metodi di ranking probabilistici. ir probabilistico il modello probabilistico: il principio di...

Metodi di ranking probabilistici

IR probabilistico

Il modello probabilistico: Il principio di pesatura probabilitico, o probability ranking principle

(Naïve) Bayesian Text Categorization Bayesian network L’idea chiave è di classificare i documenti in L’idea chiave è di classificare i documenti in

ordine di probabilità di rilevanza rispetto ordine di probabilità di rilevanza rispetto all’informazione richiesta:all’informazione richiesta:

P(relevante|documentoi, query)

Richiami

Date due variabili aleatorie a e b: Regola di Bayes

Odds:

∑ =

==

===∩=

aaxxpxbp

apabp

bp

apabpbap

apabpbpbap

apabpbpbapbapbap

,)()|(

)()|(

)(

)()|()|(

)()|()()|(

)()|()()|()(),(

)(1

)(

)(

)()(

ap

ap

ap

apaO

−==

Probabilitàa posteriori

Probabilitàa priori

Probability Ranking Principle

•Sia x un documento della collezione. •Sia R la rilevanza di un documento rispetto ad una (specifica) query e sia NR la non-rilevanza.

)(

)()|()|(

)(

)()|()|(

xp

NRpNRxpxNRp

xp

RpRxpxRp

=

=

p(x|R), p(x|NR) - probabilità che, se si trova un documento rilevante (non-rilevante), sia x.

Si vuole stimare p(R|x) - la probablità che x sia rilevante.

p(R),p(NR) - prob. a prioridi recuperare undocumento (non) rilevante

1)|()|( =+ xNRpxRp

Probability Ranking Principle (PRP)

Bayes’ Optimal Decision Rule x è rilevante iff p(R|x) > p(NR|x)

Probability Ranking Principle Come si calcolano le probabilità condizionate?

Si usano stimatori Il modello più semplice è il Binary Independence Retrieval

(BIR) Assunzioni

La “Rilevanza” di ogni documento è indipendente dalla rilevanza degli altri documenti.

Usare un modello di rilevanza Booleano:

Osservare un inieme iniziale di risultati può aiutare l’utente a raffinare la sua query

R={0,1}

Strategia di Retrieval probabilistico

Si stima quanto i singoli termini contribuiscano alla rilevanza

Si combinano queste stime per assegnare una stima all’intero documento

Si ordinano i documenti per probabilità decrescente

Binary Independence Model

“Binary” = Boolean: i documenti vengono rappresentati mediante un vettore booleano iff wi è contenuto in dj.

“Indipendenza”: i termini occorrono nei documenti indipendentemente

Documenti diversi possono essere rappresentati mediante lo stesso vettore!

),,( 1 nxxx Kr=

1=ix


di q

R

P(R/q,di)Rank(di)=P(R/q,di)


Query: vettore booleano Data una query q,

Per ogni documento d calcola p(R|q,d). Sostituisci con il calcolo di p(R|q,x) dove x è il

vettore booleano che rappresenta d Si utilizza la regola di Bayes ed il concetto di

“odd”:

)|(),|()|(

)|(),|()|(

),|(

),|(),|(

qxpqNRxpqNRp

qxpqRxpqRp

xqNRp

xqRpxqRO

rr

rr

rr

r==


• Si usa l’assunzione di Indipendenza :

∏=

=n

i i

i

qNRxp

qRxp

qNRxp

qRxp

1 ),|(

),|(

),|(

),|(rr

),|(

),|(

)|(

)|(

),|(

),|(),|(

qNRxp

qRxp

qNRp

qRp

xqNRp

xqRpxqRO r

rr

rr

⋅==

Costante per ogni query

Va stimato

∏⋅==

n

i i

iqNRxp

qRxpqROxqRO

1 ),|(

),|()|(),|(

r•Dunque :

Binary Independence Model: effetto dell’inversione

∏⋅==

n

i i

iqNRxp

qRxpqROxqRO

1 ),|(

),|()|(),|(

r

xn

R

q d

x1 x2 xi


∏=

⋅=n

i i

i

qNRxp

qRxpqROdqRO

1 ),|(

),|()|(),|(

• Ma xi (componente del vettore binario associata a wi) è o 0 o 1:

∏∏== =

=⋅

==

⋅=01 ),|0(

),|0(

),|1(

),|1()|(),|(

ii x i

i

x i

i

qNRxp

qRxp

qNRxp

qRxpqROdqRO

• Sia );,|1( qRxpp ii == );,|1( qNRxpr ii ==

• Si assume, per tutti i termini che non occorrono nella query:

ii rp =allora...


