métrique de schwarzschild

Géométrie de Schwarzschild

Un article de Quantic.

La géométrie de Schwarzschild est définie par sa métrique. Pour l'obtenir, on peutrésoudre les équations d'Einstein Schwarzschild, K,On the Gravitational Field of aMass Point according to Einstein’s Theory, Sitzungsberichte der KöniglichPreussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Phys.-Tex.Klasse 1916,189-196 (http://arxiv.org/abs/physics/9905030) mais on peut aussi partird'hypothèses simples comme celle de l'invariant de volume d'espace-tempsd'Einstein (Einstein, A, Balibar, F, Oeuvres choisies, Relativités I et II, Seuil / CNRS,1999), qui s'interprète à partir de la relativité restreinte où dilatation du temps etcontraction de la longueur sont inverses l'une de l'autre.

L’équation générale de la métrique est exprimée sous forme diagonale car on peuttoujours e!ectuer une rotation pour diagonaliser la matrice représentative de lamétrique dans ses axes principaux :

Sommaire

1 Hypothèses

1.1 Symétrie sphérique

1.2 Métrique statique

1.3 Métrique de Minkowski à l’infini

1.4 Principe de correspondance

1.5 Equation du déterminant

2 Expression de la métrique de Schwarzschild

Hypothèses

Nous allons donc utiliser ces principes pour déterminer les coe"cients de lamétrique de Schwarzschild (Bernard Schae!er, Relativités et quanta clarifiés,Publibook, 2007).

Symétrie sphérique

L’espace est supposé homogène et isotrope, la solution doit être invariante dansune rotation. La rotation sur une sphère s'exprime, en fonction de la colatitude etde la longitude sous la forme :

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Le rayon de la sphère ne variant pas, on peut multiplier par , ce qui donne lamétrique

Les coe"cients de la métrique et ne sont pas modifiés dans une rotationsur la sphère de rayon r.

Métrique statique

Les coe"cients et de la métrique doivent être indépendants du temps,c’est-à-dire que leurs dérivées partielles par rapport au temps doivent être nulles.Ils ne dépendent donc que de la distance r à l’astre :

Il n’y a donc pas d’ondes de gravitation dans ce modèle. La transmission dese!orts y est instantanée selon la loi de l’action et de la réaction.

Métrique de Minkowski à l’infini

La métrique de Minkowski s’écrit en coordonnées sphériques :

On doit la retrouver à grande distance de la source de gravitation, c’est-à-dire à

l’infini où on doit avoir

Principe de correspondance

On doit retrouver la loi de l’attraction universelle de Newton lorsque vitesse etgravitation sont faibles. Cette condition va nous donner grâce à une orbitecirculaire dans un plan équatorial où # = 0 donc aussi d# = 0. Le rayon étantconstant, dr = 0 le coe"cient n’intervient pas. On obtient une métriquesimplifiée, où n’apparaît pas

Sur la géodésique, le lagrangien formé à partir de la métrique est unitaire

où et sont les dérivées du temps-coordonnée t et de l’angle de rotation parrapport à l’intervalle d’espace-temps s. Le chemin extrémal dans l'espace-tempss'obtient en résolvant l’équation de Lagrange en r :


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La vitesse (en fait la dérivée de r par rapport à l'intervalle d'espace-temps s)n'apparaissant pas dans l'équation de Lagrange, le lagrangien se réduit à

E!ectuons la dérivation, puis L = 1 et :

Après simplification on obtient l’équation :

Pour trouver la métrique, on doit identifier cette équation avec son homologuenewtonienne en exprimant l’égalité des accélérations de gravitation et centripète :

On obtient, en identifiant les deux relations précédentes :

Cette équation di!érentielle s’intègre en

où K est une constante d’intégration. On doit avoir à l’infini pour retrouver

la métrique de Minkowski, d’où K = 1. Le coe"cient de est donc :

Equation du déterminant

En relativité restreinte, la dilatation du temps est exactement l'inverse de lacontraction de la longueur. On retrouve cette propriété en relativité générale enrésolvant les équations d'Einstein d'une métrique statique. C'est la conservation duvolume d'espace-temps d'Einstein où le déterminant de la métrique doit être égal àun. L’espace-temps se déforme sans changement de volume, la quatrièmedimension étant la dimension spatiale représentée par le nombre imaginaire ict.Cette condition évite aussi que le déterminant ne devienne infini si ou le

devient. Cette « symétrie » donne le second coe"cient de la métrique :


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Expression de la métrique de Schwarzschild

On a donc satisfait aux conditions fixées, ce qui permet d’écrire la métrique defaçon complète et compatible avec les lois de la gravitation newtonienne :

On trouve aussi l’écriture suivante

où la vitesse de la lumière est c = 1 et où l’intervalle de temps propre remplacel’élément de longueur ds. Parfois la lettre s est utilisée à la place de dans larelation précédente $ù ds est un intervalle de temps et non un intervalle d’espace.Ces unités réduites ne permettent pas de faire des vérifications grâce auxéquations aux dimensions ; il est préférable d’utiliser le système international SI.

Nous avons obtenu la métrique de Schwarzschild par diverses considérations desymétrie et par la nécessité d’être en accord avec la loi de la gravitation de Newtonpour les mouvements circulaire et radial. La déviation de la lumière par le Soleil etla précession du périhélie de Mercure se produisent dans de faibles champs degravitation mais ne sont pas prévisibles par la mécanique newtonienne car latrajectoire du photon dévié par le Soleil comme celle de Mercure n'est ni rectiligneni circulaire. Einstein avait obtenu ces résultats avant l'apparition de la métrique deSchwarzschild grâce à des approximations judicieuses. La métrique deSchwarzschild, solution exacte des équations d'Einstein, remplace donc la loi de lagravitation de Newton pour expliquer ces deux phénomènes.

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