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Métodos NuméricosGrado en Informática

Tema 6: Análisis Numérico Matricial II

Luis Alvarez León

Univ. de Las Palmas de G.C.

Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 1 / 84

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Contenido

1 Nociones básicas sobre matrices y vectores

2 Método de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas

3 Práctica 6. Método de Jacobi para el cálculo de autovalores yautovectores

4 Método de la potencia para calcular el autovalor máximo

5 Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones

6 Práctica 7. Implementar el método de relajación

7 Método de Newton-Raphson para sistemas no-lineales


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1 Nociones básicas sobre matrices y vectoresdistancia entre 2 puntos en el planoNorma de vectoresNorma de una matrizProducto EscalarBase ortonormal de vectoresautovalores de una matrizRadio espectral de una matrizCondicionamiento de una matriz


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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano


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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano. La distancia Euclídea


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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano. La distancia L1


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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano. La distancia L∞


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Análisis Numérico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano

Consideremos los puntos (1,2) y (3,7)

Distancia Euclídea =√

(3− 1)2 + (7− 2)2

Distancia L1 = ∣ 3− 1 ∣ + ∣ 7− 2 ∣

Distancia L∞ = ∣ 7− 2 ∣

Orden entre las distancias

distancia L∞ ≤ distancia Euclídea ≤ distancia L1


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Análisis Numérico Matricial IIDistancia y norma Lp

distancia Lp entre 2 puntos (x1, x2) y (x ′1, x′2)

distancia Lp =(∣ x1 − x ′1 ∣p + ∣ x2 − x ′2 ∣p

)1/p

Norma Lp de un vector x = (x1, x2, .....xN) y sus propiedades

∥ x ∥p=(∑N

i=1 ∣xi ∣p)1/p

Propiedades

1 ∥ x ∥p= 0 si y sólo si x = 02 ∥ �x ∥p=∣ � ∣∥ x ∥p para todo � y x3 ∥ x + y ∥p≤∥ x ∥p + ∥ y ∥p para todo x , y


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Análisis Numérico Matricial IILugar geométrico de los puntos que verifican ∥ x ∥2≤ 1

Cual es el lugar geométrico de los puntos que verifican

∥ x ∥2=√

x21 + x2

2 ≤ 1


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Análisis Numérico Matricial IILugar geométrico de los puntos que verifican ∥ x ∥1≤ 1


∥ x ∥1=∣ x1 ∣ + ∣ x2 ∣≤ 1


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Análisis Numérico Matricial IILugar geométrico de los puntos que verifican ∥ x ∥∞≤ 1


∥ x ∥1= max{∣ x1 ∣, ∣ x2 ∣} ≤ 1


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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz

Sea A una matriz y sea ∥ . ∥ una norma vectorial. Se define la normade A, subordinada a la norma vectorial ∥ . ∥ como

∥ A ∥= supx ∕=0∥Ax∥∥x∥

Ejemplos∥∥∥∥( � 00 �

)∥∥∥∥ = supx ∕=0

∥�x∥∥x∥ = sup

x ∕=0

∣�∣∥x∥∥x∥ = ∣�∣∥∥∥∥( 2 0

0 1

)∥∥∥∥2

= supx ∕=0

√(2x1)2+x2

2√x2

1+x22

=

√(2⋅1)2+02√

12+02= 2∥∥∥∥( 2 0

0 1

)∥∥∥∥1

= supx ∕=0

∣2x1∣+∣x2∣∣x1∣+∣x2∣ = ∣2⋅1∣+∣0∣

∣1∣+∣0∣ = 2∥∥∥∥( 2 00 1

)∥∥∥∥∞

= supx ∕=0

max{∣2x1∣,∣x2∣}max{∣x1∣,∣x2∣} = max{∣2⋅1∣,∣0∣}

max{∣1∣,∣0∣} = 2∥∥∥∥( 1 01 1

)∥∥∥∥2

= supx ∕=0

√x2

1+(x1+x2)2√x2

1+x22

=

√(1+√

5)2+(1+√

5+2)2√(1+√

5)2+(2)2= 1.618∥∥∥∥( 1 0

1 1

)∥∥∥∥1

= supx ∕=0

∣x1∣+∣x1+x2∣∣x1∣+∣x2∣ = ∣1+∣1+0∣

∣1∣+∣0∣ = 2∥∥∥∥( 1 01 1

)∥∥∥∥∞

= supx ∕=0

max{∣x1∣,∣x1+x2∣}max{∣x1∣,∣x2∣} = max{∣1∣,∣1+1∣}

max{∣1∣,∣1∣} = 2


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Análisis Numérico Matricial IINorma de una matriz

TeoremaSea A una matriz y ∥ . ∥ una norma vectorial. Entonces, para cualquiervector x se verifica que

∥ Ax ∥≤∥ A ∥ ⋅ ∥ x ∥

Demostración: Si x = 0, la desigualdad es trivial. Si x ∕= 0, entonces,puesto que ∥ x ∥> 0, la desigualdad anterior es equivalente a

∥ Ax ∥∥ x ∥

≤ ∥ A ∥

Ahora bien, esta desigualdad es cierta por la propia definición de ∥ A ∥al tratarse del supremo de todos los cocientes de este tipo


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Análisis Numérico Matricial IIProducto escalar de 2 vectores

DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores

(xi , xj) =N∑

k=1

(xi)k(xj)

k

donde (xi)k indica la coordenada k -ésima del vector xi .

