modelos de xestión de inventarios deterministas con taxas

Modelos de xestión de inventariosdeterministas con taxas de demanda

constante

Capítulo

4

CapítuloCapítuloCapítulo

4

Modelos de inventarios deterministas con taxa de demanda constante 113

EXERCICIO 1

A empresa Electrodomésticos San Miguel, S.A., dedicada á venda polo miúdo deelectrodomésticos, desenvolve a súa actividade nun local situado nun centro comercialde recente inauguración que abre as súas portas todos os días do ano. Esta empresa,entre outros moitos produtos, vende un novo reprodutor de vídeo. Este produtoencárgase directamente ó seu fabricante, unha importante empresa europea do sector,que garante a entrega dos pedidos nun prazo de 5 días.

Antonio Pérez, o encargado de operacións de San Miguel, S.A., ordenanormalmente 10 unidades cada vez que repón as existencias do novo reprodutor devídeo. En cambio, nesta ocasión, debido a que intúe un posible incremento nademanda, o encargado de operacións decidiu solicitar 80 unidades. Esta decisión,segundo as súas propias palabras, está baseada na idea de que un número menor depedidos daría como resultado un aforro considerable nos custos de pedido. O custo deefectuar un pedido deste produto foi estimado nuns 54,09 €, cantidade que inclúe,entre outros, o custo do tempo empregado por un traballador da empresa en efectuaro pedido e recibilo, o custo medio de comunicación do pedido ó provedor, etc. Valorea decisión tomada nesta ocasión polo encargado de operacións da empresa.

SOLUCIÓN

A decisión de reaprovisionamento establécese coa intención de atender a demandaque se lle vai presentar a ese produto ó longo dun certo período de tempo. Se, óanalizar o problema que se lle presenta ó encargado de operacións da empresa, se intúeque esta demanda vai sufrir un incremento, basicamente se considerarían dúas posiblesaccións. A primeira sería a de non adoptar ningunha medida ante este cambio, poloque non se realizaría ningunha modificación na maneira de efectuar osreaprovisionamentos, e a segunda estaría relacionada co incremento da cantidade quese lle solicita ó provedor para reaprovisionar o inventario, actuación elixida poloencargado de operacións da empresa. Os resultados que vai ter unha e outra actuaciónanalízanse a continuación.

Vaise supoñer que ten lugar o incremento esperado da demanda do produto e esteé igual a 80 unidades para todo o período considerado. Se o empregado opta porefectuar o reaprovisionamento da mesma maneira que facía no pasado e desexaatender este incremento na demanda, deberá efectuar un maior número de pedidos.Concretamente, se se seguen pedindo lotes de 10 unidades, terá que realizar 8 pedidosmáis, o que provocará un incremento nos custos totais de pedido no período deplanificación de 432,72 € (8 pedidos A 54,09 €/pedido).

Agora ben, se se opta por aumentar o tamaño do pedido de reaprovisionamento eten lugar este aumento na demanda do produto, para facerlle fronte bastará con

114 Produción. Planificación, programación e control

efectuar un único pedido adicional, e isto suporá uns custos adicionais de pedido de54,09 €, moi inferiores ós que tería en caso de optar por manter o tamaño dos pedidos.

Como conclusión, pódese observar que efectuar pedidos por maiores cantidadestrae consigo unha redución dos custos totais de pedido ó ser necesario realizar unmenor número de pedidos para poder atender a demanda.

EXERCICIO 2

O dono da empresa Electrodomésticos San Miguel, S.A., Anxo Casteleiro, logo derevisar o informe mensual das operacións da empresa, sinálalle ó encargado deoperacións que o custo de manter en stock o produto aumentou de forma considerabledebido ó incremento da cantidade de reaprovisionamento. Concretamente, oscomentarios realizados polo Sr. Casteleiro foron os seguintes: "Estimei que o custoanual de mantemento en inventario dunha unidade do equipo de vídeo é,aproximadamente, dun 15% do prezo de compra, que é de 120,20 € por unidade. Istosignifica que a empresa ten un custo de 18,03 € por cada unidade deste produto queconserva en inventario durante un ano. Paréceme pouco intelixente a decisión deadquirir 80 unidades aínda cando poidan aforrarse custos de pedido". Consideraacertados os comentarios efectuados polo propietario de Electrodomésticos SanMiguel, S.A?

SOLUCIÓN

A realización dun pedido de maior tamaño non só repercute sobre o número depedidos que realizar ó longo do período de xestión considerado senón tamén sobre onivel de inventario que se manterá deste produto. Así, se se efectúan de maneirarepetida no tempo pedidos de reaprovisionamento de 10 unidades, é obvio que o nivelmedio de inventarios será menor ca se se realiza cada un dos pedidos por unacantidade de 80 unidades.

Na figura 4.1, represéntase a evolución do inventario dun ítem calquera que seenfronta a una demanda máis ou menos regular ó longo do horizonte temporal se ospedidos se efectúan por unha cantidade de 10 unidades e de 80 unidades porreaprovisionamento, respectivamente. En ambos os dous casos, o reaprovisionamentodo inventario realízase de tal maneira que as cantidades solicitadas se incorporan óinventario no instante xusto en que se vai esgotar. Como se pode observar, a cantidadede produto que, por termo medio, permanece en inventario ó longo do período deplanificación sempre vai ser máis pequena se se efectúan pedidos por menorescantidades. Isto obviamente vai repercutir no custo total de posesión de inventario, quepara esta empresa se establece nuns 18,03 €/unidade e ano, posto que a menor nivelmedio de inventario menor custo total de posesión dado que este custo é proporcional


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Tempo

Inve

ntar

ioFin

al

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Tempo

Inve

ntar

ioFin

al

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Tempo

Inve

ntar

ioFin

al

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Tempo

Inve

ntar

ioFin

al

Figura 4.1. Evolución do nivel de inventario en caso de efectuar reaprovisionamentos por 10 e 80 unidades

o número de unidades de produto que permanece en almacén durante certo período detempo.

EXERCICIO 3

Indique cal é a información necesaria para formular e resolver o problema dexestión de inventarios do reprodutor de vídeo que comercializa Electrodomésticos SanMiguel, S.A. A demanda total estimada deste produto para o próximo ano é de 365unidades e esta prodúcese de maneira regular ó longo de todo este período de tempo.Axústase a situación descrita ás hipóteses consideradas no modelo básico da cantidadeeconómica de pedido?

SOLUCIÓN

As decisións básicas de xestión de inventarios que deben terse en conta ó longo dohorizonte temporal son dúas: canto e cando pedir, é dicir, que cantidade se debe pedire en que momento debe realizarse o pedido. Os datos relevantes para adoptar estasdecisións teñen que ver coas propiedades dos elementos básicos dos sistemas deinventario: a demanda, os reaprovisionamentos e os custos derivados da existencia deinventarios.

En relación á demanda, a información básica para tomar as decisións do tamañode reaprovisionamento e momento de pedido ten que ver co tamaño da demanda á quese enfronta a empresa ó longo do período de xestión e a maneira en que se produce aretirada do produto do inventario. A este respecto, débese comentar que se conta condatos para poder establecer ambos aspectos do comportamento da demanda: a


demanda anual do produto, de 365 unidades, e a información acerca de que ten lugarde maneira regular ó longo dos 365 días. Polo tanto, pódese chegar a supoñer que ataxa de demanda diaria será sempre a mesma, 1 unidade/día, en cada un dos días quea empresa abre as súas portas ó público. Esta taxa de demanda tamén se pode expresarnunha base temporal distinta de esta, por exemplo, 7 unidades/semana ou 30unidades/mes.