∏−−

⋅∏−−

⋅=

∏⋅∏−−

⋅∏⋅=

===

==

====

11

0?

101

1

1

)1(

)1()|(

)1(1

1)|(),|(

iq i

i

iqix ii

ii

iqix

iqix i

i

iqix i

i

r

p

pr

rpqRO

r

p

r

pqROxqRO

r

Q= 1 1 1 0 0 0D= 1 1 0 0 0 1

Esempio

Q= 1 1 1 0 0 0D= 1 1 0 0 0 1

)31(

)31(

)21(

)21(

)11(

)11(

)21(

)21(

2

2

)11(

)11(

1

1

)21(

)21(

)21(

)21(

)11(

)11(

)11(

)11(

)31(

)31(

)31(

)31(

2

2

1

1

)31(

)31(

2

2

1

1

6

6

)51(

)51(

)41(

)41(

)31(

)31(

2

2

1

1

r

p

r

p

r

p

p

r

r

p

p

r

r

p

r

p

p

r

r

p

p

r

r

p

r

p

r

p

r

p

r

p

r

p

r

p

r

p

r

p

r

p

r

p

r

p

r

p

−−

−−

−−

−−

−−

=−−

−−

−−

−−

−−

−−

=−−

=−−

−−

−−

qi=1,xi=1 qi=1


Costante perogni query

Questa è la sola quantità cheva stimata per il ranking

∏∏=== −

−⋅

−−

⋅=11 1

1

)1(

)1()|(),|(

iii q i

i

qx ii

ii

r

p

pr

rpqROxqRO

r

• Retrieval Status Value:

∑∏==== −

−=

−−

=11 )1(

)1(log

)1(

)1(log

iiii qx ii

ii

qx ii

ii

pr

rp

pr

rpRSV


• Tutto si riduce a stimare RSV.

∑∏==== −

−=

−−

=11 )1(

)1(log

)1(

)1(log

iiii qx ii

ii

qx ii

ii

pr

rp

pr

rpRSV

∑==

=1

;ii qx

icRSV)1(

)1(log

ii

iii pr

rpc

−−

=

Come calcoliamo i ci dai dati a disposizione ?


• Stimare i coefficienti RSV• Per ogni termine i della query osserva la tabella dei documenti rilevanti e non : Documenti

Rilevanti Non-Rilevanti Totale

Xi=1 s n-s n

Xi=0 S-s N-n-S+s N-n

Totale S N-S N

S

spi ≈ )(

)(

SN

snri −

−≈

)()(

)(log),,,(

sSnNsn

sSssSnNKci +−−−

−=≈

• Stime: Per ora, assumiamonon esistano terminiche non compaiono mai.


Ma come si può riempire la tabella di rilevanza per ciascun termine della collezione?

Data una collezione di N documenti, posso calcolare n (il numero di documenti con Xi=1) e dunque N-n (quelli con Xi=0), ma come si stima il valore S (numero di documenti complessivamente rilevanti per la query)??

