MARTIN GARDNER

CARNEVALE MATEMATICO

POST SCRIPTUM E

NUOVA BIBLIOGRAFIA

Questo post scriptum apparso nelledizione riveduta di Mathematical Carnival pubblicata nel 1989 da The Mathematical Association of America, Washington. Ledizione originale del libro era stata pubblicata nel 1975 da Alfred Knopf, Inc., New York. Ledizione italiana del libro Carnevale matematico pubblicata nel 1977 da Zanichelli, Bologna la traduzione delledizione del 1975. Questo post scriptum inedito in Italia ed stato curato da: Marzolino

Post scriptum

Capitolo 2

Giochi con le monete L unico riferimento stampato sul solitario isometrico che ho potuto trovare, di data precedente al mio articolo su Scientific American del febbraio 1966, un saggio del 1930 dal titolo Puzzle Craft, a cura di Lynn Rohrbough e pubblicato da Cooperative Recreation Service, Delaware, Ohio. Esso descrive una tavola triangolare con 15 fori con il foro iniziale al posto 13 e una soluzione in 11 mosse. Tuttavia, Jerry Slocum, coautore di Puzzles Old and New (1986), un libro di giochi meccanici, in posse sso di una copia di un bre vetto americano per una tavola triangolare del 1891, e lidea probabilmente ancora pi vecchia. Diversi articoli sono stati pubblicati sulle procedure di colorazione (vedi la Bi-bliografia del capitolo 2), o controlli di parit, come vengono spesso chiamati, che provano che alcuni compiti sono impossibili nel solitario, ma non vi ancora una teoria ch e divida tutte le attivit in possibili e i mpossibili. Il g ioco del triangolo del 15 (il triangolo con una base di 5 fori e 15 fori in totale [N.d.T.]) diventato popolare, sotto forma di tavole di legno e p ioli, sui tavoli di molte catene di ristoranti in tutto il paese, e varie forme del solitario isometrico sono state commercializzate in tutto il mondo. Una versione recente chiamata Think a Jump venduta con una tavola esa-gonale con quattro fori per lato, ma senza le linee salto fra i d ue fori centrali su ciascun lato. Un controllo di parit mostra che i mpossibile risolvere il gioco partendo dal foro al centro e da altri 12 punti. Esclusi questi 13 fori, tutti gli altri punti sono risolvibili, ovvero si poss ono rimuovere tutti i pioli meno uno. Nel libro Puzzles Old and New viene data una nuova versione (con soluzione) del gioco del triangolo del 15, con due fori supplementari adiacenti a ciascuno degli angoli. I giochi del tipo del Solitario possono, ovviamente, essere riprodotti su modelli isometrici di forma arbitraria come esagoni, rombi, stelle e cos via , e ci si pu anche spingere alla scala tridimensionale e giocare s u campi solidi com e i

tetraedri. L esagono regolare di lato 3 un campo promettente da analizzare, ma come ha dimostrato Michael Merchant nel 1976 (comunicazione privata), questo modello i rrisolvibile da ogni foro. Il pi piccolo esagono regolare in cui possibile terminare con un piolo nel foro iniziale la tavola di lato 5 a 61 buche. In effetti, per questa tavola ci sono soluzioni da n a n per ogni n. Il gioco pu essere variato cambiando le regole. Maxey Brooke, nel suo libro sui giochi con le monete, analizza il triangol o del 15 con la condizione aggiuntiva che non siano ammessi salti orizzontali tranne lungo la linea di base. (D una soluzione 12 mosse). Mosse di scorrimento, come nella dama, possono essere consentite in aggiunta ai salti, e si p ossono cercare le so luzioni col minimo numero di mosse. Un articolo su Crux Mathematicorum (Vol. 4, 1978, pagine 212-216) analizza il triangolo del 15 qua ndo sono consentiti salti da ogni foro dangolo al foro centrale sul lato opposto. Molto lavoro stato fatto sui triangoli di basso o rdine, seguendo le regole tradizionali, per d eterminare se so no possibili soluzioni quando vengono specificati entrambi i fori: lin iziale e il fin ale. Come abbiamo visto, lunica soluzione possibile sul triangolo del 10 si h a iniziando con il fo ro in uno dei punti simmetricamente equivalenti: 2, 3, 4, 6, 8, 9, e terminando con il piolo in un foro laterale adiacente. Il triangolo del 15 ha solo quattro punti che sono simmetricamente differenti, ad esempio 1, 2, 4, e 5. possibile ridurre i pioli ad uno, partendo con qualunque foro sul bordo, ma quando sono specificati sia il p unto di in izio che quello di termine, sorgono delle difficolt, alcune ancora irrisolte. Gli Hentzels, nel loro articolo Triangular Puzzle Peg (1985-1986) mostrano che se il piolo finale su un punto interno (5, 8, o 9), il foro iniziale deve essere al centro di un lato. quindi impossibile terminare con il piolo in corrispondenza del foro iniziale se il foro in una delle tre posizioni interne. invece possibile iniziare e terminare nello stesso punto da ogni foro posto allesterno: langolo i l pi difficile da risolvere. Ho dato una soluzione in nove mosse, il minimo, con il punto di inizio e fine su un foro esterno centrale. Dieci mosse sono necessarie per andare da un foro posto in un a ngolo terminando con un piolo sullo stesso punto. Ecco u na soluzione: 6-1, 4-6, 1-4, 7-2, 10-3, 13-4, 15-13, 12-14-15, 2-7, 11-4-6-1. Se cambiate la prima mossa con 3-10, avete una soluzione in 10 mosse (il minimo), quando i primi e gli ultimi punti sono adiacenti ad un angolo. Lanalisi pi completa, che sia stata sta mpata, delle possibili soluzioni, quando vengono specificati i p unti di inizio e d i fine, lartico lo del 1983-1984 di Benjamin Schwartz e Hayo Ahlburg, Triangular Peg Solitaire A New Result Molte coppie di punti, come ad esempio dal 4 al 6, son o eliminati facilmente dai controlli di parit con i colori. Gli autori dimostrano che il caso da 5 a 5