Respecto ós reaprovisionamentos, as propiedades básicas que se precisan paraestablecer o tamaño e o momento de pedido son o prazo de entrega dos ítemssolicitados, ou tempo de subministración, e o intervalo de tempo durante o cal acantidade solicitada se incorpora ó inventario ou período de reaprovisionamento,variables que se consideran como non controlables por parte da empresa. En relacióncon estas propiedades, débese comentar que o provedor deste artigo pactou a entregade cada pedido en 5 días e non se fai referencia ó período de reaprovisionamento poloque se vai supoñer que este é igual a cero, é dicir, que a cantidade ordenada polaempresa se incorpora de maneira instantánea ó inventario.

Finalmente, a estrutura de custos que mostra esta empresa para este produtoaxústase á que xeralmente intervén nun sistema de inventarios: custo de adquisición,custo de reaprovisionamento, custo de posesión de inventario e custo de falla deinventario. Concretamente, a estrutura de custos deste produto, que está determinadapolos custos estimados para o horizonte de planificación, respecta as hipóteses domodelo básico:

- O custo unitario de adquisición do artigo, Ca, é constante e independente dotamaño do lote (120,20 €/unidade).

- O custo de emisión do pedido, Ce, é un custo fixo no que se incorre ó ordenarcada lote e é independente do número de artigos que conforman o tamaño depedido (54,09 €/pedido).

- O custo de posesión do inventario, Cp, depende linealmente do nivel medio doinventario e, polo tanto, do tamaño do lote (18,03 €/unidade e ano).

Ademais, débese comentar que o problema de xestión do inventario deste produtotamén se axusta ó resto das hipóteses do modelo da cantidade económica de pedido,dado que se vai considerar que este artigo se ha de xestionar de maneira independentedo resto dos produtos da empresa.

Como se pode observar, a xestión do inventario deste produto axústase áscaracterísticas deste modelo básico e non ás súas variantes xa que toda a cantidadepedida se coloca no inventario ó mesmo tempo, non se fan descontos no prezo enfunción da cantidade ordenada e non se permiten situacións de falla de inventario paraatender á demanda.


Q

R

T

s

L

Nivel deInventario

TempoR R R

Q

R

T

s

L

Nivel deInventario

TempoR R R

Figura 4.2. Evolución do inventario no tempo

EXERCICIO 4

Represente graficamente como sería a evolución ideal no tempo do nivel deinventario do reprodutor de vídeo comercializado por Electrodomésticos San Miguel,S.A., tendo en conta a información que sobre a súa xestión se subministrou nosexercicios anteriores e empregando un sistema de reaprovisionamento de revisióncontinua.

SOLUCIÓN

A partir dos datos dispoñibles do inventario do reprodutor de vídeo que vende aempresa nas súas instalacións, pódese representar a evolución teórica que seguiría oinventario deste produto (figura 4.2).

Percíbese, segundo o visto, que a cantidade de reaprovisionamento solicitada, Q,chegará ó inventario no momento en que este acada o seu nivel mínimo e todas asunidades que conforman o lote de reaprovisionamento se incorporarán ó inventariosimultaneamente polo que, nese momento, o inventario alcanzará o seu nivel máximo.A demanda terá lugar de forma regular durante o horizonte de planificación eprovocará una diminución constante do nivel de inventario, que se reaprovisionarácolocando unha orde de pedido de tamaño constante durante todo o período deplanificación, T. Cada pedido realizarase cando o nivel de inventario alcance unhadeterminada cantidade denominada punto de pedido, s, e incorporarase ó inventariounha vez transcorrido o prazo de entrega, L. Esta situación repetirase ó longo dohorizonte de planificación tantas veces como sexa necesario para poder atender ademanda total que teña lugar durante o mesmo.


nDQ

=

C C DA a= ⋅

C C DQE e= ⋅

EXERCICIO 5

O encargado de operacións de Electrodomésticos San Miguel, S.A., unha vezsituado no seu despacho, comeza a analizar o problema e, en particular, o factor doscustos de inventario. Utilizando os datos que lle proporcionou o seu xefe, pensa sobrecal sería a cantidade idónea que ordenar durante o horizonte temporal de planificaciónse a empresa ten un custo de 18,03 € por cada unidade mantida en stock durante unano e o custo fixo asociado a cada pedido é de 54,09 €.

Determine o número de pedidos, o custo total de adquisición do produto, o custode emisión dos pedidos, o inventario medio, o custo de posesión e o custo total deinventario para o horizonte de planificación considerado cando se fan pedidos de 10unidades e cando se fan pedidos de 80 unidades.

SOLUCIÓN

Dadas as hipóteses consideradas no modelo básico de xestión de inventarios,considerando unha política de control de revisión continua na que os pedidos serealizan por unha cantidade constante durante o horizonte temporal, o número depedidos virá fixado polo total de ordes de reaprovisionamento de tamaño Q que sedeben efectuar para poder atender a demanda total, D. É dicir:

Por outra parte, o custo total vén dado polas hipóteses que se prantexan en relacióná estrutura de custos do inventario do produto para o horizonte temporal considerado:o custo unitario de adquisición do artigo, Ca, é constante e independente do tamañodo lote; o custo de emisión do pedido, Ce, é un custo fixo no que se incorre ó ordenarcada lote e é independente do número de artigos que conteña o lote; e o custo deposesión do inventario, Cp, depende linealmente do nivel medio do inventario. Por iso,o custo total de adquisición dos produtos no horizonte temporal considerado, CA,determinarase considerando o prezo ou custo por unidade de produto e a cantidadetotal que se adquire durante o horizonte temporal que, neste caso, será igual ácantidade total demandada, D. Isto é:

O custo total de emisión de pedidos de reaprovisionamento para o horizontetemporal, CE, establécese ó multiplicar o custo de emisión dun lote, que é unhacantidade fixa por pedido emitido, polo número total de pedidos que se colocarándurante o horizonte temporal:


C Q C TP p= ⋅ ⋅2

O custo total de posesión para o período de planificación, CP, pode establecersesupoñendo que en cada un dos períodos que conforman o horizonte temporal existeuna mesma cantidade de produtos igual ó inventario medio, IM, polo que o custo totalde posesión virá dado por:

onde CPAT é o custo de manter unha unidade de produto en inventario no horizonte deplanificación.

O custo total establecerase sumando as distintas compoñentes que forman parte daestrutura de custo que, neste caso, son o custo total de adquisición, o custo total deemisión do pedido e o custo total de mantemento.

Os datos deste produto para os 365 días que ten o horizonte temporal deplanificación son os seguintes:

D = 365 unidades/ano

d = 1 unidade/día

Ca = 120,20 €/unidade

Ce = 54,09 €/pedido

Cp = 18,03 €/unidade e ano

Cando se fan pedidos de 10 unidades do equipo reprodutor de vídeo, os datos quese solicitan neste exercicio son:

- o número anual de pedidos é 36,5 (365 unid / 10 unid/pedido).

- o custo total de adquisición é de 43.873,00 € (365 unid A 120,20 €/unid).

- o custo anual de facer os pedidos é de 1.974,29 € (36,5 pedidos A 54,09€/pedido).

- o inventario medio é de 5 unidades (10 unid / 2).

- o custo anual de mantemento en stock é de 90,15 € (5 unid A 18,03 €/unid eano).