Stima di ri (P(xi=1/NR,q))

Posso approssimare N-S con N (se N>>S N-S N) . Allora, ri (prob. di un documento non rilevante data una query) è stimata da: n/N , e:

log (1– ri)/ri = log (N– ni)/ ni ≈ log N/ ni = IDF! pi (probabilità di occorrenza di wi in documenti rilevanti,

data la query) si può stimare in vari modi: Facendo selezionare all’utente alcuni documenti rilevanti di

esempio Con una costante, dipendente solo dal valore idf dei termini (i

termini più comuni nella collezione hanno probabilità più bassa di rilevanza)

Proporzionale all’occorrenza dei termini nella collezione ( i termini più frequenti in assoluto sono i più rilevanti. In generale si usa il log della frequenza)

)1(

)1(log

ii

iii pr

rpc

−−

=

21

Stima iterativa di pi (P(xi=1/R,q))

1. Assumi pi costante per tutti i termini wi della query pi = 0.5 per ogni termine presente nella query

2. Ordina i documenti della collezione sulla base dei ci (formula RSV) calcolati per tutti i termini della query, e mostra all’utente i primi |V | : Nota: se pi = 0.5 e ri ni/N allora ciIDF!

3. Si cerca di migliorare le stime di pi e ri, nel seguente modo: Si utilizza la distribuzione dei termini wi nei documenti di V.

Sia Vi il set di documenti in V che contiene wi 1. pi = |Vi| / |V|

1. Si assume che quelli non in V non siano rilevanti: ri = (ni – |Vi|) / (N – |V|)

n Torna allo step 2. e continua fino alla convergenza

pi si approssima con la distribuzione dei termini della query nei documenti recuperati

Aggiustamenti della stima

€

pi =Vi +

niN

V +1,ri =

ni −Vi +niN

N −V +1

Per piccoli valori di V e Vi (ex. Rispettivamente 0 e 1) si usano degli aggiustamenti:

Probabilistic Relevance Feedback

1. Come prima, assegna un valore costante ai pi ed estrai un primo set V di documenti.

2. Interagisci con l’utente e chiedi di selezionare alcuni documenti rilevanti e non rilevanti in V (in tal modo ottengo un subset di V’ documenti dei quali conosco S e V’-S)

3. Stima nuovamente pi e ri sulla base di questi documenti Oppure combina questa informazione con la precedente,

aumentando o diminuendo le precedenti stime

4. Ripeti, generando una successione di approssimazioni.

κκ+

+=

||

|| )1()2(

V

pVp ii

i

Conclusioni

E’ possibile ottenere delle stime di rilevanza. Tuttavia è necessario fare delle assunzioni

restrittive: Indipendenza dei termini I termini non presenti nella query non

determinano il risultato Si usa una rappresentazione booleana dei

documenti e delle query

Alcune di queste assunzioni possono essere rimosse

Rimuovere l’assunzione di indipendenza dei termini

In generale i termini non occorrono indipendentemente

Ma la stima delle dipendenze può essere molto complessa (catene di Markov)

van Rijsbergen (1979) propose un semplice modello di dipendenza

Ogni termine dipende da uno più termini

Reti Bayesiane per IR

I modelli probabilistici standard assumono che non si possa stimare P(R|D,Q) Assumono l’indipendenza fra D e Q e stimano P(D|R)

Con le Reti Bayesiane è possibile modellare una forma di dipendenza

Cosa è una Bayesian network? Un grafo aciclico diretto DAG Nodi:

Eventi, variabili aleatorie, o variabili Possono assumere valori Per semplicità, nel modell BN-IR, tali valori si assumono booleani

Archi: Modellano una dipendenza diretta fra nodi

Bayesian Networks

a b

c

a,b,c - nodi

p(c|ab) per ogni valore di a,b,c

p(a)

p(b)

• Le reti Bayesiane modellano la dipendenza fra eventi

•Inference in Bayesian Nets:•note le probabilità a priori per le radici del grafoe le probabilità condizionate (archi) si può calcolare la probabilità a priori di ogni evento condizionato.• Se sono noti i valori di verità di alcuni nodi (ad esempio, l’osservazione dell’evento b e di a) si possono ricalcolare le probabilità dei nodi

Dipendenza condizionale

€

P(c) = P(c /a)P(a) + P(c /b)P(b)

Bayesian Networks

LINK MATRIX (matrice dei collegamenti)

a b

c

p(a)

p(b)

c/ab 00 01 10 11

1

0

P(c=1/a=1,=1)

Esempio giocattolo

Depressione(g)

Esame(f)

Consegna progetto(d)

Notte insonne

(n)