impossibile. I casi da 5 a 1 e da 5 a 7 (e i loro equivalenti simmetrici) restano irrisolti, e sono probabilmente impossibili. Nel 1984 ho cenato in un ristorante dove cera una tavola di triangolo del 15, realizzata da Venture Manufacturing Company, Dalton, Georgia, che chiedeva di risolvere un problema esasperante, c he non avevo mai visto prima. Chiedeva come fare, iniziando da un punto a piacere , a lasciare esattamente otto pioli sulla tavola senza che rimangano pi salti possibili. facile lasciare 10 pioli : 14-5, 2-9, 12-5, 9-2 ( la situazione di stallo pi breve). Se n il numero di pioli lasciati in una situazione di stallo, ci sono soluzioni per tutti i valori da 1 a 10, tranne 9. Lasciare esattamente otto pioli un compito difficile, con una soluzione che lascer come problema per il let tore. Benjamin Schwartz ha dimostrato che la soluzione unica in un a rticolo che sar pubblicato su The Journal of Recrea-tional Mathematics. Il triangolo del 21 ha cinque punti di partenza non equivalenti. Si pu risolvere partendo da qualsiasi foro iniziale. Harry Davis ha dimostrato, in una ricerca inedita, che la soluzione pi breve di nove mosse. quella che comincia con il foro al posto 13, e si conclude dopo nove salti: 6-13, 7-9, 16-7, 4-11, 10-8, 21-10, 18-9, 20-18-16-7, 1-4-11-13-15-6-4-13-6-1. Tutte le soluzioni dagli altri fori di partenza hanno come minimo 10 mosse. Non conosco alcun lavoro pubblicato su quali coppie di punti di inizio e di fine, non escluse a priori da controlli di parit, abbiano o no soluzioni. Poco lavoro stato fatto sul triangol o del 28, a parte lapplicazione dei controlli di parit. Non possibile iniziare e term inare sul foro cen trale. Infatti, si pu dimostrare che le soluzioni da centro a centro sono impossibili su un triangolo di qualsiasi dimensione che ha un foro centrale. Harry Davis, in collaborazione con Wade Philpott, ha dimostrato che il triangolo del 36 ha una soluzione da qualsiasi foro di parte nza, e che le soluzioni a 14 mosse sono minime. Ecco una delle soluzioni a 14 mosse di Davis con il foro iniziale al p unto 13: 6-13, 1-6, 10-3, 21-10, 36-21, 4-1-6-15-28, 19-10, 11-4-6-15, 22-11, 31-16-7-9, 32-19-8-10-21-19, 24-11-13-24, 34-36-21-34-32, 29-31-18-20-33-31. La pi grande mangiata di pioli possibile nel gioco del triangolo del 36 di 15 salti. Pu essere realizzata, come Davis ha dimostrato, con questa soluzione in 17 mosse con il foro iniziale e finale nel punto 1: 4-1, 13-4, 24-13, 20-18, 34-19, 32-34, 18-20, 30-32-19-8, 7-2, 16-7, 29-16, 15-26, 35-33-20, 6-15, 21-10, 36-21, 1-4-11-22-24-11-13-4-6-13-15-26-28-15-6-1. Diversi lettori hanno sottolineato che, nella sperimentazione con i p roblemi di rotolamento di monete, i quartini e i dime sono preferibili ai penny perch i loro bordi zigrinati impediscono lo slittamento. Ecco una variante interessante da es-plorare. Che tipo di teorema emerge nel calcolo del numero di rotazioni di una

moneta quando compie un giro appoggiata intorno una catena chiusa di monete, permettendo che ogni moneta sia di dimensione arbitraria? I lettori Jonathan T. Y. Yeh ed Eric Drew hanno notato, indipendentemente, che tutte e sei le soluzioni del problema del piantare alberi per 10 punti, visto nel capitolo sui penny, possono essere generati da un modello di base e una linea in movimento. La fi gura 116 mostra come una linea orizzontale in movimento genera cinque modelli. Il sesto o ttenuto inclinando la lin ea, come mostrato dalla linea tratteggiata nella seconda configurazione.

Fig. 116. Come una linea in movimento genera le sei soluzioni del problema a 10 punti del piantare alberi .

Capitolo 3

Alef zero e alef uno Nel capitolo 3 Alef zero e alef uno sui numeri transfiniti di Cantor, ho riassun-to le argomentazioni di Schlegel, riguardo una contraddizione nella teoria dello stato stazionario, senza cercare di valutarne la fo ndatezza. Molti lettori hanno trovato il suo ragionamento erroneo, specialmente lassunzione che dopo una infinit numerabile di raddoppiamenti del numero di atomi, luniverso dovrebbe contenere una infinit non numerabile di atomi. Per approfondimenti su questa obiezione, leggete il libro di Rudy Rucker Infinity and the Mind (1982), pagg. 241-242.

Capitolo 4

Ipercubi Uno dei due problemi sugli ipercubi, che avevo lasciato aperti nel capitolo 4, stato risolto. Peter Turney, nel suo lavoro del 1984 Unfolding the Tesseract, ha usato la teoria dei grafi per mostrare che esistono 261 differenti dispiegamenti. Il suo metodo si estende c on facilit agli ip ercubi di qualunque dimensione. Al momento, che io sappia, nulla stato pubblicato in merito al pi grande cubo che pu essere tracciato allinterno di un ipercubo a quattro dimensioni. Sebbene continui a ricevere risposte, non ne ho ancora trovate due uguali.

Capitolo 5

Stelle magiche e poliedri I piani proiettivi sono saliti agli onori della cronaca allinizio del 1989, quando Clement Lam di Montreal ha dimostrato con un lungo calcolo che non vi alcun piano proiettivo con 11 punti allineati. Questa stata la grand e novit nella sistemazione di punti. Ma oltre a ci , dopo che il mio articolo sulle stelle magiche appars o in Scientific Am ericano, ben poco di interessante stato pubblicato sulle stelle magiche con pi di otto punti. Per quanto riguarda il pentagramma, possiamo chiedere la pi piccola somma magica che pu essere realizzata con numeri primi distinti. Se 1 considerato un numero primo, Harry Langman ha affe rmato in Play Mathematics (1962) che 72 l a pi piccola somma, ma non ha dato alcuna soluzione. Charles Trigg, in Crux Mathema-ticorum (Vol. 3, 19 77, pagine 16-19), ha d imostrato che esistono solo le due soluzioni di base illu strate nella Fig. 117. Come Trigg ha mostrato a pag ina 5 dello stesso volume, ogni pentagramma magico pu essere permutato in 12 modi, senza perdere la sua propriet magica.

Fig. 117.

Harry Nelson (stesso volume, pag 67) ha riferito sulla sua ricerca esaus tiva al computer che ha trovato, se 1 non considerato come numero primo, un unico insieme di 10 numeri primi che risolvono il problema con la somma magica 84. Una delle 12 varianti mostrata in Fig. 118.

Fig. 118. Gakuho Abe, un esperto di quadrati magici di Akita, in Giappone, ha pubblicato un notevole esagramma di numeri primi nel Journal of Recreational Mathe-matics, (Vol. 16, N.2, 1983, pagina 84). Mostrato in Fig. 119, utilizza i dodici numeri primi consecutivi a partire da 137 fino a 193, con la somma magica di 660. La prima prova, e forse la prim a prova in assol uto, che lesagramma ha 80 modelli di base con i numeri interi da 1 a 12 , mi stato inviato da Von J. Christian Thiel, della Germania Ovest. La sua prova stata p ubblicata con il titolo ber magische zahlensterne o, in inglese, On Magic Number Stars sul periodico tedesco Archimedes, vol. 15, settembre 1963, pagine 65-72.

Fig. 119.

