Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e de ComputadoresMestrado Integrado em Engenharia Mecanica

Investigacao Operacional

Mestrado Integrado em Engenharia do AmbienteMestrado Integrado em Engenharia Quımica

Metodos de Decisao

2011.02.07

Prova com consultaAlunos admitidos a exame com avaliacao contınua

Duracao: 2h30

London Heathrow Airport

London Heathrow Airport, in the London Borough of Hillingdon, is the largest airport in the UnitedKingdom and the fourth busiest airport in the world (in 2010, due to reduced traffic blamed on the Ey-jafjallajokull volcano) in terms of total passenger traffic and it handles more international passengers thanany other airport in the world. It is also the busiest airport in the European Union in terms of passengertraffic and the second busiest in Europe in terms of traffic movements, second to Paris CDG airport in Paris,France. The airport is owned and operated by BAA, who also own and operate five other UK airports.

Heathrow is 12 nautical miles west of Central London, and has two parallel main runways spanning east-to-west and four operational terminals. The site covers 12.14 square kilometres. Terminal 5 was officiallyopened by Queen Elizabeth II on 14 March 2008 and opened to passengers on 27 March 2008. Constructionof a new Terminal 2 complex to replace the terminal building and adjacent Queen’s Building began in 2009;the first phase is expected to open in 2014. Terminals 3 and 4 underwent major refurbishments that beganin 2007 and were completed in 2009. In November 2007 a consultation process began for the building ofa new third runway and a sixth terminal and it was controversially approved on 15 January 2009 by UKGovernment ministers. The project was then cancelled on 12 May 2010 by the Cameron Government.

1

1. (20/3 valores) Um fabricante de relogios pretende comercializar quatro modelos do seu catalogo (M1, M2, M3e M4) em lojas dos terminais do aeroporto de Heathrow. O fabricante propos a varias lojas localizadas nosterminais 1, 3 e 4 pagar-lhes uma determinada percentagem do lucro bruto (diferenca entre o preco de venda aopublico e o custo total de producao) gerado pela comercializacao dos relogios. Mostraram receptividade a estenegocio duas lojas no terminal 1 (L1 e L2), tres no terminal 3 (L3, L4 e L5) e uma no terminal 4 (L6). Cadauma das lojas podera comercializar um ou mais modelos de relogios. O fabricante nao quer vender o mesmomodelo de relogio em mais do que uma loja de cada um dos terminais, de forma a evitar a concorrencia entrelojas localizadas no mesmo terminal. O numero de relogios de cada um dos modelos que as diferentes lojaspreveem conseguir vender semanalmente encontra-se na Tabela 1.

Lojas

Modelo L1 L2 L3 L4 L5 L6

M1 10 12 8 20 15 10M2 15 10 5 9 8 5M3 8 6 5 7 4 2M4 4 3 7 2 2 1

Tabela 1: Previsoes de venda de cada modelo de relogio em cada loja.

Os custos variaveis de producao de um relogio (incluindo materia prima e mao de obra), bem comoos custos fixos de producao de cada um dos modelos (resultante da preparacao da linha de montagempara a producao de um determinado modelo) sao os indicados na Tabela 2.

O fabricante defende uma polıtica de nao manter stocks de relogios, o que implica que os relogiosvendidos numa determinada semana sao integralmente produzidos na semana imediatamente anterior.Os precos de venda ao publico de cada um dos modelos de relogio (em u.m.) serao diferentes emfuncao do terminal em que a loja esta localizada, sendo os apresentados na Tabela 3.

Custos de Producao(em u.m.)

Modelo Variaveis Fixos

M1 5 120M2 6 100M3 7 75M4 9 200

Tabela 2: Custos de producao de cada modelo.

Terminal

Modelo 1 3 4

M1 22 28 30M2 35 42 42M3 30 40 45M4 26 32 28

Tabela 3: Precos de venda ao publico de cada modelo.

O fabricante tem capacidade para produzir 60 unidades do modelo M1 (se so produzir este modelo), 35de M2 (se so produzir este modelo), 20 de M3 (se so produzir este modelo) e 15 de M4 (se so produzireste modelo) ou qualquer combinacao linear destes valores.