- o custo total de inventario é de 45.937,44 € (43.873,00 € + 1.974,29 € +90,15 €).

En cambio, cando se fan pedidos de 80 unidades deste aparato de vídeo obtenseque:

- o número anual de pedidos é 4,56 (365 unid / 80 unid/pedido).


- o custo total de adquisición é de 43.873,00 € (365 unid A 120,20 €/unid).

- o custo anual de facer os pedidos é de 246,79 € (4,56 pedidos A 54,09 €/unide ano).

- o inventario medio é de 40 unidades (80 unid / 2).

- o custo anual de mantemento en stock é de 721,20 € (40 unid A 18,03 €/unide ano).

- o custo total de inventario é de 44.840,99 € (43.873,00 € + 246,79 €+721,20 €).

EXERCICIO 6

Despois de observar estes resultados, Antonio Pérez, o encargado de operaciónsde Electrodomésticos San Miguel, S.A., decide confeccionar unha táboa que reflicta,para diferentes tamaños de pedido, o custo anual de pedir, o custo anual demantemento en stock do inventario do reprodutor de vídeo e a suma de ambos.Elabore unha táboa na que recolla estes datos para distintas cantidades dereaprovisionamento.

SOLUCIÓN

A partir da análise dos resultados obtidos nos exercicios anteriores, obsérvase queo tamaño de reaprovisionamento inflúe de maneira decisiva sobre o custo total deemisión dos pedidos e o custo total de posesión de inventario e, ademais, que o efectoque ten sobre cada unha destas compoñentes do custo total de inventario é distinto.Así, o aumento da cantidade de reaprovisionamento dá lugar a un aumento do custototal de posesión e provoca unha diminución do custo total de pedido. Polo tanto, aelaboración dunha táboa con estes valores vai permitir observar o efecto que ten avariación da cantidade de pedido sobre estas compoñentes do custo total e, enconsecuencia, sobre o propio custo total.

A figura 4.3 recolle o resultado destes cálculos. Como se pode percibir, a maiorcantidade de pedido, menor será o número necesario de pedidos e maior o inventariomedio en almacén. Isto provoca unha diminución do custo total de emisión dospedidos de reaprovisionamento e un aumento do custo total de posesión ó estaren estesvalores influídos polos anteriores, isto é, polo número de pedidos e polo inventariomedio, respectivamente.

A evolución destes dous elementos do custo total de inventario dá lugar a que, amedida que aumenta a cantidade de produto ordenado por pedido, o custo total vaidiminuír primeiro e logo vai sufrir un incremento.


Figura 4.3. Cálculo das compoñentes do custo total

EXERCICIO 7

Atendendo á información presentada na táboa confeccionada no exercicio anterior,determine cal sería a cantidade máis axeitada para que a empresa ElectrodomésticosSan Miguel, S.A. efectúe o reaprovisionamento do inventario do reprodutor de vídeoó longo do ano. Que conclusión pode obter da análise destes resultados?

SOLUCIÓN

A partir dos datos da última columna da táboa contida na figura 4.3, pódeseconcluír que a mellor decisión sería facer pedidos de 45 unidades posto que, entón, asuma de custos é mínima.

Se se representa o valor do custo total de xestión de inventarios e dos custos totaisde emisión de pedidos e de posesión de inventarios (figura 4.4), pódese observar que,no punto no que o custo total é mínimo, o custo anual de facer pedidos queda caseequilibrado co custo anual de mantemento do inventario.


0,00

500,00

1.000,00

1.500,00

2.000,00

2.500,00

3.000,00

3.500,00

4.000,00

4.500,00

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105

Cantidade de Pedido

Cu

stos (D/Q)*Ce

(Q/2)*Cp*T

CE + CP

0,00

500,00

1.000,00

1.500,00

2.000,00

2.500,00

3.000,00

3.500,00

4.000,00

4.500,00

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105

Cantidade de Pedido

Cu

stos (D/Q)*Ce

(Q/2)*Cp*T

CE + CP

Figura 4.4. Evolución dos custos de inventario en función da cantidadede pedido

CT Q C D C DQ

Q C Ta e p( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅2

EXERCICIO 8

Antonio Pérez, o encargado de operacións de Electrodomésticos San Miguel, S.A.,lembrou que, nun curso sobre control de inventarios ó que asistira, o profesorcomentara que, cando se ten unha xestión de inventarios ó custo mínimo, os custos demantemento dos inventarios para o horizonte temporal de toma de decisións soniguais, ou case iguais, ós custos derivados de efectuar os pedidos para ese mesmoperíodo. Estableza como calcular a cantidade óptima de pedido e determine acantidade óptima de pedido, o número óptimo de pedidos, o intervalo entre douspedidos consecutivos e o custo total de inventario. Habería unha mellor solución queesta?

SOLUCIÓN

O obxectivo que considera este modelo é o de minimizar a función de custos totaispara o horizonte temporal de planificación, polo que se deben sumar todos os custosimplicados na súa obtención:


δδ

CT QQ

C DQ

C Tep

( )= −

⋅+ ⋅ ⋅ =2

12

0

QC D

C Te

p

* =⋅ ⋅

⋅2

Q* ,,

,=⋅ ⋅

=2 54 09 365

18 0346 80

Para obter a cantidade de produto que hai que pedir para minimizar os custos totais,débese determinar a derivada da ecuación de custos totais con respecto a Q, igualalaa cero, despexar desta ecuación Q e comprobar que a derivada segunda é positiva paraese punto. Se isto é así, disponse do lote óptimo que hai que pedir para incorrer nomínimo custo derivado da xestión de stocks para o problema en cuestión.

Realizando operacións, obtense a cantidade económica de pedido (Economic OrderQuantity, EOQ), denominación coa que tamén se coñece este modelo, que se podedeterminar a través da seguinte ecuación:

Na figura 4.4, obsérvase que o punto mínimo da función de custos totais coincideco punto no que se igualan os custos totais de posesión de inventarios e de emisión depedido. Se se igualan estas dúas funcións de custo e se despexa Q, obtense o mesmoresultado.

Se se substitúe na ecuación anterior polos sus respectivos valores, obtense que acantidade óptima de pedido, Q*, para o horizonte temporal de planificación é de 46,8unidades/pedido.

Daquela, para este tamaño de reaprovisionamento, obtense que o número óptimode pedidos é de 7,80 (365 unid/ano / 46,8 unid/pedido) polo que debe transcorrer unintervalo de tempo entre os distintos pedidos realizados ó longo do horizonte temporalde planificación de 0,128 anos (1 ano / 7,80 pedidos/ano) ou, o que é o mesmo, de46,8 días (0,128 anos A 365 días/ano). O custo total de xestión do inventario desteproduto para o próximo ano sería de 44.716,76 € (120,20 € A 365 €/unid + 54,09€/pedido A 7,8 pedidos + (46,8 unid / 2) A 18,03 €/unid e ano).

EXERCICIO 9

Anxo Casteleiro, propietario de Electrodomésticos San Miguel, S.A., animado polaanálise de custos desenvolvido polo encargado de operacións da empresa, pregúntallea Antonio Pérez que sucedería se os actuais parámetros en que se basea a súa análisecambiasen. Concretamente, formúlalle as seguintes cuestións:


QQ′

=*

* α

Q Q′ = = =* * , ,α 46 8 400365

48 99

Q Q Q DD

′ = =′* * *α

a) “Que sucedería se, por exemplo, a demanda estimada para o período deplanificación (ano) pasase a ser de 400 unidades? E se o que aumentase foseo custo unitario de posesión e subise a 20 € por unidade e ano? E se o custo depreparar un pedido diminuíse a 40 €?”.

b) “Que efectos tería a modificación simultánea de todos os parámetros?”.