Ejemplo: Sean x1 = (1,2,3)T y x2 = (9,8,−5)T , entonces :

(x1, x2) = 1 ⋅ 9 + 2 ⋅ 8− 3 ⋅ 5 = 10

Propiedad importante: ∥ x ∥2=√

(x , x)


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Análisis Numérico Matricial IINormalizar vectores

Normalizar vectoresDado un vector x normalizarlo respecto a la norma ∥ . ∥ consiste en dividirel vector por su norma, es decir, hacer

x∥ x ∥

La norma de un vector normalizado es 1.

Ejemplo:Sea x = (1,2,−3)T , normalizar el vector depende de la normaconsiderada y consiste en hacer :

x∥ x ∥2

=

⎛⎝ 1/√

142/√

14−3/√

14

⎞⎠ x∥ x ∥1

=

⎛⎝ 1/62/6−3/6

⎞⎠ x∥ x ∥∞

=

⎛⎝ 1/32/3−3/3

⎞⎠


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Análisis Numérico Matricial IIBase ortonormal de vectores

DEFINICION: Base ortonormal de vectoresUna base ortornormal de vectores de RN son N vectores x1, ....xNnormalizados y tal que el producto escalar entre todos ellos es 0 (es decir losvectores son perpendiculares entre sí).

Ejemplo: los vectores columna de las siguientes matrices forman una baseortonormal de vectores⎛⎝ 1 0 0

0 1 00 0 1

⎞⎠ ⎛⎝ 1/√

2 1/√

3 −1/√

60 1/

√3 2/

√6

1/√

2 −1/√

3 1/√

6

⎞⎠ ⎛⎝ cos(�) sin(�) 0− sin(�) cos(�) 00 0 1

⎞⎠Propiedad importante: Si x = �1x1 + ...+ �NxN entonces

∥ x ∥2=√�2

1 + ...+ �2N


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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de una matriz

DefiniciónUn autovalor de A es un número real � tal que existe un vector x,denominado autovector, tal que

Ax = �x

DefiniciónSe denomina polinomio característico P(�) de la matriz A, al polinomiodado por el determinante

P(�) =∣ A− �I ∣


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ProblemaCalcular los autovectores de la matriz⎛⎝ 1 1 0

1 1 00 0 2

⎞⎠y determinar una base ortonormal de R3 de autovectores de A.

Solución: tenemos que calcular los ceros del polinomio característico∣A− �i Id ∣ = 0

∣∣∣∣∣∣1− � 1 0

1 1− � 00 0 2− �

∣∣∣∣∣∣ = ((1− �)2 − 1)(2− �) = 0

de donde obtenemos �1 = 0, �2 = 2 y �3 = 2


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Calculamos los autovectores de A :

�1 = 0⎛⎝ 1 1 01 1 00 0 2

⎞⎠⎛⎝ x1x2x3

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠→⎧⎨⎩

x1 = −x2

x3 = 0→ x1 =

⎛⎜⎝1√2−1√

20

⎞⎟⎠�2, �3 = 2⎛⎝ −1 1 0

1 −1 00 0 0

⎞⎠⎛⎝ x1x2x3

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ →⎧⎨⎩

x1 = x2

x3 libre→ x2 =

⎛⎜⎝1√2

1√2

0

⎞⎟⎠, x3 =

⎛⎝ 001

⎞⎠La matriz,

B =

⎛⎜⎝1√2

1√2

0−1√

21√2

00 0 1

⎞⎟⎠contiene los autovectores de A que forman una base ortonormal de R3.


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Análisis Numérico Matricial IIAutovalores de matrices simétricas

TeoremaTodas las matrices simétricas poseen una base ortonormal deautovectores.

Por tanto, poseen tantos autovalores como dimensión tenga la matriz(aunque alguno de los autovalores puede salir repetido)

No todas las matrices poseen una base de autovectores.

A =

(1 01 1

)tiene como autovalor � = 1

y tiene como autovector x = (0,1)T


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Análisis Numérico Matricial IIRadio espectral de una matriz

DefiniciónSe define el radio espectral de una matriz A como

�(A) = maxi{∣ �i ∣ : �i autovalor de A}

TeoremaSea A una matriz y ∥ . ∥ una norma vectorial. Entonces

∥ A ∥≥ �(A)

Demostración: Si � es un autovalor de A, entonces existe un autovector x talque Ax = �x , por tanto

∥ Ax ∥∥ x ∥

=∥ �x ∥∥ x ∥

= ∣�∣ ≤ ∥ A ∥


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Análisis Numérico Matricial IInormas de matrices

TeoremaSi los autovectores de una matriz A de dimensión NxN forman una base ortonormal deRN , entonces

