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Estructuras debarras

articuladas

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Introduccion

Metododirecto.Formulacion1D

Metododirecto:Estructuras en2D y 3D

Metodo deelementosfinitos

GMC

METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.Estructuras de barras articuladas

Felipe Gabaldon Castillo

Madrid, 15 de Noviembre de 2007


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Introduccion




GMC Indice

1 Introduccion

2 Metodo directo. Formulacion 1D

3 Metodo directo: Estructuras en 2D y 3D

4 Metodo de elementos finitos


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GMC Introduccion

El Metodo de los Elementos Finitos (M.E.F.) es unprocedimiento numerico para resolver ecuacionesdiferenciales de manera aproximada

El dominio en el que esta definido el problema se divide en“subdominios” denominados elementos finitos

El conjunto de elementos finitos que discretizan el dominiose denomina malla

Se abordan problemas de contorno (estatica) y problemasde valor inicial (dinamica)


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GMC Introduccion

En general, la variable continua queda definida por susvalores aproximados en puntos discretos, denominadosnodos

La aproximacion de esta variable en puntos distintos de losnodos (dentro de cada elemento) se interpola mediantefunciones de forma (generalmente polinomicas)

Los grados de libertad son variables definidas en losnodos (temperaturas, desplazamientos, etc). Tambien sedenominan incognitas primarias o variables de estado.


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GMC Ejemplo: distribucion de temperaturas en una barra

2 3 4 5

Solu ión exa taSolu ión aproximadaInterpola ión lineal1 2

1

3 4


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GMC Motivacion

El analisis de las estructuras de barras articuladas esesencialmente unidimensional. La barra elastica linealcargada en direccion axial es el modelo basico que sirve departida, y que posteriormente se generaliza a 2D y 3D.

Se presentan dos descripciones alternativas para el analisisdel equilibrio de sistemas barras:

1 Metodo directo, basado en conceptos ya conocidos de laMecanica de Materiales, para expresar el equilibrio defuerzas, las ecuaciones constitutivas y las ecuaciones decompatibilidad.

2 Formulacion debil del problema de contorno como base departida para el desarrollo metodo de elementos finitos.


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GMC Motivacion


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GMC Cuestiones generales

1 2

3

F3

u2 u3

1 2

F2F1

u1

k1 k2

x

Fi son las fuerzas nodales directamente aplicadas en losnodos.

ui son los desplazamientos nodales.

Las constantes ki son las rigideces correspondientes a cadaelemento


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GMC Cuestiones generales

Considerando solo un elemento:

P1

2

1

1 2 N−N

k1

P1

1

u1

1u

1

2

Pei es la fuerza nodal elemental correspondiente al nodo

local i del elemento e

uei son los desplazamientos del nodo local i del elemento e

N y −N son las fuerzas internas


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GMC Ecuaciones (elemento 1)

Ley constitutiva (Hooke)

N = k(u2 − u1) k =EA

L

Equilibrio en los nodos del elemento 1:

P11 = −N⇒ P1

1 = −k1(u12 − u1

1)

P12 = N ⇒ P1

2 = k1(u12 − u1

1)(k1 −k1

−k1 k1

)u11

u12

=

P1

1

P12


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GMC Expresion matricial elemental

Para el elemento 2(k2 −k2

−k2 k2

)u21

u22

=

P2

1

P22

Las ecuaciones anteriores se puede generalizar para unelemento e, expresandose:

Kede = Pe

donde:

Ke : Matriz de rigidez del elemento e (sim. y def. pos.)de : Vector elemental de desplazamientos (nodales)Pe : Vector elemental de fuerzas


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GMC Compatibilidad y equilibrio. Ensamblaje

Considerando la compatibilidad de desplazamientos:

u1 = u11 u2 = u1

2 = u21 u3 = u2

2

y el equlibrio de fuerzas:

