Metal Forming CAE Lab.Department of Mechanical EngineeringGyeongsang National University, Korea

보의 처짐

공학 보이론과 상미분방정식

의관계( ) ( ) ( ) bq x v x M x

( ) ( ) ( ) 0 yF V x V x x q x x21( ) ( ) ( ) ( ) 0

2 C b bM M x M x x V x x q x x

처짐곡선과곡률간의관계: 1( ) v x

변형률-곡률관계:

xx

y

재료의성질:

xx xx

yE E

축력: 0 0 xxA AdA ydA

굽힘모멘트:1 ( )

bxx bA

MydA M v xEI

( ) ( ) bEIv x M x

( ( )) ( ) bEIv x M q x

경계조건• 기하학적경계조건:

• 역학적경계조건:

( ) 0,v L ( ) 0 v L

(0) ,V P (0) ,bM M ( ) ,V L P

(0) (0) (0) b

MM EIv M vEI

( ) (0) ( (0)) (0) b

PV M x V EIv vEI

( ) ( ) dV x q x

dx

( ) ( ) bdM x V xdx

(0) 0 v(0) 0,v

2

2

( ) ( )bd M x q xdx

평형조건:

보의 처짐에 대한 미분방정식

1 b

zz

MEI

1 ( )d v xds

( ) ( )zz bEI v x M x

곡률-변형곡선의관계:

보의변형:

정정계문제: 에미지의힘(모멘트포함)을포함하지않는경우: 전반부( )bM x

( )bM x

(0) 0, ( ) 0, (0) 0, ( ) 0,v v L v v L etc

부정정계문제: 에미지의힘(모멘트포함)을포함하는경우: 후반부

경계조건:

(0) (0) 0 (0) 0, (0) 0 (0) 0b bV M v M v etc

( ) ( ) ( )zz bEI v x M x q x

경계조건의분류:

기하학적경계조건:

역학적경계조건:

( ) 0,v L ( ) 0 v L

(0) ,V P (0) ,bM M ( ) ,V L P

(0) 0, v(0) 0,v 필수경계조건

자연경계조건

경계조건의예:

(0) 0V

( ) 0V L

( ) V L W

( ) 0V L

(2 ) 0V L( ) 0bM L

(0) 0bM

(0) 0bM

(0) 0bM

( ) 0bM L

( ) 0bM L

( ) 0bM L

( ) 0bM L

( ) 0bM L(0) 0v

( ) 0v a(0) 0v

(0) 0v

(0) 0v

( ) 0 v L a

(0) 0v

( ) 0v L

(0) 0 v

(0) 0 v(0) 0 v

( ) 0v L( ) 0v L

( ) ( )( ) ( ) ( ( ))

b

b

M x EIv xV x M x EIv x

경계조건

외팔보 - 집중하중

2 1( ) q x WL x W x0

1( ) V x WL x W x0 1( )bM x WL x W x WL Wx

( )( ) 0b

V L WM L

(0) 0(0) 0

vv

( ) bEIv x M WL Wx

2 31 2( )

2 6WL WEIv x x x C x C

Deflection curve ; ( ) ( )x v x

22 21( ) ( )

2 2W WLv L WL L

EI EI

예제

반력의계산

경계조건

의계산( )bM x

자연경계조건

필수경계조건

의계산( )v x

•••

•

•

•

•

•

적분상수 의 결정1 2,C C

2(0) 0 0v C •1(0) 0 0v C •

W

W

WWL

L

x L

2 31( ) ( )2 6

WL Wx x xEI

에서기울기

21( )

2WEIv x WLx x C

00 01 0 1( )

2 2 q L q Lq x x q x x L

1 2 20 0 0 0( )2 2 2 2

bq L q q L qM x x x x x

2 30 01( )

4 6q L qEIv x x x C

3 40 01 2( )

12 24

q L qEIv x x x C x C

4 30 0 01 1( ) 0 0 ( )

12 24 24q q qv L L C L C L

3 4 30 0 01( )12 24 24q L q qv x x x L x

EI

단순지지보 - 균일분포하중

•

•

•

•

•• 2(0) 0 0v C

0q

0

2q L 0

2q L

L

예제

반력의계산

경계조건

(0) 0( ) 0

b

b

MM L

(0) 0( ) 0

vv L

자연경계조건

필수경계조건

의계산( )bM x

의계산( )v x

적분상수 의 결정1 2,C C

1 2 20 0 0 0( )2 2 2 2

q L q q L qEIv x x x x x •

1 1

1 1

( )