Responda ás cuestións propostas polo propietario da empresa de electrodomésticosó encargado de operacións.

SOLUCIÓN

A realización dunha análise de sensibilidade permite avaliar a importancia queteñen os cambios que se poden producir nalgúns dos parámetros considerados naresolución do problema de xestión de inventarios.

A primeira cuestión que se considera é a relativa ó estudo do efecto que ten sobrea cantidade óptima de pedido a modificación da demanda que se presenta ó longo dohorizonte temporal de planificación. Para poder determinalo, vaise definir uncoeficiente que recolla o cambio que experimenta a demanda en relación co valorconsiderado inicialmente no cálculo da cantidade óptima de pedido. Este coeficiente,ó que se lle denominará ", é o cociente entre a nova demanda e a demanda anterior,isto é, D'/ D.

O efecto da modificación da demanda sobre a cantidade económica de pedidoestablecerase a través da relación entre Q'* e Q*, é dicir, a relación entre a cantidadeeconómica de pedido calculada coa nova demanda e a cantidade óptima de pedidoestablecida para a demanda anterior, que se pode determinar a través da seguinteecuación:

Desta expresión, pódese deducir que:

Neste caso, se a demanda anual aumenta de 365 unidades a 400 unidades, a novacantidade óptima de pedido sería:


CT Q C D C DQ

Q C Ta e p( )

, ,,

, ,

**

*

′ = ⋅ ′+ ⋅′′

+′⋅ ⋅

= ⋅ + +

2

120 20 400 54 09 40048 99

48 992

18 03

QQ′

=⋅*

*α βγ

e o novo custo total de pedido ascendería a 48.963,28 €:

Polo tanto, un aumento da demanda anual do 9,59% (( 400 unid - 365 unid) / 365unid), daría lugar a un incremento na cantidade óptima de pedido de só un 4,68%((48,99 unid - 46,8 unid) / 46,8 unid) e un aumento no custo total do 9,49%((48.963,28 € - 44.716,76 €) / 44.716,76 €).

Seguindo un razoamento similar ó anterior, pódese establecer o efecto que ten uncambio no custo unitario de posesión no cálculo da cantidade económica de pedidoe o impacto deste cambio sobre os resultados obtidos co valor consideradoinicialmente. Así, un cambio no custo unitario de posesión dun 10,93% ((20 €/unide ano - 18,03 €/unid e ano) / 18,03 €/unid e ano) daría lugar a unha diminución dacantidade de pedido nun 5,06% ((44,43 unid - 46,8 unid) / 46,8 unid) e a un custo totalde 44.761,66 €, o que supón un aumento do 0,1% ((44.761,66 € - 44.716,76 €) /44.716,76 €) no custo de xestión de inventario en relación ó anterior.

Por outro lado, unha diminución do custo unitario de pedido a 40 €/unidade, queequivale a unha redución dun 26,05%, daría lugar a unha redución da cantidadeóptima de pedido nun 14,01% e a un custo total de 44.598,59 € polo que este últimosó se reduciría un 0,26%.

Seguindo un procedemento similar, tamén é posible xeneralizar o estudo desensibilidade a cambios como os analizados neste exercicio considerando o efectoconxunto do cambio do valor de calquera destes tres parámetros. Isto pódeseestablecer a partir da seguinte ecuación:

onde $ sería a relación entre Ce'e Ce ( a relación entre Cp'e Cp, nos que Cp'e Ce'seríanos novos valores que tomarían o custo unitario de posesión e de emisión de pedido,respectivamente.

Daquela, o efecto conxunto do cambio destes tres parámetros suporía unharedución da cantidade de pedido nun 14,53% e un custo total de 48.880 € polo queeste soamente aumentaría un 9,31%.


QC D

C Te

p

* ,,

,=⋅ ⋅

⋅=

⋅ ⋅=

2 2 54 09 36518 03

46 8

CT Q C D CDQ

QC Ta e p( ) ,

,,

,= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅2

130 365 54 0936546 8

46 82

18 03

EXERCICIO 10

Unha vez establecido o efecto destes parámetros sobre o custo de xestión doinventario do reprodutor de vídeo, a Antonio Pérez xórdelle a pregunta de quesucedería se o custo unitario de adquisición se modificase e pasase a ser de 130 € porunidade. Responda a esta pregunta.

SOLUCIÓN

No problema de xestión de inventarios deste artigo non se considera a existenciade descontos no prezo de compra, é dicir, o custo unitario de adquisición éindependente do tamaño de reaprovisionamento. Polo tanto, un cambio no valor docusto unitario de adquisición non provocará ningunha modificación nas decisiónsadoptadas ata o de agora xa que, como se observa a continuación, o lote económicode pedido continúa a ser de 46,8 unidades.

O único que cambia neste caso é o custo total de inventarios, que será de 48,293,76€, como consecuencia da modificación que se produce no custo total de adquisición.

É importante resaltar que o custo total de adquisición non é un custo incrementalposto que permanece constante sexa cal sexa a cantidade ordenada.

EXERCICIO 11

Don Anxo Casteleiro, unha vez coñecido o efecto que ten sobre a xestión doinventario do reprodutor de vídeo un cambio no valor dos parámetros consideradosno modelo, proponlle ó encargado de operacións outra cuestión: “Supoñamos que onoso provedor soamente serve o equipo de vídeo en múltiplos de dez unidades. Queefecto terá esta circunstancia sobre os custos de xestión do inventario deste produto?”.Responda a esta pregunta.

SOLUCIÓN

Para responder a esta cuestión, abonda con estudar o efecto que ten pedir unhacantidade de 50 unidades de produto cada vez que se leva a cabo un pedido de


Figura 4.5. Efecto da variación do tamaño de pedido sobre oscustos totais

reposición, o efecto que ten ordenar lotes de 40 unidades, e tratar de interpretar estesresultados. Se a cantidade de pedido se incrementa ata 50 unidades, o custo total pasaa ser de 44.718,61 € fronte ós 44.716,76 € asociados ó lote económico de pedido.Como pode observarse, un incremento da cantidade de pedido dun 6,84% trae consigoun crecemento do custo total moi pequeno. Isto é debido a que, ó non se modificar ovalor de ningún dos parámetros considerados no modelo, 46,8 unidades/pedido seguea ser a cantidade económica de pedido polo que, ordenar calquera cantidade distintadesta, suporá uns maiores custos derivados da xestión do inventario. Non obstante,este incremento no custo total respecto ó que supón ordenar a cantidade óptima resultacase desprezable. Se se decide realizar, pola contra, pedidos en lotes de 40 unidades,isto é, reducir o tamaño de pedido un 14,53%, produciríase un aumento dos custostotais de xestión de inventarios ata 44.727,17 €, incremento que tamén é moi pequeno.

