metoda elementului finit. teoria elasticității complemente
TRANSCRIPT
Metoda Elementului Finit. Teoria ElasticitățiiComplemente
Tratare matricială
Element cu două grade de libertate (truss-tirant). Ecuații generice
Grindă cu zăbrele plană. Studiu comparat, metodă clasică vs. AxisVM, SolidWorks (element de discretizare tip truss)
SCOP
Se exersează modalităţile generice de abordare în ceea cepriveşte tratarea problemelor tehnice inginerești din punctul devedere al metodei de calcul cu element finit, (diverse abordări).
REZUMAT
• Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
•Grindă cu zăbrele plană – studiu individual la sală
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
Finite Element Method sau Finite Element Analysis
FEM sau FEAConcept de bază al interpretarii fizice a metodei – discretizarea
(segmentarea, ruperea, partiționarea, separarea sau descompunerea) unuisistem complex ce poate fi descris de către un set de ecuații, în elementesimple, legate intre ele.
Comportamentul unui element poate fi descris in termeni de gradede libertate (în numar finit), grade de libertate reprezentate ca valori afuncțiilor necunoscute la nivelul unui set de noduri ale rețelei (deplasari,gradient de temperatura, debit, etc.).
Comportamentul sistemului (complex) inițial va fi aproximat prinluarea în seamă a numarului de elemente finite luate ca intreg.
K u F d du
AE b 0,dx dx
Mecanica Materialelor 1-DSolicitare de intindere simpla
(ecuatii din Teoria Elasticitatii-Galerkin, formulare variationala;
functia descrisa de ecuatiadiferentiala - deplasare)
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
K u F 2d D dp
A Q 0,dx 32 dx
Mecanica FluidelorCurgere laminara prin teava,
ecuatii Hagen-Poiseuille, Navier-Stokes;
(functia descrisa de ecuatiadiferentiala – presiune sau
viteza)
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
K u F d dT
Ak Q 0,dx dx
Conductie Termica 1-DTransfer de Caldura
(ecuatia Fourier;functia descrisa de ecuatiadiferentiala – temperatura)
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
Conductie Termica 1-DTransfer de Caldura
(ecuatia Fourier;functia descrisa de ecuatiadiferentiala – temperatura)
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
Mecanica Materialelor 1-DSolicitare de intindere simpla
(ecuatii din Teoria Elasticitatii-Galerkin, formulare variationala;
functia descrisa de ecuatiadiferentiala - deplasare)
deplasare deplasare specifica efort unitar
temperatura gradient termic flux de caldura
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
K u F d dC
AD Q 0,dx dx
Fenomen de DifuzieDifuzie 1-D
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
K u F d dV
A Q 0,dx dx
Conductie ElectricaCurgere a curentului electric
1-D(ecuatiile Maxwell;
functia descrisa de ecuatiadiferentiala – potential)
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
K u F d du
AE b 0,dx dx
Mecanica MaterialelorSolicitare de intindere simpla
(ecuatii din Teoria Elasticitatii-Galerkin, formulare variationala;
functia descrisa de ecuatiadiferentiala - deplasare)
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice. Forma Galerkin
d duAE b 0,
dx dx
2
2
d ua b 0,
dx
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice. Forma Galerkin
d duAE b 0,
dx dx
d LAE k 0,
dx L
Lcu ;
L
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice. Forma Galerkin
d d
AE k 0, A k 0;dx dx
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice. Forma Galerkin
axial axialdN k 0, dN k dx, dF k dx ;
dx
se dorește funcția deplasarilor
u u x ,
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
fie o funcție liniară ce are numărul de coeficienți egal cu numărul gradelor de libertate ale sistemului (D.O.F.=2)
11 2
2
au a a x sau u 1 x ,
a
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
x
A * B a b c * y ax by cz; "dot product"
z
x xa xb xc
B * A y a b c ya yb yc , "tensor product".