Capitolo 11

La trapunta della signora Perkins Molti lettori hanno sollevato la seguente questione, riguardo alla trapunta della signora Perkins: per quali valori di k si pu dividere un quadrato, un cubo o un ipercubo di ordine n in k parti simili alloriginale, nellipotesi che non tutte le parti siano differenti? Se tutte le parti devono essere differenti, solo il quadrato pu essere tagliato. Ho menzionato il fatto che un quadrato pu essere tagliato in 24 quadrati differenti, ma questo non il numero minimo di pezzi. Il pi piccolo numero trovato 21, ed stato dimostrato che il minimo. Potete trovare un disegno e unanalisi della soluzione sul numero di giugno 1978 di Scientific American alle pagine 86-87. Non possibile tagliare un cubo, o un ipercubo a n dimensioni, in loro repliche tutte differenti. La dimostrazione dellimpossibilit per il cu bo (che pu essere facilmente estesa agli iperc ubi di ordine n) veramente elegante; la potete trovare a pag. 208 del mio The Second Scientific American Book of Mathema-tical Puzzles and Diversions (Simon & Scuster, 1961) in italiano a pag. 170 di Enigmi e giochi matematici vol.2 (Sansoni, 1973). Permettendo che alcuni ritagli siano uguali, non si pu dividere un quadrato in 2, 3 o 5 pezzi, ma ci possi bile per ogni altro val ore di k. Nick Lord, in una sua nota del 1988, Subdividing Hypercubes, ha di mostrato che l a divisione, di ipercubi di qualunque dimensione n, impossibile solo per un numero finito k di valori. Non tuttavia facile determinare il pi basso numero limite, al d i sopra del quale si pu fare la su ddivisione per ogni k; n facile stab ilire per quali valori di k al di sotto del limite la divisione possibile. Lord ha stabilito a 163 il limite inferiore per il cubo, aggiungendo per che tale limite potrebbe essere mi-gliorato. W. J. Conner, della Bell Aerospace di Buffalo, New York, ha mandato una dimostrazione per un limite inferiore pari a 9 0. Forse si potrebbe ancora abbassare tale limite. Un cubo pu essere affettato in otto cubi pi piccoli, tutti uguali. Poich ognuno di questi cubi pi piccoli pu essere t agliato nello stesso modo, e cos via di seguito, ne segue che la dissezione del cubo possibile per ogni k = 1 (mod 7) 8, 15, 22, 29, . . . facile vedere che k non pu prendere i valori da 2 a 7, dal

momento che una dissezione deve avere un cubo in ciascuno degli otto angoli. Un cubo di ordine 3 si pu tagliare in 20 pezzi (un cubo di ordine 2 e 19 cubi unitari). Pu k assumere tutti i v alori da 9 a 19, escluso il 15 che si sa essere possibile? Probabilmente no, ma non conosco alcuna dimostrazione o alcuna eccezione al di fuori del 13, che Conner ha mostrato essere impossibile. sorprendente che sia stato fatto c os poco lavoro su questo problema, come pure sullestensione ai cub i delloriginario quesito sulla trapunta della signora Perkins. E nessuno ha nemmeno dimostrato, per quanto io sappia, che la pi piccola area non coperta possibile nel problema di Britton di 49 unit quadrate, anche se quasi sicuramente ci vero. Durante la revisione di questo libro, John Conway ha fatto presente che il fatto che 02 + 12 + . . . + 242 = 702 ha delle profonde applicazioni in matematica, e potrebbe averne anche in fisica.

Capitolo 12

La numerologia del Dott. Fliess Da quando scrissi il mio articolo su Freud e Fliess, son o venute alla lu ce una quantit di nuove informazioni sullo strano e n evrotico legame fra i d ue per-sonaggi. I lettori interessati dovrebbero controllare il capitolo su Freud, Fliess e il naso di Emma della mia raccolta The New Age: Notes of a Fringe Watcher (Prometheus, 1988). Esso racconta la terribile storia di come Fliess sb agli un intervento sul naso di una delle pazienti di Freud, e di come Freud cerc dispera-tamente di giustificare lincompetenza chirurgica dellamico. I bioritmi stanno ancora facendo F(li)essi i creduloni. Negli aeroporti ci sono delle macchine impressionanti che, a pagamento, forniscono i vo stri grafici e in oscuri negozietti sono anc ora commercializzati ogni sorta di apparecchi elettronici per determinare i vostri giorni buoni e cattivi. Sono state fatte decine di studi sperimentali, attentamente controllati, per vedere se esi ste una qualche correlazione fra i p eriodi di giorni cattivi e avvenimenti tipo incidenti, morti, suicidi e disastri sportivi. Se nza alcuna eccezione non stata trovata alcuna correlazione. Come tre ricer catori, sui bioritmi e g li incidenti minerari, hanno scritto in un lav oro del 1978, buttare via tempo e denaro in ulteriori indagini ha la stessa utilit di andare a caccia di unico rni. I veri credenti, come gli astrologi entusiasti, non hanno alcun interesse su questi studi. Non riuscirete a convincerli a leggere questi lavori, pi di quanto potreste convincere un f ondamentalista religioso a seguire un corso base universitario di geologia. Alcuni di questi lavori critici sono cit ati nella bibliogra fia del ca pitolo 12: questi a loro volta conte n-gono la pi completa bibliografia. difficile immaginare che possano apparire sulla scena (e trov are un editore rispettabile!) delle teo rie sul comportamento ciclico degli esseri u mani ancora pi pazze dei bioritmi, ma purtroppo i tempi sono questi. Il libro Psycles (Bobbs-Merrill, 1980), di Dwight H. Bulkey, sostiene lesistenza di un ciclo umano di esattamente 37 ore! Questo il co mmento che ha scritto Terence Hines, recensendo lindegno libro di Bulkey su The Skeptical Inquirer (Estate 1982, pagine 60-61), riassumendo le sue opinioni: Questo libro, in

definitiva, un polpettone di varie credenze psichiche mischiate insieme . . . scritto malamente, spesso incoerente, ed internamente inconsistente. u n capolavoro di sciocchezze e uno dei libri pi ridicoli, nel campo del paranor-male, che mi capitato di vedere da molti anni.

Capitolo 13

Numeri a caso Nella prima pagina del capitolo sui numeri a caso, ho citato lopinione di Alfred Bork che lattuale secolo pi interessato dei precedenti alla casualit. Questa affermazione conferm ata dallenorme crescita dellinteresse, negli anni 80, sulla natura casuale dei frattali e sulla teoria del caos. Non sono solo i matematici e i fisici a ess ere eccitati da queste due aree di ricerca, interconnes se tra loro. I libri sui frattali, co n i lo ro fantastici disegni generati dal computer, sono apprezzati e com prati anche dal largo pubb lico, e lo s plendido libro di Gleick Chaos: Making a New Science (Viking, 1987) diventato un best seller.

Capitolo 15

Il triangolo di Pascal Sono cos tanti i lettori che mi hanno chiesto la soluzione del problema di carte, che avevo lasciato senza risposta al termine dell Addendum del capitolo sul tri-angolo di Pascal, che dar ora la rispos ta. Non so quante soluzioni esistano, ma quella che ho trovato io ha la seguente riga inferiore di carte: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Capitolo 18

La superellisse di Piet Hein I giochi matematici di Piet Hein sono stati largomento di molti miei articoli sulle colonne di Scientific American, la maggior parte dei quali sono stati poi ristampati nei libri. Per il suo gioco dell Hex, leggete il capitolo 8 di The Scien-tific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions (Simon & Schuster, 1959), in italiano Enigmi e giochi matematici vol. 1 (Sansoni, 1972). Il gioco, del tipo Nim, Tac-Tix, in seguito meglio conosciuto col nome di Nimbi, descritto nel capitolo 15 dello stesso volume. Il famoso cubo Soma di Piet Hein stato largomento del cap itolo 6 del libro The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions (Simon & Scu ster, 1961) in italiano Enigmi e giochi matematici vol.2 (Sansoni, 1973), e del capitolo 3 di Knotted Doughnuts and Other Mathematical Entertainments (W. H. Freeman, 1986), non tradotto in italiano. Nel 1972 la Hubley Toys, una divisione della Gabriel Industries, una azienda americana, ha commercializzato cinque giochi meccanici fuori del comune, inventati da Piet Hein. Non sono pi sul mercato, ma ecco come li descrissi sulle colonne di Scientific American del febbraio 1973: 1. Nimbi. una versione a 12 gettoni del gioco tipo Nim di Piet Hein. I gettoni sono fissati da p ioli scorrevoli infilati in una tavola circolare rovesciabile, cosicch, dopo aver terminato una partita, basta spingere i p ioli in basso, rovesciare la tavola e si pronti a giocare unaltra partita. 2. Anagog. Qui abbiamo un cugino sferico del cubo Soma di Piet Hein. Sei pezzi di unit sferiche unite devono essere sistemati per formare un tetraedro a 20 sfere o due tetraedri da 10 sfere o altre figure solide o piane. 3.Crux. Una croce tridimensionale a sei braccia realizzata in m aniera che ogni singolo braccio pos sa ruotare separatamente. Uno dei numerosi problemi da risolvere portare tre punti di differenti colori, assieme, ad ogni intersezione. 4. Twitchit. Un dodecaedro ha le facce rotanti e il proble ma girarle fi nch tre simboli differenti si riuniscono ad ogni angolo. 5. Bloxbox. W. W. Rouse Ball, discutendo del classico gioco del 14-15 nel suo