∥ A ∥2= �(A)

Demostración: Ya sabemos que ∥ A ∥2 ≥�(A). Para demostrar la desigualdad en el otrosentido sea x un vector cualquiera, y x1, x2..., xN los autovectores de A, como son unabase podemos expresar x en dicha base, es decir

x = �1x1 + �2x2 + ..+ �NxN

Por tanto se tiene que

∥ Ax ∥2∥ x ∥2

=

√�2

1�21 + ...+ �2

1�2N√

�21 + ...+ �2

N

≤

√�(A)2�2

1 + ...+ �(A)2�2N√

�21 + ...+ �2

N

= �(A)→ ∥ A ∥2≤ �(A)


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Análisis Numérico Matricial IICálculo de las normas de una matriz

TeoremaSea A una matriz cualquiera, entonces

∥ A ∥2=√�(tAA)

∥ A ∥1= maxj(∑

i ∣ aij ∣)

∥ A ∥∞= maxi

(∑j ∣ aij ∣

)


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Análisis Numérico Matricial IICálculo de las normas de una matriz

Problema: Calcular las normas 2, 1 e infinito de la matriz

A =

(1 01 2

)

Solución

∥ A ∥2=√�(tAA) =

√�

(2 22 4

)=√√

5 + 3 = 2.288

∥ A ∥1= maxj(∑

i ∣ aij ∣)

= 2

∥ A ∥∞= maxi

(∑j ∣ aij ∣

)= 3


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Análisis Numérico Matricial IICondicionamiento de una matriz

El condicionamiento de una matriz es un número que nos indica lacalidad de una matriz cuando se trabaja con ella numéricamente

Ejemplo

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones⎛⎜⎜⎝10 7 8 77 5 6 58 6 10 97 5 9 10

⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝

xyzv

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝32233331

⎞⎟⎟⎠cuya solución es (1,1,1,1). Vamos a considerar ahora el mismosistema, perturbando ligeramente el término independiente:


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Ejemplo ⎛⎜⎜⎝10 7 8 77 5 6 58 6 10 97 5 9 10

⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝

xyzv

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝32,122,933,130,9

⎞⎟⎟⎠La solución de este sistema es (9.2,-12.6,4.5,-1.1). Como podemos ob-servar, a pesar de que la perturbación del sistema es del orden de 0.1la perturbación de la solución del sistema puede llegar a ser del ordende 13.6.


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Consideremos un sistema de ecuaciones de la forma

Au = b

y el sistema de ecuaciones perturbado

A (u + �u) = b + �b

Queremos controlar el error relativo en la solución del sistema a partirdel error relativo en el término independiente b.

∥ �u ∥∥ u ∥

≤ �(A)∥ �b ∥∥ b ∥

donde �(A) es un número que llamaremos condicionamiento de la ma-triz. Cuanto más pequeño sea �(A) mejor comportamiento tendrá lamatriz A.


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Teorema

Si definimos �(A) =∥ A ∥ ⋅ ∥ A−1 ∥ ⇒ ∥ �u ∥∥ u ∥

≤ �(A)∥ �b ∥∥ b ∥

Demostración:

A(u + �u) = b + �b ⇒ Au = bA�u = �b ⇒ �u = A−1�b

{∥�u∥ ≤ ∥A−1∥∥�b∥∥b∥ = ∥Au∥ ≤ ∥A∥∥u∥ ⇒ 1

∥u∥ ≤∥A∥∥b∥

⇒ ∥�u∥∥u∥

≤ ∥A∥∥A−1∥∥ �b ∥∥ b ∥


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ProblemaDemostrar que, si los autovectores de una matriz A de dimensión NxNforman una base ortonormal de RN , entonces, para la norma 2, secumple que

�(A)2 =∥ A ∥2 ⋅ ∥ A−1 ∥2=maxi{∣ �i ∣}mini{∣ �i ∣}

Solución:

Ax = �x ⇒ A−1x =1�

x ⇒ ∥ A−1 ∥2=1

mini{�i}

Nota: En el caso del ejemplo de matrix 4x4 anterior los autovalores dela matriz son 0.01, 0.84, 3.86, y 30.29, por tanto el condicionamientosería

�(A)2 =30.290.01

= 3029

lo cual indica un condicionamiento bastante malo.Ejemplo

A =

(� 00 �

)⇒ �(A)2 = 1

∣ A ∣= 0 ⇒ �(A)2 =∞�(�A)2 = �(A)2


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Ejemplo

A =

(1 01 2

)⇒ A−1 =

( 54 −1

4−1

414

)� (A)2 = ∥A∥2∥A−1∥2 =

√�(tAA)

√�(tA−1A−1) = 2.618

� (A)1 = ∥A∥1∥A−1∥1 = 2 ⋅ 1 = 2

� (A)∞ = ∥A∥∞∥A−1∥∞ = 3 ⋅ 1 = 3


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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas

Este método se basa en que, dadas dos matrices A y R, se verifica quelos autovalores de A son los mismos que los autovalores de R−1AR. :

R−1ARx = �x ⇒ ARx = �Rx ⇒{� es autovalor de Apara el autovector Rx

Las matrices R que se van a utilizar son matrices de rotación :

R =

(cos� sin�− sin� cos�

)R−1 =

(cos� − sin�sin� cos�

)En 3 variables las matrices de rotación respecto a cada eje son⎛⎝ cos� sin� 0− sin� cos� 00 0 1

⎞⎠⎛⎝ cos� 0 sin�0 1 0− sin� 0 cos�

⎞⎠⎛⎝ 1 0 00 cos� sin�0 − sin� cos�

⎞⎠Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 41 / 84

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El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.

