mke - teorijaаа novooooo.docx

8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx

1/29

Грађевински факултет Универзитета у Београду

Семинарски рад

Виши курс из Метода коначних елемената

Студенти: Ментори:

Никола Ивановић 589/5 !роф" #р Бранислав

!у$евић

Мари$а Миленковић %&8/5 #р Мари$а Нефовска'

#аниловић

(ована Миловановић %&9/5

Бо$ана Нинић %&/5


2/29

Сретен )*реновић %/5

1. ОСНОВЕ МЕТОДЕ КОНАЧНИХ ЕЛЕМЕНАТА

1.1 Увод

Метод кона+ни, еле-ената .редстава ну-ери+ки .осту.ак ре0ава1а

ин2е1ерски, .ро*ле-а" Могу да га користе све врсте ин2е1ера"

!ро3ес -оделира1а се заснива на физи+ко$ дискретиза3и$и

континуу-а" 4о зна+и да се раз-атрано .одру+$е као континуу- са

*ескона+но -ного сте.ени сло*оде за-е1у$е дискретни- -одело-

-еђусо*но .овезани, кона+ни, еле-ената са кона+ни- *ро$е- сте.ени

сло*оде" С о*зиро- на то да $е *ро$ дискретни, -одела за $едан

грани+ни .ро*ле- неограни+ено велики основни задатак $е да сеиза*ере она$ -одел ко$и на$*ое а.рокси-ира одговара$ући грани+ни

.ро*ле-"

#о*и$ена ре0е1а су .ри*ли2на" Мини-иза3и$а гре0ке се .ости2е

.овећа1е- 6ро$а еле-ената одређеног до-ена" Бро$ .оддо-ена

односно еле-ената $е кона+ан" 7ећи 6ро$ еле-ената +есто -о2е

иско-.илковати .рора+ун 6ез неког већег .овећа1а та+ности односно


3/29

с-а1е1а гре0ке" 4о зна+и да $е .ри кори0ће1у ове теори$е у

.рора+уну разли+ити, конструк3и$а од великог зна+а$а детано

.ознава1е грани+ни, услова и гео-етри$ски, карактеристика

.о$едина+ни, еле-ената"

#о6и$а1е ути3а$а .о-ера1а дефор-а3и$а и на.она се .ракти+носводи на а.рокси-а3и$у ко-.ликоване $една+ине великог до-ена

гру.о- $едноставни$и, $една+ина" 4е,ни+ке -огућности и ка.а3итети

дана01и, ра+унара су ви0е него довони за та+но и 6рзо ра+уна1е

велики, гру.а $една+ина"

1.2 Преглед развоја меода !о"а#"$% елеме"аа

4е0ко $е и .о.рили+но неза,вално утврдити та+ан -о-енат кад $етеори$а .рви .ут звани+но .ри-е1ена" ао .ри-ер за илустра3и$у -о2е

се навести .ро6ле- одређива1а о6и-а или .овр0ине круга на основу

1егове .оделе на -а1е делове .равилног о6лика" Гр+ки -ате-ати+ар и

физи+ар ;р,и-ед ра+унао $е *ро$


4/29

!рви радови

из .одру+$а

-етода

кона+ни,

еле-ената

.о$авили су се

+етрдесети,

година

.ро0лог века"

!аралелни и

независни рад

нау+ни,

радника

углавно- сарадника на .о$едини- а-ери+ки- универзитети-а и

талентовани, ин2е1ера на истоку углавно- у ини .од$еднако $едо.ринео .о+етно- разво$у теори$е" Иако су .ристу.и ко$е су ови

.ионири М= користили 6или разли+ити делили су одређене

за$едни+ке есен3и$алне карактеристике: тзв" дискретиза3и$у -ре2е

континуалног до-ена у ску. дискретни, .оддо-ена ко$и су касни$е

названи кона+ни еле-енти" !ознава1е истори$ата -о2е 6ити корисно и

интересантно на нивоу одређени, акаде-ски, рас.рава али ни$е

кру3и$ално за .ознава1е са-е теори$е" С ти- у вези .о-енуће-о у

кратки- 3рта-а рад они, нау+ника и ин2е1ера 6ез ко$и, 6и ова теори$а

каснила са 0иро- .ри-ено- или 6ила вео-а некорисна у .ракти+но$

у.отре6и" Међу .рви-а A. Hrenikof и R. Courant кра$е- 5&'и, и .о+етко-

%&'и,"