En consecuencia, pódese observar que unha modificación no valor da cantidadesolicitada apenas ten repercusión sobre o custo total de inventarios. Así e todo, isto sóé certo se a modificación é pequena dado que, se se ordenan cantidades bastante máispequenas ou bastante máis grandes có tamaño óptimo de pedido, poden producirseimportantes incrementos do custo total de inventario. Esta circunstancia pódeseobservar facilmente na figura 4.4 na que se representa a suma das funcións de custostotais de emisión e posesión de inventario para este problema. Como se podecomprobar, para valores próximos á cantidade económica de pedido a función é moi


achatada polo que o aumento do custo total que suporía o solicitar unha cantidadedistinta de Q* sería moi pequeno. Con todo, para valores afastados desta cantidadeóptima de reaprovisionamento o aumento de custos resultaría importante. Ademais,como esta curva é asimétrica, modificacións de igual contía por riba ou por debaixorespecto á cantidade óptima de reaprovisionamento poden ter distintos efectos sobreo aumento do custo total de xestión de inventarios. Sería maior en caso de efectuarpedidos por cantidades moi pequenas en relación á cantidade óptima ca no caso desolicitar cantidades meirandes ca ela.

Na figura 4.5, inclúese unha táboa na que se recolle o efecto que ten sobre oscustos totais a realización de pedidos por cantidades distintas da cantidade óptima depedido, onde se pode observar o comentado con antelación.

EXERCICIO 12

Antonio Pérez, movido por un constante desexo de superación, considera aseguinte cuestión relativa á xestión do inventario do reprodutor de vídeo deElectrodomésticos San Miguel, S.A: Cando debería efectuarse o pedido de reposiciónpara evitar que se presente unha situación de escaseza de inventario e, ademais,conseguir que a cantidade ordenada chegue no momento en que o nivel de existenciasse faga cero, de maneira que a evolución do nivel de inventario ó longo do tempo sexaacorde co modelo teórico da cantidade económica de pedido? Responda ás seguintescuestións:

a) Como se podería establecer o momento no que se debe efectuar a reposicióndo inventario dese produto?

b) A partir dos datos dispoñibles, determine o momento en que se debereaprovisonar o inventario deste produto.

SOLUCIÓN

Unha maneira de determinar o instante no que se debe lanzar unha orde dereaprovisionamento consiste en calcular o nivel de inventario necesario para satisfacera demanda durante o tempo que transcorre desde que se fai o pedido ata que se recibe.Este nivel de inventario coñécese como punto de pedido, s.

Para determinar o momento no que se deben efectuar os pedidos dereaprovisionamento, considérase como norma que se debe colocar este con antelaciónó momento no que o nivel de inventario sexa igual a cero unidades físicas. Estaantelación será equivalente a un número de unidades de tempo que virá dado poloprazo de entrega do produto considerado, L. Desta maneira, a cantidade solicitadapoderase incorporar ó inventario no instante en que este se esgote e, por conseguinte,


s d L= ⋅

Q

R

0

s

Momento de Chegada do Pedido

L

Tempo

Q

R

0

s


L

Tempo

Figura 4.6. Determinación do punto de pedido

R Qd

=

evitará calquera situación de falla de inventario así como o mantemento de unidadesinnecesarias en almacén. Isto represéntase na figura 4.6 onde se pode observar que acantidade que dispara o lanzamento do pedido é a suficiente para poder atender ademanda que vai ter lugar durante o prazo de entrega. Así, neste caso é posibleestablecer o valor do punto de pedido ó multiplicar a taxa de demanda do produto poloprazo de entrega do mesmo:

Así pois, o primeiro paso que se vai levar a cabo para establecer o punto de pedidoconsiste en determinar o ciclo de reaprovisonamento, R, que se pode calculardividindo o tamaño de reaprovisionamento entre a taxa de demanda, é dicir:

Isto é así posto que este é o tempo que debe transcorrer entre a chegada de douspedidos consecutivos, que aquí coincide co tempo que tarda en esgotarse unha ordede reaprovisionamento. Polo tanto, para este problema o ciclo de reaprovisionamentoserá de 46,8 días/pedido (46,8 unid/pedido / 1 unid/día).

Como neste caso o prazo de entrega é menor có ciclo de reaprovisionamento,pódese aplicar a regra comentada nos parágrafos anteriores segundo a cal o punto depedido será de 5 unidades (1 unid/día A 5 días).


Q

R

Tempo0

s

Momento de Chegadado Pedido

L

L´

Figura 4.7. Determinación do punto de pedido

En consecuencia, para que se cumpran os obxectivos perseguidos, a empresa debeefectuar un pedido de reaprovisionamento por un total de 46,8 unidades cada vez queo nivel de inventario se sitúe nun valor de 5 unidades.

Debe sinalarse que o cálculo que se acaba de expoñer para establecer o punto depedido non sempre se debe efectuar desta maneira posto que pode ocorrer que o prazode entrega sexa maior có ciclo de reaprovisionamento. Nestes casos, habería queconsiderar os pedidos efectuados e pendentes de recibir polo que non se poderíaaplicar esta mesma regra.

EXERCICIO 13

Coa finalidade de adiantarse a unha posible pregunta do dono da empresa, oencargado de operacións de Electrodomésticos San Miguel, S.A. decide determinaro punto de pedido no caso de que se adquira este artigo a outro provedor co que seacaba de establecer contacto. Este ten as súas plantas de fabricación en Singapur peroé capaz de entregar o pedido en 50 días. Determine o punto de pedido supoñendo quenon se modifica o valor do resto dos parámetros.

SOLUCIÓN

Como se pode observar na figura 4.7, nesta situación, dado que o prazo de entregaé maior có ciclo de reaprovisionamento, antes de recibir o pedido que se acaba deordenar chegarán outras ordes que foran solicitadas con antelación polo que, á hora


m LR

=

*

s d L m R= ⋅ − ⋅( )*

de calcular o punto de pedido, haberá que considerar estes pedidos pendentes derecibir. Para iso, abonda con ter en conta que haberá que efectuar o pedido nun ciclode reaprovisionamento anterior ó que finaliza no momento no que se desexa que opedido se incorpore ó inventario. Xa que logo, para determinar o punto de pedido, seránecesario establecer o número de ciclos de reaprovisionamento que hai que anticiparo pedido, m:

onde [ ] representa a parte enteira do cociente entre L e R*.

Nestes casos, deberase colocar o pedido cando o nivel de existencias acade o valorestablecido na seguinte fórmula:

Entón, se se opta por este provedor, o pedido deberase efectuar cando o nivel deinventario chegue a unha cantidade igual a 3,2 unidades (1 unid/día A (50 días - 1 A46,8 días)) e cun ciclo de reaprovisionamento de antelación ó instante en que sedesexe que chegue o inventario ([50 días / 46,8 días]). Noutras palabras, o pedidodeberase efectuar cando o nivel de inventario máis as cantidades pendentes de recibirsexan iguales a 50 unidades (3,2 unidades + 46,8 unidades).

EXERCICIO 14

Cal sería o efecto sobre os resultados da xestión do inventario do reprodutor devídeo comercializado por Electrodomésticos San Miguel, S.A. se o provedor domesmo non pudiese facer as entregas no prazo pactado?

SOLUCIÓN

Se o provedor non entrega o produto no momento previsto senón con antelación,o pedido chegaría ó inventario antes de se esgotar este. Isto provocaría un aumento donivel medio de inventario en almacén respecto ó previsto, que é o inventario medioque daría lugar ós menores custos de posesión de inventario. Por outro lado, se o queacontece é que o provedor fai a súa entrega nun período de tempo maior có prazo deentrega considerado, entón produciríase unha situación de falla de inventario, polo quea demanda non podería ser atendida utilizando directamente o inventario. Isto daríalugar á aparición duns custos que se derivarían desta falla de produto pero que nonforon tidos en conta no modelo xa que non se considerou a existencia dunha situacióndeste tipo.


