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- -) er*..s ! x \ I Jt"nt x' \t5*nll(ld^\*= -*e3"co=lx t §='"sqnJx - Sd'so-nl=d x

C',*o so drr-mo3 otso-r,.nur \.. ruarlq i n \e.,qna\ pr= i Ae-n h.,\ q \".do-\ i n'i cio Qpr \o \on!o oa- pGsc q\ o\.c \.o.d.o dq- \o.'ic1.,o\ ü"d§.'^s.nf *dx * \u':scnlxd)t = -5 «:*Eost.x t § eAla gqnJx

á J'eA^s§-\Lx d K = - \ ¿xco\}x t § e'*=onlx t CjC*sun )x d x = I tl á".o=.[x t 5."-snn ex) +-C

: * e:t' (- coslx + sLnJ"') t- C \

I.\«5uc\6n Por Pe'\tb

\lt \"ó" á- rr*bo\acic¡nLiu.np\os I

e.t o-=\a- tná\odo sa- rqc^\r Lc" \.= ntisnno quq- Q-n u\rnb\oo\r, \todic'onc.\ , ñGdc"tn ^s 1.lq- Éq- otsqn'\acl

e\ oñq \u b\o , \ \*5o \.^ gq\trc-t6q Ba- -b\\a-ArLnr.r\\¡ g\\con&o uJ Ai.'1ono\ "

*Thr"<Aor \ st§ori,rc

&v s!.- \ n\q*a

X:.x=I*=x+C*

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\ *o'd

l" E\u1'§\os Te:2" Éc sr\« rno= \cr

s**\ th I di+ -1=x .r e.

+ L?-),frh

x J,v = ddx\qb\a

\."dx =ex'1lr xütr= dx

?X- sorrlx3x1

'- | coslx

*{scn} x

Av ==ao?x d x

t*nl"dx $cosl <

1l :e>¿u= ;lÁx

\coslxdx = $s+nlxQt:1ydu =2 dx

lu alp= x3

+

+

.t

6x6

O§ coslx

fi s-nLxlfr:l*"\ 7*Ñt'6'¡ir*5tt

,uu \rP*"Ixdx = -§cosl¡ +ftxzscnlx + ft xcr=?x - fr sanfx + C

4-l ug\q*lárGño} Áv

+

3a

0 Jo'Lanlxdx&o Tob\c'

snrrlx-jcslx-{ son}x

3.- ro*uo-\..1u iSr^ o n-\

ü..1o^..\ pa-re c\ ,u \ \",,no

{Lcm\rc, ryL sa- {.o. o-

o\.,.*y {.. a SLf r.)nü-

rn\uXr"\ \ os\q se- ob\ror,E_ A.- k *. \.r*.\\És .V'c\I ,'

5 J xsLn& x§c - * .txcos! x + á e2 "sqnlx i S

I3*"1 *a* dáio"lxdx : - Ie'^.os? x * j' C b¿n]x

J JáEunlxd y

§=n bo-n¡xd x

\ *" so§2xdx

f üP = e2' &v = s'an)xdx

Cs.rs u.n o=\c)= \q-t ,n\qo= no sQ-\\oto c). Ge-rcr .-¡ \q por \u d q- \o..

'Ut É,\- de-lton¿- .r..qdo Uuo-\uq

o. crpTt-«L( [." rnisnnc,- f.¡nciO qtri gono ñ \r, <.^ du\ 'r ir ic\O

I*").xAx = -Icos&xUu:lXü1r> ZA,x

\ *lxd x : |' scr )Xqr= lx

+rr= I§F

= -|-'-"o=e* o;|.'*sp-nJx +C

=i (-+J*cos3" *ie2'sc-nlx) +C

:

+

et*sn-nl ri,

--''

C-

etxJ*.2x

SECCIÓN 8.4 Sustituciones trigonométricas 543

a

a

Usar sustituciones trigonométricas para resolver ,tt a inteSrd.Usa¡ las integrales para formular y resolver las aplicaciones de la vida real.

Sustituciones tr¡ gonométricas

Conociendo cómo evaluar las integrales que contienen potencias de funciones trigo-nométricas, usar sustituciones trigonornétriss para evaluar integrales que contienen ra-dicales

/-'-;----------=Ja'- u'. J7T7 Y J7 -4.El objetivo de las sustituciones trigonométricas es eliminar aI radical en el integrando.Hacer esto con las identidades pitagóricas.

cos20- i -se#0, sec20: 1 +tan20 y a*0:sec?0- L.