(a) Decisoes

i) Descreva por palavras as variaveis de decisao para este problema.ii) Quantas sao as variaveis de decisao? Como calculou?

iii) Represente matematicamente as variaveis de decisao do problema, nao esquecendo os seusdomınios.

(b) Restricoes

i) Descreva por palavras os diferentes tipos de restricoes para este problema.ii) Quantas sao as restricoes de cada tipo? Como calculou?

iii) Represente matematicamente as restricoes para este problema na forma linear.

(c) Objectivo

i) Descreva por palavras a funcao objectivo para este problema.ii) Represente matematicamente essa funcao objectivo na forma linear.

2

2. (20/3 valores)A BAA, operadora do aeroporto de Heathrow, pretende equipar com novos equipamentos de comunicacao e deseguranca o terminal 3 do aeroporto. Para esse efeito e necessario instalar novas cablagens desde a zona deentrada do terminal ate a zona de acesso das salas de embarque. Na figura 2, C1 representa a caixa de derivacaoonde chegam ao terminal 3, a partir do exterior, estas novas cablagens, e C8 representa a caixa de derivacaoonde e necessario faze-las chegar. A instalacao das cablagens deve ser feita utilizando as tubagens ja existentesneste terminal, que servem de suporte a diferentes tipos de infra-estruturas, e que estao representadas na Figura1. Os diferentes trocos de tubo estao ligados a caixas de derivacao (C1, C2, ..., C8).

Figura 1: Terminal 3 - Partidas.As estimativas dos custos de instalacao das novas cablagens em cada um dos trocos (i,j ou j,i) sao as seguintes:

i/j C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

C1 10 9 12 - - - -C2 - 3 7 - - -C3 - - 11 - -C4 - - 6 -C5 2 - 5C6 - 4C7 6C8

Tabela 4: Custos de instalacao, em unidades monetarias, u.m.

(a) Desenhe, de forma esquematica, a rede representativa deste problema.

(b) Determine, atraves do algoritmo de Dijkstra (na forma tabular), em que trocos devem ser instaladascablagens, de forma a minimizar o custo da instalacao das novas tubagens. (Justifique de forma claracomo determinou os trocos em que devem ser instaladas cablagens).

(c) Qual o custo mınimo para a instalacao das cablagens necessarias?

(d) Dado que as caixas de derivacao ja tem bastantes anos, o responsavel pelas infra-estruturas pretendever melhoradas as caixas que tiverem que ser abertas (e so essas) no decurso da instalacao das novascablagens. Os custos de melhoria de cada uma das caixas (em u.m.) sao apresentados na Tabela 5.Utilizando novamente o algoritmo de Dijkstra (na forma tabular) diga em que trocos devem ser instaladascablagens, de forma a minimizar a soma dos custos da sua instalacao com os custos de melhoria das tampasque tiverem de ser abertas.

Caixas

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C84 3 1 2 3 3 1 4

Tabela 5: Custos de melhoria de cada caixa, em unidades monetarias, u.m.

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3. (20/3 valores)

Durante a crise no funcionamento do aeroporto de Heathrow do fim de semana de 18 de Dezembrode 2010, em que condicoes meteorologicas severas obrigaram ao cancelamento de milhares de voos, foicrıtica a utilizacao eficiente das janelas de tempo em que, devido a algumas melhorias climaticas e aotrabalho de limpeza da neve das pistas, era possıvel fazer descolar alguns avioes.