R−1AR =

(cos� − sin�sin� cos�

)(a11 a12a12 a22

)(cos� sin�− sin� cos�

)=(

a11 cos2 �− a12 sin 2� + a22 sin2 � a12 cos 2�−(1

2a22 − 12a11

)sin 2�

a12 cos 2�−(1

2a22 − 12a11

)sin 2� a11 cos2 �− a12 sin 2� + a22 sin2 �

)

lo que nos lleva a la condición : tan(2�) =2a12

a22 − a11

Ejemplo

A =

(1 11 1

)⇒ tan(2�) = 2

0 ⇒ � = �4 ⇒ R−1AR =

(0 00 2

)Por tanto los autovalores y autovectores de A son :

�1 = 0⇒ x = R(

10

)=

( √2/2

−√

2/2

)�2 = 2⇒ x = R

(01

)=

( √2/2√2/2

)Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 42 / 84

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Ejemplo⎛⎝ cos� 0 − sin�0 1 0

sin� 0 cos�

⎞⎠⎛⎝ 1 −1 2−1 2 −12 −1 5

⎞⎠⎛⎝ cos� 0 sin�0 1 0

− sin� 0 cos�

⎞⎠tan(2�) =

2a13

a33 − a11=

44

= 1 → � =�

8

⎛⎝ cos �8 0 − sin �

80 1 0

sin �8 0 cos �

8

⎞⎠⎛⎝ 1 −1 2−1 2 −12 −1 5

⎞⎠⎛⎝ cos �8 0 sin �

80 1 0

− sin �8 0 cos �

8

⎞⎠ =

⎛⎝ 0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30

0,0 −1.30 5,82

⎞⎠


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Iteración 2 :⎛⎝ 1 0 00 cos� − sin�0 sin� cos�

⎞⎠⎛⎝ 0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30

0,0 −1.30 5,82

⎞⎠⎛⎝ 1 0 00 cos� sin�0 − sin� cos�

⎞⎠tan(2�) =

2a32

a33 − a22=

2 ⋅ (−1,30)

5,82− 2,0= −0,68 → � =

arctan(−0,68)

2= −0,3

⎛⎝ 1 0 00 cos� − sin�0 sin� cos�

⎞⎠⎛⎝ 0,17 −0,54 0−0,54 2,0 −1,30

0,0 −1.30 5,82

⎞⎠⎛⎝ 1 0 00 cos� sin�0 − sin� cos�

⎞⎠ =

⎛⎝ 0,17 −0,51 0,15−0,51 1,59 00,15 0 6,23

⎞⎠


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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores.

PARA n = 1, ..,Nmax HACERp = 2q = 1R = ABS(A(p,q))PARA i = 3, ...,DIM HACER

PARA j = 1, ..., i − 1 HACERIF ABS(A(i , j)) > R HACER

R = ABS(A(i , j))p = jq = i

FIN IFFIN PARA j

FIN PARA iIF R < TOL HACER

PROCEDIMIENTO TERMINADO CORRECTAMENTE.LOS AUTOVALORES SE ENCUENTRAN EN LA DIAGONAL DE A.SALIR

FIN IFC = (A(q,q)− A(p,p))/(2 ∗ A(p,q))


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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores.

IF C < 0 HACERT = −C − SQRT (1.+ C ∗ C)

ELSET = −C + SQRT (1.+ C ∗ C)

FIN IFCO = 1./SQRT (1.+ T ∗ T )SI = CO ∗ TPARA j = 1, ...,DIM HACER

IF ( j ∕= p AND j ∕= q) HACERD = A(p, j)A(j ,p) = A(p, j) = CO ∗ D − SI ∗ A(q, j)A(j ,q) = A(q, j) = SI ∗ D + CO ∗ A(q, j)

FIN IFFIN PARA jA(p,p) = A(p,p)− T ∗ A(p,q)A(q,q) = A(q,q) + T ∗ A(p,q)A(p,q) = A(q,p) = 0

FIN PARA nPROCEDIMIENTO TERMINADO INCORRECTAMENTENÚMERO DE ITERACIONES MÁXIMO EXCEDIDOLuis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 46 / 84

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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores. Cálculo de losautovectores

R−1N ...R−1

2 R−11 AR1R2...RN

Si llamamos B = R1R2 ⋅ ...RN entonces si B−1AB es diagonal se tieneque los autovectores de A son :

x1 = B

⎛⎜⎜⎝10.0

⎞⎟⎟⎠ x2 = B

⎛⎜⎜⎝01.0

⎞⎟⎟⎠ .... xN = B

⎛⎜⎜⎝00.1

⎞⎟⎟⎠Es decir, los autovectores de A son los vectores columna de B


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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo del Método de Jacobi para el Cálculo de autovalores. Cálculo de losautovectores