Mathematical Recreations and Essays, scriveva nel 1892: Noi possiamo anche immaginare un gioco sim ile in tre dim ensioni, ma non possibile realizzarlo i n pratica, se n on per sezi oni. Ora, 81 anni dopo, Piet Hein ha t rovato una ingegnosa soluzione pratica. Sette pezzi cubici identici sono allinterno di un cubo di plastica trasparente di lato doppio. Quando il cu bo viene inclinato in modo opportuno, un cubetto allinterno scivola, per effetto della gravit, nel buco, con un gradevole effetto sonoro. Ogni cubo ha tre facce bianche e tre nere. I problemi includono la formazione di un cubo grande (meno un angolo) con le facce tutte di un colore, oppure con le facce a scacchiera o a strisce e cos via. Si pu applicare il principio di parit, che vale per l a versione piatta, a questa versione a tre dimensioni? E qual il numero minimo di mosse per passare da uno schema ad un altro? Bloxbox apre un vaso di Pandora di domande. La Scantion International, una societ danese di consulenza e management, ha adottato come logo un superuovo. Nel 1982 ha trasferito la sua sede mondiale a Princeton, New Jersey, dove la Scan tion-Princeton, il su o nuovo nome, ha costruito un lussuoso hotel con centro congressi allinterno di un parco di 25 acri nel Princetons Forrestal Center. Un enorme superuovo di pietra troneggia nella piazza davanti allingresso dellhotel. Il palazzo Schweppes, a Stam ford, Con-necticut, appena a su d dell Uscita 25 su l viale Merritt, ha l a forma di una superellisse. Herman Zapf ha disegnato un carattere di stampa le cui parti rotonde hanno la forma di una superellisse. Ha chiamato questo font Melior, per l aspetto mi-gliore delle curve, a met fra lellisse e i l rettangolo. Potete trovare un disegno delle lettere maiuscole e minuscole a p ag. 284 del libro di Douglas Hofstadter Metamagical Themes (Basic Book, 1985), con un commento a pag. 291. Nel 1959 la Royal Copenhagen ha prodotto una serie di piccoli piatti in ceramica con la forma di una superellisse, ciascuno con un Grook (i Grooks sono piccoli componimenti poetici [N.d.T.]) di Piet Hein assieme ad un disegno dellautore che lo illustra. Donald Knuth, illustre scienziato informatico della Stanford University, e su a moglie hanno commissionato nel 1988 alla b ottega di David Kindersley, a Cambridge, Inghilterra, una incisione su ardesia del loro Grook preferito contornato da una superellisse (vedi fig. 120).

Fig. 120.

Capitolo 19

Come trisecare un angolo Quando apparve per la prima volta il mio articolo sulla trisezione dellangolo su Scientific American, mi arrivarono num erose lettere spedite da pers one eccen-triche che, non credendo a quello che avevo scritto, mi imponevano di pubblicare le loro dimostrazioni, oppure di trovare dove avevano sbagliato. La ri stampa dellarticolo nella prima edizione di questo libro ne ha prodotte altrettante. Sono stato tentato di rispondere con questa lettera-tipo, basata sulla prima che avevo letto: Sono rimasto sbalordito nel vedere che Lei ha risolto un problema che ha scon-fitto le pi grandi menti matematiche degli ultimi secoli. Ora, rendere di pubblico domino la sua elegante dimostrazione riempirebbe di enorme imba-razzo tutti i matematici viventi. Essi non capirebbero mai come un semplice amatore, come Lei, possa aver avuto un cos brillante successo dove loro hanno fallito. Di conseguenza, per risparmiare loro una simile umiliazione, Le restituisco il suo manoscritto, con la pi ardente preghiera che Lei lo voglia distruggere immediatamente. Nel 1983 un signore mi ha spedito un assegno di 100 dollari, con la richiesta di trovare lerrore nella sua di mostrazione. stato facile trovarla. Lui allora mi ha immediatamente rimandato unaltra dimostrazione, in cui aveva eliminato ler-rore che gli avevo segnalato, ma in cui ne aveva fatto uno nuovo. Dopo uninutile corrispondenza, gli ho restituito lassegno. Questo fatto ha prodotto una sua lettera altamente offensiva, a cui ho deciso di non rispondere. La miglior cosa da fare restituire tutte queste dimostrazioni, con una breve nota in cui vi dichiarate incompetenti ad esaminarle. Se siete in uno stato danimo un po dia-bolico, nella nota potete aggiungere il nome d i un esperto a cu i il trisetto re potrebbe inviare la dimostrazione, fornendogli il nome e l indirizzo di un al tro

trisettore. Mi sono liberato del mio modesto archivio, girando tutti i sag gi e le lettere ricevute a Underwood Dudley, il quale ha fatto buon uso di questo materiale nel suo meraviglioso libro del 1987, citato nella bibliografia. La co llezione di Dudley era molto pi grande della mia, ed ora forse la pi grande al mondo. Se tu, caro lettore, hai trisecato langolo, ti prego di non m andare a me la tua dimo-strazione. Spediscila a U nderwood Dudley, Dipartimento di Matematica, De Pauw University, Greencastle, Indiana 46135. Egli non ridicolizzer il tuo lavoro, e an zi lo potresti vedere pubblicato in una nuova edizione della sua monografia.

Bibliografia

1. Germogli e cavolini di Bruxelles

Macroscopes. Piers Anthony. Avon, 1969. In questo romanzo di un popolare scrittore di fantascienza, i cavolini sono discussi nel primo capitolo, e i giochi sono de scritti e illustrati in molti capitoli successivi. Eulers Formula and a Ga me of Conways. Hugo DAlarcao e Thomas E. Moore, Journal of Recreational Mathematics, Vol. 9, No. 4, 197 6-1977, pagg. 2 49-251. Lautore dimostra che i cavolini di Bruxelles devono terminare dopo 5n 2 mosse.

2. Giochi con le monete

Giochi con le monete in generale

The Best Puzzles with Coins. H. E. Dudeney, The Strand, Vol. 28, 1909, pagg. 82 e seg., risposte 240 e seg. Play Mathematics. Harry Langman. Hafner, 1962. Fun for the Money. Maxey Brooke. Scribner, 1963.