C C DA a= ⋅

C C TtE e= ⋅

EXERCICIO 15

Anxo Casteleiro, nunha das súas numerosas reunións cos empregados, comenta asúa satisfacción polo traballo desenvolvido por Antonio Pérez e aproveita a ocasiónpara prantexarlle unha nova cuestión: “Supoñamos que a nosa empresa se ve obrigadaa efectuar os pedidos o primeiro día de cada mes. Habería que analizar a posibilidadede implantar un sistema de control do inventario que se adapte mellor a esta situacióne establecer cal sería o período de pedido idóneo e o tamaño de pedido que realizar”.Como abordaría a cuestión que propón o propietario de Electrodomésticos SanMiguel, S.A.?

SOLUCIÓN

A implantación dun sistema de período fixo de pedido como o que propón opropietario da empresa supón unha substancial modificación con respecto á situaciónque foi analizada nos exercicios precedentes. Neste sistema de xestión de inventario,o procedemento de operación é distinto ó anterior: efectúase un reconto do nivel deinventarios cada t períodos de tempo (período de pedido) e lánzase un pedido por unhacantidade que permita a reposición do nivel de inventario ata unha determinadacantidade denominada nivel máximo de inventario, S.

Polo tanto, para pór en práctica esta política de inventarios, coñecida tamén comode tipo (t,S), é preciso establecer o valor das variables t e S (período de revisión epedido e nivel máximo de inventario, respectivamente), que son as que determinan ofuncionamento do sistema de período fixo.

Para establecer os valores destas variables, débese calcular, en primeiro lugar, operíodo de tempo que transcorre entre a emisión de dous pedidos sucesivos ou períodode pedido, t, que vai permanecer constante durante todo o horizonte de planificación.Para iso, débense identificar os custos que interveñen no problema e expresalos enfunción de t. O custo total de adquisición para o horizonte temporal de planificación,T, será igual a:

O custo total de emisión de pedidos de reaprovisionamento para o horizontetemporal, CE, establécese ó multiplicar o custo de emisión dun lote, que é unhacantidade fixa por pedido emitido, polo número total de pedidos que se colocarándurante o horizonte temporal:


C C t DP p= ⋅ ⋅

2

DQ

Tt

Q D tT

= ⇒ = ⋅

δδ

CT tt

C Tt

D Cep

( )= −

⋅+ ⋅ =2 2

0

tC T

C De

p

* =⋅ ⋅

⋅2

S d R L= ⋅ +( )*

onde T/t é o número de pedidos realizados no horizonte de planificación posto que,ó longo do mesmo, se coloca un pedido cada t unidades de tempo.

Por último, o custo total de posesión para o período de planificación, CP, poderaseexpresar a través da seguinte ecuación:

xa que:

O custo total calcúlase sumando as distintas compoñentes que forman parte daestrutura de custos. Para obter o ciclo de reaprovisionamento óptimo, hai que acharaquel período de pedido que minimiza os custos totais. Consecuentemente, o quecómpre facer é determinar a derivada da ecuación de custos totais con respecto a t,igualala a cero, despexar t e comprobar que a derivada segunda é positiva para esepunto. Se isto se cumpre, entón a derivada do custo total respecto ó período de pedidoigualada a cero será:

A partir dela, realizando operacións, poderase obter o intervalo económico depedido (Economic Order Interval, EOI), t*, que é:

Nesta política de inventario, cada vez que se realiza a revisión do nivel deinventario, que ten lugar de maneira periódica en función do intervalo económico depedido, lánzase un pedido por unha cantidade que eleva o nivel de inventario queexiste nese momento ata un nivel máximo constante. Polo tanto, para definirtotalmente o sistema de xestión de inventarios, é preciso determinar o nivel máximode inventario, S. Este pode definirse como as existencias que se estiman necesariaspara satisfacer a demanda que terá lugar ata que se efectúe o seguinte pedido deinventario e tal inventario se encontre dispoñible en almacén ou, o que é o mesmo,durante un tempo igual á suma do intervalo económico de pedido e o prazo de entrega:


O nivel máximo de inventarios pódese calcular sen problemas posto que, nestecaso, t* coincide co ciclo de reaprovisionamento, R*, posto que, no conxunto dehipóteses básicas definidas, a taxa de demanda e o prazo de entrega son constantes.Polo tanto, neste caso, este período vai ser igual ó tempo que tarda o stock en pasardo seu nivel máximo ó mínimo ou ciclo de reaprovisionamento e, en consecuencia,o problema de xestión de inventarios en ambos os dous sistemas é equivalente.

EXERCICIO 16

Fina Aneiros, a xerente da empresa subministradora do reprodutor de vídeo, no seuafán por incrementar as vendas dos seus produtos, chama ó dono de ElectrodomésticosSan Miguel, S.A. e proponlle un desconto no prezo de venda de cada unidade deproduto en función do volume de compra. Máis concretamente, a oferta que lle propóné a seguinte: para pedidos inferiores a 100 unidades, o prezo segue a ser de 120,20 €por unidade; se o volume de compra é superior ou igual a 100 unidades e inferior a300 unidades, o prezo sería de 117,20 € por unidade; para compras de 300 unidadesou superiores, o prezo sería de 114,19 € por unidade.

O propietario de San Miguel, S.A. coméntalle a Fina Aneiros que estudará a ofertae que logo lle ha contestar. A el ocórreselle a primeira vista que podería ser bo pediren lotes de 300 unidades ou máis porque o prezo é o máis baixo pero, antes de tomarunha decisión, prefire consultarllo ó encargado de operacións. Responda ás seguintescuestións considerando que o custo unitario de posesión se estima nun 15% do custounitario de adquisición:

a) Como lle afectarían estes descontos no prezo de adquisición ó razoamentoanterior acerca da cantidade económica de pedido?

b) Como lle afectarían os descontos no prezo ó punto de pedido?

SOLUCIÓN

O desconto que lle propón o provedor á empresa Electrodomésticos San Miguel,S.A. é unha rebaixa no prezo de todos os artigos comprados cando se adquire unnúmero de unidades por riba da cantidade que dá dereito a ese desconto no prezo. Nafigura 4.8, represéntase a evolución do custo total de adquisición en función dacantidade de pedido.


Figura 4.8. Custos totais de adquisición con descontosproporcionais

CT Q

QQ

QQ

QQ

( )

, , , ,

, , , ,

, , , ,

=

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ≤ <

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ≥

120 20 365 54 09 3652

0 15 120 20

117 20 365 54 09 3652

0 15 117 20

114 19 365 54 09 3652

0 15 114 19

si Q < 100 unidades

si 100 Q 300

si Q 300

Como se pode observar, existen treitos da cantidade de pedido nos que os custosque se obteñen son superiores ós que se incorrería ó pedir cantidades maiores. Estacircunstancia fai que sexa necesario analizar as consecuencias que ten sobre o custototal o feito de ordenar distintas cantidades e débeselle prestar especial atención óefecto do custo de adquisición xa que, agora, sí afecta á decisión sobre a cantidadeóptima de pedido.

Neste modelo, modifícase unha das hipóteses formuladas para o modelo básicoposto que existe un desconto no custo de adquisición de cada unidade de produto, quese comporta do seguinte modo: cando o tamaño de reaprovisionamento é inferior a uncerto número de unidades, o prezo unitario de todo o pedido é de Ca unidadesmonetarias; sen embargo, é de Ca' unidades monetarias se o tamaño dereaprovisionamento é superior ou igual a esas unidades físicas, de modo que Ca' émenor que Ca.