En el algoritmo inicializamos B como la matriz identidad. En cada it-eración actualizamo B multiplicándola por la derecha por una matriz derotación⎛⎜⎜⎝

b1,1 b1,2 b1,3 b1,4b2,1 b2,2 b2,3 b2,4b3,1 b3,2 b3,3 b3,4b4,1 b4,2 b4,3 b4,4

⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝

1 0 0 00 cos� 0 sin�0 0 1 00 − sin� 0 cos�

⎞⎟⎟⎠ → p

→ q

Si llamamos B′ a la actualización de B, los únicos términos que hayque actualizar corresponden a :

b′ip = cos(�)bip − sin(�)biq i = 1, ..,N

b′iq = sin(�)bip + cos(�)biq i = 1, ..,N


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Análisis Numérico Matricial IIPráctica 6. Método de Jacobi para el cálculo de autovalores y autovectores (6 horas)

Implementar en C las siguientes funciones

real an_error_vectores(const real *u,const real *v,const int N) Devuelve la diferenciaentre los vectores U y V, de dimensión N, utilizando la fórmula :

ERROR_VECTORES =1N

N∑i=1

ABS(U(i)− V (i))

ABS(U(i)) + �

int an_jacobi(const real **A,real **Autovectores, real *Autovalores, const int N,constreal TOL,const int Niter): Realiza el cálculo de los autovalores y autovectores de unamatriz simétrica A por el método de Jacobi. Autovectores es una matriz donde seguardan los autovectores por columnas. La función devuelve 0 si termina bien y −1en caso contrario.real an_error_autovectores(const real **A, const real **Autovectores, const real*Autovalores, const int N) : Para comprobar que los autovalores �i y su autovectoresxi están bien estimados, comparar para cada autovalor �i , utilizando la funciónan_error_vectores(), para los vectores Axi y �i xi . Devolver la expresión

ERROR_AUTOVECTORES =

m«axi=1,N

ERROR_VECTORES(Axi , �xi)Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 50 / 84

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Análisis Numérico Matricial IIPráctica 6. Método de Jacobi para el cálculo de autovalores y autovectores (6 horas)

Comprobar los resultados obtenidos con los siguientes ejemplos,tomando TOL = 0,0001 y Niter = 1000:

A =

⎛⎝ 2 2 −22 1 1−2 1 1

⎞⎠ A =

⎛⎝ 2 −1 0−1 2 −10 −1 2

⎞⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 1 6 0 0 01 0 2 7 0 06 2 0 3 8 00 7 3 0 4 90 0 8 4 0 50 0 0 9 5 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Las matrices de dimensión

10 y 100 de la páginaweb de la asignatura


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4 Método de la potencia para calcular el autovalor máximoMétodo de la potencia para calcular el autovalor máximoMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor mínimoMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor máscercano a un númeroAlgoritmo general para calcular los autovectores de una matrizcualquiera


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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia para calcular el autovalor máximo

Consideremos la matriz(

1 01 3

)�max = 3, xmax =

(01

)vamos a hacer iteraciones del esquema

un =Aun−1

∥ un−1 ∥∞partiendo de u0 =

(11

)

u1 = Au0

∥u0∥∞=

(14

)∥ u1 ∥∞= 4

u2 = Au1

∥u1∥∞=

(1/413/4

)∥ u2 ∥∞= 13

4 = 3,25

u3 = Au2

∥u2∥∞=

(1/1340/13

)∥ u3 ∥∞= 40

13 = 3,07

∥ u1 ∥∞= 4 ∥ u2 ∥∞= 3,25 ∥ u3 ∥∞= 3,07 → 3

u1

∥u1∥∞=

(1/41

)u2

∥u2∥∞=

(1/13

1

)u3

∥u3∥∞=

(1/40

1

)→

(01


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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia para calcular el autovalor mayor

Si cambiamos el signo a la matriz(−1 0−1 −3

)�max = −3, xmax =

(01

)vamos a hacer iteraciones del esquema

un =Aun−1


(11

)

u1 = Au0

∥u0∥∞=

(−1−4

)∥ u1 ∥∞= 4

u2 = Au1

∥u1∥∞=

(1/413/4

)∥ u2 ∥∞= 13

4 = 3,25

u3 = Au2

∥u2∥∞=

(−1/13−40/13

)∥ u3 ∥∞= 40

13 = 3,07

∥ u1 ∥∞= 4 ∥ u2 ∥∞= 3,25 ∥ u3 ∥∞= 3,07 → 3

u1

∥u1∥∞=

(−1/4−1

)u2

∥u2∥∞=

(1/13

1

)u3

∥u3∥∞=

(−1/40−1

)→

(0±1


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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia para calcular el autovalor mayor

