E3, E4}, E1 = {GG}, E2 = {GF}, E3 = {FG},E4 = {FF} et P (Ei) = 14 . On a B = {Les deux familles ont au moins un garconen premier} = {E1, E2} et P (B) = P (E1 + E2) = 12 . On a A = {Les deuxfamilles ont deux garcons} = {E1} et P (A) = 14 . On cherche P (A|B) = P (AB)P (B) .Sachant que (A B) = {E1} = 14 , on trouve : P (A|B) =

1412

= 12 .

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