ml cap 4

Cinemática d i r e c t a

h ai di : (3i

Hl-i = HRÍ9,)HTAdi\(5i)HTAk)HRAa,)

4.1 I n t r o d u c c i ó n "

4 .2 C i n e m á t i c a i n v e r s a

4 .3 C i n e m á t i c a d i f e r e n c i a l

4 .4 Clasif icación d e r o b o t s i n d u s t r i a l e s

4.5 C o n v e n c i ó n D e n a v i t - H a r t e n b e r g

4.6 R e s u m e n

Objetivos

P r e s e n t a r e l m o d e l o de c i n e m á t i c a d i r e c t a de las p r i n c i p a l e s c o n f i g u r a

ciones de r o b o t s i n d u s t r i a l e s c o n s i d e r a n d o los p a r á m e t r o s g e o m é t r i c o s y

d e s a r r o l l a r l ibrerías en l e n g u a j e M A T L A B (toolbox) que p e r m i t a n r e a l i z a r

ap l i cac iones en el área de c i n e m á t i c a d i r e c t a de r o b o t s m a n i p u l a d o r e s .

O b j e t i v o s p a r t i c u l a r e s :

M a t r i c e s de r o tac i ón .

T r a n s f o r m a c i o n e s h o m o g é n e a s .

M é t o d o de D e n a v i t - H a r t e n b e r g . ..." . •. i i r ,

C i n e m á t i c a d i r e c t a c a r t e s i a n a . *

Librerías de análisis y d iseño de c i n e m á t i c a de r o b o t s i n d u s t r i a l e s .

4.1 I n t r o d u c c i ó n 185

4.1 Introducción

C I N E M Á T I C A es l a p a r t e de l a física que e s t u d i a e l m o v i m i e n t o de s i s temas

mecánicos , s i n t o m a r en c u e n t a las fuerzas que o r i g i n a n d i c h o m o v i m i e n t o ,

por lo t a n t o no i n v o l u c r a ecuaciones d i f e renc ia les c o m o en e l caso de l a d i n á m i c a .

Al estudio de l a c inemát i ca de s i s temas m e c a t r ó n i c o s y r o b o t s m a n i p u l a d o r e s se

le denomina cinemática directa, se ref iere a l e s t u d i o anal í t i co d e l m o v i m i e n t o

del r o b o t c on respecto a u n s i s t e m a de re f e renc ia c a r t e s i a n o fijo T,Q [xo^yo, X Q )

relacionando l a d e p e n d e n c i a que ex i s te e n t r e las c o o r d e n a d a s a r t i c u l a r e s o

generalizadas q G H " , y los p a r á m e t r o s g e o m é t r i c o s ( l o n g i t u d e s d e l ¿ -és imo es labón

Ij), con coordenadas car tes ianas [x,y,z]^ G IR*^ y l a o r i entac ión [O^é^ip]^ e IR^ d e l

extremo final de l r o b o t a través de u n a func ión v e c t o r i a l c o n t i n u a y d i f e r e n c i a b l e

en la v a r i a b l e de es tado q, g e n e r a l m e n t e no l i n e a l .

Cinemática d i r e c t a es u n a func ión v e c t o r i a l fji{li,q) que r e l a c i o n a las

coordenadas a r t i c u l a r e s q G IR"^ y p r o p i e d a d e s g e o m é t r i c a s d e l s i s t e m a m e c á n i c o

k con las c oordenadas car tes ianas [x,y,z]^ G IR^ d e l r o b o t y l a o r i entac ión

0, ' í / ;] '^ G ]R^ de l a h e r r a m i e n t a c o l o c a d a en el e x t r e m o final. Es dec i r f R :

IR" ^ IR"^ t a l que :

= fRÍh,q) (4 .1 )

donde n i n d i c a e l n ú m e r o de g rados de l i b e r t a d y l a d i m e n s i ó n d e l v e c t o r

de coordenadas a r t i c u l a r e s g, m es l a d i m e n s i ó n c o n j u n t a de las c o o r d e n a d a s

cartesianas y l a or ientac ión de l a h e r r a m i e n t a de t r a b a j o .

De m a n e r a genera l , e l p o s i c i o n a m i e n t o d e l e x t r e m o final d e l r o b o t e n e l espacio

t r id imens iona l {pose) r e q u i e r e de 6 c o o r d e n a d a s ( m = 6 ) : 3 c o o r d e n a d a s p a r a l a

MATLAB A P L I C A D O A R O B Ó T I C A Y M E C A T R Ó N I C A • F E R N A N D O R E Y E S C O R T É S A L F A O M E G A

186 C a p í t u l o 4; C i n e m á t i c a d i r e c t a

posic ión c a r t e s i a n a y 3 c oo rdenadas p a r a l a o r i entac ión de l a h e r r a m i e n t a de t r a b a j o .