z za zb zc
se determină coeficienții ecuației punând condiții la limita
11 2
2
au a a x sau u 1 x ,
a
1 1 2 1 1 2 11 1 2
2 1 2 1 2
u 0 u a a 0 a u ; u ua u ; a ,
Lu L u a a L u a L
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
în concluzie:
1 22 1
12 11 1 2
1 11 2 i
2 2
u a a x,u u
u u x sauu uLa u ; a ,
L
u uL x xu ; u N N ; u N ,
u uL L
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
N1, N2 – funcții de forma – indică legea de variație estimatăpentru deplasarile de la nivelul elementului considerat
11 2 i
2
uu N N ; u N ,
u
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
deformația specifică (strain), se exprimă în forma:
i
2 1
1i
2
B
u udu L, , sau
dx L L
u1 1B ,
uL L
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
L x x dN ; N B ,
L L dx
B matricea deformatie specifica deplasare strain displacement matrix
expresia efortului unitar normal funcție de deplasările nodale,
i
i
E , Hooke ;E B ,
B ,
iS
D B ,
[S] – “element stress matrix”
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
i
1xaxial1dr 1x 1x
2xaxial2st 2x 2x
B
1x 1
2x 2
produs tensor
1x
2x
P A ,P 1
N P P P P, A ;P 1
N P P P P;
P u1 1 1A E ;
P u1 L L
P 1AE1 1
P 1L
ial
1 1x 1
2 2x 2
u P u1 1AE,
u P u1 1L
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
x
A * B a b c * y ax by cz; "dot product"
z
x xa xb xc
B * A y a b c ya yb yc , "tensor product".
z za zb zc
not.
P Lgeneric l u ,
EA
AEP u,
LP k u,
AEk,
L
1x 1
2x 2
1x 1
2x 2
1x 1 1 1
2x 2 2 2
P u1 1AE,
P u1 1L
P uk k,
P uk k
P u P uK sau K .
P u P u
unde [K] – matricea de rigiditate a elementului.
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
i
1 11 12 1
2 21 22 2
P K ,
P k k u.
P k k u
kij – coeficient de influență de rigiditate; reprezintă valoareaforței din nodul “i” pe care o induce o deplasare egală cu unitateace acționează în nodul “j”, deplasările din celelalte noduri fiindsuprimate (nule), elementul rămânând în stare de echilibru.
Element cu două grade de libertate. Ecuații generice
Grindă cu zăbrele plană
Se cere verificarea secțiunii tronsoanelor sistemului din figura de mai sus.
2a 120N /mm
Grindă cu zăbrele plană
Grindă cu zăbrele plană
Grindă cu zăbrele plană
Grindă cu zăbrele plană
Grindă cu zăbrele plană
Grindă cu zăbrele plană
Grindă cu zăbrele plană
Grindă cu zăbrele plană
Grindă cu zăbrele plană
Grindă cu zăbrele plană
Grindă cu zăbrele plană
Grindă cu zăbrele plană
Grindă cu zăbrele plană
Grindă cu zăbrele plană
BIBLIOGRAFIE
1. Ungureanu I., Ispas B., Constantinescu E.,”Rezistența Materialelor”, vol.II, vol.III, Institutul de Construcții București, 1981.
2. Bezuhov N.I., ”Teoria Elasticității și Plasticității”, Editura Tehnică, București, 1957.
3. Maty Blumenfeld, “Introducere in metoda elementelor finite”, Editura Tehnică, București, 1990.
4. J.Ed Akin, “Finite Element Analysis Concepts via SolidWorks”, World Scientific, Rice University, Houston, Texas, 2009.
5. G.P. Nikishkov, “Introduction to the finite element method”, Lecture notes 2004. University of Aizu, Aizu-Wakamatsu 965-8580, Japan.
6. P. Boeraeve, “Introduction To The Finite Element Method (FEM)”, Charge de cours. Institut Gramme – LIEGE, 2010.
7. Mocanu Șt., ”Suport de curs de Complemente de Teoria Elasticității” (studii master), format multimedia, ediție de uz intern, Facultatea de Utilaj
Tehnologic, 2007.
8. Mocanu Șt., “Studiu privind utilizarea mediilor de lucru open-source la rularea aplicațiilor F.E.A.-F.E.M.”, SINUC 2011, București, 2011.
9. Pascu Adr., “Metoda Elementului Finit”, Facultatea de Inginerie Mecanica, București, www.omtr.pub.ro/didactic/mef_fim.htm/
10. www.cadworks.ro/
11. www.3dcadvegra.ro/
12. www.consoft.ro/axisvm/
13. www.salome-platform.org/
14. www.code-aster.de/
15. www.caelinux.com/CMS/