Cioccolata e panna(t)

7.02.01.001.0

3.08.09.099.0

g

g

dfdffdfd

¬

¬¬¬¬

6.0

4.0

dd¬7.0

3.0

f

f

¬

9.001.0

1.099.0

t

t

gg

¬

¬

7.01.0

3.09.0

n

n

ff

¬

¬

€

P(¬ g / f ,d)LINK MATRIX

Chained inference

Evidenza - si parte dal valore di alcuni nodi (ad es. radice)

Inferenza Si calcola la “credenza” o belief (rappresentata

eventualmente da probabilità) degli altri nodi Probabilità condizionata all’evidenza rappresentata dai

nodi “conosciuti” Due tipi di inferenza: Diagnostica o Predittiva

Complessità computazionale Per una generica rete: NP-hard

Le reti ad albero sono più facilmente trattabili Alcuni autori propongono metodi approssimati (ad

esempio basati su programmazione dinamica)

Esempio giocattolo

Depressione(g)

Esame(f)


Notte insonne

(n)


€

fd ¬ fd f¬ d ¬ f¬ d

g 0.99 0.9 0.8 0.3

¬ g 0.01 0.1 0.2 0.7

6.0

4.0

dd¬7.0

3.0

f

f

¬

9.001.0

1.099.0

t

t

gg

¬

¬

7.01.0

3.09.0

n

n

ff

¬

¬

verofalso

P(t)=0,99x0,9+0,1x0,1

vera

Modello bayesiano per IR

Obiettivo Data una richiesta di informazione da parte di un

utente (evidenza) stima la probabilità che un documento soddisfi la richiesta

Modello di Retrieval Modella i documenti come una rete (document

network) Modella il bisogno informativo come una query

network

Belief Network Model: un modello di ranking basato su Reti Bayesiane

Definizioni:K={k1, k2, ...,kt} spazio di campionamento (o spazio dei

concetti)

u K un subset di K (un concetto)

ki un termine indice (concetto elementare)

k=(k1, k2, ...,kn) nt un vettore associato ad ogni concetto u tale che gi(k)=1 ki u (pesi unitari)

ki una variabile aleatoria binaria (cioè ki0,1 ) associata al termine indice ki , t.c. ki = 1 gi(k)=1 ki u

Belief Network Model

Definizioni (2): un documento dj e una query q sono rappresentati come concetti in

K, composti dai termini indice contenuti in dj e q. Sia dunque c un concetto generico in K (documento o query) P(c)=uP(c|u) P(u) è una distribuzione di probabilità P su K P(c) è il definito come il grado di copertura dello spazio K mediante c Questa copertura è stimata confrontando ogni concetto in K (“ u”)

con c, e sommando i contributi, pesati con le probabilità dei singoli concetti u.

Si assume inizialmente equiprobabilità delle sottostringhe u in K (se ho t termini, ciascuno dei quali può essere presente o assente in u, ci sono 2t possibili modi di formare concetti u), cioè: P(u)=(1/2)t


Topologia della rete

lato query

lato documento r k =u

cq

cd1cdn


Il ranking di un documento dj rispetto ad una query q è interpretato come una relazione di corrispondenza fra concetti, e riflette il grado di copertura che il concetto dgrado di copertura che il concetto djj

fornisce al concetto q.fornisce al concetto q.

Documenti e query sono trattati nello stesso modo, cioè sono entrambi concetti nello spazio K. Assunzione:

P(dj|q) viene considerato come il rank del documento dj rispetto alla query q.


Ranking di dj

P(dj|q) = P(dj q) / P(q)

~ P(dj q)

~ u P(dj q | u) P(u)

~ u P(dj | u) P(q | u) P(u)

~ k P(dj | k) P(q | k) P(k)

Questo fattore compare in tutti iP(dj/q) dunque può essere trascurato

Assumendo q edj condizionalmenteindipendenti rispettoa u, come si evincedal grafo delledipendenze nella rete

Ogni vettore k definisce un concetto u


Dunque: P(dj|q) ~ k P(dj | k) P(q | k) P(k)

Occorre specificare le probabilità condizionate P(dj | k) e

P(q | k) . Differenti strategie per modellare P(dj | k) e

P(q | k) portano a diversi modelli di ranking.