Com condicoes meteorologicas com neve intensa, os avioes chegam a acumular algumas toneladas deneve sobre a fuselagem, que tem que ser limpa antes da descolagem, por causa do peso acrescido que aneve representa e para que nao gele e bloqueie os comandos do aparelho. Assim, todos os avioes tem queser previamente lavados com um lıquido anticongelante, que e aplicado com umas maquinas especiaisque se deslocam em torno do aviao. Apesar de Heathrow nao se encontrar na situacao de outrosaeroportos europeus, em que este lıquido se esgotou, a verdade e que apenas dispunha de 4 maquinaspara a sua aplicacao, que (1) podem ser usadas simultaneamente no mesmo aviao, minimizando amovimentacao das maquinas mas com perdas de tempo, por ser difıcil equilibrar as cargas de trabalhoentre elas e acabarem por ficar umas a espera que as outras acabem, ou (2) servindo varios avioes emsimultaneo, o que permite uma melhor utilizacao de cada uma delas mas aumenta o tempo da limpeza,porque as maquinas tem que se deslocar em redor do aviao.

O problema que se coloca aos gestores das operacoes em Heathrow e o da organizacao da preparacaodos avioes para a descolagem, atraves da aplicacao do lıquido anticongelante, isto e, saber quantospostos de limpeza de neve devem organizar e quantas maquinas afectar a cada posto. Os 40 avioes queirao levantar durante a janela temporal de 60 minutos em que nao vai nevar, irao chegar aos postosde aplicacao do lıquido anticongelante a medida que os reabastecimentos e embarques sao dados porterminados, formando uma fila por posto de limpeza, segundo um processo de Poisson. Sendo queos avioes sao todos diferentes, e portanto levam tempos diferentes a limpar, a Tabela 6 apresenta ostempos medios para a limpeza de um aviao conforme o numero de maquinas utilizadas.

Numero de maquinas 1 2 3 4

Tempo medio (minutos) 5 2,5 1,25 2

Tabela 6: Duracao da limpeza de um aviao

(a) Determine a configuracao em que o tempo medio de preparacao de um aviao (tempo de esperamais tempo de servico de limpeza) e mınimo. Faca os pressupostos que achar razoaveis e explicite-os na sua resposta.

(b) Critique a solucao encontrada, em termos do realismo dos pressupostos feitos e em termos dorisco que a configuracao escolhida possa apresentar perante uma eventual nao verificacao dessespressupostos.

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Resolucao

1. (a)

i) As variaveis de decisao serao xij , quantidade a vender do modelo de relogio i a loja j.ii) Como i = 1, 2, 3, 4 (modelos de relogio) e j = 1, 2,..., 6 (lojas), teremos 4 x 6 = 24 variaveis

de decisao.iii) xij ≥ 0

(b)

i) Tipos de restricoes:Tipo 1: Quantidades maximas de vendas nas lojas.Tipo 2: Capacidade de producao.Tipo 3: Fabricante nao quer vender o mesmo modelo de relogio em mais do que uma loja de cada

um dos terminais.ii) Numero de restricoes:

Tipo 1: 24 restricoes (4 modelos x 6 lojas = 24)Tipo 2: 1 restricaoTipo 3: 8 restricoes: 4 modelos x 2 terminais = 8 (para cada um dos 4 modelos, uma restricao

relativa as lojas do terminal 1, e outra restricao relativa as lojas do terminal 3).iii) Representacao matematica das restricoes:

Sendo:dij a previsao semanal de vendas de relogios do modelo i, na loja j;ci a capacidade maxima de producao semanal do modelo i, se so produzir este modelo;vi custo variavel da producao de um relogio do modelo i;fi custo fixo da producao do modelo de relogio i;αij=(0,1) variavel auxiliar binaria;

Tipo 1:

xij ≤ dij ∀i,j (1)

Tipo 2: ∑i

∑j xij

ci≤ 1 (2)

Tipo 3:

xij − αijM ≤ 0 ∀i=1,2,3,4 e ∀j=1,2,3,4,5,6 (3)2∑

j=1

αij ≤ 1 ∀i=1,2,3,4 (4)

5∑j=3

αij ≤ 1 ∀i=1,2,3,4 (5)

As restricoes do Tipo 3 garantem que o fabricante nao vende o mesmo modelo de relogio em maisdo que uma loja de cada um dos terminais. Teremos assim a restricao (4) para o terminal 1 comduas lojas, j = 1 e j = 2, e a restricao (5) para o terminal 3, com tres lojas, j = 3, j = 4 e j =5. As restricoes (3) garantem que se xij > 0, entao αij = 1.