Истовре-ено у ини услед ко-.лексни, .рора+уна конструк3и$а 6рана

.рилико- велики, инфраструктурни, енергетски, .ро$еката ин2е1ер

K. Feng .рви .ут .редла2е систе-ски ну-ери+ки -етод за ре0ава1е

.ар3и$ални, диферен3и$ални, $една+ина" онкретно та$ -етод $е 6ио

заснован на .рин3и.у вари$а3и$е 0то .редстава $о0 $едан .от.уно

независни изу- ко$и $е касни$е .огурао друге да сво$и- радо-

до.ринесу разво$у теори$е М=" !рави за-а, теори$а до6и$а токо- %&'и,

и >&'и, година за,вау$ући сада наведени- .рофесори-а и 1и,ови-нау+ни- сарадни3и-а" На$за.а2ени$и су 6или Ј.H.Argyris са сарадни3и-а

са Универзитета у ?тутгарту зати- R. W. Clough и 1егови сарадни3и

а-ери+ког универзитета @@Беркли@@"

На.равен $е .рви ABCDEFGH &'()*'& (Nasa Structural Analysis). Из овог

разви$ен $е ('+ (Structural Analysis rogra!).


5/29

!рви универзитетски уI*еник у о*ласти М= на.исао $е JBBK 9>L"

године у вре-е када $е -етод већ *ио .ри,ваћен"

1., О-"ове МКЕ

)сновни .рин3и. на ко$е- се заснива М= састо$и се у .одели раз-атраног

.одру+$а на кона+ан *ро$ -а1и, .одру+$а односно еле-ената тако да се

анализо- .о$едини, еле-ената уз .рет.оставку о 1и,ово$ -еђусо*но$

.овезаности анализира 3елина" )ва$ .ристу. у анализи где се од .осе*ног

иде ка о.0те- од индивидуалног ка универзално- у ко-е се анализо-

делова заку+у$е о 3елини $е .ознати индуктивни .ристу. ко$и се .ри-е1у$е

у -ноги- .одру+$и-а науке" од ин2е1ерски, и други, .ро*ле-а код ко$и, се

о.0та ре0е1а не -огу до*ити у затворено- о*лику индуктивни .ристу. $е од

.осе*ног зна+а$а"Су0тина а.рокси-а3и$е континуу-а .о -етоди кона+ни, еле-ената

састо$и се у следеће-:

'Mаз-атрани до-ен континуу-а .о-оћу за-и0ени, лини$а или

.овр0и дели се на одређен *ро$ .оддо-ена кона+ни, ди-ензи$а"

!о$едини .оддо-ени се назива$у "#$%&$и '''$*и а 1и,ов ску. за 3ео

до-ен +и+*' или ,'-% "#$%&$и '''$%*%"

'!рет.остава се да су кона+ни еле-енти -еђусо*но .овезани у

кона+но- *ро$у та+ака ко$е се усва$а$у на контури еле-ента" 4е та+ке се

назива$у &/#,$' *%&"' ии &/#,#/и"

'Ста1е у свако- кона+но- еле-енту се о.ису$е .о-оћу

и$*',0#%1и#$и 23$"1и4% и "#$%&$#5 6,#4% 0%,%'*%,% 3 &/#,#/и%

ко$и .редстава$у #+$#/$' $'0#7$%*' /'и&и$' у -етоду кона+ни,

еле-ената" У -етоди кона+ни, еле-ената -ора се остварити

континуитет из-еђу .оддо-ена" Nато се и уводе интер.ола3ионе

функ3и$е ко$е су се развиле на основу разво$а -ате-ати+ке теори$е

с.ла$нова" Интер.ола3ионе функ3и$е се .рет.остава$у у о*лику

.олино-а"

1. Меоде за одре/$ва0е мар$а !ро-$ $

јед"а#$"а


6/29

На основу на+ина на ко$и се изводе и фор-ули0у -атри3е крутости

еле-ената и основне $една+ине еле-ената .осто$е +етири основна вида

М=:

8. 9и+",'*$% '*#:% (9и,'"*$и ,%/$#*'-$и '*#:) ; -атри3а крутости

.овезу$е силе у +ворови-а еле-ента и .о-ера1а +ворова еле-ента" )на

се до*и$а из услова равноте2е сила за сваки раз-атрани еле-ент"

#иректни .ристу. у ра+уна1у -атри3е крутости до*ар $е са-о у слу+а$у

$едноди-ензионални, 0та.ни, еле-ената док се за дво и

троди-ензионалне .ро*ле-е користи други -етод"


7/29

.ро3есу ко$и се -о2е .риказати као $едноставан алгорита- издва$а се

следећи, 0ест корака:

дискретиза3и$а континуу-аP

Q из*ор интер.ола3иони, функ3и$аP

R сра+унава1е карактеристика еле-енатаP

L фор-ира1е $една+ина за -ре2у кона+ни, еле-енатаP

5 ре0ава1е систе-а $една+инаP

% .роSа+ун .отре*ни, ути3а$а"