D e p e n d i e n d o de l a ap l i cac ión d e l r o b o t se p u e d e n r e q u e r i r menos coordenadas

de pos i c i ón y or ientac ión . P o r e j e m p l o , u n r o b o t p a r a p i n t u r a de a r m a d u r a s

a u t o m o t T i c e s l e q u i e i e \as ^ c o o i d e n a d a s , e\e cow \ TOXÍOX qwe c o i l a ^gMias

de plást ico sobre u n p l a n o r e q u i e r e 2 c o o r d e n a d a s car tes ianas de p o s i c i ó n y n i n g u n a

de or ientación. C u a n d o n > m se d e n o m i n a r o b o t s r e d u n d a n t e s . E l e m p l e o de la

c inemát ica d i r e c t a r e s u l t a de u t i l i d a d en l a p lani f i cac ión de t r a y e c t o r i a s y en el

c o n t r o l ca r t e s iano . E l p a p e l f u n d a m e n t a l de l a c i n e m á t i c a d i r e c t a , es c o m p u t a r la

pos ic ión y or ientac ión d e l e x t r e m o final d e l r o b o t m a n i p u l a d o r c o m o u n a función de

las var iab les a r t i c u l a r e s . >

U n r o b o t m a n i p u l a d o r se c o n s i d e r a c o m o u n a serie de eslabones i n t e r c o n e c t a d o s

a través de a r t i c u l a c i o n e s ( s e r v o m o t o r e s ) r o t a c i o n a l e s o pr i smát i cas en f o r m a de

cadena c inemát i ca a b i e r t a , es dec i r e l e x t r e m o final d o n d e se co l o ca l a h e r r a m i e n t a

no se e n c u e n t r a c o n e c t a d a m e c á n i c a m e n t e a l a p r i m e r a ar t i cu lac ión (base) del

r o b o t . Desde e l p u n t o de v i s t a t o p o l ó g i c o , l a cadena c i n e m á t i c a se cons idera

a b i e r t a c u a n d o los dos e x t r e m o s de l a c a d e n a n o se t o c a n . D e o t r a m a n e r a la

cadena c inemát i ca f ormar ía u n lazo s i sus dos e x t r e m o s están mecán i camente

un idos .

L a e s t r u c t u r a m e c á n i c a d e l r o b o t m a n i p u l a d o r se c a r a c t e r i z a p o r t e n e r u n número

de grados de l i b e r t a d , los cuales d e t e r m i n a n en f o r m a única su configuración.

T íp i camente , cada g r a d o de l i b e r t a d está asoc iado a u n a ar t i cu lac ión (var iab le

a r t i c u l a r q).

4.2 Cinemática inversa

A D A l a pos i c i ón de l e x t r e m o final d e l r o b o t en c o o r d e n a d a s cartesianas

_y [ x , y, zY y l a or ientac ión [ip, 9, 0 ] ^ , c o n respec to a u n s i s t e m a de re f e renc ia fijo

So (xo , í/O)-2 0)5 así c o m o los p a r á m e t r o s g e o m é t r i c o s /¿, entonces surge l a p r e g u n t a

n a t u r a l : ¿pueden obtenerse las c o o r d e n a d a s a r t i c u l a r e s d e l r o b o t q p a r a que el

e x t r e m o final de l r o b o t se pos i c i one en las c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s s o l i c i t a d a s , con

l a or ientac ión r e q u e r i d a ?

A L F A O M E G A M A T L A B A P L I C A D O A R O B Ó T I C A Y M E C A T R Ó N I C A • F E R N A N D O R E Y E S C O R T É S .

4.3 C i n e m á t i c a d i f e r e n c i a l 187

El p r o b l e m a p l a n t e a d o se conoce c o m o c i n e m á t i c a i n v e r s a y r e p r e s e n t a u n área

de la r obó t i ca de m a y o r c o m p l e j i d a d que l a c i n e m á t i c a d i r e c t a . P a r a u n r o b o t

manipu lador s i e m p r e es p o s i b l e e n c o n t r a r e l m o d e l o de c i n e m á t i c a d i r e c t a , m i e n t r a s

que en l a c inemát i ca i n v e r s a p u e d e n h a b e r v a r i a s so luc iones e i n c l u s i v e n o e x i s t i r

solución anal ít ica; si este es e l caso, entonces c o m o pos ib les f o r m a s de so luc i ón p u e d e n

proponerse redes neurona les , m é t o d o s numér i cos , i t e r a t i v o s , g e o m é t r i c o s , e t cétera .

La c i n e m á t i c a i n v e r s a es u n p r o b l e m a no l i n e a l q u e r e l a c i o n a las c o o r d e n a d a s

art i cu lares en función de las c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s y l a o r i entac i ón de l a

h e r r a m i e n t a d e l e x t r e m o final d e l r o b o t m a n i p u l a d o r

Q = f R{x,y,z,li,e,(¡),ijj) (4 .2 )

donde f R { X , y, z, 6, 0 , ip) es func ión i n v e r s a de l a e c u a c i ó n ( 4 . 1 ) .