Atendendo ó novo conxunto de hipóteses, a función de custos totais de inventario,CT(Q), virá dada pola seguinte ecuación:


Inicio

Escoller a (seguinte) curva con menor custo unitario

de adquisición

Calcular Qj)*

Calcular o custo total para todos os Qj)*

Qj)* establécese igual ó punto de corte á esquerdado rango de cantidades que

permite a adquisición do ítem o custo unitario considerado

Comparar o custo de todos os puntos considerados e seleccionar o menor

¿Factible?NÓN

SI

Inicio

Escoller a (seguinte) curva con menor custo unitario

de adquisición

Calcular Qj)*

Calcular o custo total para todos os Qj)*

Qj)* establécese igual ó punto de corte á esquerdado rango de cantidades que

permite a adquisición do ítem o custo unitario considerado

Comparar o custo de todos os puntos considerados e seleccionar o menor

¿Factible?NÓN

SI

Figura 4.9. Proceso para a determinación da cantidadóptima de pedido

QC D

i Cj e

aj

)*)=

⋅ ⋅⋅

2

Daquela, obsérvase que, debido á existencia de descontos por volume de compra,a función de custos totais de inventario vai presentar discontinuidades. Enconsecuencia, o punto mínimo desta función vai depender da propia forma da curvade custos totais así como das posicións respectivas da cantidade óptima de pedido paracada unha das funcións que compoñen a función de custos totais, e das cantidades quedelimitan a utilización dun ou doutro custo unitario de adquisición. Neste contexto,para determinar a cantidade que repoñer, pódese seguir o procedemento que aparecerecollido no diagrama de fluxo da figura 4.9.

En primeiro lugar, débese calcular o lote económico para a función de custos totaisque presenta o menor custo unitario de adquisición (a cantidade co maior desconto noprezo), que é a de 114,19 €/unidade. Para iso, igual que para cada una das funcións decusto total, utilizarase a seguinte fórmula:

onde i é a porcentaxe do custo de adquisición coa que se estima o custo de posesión,Ca j) é o custo unitario de adquisición para o intervalo de pedido j, definido como Mj-1)

# Q < Mj), e Mj-1) e Mj) son os puntos de corte que determinan a utilización do custounitario de adquisición en cada intervalo j.

Polo tanto, a cantidade óptima de reaprovisionamento para o custo de adquisiciónmáis baixo será de 48,01 unidades.


Figura 4.10. Cálculo da cantidade de pedido no caso de descontosproporcionais

A continuación, débese comprobar se este lote óptimo é factible, é dicir, se estádentro do tramo ó cal se lle aplica o desconto utilizado para determinalo. Dado que otramo a partir do cal se pode aplicar este prezo de compra comeza nas 300 unidades,non resulta factible realizar pedidos por 48,01 unidades a este prezo xa que, para estetamaño de reaprovisionamento, o custo de adquisición sería outro distinto e maior ca114,19 €/unidade.

Como esta cantidade non é factible, axústase o tamaño de reaprovisionamento ácantidade máis próxima que permita obter ese desconto no prezo que para este tramodo desconto é de 300 unidades. A continuación, procédese coa función de custos totaisque ten o seguinte custo unitario de adquisición máis baixo, para a cal se calcula a súacantidade óptima de pedido que resulta ser de 47,39 unidades/pedido polo quetampoco é factible. Igual que coa función anterior, axústase o tamaño dereaprovisionamento á cantidade más próxima que permita obter ese desconto no prezoque, neste caso, é de 100 unidades.

Continúase calculando o lote económico ata que se localice unha cantidade factibleou ata que todos os prezos fosen usados. O lote económico para o prezo de 120,20€/unidade é de 46,8 unidades e, en consecuencia, é factible polo que se selecciona estacantidade.

O seguinte paso consiste en calcular, para cada cantidade que foi seleccionada nospasos anteriores (300, 100 e 46,8 unidades), o custo total de inventario utilizando oprezo asociado con esa cantidade, co que se obteñen uns custos totais de 44.314,43 €,43.852,57 € e 44.716,76 €, respectivamente. A cantidade que dea lugar ó menor custototal de inventario será a cantidade óptima de pedido, Q*. Polo tanto, neste caso, acantidade económica de pedido é de 100 unidades.

Na figura 4.10, resúmense os cálculos efectuados para o problema da xestión doinventario deste produto no que existen descontos a todas as unidades no custo deadquisición.


42.000

42.500

43.000

43.500

44.000

44.500

45.000

45.500

46.000

8 32 56 80 104 128 152 176 200 224 248 272 296 320

Cantidad de Pedido

Cos

tes

Tota

les CT120,20

CT117,20

CT114,19

Cantidade de Pedido

Cu

stos

Tot

ais

42.000

42.500

43.000

43.500

44.000

44.500

45.000

45.500

46.000

8 32 56 80 104 128 152 176 200 224 248 272 296 320

Cantidad de Pedido

Cos

tes

Tota

les CT120,20

CT117,20

CT114,19

42.000

42.500

43.000

43.500

44.000

44.500

45.000

45.500

46.000

8 32 56 80 104 128 152 176 200 224 248 272 296 320

Cantidad de Pedido

Cos

tes

Tota

les

42.000

42.500

43.000

43.500

44.000

44.500

45.000

45.500

46.000

8 32 56 80 104 128 152 176 200 224 248 272 296 320

Cantidad de Pedido

Cos

tes

Tota

les CT120,20

CT117,20

CT114,19

Cantidade de Pedido

Cu

stos

Tot

ais

Figura 4.11. Curva de custos totais con descontos sobre todas as unidades

Na figura 4.11, recóllese unha representación gráfica das distintas curvas de custototal de inventario a que dá lugar o plano de descontos analizado. Nela, pódeseobservar que a solución do problema vén dada pola cantidade de pedido que determinao menor custo total da función de custo total de xestión de inventarios, que estáformada por distintos tramos de cada unha das curvas para os distintos custos deadquisición.

EXERCICIO 17

O dono da empresa Electrodomésticos San Miguel, S.A., animado polos bosresultados que está a ter coa aplicación dos modelos á xestión do inventario do seureprodutor de vídeo, decide mellorar aínda máis a xestión do seu almacén. Para iso,proponlle ó seu encargado de operacións, que tan boas aptitudes mostrou cando se lleformularon problemas relacionados coa xestión do inventario, que estude o caso noque non se puidesen servir todos os equipos de vídeo que os seus clientes lledemandan a partir do produto existente nos almacéns da empresa. Nesta novasituación, teríase que deixar parte da demanda pendente de atender ata dispoñer dunnovo envío dos provedores. Estímase que isto orixinaría un custo derivado, por unlado, da necesidade de acelerar o pedido en curso e, polo outro, dun pequeno descontoque se lle realizaría ós clientes que non puidesen ser atendidos de maneira inmediata.Podería resolverse este problema empregando o mesmo modelo utilizado ata o


Q

R

T

Nivel deInventario

Tempo

0

R2R1

Q- Z

Z

R R R

Q

R

T

Nivel deInventario

Tempo

0

R2R1

Q- Z

Z

R R R

Figura 4.12. Evolución do inventario no tempo con situación decarencia

momento para a toma das decisións básicas para a xestión do inventario desteproduto?

SOLUCIÓN

Nesta nova situación, o modelo básico non proporciona unha solución axeitada xaque o comportamento do nivel de inventario no tempo que se quere conseguir nestaocasión, que aparece recollido na figura 4.12, é distinto do modelo básico.