Por ejemplo, si a > 0, sea L. : a sen A, donde - tdz < 0. 42- Entonces

JV=G: _l7-=-Fmr6: JFG=Ñ'): J7;Ñ 0

:acosg.

Notar que cos g> 0, porque - dZ < e < d2-

NOTA Las restricciones sobre O aseguraa que Ia función que define la sustitr¡ción es inyectiva.De hecho, éstos son los mismos interv4los sobre los que se deFrnen el arcseno, ¿rctangerite yarcsecante.

É.,.,ffiñ&iijÉffiffibúegración de wta. furrciónrali¡al Hastaestepunto deltexto, no se ha evaluado lasiguiente integral

ftI JÍ=Fa*J-t

Por ¿rgumeotos geornétricos se

puede encontrar el valor exacto deesta integral. ¿CuráI es?. Utilizandola iategración simbólica con laregla de Simpson o de lostrapecios, no se tiene La seguridadd^e la precisión de la aproximación

¿Por qué?

IEtentar calcBtiar el 1alor exacto '

mediante la susti turión

ir : seo Oy dx: cos Od g

¿Coircide la resP.6ta con el valorgfteaidg,rr erldo el razolamiento

Sustituciones trigonométri-. (a > O)

1. Para integrales que contienen JA=E,s&a

a:asen0.

Entonces JA=G: d co§ 0, donde

-7d2<e<7d2.Para integrales que st.ti.t*. -,,il+ ,,f' sea

u: atar¡ 0-

Entonces JA +7: a sec 9" donde

-nlz < g< 7d2-

Para integrales que contienen JF-Z, sea

u:asec0-

Entonces JF-:-A: ta tan 0, donde0 < 0< tdL o tdZ< 0< tt.Usar el valor positivo si r > a yel valor negativo si a < -a.

.,

3.

r-;--;§u--s-

/-r--;\/a--u'

0'i

M¿\"dos do-

- 3"=\", I.rc.ión

C'¡o*p \es:

I dxr"Jxrm?o=-=,

AL" Idc,,!,Fi.or,[§I;,rl ->

J" Qo-.\,.ot -\

c&rn bro d§-

5" Q...\z.crdx

b" Ar*or ¿\x= 3sun6

..\ roAi.o\ c" c,,o\ corrq.sQo^&¡,

=* \" cs n rulq-=\ro.s vo\orug

[q--:Fl x = bsc_ngoL q u\xlo-- 3 rl,L: \

3" ós\orqr üx ür., uc.ndo ¿\ goso s n\qrio rx=3s(ng dx=3c¡sOde{o

/\ - s).J\r)t clx 3 5cOS08eCcr.', \o s, do\os ob\an¡do:

r¡\cq,to.iónlG,\ono *é,\r'r (c\ Pq" 54 3

pos§ a\c, Ao-t-r,rici¿n

¿-\ Qcso g rq&U zorrod',ec.\

=ffi= G q' o\i\izov iün\;¿oá+s=.[q-o= 3 cosOcor"nb\o A- lc-rr..bk_ ¿_§ [q in\cqra\

={Jc=3ede:-{c-ore +Cütr=dg

lric'.,q1u\o con \o. ida_n\idoÁ do_\-+ do__sgc-\orf :Sc_ng =-á uscr nóodq sa-no q co-o éor \ o=- \,Í-r * i ¡oSscnu=tffi

+

1* Vo\ar or.¡son ó c:

t&,J x'.Iql¡ -

F tu*i! )ffit") k"\t'

u"=4x t d= t

ü:,1"x o: I

= f=--é*-,

: l I=".o de §%,[,^ IsLCo t tone) + c

i,\ry+{-\*.

naqr\\¿c,r -\ m.mbio áq- uoric,b\a- Ár- e cr xe-\ f.ion1.\o" €:.\ \c'.. so\ución ob\«-"do..

I\c=.?ode=-\cote +C hj:'Sl

q{-rsfl +c

:'l-+f¡r + ct^ J

Qo ldx = scctede+iJmI=ffi=m

*Lq

) u = &tong; A*={aoe

r,") trone = ?lx

L.o"L. A.