Sussumendo un modello vettoriale per i pesi: Definisci il vettore ki come segue:

ki = k | ((gi(k)=1) (ji gj(k)=0))

Il vettore ki si riferisce ad uno stato del vettore k in cui solo il nodo ki è attivo (g(ki)=1) e tutti gli altri non lo sono. Questo riflette la strategia di ranking tf-idf, che somma individualmente il contributo di ogni keyword. Quindi, si considera il contributo di ogni termine ki singolarmente.


P(dj|q) ~ k P(dj | k) P(q | k) P(k)

Per il modello vettoriale:

Definisci (wi,q / |q|) se (k = ki ) (gi(q)=1)

P(q | k) =

0 se (k ki ) (gi(q)=0)

P(¬q | k) = 1 - P(q | k)

(wi,q / |q|) una versione normalizzata del peso del termine indice ki nella query q

q = (wi,q)2

i=1

t∑

peso tf-idf di ki in qki compare in q

Vantaggi del Belief Network model

Per calcolare il rank di un documento, considera solo gli stati della rete in cui i nodi attivi sono quelli che compaiono nella query, quindi il costo è lineare nel numero dei documenti della collezione

E’ una variante moderna dei metodi di ragionamento probabilistico, che consente una combinazione di distinte sorgenti di evidenza. I modelli più avanzati consentono di incorporare nel modello evidenze derivate da sessioni precedenti, e feedback dell’utente.

Reti Bayesiane per IR (un modello più complesso)

Document Network

Query Network

E’ una rete complessa, ma i calcoli vanno fatti una voltaper tutte

Rete piccola, va calcolata per ogni query

d1 dnd2

t1 t2 tn

r1 r2 r3rk

di -documenti

ti - rappresentazioni dei documentiri - “concetti”

I

q2q1

cmc2c1 ci - query concepts

qi - high-level concepts

I - goal node

Bayesian nets per IR

DocumentNetwork

d1 d2

t1 t3

c1 c3

q1 q2

i

t2

c2 QueryNetwork

Documenti

Termini

Concetti

Operatori booleani della query(AND/OR/NOT)

Bisogno informativo

P(di)

P(ti/di)

P(ci/ti)

P(qj/ci)

Esempio

Amleto Macbeth

tormento doppiezza

tormento ambiguità

OR NOT

User query

ambizione

ambizione

DocumentNetwork

QueryNetwork

Bayesian Nets per IR

Costruisci la rete dei Documenti (una sola volta !) Per ogni query

Costruisci la migliore Query Network Collegala alla Document Network Trova un sottoinsieme di documenti di’ che

massimizza il valore di probabilità del nodo I (best subset).

Restituisci i di’s come risposta alla query.

€

argmaxDk⊂D

P(I /Dk )

Stima delle probabilità

Prob. a priori dei doc:

P(d) = 0,5 P(t|d)

Es: basata su tf.idf

P(c|t) Caso semplice: =1 Si può usare un thesaurus

(dipende dall’ambiguità del termine). Per s “sensi”, 1/s

P(Q|c): dipende dalla forma della query booleana

Es:

Dettagli: http://citeseer.ist.psu.edu/turtle91inference.html H.R. Turtle and W.B. Croft. 1990. Inference Networks for Document Retrieval.

Proc. ACM SIGIR: 1-24.€

pi = P(ci = true)

POR(Q) =1− (1− p1) • (1− p2)...(1− pn)

PAND(Q) = p1 • p2....• pnPNOT (Q) =1− pi

)log(

)log(

)max(

2

1

2

1)/(

N

nN

nidftf

tfntf

nidfntftruedtruetP

i

j

ijij

iijji

==

••+===

Amleto Macbeth

tormento doppiezza

tormento ambiguità

OR NOT

User query

ambizione

ambizione

DocumentNetwork

QueryNetwork

metodi di ranking probabilistici. ir probabilistico il modello probabilistico: il principio di...

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