( )b

bq x P x P x aL

bM x P x P x aL

33 3( ) P b bv x x x a bL x

EI L L

1 1

2 21

3 31 2

( )

( )2 2

( )6 6

bEIv x P x P x aLb PEIv x P x x a CL

b PEIv x P x x a C x CL

23

3 31 1

(0) 0 0

( ) 0 06 6 6 6

v C

bP P bLP Pbv L L b C L CL L

•

•

•

•

•

•

•

단순지지보 - 집중하중

P

L

ba

a PLb PL

예제

반력의계산

경계조건

(0) 0( ) 0

b

b

MM L

(0) 0( ) 0

vv L

자연경계조건

필수경계조건

의계산( )bM x

의계산( )v x

적분상수 의 결정1 2,C C

001 0

1 20 0

( )8 2

( )8 2 2b

q L Lq x x q x

q L q LM x x x

23

4 40 0 01 1

(0) 0 0

7( ) 0 048 24 16 24 16

v C

q q q Lv L L L C L C

33 40 0 071( )

48 24 2 384

q L q q LLv x x x xEI

•

•

•

•

•

•

•

1 20 0

2 30 01

3 40 01 2

( ) ( )8 2 2

( )16 6 2

( )48 24 2

bq L q LEIv x M x x x

q L q LEIv x x x C

q L q LEIv x x x C x C

단순지지보 - 일부분포하중

0q

0

8q L 03

8q L

예제

반력의계산

경계조건

(0) 0( ) 0

b

b

MM L

(0) 0( ) 0

vv L

자연경계조건

필수경계조건

의계산( )bM x

의계산( )v x

적분상수 의결정1 2,C C

0 0 00 1 1

2 1 10 0 0

( )2 2

( )2 2 2

b

L Lq x x x a x L a

L LM x x x a x L a

230 0

102 48 4 2

LL Lv C L a

3 21 1(0) 32 48 3 02 2 2Lv v f f

0.223a L

•

•

••

•

•

•

3 2 20 0 01

4 3 30 0 01 2

( ) ( )

( )6 4 4

( )24 12 12

bEIv x M xL LEIv x x x a x L a C

L LEIv x x x a x L a C x C

430 0

1 2 2 1( ) 0 024 24

av a a aC C C aC

•

내부단순지지보 - 균일분포하중

예제

반력의계산

경계조건

(0) ( ) 0(0) ( ) 0b b

V V LM M L

( ) 0( ) 0

v av L a

자연경계조건

기하학적구속조건

의계산( )bM x

의계산( )v x

적분상수 의 결정1 2,C C

최적의 의결정:a (0) ( / 2)v v LafL

0

0

2L 0

2L

2L aa a

L

1 1 1

1 1 1

3( )2 2 2 2 2

3( )2 2 2 2 2b

P L Pq x x P x x L

P L PM x x P x x L

QQ Q

Q

22 2

3 31 1

(0) 0 0

( ) 0 012 48 12 16

v CP P L PLv L L L C L C

QQ

2 23 3 31 3( )

12 6 2 12 12 16P P L P L PLv x x x x L x

EI

Q Q Q

•

•

••

•

•

•

2 2 21

3 3 31 2

( ) ( )3( )

4 2 2 43( )

12 6 2 12

bEIv x M xP P L PEIv x x x x L C

P P L PEIv x x x x L C x C

Q QQ Q

•

•

내부 및 경계단순지지-집중하중

P

B

2 2P Q

Q

32 2P Q

예제

반력의계산

경계조건

(1.5 )(0) (1.5 ) 0

b b

V LM M L

Q

(0) 0( ) 0

vv L

자연경계조건

필수경계조건

의계산( )bM x

의계산( )v x

적분상수 의 결정1 2,C C

의계산Q3 2 2 20 0

2 12 8 12 16 2 3L P L L PL Lv P

Q Q Q

( ( )) ( )zzEI v x q x

( ) ( )

( ) ( ) ( ( ))b

b

M x EIv x

V x M x EIv x

굽힘모멘트와 하중밀도함수의 관계

경계치문제

지방방정식(미분방정식)