4.3 Cinemática diferencial

A c inemát i ca d i f e r e n c i a l d i r e c t a es l a d e r i v a d a c o n respec to a l t i e m p o de l a

_J c inemát ica d i r e c t a

— \x y z di ^ ^

0 (p V

w (4 .3)

Como se ve, ésta r e l a c i o n a l a v e l o c i d a d a r t i c u l a r q E I R " c o n l a v e l o c i d a d l i n e a l

V = j-^[x,y,z]^ = ¿ ] " ^ E IR^ y l a v e l o c i d a d a n g u l a r w = -^[9, 4),'i¡j]^ =

[é^ct),!^]^ E IR^, a d e m á s e l m a p e o es d e s c r i t o en t é r m i n o s de u n a m a t r i z J{q) —

^^Qq^^ E IR^^'^ d e n o m i n a d a jacobiano del robot o jacobiano analítico:

Jv{q)

.Jw{q). (4 .4 )

Jv{q) E I R ^ ^ " r e l a c i o n a l a v e l o c i d a d a r t i c u l a r q E I R " c o n l a v e l o c i d a d l i n e a l v E IR^ ,

mientras que J W { Q ) € I R ^ ^ " r e l a c i o n a l a v e l o c i d a d a n g u l a r w E JR^ c o n l a v e l o c i d a d


188 C a p í t u l o 4: C i n e m á t i c a d i r e c t a

a r t i c u l a r q G I R " , es dec i r :

V

w = J{q)q =

Jv(q)q

.Jw{q)q (4 .5)

E l j a c o b i a n o de l r o b o t r e p r e s e n t a u n a i m p o r t a n t e h e r r a m i e n t a en r o b ó t i c a que s i rve

p a r a c a r a c t e r i z a r a u n r o b o t m a n i p u l a d o r , e n c o n t r a r c o n f i g u r a c i o n e s s i n g u l a r e s ,

a n a l i z a r r e d u n d a n c i a , d e t e r m i n a r l a c i n e m á t i c a d i f e r e n c i a l i n v e r s a , así c o m o d e s c r i b i r

l a relación e n t r e l a fuerza a p l i c a d a y los pares o t o r q u e s r e s u l t a n t e s d e l e x t r e m o final.

Es i n d i s p e n s a b l e p a r a e l análisis y d iseño de a l g o r i t m o s de c o n t r o l c a r t e s i a n o .

H a y var ias f o r m a s de se lecc ionar l a o r i entac i ón de l a h e r r a m i e n t a d e l r o b o t

m a n i p u l a d o r : si de m a n e r a p a r t i c u l a r d i c h a o r i entac ión es r e p r e s e n t a d a p o r los

ángulos de E u l e r ( u n s i s t e m a de r e f e r e n c i a asoc iado a l e x t r e m o final d e l r o b o t o

a l a h e r r a m i e n t a de t r a b a j o ) , entonces l a v e l o c i d a d a n g u l a r w = [ ^ , 0 , ?/^]^ G IR^

r e l a c i o n a l a m a t r i z j a c o b i a n o anal í t i co , c o m o se e n c u e n t r a d e s c r i t a en l a ecuac ión

(4 .3 ) . O t r a pos ib l e f o r m a de m o d e l a r l a o r i entac ión de l a h e r r a m i e n t a d e l r o b o t es

e x p r e s a r l a d i r e c t a m e n t e en u n s i s t e m a de r e f e renc ia especí f ico , p o r e j e m p l o a l o r i g e n

l o c a l i z a d o en l a base d e l r o b o t , entonces a l a m a t r i z J{q) se le d e n o m i n a jacobiano

geométrico que depende de l a conf igurac ión d e l r o b o t m a n i p u l a d o r . E l j a c o b i a n o

anal í t ico d i f i e re d e l j a c o b i a n o g e o m é t r i c o : b á s i c a m e n t e l a d i f e r e n c i a se e n c u e n t r a en

c ó m o m o d e l a r l a or ientac ión de l a h e r r a m i e n t a de t r a b a j o d e l r o b o t .

L a c inemát i ca d i f e r e n c i a l i n v e r s a r e p r e s e n t a l a re lac ión e n t r e l a v e l o c i d a d a r t i c u l a r

q c on l a v e l o c i d a d l i n e a l de m o v i m i e n t o v y l a v e l o c i d a d a n g u l a r w, e x p r e s a d a en

términos de l a m a t r i z i n v e r s a d e l j a c o b i a n o d e l r o b o t :

q = J'\q) V

w (4.6)

d o n d e J ^{q) E I R ^ ^ " es l a m a t r i z i n v e r s a d e l j a c o b i a n o d e l r o b o t , l a c u a l ex i s te si

es u n a m a t r i z c u a d r a d a y su d e t e r m i n a n t e es d i f e r e n t e a cero .

Si el d e t e r m i n a n t e de l j a c o b i a n o d e l r o b o t J{q) es cero , entonces se d i ce q u e n o es

de r a n g o c o m p l e t o y se p r e s e n t a n p r o b l e m a s de singularidades.


