metodo de diferencias divididas

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DIFERENCIAS DIVIDIDAS13 de julio

de 2011

UNIVERSIDAD JOSE

CARLOS MARIATEGUI

METODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS

El método de Newton de Diferencias Divididas es otra forma de obtener elpolinomio interpolador. En este método el polinomio interpolador se escribe de la

forma:

P n( x) =a0 + ( x x0)a1 + ( x x0)( x x1)a2 ++ ( x x0)( x x1)( x xn

1)an

Y el algoritmo proporciona una regla para obtener los coeficientes a0, a1, ««, an.Imponiendo que el polinomio interpolador pase por los puntos de interpolación

obtenemos

De estas ecuaciones, es obvio que a0 depende solo de x0 y x1 y así sucesivamente.

Introducimos la nueva notación a0=f[x0], a1=f[x0,x1], y así sucesivamente, conf[x0]=f(x0), como se ve de la primera ecuación. Restando las dos primerasecuaciones obtenemos

Restando las segunda y la tercera ecuación obtenemos:

Podemos proceder de igual modo para demostrar que

Aunque la forma más cómoda es por inducción. Suponemos que la expresión vale

para an-1 y construimos el polinomio de grado n, Qn(x), definido por




de 2011

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CARLOS MARIATEGUI

donde P·n-1(x) es el polinomio interpolador en x1,««, xn. Esta claro de la definición

de Qn(x)1

que para x1, x2,«.,xn-1, Qn(xi) = P·n-1(xi), ya que P·n-1(x) ² Pn-1(x) se anula enestos puntos. También en xn se cumple que Q(xn) = P·n-1(xn). En x0 se cumple Qn(x0) =

P·n-1(xo) ² Pn-1(x0) = Pn-1(x0) = f(x0). Luego Qn(x) coincide con Pn(x), ya que el polinomiointerpolador es único, y su coeficiente en xn es por lo tanto an. Como hemossupuesto que la formula de diferencias divididas es valida para Pn-1(x) y P·n-1(x),

entonces tenemos, identificando potencias en xn en ambos lados, que el coeficiente

en xn de Qn(x) viene dado por:

Relación que es el origen del nombre de diferencias divididas para los coeficientes

an. Podemos por lo tanto escribir el polinomio interpolador como,

Y la fórmula de aproximación a f(x) con su término de error queda en la siguiente

forma:

El método de Newton permite obtener los coeficientes del polinomio interpoladorfácilmente en forma de tabla, que damos abajo para el caso de 4 puntos.

El método de Newton es especialmente indicado en el caso de que deseemosrealizar muchas evaluaciones del polinomio interpolador, ya que da el polinomio

preparado para ser evaluado por el algoritmo de Horner. Otro aspectoparticularmente conveniente es que, si deseamos aumentar el orden del polinomiointerpolador, los coeficientes ak ya calculados permanecen inalterados, es decir,no destruimos el trabajo ya realizado cuando deseamos aumentar el orden delpolinomio interpolador. Se dice en este caso que los coeficientes ak tienen la

propiedad de permanencia.




de 2011

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CARLOS MARIATEGUI

En el caso de puntos igualmente espaciados, el polinomio de Newton toma una

forma especialmente conveniente. Supongamos que tenemos una red de puntos

espaciados un paso h, de forma que xn = x0 + nh. Tenemos que:

Si introducimos la notación de diferencias finitas ̈ f0 = f1 - f0 , ¨2 f0 =¨ (¨ f0 ) =

f2 - f1 ²(f1 - f0 ) =f2 ² 2f +f0 llegamos fácilmente por inducción al resultado

Ya que

El polinomio interpolador adquiere una forma particularmente simple en el caso depuntos igualmente espaciados. Si denotamos un punto arbitrario x, comprendido

entre x0 y xn, como x0 + sh, tenemos que el término j del polinomio interpolador se

puede expresar como:

Con esta extensión de los números combinatorios a números reales, podemos

expresar el polinomio interpolador con su término de error en la siguiente forma

extraordinariamente compacta:



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RESULTADOS Y CONCLUSIONES

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DIFERENCIAS DIVIDIDAS 13 de j

E F G H

de 2011

UNIVERSIDAD JOSE

CARLOS MARIATEGUI

OBJETIVOS:

1. Que I

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T V W ensible V ara los alumnos con un conocimiento

mínimo X

e matemáticas; Y . Capacitar a los alumnos para ̀ ue practiquen los métodos numéricos en una

computadora;

3. Elaborar programas simples que puedan usarse de manera sencilla en

aplicaciones científicas; a

. Proporcionar software que resulte fácil de comprender.




b c d e

de 2011

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CARLOS MARIATEGUI

APLICACIÓN A LA INGENIERIA

A lo largo de la profesión de un ingeniero, un físico, un matemático,

frecuentemente se presentan ocasiones en las que deben ajustar curvas a un conjunto de datos representados por puntos. f as técnicas desarrolladas para este fin pueden dividirse en dos categorías generales: interpolación y regresión. Consideraremos aquí la primera de estas dos categorías. Más aún, como la teoría de aproximación polinomial es más adecuada para un primer curso de cálculo numérico,

será la que consideraremos principalmente en este trabajo.

Aunque existen formas alternativas de expresar los polinomios de

interpolación, nos concentraremos fundamentalmente en las formas de

interpolación de Newton con diferencias divididas




g h i p

de 2011

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CARLOS MARIATEGUI

INTRODUCCION

El propósito de este trabajo es introducir a los alumnos de Cálculo Numérico,en el uso de la técnica de ajuste de curvas por medio de la interpolación en la

solución de problemas de ingeniería, utilizando el paquete MATLAB. Además de que

se espera que los alumnos asimilen y dominen los conceptos específicos impartidos referidos a la interpolación, se pretende que comprueben lo indispensable de la utilización de una computadora para resolver este tipo de problemas. T ambién se espera, a partir de las distintas actividades propuestas a realizar por los alumnos,que observen y reconozcan cuándo la interpolación polinomial resulta apropiada

arribando así, a resultados satisfactorios.

Es decir que en esta primer instancia, se espera que los alumnos q a yan aprendido a valorar la confiabilidad de las respuestas y ser capaces de escoger el

mejor método r o métodos) para cualquier problema que deben afrontar frecuentemente en la práctica de la ingeniería o en diferentes problemas científicos o tecnológicos.

Además, como resultado del análisis y comprensión de las actividades presentadas en este trabajo, se pretende introducir a los alumnos en el uso de la técnica de ajuste de curvas por medio de la regresión, a fin de que comprendan la diferencia entre interpolación y regresión, y que el confundirlos puede llevarlos a

resultados erróneos.




s t u v

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CARLOS MARIATEGUI

EJERCICIO DE APLICACIÓN

PUNTOS 0 1 2 3 4 5

x -2 -1 0 2 3 6

f(x) -18 -5 -2 -2 7 142

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x0 f[x0] f[x0,x1,x2]

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En Matlab:

x=input ('ingrese los parametros x: \n'); y=input ('ingrese los parametros y: \n'); for i=1:n-1

for j=n:-1:i+1 y(j)=(y(j)-y(j-1))/(x(j)-x(j-i)); fprintf ('%10.4f',y(j));

end fprintf('\n')

end




w x y �

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ingrese los parametros x:

[-2 -1 0 2 3 6]

ingrese los parametros y:

[-18 -5 -2 -2 7 142]

45.0000 9.0000 0.0000 3.0000 13.0000

9.0000 3.0000 -1.0000 -5.0000

1.0000 1.0000 1.0000

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0.0000

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