CIRCULO DE ESTUDIOS 7 DE NOVIEMBRE

1. Mtodo de Paolo Ruffini.- Este mtodo es un caso particular de la divisin por Horner se emplea para divisores binomios de primer grado de la forma: ax s b ; a{0 b>0

resultado se coloca debajo del dividendo, se reduce y se obtiene el segundo trmino del cociente. 4 Se procede como en el procedimiento 3, hasta llegar al ltimo trmino del dividendo al reducir obtenemos el resto de la divisin el cual siempre ser un valor numrico. CASO I

o transformables a primer grado REGLAS A SEGUIR y Se verifica si el polinomio dividendo est completo y ordenado. Si

faltara uno o ms trminos stos se completaran con ceros. y De existir dos o ms variables, se asume a una de ellas como tal y las dems hacen el papel de nmeros o constantes. PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR y

D(x) z ax s b

; a=1

Cuando el primer coeficiente del divisor es igual a la unidad, divisor de la forma (xsb).

Ejemplo: Dividir:x3 2x2 x 5 x2

Resolucini) Divisor = 0 x-2=0

1 Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo; en forma paralela a ste paso se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y sta se coloca en el ngulo inferior izquierdo del grfico.As:D I V I D E N D O

X=2 ii) Llevando a la grfica de Ruffini:

1 2 12

-2 2 0

1 0 1

-5 2 -3

@ q(x) = x +1 R(x) = -3 CASO ESPECIAL: Podemos reconocerloCOCIENTE

x=N

Resto

por que los exponentes del dividendo son mltiplos exactos del exponente del divisor

2 El primer trmino del cociente es igual al primer trmino del dividendo. 3 Luego ste valor se multiplica por el valor despejado de la variable y el

(binomio no necesariamente de primer grado), dichos problemas se resolvern haciendo un cambio de variable.

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Ejemplo: Dividir:3 x 8 28 x 4 5 x 2 4 x2 3

Grficamente:D I V I D E N D O

Resolucin:y Colocando como potencias de (x )3( x ) 28( x ) 5( x ) 4 x2 32 4 2 2 2

2

x=sb a

Cociente falso2

Resto

y

Haciendo un cambio de variables: x =y3y 4 28 y 2 5y 4 y 3

za Cociente verdadero

@ q(x) =

y

Ahora aplicamos el mtodo de Ruffini. i) ii) Divisor = 0 y+3=0 y=-3 Llevando a la grfica

cociente a

R(x) = RestoOBSERVACIN: De la identidad fundamental:

3

0

-28

-5

4

a D(x)|(ax+b).q(x)+R(x)| x .q( x ) R( x )

b a

-3 33

-9 -92

27 -1

3 -2

6 10

Se observa que el cociente queda multiplicado por a . Ejemplo: Dividir:27 x 4 6 x 2 x 15 3x 1

q(y)=3y -9y -y-2 R(y)=10 Pero y=x , reemplazando: @ q(x) = 3x -9x -x -2 R(x) = 10 OBSERVACIN: Cuando las potencias del dividendo son mltiplos de la potencia del divisor, anterior. CASO II se podr aplicar el proceso x=1 36 4 2 2

Resolucini) Divisor = 0 3x-1=0 x=1/3

ii)

Llevando a la grfica 27 0 9 27 9 33 2

-6 3 -3 -1

1 -1 0 0

15 0 15

z3

D(x) z ax s b

;a{1

9

y Cuando el primer coeficiente del divisor es diferente de la unidad, divisor de la forma axsb.

@ q(x) = 9x +3x -x R(x) = 15

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PRACTICA b) 1. Hallar el residuo de dividir: (2m4 m3 + 4m2 + 5m - 1) entre (2m2 + m 1) por el mtodo de Horner Resolucin: Rpta: q(m) = m + 2 2. Dividir por el mtodo de Ruffini: (7x + 4 - 5x4 + x2 + 6x5 ) entre (3x + 2)

Rpta 2x4 - 3x3 + 2x2 x + 3

c)

(3x5 +10x4 4x3 + 13x2 - 10x - 3) (x + 4)

a 3 2a 2 a 5 a2Resolucin: Rpta: q(a) = a2 + 1 R(a) = -3 Dividir aplicando el mtodo de Horner:

Rpta 3x4 - 2x3 + 4x2 3x + 2

d)

(6x + 9x3 5x4 8 + 6x5) (2x 1)

3.

8m 15m 6m 23m 4 2 m 3 1 5m 23 4 5 2

Rpta 3x4 - x3 + 4x2 + 2x + 4

e) Resolucin: Rpta: q(m) = 3m2 + 4 R(m) = 8 4. Dividir por el mtodo de Ruffini:

(-4x 7x2 + 8 + 6x5 + 5x4) (3x 2)

Rpta 2x4 + 3x3 + 2x2 x - 2 f) (4x6 + 5x4 3x2 - 8) entre (x2 1)

3m 3 1 2m m2Resolucin: Rpta: q(m) = 3m2 6m + 10 R(m) = -19 5. Por el teorema del resto o de descartes calcular el residuo de dividir: a3 - 2a2 + 5a 3 entre 2a - 1 Resolucin: 7.

Rpta 4x4 + 9x2 + 6 g) (-8x3 + 3 - x + 7x4 + 4x6) (2x + 1)

Rpta 2x5 - x4 + 4x3 - 6x2 + 3x - 2 h) (3x5 + 5x4 + 8 + 7x - 5x2 ) (x3 + 1) 3x2 + 5x

Rpta :

Calcular el residuo de dividir: x3 + 2x2 - x + 2 entre 2x - 1 Rpta : 17/8

Rpta: R(a) = -

7 88.

Calcula el valor de m para que: x3 - 5x2 + 3x 12m sea divisible por x 2 Rpta : m = - 1/2

6.

Efectuar las divisiones: a) (2x4 3x3 8x2 + 4x - 15) entre (x 3)

Rpta 2x3 + 3x2 + x + 7