5

(c)

i) E dito que o fabricante paga as lojas uma “percentagem do lucro bruto (diferenca entreo preco de venda ao publico e o custo total de producao) gerado pela comercializacao dosrelogios”. A percentagem restante desse lucro bruto sera para o fabricante. Entao, o objectivoseria maximizar o valor correspondente a esta percentagem do lucro bruto total. A solucaooptima para este objectivo sera a mesma que para a maximizacao do lucro bruto total.

ii) Representacao matematica da funcao objectivo:

L =4∑

i=1

6∑j=1

(pij − vi)xij −4∑

i=1

(fiβi) (6)

Sendo pit o preco de venda do modelo de relogio i, nas lojas localizadas no terminal t (t = 1,3, 4) , e pij o preco de venda do modelo de relogio i na loja j, entao:pij = pit para j = 1 e 2, com t = 1 e para ∀i

pij = pit para j = 3, 4 e 5, com t = 3 e para ∀i

pij = pit para j = 6, com t = 4 e para ∀i

A introducao de um conjunto de variaveis binarias βi, aliado ao conjunto de i restricoes (7),garante que, na funcao objectivo so seja contabilizado o custo fixo de producao (preparacaoda linha de montagem), caso seja fornecido as lojas alguma unidade do modelo i.

6∑j=1

xij − βiM ≤ 0 ∀i (7)

6

2. (a)

(b) Trocos: C1 C2; C2 C5; C5 C8Justificacao: Para determinar a sequencia de nos que forma o caminho com distancia mınima,deve-se, retrocedendo a partir do no de saıda, procurar os nos com etiquetas permanentes cujadiferenca e igual a distancia associada ao arco que os une (ver calculos na rede).

NOSIter. C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

0 0* ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞1 0* 10 9* 12 ∞ ∞ ∞ ∞2 0* 10* 9* 12 ∞ 20 ∞ ∞3 0* 10* 9* 12* 17 20 ∞ ∞4 0* 10* 9* 12* 17* 20 18 ∞5 0* 10* 9* 12* 17* 19 18* 226 0* 10* 9* 12* 17* 19* 18* 227 0* 10* 9* 12* 17* 19* 18* 22*

(c) Custo mınimo da instalacao = 10 + 7 + 5 = 22 u.m.

(d) E necessario reformular os custos totais dos trocos (i, j), somando aos custos de instalacao dascablagens nos trocos (i, j) os custos de melhoria da tampa i, isto e, o custo de instalacao de cadatroco e acrescido do custo de melhoria da caixa de onde o troco sai. Note-se que, desta forma, ocusto de melhoria da caixa C8 nao e contabilizado. No entanto, como todos os caminhos passampela caixa C8, este custo nao tem impacto na determinacao do caminho mınimo.

Troco (i,j) C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8C1 10+4=14 9+4=13 12+4=16 - - - -C2 - 3+3=6 7+3=10 - - -C3 - - 11+1=12 - -C4 - - 6+2=8 -C5 2+3=5 - 5+3=8C6 - 4+3=7C7 6+1=7

7

Trocos: C1 C4; C4 C7; C7 C8Custo mınimo = 31 u.m

NOSIter. C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

0 0* ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞1 0* 14 13* 16 ∞ ∞ ∞ ∞2 0* 14* 13* 16 ∞ 25 ∞ ∞3 0* 14* 13* 16* 24 25 ∞ ∞4 0* 14* 13* 16* 24* 25 24 ∞5 0* 14* 13* 16* 24* 25 24* 326 0* 14* 13* 16* 24* 25* 24* 317 0* 14* 13* 16* 24* 25* 24* 31*