1)=

t'aI)

I

uitd,r)JTfr¡

"*J.\{rm+tx\+c

SECCIÓN 8.2 ln¡egración por partes 531

a) flnxdxcl .lx1e, dx

b) J-rsenrdr

d) fx2 cos r dr

ta los ejercicios I a -1. asignar la anfiderivada con la integralf0rrecia. [Se eiiqueúan las inÉegraies s), b), c) y r{).1

En los ejercicios 37 a 42, resolver la ecuacién diferencial.

: -re-"' 38- -],' : ln -r .

40. Y!: ,y}!G= ldx

41. (cosy)y': 2, 42"

ffi. Co*px d" pendienfes Eu los ejercicios 43 y 44, se da una ecua-ción diferencial, un punto y un campo de pendientes. a) Dibujardos soluciones aproximadas de la ecuacióg diferencial en eI r:ampode direcciones o pendientes, una de las cuates pase a través delpunto dado. á) Usar Ia integracién para encontrar la soluciónparticular de la ecuación diferencial y usar una calculadora parahacer la gráfica de la solución. Comparar el resultado

"oo lo.

dibujos del apartado a)_

x.5 cos,r, (0, a) 44. *: , ,/3 sen 2x. (0. -Si

ffi Corrp^ a, pendienfes En los ejer:cicios 45 y 46, usar ¡,n¡ col6¿-Iadora para representarla gráfie del campo de pendientes paraIa ecuación dife¡encial y hacer la grrífica de la solución a través¿ls rrn¿ calculadora.

45. 4! : f*,r 46-caY}y(0) : 2

En los ejercicios 47 a 58, eva_luar la integral definida. Usar unacalculadora para confirmar el resultado-

47- {o

o--,, * 4r¡.

49. fo*''

, "ot, a* so.

['tzJ, arccos¡dx

rJ e- sen.n dr

f2

J, x2 lnxdx

r4

J, -r arcsec x,tr

37. -v'

39- u)

dt v.i-rJ¡l. .t : sen,rr - .t cos .\

2' -y = -rl seil -r + 2r cos -r - 2 sen -r3. ,1'

: -sr"-. - Lre' * 2e'4. ,y: -,"-l-,rln¡

En los ejercicios 5 a 10, identificar ¡¡ y dv para encontrar Ia inte-gral usando la integración por part€s. (No evaluar la integral.)

ln los ejercicios 11 a 36, encortrar ta integral. (tVofa: Resolverprel método más simple, no todas requieren la integración porpartes.)

,rarctan,

[*'*

/ ,,n.0'r-.

/. ,..'-, a,

l*'"'' *

l,nr,o,

{ .*, "o* a*

43. dv -dx

10. _v

+L.

.+;\+/rt,

\ +/\-+/--!-.-\+,-i-\+/

/-\ I I

n. I*-..o"

u. f,,,.

a.

s f;" a'

rr.frlnk+tldt

$ Illtjtd-"[ *""J cr+ rf d'

f r-,' - Nle, dx

r_§' J'*'*- '¿'

f -..o., a.

f.'r.,,ra'lL f,.* tcutdt

f *.*'a,

[2,l; o'

{#,,{ *"b*a*

l*i**I tnx ,--J.t^

f^I x'e'-J ¡; * r¡'4.It z,J *'o't,¡ -=;_dxJ J2+3x

L r"n" ¿,J

{*'"or*a*

fr."" otan0do

{ +or""orra*

{ ".rorz'a,

lo' *'"- a*

lo r".nua*

f'r*.r"n*ro,

l'"-'"o"*a*

f',*i, + x2) dx

fo/+

t xsec:xdr

tz-

l4-

18-

24-

",,

dyx--: -senrLxy_(0) : a

5l- i,

-¡ z,/-rrrlzz2-irY /,/-\\\-///-\\/ / /-\ \ \-// /-\\///-\\\-///-\\/ /,/-\ \ \-/ //*\\./ / /-\ \ \-// /-\\/.//-\ \ \-/,//-\\,/ /,/-\ \ \-// /-\\,/,/,/-\ \ \-///-\ \/ ,/ /-\\\-/ / /--5

x l.t' ,.^-" d."'l 57. 58.