!рва три корака су наро+ито ва2на" На+ин дискретиза3и$е из*ор

о*лика еле-ената као и уку.ног *ро$а еле-ената зависе од .рироде

.ро*ле-а ко$и се ре0ава и .отре*не та+ности тра2еног ре0е1а" 4акође $е ва2ан и из*ор +ворова основни, не.ознати, у 1и-а и

интер.ола3иони, функ3и$а" Интер.ола3ионе функ3и$е дефини0у .ое

.ро-ениви, у свако- еле-енту и од 1и,овог из*ора не.осредно

зависи и континуитет на грани3а-а из-еђу .о$едини, еле-ената а

са-и- ти- и та+ност а.рокси-а3и$е"

арактеристике .о$едини, еле-ената одређу$у се независно од -ре2е

еле-ената као 3елине" арактеристике еле-ената -атри3е крутости

вектори +ворни, о.тереће1а и сл" сра+унава$у се на$+е0ће уз .о-оћ

вари$а3иони, .рин3и.а на основу усво$ене гео-етри$е еле-ената и

одговара$ући, интер.ола3иони, функ3и$а" )ви .осту.3и се углавно-

с.роводе уз .ри-ену .осту.ака ну-ери+ке интегра3и$е"

!ослед1а три корака иако су за .ракти+не .рора+уне од великог

зна+а$а данас с.ада$у у оквире рутинског .осла ко$и $е .рилагођен

ауто-атско- раду ра+унара и разви$ени, софтверски, .акета"

Nа разлику од остали, ну-ери+ки, -етода ко$е се заснива$у на

-ате-ати+ко$ дискретиза3и$и $една+ина грани+ни, .ро*ле-а М= се

заснива на физи+ко$ дискретиза3и$и раз-атраног .одру+$а" У-естоеле-ената диферен3и$ално -али, ди-ензи$а основу за сва .роу+ава1а

.редстава део .одру+$а кона+ни, ди-ензи$а -а1е .одру+$е или

кона+ни еле-ент" N*ог тога су основне $една+ине .о-оћу ко$и, се

о.ису$е ста1е у .о$едини- еле-енти-а а .о-оћу ко$и, се фор-ули0е и

.ро*ле- у 3елини у-есто диферен3и$ални, и интегрални, о*и+не

алге*арске"


8/29

1.5 6ре7!е а"ал$з$ -р!ра меодом

!о"а#"$% елеме"аа

У услови-а када се користи неки од ко-ер3и$ални, .рогра-а .ро3ес

анализе структуре -етодо- кона+ни, еле-ената се -о2е .оделити на

следеће фазе:

' .ри.ре-а анализе

' унос .одатака' .рора+ун

' интер.рета3и$а резултата

Свака од ови, фаза садр2и низ разли+ити, .отен3и$ални, извора

гре0ака"

6ре7!а 4р$4реме а"ал$зе

;налити+ар а.рокси-ира реалну структуру -одело- ко$и садр2и са-о

релевантне делове структуре" )вакав -одел се касни$е дискретизу$е

низо- кона+ни, еле-ената ко$и +ине такозвану -ре2у" Модел .ри то-е

тре*а до*ро да а.рокси-ира о*лик гео-етри$у и физи+ке

карактеристике структуре као и грани+не и .о+етне услове" Неке

гре0ке у .ро3есу .ри.ре-е анализе не зависе од аналити+ара него су

.оследи3а квалитета рас.оло2ивог .рогра-а" С,одно .рет,одно-

гре0ке -оделира1а се -огу .оделити на:

" 5,'"' и:'%и7%1и4'


9/29

наста$у з*ог не-огућности да се сва сло2еност реалне структуре и

1еног окру2е1а

.реслика на -одел" Наи-е реалне структуре су +есто .о сво- о*лику

вео-а сло2ене а

.онекад саставене од ви0е разли+ити, -атери$ала" )не се дае

-огу .оделити на

' гре0ке а.рокси-а3и$е о*лика структуре

' гре0ке а.рокси-а3и$е грани+ни, услова гре0ке услед дефиниса1а

грани+ни, сте.ена

сло*оде гре0ке дефиниса1а с.о1ег о.тереће1а" У слу+а$у

дефиниса1а ослона3а

гре0ке -огу да се $аве з*ог нета+ног .оло2а$а +ворова +и$и су

сте.ени сло*оде

ограни+ени ограни+ава1е .огре0ни, сте.ена сло*оде

зане-арива1е ути3а$аеласти+ности с.о$а .ос-атраног дела структуре са околни-

делови-а"

' гре0ке а.рокси-а3и$е .о+етни, услова

' гре0ке а.рокси-а3и$е карактеристика -атери$ала

Гре0ке а.рокси-а3и$е

о*лика структуре!ри-ер

а.рокси-а3и$е о*лика

+етвртине круга

линеарни- кона+ни-

еле-енти-а .оказу$е

да $е гре0ка а.рокси-а3и$е .ри кори0ће1у три еле-ента -а1а него

.ри кори0ће1у два еле-ента" Некад $е ову гре0ку .от.уно -огуће

из*ећи кори0ће1е- еле-ената ви0ег реда квадратни- или ку*ни-"