4.4 Clasif icación d e r o b o t s i n d u s t r i a l e s 189

jjjyil S i n g u l a r i d a d s i g n i f i c a que n o es p o s i b l e i n d i c a r l e u n m o v i m i e n t o a r b i t r a r i o

a l e x t r e m o final d e l r o b o t , es dec i r p a r a u n a v e l o c i d a d l i n e a l v y v e l o c i d a d

a n g u l a r w finitas puede c o r r e s p o n d e r u n a v e l o c i d a d a r t i c u l a r q i n f i n i t a .

Puede e x i s t i r u n c o n j u n t o i n f i n i t o de so luc iones p a r a l a c i n e m á t i c a d i r e c t a .

jjjyil L a c inemát i ca i n v e r s a d i f e r e n c i a l t i e n e u n n ú m e r o i n f i n i t o de so luc iones .

IQIII E n c o n t r o l c a r t e s i a n o l a f u e r z a a p l i c a d a a l r o b o t p u e d e p r o v o c a r u n p a r

i n f i n i t o a las a r t i c u l a c i o n e s d e l r o b o t .

IjQII D e p e n d i e n d o d e l t i p o de r o b o t , las s i n g u l a r i d a d e s p u e d e n g e n e r a r u n n ú m e r o

i n f i n i t o de p u n t o s de e q u i l i b r i o e n l a e c u a c i ó n e n lazo c e r r a d o , f o r m a d a p o r

l a d i n á m i c a d e l r o b o t y l a e s t r u c t u r a c a r t e s i a n a de c o n t r o l .

4.4 Clasificación de robots industriales

U' N r o b o t i n d u s t r i a l está c o m p u e s t o p o r u n a serie c o n s e c u t i v a de es labones y

a r t i c u l a c i o n e s p a r a f o r m a r u n a c a d e n a e n c i n e m á t i c a a b i e r t a , l a c u a l es l a

estructura mecán i ca bás i ca de u n r o b o t i n d u s t r i a l . L a c a d e n a en c i n e m á t i c a a b i e r t a

está f o r m a d a de l a s i g u i e n t e m a n e r a : l a p r i m e r a ar t i cu lac ión s i r v e p a r a f o r m a r l a

base; a cont inuac ión s i g u e n conexiones sucesivas e n t r e a r t i c u l a c i o n e s y es labones , e n

el extremo final d e l ú l t i m o es labón no h a y ar t i cu lac ión , g e n e r a l m e n t e se d e s t i n a a

colocar l a h e r r a m i e n t a de t r a b a j o p a r a l l e v a r a c a b o u n a ap l i cac i ón especí f ica. E l


190 C a p í t u l o 4 : C i n e m á t i c a d i r e c t a

e x t r e m o final d e l r o b o t n o se e n c u e n t r a c o n e c t a d o f ís icamente a l a base c o m o se

m u e s t r a en l a figura 4 . 1 : • ^ .

F i g u r a 4 .1 C a d e n a en c i n e m á t i c a a b i e r t a .

Las a r t i c u l a c i o n e s se c o n s t r u y e n p o r m e d i o de u n s e r v o m o t o r y r e p r e s e n t a n la

interconexión e n t r e dos es labones consecut ivos . U n a ar t i cu lac ión p u e d e r e a l i z a r

sólo u n t i p o de m o v i m i e n t o , y a sea l i n e a l , t a m b i é n c o n o c i d a c o m o pr i smát i ca , y

r o t a c i o n a l . L a figura 4.2 p r e s e n t a e l t i p o de a r t i c u l a c i o n e s :

' Lineal o prismática

F i g u r a 4 . 2 T i p o de a r t i c u l a c i o n e s : r o t a c i o n a l y l i n e a l o pr i smát i ca .

L a figura 4.3 m u e s t r a l a analog ía e n t r e e l b r a z o h u m a n o y u n b r a z o r o b o t o r o b o t

i n d u s t r i a l . L a art i cu lac ión de l a base c o r r e s p o n d e a l a c i n t u r a . L a art i cu lac ión

de l h o m b r o {shoulder) debe ser l a de m a y o r c a p a c i d a d c o n respec to a las o t r a s

a r t i c u l a c i o n e s , y a que es l a que m u e v e y s o p o r t a e l peso de l a ar t i cu lac ión d e l codo

{elbow) y de l a h e r r a m i e n t a de t r a b a j o , así c o m o l a c a r g a de o b j e t o s que rea l i ce

d u r a n t e i m a d e t e r m i n a d a ap l i cac ión . _ ^ r- ^ ; , n .

D e p e n d i e n d o d e l t i p o de a r t i c u l a c i o n e s ( l inea les o r o t a c i o n a l e s ) q u e se e n c u e n t r a n

i n c l u i d a s en l a e s t r u c t u r a m e c á n i c a en c i n e m á t i c a a b i e r t a de l a base, h o m b r o y

codo de l r o b o t ( s i n i n c l u i r las a r t i c u l a c i o n e s de l a o r i entac ión de l a h e r r a m i e n t a de


4.4 Clasif icación d e r o b o t s i n d u s t r i a l e s 191

F i g u r a 4 . 3 Base , h o m b r o y c odo de u n r o b o t i n d u s t r i a l .

trabajo) , se desprende l a c lasi f icación g e n e r a l de r o b o t s m a n i p u l a d o r e s i n d u s t r i a l e s ,

también conoc idos c o m o brazos r o b o t s : a n t r o p o m ó r f i c o , es fér ico , c i l i n d r i c o , S C A R A

y cartesiano.