TeoremaSea una matriz A que posee una base de autovectores tal que enmódulo su autovalor máximo �max es único. Sea un vector u1 noortogonal al subespacio engendrado por los autovectores delautovalor �max , entonces, si definimos la secuencia

un = Aun−1

∥ un−1 ∥

se verifica que

Limn→∞sign((

un,un−1))∥ un ∥= �max

Limn→∞

(sign

((un,un−1

)))n un

∥ un ∥es un autovector de �max


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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor menor

El método de la potencia inversa se basa en que si

Ax = �x → A−1x =1�

x

y por tanto

El autovalor máximo de A−1 =1

min{�i}

Para realizar las iteraciones del método de la potencia inversa, a ve-ces, en lugar de calcular A−1 se resuelve en cada etapa un sistema deecuaciones teniendo en cuenta que

un =A−1un−1

∥ un−1 ∥⇐⇒ Aun =

un−1

∥ un−1 ∥


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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor menor

Consideremos la matriz(

2 11 5

)�min = 1,70, xmin =

(1,0−0,30

)vamos a hacer iteraciones del método de la potencia cambiando A por A−1

un =A−1un−1


(11

)

u1 = A−1u0

∥u0∥∞=

(0,440,11

)∥ u1 ∥∞= 0,44

u2 = A−1u1

∥u1∥∞=

(0,52−0,055

)∥ u2 ∥∞= 0,52

u3 = A−1u2

∥u2∥∞=

(0,57−0,134

)∥ u3 ∥∞= 0,57

∥ u1 ∥∞= 0,44 ∥ u2 ∥∞= 0,52 ∥ u3 ∥∞= 0,57 → �min = 10,57 = 1,75

u1

∥u1∥∞=

(1,0

0,25

)u2

∥u2∥∞=

(1,0−0,1

)u3

∥u3∥∞=

(1,0−0,23

)→ xmin =

(1,0−0,30


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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor más cercano a un número

El método de la potencia directa e inversa nos permite calcular el autovalor másgrande y más pequeño de una matriz. Ahora bien para calcular los autovaloresque se encuentren entre �min y �max necesitamos información adicional comopuede ser tener una aproximación del autovalor buscado. Por ejemplo si � esuna aproximación del autovalor � de tal forma que � se encuentre más cercanoa � que a cualquier otro autovalor, podemos construir la matriz A′ = A − �I. Sillamamos �′min al autovalor más pequeño de A′, se cumple que

A′x = (A− �I)x = �′minx

de donde despejandoAx = (�′min + �)x

y por tanto �′min + � es el autovalor de A más cercano a �.


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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de la potencia inversa para calcular el autovalor más cercano a un número

Consideremos la matriz A =

⎛⎝ 5 0 01 1 01 1 2

⎞⎠, el autovalor más cercano a 3 �prox = 2,

xprox = (0,0,1)T .Vamos a hacer iteraciones del método de la potencia inversa con B =

A− 3Id partiendo de u0 = (1,1,1)T

u1 = B−1u0

∥u0∥∞= (0.5,−0.25,−0.75)T ∥ u1 ∥∞= 0.75

u2 = A−1u1

∥u1∥∞= (0.33,0.33,1.66)T ∥ u2 ∥∞= 1,66

u3 = A−1u2

∥u2∥∞= (0.1,−0.05,−0.95)T ∥ u3 ∥∞= 0,95

Como los autovectores van cambiando de signo en cada iteración tenemos :

xprox = (0.1,−0.05,−0.95)T y (A− 3Id)xprox = − 10.95

xprox = −1.05xprox

de donde despejando obtenemos: Axprox = (3− 1.05)xprox = 1.95xprox


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Análisis Numérico Matricial IIAlgoritmo general para calcular los autovectores de una matriz cualquiera

1 Paso 1: Se calcula el polinomio característico ∣A− �I∣ = 0.

2 Paso 2: Se calculan las raíces {�i} del polinomio característico

3 Paso 3 : Utilizando el método de la potencia inversa se calcula losautovectores más pequeños de las matrices A− �i I

La principal limitación del algoritmo anterior es que calcular el polinomiocaracterístico tiene una complejidad factorial, y por tanto el método essólo aplicable para matrices de dimensión pequeña (para dimensiónmayor que 12 el algoritmo se vuelve muy lento)


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Análisis Numérico Matricial IIMétodo para calcular el polinomio característico

Dada una matriz A de dimensión N se calcula ∥A∥1, como todos los autovalores deA cumplen que ∣�i ∣ ≤ ∥A∥1 , ello significa que todos los autovalores estan en el in-tervalo [−∥A∥1 , ∥A∥1]. Elegimos a continuación N + 1 valores xi equidistribuidos en[−∥A∥1 , ∥A∥1] y para cada uno de esos valores tenemos que

∣A− xi I∣ = aNxNi + aN−1xN−1

i + ......+ a0

donde {aN ,aN−1, .....,a0} representan los coeficientes del polinomio característico busca-do. Observese que para xi la relación de arriba es una ecuación lineal en los coeficientesdel polinomio y por tanto dichos coeficientes se pueden encontrar resolviendo el sistema: ⎛⎜⎜⎝

xN0 xN−1

0 . 1xN

1 xN−11 . 1

. . . .