Solitario isometrico

Triangular Puzzle Peg. Irvin Roy Hentzel, Journal of Recreational Mathematics. Vol. 6, Autunno, 1973, pagg. 280283. Articolo rista mpato in Mathematical Solitaires and Games, a cura di Benjamin Schwartz, Baywood, 1978. Triangular Peg Solitaire A New Result. Benjamin Schwartz e Hayo Ahlburg, Journal of Recreational Mathematics, Vol. 16, No. 2, 1983-1984, pagg. 97-101. Triangular Solitaire. John D. Beasley, in The Ins and Outs of Peg Solitaire. Oxford University Press, 1985. Que sto il lavor o pi moderno e definitivo sui solitari coi pioli di ogni tipo. Triangular Puzzle Pe g. Irvin Roy Hentzel e Robert Roy Hentzel, Journal of Recreational Mathematics, Vol. 18, No. 4, 1985-1986, pagg. 253-256. Puzzles Old and New. Jerry Slocum e Jack Botermans. University of W ashington Press, 1986, pag. 120.

Sul ribaltamento dei triangoli

Inverting Coin Triangles. Charles Trigg, Journal of Recreational Mathematics, Vol. 2, Luglio 1969, pagg. 150-152. Triangular (old) Pennies. D. P Eperson, Mathematical Gazette, Vol. 54, F ebbraio 1970, pagg. 48-49.

Problemi del piantare alberi

Sylvesters Problem on Colli near Points. D . W Crowe, Mathematics Magazine, Vol. 14, Gennaio 1968, pagg. 30-34. Mathematical Recreations and Essays. W W Rouse Ball e H. S. M. Coxeter. Dover, 13a edizione, 1987, pagg. 104-105. Tree-Plant Problems. Martin Gardner, in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. W H. Free man, 1988, capito lo 22. Contien e la bibliografia dei piu vecchi lavori.

3. Alef zero e alef uno

Numeri di Farey

Farey Sequences. Ge orge S. Cunningham, in Enrichment Mathematics for High School. National Council of Teachers of Mathematics, 1963, capitolo 1. Recreations in the Theory of Numbers. Albert H. Beiler. Dover, 1964, capitolo 16. Ingenuity in Mathematics. Ross Hon sberger. The Mathemati cal Association of America New Mathematical Library, 1970, capitolo 5.

Transfinite numbers

The Continuum. Edward V. Huntington. Dover, 1955. Introduction to the Theory of Sets. Joseph Breuer. Prentice- Hall, 1958. Sets and Transfinite Numbers. Martin M. Zuckerman. Macmillan, 1974.

Cohens proof

Set Theory and the Continuum Hypothesis. Paul J. Cohen. W. A. Benjamin, 1966. Non-Cantorian Set Theory . Paul J. Cohen e Reuben Hersh, Scientific American, Dicembre 1967, pagg. 104-116. A Proof of t he Independence of th e Continuum Hypothesis. Dana S. Scott, Mathematical Systems Theory; Vol. 1, 1967, pagg. 89-111. The Continuum Problem. Raymond M. Smullyan, in The Encyclopedia of Philo-sophy. Macmillan, 1967. The Continuum Hypothesis. Raymond M. Smullyan, in The Mathematical Sciences, a cur a del Committee on the S upport of Research in t he Mathematical Sciences (COSRIMS). MIT Press, 1969, pagg. 252-271.

Alephs and cosmology

Combinatorial Analysis in I nfinite Sets an d Some Physical Theories. S . Ulam, SIAM Review, Vol. 6, Ottobre 1964, pagg. 343-355. The Problem of Infinite Matter in Steady-State Cosmology. Richard Schlegel, Philosophy of Science, Vol. 32, Gennaio 1965, pagg. 21-31. Completeness in Science. Richard Schlegel. Appleton-Century-Crofts, 1967, pagg. 138-149.

4. Ipercubi

A New Era of Thought. C. Howard Hinton. Swan Sonnenschein, 1888. The Fourth Dimension. C. Howard Hinton. Allen & Unwin, 1904. The Fourth Dimension. E. H. Neville. Cambridge University Press, 1921. Geometry of Four Dimensions. Henry Parker Manning. Dover, 1956. Christian Faith and Natural Science. Karl Heim. Harper Torchbook, 1957. The Ifth of Oofth. Walter S. Tevis, Jr., Galaxy Science Fiction, Aprile 1957, pagg. 59-69. Un racconto selvaggio e divertente su un cubo pentadimensionale che distorce lo spazio e il tempo. An Introduction to the Geometry of N Dimensions. D. M . Y. Som merville. Dover, 1958. The Fourth Dimension Simply Explained. Henry Parker Manning. Dover, 1960. Paths of Minim al Length W ithin Hypercubes. R. A. Jac obson, The American Mathematical Monthly, Vol. 73, Ottobre 1966, pagg. 868-872. Regular Polytopes. H. S. M. Coxeter. Dover, 3a edizione, 1973. Speculations on the Fourth Dimension: Selected Writings of C. H. Hinton. A cura di Rudy Rucker. Dover, 1980. Infinity and the Mind. Rudy Rucker. Birkuser, 1982. And He Built Another Croo ked House. Martin Gardner, in Puzzles From Other Worlds. Vintage, 1984. The Fourth Dimension. Rudy Rucker. Houghton Mifflin, 1984. Unfolding the Tesseract. Peter Turney, Journal of Recreational Mathematics, Vol. 17, No. 1, 1984-1985, pagg. 1-16.

5. Stelle magiche e poliedri

Magic Squares and Cubes. W. S. Andrews. Dover Publications, 1960, capitolo 13. Play Mathematics. Harry Langman. Hafner Publishing Co., 1962, capitolo 6. 536 Puzzles and Curious Problems. H. E. Dudeney. Scribner, 1967, pagg. 145-147.

Proofs that no magic pentagram with integers 1 through 10 exists

Solution to Problem 113. Charles Trigg, Pi Mu Epsilon Journal, Vol. 3, Autunno 1960, pagg. 119-120.

More About Magic Star P olygons. N. M. Dongre, The American Mathematical Monthly, Vol. 78, Novembre 1971, pag. 1025. Impossibility. Ian Richard s, Mathematics Magazine, Vol. 48, Nove mbre 1975, pagg. 249-262.

6. Calcolatori prodigio

Additional references may be found in William L. Schaa f, A Bibliography of Recreational Mathematics, Vol. 1, National Council of Teachers of Mathematics, 4th edizione, 1970, pagg. 39-42, and in the exte nsive European bibliography in Reg- naults book, listed below. On Mental Calculation. George P. Bidder, Proceedings of the Institute of Civil Engineers, Vol. 15, 1856, pagg. 251-280. Arithmetical Prodigies. E. W. Scripture, American Journal of Psychology, Vol. 4, Aprile 1891, pagg. 1-59. Psychologie des grandes calculateurs et joueurs dchecs. A. Binet. Paris: Hachette, 1894. Calculating Boys. Anonymous, Strand Magazine, Vol. 10, 1895, pagg. 277-280. Mathematical Prodigies. Frank D. Mitchell, American Journal of Psychology, Vol. 18, Gennaio 1907, pagg. 61-143. Lightning Calculators. H. Addington Bruce, McClures Magazine, Vol. 39, 1912, pagg. 586-596. Arithmetical Prodigies. R. C. Archibald, The American Mathematical Monthly, Vol. 25, 1918, pagg. 91-94. Visual Imagery of a Lightning Calc ulator. W. A. Bausfield e H. Barry , American Journal of Psychology, Vol. 45, 1933, pagg. 353-358. Examination of the Computing Ability of Mr. Salo Finkelste in. J. D. Weinland e W. S. Schlauch, Journal of Experimental Psychology, Vol. 21, Ottobre 1937, pagg. 382-402. Memory of Salo Finkelstein. J. D. Weinland, Journal of General Psychology, Vol. 39, Ottobre 1948, pagg. 243-257. A Medical-psychological Account Followed by a De monstration of a Case of Super-normal Aptitude. B. S tovkis, Proceedings of the International Congress on Orthopedagogics, Amsterdam, Luglio 1949. On the Klein brothers. Mental Prodigies. Fred Barlow. Philosophical Library, 1952. Les calculateurs prodiges. Jules Regnault. P aris: Payot, 1943, edizione ri veduta 1952. Thought and Machine Processes. B. V. Bowden, in Faster Than Thought, a cura di B. V. Bowden. Pitman, 1953, capitolo 26. The Art of Mental Calculati ons; With Demonstrations. A. C. Aitken, Transactions of the Society of Engineers, Vol. 44, Dicembre 1954, pagg. 295-309. An Exceptional Talent for Calculative Thinking. Ian M. L. Hunter, British Journal of Psychology, Vol. 53, Part 3, Agosto 1962, pagg. 243-258. On Aitken.