T a b l a 4 .1 Clasi f icación d e r o b o t s i n d u s t r i a l e s

R o b o t Características Antropomórfico ( R R R ) 3 articulaciones rotacionales S C A R A ( R R P ) 2 articulaciones rotacionales y 1 prismática Esférico ( R R P ) 2 articulaciones rotacionales y 1 prismática Cilindrico ( R P P ) 1 articulación rotacional y 2 prismáticas Cartesiano ( P P P ) 3 articulaciones prismáticas

La n o m e n c l a t u r a e m p l e a d a en r o b o t s i n d u s t r i a l e s p a r a r e p r e s e n t a r e l t i p o de

movimiento que r e a l i z a n sus a r t i c u l a c i o n e s está d a d a de l a s i g u i e n t e m a n e r a :

R significa art i culac ión t i p o r o t a c i o n a l , m i e n t r a s q u e l a l e t r a P r e p r e s e n t a u n a

articulación pr ismát ica . E l o r d e n en que se p r e s e n t a n c o r r e s p o n d e a las a r t i c u l a c i o n e s

de la base, h o m b r o y codo , r e s p e c t i v a m e n t e . P o r e j e m p l o , e n l a t a b l a 4 . 1 l a n o t a c i ó n

robot c i l i n d r i c o ( R P P ) s i g n i f i c a que l a base es u n a ar t i cu lac ión r o t a c i o n a l , m i e n t r a s

que el h o m b r o y codo c o r r e s p o n d e n a a r t i c u l a c i o n e s pr i smát i cas . ;

En la figura 4.4 se m u e s t r a l a c lasi f icación de las 5 c o n f i g u r a c i o n e s de r o b o t s

industriales. . . . . . . . . . . . . .



F i g u r a 4 . 4 Clas i f i cac ión de los r o b o t s i n d u s t r i a l e s .

4.5 Convención Denavit-Hartenberg

E" L m é t o d o de D e n a v i t - H a r t e n b e r g es u n a h e r r a m i e n t a a m p l i a m e n t e c o n o c i d a en

J e l área de ingeniería, y a que ofrece u n p r o c e d i m i e n t o senc i l l o p a r a o b t e n e r el

m o d e l o c inemát i co d i r e c t o c u y a e s t r u c t u r a q u e d a e n t é r m i n o s de l a t r a n s f o r m a c i o n e s

homogéneas .

Jaques D e n a v i t y R i c h a r d S. H a r t e n b e r g e n 1955 p r e s e n t a r o n u n p r o c e d i m i e n t o

p a r a o b t e n e r u n a representac ión m í n i m a de l a o r i entac ión y t ras lac ión de r o b o t s

m a n i p u l a d o r e s . C o n s i s t e en d e t e r m i n a r u n a t a b l a de p a r á m e t r o s r e l a c i o n a d o s con

los eslabones d e l r o b o t . L a c o n v e n c i ó n D e n a v i t - H a r t e n b e r g t o m a c o m o re f e renc ia el

d i a g r a m a de u n r o b o t m a n i p u l a d o r e n cadena c i n e m á t i c a a b i e r t a c o m o se m u e s t r a

en l a figura 4.5.

Las var iab les a r t i c u l a r e s en l a representac ión D e n a v i t - H a r t e n b e r g se d e n o t a n c o n 9i

p a r a el t i p o r o t a c i o n a l , p r i smát i ca o l i n e a l p o r di; este p a r á m e t r o di t a m b i é n hace

el p a p e l de r e p r e s e n t a r e l ancho d e l s e r v o m o t o r de l a ar t i cu lac ión r o t a c i o n a l m á s el

espesor de l a p l a c a metá l i ca d e l es labón , e n este caso se d e n o t a p o r e l s í m b o l o (3Í; la

l o n g i t u d d e l es labón se r e p r e s e n t a c o n li y e l á n g u l o de separac i ón e n t r e los ejes Zi

y Zi-i se d e n o t a c o n ai. • ' ' • - ' "

E l ángulo 6i es e l ángulo e n t r e los ejes Xi-i y Xi m e d i d o a l r e d e d o r d e l eje z ^ - i ; di es


4.5 C o n v e n c i ó n D e n a v i t - H a r t e n b e r g 193

articulación

F i g u r a 4 .5 C o n v e n c i ó n D e n a v i t - H a r t e n b e r g p a r a u n r o b o t m a n i p u l a d o r .

la d i s tanc ia de l o r i g e n d e l s i s t e m a de re f e renc ia i — 1 a l a intersecc ión d e l eje Xi c o n

el eje Zi-i. Su m e d i c i ó n se r e a l i z a a l o l a r g o d e l eje z ^ - i , c o m o se i n d i c a e n l a figura

4.6. A d i c i o n a l m e n t e a las v a r i a b l e s a r t i c u l a r e s 9i y di, h a y 2 p a r á m e t r o s c o n s t a n t e s

que descr iben caracter íst icas específ icas d e l e s labón ¿ -és imo. Esos p a r á m e t r o s son :

el parámetro li se def ine c o m o l a d i s t a n c i a a l o l a r g o d e l eje Xi desde e l o r i g e n d e l

sistema de re ferenc ia c o o r d e n a d o i — 1 h a s t a l a intersecc ión d e l eje c o n e l eje Xi.