)ва$ на+ин се .ре.ору+у$е $ер са -ного -а1и- *ро$е- еле-ената се

-о2е .остићи *оа а.рокси-а3и$а"Следећи .ро*ле- а.рокси-а3и$е о*лика се $ава кад се на структури

велики, ди-ензи$а $ава$у ситни детаи као 0то су н.р" отвори и

ис.усти" )*у,вата1е ови, детаа -одело- за,тева ко-.ликовану

-ре2у са велики- *ро$е- еле-ената разли+ите вели+ине 0то ствара

.ро*ле-е у фази дискретиза3и$е и .ри.ре-е .одатака а истовре-ено

.оску.у$е .рора+ун" Стога аналити+ари +есто зане-ару$у овакве


10/29

детае" !ри то-е се увек уноси одређена гре0ка $ер ови детаи .о

.равилу изазива$у локалну кон3ентра3и$у на.она"

Q" 5,'"' :и+",'*и7%1и4'

!од дискретиза3и$о- се .одразу-ева дее1е -одела структуре на

низ одговара$ући,

кона+ни, еле-ената .ри +е-у се .ос-атрани до-ен са *ескона+но

сте.ени сло*оде

за-е1у$е дискретизовани- -одело- ко$и и-а кона+ни *ро$ сте.ени

сло*оде"

2. Т8ОУ6АОНИ ЕЛЕМЕНТ СА ЧВО8ОВИМА У

ТЕМЕНИМА Т8ОУ6ЛАНа сли3и $е .риказан троугаони еле-енат са +ворови-а QR ко$и су у

те-ени-а троугла а о*еле2ени су тако да индекси QR иду у с-еру

су.ротно- од крета1а казаке на сату"

ао основне не.ознате у +ворови-а усва$а$у се ко-.оненте .о-ера1а T

и U тако да $е векторqi не.ознати, у +вору V $еднак:

qi=[uivi ] она+ни еле-ент о*лика трогла са +ворови-а у те-ени-а и-а %

с.оа01и, сте.ени сло*оде .о Q у свако- +вору" Nа ко-.оненте

.о-ера1а T и U у еле-енту -о2е се .рет.оставити линеарна

.ро-енаодносно у о*лику .олино-а са уку.но % не.ознати,

коефи3и$ената:


11/29

u=α

1+α

2∙ x+α

3∙ y

U¿ β

1+ β

2∙ x+ β

3∙ y

)ве $една+ине -огу да се .рика2у у -атри+но- о*лику као:

u= А ∙ α где су: u=[uv ]

А=⌊1 x y 0 0 0

0 0 0 1 x y ⌋

α T =⌊α

1 α

2 α

3 β

1 β

2 β

3 ⌋

;ко се $една+ина u= А ∙ α .рика2е за та+ке WX ко$е се .окла.а$у са

+ворови-а Q и R до*и$а се

qi=⌊1 xi y i 0 0 0

0 0 0 1 xi y i ⌋

)дносно q=C ∙ α где $е: JY

[1 x1 y10 0 0

0 0 0

1 x1 y1

1 x2

y2

0

1

0

0

x3

0

0

y3

0

0

1

0

0

x2

0

0

y2

0

1 x3

y3]

Из $една+ине q=C ∙ α -огу да се одреде не.ознати коефи3и$енти

α i и β i VYQR у зависности од .о-ера1а у +ворови-а т$"

α =C −1 ∙ q

где $е инверзна -атри3а C −1


12/29

C −1=¿

1

2 ∙ ∆

[

a1 0 a 2b

1 0 b

2

0 a3 0

0 b3

0

c1

0 c2

0

00

a1

b1c

1

0

00

0

a2

b2

c3

0

0

0

a3

b3c

2 0 c

3

]

2 ∆=

[

1 x1

y1

1

1

x2 x

3

y2 y

3

] двострука

.овр0ина троугла

a1= x

2∙ y

3− x

3∙ y

2

b1= y

2− y

3

c1= x

3− x

2

)стали коефи3и$енти у -атри3и C −1

до*и$а$у се 3икли+но-

.ер-ута3и$о- индекса QR"

С-ено- α =C −1

∙ q у u= А ∙ α до*и$а се:

u=⌊1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

⌋ 12∙ ∆

[ a 1 0 a2b

1 0 b

2

0 a3 0

0 b3

0

c1 0 c2

0

0

0

a1

b1

c1

0

0

0

0a

2

b2

c30

0

0a

3

b3

c2

0 c3] [

u1v

1

u2v

2

u3

v3]односно:

u= 12 ∙ ∆ [

a1+b1 ∙ x+c1∙ y 0 a2+b2∙ x+c2 ∙ y 0 a3+b3∙ x+c3 ∙ y 00 a

1+b

1∙ x+c

1∙ y 0 a

2+b

2∙ x+c

2∙ y 0 a

3+b

3∙ x+c

3∙ y ]