필수경계조건: 의 0, 1차도함수

자연경계조건: 의 2, 3차도함수

( ) ( ) ( ( )) ( )

( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( )

b b

b b

b

EIv x M x EIv x M x

M x V x V x q x M x q x

EIv x M x

( )v x

( )v x

001 0

(4) 001 0

0 100

1 20 0

( )2

( ) ( )2

( )2

( )2 2

A

A B

Lq x x x

LEIv x q x x x

LEIv x x x C

LEIv x x x C x C

2 30 01

3 40 01 2

( )4 6

( )12 24

LEIv x x x C

LEIv x x x C x C

23

4 40 0 01 1

(0) 0 0

( ) 0 012 24 24

v CLv L L L C L C

33 40 0 0

3 4 30

1( )12 24 24

224

L Lv x x x xEI

Lx x L xEI

•

•

•

•

•

•

•

•

단순지지보 - 균일분포하중

예제

반력의계산

경계조건

(0) (0) 0( ) ( ) 0

b

b

M EIvM L EIv L

(0) 0( ) 0

vv L

의계산( )v x

적분상수 의 결정1 2,C C0

2L 0

2L

L

0

(4)1 1

0 0

1 1

2 21

3 31 2

( ) ( )2 2

( ) ( )2 2

( )2 2

( )4 2 2

( )12 6 2

P LEIv x q x x P x

P LEIv x q x x P x

P LEIv x x P x

P P LEIv x x x C

P P LEIv x x x C x C

22

3 31 1

(0) 0 0

( ) 0 012 48 16

v C

P P PLv L L L C L C

23 31( )

12 6 2 16

P P L PLv x x x xEI

•

•

•

•

•

•

•

단순지지보 - 집중하중

P

2P

2P

예제

반력의계산

경계조건

(0) (0) 0( ) ( ) 0

b

b

M EIvM L EIv L

(0) 0( ) 0

vv L

의계산( )v x

적분상수 의결정1 2,C C

(4) 0 00 1 0 0

0 1 10 0 0

1 2 20 00

2 3 30 00 1

3 4 40 00 1 2

3( ) ( )8 2

3( )8 23( )8 2 2 23( )

16 6 6 23( )48 24 24 2

LEIv x q x L x x x

LEIv x L x x x

LEIv x L x x x

LEIv x L x x x C

LEIv x L x x x C x C

33 4 40 3 1 1 9( )

48 24 24 2 384

L Lv x L x x x xEI

2

4 30 1 1 0

(0) 03 1 1 9( ) 048 24 24 16 384

v C

v L L C L C L

•

•

•

•

•

•

•

단순지지보-일부분포하중

0

038

L 0

8L

2L

예제

반력의계산

경계조건

(0) (0) 0( ) ( ) 0

b

b

M EIvM L EIv L

(0) 0( ) 0

vv L

의계산( )v x

적분상수 의결정1 2,C C

02

0

6L

0

2L

0

2L

2(4) 0 10 0 0

2 1 0

20 1 20 0 0

1 0

20 1 2 30 0 0 0

22 30 0 0 0

22 30 0 0 0

( ) ( )6 2

( )6 2 2

( )6 2 2 6

6 2 2 6( )

6 4 6 24

L LEIv x q x x x x xL

L LEIv x x x x xL

L LEIv x x x x xL

L L x x xL

L LEIv x x x x

41

22 3 4 50 0 0 0

2

( (0) 0)

( ) ( (0) 0)12 12 24 120

x C vL

L LEIv x x x x x C vL

•

•

•

•

•

외팔보 - 선형분포하중

예제

반력의계산

경계조건

( ) ( ) 0( ) ( ) 0bM L EIv L

V L EIv L

(0) 0(0) 0

vv

의계산( )v x

20

6L

0

2L

5

2 2 3 4 00 0 0

xEIv L x Lx xL

42

FL L

L 2 2F

L LL

3F

L LL

4F

LL

5F LL L

3F L 3F L 3F L 3F L 3F L

(4) 01 0 2

000 1

1 000

2 100 1

3 20 01 2

( ) ( )

( )

( )

( )2

( )6 2

MEIv x q x x M x aL

MEIv x x M x aL

MEIv x x M x aL

MEIv x x M x a CL

M MEIv x x x a C x CL

22 2 2

0 0 0 01 1

(0) 0

( ) 06 2 2 6

v CM L M b M b M Lv L C L C

L

3 2 20( )