El o t ro p a r á m e t r o es e l ángulo e n t r e los ejes Zi y Zi-i se d e n o t a p o r ai, s u m e d i c i ó n

es respecto a u n p l a n o n o r m a l a Xi. U n a m e d i c i ó n de ángu lo p o s i t i v o p a r a ai se t o m a

en dirección d e l eje Z j - i h a c i a Zi. P o r e j e m p l o , p a r a u n r o b o t c o n 6 a r t i c u l a c i o n e s

rotacionales se r e q u i e r e n de 24 e l e m e n t o s p a r a d e s c r i b i r c o m p l e t a m e n t e s u m o d e l o

cinemático ( / i , Q ! i , ^ i ) .

Selección d e s i s t e m a s d e r e f e r e n c i a

En la m e t o d o l o g í a D e n a v i t - H a r t e n b e r g , p r i m e r o se descr ib irá l a c o n v e n c i ó n p a r a

asignar los s i s temas de re f e renc ia c a r t e s i a n o s asoc iados a los es labones d e l r o b o t .

En este p u n t o es necesario a c l a r a r que en l a l i t e r a t u r a de r o b ó t i c a , l a c o n v e n c i ó n

D e n a v i t - H a r t e n b e r g no es única , depende de l a se lecc ión de los s i s t emas de r e f e r e n c i a

cartesianos en las a r t i c u l a c i o n e s y es labones , así c o m o en sus eslabones adyacentes .



F i g u r a 4 . 6 C o n v e n c i ó n p a r a m e d i r OÍ y ai.

L a c inemát i ca d i r e c t a d e l r o b o t p r o p o r c i o n a las c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s d e l e x t r e m o

final de l r o b o t r e l a t i v o a u n s i s t e m a de r e f e r e n c i a c a r t e s i a n o fijo S o ( x o , yo, Z Q ) ; en la

figura 4.5 se m u e s t r a l a as ignac ión de s i s temas de r e f e r e n c i a p a r a las a r t i c u l a c i o n e s

i — 1-ésima, z-ésima e z + 1 de u n r o b o t m a n i p u l a d o r .

E n genera l se t i e n e el s i g u i e n t e p r o c e d i m i e n t o :

E l eje Zi se as igna r íg idamente a l a ar t i cu lac ión i + 1 . Es dec i r , ZQ es e l eje de

l a art i culac ión 1 , z i es e l eje de l a ar t i cu lac ión 2, y así suces ivamente .

jjQII LocaHzar e l o r i g e n o¿ d e l s i s t e m a de r e f e r e n c i a S¿ ( x ^ , ) en l a intersección

de l eje Zi c o n l a n o r m a l c o m ú n a los ejes Zi-i y Zi.

Seleccionar e l eje Xi-i sobre l a n o r m a l q u e u n e los ejes Zi^i y Zi en dirección

de l a art i culac ión 2 — 1 h a c i a l a ar t i cu lac ión i

D e f i n i r e l ángulo de tors ión ai, este es e l ángu lo e n t r e los ejes Zi y Zi^i y se

m i d e c o n v a l o r p o s i t i v o e n e l s e n t i d o de las m a n e c i l l a s d e l r e l o j sobre e l eje x¿.

Seleccionar e l eje yi p o r l a r e g l a de l a m a n o derecha .

L a convenc ión D e n a v i t - H a r t e n b e r g p r o p o r c i o n a u n a representac ión n o ún ica para

los s iguientes casos:

A L F A O M E G A M A T L A B A P L I C A D O A R O B Ó T I C A Y M E C A T R Ó N I C A • F E R N A N D O R E Y E S CORTÉS.


g P a r a e l s i s t e m a de r e f e r e n c i a E „ ( . „ , , „ . . o ) só lo l a d i re c c i ón d e l eje . „ es

especi f icada, entonces s u o r i g e n OQ y e l eje XQ p u e d e n ser selecc ionados de

m a n e r a a r b i t r a r i a .