The Magic of Numbers. Robert Tocquet. Premier Books, 1962. Strategies for Skill. Ian M. L. Hunter, in Penguin Science Survey 1965B. Penguin Books, 1965. On Aitken. Alexander Craig Aitken: New Zealands Greatest Mathematician. H. P. Kidson. The New Zealand Mathematics Magazine, Vol. 10, Novembre 1973, pagg. 129-133. The Fine Art of Calculating. Bruce Schecter, Discover, Ottobre 1981, pagg. 34-38. Su Arthur Benjamin, un giovane calcolatore lampo americano. George Parker Bidder The Calculating Boy. E. F. Clark. KSL Publications, 1983. The Great Mental Calculators. Steven B. Smith. Columbia University Press, 1985. Reviewed by M artin Gardner in Gardners Whys and Wherefores, University of Chicago Press, 1988. The Twins. Oliver Sack s, in The Man Who Mistook His Wife for a Hat. Summit, 1986; Harper & Row, 1987. Prodigies and the Arithmetic of G enius: Exploring the Mysteries of L ightning Calculators. Michael Kernan, Washington Post, 13 Dicembre 1987, sezione F. Calculating Prodigies. W. W. Rouse Ball e H. S. M. Coxeter, in Mathematical Recreations and Essays. Dover, 13th edizione, 1987. Rispampato anche in The World of Mathematics, Vol. 1, a cura di James R. Newman, Simon and Schuster, 1956, Tempus Books, 1988.

7. I trucchi dei calcolatori lampo

Arthur Griffith, Arithmetical Prodigy. William L. Bry an, Ernest H. Lindley, e Noble Herter, in On the Psychology of Learning a Life Occupation. Indiana Univer-sity, 1935, pagg. 11-65. Les calculateurs prodiges. Jules Regnault. Paris: Payot, 1943, edizione riveduta, 1952. An Adventure in Figuring: The Barrett Blitz Method of Extracting Cube Roots. Urbane L. Barrett. Los Angeles, pubblicato privatamente, 1943. Una tecnica eccellente per il calcolo mentale rapido di radici cubiche maggiori di 100. Math Miracles. Wallace Lee. Pubblicato privatamente, 1950, edizione riveduta, 1960. Mental Prodigies. Fred Barlow. Philosophical Library, 1952. Mathematics, Magic and Mystery. Martin Gardner. Dover, 1956, capitolo 9. The Magic of Numbers. Robert Tocquet. Premier Books, 1962. Miracle Mathematics. Harry Lorayne. Executive Research Institute, 1966. Clairvoyant Multiplication. Martin Gardner, Swami (un periodico mensile di magia pubblicato in India), Vol. 1, Marzo 1972, pag. 12. Giochi di carte basati sul 1667 e il 8335. Extracting Fifth Rootsa Cl assroom Activity. Irv King, Mathematics Teacher, Dicembre 1974, pagg. 687688. Self-Working Number Magic. Karl Fulves. Dover, 1983.

Il trucco del calendario

Ci sono centinaia di referenz e relativamente a libri e articoli che dann o metodi e formule per det erminare il giorno della setti mana di una certa data. (Vedi William Schaaf, Bibliography of Recreational Mathematics, Vol. 1, 1970, 4a edizione pagg. 30-31; Vol. 2, 1970, 4a edizione, pagg. 4-5.) Elenco, qui di seguito, solo le referenze di un certo interesse per i calcolatori lampo. Roth Memory Course. David M. Roth. Writers Publishing Co., 1918, riveduto, 1965, pagg. 252263. Calendar Memorizing. Bernard Zufall. Libretto pubblicato privatamente, 1940. Math Miracles. Wallace Lee. Pubblicato priv atamente, 1950, revised, 1960, capitolo 19. A Mental Calendar. Rev. Brother Leo, Mathematics Teacher, Vol. 50, Ottobre 1957, pagg. 438439. Tomorrow is the Day After Doomsday. John H. Conway, Eureka, No. 36, Ottobre 1973, pagg. 2 8-31. Un racco nto basato sulla regola di Lewis Carroll. Vedi anche The Doomsday Rule, di El wyn Berlekamp, John Con way, e Richard Guy , in Winning Ways, Vol. 2. Academic Press, 1982, pagg. 795-798, 813.

8. Larte di M. C. Escher

The Dimensional Experiments of M. C. Escher. Mark Severin, Studio, Febbraio 1951, pagg. 5053. The Miraculous Transfor mations of Maurit s Cornelis Esc her. Howard Ne merov, Artists's Proof Vol. 3, Autunno-Inverno, 1963-1964, pagg. 32-39. Symmetry Aspects of M. C. Eschers Periodic Drawings. Caroline H. MacGillavry. A. Oosthoeks Uitgeversmaatschappij NV, 1965. Ristampato col titolo Fantasy and Symmetry The Periodic Drawings ofM. C. Escher. Abrams, 1976. The Graphic Work of M. C. Escher. Duell, Sloan e Pearce, edizione riveduta, 1967; Ballantine, 1971. Teaching Symmetry. L. Glasser, The Journal of Chemical Education, Vol. 44, Settembre 1967, pagg. 502-511. The World of M. C. Escher. A cura di J. L. Locher. Abrams, 1971. Escher: The Journey to Infinity. Ken Wilkie, Holland Herald, Vol. 9, No. 1 , 1974, pagg. 20-43. Master of Tesselations: M. C. Escher, 1898-1972. Ernest R. Ranucci, Mathematics Teacher, Vol. 67, Aprile 1974, pagg. 299-306. How to Draw Tesselations of the Escher T ype. Joseph L. Teeters, Mathematics Teacher, Vol. 67, Aprile 1974, pagg. 307-310. Sources of A mbiguity in the Prints of Maurits C. Esch er. Marianne L. Teuber, Scientific American, Vol. 231, Luglio 1974, pagg. 90-104. Vedi anch e la corri-

spondenza intercorsa a propo sito di que sto articolo nel Vo l. 232, Gennaio 1975, pagg. 8-9. The Magic Mirror of M. C. Escher. Bruno Ernst. Rando m House, 1976; Ballantine, 1976. On the Appeal of M. C. Eschers Pictures. Jean C. Rush, Leonardo, Vol. 12, 1979, pagg. 48-50. Angels and D evils. H. S. M. Coxet er, in The Mathematical Gardner, a cura di David Klarner. Wadsworth, 1981. M. C. Escher: His Life and Complete Graphic Work. A cura di J. L. Locher. Abrams, 1982. Commentato da H. S. M. Cox eter in The Mathematical Intelligencer, Vol. 7, No. 1, 1985, pagg. 59-69. M. C. Escher: Art and Science. A cura di H. S. M. Coxeter, M. Emmer, R. Penrose, e M. L. Teuber. Elsevier, 1986. The Polya Escher Connection. Doris Schattschneider, Mathematics Magazine, Vol. 60, Dicembre 1987, pagg. 293298. M. C. Escher: Kaleidocycles. Doris Schattschneider e W allace Walker. Ballantine, 1977, edizione riveduta, Pomegranate Artbooks, 1987.