6 2 2 6

M x x a b Lv x xEI L L

3 2

2 2 20 0( ) 36 2 6 6

M M aa b Lv a a a b LEI L L EIL

•

•

•

•

•

•

•

•

단순지지보 - 모멘트 하중

a b

0ML

0ML

0M

L

예제

반력의계산

경계조건

(0) (0) 0( ) ( ) 0

b

b

M EIvM L EIv L

(0) 0( ) 0

vv L

의계산( )v x

적분상수 의 결정1 2,C C

의결정( )v a

1 2(0) 0, (0) 0 0v v C C

(4)

20 00

2 0 0

21 10

1 0 0

20 2 20 0

0

21 3 30 0 0

1

22 40 0 0

( ) ( ) ( )

( ) 24 2

( ) 24 2

( )4 2 2

( )4 6 3 2

( )8 24 12

bM x q x EIv x

L Lq x x x x

L LEIv x x x x

L LEIv x x x x

L LEIv x x x x C

LEIv x x x

41 22

Lx C x C

4 40 01 1 1 17( )

8 24 12 16 192L Lv L

EI EI

•

•

•

•

•

•

•

외팔보-계단식 분포하중

0

0

2L

20

4L

0

2L

02

예제

반력의계산

경계조건

( ) ( ) 0( ) ( ) 0bM L EIv L

V L EIv L

(0) 0(0) 0

vv

의계산( )v x

적분상수 의결정1 2, , ( )C C v L

의계산( )v L

(4)

01 1 1

0 0 0 1

1 1 1 2

2 2

( ) ( ) ( )

( ) 7.5 20 10 22.5 20 20

( ) 7.5 20 10 22.5 20 201( ) 7.5 20 10 22.5 20 202

7.5( ) 10 10 11.25 202

bM x q x EIv x

q x x x x x

EIv x x x x x

EIv x x x x x

EIv x x x x

2 31

3 3 3

41 2

1 206

7.5 10 11.25( ) 10 206 3 3

1 2024

x C

EIv x x x x

x C x C

2

1 1

(0) 0 07.5 10000 1000(20) 0 8000 20 06 3 3

v C

v C C

3 3 3 41 7.5 10 11.25 1 10000( ) 10 20 206 3 3 24 3

v x x x x x xEI

••••

•

•

•

•

경계 및 내부 단순지지보 - 집중 및 분포하중

0 1kip / ft

7.5 22.5

10

20

예제

반력의계산

경계조건

(0) (0) 0(30) (30) 0

(30) (30) 0

b

b

M EIvM EIvV EIv

(0) 0(20) 0

vv

의계산( )v x

적분상수 의 결정1 2,C C

1 1 1 1

2 2 2 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

b

b

n nn bn

EIv x M x v v xEIv x M x v v x

v v xEIv x M x

53

4, 1

x yx y

x y

1 1 5 0 51 1 0 3 3

2.5 1.5 42.5 1.5 1

xy

xy

선형방정식과중첩원리

Linear System과 중첩원리

중첩원리

1 2

1 2

11, 0 mm .1000

30, 1 mm .1000

P P

P P

B

B

일때 였다

일때 였다

1 25, 10 ?P P B일때

1 3 35 75 10 (mm)1000 1000 1000 200B

1P 2P

A B C

1 2( ) ( ) ( ) ( )nv x v x v x v x

1 2 3( ) b b b b bnEIv x M M M M M

중첩원리에관한예제

P

P P

3 3

2

3 1 1 7( )4 3 6 8 16

5( )8

PL PLv LEI EI

PLLEI

2 1 1

1 1

3( ) 22 2

3( ) 22 2

b

Lq x PL x P x P x

LM x PL P x P x

2 2

1 2

2

1 2

1 5 73 48 16

58

PL PLv v vEI EIPLEI

•

•

•

•

•

•

•

2 21

2 3 32

( ) ( )3( ) ( (0) 0)2 2 23( ) ( (0) 0)4 3 6 2

bEIv x M xP LEIv x PLx Px x C v

P P LEIv x PLx x x C v

개별하중에의한처짐및기울기

중첩원리를 이용한 처짐량 및 기울기의 계산

P

2L

2P

32PL

P

2L

3

1

2

1

548

8

PLEI

PLEI

2

2

2

2

3

2

PLEI

PLEI

예제

반력의계산

의계산( )bM x

의계산( ), ( ), ( ) ( )v x v L L v L

중첩원리에의한처짐과기울기의계산

경계조건

( ) 0, ( ) 0v L v L (0) 0, (0) 0v v

예제 10.2 (p.429)