[u1v1

u2v2

u3

v3]


13/29

)ва$ израз -о2е да се .рика2е кратко 9:& ∙ q

где $е N -атри3а интер.ола3иои, функ3и$а:

Z ¿

[ N

1 0 N

2 0 N

3 0

0 N 1 0 N

2 0 N

3]са еле-енти-а:

N i Y1

2 ∙ ∆ ai+b i ∙ x+ci ∙ y VYQR

ао 0то се види функ3и$е N i .редстава линеарну интер.ола3и$у

.оа .о-ера1а" 7еза из-еђу ко-.онената дефор-а3и$а у *ило ко$о$

та+ки еле-ента и .о-ера1а у +ворови-а $е:

¿0

0

ε=[¿ ] [ N 1 0 N 2 0 N 3 00 N 1

0 N 2

0 N 3] [

q1

q2q

3]

односно: ε :; ∙ q

где $е B1

2 ∙ ∆ [ b

1 0 b

2 0 b

3 0

0 c1

0 c2

0 c3

c1

b1

c2

b2

c3

b3

] , ;: ?() елеме".

!олазећи од израза за дефини3и$у -атри3е крутости за троугаони

еле-енат са константно- де*ино- \ до*и$а се:

@: ∫BT

∙ D ∙ B ∙ d V ¿h∫BT

∙ D ∙ B ∙ d x ∙ d y ¿h ∙ ∆ ∙ BT

∙ D ∙ B


14/29

Структура -атри3е ]Y [ d ij ] .о-оћу ко$е се ус.остава веза из-еђу

ко-.онената на.она и ко-.онената дефор-а3и$е $е следећа:

]Y

[d

11 d

12 0

d 21 d22 00 0 d

33]Mади $едноставности сра+унава1а еле-ената -атри3е K ко$а се -о2е

деко-.оновати на *локове реда QWQ:

KY [k 11

k 12

k 13

k 21

k 22

k 23

k 31

k 32

d33

]-атри3у ^ $е .огодно .риказати у следеће- о*лику:

^Y [B 1 B2 B3 ] где су:

B i=¿ 1

2 ∙ ∆ [bi 0

0 c ic i bi

] i8 4ако да $е

k ij=BiT

∙ D ∙ B j ∙ h ∙ ∆ i , j=1,2,3

С-ено- -атри3аB i и ] у .рет,одну $една+ину након извр0еног

-но2е1а до*и$а се:

k ij=

h

4 ∙ ∆

bi d11b j+c i d33c j b i d12 c j+c i d33 b jci d21b j+bi d33 c j c i d22c j+b i d33 b j

Nа слу+а$ равног ста1а на.она када $е -атри3а ] дата изразо-

]Y E

1−ν2 [1 ν 0

ν 1 0

0 0 1−ν

2 ] до*и$а се:


15/29

k ij= Eh

4 ∙ ∆∙(1−ν2) [ b i b j+ β c i c j ν b i c j+ β c i b jνc i b j+ β b i c j ci c j+ βbi b j ] β=1−ν

2

Силе у +ворои-а услед с.оа01ег о.тереће1а -огу се одредити .ре-а

изразу:

_Y ∫ N T

∙ F ∙ d V +∫ N T ∙ p ∙ d

На та$ на+ин услед за.ре-ински, сила F x и

F y до*и$а се:

_Y ∫ N T

∙[ F x F y ]∙ h ∙ d x ∙d y=h∫ [ N

1

0

0

N 1

N 20

0

N 2

N 3

0

0

N 3] [

F x F y ]d x d y

Nа F x=c!"#$ и F y=c!"#$ до*и$а се:

%i Y [ F x F y ]

∙ h∙∫ N i ∙ d x ∙ d y=[ F x F y ]

∙ h2 ∙ ∆

∙∫(a i+bi ∙ x+c i ∙ y )d x ∙ d y

;ко се координате W и X -ере у односу на те2и0те троугла како $е

∫ x d x d y=∫ y d x d y=0

.рет,одни израз .оста$е:

%i=

[% x

% y

]=

ai

2

∙

[ F x

F y

]=

∆

3

∙

[ F x

F y

]


16/29

Из .ослед1ег израза -о2е-о заку+ити да се уку.не за.ре-инске силе

у еле-енту у .рав3у W и X осе деле равно-ерно на .о три силе у

+ворови-а ко$е су у .рав3у оса W и X" На кра$у на.они -огу да се

са+уна$у .ре-а:

& = D ( ε−$ ∙ α )= D ∙ B ∙ q− D∙ $ ∙ α = ' ∙ q−$ ∙ D ∙ α

где $е:

' Y [d

11b

1 d

12c

1 d

11b

2 d

12c

2 d

11b

3 d

12c

3

d21

b1

d22

c1

d21

b2

d22

c2

d21

b3

d22

c3

d33

c1

d33

b1

d33

c2

d33

b2

d33

c3

d33

b3

] 4роугаони еле-ент са +ворови-а у те-ени-а троугла $е врло $едноставан и .огодан за .ракти+не .рора+уне" !ро-ена .о-ера1а у

еле-енту $е линеарна док су дефор-а3и$е и на.они константни"

Пло#е "а4рег"е -војој рав"$Nа .ло+е о.терећене за.ре-ински- или .овр0ински- сила-а

равно-ерно рас.одеени- .о де6ини .ло+е и .аралелни- сред1о$

равни ка2е-о да су "а4рег"е -војој рав"$"


17/29

)ва врста на.реза1а се назива ,%/$и $%0,'7%G'" Сред1а раван

.ло+е за ову врсту на.реза1а оста$е равна и након дефор-а3и$е 0то

зна+и да се дефор-а3и$а одви$а 6ез криве1а .ло+е"

Mавно на.реза1е карактери0у у #екартово- координатно- систе-у

.ресе+не силе: ZW ZX ZWX .риказане на сли3и:

ако $е .ре-а у+и1ено$ .рет.остав3и о.тереће1е .ло+е равно-ерно

рас.одеено .о 1ено$ де*ини у теори$и .ло+а на.регнути, у сво$о$

равни узи-а се да су и на.они `W `X и( xy равно-ерно рас.оређени .о

де*ини .ло+е" Изрази за .ресе+не силе су :

ZWY \a`W ZXY \a `X ZWXY \a( xy

4акође .рет.остава се да су на.они `b( )x , ( )y у 3ело$ о*ласти

$еднаки нули" )ви на.они су савакако с о*зиро- на то да основе .ло+е

нису о.терећене за b Y c \/Q $еднаки нули" ако $е де*ина .ло+е

-ала -о2е се са разлого- с-атрати да ти на.они из-еђу основа -Bгу

и-ати -але вредности у .оређе1у са остали- ко-.онентални-

на.они-а и да се -огу зане-арити"

7езу из-еђу .ресе+ни, сила и .овр0инског о.тереће1а слика

до*иће-о из услова равноте2е сила ко$е на еле-ентарно$ .риз-и


18/29

исе+ено$ из .ло+е са две равни .аралелне са Wb'равни на расто$а1уd y

и две равни .аралелне са bX'равни на расто$а1уd x "

Из услова да $е з*ир сви, сила у .рав3у те2и0не осе .аралелне W'оси

$еднак нули налази-о .осле краће1а са IJy :

* Nx

* x d*Nxy

* y d e Y &

4акође из услова да $е з*ир сви, сила у .рав3у те2и0не осе .аралелне

X'оси $еднак нули налази-о након краће1а са IJy :

* Ny

* y d*Nyx

* x d f Y &

Из$една+ава$ући з*ир -о-ената сви, сила око b осе до*и$а-о:

ZWX Y ZXW

!рет,одни израз $е до*ро .ознати став # "#G35#/%$#+*и +и&3и

$%0#$%"


19/29

С о*зиро- на то да $е *ро$ .ресе+ни, сила већи за $едан од услова

равноте2е задатак $е стати+ки неодређен и за 1егово ре0е1е тре*а да

раз-отри-о и дефор-а3и$у .ло+е"

о-.оненталне дефор-а3и$е .ре-а у+и1ени- .рет.оставка-а и

с,одно gBBKH'ово- закону дате су изрази-а .реко .ресе+ни, сила:

εWY

1

E ∙ h∙( Nx−ν ∙ N y)

εX Y

1

E ∙ h∙( Ny−ν ∙ N x)

εb Y '

ν

E ∙ h∙( Ny+ Nx)

+ WX Y

2 ∙(1+ν) E ∙h

∙ Nxy

о-.оненталне дефор-а3и$е -о2е-о изразити .реко .о-ера1а

u, v , - ./012и30 WXb осе:

εWY

* u

* x ε

XY* v

* y ε

bY*

* ) +

WX

Y*u

* y +

* v

* x

Oунк3и$е ε Wε

X+

WX нису .от.уно независне већ -ора$у задовоити

тзв" став о .окла.а1у дефор-а3и$а" #ифен3ира$ући израз ε WY* u

* x

два .ута .о X зати- ε XY* v

* y два .ута .о W и са*ира$ући и,

до*и$а-о:


20/29

*3

4

* x * y2+

*3V

* y * x2 Y

*2

ε x

* y2 d

*2

ε y

* x2

С друге стране дифен3ира$ући $една+ину + WX Y*u

* y +

* v

* x .о W и X

до*и$а-о:

*3

4

* x * y2+

*3

V

* y * x2=

*2

+ xy

* x * y

С о*зиро- на то да су леве стране .рет,одни, $една+ина $еднаке -ора$у

*ити и десне .а до*и$а-о:

*2

ε x

* y2

d

*2

ε y

* x2

Y

*2

+ xy

* x * y

Nа-ено- израза за ко-.оненталне дефор-а3и$е у ову $една+ину

до*и$а-о трећу $една+ину" Систе- од три диферен3и$алне $една+ине у

ко$и-а фигури0у са-о .ресе+не силе $е:

* Nx

* x d*Nxy

* y d e Y &

* Ny

* y d*Nyx

* x d f Y &

*2( Nx−ν∗ Ny)

* y2 d

*2( Ny−ν∗ Nx)

* x2 Y 2(1+ν )

*2 N xy

* x * y

!осту.ак свође1а .ро*ле-а на стати+ки не.ознате назива се '*#:%

+и%" Метода дефор-а3и$е код .ло+а на.регнути, у сво$о$ равни ни$е

на0ла .ри-ену у ре0ава1у .о$едини, .ро*ле-а наро+ито ако су

грани+ни услови задати .о сила-а"

Увође1е- на.онске функ3и$е h iVGX'ева функ3и$а са осо*ино-:

*2 F

* x * y Y ' ZWX


21/29

и .од .рет.оставко- да се ко-.оненте о.тереће1а e f -огу изразити

као .ар3и$ални изводи неке функ3и$е .отен3и$ала j систе- од три

.ар3и$алне дифен3и$алне $една+ине -о2е се лако свести на $едну

.ар3и$алну диферен3и$алну $еда+ину"

;ко $е eY '*4 * x fY '

*4 * y

тада .рве две $една+ине гласе:

*

* x ( Nx−

*2

F

* y2−4 ) Y &

*

* y

( Ny−*

2 F

* x2−4 ) Y &

)ве $една+ине *иће задовоене ако стави-о:

ZWY*2 F

* y2 d j и ZXY

*2 F

* x2 d j

ада у трећу $една+ину унесе-о овако до*и$ене изразе за ZW ZX

до*и$а-о:

*4 F

* x4 d Qk

*4 F

* x2

* y2 d

*4 F

* y4 d ' ν k

*2

4

* x2 +

*24

* y2 Y &

Или краће о*еле2ава$ући са:

∆ Y*2

* x2 d

*2

* y2

∆ ∆ F +(1

−ν ) ∆ 4 =0


22/29

ао 0то види-о .ро*ле- .ло+е на.регнуте у сво$о$ равни своди се на

диферен3и$алну $една+ину +етвртог реда и уз одговара$уће грани+не

услове до*и$а-о ре0е1е задатка" Nа слу+а$ да су силе e и f константне

.о 3ело$ о*ласти или $еднаке нули и-а-о *и,ар-они$ску $една+ину:

∆ ∆ F =0

8ав"о "а4реза0е 4олар"$м !оорд$"аама

!оло2а$ сваке та+ке одређен $е .олари- координата-а G и 5 6

ао 0то с-о .о-енули .ро*ле- .ло+е на.регнуте у сво$о$ равни у

#екартови- координата-а за e Y fY& своди се на ре0ава1е $една+ине

∆ ∆ F =0 уз одговара$уће грани+не услове"

!ресе+не силе *иле су дате изрази-а:

ZWY*2

F

* y2 ZXY

*2

F

* x2 ZWX ¿−

*2 F

* x * y

!о аналоги$и са .ро6ле-о- .ло+е на.регнуте на сави$а1е

диферен3и$ална $една+ина на.реза1а у равни и-а исти о6лик"


23/29

Наи-е .ро*ле- .ло+е на.регнуте на сави$а1е сводио се на ре0ава1е

не,о-огене диферен3и$алне $една+ине:

∆ ∆7 = 8

9

У #екартови- координата-а lH ∆ ∆7 =*4

7

* x4 d Qk

*4

7

* x2

* y2 d

*4

7

* y4

док у .оларни- :;;/030 ∆ ∆ 7 Y ( *

2

* ?2+1

?

*

*? +

1

?2

*2

* 52)(

*2

,

* ?2 +

1

?

* ,

* ? +

1

?2

*2

,

* 52 )

#акле ако у диферен3и$алну $една+ину .ло+е на.регнуте на сави$а1е

у-есто функ3и$е E стави-о функ3и$у h до6иће-о $една+ину на.реза1а у

равни:

( *

2

* ?2+1

?

*

*? +

1

?2

*2

* 52)(

*2 F

* ?2 +

1

?