xNN xN−1

N . 1

⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝

aNaN−1.

a0

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝∣A− x0I∣∣A− x1I∣

.∣A− xN I∣

⎞⎟⎟⎠


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5 Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuacionesMétodo de JacobiMétodo de Gauss-SeidelMétodo de relajación


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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi

Consideremos el sistema de ecuaciones :⎛⎝ 2 −1 0−1 2 −10 −1 2

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 101

⎞⎠ →

⎧⎨⎩2x − y = 1x + 2y − z = 0−y + 2z = 1

despejando los elementos de la diagonal podemos escribir las anteri-ores relaciones como una ecuación de punto fijo:⎧⎨⎩

x = 1+y2

y = x+z2

z = 1+y2

→

⎧⎨⎩xn =

1+yn−12

yn =xn−1+zn−1

2

zn =1+yn−1

2

partiendo de u0 = (x0, y0, z0)T = (0,0,0)T las iteraciones serían:


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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Jacobi⎧⎨⎩

xn =1+yn−1

2

yn =xn−1+zn−1

2

zn =1+yn−1

2

→

⎧⎨⎩x1 = 1+0

2 = 12

y1 = 0+02 = 0

z1 = 1+02 = 1

2

→

⎧⎨⎩x2 = 1+0

2 = 12

y2 = 1/2+1/22 = 1

2

z2 = 1+02 = 1

2

⎧⎨⎩x3 = 1+1/2

2 = 34

y3 = 1/2+1/22 =1

2

z3 = 1+1/22 = 3

4

→

⎧⎨⎩x4 = 1+1/2

2 = 34

y4 = 3/4+3/42 = 3

4

z4 = 1+1/22 = 3

4


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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Jacobi

Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :

A =

⎛⎝ 0 0 0−1 0 00 −1 0

⎞⎠L

+

⎛⎝ 2 0 00 2 00 0 2

⎞⎠D

+

⎛⎝ 0 −1 00 0 −10 0 0

⎞⎠U

de esta manera el método de Jacobi puede interpretarse como :

Au = b → Dun = (−L− U)un−1 + b

despejando un obtenemos

un = D−1(−L− U)MJ

un−1 + D−1bcJ

→ un = Mjun−1 + cJ


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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Convergencia del método

Veamos como evolucionan las iteraciones del esquema un = Mun−1 + c

u1 = Mu0 + c

u2 = Mu1 + c = M2u0 + Mc + c

u3 = Mu2 + c = M3u0 + M2c + Mc + c..un = Mun−1 + c = Mnu0 + Mn−1c + ....+ Mc + c

la condición de convergencia es que para alguna norma se verifique que

∥M∥ < 1 ⇔ �(M) < 1


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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Convergencia del método

TeoremaSi una matriz A verifica que

∣aii ∣ >∑j ∕=i

∣aij ∣ ∀i . ó ∣ajj ∣ >∑i ∕=j

∣aij ∣ ∀j .

entonces el método de Jacobi asociado al sistema Au = b converge.

Demostración: En primer lugar, observamos que la matriz MJ puede expresarse como:

MJ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 −a12

a11−a13

a11. −a1N

a11

−a21a22

0 −a23a22

. −a2Na22

. . . . .

− aN−1,1aN−1,N−1

− aN−1,2aN−1,N−1

. 0 − aN−1,NaN−1,N−1

− aN,1aN,N

− aN,2aN,N

. −aN,N−1aN,N

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Por tanto ∥ MJ ∥1= maxj

(∑i

∣aij ∣∣aii ∣

)< 1 o ∥ MJ ∥∞= maxi

⎛⎝∑j

∣aij

∣ajj ∣

⎞⎠ < 1


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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Gauss-Seidel

En el método de Gauss Seidel actualizamos las componentes del vectorsolución al mismo tiempo que se va calculando :⎧⎨⎩

xn =1+yn−1

2

yn =xn+zn−1

2

zn = 1+yn2

→

⎧⎨⎩x1 = 1+0

2 = 12

y1 = 1/2+02 = 1

4

z1 = 1+1/22 = 5

8

→

⎧⎨⎩x2 = 1+1/4

2 = 58

y2 = 5/8+5/82 = 5

8

z2 = 1+5/82 = 13

16

⎧⎨⎩x3 = 1+5/8

2 = 1316

y3 = 13/16+13/162 = 13

16

z3 = 1+13/162 = 29

32

→

⎧⎨⎩x4 = 1+12/16

2 = 2932

y4 = 3/4+3/42 = 29

32

z4 = 1+29/322 = 61

64


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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método deGauss-Seidel

Podemos descomponer la matriz A del ejemplo anterior como :

A =

⎛⎝ 0 0 0−1 0 00 −1 0

⎞⎠L

+

⎛⎝ 2 0 00 2 00 0 2

⎞⎠D

+

⎛⎝ 0 −1 00 0 −10 0 0

⎞⎠U

de esta manera el método de Gauss-Seidel puede interpretarse como :

