TP Dimensionnement des structures – GMP2 – Semestre 4Méthodes énergétiques et éléments finis

On s'intéresse à l'étude des treillis. On trouvera quelques exemples de structure de ce type enannexe.Prenons le cas d'une structure de type « Warren » (Warren truss). On réduit l'étude à la structureproposée sur la figure ci-dessous.

Chaque barre est constituée d'un acier de module de Young E = 210 GPa, de section S à définir etde longueur L =2m identique. On prendra une sécurité de calculs s=4 (pas de concentration decontraintes car aux nœuds les sections de barres sont augmentées). Limite élastique 200MPa.Une force extérieure f3 = 50 000 daN s'applique au nœud 3.

Analyse par la méthode des éléments finis1) En utilisant une feuille de calculs, déterminer les matrices raideurs des barres

→ 1-2, 3-4→ 2-3, 4-5→ 2-4, 1-3 et 3-5

On fera intervenir la section S, inconnue au départ, dans une cellule en prenant une valeur fixée à100 mm² de façon arbitraire, mais qui permettra par la suite de facilement changer sa valeur (si onpasse la section à 350mm², tous les résultats seront mulitpliés par 3,5 par exemple).2) Assembler les matrices pour obtenir une matrice raideur globale représentant le comportementdes 7 barres, en prenant comme vecteur des déplacements nodaux le vecteur(u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4, u5, v5)T

3) Déterminer la valeur du déplacement v3 en inversant la matrice1 et en déduire la valeur nécessaire

de S si le déplacement ne doit pas dépasser 20mm. Vérifier que v3

4) Déterminer les contraintes normales dans les barres et vérifier si le critère de résistance estsatisfait. Pour cela il faudra calculer les déplacements relatifs dans les barres pour en déduire lacontrainte normale associée...5) Entre le critère de déformations (20mm) et le critère de résistance élastique, lequel est le plusdéfavorable ? Recalculer si nécessaire le déplacement v3.6) Vérifier les résultats en utilisant le module solidworks/simulation : voir le document EF aidetreillis.pdf7) Quel est l'état de contraintes dans les 7 barres ?

1Remarque : sur LibreOffice → inverse d'une matrice : minverse(zone de données) + ctrl-shift-enter→ multiplication de matrices : mmult

Annexe

Treillis = truss structurepoutre = beampoutre suspendu, encastrée/libre = cantilever

Sky Gate Bridge : The longest truss bridge in the world

The access bridge is multi-leveled; the upper-level is a 6 lane road, the lower level is a 2 trackrailway. Electricity, gas, water service, telephone and all others utilities in the airport cross thebridge.

Generally, a bridge more than 3 kilometers in length is a suspension bridge. It needs supportingbeams several hundred meters high, but around an airport, supporting beams of such height cannot be built because of the arriving and departing airplanes. The solution was building a trussbridge, which does not need high supporting beams.

(Note) truss bridge: a bridge constructed using the truss structure (girders joined in the shape oftriangles).

Kansai International_Airport

Thirty-Third Street Railroad Bridge (Main Channel) over the Allegheny River, Pittsburgh,Pennsylvania

Main technical elements