* F

* ? +

1

?2

*2 F

* 52 )

= 0

Изразе за .ресе+не силе до*и$а-о тако 0то налази-о .ар3и$алне

изводе функ3и$е F .о W и X изра2ене .реко G и

5

"

* F

* y =

* F

* ?

* ?

* y+

* F

* 5

* 5

* y Y ¿

* F

*? #i"5+

1

?

* F

* 5 c!#5

* ² F

* y ²=

*

* y

* F

* y =

* ² F

*? ²sin ² 5+

2

?

* ² F

* ? * 5 #i"5c!#5−

2

? ²

* F

* 5 #i"5c!#5+

1

?

* F

*5 cos² 5+

1

? ²

* ² F

* 5 ²cos ² 5

`

;ко φ @ 0, ZW @ ZG , cos 5 @ 1, sin 5 @ 0 и-а-о:

N?=

* ² F

* y ²=

1

?

* F

*? +

1

? ²

* ² F

* 5 ²


24/29

;ко φ @

A

2 , ZW @ Z 5 , cos5 @ 0, sin 5 @ 1 и-а-о:

N5=* ² F

* y ²=

* ² F

*?

;ко φ @ 0, ZWX @ ZG 5 и-а-о:

N?5=−* ² F * x * y

=−1

?

* ² F

* ? * 5+

1

? ²

* F

*5 =−** ? (

1

?

* F

* 5)

Nа слу+а$ рота3ионо си-етри+ног на.реза1а односно за слу+а$ да

.ресе+не силе не зависе од координате φ до*и$а-о диферен3и$алну

$една+ину:

∆ ∆ F =( d

2

d ?2 +

1

?

d

d? )(

d2

F

d ?2 +

1

?

dF

d? ) = 0

ZG Y1

?

dF

d? Zm Yd

2

F

d ?2 ZGφ Y &

#иферен3и$ална $една+ина у рзви$ено- о*лику:

d

4

F d?

4 +2

? d

3

F d?

3 − 1

?2 d

2

F d?

2 + 1

?3 dF d? =0

).0те ре0е1е диферен3и$алне $една+ине :

F = D + A∙lnr + B∙r + !∙r∙lnr

i^J] су интегра3ионе константе ко$е одрђу$е-о из грани+ни, услова"

Nа .ресе+не силе до*и$а-о изразе:

&A : '1

?2 B 2C; B ?CD1B 2CEFAG

&H : I '1

?2 B 2C; B ?CD,B 2CEFAG


25/29

&AH : J

А"ал$$#!о ре7е0е зада!а

4ело ко$е раз-атра-о $е рота3ионо си-етри+но висине n " С о6зиро-

на то да $е теори$а те6ели, уски вео-а ко-.ликована ре0е1е

до6и$а-о .ос-атра$ући на0е тело као .рстенасту .ло+у"


26/29

L,%$и&$и 3+#/иM

r ! r 8O !

Nr ;8O NP! Nr O NP !

И-а-о два грани+на услова а три не.ознате константе .а на- $е

.отре*ан $о0 $едан услов ко$и ће-о до*ити раз-атра1е- дефор-а3и$е

.ло+е"

о-.оненталне дефор-а3и$е за слу+а$ рота3ионе си-етри$е:

ε?=du

d?

ε5=u

?

+ ?5 =0


27/29

где $е u ради$ално .о-ера1е"

TY ε5 aG

@du

d?=ε5 d G

d ε5

d? =ε? @ -;1 :;3.0>ии=;>и


28/29

H

52 d Qa^ Y '& Z/n @ &"&Lai dQa^ Y '& @ i Y ' RRR"RRRR

H

102 d Qa^ Y & Z/n @ &"&ai d Qa^ Y & @ ^ Y "%%%>

Q#$%&$и и7,%7и 7% 0,'+'&$' +и' +3M

ZG Y '333.3333

?2 d R"RRRR

Zm Y333.3333

?2 d R"RRRR

ZGm Y &

7,%7и 7% :'2#,%1и4+"' /'и&и$' и 0#',%G% и7,%-'$и 0,'"#

3$3*,%Gи +и% "%# *# +# /и:'и и5':%43M

ε? =1

E ∙ h ∙( N ? – ν ∙

N 5 ) ε5 =

1

E ∙ h ∙( N 5 – ν ∙

N ? )

TY ε5 aGY

?

E ∙ h a N 5 [ ν a

N ?

=,':$#+*и +и% :'2#,%1и4% и 0#',%G% 0,и"%7%$' +3 *%6'%,$# 3

#$и *%&"%% 5:' 0#&иG3 и 5:' +' 7%/,%/%43 "#$%&$и '''$*и ,%:и

%"'5 0#,''G% ,'73*%*% :06и4'$и '*#:# ?QT.


29/29

mke - teorijaаа novooooo.docx

Documents