Au = b → (D + L)un = (−U)un−1 + b


un = (L + D)−1(−U)MGS

un−1 + (D + L)−1bcGS

→ un = MGSun−1 + cGS


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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. Método de Relajación

En el método de relajación se combina la solución propuesta porGauss-Seidel con la solución en la etapa anterior a través del parámetro derelajación w . Vamos a hacer iteraciones del esquema:⎧⎨⎩

xn = w 1+yn−12 + (1− w)xn−1

yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1

zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1

→ Si hacemos w = 1,17 obtenemos:

⎧⎨⎩x1 = 1,171+0

2 = 0,29

y1 = 1,170,29+02 = 0,17

z1 = 1,171+0,172 = 0,68

→

⎧⎨⎩x2 = 1,171+0,17

2 − 0,17 ⋅ 0,29= 0,63

y2 = 1,171+0,632 − 0,17 ⋅ 0,17 = 0,92

z2 = 1,171+0,922 − 0,17 ⋅ 0,68 = 1


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Análisis Numérico Matricial IIMétodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones. El método de Relajación

El método de relajación hace iteraciones del esquema :

⎧⎨⎩xn = w 1+yn−1

2 + (1− w)xn−1

yn = w xn+zn−12 + (1− w)yn−1

zn = w 1+yn2 + (1− w)zn−1

En términos de las matrices L,D,U el método puede interpretarse como :

Au = b → (D + wL)un = (−wU + (1− w)D)un−1 + b


un = (D + wL)−1(−wU + (1− w)D)Mw

un−1 + (D + wL)−1bcw


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La elección del parámetro w es, en general, un problema difícil. Sin embargo,en el caso de matrices tridiagonales, es decir, matrices con todos loselementos nulos salvo la diagonal principal y sus codiagonales, el siguienteresultado muestra la forma de calcular el valor óptimo de w .

TeoremaSi A es una matriz tridiagonal y �(MJ) < 1, entonces el valor de w queoptimiza la velocidad de convergencia del método es:

wopt =2

1 +√

1− �(MJ)2

Como puede observarse de la expresión anterior, el valor de wopt seencuentra siempre entre 1 y 2.


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TeoremaSi en el método de relajación w /∈ (0,2), entonces �(Mw ) ≥ 1.

Demostración: En primer lugar, observamos que las matrices D + Lw y(1− w)D − wU son matrices triangulares y, por tanto, su determinante es elproducto de los elementos diagonales. Además, teniendo en cuenta que eldeterminante del producto de dos matrices es el producto de susdeterminantes y que el determinante de la matriz inversa es el inverso deldeterminante, obtenemos que

∣Mw ∣ = ∣ (D + wL)−1 ((1− w)D − wU)∣ =∣(1− w)D − wU∣∣(D + wL)∣

=(1− w)NΠiaii

Πiaii

Por lo tanto, como el determinante de una matriz es el producto de susautovalores, obtenemos que, si w /∈ (0,2), entonces ∣1− w ∣ ≥ 1 y, enconsecuencia, Mw posee al menos un autovalor de módulo mayor o igual queuno.


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Análisis Numérico Matricial IIPráctica 7. Implementar método de relajación (2 horas)

Implementar en Fortran 77 el método de relajación. Los parámetros de lafunción serán: la matriz A, el vector b, un vector u donde se almacenará lasolución, y que inicialmente será el vector aproximación inicial, que pordefecto se tomará 0, el parámetro de relajación w , el número máximo deiteraciones Nmax , y la tolerancia TOL para evaluar la diferencia entre un yun−1. La función devolverá el número de iteraciones necesarias para alcanzarla solución. Si el método no converge devuelve −1. Comparar la diferencia enla velocidad de convergencia entre el método de Gauss-Seidel y el Método derelajación. Probar el método para los sistemas

⎛⎝ 1 −1 0−1 2 00 −1 3

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ −131

⎞⎠ ⎛⎝ 2 −1 0−1 2 −10 −1 2

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 101

⎞⎠⎛⎝ 1 3 3

3 1 33 3 1

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 777

⎞⎠ Los sistemas ejemplosde 10, 100 y 500 dela página web


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Análisis Numérico Matricial IIMétodo de Newton-Raphson para sistemas no-lineales

Consideremos el siguiente sistema no lineal de ecuaciones:{x2 − y2 + 1 = 0

2xy = 0f (u) = f (x , y) =

(x2 − y2 + 1

2xy

)=

(00

)Utilizamos el desarrollo de Taylor en varias variable

f (u) = f (u0) +∇f (u0)(u − u0) + .... ∇f (u) =

(2x −2y2y 2x

)Igualando a 0 el desarrollo de Taylor y tomamos u0 = (1,1) obtenemos

f (u0) +∇f (u0)(u − u0) = 0 →(

12

)+

(2 −22 2

)(x1 − x0y1 − y0

)= 0

Resolvemos el sistema asociado y obtenemos u1 = (1/4,3/4).


métodos numéricos grado en informática tema 6: …lalvarez/teaching/mn/2010... · método de...

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