Diapositiva 1Soluciones FEV Adyacentes
*
*
Prueba de Optimalidad
*
Prueba de Optimalidad.
Iterar: Muévase hacia una solución FEV adyacente mejor. Si ha encontrado una mejor solución, vaya al paso 4. Si no, entonces la actual solución es una solución óptima.
Prueba de Optimalidad.
Las principales características de la forma estándar son:
Las restricciones se representan como ecuaciones. (para ello será necesario la creación de variables de holgura o de exceso)
Todas las variables (de decisión y de holgura y/o de exceso) deben ser no negativas.
Las constantes del lado derecho deben ser no negativas.
*
*
En su REPRESENTACIÓN MATRICIAL-VECTORIAL, un PPL en forma estándar se reduce a:
MAX (MIN): Z = CX
Sujeto a: AX = b
X ≥ 0
b ≥ 0
A es una matriz (m x n), X es un vector columna (n x 1), b es un vector columna (m x 1) y C es un vector fila (1 x n)
*
3X1 + 4X2 + X3 + X5 = 7
X1, ... , X5 >= 0
*
*
(1)
(2)
Multiplicando (1) por -1 y sumandola a (2) se obtiene el sistema equivalente:
(3)
(4)
Multiplicando (4) por 2 y sumandola a (3) se obtiene el sistema equivalente:
(S1)
(S2)
(S3)
(5)
(6)
Así
*
Sistemas como S3 son llamados SISTEMAS CANÓNICOS. El sistema del ejemplo se obtuvo eliminando los coeficientes de X1 y X2.
X1 y X2 son VARIABLES BÁSICAS del sistema canónico.
DEFINICIONES:
VARIABLE BÁSICA es aquella que aparece con coeficiente 1 en una ecuación y cero en todas las demás.
OPERACIÓN PIVOTE es una secuencia de operaciones que reduce un sistema en uno equivalente en que una variable específica aparece como BÁSICA.
SOLUCIÓN BÁSICA es la solución obtenida a partir del sistema canónico fijando las variables no básicas en un valor.
*
Como cualquier par de variables podría haber sido elegida para ser variable básica, el Nº de soluciones básicas posibles es:
*
Partir con una solución básica factible en forma canónica.
Mejorar la solución inicial encontrando otra solución básica factible con un mejor valor de FO.
*
Calculemos un Indicador para esto:
Ganancia/Beneficio Relativo
*
a) Primero se examina si la presente es óptima.
b) Si no la es. El Simplex examina una: Solución básica factible Adyacente con un mejor valor de Z.
Mejorando la Solución
Definición.
*
1. Definir una variable básica como no básica.
2. Definir una no básica de reemplazo de la básica saliente.
Siempre y Cuando mejore el valor de Z.
Observe que:
1. Variables básicas asumen valores positivos y las no básicas cero.
*
.
Paso 4 Determinar VB. Que abandona la base
Aplicar regla razón mínima
*
S.A. X1 + 2X2 + 2X3 + X4 + = 8 (7)
3X1 + 4X2 + X3 + X5 = 7 (8)
X1,X2,X3,X4,X5 >=0
X4 y X5 variables básicas.
Solución básica: X1=X2=X3=0, X4=8, X5=7 que también es solución básica factible.
Luego Z = 5(0) + 2(0) + 3(0) - (8) + 1(7) = - 1
*
Para obtener una SBFA, una variable básica debe pasar a ser no básica, y en su lugar entra una no básica, incrementando su valor de cero a alguna cantidad positiva. La elección se hace en base a cuál variable no básica puede mejorar en mayor cuantía el valor de la FO.
Incrementando el valor la variable no básica X1 de 0 a 1 se tiene:
X1 + X4 = 8 Si X1 aumenta en 1, X4 disminuye a 7
3X1 + + X5 = 7 y X5 a 4.
Luego Z = 5(1) + 2(0) + 3(0) - 1(7) + (4) = 2
Luego el incremento en Z por unidad de incremento de X1 es 3.
Este valor se define como GANANCIA RELATIVA.
Pero el aumento de X1 está limitado por las restricciones.
EL MÁXIMO VALOR DE X1 = MAX ( 8 ; 7/3 ) = 7/3
*
Para X1 = 7/3, X2=0 , X3=0, X4 = 17/3 , X5 = 0 y Z = 6.
Finalmente, para obtener el nuevo sistema canónico que incluye a X1 como variable básica y elimina a X5 se obtiene
1. Dividiendo (8) por 3 para reducir el coeficiente de X1.
2. Multiplicando (8) por -1 y sumándola a (7) para eliminar X1.
*
Para el ejemplo: Maximizar Z = 5X1 + 2X2 + 3X3 - X4 + X5
S.A. X1 + 2X2 + 2X3 + X4 + = 8 (7)
3X1 + 4X2 + X3 + X5 = 7 (8)
X1,X2,X3,X4,X5 >=0
se tiene
*
Solución óptima: X1=6/5, X2=0, X3=17/5, X4=0, X5=0
Hoja1
Cj
5
2
3
-1
1
CB
XB
X1
X2
X3
X4
X5
3
X3
0
2/5
1
3/5
-1/5
17/5
5
X1
1
6/5
0
-1/5
2/5
6/5
Cj
0
-26/5
0
-9/5
-2/5
1. Expresar el problema en forma estándar.
2.Comenzar con una solución básica factible en forma canónica en el primer tableau.
3.Usar la regla del producto interno para calcular las ganancias relativas.
4.Si todos los coeficientes de ganancia relativa son negativos, la solución es óptima. De lo contrario, seleccionar la variable no básica más positiva para entrar a la base.