F1 = P11 F2 = P1

2 + P21 F3 = P2

2

los sistemas matriciales expresados anteriormente para loselementos 1 y 2, se ensamblan mediante la suma paraobtener el sistema global: k1 −k1 0

−k1 k1 + k2 −k2

0 −k2 k2

u1

u2

u3

=

F1

F2

F3


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GMC Condiciones de sustentacion (apoyos)

det(K) = 0 ⇒ existen desplazamientos de solido rıgido(el sistema estructural carece de la sustentacion suficiente)

Para evitarlo es suficiente imponer u1 = 0:

(k1 + k2 −k2

−k2 k2

)u2

u3

=

F2

F3

u1 = 0 (c.c. de tipo esencial)


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GMC Metodologıa

A continuacion se generaliza la formulacion 1D para el caso deestructuras en dos y tres dimensionesPara la formulacion 2D/3D, la metodologıa es la misma que ladescrita anteriormente:

1 Ecuaciones de equilibrio en cada elemento (propiedadesconstitutivas y condiciones de equilibrio)

2 Compatibilidad (topologıa y conectividad)

3 Equilibrio de la estructura completa

4 Condiciones de contorno

5 Solucion del sistema completo de ecuaciones


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GMC Ejemplo

Definicion de la Estructura

3

1 2

2

1

3

fy3 = 1

fx3 = 2

E3A3 = 400√

2

L1 = 10

E1A1 = 100

L2 = 10

E2A2 = 50

L3 = 10√

2


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GMC Ejemplo

Equilibrio del elemento 3

y′ x′

x

y

1

P ′

x1u′

x1

P ′

x3u′

x3

φ

3P ′

y1u′

y1

3

N

NP ′

y3u′

y3


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GMC Ejemplo

Equilibrio del elemento 3 en ejes locales

E3A3

L3

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

︸︷︷︸

(Ke)′

u′x1

u′y1

u′x3

u′y3

=

P ′

x1

P ′y1

P ′x3

P ′y3

Relacion entre ejes locales y ejes globalesux

uy

=

(cos φ − senφsenφ cos φ

)︸︷︷︸

LT

u′xu′y

; LTL = 1


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GMC Ejemplo

Equilibrio del elemento (en ejes globales)

ue = LT (ue)′

Pe = LT (Pe)′

resultando:

Ke = LT (Ke)′L

=E3A3

L3

0BB@cos2 φ sen φ cos φ − cos2 φ − sen φ cos φ

sen φ cos φ sen2 φ − sen φ cos φ − sen2 φ− cos2 φ − sen φ cos φ cos2 φ sen φ cos φ

− sen φ cos φ − sen2 φ sen φ cos φ sen2 φ

1CCA


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GMC Ejemplo

Matrices de rigidez elementales

Ke=1 =

10 0 −10 00 0 0 0

−10 0 10 00 0 0 0

Ke=2 =

0 0 0 00 5 0 −50 0 0 00 −5 0 5

Ke=3 =

20 20 −20 −2020 20 −20 −20

−20 −20 20 20−20 −20 20 20


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GMC Ejemplo

Ensamblaje

K =

10 + 20 20 −10 0 −20 −2020 20 0 0 −20 −20−10 0 10 0 0 00 0 0 5 0 −5−20 −20 0 0 20 20−20 −20 0 −5 20 5 + 20


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GMC Ejemplo

Condiciones de contorno

ux1 = 0 uy1 = 0 uy2 = 0

K =

30 20 −10 0 −20 −2020 20 0 0 −20 −20

−10 0 10 0 0 00 0 0 5 0 −5

−20 −20 0 0 20 20−20 −20 0 −5 20 25


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GMC Solucion del sistema de ecuaciones

El metodo menos eficiente es el de invertir la matriz derigidez:

Kd = f ⇒ d = K−1f

Metodologıa: Eliminacion de GaussPartiendo del sistema global de ecuaciones:

k11 k12 . . . k1n

k21 k22 . . . k2n...