P a r a el s i s t e m a de re f e renc ia T,n {xn,yni ^n) n o ex i s t e l a ar t i cu lac ión n + 1 ,

entonces el eje z „ n o está c o m p l e t a m e n t e d e f i n i d o , m i e n t r a s que e l eje Xn es

n o r m a l a l eje Z n - i - T í p i c a m e n t e l a n - é s ima ar t i cu lac ión es r o t a t o r i a , p o r l o

t a n t o Zn se a l i n e a en l a d i recc ión de Zn-i-

Ij ^ C u a n d o dos ejes consecut ivos Zi y Zi^i son p a r a l e l o s e n t r e sí, l a n o r m a l c o m ú n

e n t r e el los no es única. . . _ v , , .--^ f . . ^ •

Jj^^ C u a n d o dos ejes consecut ivos Zi y Zi-i se i n t e r c e p t a n , l a d i recc i ón d e l eje Xi

es a r b i t r a r i a . ' if:r---^n:--iy- •¡'¡-n^^M''--^ k ; - - - ^

C u a n d o l a art i cu lac ión z-ésima es l i n e a l o p r i smát i ca , entonces l a d i re c c i ón de

2¿ es a r b i t r a r i a . —" ^ • • v.

De acuerdo c o n esta c o n v e n c i ó n p r e v i a m e n t e d e s c r i t a , a c o n t i n u a c i ó n se r e s u m e n los

parámetros d e l z - é s i m o es labón : , n ^ ^ ;

1. li es l a l o n g i t u d d e l z-ésimo es labón , es l a d i s t a n c i a d e l eje h a c i a e l eje Zi

m e d i d a sobre e l eje

2. ai es el ángulo de tors ión , e l c u a l r e p r e s e n t a e l ángu lo e n t r e los ejes Zi-i a Zi

m e d i d o en e l s e n t i d o de las m a n e c i l l a s d e l r e l o j sobre e l eje x¿ .

3. di se e m p l e a en a r t i c u l a c i o n e s l inea les o pr i smát i cas y r e p r e s e n t a e l d e s p l a z a m i e n

t o l i n e a l . C u a n d o l a ar t i cu lac ión es r o t a c i o n a l , entonces r e p r e s e n t a e l offset o

espesor d e l s e r v o m o t o r ( l a d i s t a n c i a de Xi—1 a Xi m e d i d o sobre e l eje se

d e n o t a p o r

4. Oi es el d e s p l a z a m i e n t o r o t a c i o n a l de m e d i d o a l r e d e d o r d e l eje Z i - i . E l

signo p o s i t i v o de 6i es e l s e n t i d o c o n t r a r i o a las m a n e c i l l a s d e l r e l o j .

Obsérvese que li y l3i s i e m p r e serán p o s i t i v o s p u e s t o q u e c o r r e s p o n d e n a l o n g i t u d e s ,

mientras que ai, di, 9i r e p r e s e n t a n c a n t i d a d e s c o n s i gno .

MATLAB A P L I C A D O A R O B Ó T I C A Y M E C A T R Ó N I C A • F E R N A N D O R E Y E S C O R T É S • A L F A O M E G A


4 . 5 . 1 A l g o r i t m o D e n a v i t - H a r t e n b e r g

A cont inuación se descr ibe e l p r o c e d i m i e n t o p a r a e n c o n t r a r l a c i n e m á t i c a d i r e c t a a

través de l a c onvenc ión D e n a v i t - H a r t e n b e r g .

1. L o c a l i z a r l a d i recc ión de los ejes zo?-2:1, Z r i - i - '

2. Es tab lecer el s i s t e m a de r e f e renc ia c a r t e s i a n o fijo S Q ( X Q , z/o,-^o) c u y o o r i g e n es

co locado sobre e l s i s t e m a de r e f e renc ia en l a base d e l r o b o t . L o s ejes X Q , yo son

d e t e r m i n a d o s de a cuerdo c o n l a r e g l a de l a m a n o derecha .

U n a vez que e l s i s t e m a de r e f e r e n c i a T^o {xo,yo, ZQ) h a s ido e s t a b l e c i d o , se i n i c i a

u n proceso i t e r a t i v o e n el c u a l se def ine e l s i s t e m a de r e f e r e n c i a Ili{xi,yi, Zi)

usando el s i s t e m a de r e f e renc ia S ¿ _ i ( a : ¿ _ i , í / i _ i , Z i - i ) , i n i c i a n d o c o n e l s i s t e m a

de re ferenc ia S i {xi,yi, zi). E n l a figura 4.5 se m u e s t r a e l p r o c e d i m i e n t o .

L l e v a r a cabo los pasos 3 a l 5 p a r a l a a r t i c u l a c i o n e s z = l , - - - , n — 1.

3. L o c a l i z a r el o r i g e n o¿ en l a intersecc ión de l a n o r m a l c o m ú n q u e u n e a l eje z¿ con

el eje

Si e l eje zi i n t e r c e p t a a l eje z ^ - i c o l o car Oi en l a in tercepc ión .

V P a r a el caso e n que los ejes Zi y Zi-i s on p a r a l e l o s :

• Si l a art i cu lac ión i - é s ima es r o t a c i o n a l , c o l o car e l o r i g e n o¿ sobre la

art i culac ión z-ésima, t a l que di = 0.