5.Aplicar la regla de la proporción mínima para elegir la variable básica que sale de la base.
6. Realizar la operación pivote.
*
Hoja1
Cj
3
2
0
0
0
CB
XB
X1
X2
X3
X4
X5
0
X3
-1
2
1
0
0
4
0
X4
3
2
0
1
0
14
0
X5
1
-1
0
0
1
3
Cj
3
2
0
0
0
*
Solución óptima: X1=4, X2=1, X3=6, X4=0, X5=0
Hoja1
Cj
3
2
0
0
0
CB
XB
X1
X2
X3
X4
X5
0
X3
0
1
1
0
1
7
0
X4
0
5
0
1
-3
5
3
X1
1
-1
0
0
1
3
Cj
0
5
0
0
-3
Empate en la Razón Mínima
Al ingresar X4 a la base (incrementando su valor en 2), las variables X1 y X2 se reducen a cero pero sólo una puede salir de la solución básica. Arbitrariamente se decide por X1.
Hoja1
Cj
0
0
0
2
0
3/2
CB
XB
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0
X1
1
0
0
1
-1
0
2
0
X2
0
1
0
2
0
1
4
0
X3
0
0
1
1
1
1
3
Cj
0
0
0
2
0
3/2
OBSERVACIÓN:
La variable X2 ha asumido un valor de cero (como una variable no básica). Este tipo de solución básica factible en que una o más variables básicas valen cero, son llamadas DEGENERADAS.
La variable que entra a la base es X5 y la regla de la razón mínima indica la salida de la variable X2. Pero la razón mínima es cero, luego X5 no puede ser incrementada y Z no aumentará en su valor.
Hoja1
Cj
0
0
0
2
0
3/2
CB
XB
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X4
1
0
0
1
-1
0
2
0
X2
-2
1
0
0
2
1
0
0
X3
-1
0
1
0
2
1
1
Cj
-2
0
0
0
2
3/2
*
Cuando se obtienen soluciones básicas degeneradas, se pueden obtener nuevos tableaus sin lograr mejoras en la función objetivo. En algunas oportunidades esto puede ocurrir en forma infinita (se pueden producir ciclos)
Hoja1
Cj
0
0
0
2
0
3/2
CB
XB
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X4
0
1/2
0
1
0
1/2
2
0
X5
-1
1/2
0
0
1
1/2
0
0
X3
1
-1
1
0
0
0
1
Cj
0
-1
0
0
0
1/2
Soluciones no acotadas:
La variable no básica X1 puede entrar a la base pero la regla de la razón mínima entrega razones infinitas.
En esta situación la solución es no acotada.
Hoja1
Cj
2
3
0
0
CB
XB
X1
X2
X3
X4
0
X3
-2
0
1
1
2
3
X2
-3
1
0
1
4
Cj
11
0
0
-3
1. Por método de prueba y error.
2. Utilización de variables artificiales.
Ejemplo: Minimizar Z = -3X1 + X2 + X3
S.A. X1 - 2X2 + X3 ≤ 11
-4X1 + X2 + 2X3 ≥ 3
El primer paso en convertir el problema a forma estándar:
Minimizar Z = -3X1 + X2 + X3
S.a. X1 - 2X2 + X3 + X4 = 11
-4X1 + X2 + 2X3 - X5 = 3
-2X1 + + X3 = 1
X1, X2, X3, X4, X5 >= 0
*
-4X1 + X2 + 2X3 - X5 + X6 = 3
-2X1 + X3 + X7 = 1
Y la solución en forma canónica está dada por:
X1 = X2 = X3 = 0, X4 = 11, X5 = 0, X6 = 3, X7 = 1 ,pero esta solución no es factible. El objetivo entonces es reducir las variables artificiales a cero.
*
Se asigna un valor muy grande (M ó -M) al coeficiente de las variables artificiales en la FO.
Ejemplo: Minimizar Z = -3X1 + X2 + X3 + MX6 + MX7
donde M es un valor positivo muy grande.
Hoja1
Cj
-3
1
1
0
0
M
M
CB
XB
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
0
X4
3
-2
0
1
0
0
-1
10
M
X6
0
1
0
0
-1
1
-2
1
1
X3
-2
0
1
0
0
0
1
1
Cj
-1
1-M
0
0
M
0
*
Fase 1: Remover las variables artificiales a través de una nueva FO formada por la suma de todas estas variables. Este objetivo artificial debe minimizarse hasta llegar a cero. Si el mínimo valor obtenido es positivo, el problema original sin variables artificiales no es factible.
*
Minimizar W = X6 + X7
-2X1 + X3 + X7 = 1
X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 ≥ 0
La FO original se ignora durante la Fase 1 del problema.
Hoja1
Cj
0
0
0
0
0
1
1
CB
XB
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
0
X4
1
-2
1
1
0
0
0
11
1
X6
-4
1
2
0
-1
1
0
3
1
X7
-2
0
1
0
0
0
1
1
Cj
6
-1
-3
0
1
0
0
Hoja1
Cj
0
0
0
0
0
1
1
CB
XB
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
0
X4
3
-2
0
1
0
0
-1
10
1
X6
0
1
0
0
-1
1
-2
1
0
X3
-2
0
1
0
0
0
1
1
Cj
0
-1
0
0
1
0
3
X1 = 4, X2 = 1, X3 = 9, X4 = X5 = 0
Hoja1
Cj
-3
1
1
0
0
CB
XB
X1
X2
X3
X4
X5
0
X4
3
0
0
1
-2
12
1
X2
0
1
0
0
-1
1
1
X3
-2
0
1
0
0
1
Cj
-1
0
0
0
1