55" ¡ : 1"0:'r10

_-¿111¿r / ! ! ¡¿--¿1_-rl, ¡.,.¡ ¡___-__:---¿1¿ / /

-----¿--rtr j )___-r---.-+ ?.fi f___---.--t.t,! I--rrrryr ! r'Í-'---'tfÍ¡:?'Í

-2

59. ¡,= jarctan(tan x/2)+C é¡.+ó3- +(i - "-,):0.3i6 ó5. 4 67. r/LB6s- 5..r8 - 11.18 zr. I rn(f;) + J arctan(l) - 2.6873. { - 1.333

zs. jarctanfj¡x+l]+ C ñ" ran 0-secl.r CLas gráficas varían. Las gráñcas varían.Ejemplo: Ejemplo:

15

-a

C=O

---¿-..'- C=-Or

Una griífica es una mslación Uru-jran"u es una traslaciónvertical de la otra. vertical de la otra.

f un+t79. Regla de las potencias: J

u" ¿, = :- -

+ C:

u:xz+l,du:Zx,n:3

8l- Regla de los logaritmo ", | +: lnlal + C;

u: x2 * 1,du: Zx83. Utilizando las leyes de los logaritmos, .Ir : ex+ct : e* - ec,,

donde ¿c, es una constante- Po¡ lo tanto, ec, se puede reemplazar -.

por C, dandocomo result¿do lz: Ce,.

85. a: Jt.o: í,-+"1*(, *;) . cot(r + í)l . .Negativa; hay rnás iárea bajo el eje r

s ere sobre él

§-3¡6 Soluciones d* {os ejercicios impares

57-v:\u:'¡2r.'*-r*C

-z

93. a) z¡([ - e r): 1.986 b) t¡ : - 0.743

9s. (An-l3¡(i0-/t0 - t) = 256.S+S

97. f arctan3:0.416 99.:1.0320I0t. a) { sen,r(cos2x + 2)

á) f sen "d3 cosa x * 4 cos2 -r * 8)c) $ sen-r(5 cos6-r * 6 cos+-r * 8 cos2-r + 16)d) Utilice la regla para reducir potencias, Jcos,, x ¿s :

cos"-lsen,x n-Il, * , J

cos,,-¿ x dx hasra que su integral

fsea I cos x dx,1a cual entonces se puede integrar.

J103. DemosEación

Seccién 8.2 (página 531)l. b 2. d 3. c 4. a 5. u: x,dv: e2,dx7. u: (ln-r)z, dv : dx g. u: x,dv : sec2 xdxll. -{l/+¿2,)(Zx+ t)+C 11. e'(x3 -3xz+6x-6)+cts.\e"+C t7. ll2k2 - 1)lnlr+ 1l - *+2tl+ct9. +(hn)3 + C 2t- ez./14(Zx + l)l + C23. (r - t)ze, + c 25 É(_E - 1)r/r(3* + 2) + c27. ¡sen¡ * cosr * C29. (6x - -r3) cos x + (3x2 - 6) sen :r * C31. -rcsc r - lnlcsc f + cot tl + C33. rarcrrn, - |tn1t + x2) + C35. §ek(2 senr - cos -r) + C 37. y : le,' + C39. y: #(nrr-z4t+lzlJz+zt+c 4t. sen y:.rz+C43. a'¡ »2Jy-cos.r*¡senx:3

6

47- 4 - t2/e2 49. r/2 - |

sr. (z- - 3J¡ + 6)/6 : 0.658

53- á[4sen I - cos t) + 1] : 0.90955- (24 b2 - 7)/9 - 1.0715?- 8arcsec 4 + J\/Z - JyS¡Z - Zr/3- T-38059. {e*/A}Qx2 - 2x + l) + Có1. (3,Er - 6) sen-r - (r. - 6x) cos-r * Có3- ¡-^rsn-r + lnlcos_rl + C 63. ?(sen.,& - .,6cos J*) + C67. # 69- |x[cos(lnx) + sen(tnx)7+ C 7l- Regtadetproducro13. No ' IS. Sí. Sean ¿¿ : x2y dv : e2, dx-77. Sí- Seaa ¿ : x, dv : (t ,C + f ) dr. (La sustirución también

fiurciona.Seaz:.,4+l_)

45.

I 1- \,l )¡t !"'\:"- - +l

;)i r4t

t{c=o

rt

IO

---- ii+;1 i i/i\\\\\\+////,,ts\\\\+//4tl ¿\-1a\+r/r/J ¡\\tf\ \+, ,// / , ,

::::§+4iiÍÍ-2

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