10. Mescolando le carte

Scritti di matematici

Elementary Number Theory. J. V Uspensky e M. A. Heaslat. McGraw-Hill, 1939. Congruences and Card Shuff ling. Paul B. John son, The American Mathematical Monthly, Vol. 63, Dicembre 1956, pagg. 718-719. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. William Feller. Wiley, 1950, pagg. 367-372. Permutations by Cutting and Shuffling. S. W Golomb, SIAM Review, Vol. 3, Ottobre 1961, pagg. 293-297. The Theory of Gambling and Statistical Logic. Richard A. Epstein. Acad emic Press, 1967, pagg. 181-193. Make Up Your Own Card Tricks. Irving Adler, Journal of Recreational Mathema-tics, Vol. 6, Spring, 1973, pagg. 87-91. Optimal Card Shuffling. M. J. Mellish, Eureka, No. 36, Ottobre 1973, pagg. 9-11. Matters Mathematical. I. N. Herstein e I. Kaplansky . Harper & Row, 197 4, pagg. 118-121. Permutations by Cutting and Shuffling A Generalization to Q-Dimensions. Brent Morris. Tesi di dottorato, Duk e University, 1974. Pubblicato da Mic ky Hades, un grossista di materiale per magia in Calgary, Alberta, Canada. Faro Shuffling and Card P lacement. Brent Morris, Journal of Recreational Mathematics, Vol. 8, No. 1, 1975, pagg. 1-7. The Basic Mathematics of the Faro Shuffle. Brent Morris, Pi Mu Epsilon Journal, Vol. 6, Spring, 1975, pagg. 85-92. The Generalized Faro Shuffle. Brent Morr is e R. E. Hartwig, Discrete Mathe-matics, Vol. 15, Agosto 1976, pagg. 333-346.

Card Shuffling. John W Rosenthal, Mathematics Magazine, Vol. 54, Marzo 1981 , pagg. 64-67. Perfect Shuffles and Their Relation to Mathematics. Gina Kolata, Science, Vol. 216, 1982, pagg. 505-506. The Mathematics of Perfect Shuffles. Persi Diaconis, R. L. Graham, e William Kantor, Advances in Applied Mathematics, Vol. 4, 1983, pagg. 175196. Lanalisi definitiva sulle faro shuffles. Include una bibliografia di 26 referenze. A Generalization of the Perfect Shuffle. C. Ronse, Discrete Mathematics, Vol. 47, 1983, pagg. 293-306. Groups of Perfect Shuffles. Steve Me dvedoff e Kent Morrison, Mathematics Magazine, Vol. 60, Febbraio 1987, pagg. 3-14.

Scritti di maghi

Trailing the Dovetail Shuffle to Its Lair. Charles T. Jordan, The Bat, Novembre Di-cembre 1948; Gennaio, Febbraio, Marzo 1949. Expert Card Technique. Jean Hugard e Fre derick Braue. Faber and Fab er, 1954, capitolo 16. The Mathematics of the W eave Shuffle. Alex El msley, The Pentagram, Vol. 11, Giugno 1957, pagg. 70-71; Luglio 1957, pagg. 78-79; Agosto 1957, pag. 85; Vol. 12, Maggio 1958, pag. 62. The Faro Shuffle. Edward Mario. Chicago: pubblicato privatamente, 1958. Faro Notes. Edward Mario. Chicago: pubblicato privatamente, 1958. Faro Controlled Miracles. Edward Mario. Chicago: pubblicato privatamente, 1964. Faro Possibilities. Karl Fulv es. Teaneck, New Jersey: pubblicato privatamente, 1966. Faro Fantasies. Paul Swinford. Connersville, Ind.: pubblicato privatamente, 1968. More Faro Fantasies. Paul S winford. Connersville, Ind.: pu bblicato privatamente, 1971. Faro and Riffle Technique. Karl Ful ves. Teaneck, New Jersey: pubblicato privatamente, 1974. A Solution to El msleys Problem. Murray Bonfeld, Genii, Maggio 197 3, pagg. 195-196. A Name Revelation with Faro Shuffles. Michael S. Ewer, Genii, Novembre 1973, pagg. 465-468. Faro Concepts. Murray Bonfeld. Karl Fulves, 1977.

11. La coperta della signora Perkins e altri problemi di impaccamento

Cyclopedia of Puzzles. Sam Loyd. Lamb Publishing Co., 1914, pagg. 39, 65. Amusements in Mathematics. H. E. Dudeney . Thomas Nelson and Sons, 1917, Problema 173. Puzzles and Curious Problems. H. E. Dude ney. Thomas Nelson and S ons, 1931, Problema 177.

Mrs. Perkinss Quilt. J. H. Conway , Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 60, Luglio 1964, pagg. 363-368. Mrs. Perkinss Quilt. G. B. Trustrum, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 61, Gennaio 1965, pagg. 7-11. Some Packing and Covering Theorems. J. W Moon e L. Moser, Colloquium Mathematicum, Vol. 17, 1967, pagg. 103-110. On Packing of Squares and C ubes. A. Meir e L. Moser, Journal of Combinatorial Theory, Vol. 5, Settembre 1968, pagg. 126-134. Subdividing Hypercubes. Nick Lord, Mathematical Gazette, Vol. 72, Marzo 1988, pagg. 47-48.

12. La numerologia del Dottor Fliess

Studies in the Psychology of Sex. Havelock Ellis. Random House, 1936. ( Vedere nellindice i riferimenti a Fliess.) The Life and Work of Sigmund Freud, Vol. 1. Ernest Jon es. Basic Books, 1953, capitolo 13. The Origins of Psycho-Analysis: Letters to Wilhelm Fliess. A cura di M arie Bonaparte, Anna Freud, e Ernst Kris. Basic Books, 1954. Biorhythm. Hans J. Wernli, Crown, 1961. Is This Your Day? George Thommen. Crown, 1964. How Biorhythms Affect Your Life. Jean Mackenzie, Science Digest, Agosto 1973, pagg. 18-22. Theyve Got Rhythm. Susan Cheever Cowley, Newsweek, 15 Settembre 1975, pag. 83. Biorhythms How to Live with Your Life Cycles. Barbara ONeil e Richard Phillips. Ward Ritchie, 1975. Biorhythm: A Personal Science. Bernard Gittelson. Arco, 1975; Warner, 1984. Biorhythms in Your Life. Daniel Cohen. Fawcett, 1976. Biorhythm. Arbie Dale. Pocket Books, 1976. Biorhythms for Computers. Joy e Richard Fox, Byte, Aprile 1976, pagg. 20-23. New Facts on Biorhythms. Ed Nelson, Science Digest, Maggio 1976, pagg. 70-75. The Complete Book of Biorhythm Life Cycles. Robert E. Smith. Aardvark, 1976. Biorhythm. Hans J. Wernli. Cornerstone, 1976. Biorhythm for Life. Howard M. Thomson. Evergreen, 1976. Biorhythms. Jennifer Bolch, Readers Digest, Settembre 1977, pagg. 63- 67. Un articolo vergognoso. Those Biorhythms and Blues. Time, 27 Febbraio 1978, pagg. 50-51. The Rhythm Factor in Human Behavior. Salvatore Garzino. Libra, 1982.