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3. (a) Estamos perante um problema de configuracao do servico num sistema de filas de espera. Aquestao que se coloca e nao so saber quantos servidores se devem constituir, como tambemdeterminar a configuracao de cada um, atraves da afectacao de mais ou menos maquinas deaplicacao de lıquido anticongelante a cada servidor, o que tera implicacoes no tempo de servico.Note-se que como e dito no enunciado que se forma uma fila de espera para cada posto delimpeza de neve, entao todas as filas de espera que se formam sao do tipo M/M/1, isto e, acada fila correspondera sempre um e um so servidor. O objectivo e minimizar o tempo medio depermanencia (W ) de um aviao no sistema de filas de espera.No enunciado sao-nos fornecidos tempos medios, para os tempos de servico. Isso significa queestes tempos sao processos aleatorios, descritos por variaveis aleatorias. Dada a natureza dosfenomenos e razoavel assumir que estes processos sao de Poisson.Quanto a chegada dos avioes (clientes) a(s) fila(s) e dito que segue um processo de Poisson. Poroutro lado, e dito que levantarao 40 avioes na hora seguinte, pelo que este sera o valor de basepara calcular a taxa de chegada ao sistema de filas de espera: 40 avioes por hora. No entanto, nasconfiguracoes em que se tiver mais do que uma fila de espera sera necessario dividir os 40 avioespelas filas existentes, isto e, determinar a taxa de chegada (λ) a cada fila. E razoavel, numaprimeira aproximacao, considerar que a taxa de chegada e proporcional a taxa de atendimento(µ), isto e, se tivermos duas filas de espera FE1 e FE2, FE1 com um servidor duas vezes maisrapido que FE2, entao o numero de avioes que “escolherao” FE1 sera o dobro do numero deavioes que escolherao FE2.As alternativas de configuracao do servico sao entao as seguintes:

• 1 fila de espera, com o servidor constituıdo pelas 4 maquinas.

Neste cenario o servidor atendera em media 30 avioes por hora (µ), dado que cada aviaodemorara 2 minutos a ser limpo. Por outro lado, a taxa de chegada a fila sera de 40 avioespo hora (λ). Assim:

ρ =λ

µ=

4030

= 1, 3333 > 1 ⇒ o sistema nao esta em equilıbrio

Com esta configuracao a fila tenderia para infinito, nao sendo portanto admissıvel.• 2 filas de espera, com 2 maquinas em cada um dos servidores.

Neste cenario cada servidor limpara 24 avioes por hora (µ), dado que com duas maquinascada um deles demora 2 minutos e meio a limpar um aviao. Por outro lado, a taxa de chegadaa cada fila sera 40

2 = 20 (λ), dado que os servidores das 2 filas sao iguais (duas maquinas emcada um), o que permite pressupor que os avioes se distribuiriam igualmente pelas duas filas.Tomando entao apenas uma fila:

ρ =λ

µ=

2024

= 0, 8333 < 1 ⇒ W =1

µ− λ=

124− 20

= 0, 25 horas

Entao, em cada uma das filas, o tempo medio de permanencia no sistema sera de 0,25 horas(15 minutos), sendo este o tempo que qualquer aviao devera esperar estar no sistema.• 2 filas de espera, com 1 maquina numa delas e 3 maquinas na outra.

Esta e uma situacao em que as duas filas estarao desequilibradas, dado que uma delas terauma taxa de atendimento superior a outra. A fila com uma unica maquina atendera 12 avioespor hora, enquanto a fila com 3 maquinas conseguira atender 48 avioes por hora. No seuconjunto serao capazes de atender 60 avioes por hora. Para que esta configuracao funcionee preciso que a procura de cada uma das filas seja tambem desequilibrada, isto e, que vaomais avioes para a fila que tem um atendimento mais rapido. Assim, vai-se pressupor que afila com µ = 12 tera um λ = 40× 12

60 = 8 e a fila com µ = 48 tera um λ = 40× 4860 = 32

Comecemos por analisar a fila de espera cujo servidor tem 3 maquinas:

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ρ =λ

µ=

3248

= 0, 6667 < 1 ⇒ W =1

µ− λ=

148− 32

= 0, 0625 horas

Quanto a fila cujo servidor tem uma unica maquina:

ρ =λ

µ=

812

= 0, 6667 < 1 ⇒ W =1

µ− λ=

112− 8

= 0, 25 horas

Com esta configuracao alguns avioes irao estar, em media, 0,0625 horas no sistema, e outros0,25 horas. No entanto, como a reparticao de avioes pelas duas filas nao e igual, o tempomedio que um aviao devera esperar estar no sistema sera a media ponderada pelos λ destesdois tempos:

W =32× 0, 0625 + 8× 0, 25

40= 0, 1 horas = 6 minutos

• 3 filas de espera, com 1 maquina em duas das filas e 2 maquinas na terceira.