... . . ....

kn1 kn2 . . . knn

d1

d2...

dn

=

f1f2...fn


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GMC Metodo directo: Estructuras en 2D y 3D

Mediante operaciones con pivotes en filas, se llega alsistema:

k ′11 k ′12 . . . k ′1n

0 k ′22 . . . k ′2n...

... . . ....

0 0 . . . k ′nn

d1

d2...

dn

=

f1f2...fn

cuya solucion es:

dn =fnk ′nn

; dn−1 =fn−1 − k ′n−1 ndn

k ′n−1 n−1

; . . . d1 =f1 −

∑ni=2 k ′1idi

k ′11

Ejemplo: Solucion

ux2 = 0,0 ux3 = 0,3 uy3 = −0,2


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GMC Problema de contorno

Las ecuaciones que, de acuerdo con la mecanica de medioscontinuos, rigen el comportamiento de la barra articulada sonlas siguientes:

dσ

dx+ b = 0

ε =du

dxσ = Eε

σ(0) = −t

u(L) = u

b dV

x

σ + dσσ

dx

Las condiciones de contorno naturales se expresan en terminosde las derivadas de u. Las condiciones de contorno esenciales seexpresan directamente en terminos de u.


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GMC Formulacion fuerte

Sea Ω = Ω ∪ ∂Ω la parte del eje local x ocupado por la barraarticulada (Ω = (0, L), Ω = [0, L] y ∂Ω el contorno de la barra:x = 0 y x = L). La formulacion fuerte del problema seestablece en los siguientes terminos:Dados b : Ω → R y las constantes u ∈ R, t ∈ R, encontrar elcampo de desplazamientos u ∈ R que cumple:

Ed2u

dx2+ b = 0 en Ω

u(L) = u

Edu

dx

∣∣∣∣x=0

= −t


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GMC Formulacion debil

Dados b : Ω → R y las constantes u ∈ R t ∈ R, encontrar elcampo de desplazamientos u ∈ U | ∀δu ∈ V cumple:∫ L

0E A

dδu

dx

du

dxdx =

∫ L

0δub dx + δu(0)t

donde:

V =δu | δu ∈ H1, δu(L) = 0

; U =

u | u ∈ H1, u(L) = u

siendo H1 el espacio de Sobolev de orden 1 y grado 2:

H1 =

u(x) : Ω → R |

∫ L

0

(du

dx

)2

dx < ∞


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GMC Metodo de Galerkin

La formulacion de Galerkin es el punto de partida delmetodo de elementos finitos: permite obtener una solucionaproximada de la formulacion debil.

El primer paso es la construccion de los subespacios Vh yUh, que son aproximaciones de dimension finita de V y U :

Vh ⊂ V (δuh ∈ νh ⇒ δuh ∈ ν)

Uh ⊂ U (uh ∈ δh ⇒ uh ∈ δ)

El metodo de Galerkin establece que los elementosuh ∈ Uh se construyen a partir de los elementos vh ∈ Vh

mediante:uh = vh + uh

donde uh es una funcion dada que verifica uh(L) = u

La idea clave es que los espacios Vh y Uh contienenlas mismas funciones con la unica excepcion de uh


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GMC Metodo de Galerkin

La aproximacion de Galerkin del problema de contorno seobtiene expresando la formulacion debil en terminos de lossubespacios de dimension finita νh y δh:∫ L

0E A

dδuh

dx

d(vh + uh)

dxdx =

∫ L

0δuhb dx + δuh(0)t

y operando:∫ L

0E A

dδuh

dx

dvh

dxdx =

∫ L

0δuhb dx + δuh(0)t−∫ L

0E A

dδuh

dx

duh

dxdx


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GMC Formulacion de Galerkin

Dados b : Ω → R y las constantes u ∈ R t ∈ R, encontrarel campo de desplazamientos uh = vh + uh ∈ Uh, convh ∈ Vh, tal que ∀δuh ∈ Vh se cumple:∫ L