Articoli critici

Biorhythms and Sports Performances. A. James Fix, The Skeptical Inquirer, Vol. 1 Autunno/Inverno 1976, pagg. 53-57.

The Influence of Biorhy thm on Accident Occurence and Performance. Tarek Khalil e Charles Kurucz, Ergonomics, Vol. 20, No. 4, 1977, pagg. 388-398. Should You Buy Biorhythms? Arthur L ouis, Psychology Today, Aprile 1978, pagg. 93-96. Biorthythms: Evaluating a Pseudoscience. William Sims Bainbridge, The Skeptical Inquirer, Vol. 2, Primavera/Estate 1978, pagg. 40-56. Biorhythms: A Critical Look at Critical Day s. Robert Schadewald, Fate, Febbraio 1979, pagg. 75-80. Biorhythm Theory: A Critical Review. Terence Hines, The Skeptical Inquirer, Vol. 3, Summer, 1979, pagg. 26-36. Un sommario di studi critici, con una bibliografia di oltre 40 referenze. Biorhythms. Tarek Khalil e Charles Kurucz, in Science and the Paranormal, a cura di Georee Abell and Barry Singer. Scribner, 1981. Biorhythms and the Incidence of Industrial Accidents. G. N. Souter e J. R. W eaver, Department of Industrial Relations, University of Western Australia, Nedlands, 1983.

13. Numeri a caso

Order and Surpris e. Martin Gardner, Philosophy of Science, Vol. 17, Gennaio 1950, pagg. 109-117. A Statistical Study of Randomness Among the First 10.000 digits of Pi. Mathema-tics of Computation, Vol. 16, Aprile 1962, pagg. 188-197. Random Number Generators. T. E. Hull e A. R. Dobell, SIAM Review, Vol. 4, Luglio 1962, pagg. 230-254. Randomness. W. Allen Wallis e Henry V. Roberts, in The Nature of Statistics. Collier Books, 1962, capitolo 6. Random Number Generators. Birger Jansson. Stockholm: Almqvist e Wiksell, 1966. Randomness and the Twentieth Century. Alfred M. Bork, Antioch Review, Vol. 27, Primavera 1967, pagg. 40-61. Generating Random Numbers Using Modular Arithmetic. Brother Arthu r Inde-licato, Mathematics Teacher, Maggio 1969, pagg. 385-391. Random Numbers. Seminumerical Algorithms. Donald E. Knuth, Addison-Wesley, 1969, capitolo 3. Algorithmic Information Theory. Gregory Chaitin. Cambridge University Press, 1987. Information, Randomness, and Incompleteness. Gregory Chaitin. World Scientific Publishing Co., 1987. The Ultimate in Undecidability. Ian Stewart, Nature, Vol. 232, 10 Marz o 1988, pagg. 115-116. Randomness in Arithmetic. Gregory Chaitin, Scientific American, Luglio 1988, pagg. 80-85.

15. Il triangolo di Pascal

Gli articoli sul triangolo di Pascal, che hanno generalizzazioni, variazioni, propriet e applicazioni, sono talmente numerosi che devo rimandare i lettori a due libri bibliografici. Il libro in 4 volumi di William L. Schaaf Bibliography of Recreational Mathematics, edito da National Council of Teacher of Mathematics, pu essere consultato per le referenze pi vecchie. Specialmente il Vol. 2, 1970, pagine 21-22. Mathematics Teacher; (Settembre 1981, pagg. 449-450) elenca 14 articoli sul triangolo di Pascal che sono apparsi sulla rivi sta during negli anni 70. I seguenti due libri sono raccomandati: Pascal's Triangle. V. A. Uspenskii. University of Chicago Press, 1974. The Incredible Pascal Triangle. Margaret J. Kenney. Boston College Press, 1976.

16. Jam, hot e altri giochi

The Game is Hot. Leo Moser, Recreational Mathematics Magazine, Vol. 1, Giugno 1961, pagg. 23-24. Differential Games. Rufus Isaacs. Wiley, 1965.

Giochi tipo Nim

The G-Values of Variou s Games. Richard K. Guy e Cedric A. B. Smith, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 52, Part 2, Lugli o 1956, pagg. 514-526. Disjunctive Games with the Last Player Losing. PM. Grundy e Cedric A. B. Smith, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 52, Part 2, Lugli o 1956, pagg. 527-533. Mathematical Recreations and Essays. W W Rouse Ball e H. S. M. Coxeter. Dover, 13a edizione, 1987, pagg. 36-40. The Theory of Gambling and Statistical Logic. Richard A. Epstein. Acad emic Press, 1967, capitolo 10. Compound Games with Counters. Cedric A. B. S mith, Journal of Recreational Mathematics, Vol. 1, Aprile 1968, pagg. 66-77. Winning Ways. Elwyn Berlekamp, John Conway, e Richard Guy. Academic Press, 1982.

17. Demolitori e falsi demolitori

Amusements in Mathematics. H. E. Dudeney. Dover, 1958. 536 Puzzles and Curious Problems. H. E. Dudeney . Scribner, 1967. Questo libro ristampa i due libri di Dudeney: Modern Puzzles and Puzzles and Curious Problems. Mathematical Puzzles of Sam Loyd, Vols. 1 e 2. A cura di Martin Gardner. Dover, 1959, 1960.

18. La superellisse di Piet Hein

La superellisse

Note on Squares and Cubes, J. Allard, Mathematics Magazine, Vol. 37, Settembre 1964, pagg. 210-214. Lam Ovals. Norman T. G ridgeman, Mathematical Gazette, Vol. 54, Febbraio 1970, pagg. 31-37.

Piet Hein

Piet Hein, Bestrides Art and Science. Jim Hicks, Life, 14 Ottobre 1966, pagg. 55-66. King of Supershape. Anne Chamberlin, Esquire, Gennaio 1967, pag. 112 e seg.

19. Come trisecare un angolo

The Trisection Problem. Robert Carl Yates. F ranklin Press, 1942; National Council of Teachers of Mathematics, 1971. Number Theory and Its History. Oystein Ore. McGraw-Hill, 1948, capitolo 15. Famous Problems of Elementary Geometry. Felix Klein. Dover, 1956, capitolo 2. A Long Way from Euclid. Constance Reid. T. Y. Crowell, 1963, capitolo 9. Famous Problems of Mathematics. Heinrich Tietze. Graylock Press, 1965, capitolo 3. What to Do W hen the Trisector Co mes. Underwood Dudley, The Mathematical Intelligencer; Vol. 5, No. 1, 1983, pagg. 20-25. A Budget of Trisection. Underwood Dudley. Springer-Verlag, 1987. Un arguto lavoro sullargomento, con una quantit di moderni esempi di trisezioni errate.

CARNEVALE MATEMATICO - Post ScriptumCopyrightCapitolo 2 - Giochi con le monete Capitolo 3 - Alef zero e alef uno Capitolo 4 - Ipercubi Capitolo 5 - Stelle magiche e poliedri Capitolo 11 - La Trapunta della signora Perkins ed altri problemi di impaccamento Capitolo 12 - La numerologia del Dott. Fliess Capitolo 13 - Numeri a caso Capitolo 15 - Il triangolo di Pascal Capitolo 18 - La superellisse di Piet Hein Capitolo 19 - Come trisecare un angolo Bibliografia