그림과 같이 단순지지보가 선형분포하중을 받고 있다. 탄성굽힘 곡선을 구하라. 보의 중앙 B에서의처짐량과 지지점 A에서의 기울기를 구하라. EI는 보에서 일정하다.

보의처짐

예제 10.3 (p.431)

외팔보가 그림과 같이 균일분포하중 를 받고 있다. 탄성굽힘곡선과 외팔보 끝 자유단에서 처짐량 와 를 결정하라. EI 는 보에서 일정하다.

보의처짐

Bv Bw

예제 10.4 (p.394)

그림의 단순지지보가 왼쪽과 오른쪽 지지점으로부터 각각 a와 b만큼 떨어진 곳에 집중하중 P를 받고 있다. 탄성굽힘곡선을 구하라. 또 지지점 A와 B에서 보의 기울기를 구하라. EI는 보에서 일정하다.

보의처짐

예제 10.5 (p.441)

보가 그림과 같이 지지되고 하중을 받고 있다. EI 는 보에서 일정하다. 다음을 구하라.

(a) 탄성굽힘곡선을 로 표시하기(b) 보의 오른쪽 끝단의 처짐량(c) 보 왼쪽에 작용하는 반력 와

보의처짐

0 , , , ,w L x E I

yA AM

4

04 ( ) cos( )2

d v xEI w x wdx L

예제 10.6 (p.445)

그림과 같은 보에서 불연속함수를 이용하여 다음 위치에서 보의 처짐량을 구하라.

(a) 점 A(b) 점 B보에서 이다.

보의처짐

3 217 10 kN mEI

35 kN -10 kN

예제 10.7 (p.447)

그림과 같은 보에서 불연속함수를 이용하여 다음을 구하라.

(a) A에서의 기울기(b) B에서의 처짐량보에서 으로 일정.

보의처짐

3 2125 10 kN mEI

280 kN200 kN

예제 10.8 (p.447)

그림과 같은 보에서 불연속함수를 이용하여 D에서의 처짐량을 구하라. 보에서 으로 일정하다.

보의처짐

2192,000kip-ftEI

24 kips

-224 kips-ft

예제 10.9 (p.447)

외팔보가 광폭 플랜지 형상의 구조용 형강(W형강)으로 이루어져 있다.그림과 같은 하중에서 다음을 구하라.

(a) 점 B에서의 처짐량(b) 점 C에서의 처짐량

보의처짐

6 4[ 20 GPa, 650 10 mm ]E I

4

8BwLvEI

3

6BwLEI

2

2Mxv

EI

경우1 - 균일분포하중을받는보

경우2 - 집중모멘트를받는보

경우1과 2에서구한 B와 C에서의 처짐량을더하여구한다.

예제 10.10 (p.462)

단순지지보가 넓은 플랜지 형상인 W16 x 40의 W 형강으로 이루어져 있다.그림과 같은 하중을 받을 때 점 C에서의 처짐량을 구하라.

보의처짐

4[ 29,000ksi , 518in. ]E I

2 2 2( ) 06Pbxv L b x x aLEI

에서

경우1- 30 kip 하중의경우

경우1- 20 kip 하중의경우

경우 1과 2의합으로 C의처짐량을구한다.

예제 10.11 (p.464)

단순지지보가 광폭 플랜지 형상인 W24 x 76 인 W형강으로 이루어져 있다.그림과 같은 하중을 받을 때 다음을 구하라.

(a) 점 C에서의 처짐량(b) 점 A에서의 처짐량(c) 점 E에서의 처짐량

보의처짐

4[ 29,000ksi , 518in. ]E I

2 2 2( 3 2 )6CMxv x Lx LLEI

경우1 – 가운데구간의상향처짐량

경우2 – 돌출구간 AB의하향처짐

6BMLEI

경우3 – 돌출구간 DE의 하향 처짐

3

3EPLvEI

3DMLEI

E D DEv L