• Si l a art i cu lac ión z-ésima es pr i smát i ca , c o l o car e l o r i g e n o¿ e n u n p u n t o

l ímite físico de l a ar t i cu lac ión z-ésima, p o r e j e m p l o e n u n p u n t o e x t r e m o .

4. Seleccionar e l eje Xi a l o l a r g o de l a n o r m a l c o m ú n q u e u n e a los ejes Zi-i y Zj ,

en d irecc ión de l a ar t i cu lac ión z — 1 h a c i a l a ar t i cu lac i ón z.

5. D e t e r m i n a r p o r l a r e g l a de l a m a n o derecha . ^ i o^,^^-

6. Estab lecer e l s i s t e m a de r e f e r e n c i a d e l e x t r e m o final Un {^^niUn-, Zn)-

• Si l a art i cu lac ión n -és ima es r o t a t o r i a , entonces a l i n e a r e l eje Zn c o n el

eje Zn-i



• Si l a art i cu lac ión n - é s ima es pr i smát i ca , entonces se lecc ionar e l eje Zn de

f o r m a a r b i t r a r i a . E l eje Xn debe c u m p l i r e l paso 4.

7. Establecer l a t a b l a 4.2 de p a r á m e t r o s de es labones .

8. Obtener las m a t r i c e s de t r a n s f o r m a c i o n e s h o m o g é n e a s ( 4 . 7 ) :

p a r a i = 1 , 2, • • •, n — 1 .

T a b l a 4 . 2 P a r á m e t r o s D e n a v i t - H a r t e n b e r g

Características de eslabones

k Longitud del eslabón i-ésimo.

di Articulaciones lineales o prismáticas. También

representa e l espesor del servomotor (.Pi) .

ai Ángulo entre los ejes Zi-i y Zi medido con respecto a l eje Xi.

Oi

articulaciones rotacionales; representa e l ángulo

entre los ejes X i - i y Xi medido alrededor del eje

Zi-l-

En la representación D e n a v i t - H a r t e n b e r g c a d a t r a n s f o r m a c i ó n h o m o g é n e a H¡_-^ se

representa p o r e l p r o d u c t o de c u a t r o t r a n s f o r m a c i o n e s bás icas :

H¡-1 = Í í i ? . . _ , ( ^ z ) ^ T . ^ _ , ( á ^ ( A ) ) i y T . ^ _ , ( / z ) ^ i ? . , _ , ( « z ) (4 .7 )

cos(^i)

sen ((9i)

O

O

O

1

O

o

cos{6i)

sen(6'i)

O

O

- sen(6'¿) O O

cos(6'i) O O

O 1 1

O O 1

l

0 O

1 O

O 1

O O

O 1 O

O cos{ai) — sen{ai) O

O sen(Q!í) COS(Q ; ¿ ) O

O

O

d^ iPi)

1

O

.0 o

— sen(9i) COS (Q!Í)

cos(^¿) C O S ( Q ; Í )

sen(Qí¿)

O

O 1

sen{6i) sen{ai) IÍCOS{0Í)

- cos{Oi) sen{ai) sen(^¿)

C O S ( Q ; J ) di {(3i)

O 1



La transformación homogénea t o t a l se obtiene como HQ — H Q H I • • • H ! ^ _ I H ^ _ - ^ .

La cinemática directa es la forma general de transformaciones homogéneas que concatena los sistemas de referencia cartesianos asociados a los eslabones del robot , todos relativos al sistema de referencia fijo S Q .

• 4.6 Resumen

C I N E M Á T I C A directa relaciona las coordenadas articulares y propiedades geométricas del sistema mecánico con las coordenadas cartesianas del robot

y la orientación de la herramienta colocada en el extremo final. E n este capítulo se ha presentado los conceptos de cinemática inversa, cinemática diferencial y la importancia que presenta el jacobiano del robot en contro l cartesiano y en el tema de singularidades. Para las finalidades de la presente obra, cuando se relaciona las coordenadas articulares con las coordenadas cartesianas sin tomar en cuenta la orientación de la herramienta de t raba j o , se denomina c i n e m á t i c a d i r e c t a c a r t e s i a n a , la cual será la base de análisis de las principales configuraciones de robots industriales.

E l procedimiento Denavit -Hartenberg permite obtener el modelo de cinemática directa de robots manipuladores con eslabones en serie a través de la siguiente tabla de parámetros 3.1:

T a b l a 4 . 3 P a r á m e t r o s D H !

: Eslabón¿ Z¿ ai di 6i

La formulación Denavit -Hartenberg queda expresada en términos de matrices homogéneas con el estricto orden de transformaciones de traslación y rotación:

cos{Oi) — sen(^í) C O S ( Q ; ¿ ) sen(^¿) sen(Q!í) /¿cos(^¿) sen(^^) cos(^í) C O S ( Q ; ¿ ) — C O S ( ^ ¿ ) sen(Q!i) / j sen(^¿)

O sen(Q;j) C O S ( Q ! Í ) di

O O - - ^ O 1


ml cap 4

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e c n i c o

r t e s

t r i c e s

g e n e r

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