0E A

dδuh

dx

dvh

dxdx =

∫ L

0δuhb dx + δuh(0)t−∫ L

0E A

dδuh

dx

duh

dxdx (1)

En el metodo de Galerkin las funciones vh, δuh pertenecenal mismo subespacio Vh. Existen otros metodos,denominados “metodos de Petrov-Galerkin”, en los cualeslas funciones vh no pertenecen a Vh. Dichos metodos seemplean principalmente en el contexto de la Mecanica deFluidos Computacional


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GMC Formulacion matricial

Con las expresiones:

δuh =n∑

A=1

cANA uh = vh + uh =n∑

A=1

dANA + uNn+1

la formulacion de Galerkin resulta:∫ L

0E A

(n∑

A=1

cAdNA

dx

)(n∑

B=1

dBdNB

dx

)dx =

∫ L

0

(n∑

A=1

cANA

)b dx +

(n∑

A=1

cANA(0)

)t−

∫ L

0E A

(n∑

A=1

cAdNA

dx

)u

dNn+1

dxdx


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Teniendo en cuenta que los coeficientes cA son arbitrarios, seobtiene:

n∑A=1

cAGA = 0

siendo:

GA =n∑

B=1

(∫ L

0E A

dNA

dx

dNB

dxdx

)dB−

∫ L

0NAb dx−NA(0)t+

∫ L

0E A

dNA

dxu

dNn+1

dxdx


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Finalmente, se puede poner:

Kd = f

siendo:

KAB =

∫ L

0E A

dNA

dx

dNB

dxdx

fA =

∫ L

0NAb dx + NA(0)t −

∫ L

0E A

dNA

dxu

dNn+1

dxdx


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GMC Elementos 1D

Funciones de interpolacion lineal

NA(x) =

x−xA−1

hA−1xA−1 < x < xA

xA+1−xhA

xA < x < xA+1

4321

4321

4321

4321

N3

N2

N4

N1


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GMC Elementos 1D

Referencias global y local

NB(x) =x − xA

xB − xA=

x − xA

he(2)

Nb(ξ) =1 + ξbξ

2(3)

A B

a = 1 b = 2

ξ

x

ξa = −1 ξb = 1


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GMC Elementos 1D

Interpolacion del campo de desplazamientos

uh(x) = uANA(x) + uBNB(x) (4)

uh(ξ) = u1N1(ξ) + u2N2(ξ) (5)

Relacion entre coordenadas locales y globales

ξ(x) =2x − xA − xB

he(6)

xe(ξ) =heξ + xA + xB

2=

2∑a=1

Na(ξ)xea

=1

2((1− ξ)xA + (1 + ξ)xB) (7)


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GMC Elementos 1D

Integracion en coordenadas locales

K eab =

∫ +1

−1Na,ξ(ξ)EANb,ξ(ξ)

1∂x∂ξ

dξ (8)

sustituyendo:

Na,ξ =∂

∂ξ

[1

2(1 + ξaξ)

]=

1

2ξa (9)

∂x

∂ξ=

∂

∂ξ

[heξ + xA + xB

2

]=

he

2(10)

en (8), resulta:

Ke =EA

he

(1 −1−1 1

)(11)


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GMC Para ampliar este tema . . .

[1] Felippa, C.A. Home Page.Introduction to Finite Element Methods (ASEN 5007) -Fall 2004 Department of Aerospace Engineering SciencesUniversity of Colorado at Boulder.http://caswww.colorado.edu/courses.d/IFEM.d/Home.html

Hughes, T.J.R.The Finite Element Method. Linear Static and DynamicFinite Element Analysis.Dover Publications Inc., 2000.

Onate, E.Calculo de Estructuras por el Metodo de ElementosFinitos. Analisis estatico lineal.CIMNE. Segunda edicion, 1995.

meto do directo: 1d estructuras en formulacion meto...

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