Tambem nesta situacao temos desiquilıbrio na capacidade dos servidores de cada uma dasfilas. Enquanto o servidor das filas 1 e 2 atende em media 12 avioes por hora, o servidor dafila 3 atendera 24 avioes por hora. As taxas de chegada terao que ser novamente adaptadasa este desiquilıbrio, com as taxas de chegada as duas primeiras filas a valerem 10 avioespor hora, e a taxa de chegada a terceira fila a valer 20 avioes por hora (somando 40 masrespeitando as proporcionalidades das capacidades de atendimento).Comecando pelas duas filas que tem servidores com uma unica maquina:

ρ =λ

µ=

1012

= 0, 8333 < 1 ⇒ W =1

µ− λ=

112− 10

= 0, 5 horas

Quanto a fila cujo servidor tem 2 maquinas:

ρ =λ

µ=

2024

= 0, 8333 < 1 ⇒ W =1

µ− λ=

124− 20

= 0, 25 horas

Para saber o tempo medio que um aviao qualquer estara no sistema, teremos que calcular amedia ponderada destes valores:

W =10× 0, 50 + 10× 0, 50 + 20× 0, 25

40= 0, 375 horas = 22, 5 minutos

• 4 filas de espera, com servidores constituıdos por uma unica maquina de limpeza.

Neste cenario cada servidor atendera em media 12 avioes por hora (µ), dado que cada aviaodemorara 5 minutos a ser limpo. Por outro lado, a taxa de chegada a cada fila sera 40

4 = 10avioes por hora (λ), dado que os servidores das 4 filas sao todos iguais entre si.Tomando entao apenas uma fila:

ρ =λ

µ=

1012

= 0, 8333 ⇒ W =1

µ− λ=

112− 10

= 0, 5 horas

Entao, em cada uma das filas, o tempo medio de permanencia no sistema sera de 0,5 horas(30 minutos).

Os resultados anteriores podem ser resumidos na tabela seguinte:

Numero de filas/servidores 1 2 3 4Numero de maquinas 4 2/2 1/3 1/1/2 1/1/1/1W (minutos) — 15 6 22,5 30

A solucao que minimiza o tempo medio no sistema sera portanto formar duas filas com umamaquina num dos servidores e 3 maquinas no outro.

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(b) O pressuposto de que os processos estatısticos seguem uma lei de Poisson e importante parao funcionamento do sistema, em particular porque distribui a chegada dos avioes as filas paralimpeza ao longo do tempo. Este pressuposto, numa situacao de crise como a que e relatadaneste problema, dificilmente se verificaria. De facto, o mais natural era os avioes estarem prontosa descolar, com os passageiros a bordo, e a pressao para levantar voo ser maior no inıcio dajanela de bom tempo, formando-se filas junto das maquinas de limpeza. No entanto, isso naocomprometeria o funcionamento do sistema em termos medios (as filas diminuiriam drasticamentepara o fim do perıodo de tempo em analise).O risco maior vem da reparticao dos avioes pelas varias filas, quando o sistema e configuradocom mais do que uma fila de espera. Sendo verdade que nao e razoavel pensar que os avioespossam andar a saltar de fila em fila, a procura da fila mais pequena (a imagem do que fazemmuitos automobilistas nas estradas), tambem nao e razoavel pensar que estes se distribuiriamautomaticamente da forma ideal estudada na alınea anterior. Assim, seria interessante ter a torrede controlo a orientar os avioes e a impor-lhes uma fila/posto de limpeza, respeitando o planoatras esbocado.

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