Neste modelo, vanse manter os mesmos supostos ca no básico coa única diferenzade que se vai permitir a aparición dunha situación de escaseza de inventario. Para iso,vaise supoñer que os clientes que solicitan estes produtos están dispostos a esperar aque se dispoña do inventario mínimo necesario para satisfacer o seu pedido. Nonobstante, esta carencia de inventarios implica un custo para a empresa que será igualó custo unitario derivado de non poder atender a demanda, Cr, multiplicado polonúmero de unidades de produto pendentes de servir e polo intervalo de tempo quepersiste esta situación.

Neste caso, posto que a demanda é perfectamente coñecida, debe terse en conta queadmitir a existencia dunha deficiencia no nivel de inventarios é unha decisiónconsciente e perfectamente controlable por parte dos administradores do sistema.

Supoñendo que para controlar o inventario do produto se emprega unha política detipo (s,Q), os pasos que se seguirían para resolver este problema son similares ósseguidos para determinar o tamaño de reaprovisionamento no modelo básico. Asexpresións do custo total de adquisición e do custo total de emisión de pedidos nonvarían con respecto ás utilizadas no modelo anterior. Si que se presentan variacións


C Z C RP p= ⋅ ⋅2 1

I

R Z

RZ

M =

⋅

=

1

1

22

C Z C R n Z C ZQ

R n ZQ

C TP p p p= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ =

⋅⋅ ⋅

2 2 21

2

( )E

R Q Z

RQ Z

M =

⋅ −

=−

2

2

22

C Q Z C TRRR r=

−⋅ ⋅ ⋅

22

( )C

Q ZQ

C TR r=−

⋅⋅ ⋅

2

2

na determinación do custo total de posesión de inventarios para o período T posto queo nivel medio de inventario varía. Isto débese a que se lanzan sempre ordes de tamañoconstante que se esgotan ó cabo dun tempo R1 polo que, durante o ciclo dereaprovisionamento, só existe inventario nese intervalo de tempo. Polo tanto, nadeterminación do custo de posesión para o período T só se terá en conta o conxuntodos períodos R1 que o conforman xa que durante os períodos denotados como R2 nonexiste produto no almacén. En consecuencia, o stock medio en inventario para operíodo no que se produce almacenamento de produto virá dado por:

O custo de posesión para ese período R1, virá dado pola ecuación:

e como, segundo os supostos realizados, estas condicións se van repetir no tempo, paraobter o custo de posesión para todo o horizonte temporal de xestión será precisomultiplicar esta ecuación polo número total de pedidos que se van efectuar ó longo domesmo:

Para o período durante o cal existe acumulación de pedidos, o nivel medio depedidos pendentes de atender, EM, pódese establecer da seguinte maneira:

Daquela, o custo de escaseza para todo o horizonte temporal de planificación virádado por:

onde R2 / R é un coeficiente que permite recoller o feito de que a situación de escasezade inventario só ten lugar durante unha parte do ciclo de reaprovisionamento. Entón:


RR

ZQ

RR

Q ZQ

1 2= =−

( )CT Q C D C D

QZ

QC T

Q ZQ

C Ta e p r( ) = ⋅ + ⋅ +⋅

⋅ ⋅ +−

⋅⋅ ⋅

2 2

2 2

ZC

C CQr

p r

* *=+

⋅QC D

C TC C

Ce

p

p r

r

* =⋅ ⋅

⋅

+2

dado que se pode demostrar que para este modelo teórico se cumpren as seguintesrelacións:

Ó sumar todos os custos, obtense o custo total do inventario para o intervalo detempo T.

Para obter a cantidade de produto que hai que pedir para minimizar os custos totais,calcúlanse as derivadas parciais da ecuación de custos totais con respecto a Q e a Z,iguálanse a cero e compróbase que constitúen un mínimo para a ecuación de custostotais. Realizando operacións, obtense que:

que indican, respectivamente, a cantidade de produtos que hai que pedir e o nivelmáximo de inventario que se vai alcanzar para incorrer no mínimo custo de xestiónde inventario.

EXERCICIO 18

Considerando a situación descrita no exercicio anterior, Anxo Casteleiro proponlleó encargado de operacións de Electrodomésticos San Miguel, S.A. as seguintescuestións:

a) Que cantidade de produto pedir?

b) Cales van ser agora os niveis máximos de inventario e de demanda nonsatisfeita?

c) Canto tempo debe ter que esperar como máximo un cliente por un pedidoatrasado?

d) Cal será o custo óptimo desta nova política de pedidos?

Responda ás preguntas formuladas supoñendo que o custo de adquisición é de120,20 € por unidade calquera que sexa a cantidade ordenada en cada pedido dereposición, e o custo de escaseza é de 24,04 € por unidade e ano.


QC D

C TC C

Ce

p

p r

r

* ,,

, ,,

,=⋅ ⋅

⋅

+=

⋅ ⋅ +=

2 2 54 09 36518 03

18 03 24 0424 04

61 91

ZC

C CQr

p r

* * ,, ,

, ,=+

⋅ =+

⋅ =24 04

18 03 24 0461 91 35 38

Q Z* * , , ,− = − =61 91 35 38 26 53

R Q Zd2

61 91 35 381

26 53=−

=−

=, , ,

SOLUCIÓN

Para responder a estas preguntas, téñense en conta os resultados mostrados noexercicio anterior para a situación na que existe escaseza de inventario. A cantidadede produto que se debe ordenar en cada pedido para conseguir o custo mínimo naxestión do inventario deste produto virá dada por:

mentres que o nivel máximo de inventario que se alcanzará en cada ciclo dereaprovisionamento do horizonte de planificación será:

En consecuencia, o número máximo de unidades que quedarán pendentes de serviren cada ciclo de reaprovisionamento virá dado pola diferenza entre o tamaño óptimode pedido e o nivel máximo de inventario que se vai acadar, é dicir:

Para establecer o tempo máximo que vai esperar un cliente polo produto en casode que non se dispoña del en inventario, hai que ter en conta o seguinte: mentres nonconclúe o período R1, existirá suficiente cantidade de produto para atenderdirectamente á demanda; unha vez que este finalice e comece o período R2, empezaráa acumularse a demanda insatisfeita que será atendida cando chegue o próximo pedidode reaprovisionamento solicitado. Por tanto, o tempo máximo de espera virá dado poreste último período de tempo que se pode determinar da seguinte maneira:

O custo óptimo desta política de pedidos, que virá dado pola ecuación de custostotais para este modelo, será de 44.510,82 €.

Na figura 4.13, inclúese a representación gráfica dos custos implicados nestadecisión.


-100

100

300

500

700

900

1.100

1.300

1.500

7 21 35 49 63 77 91 105 119 133 147

Cantidad de Pedido

Cos

tes

CT

CE

CPCR

CP + CR

Cu

stos

Cantidade de Pedido

-100

100

300

500

700

900

1.100

1.300

1.500

7 21 35 49 63 77 91 105 119 133 147

Cantidad de Pedido

Cos

tes

CT

CE

CPCR

CP + CR

Cu

stos

Cantidade de Pedido

Figura 4.13. Custos implicados na decisión

EXERCICIO 19

Antonio Pérez desexa establecer cal é o efecto que tería sobre os custos da empresaa utilización dunha política de control de inventarios que permita situacións decarencia en relación a aquela na que non se permitan. Determine cal dos dousenfoques lle resulta máis axeitado a Electrodomésticos San Miguel, S.A. paraxestionar o inventario deste reprodutor de vídeo.

SOLUCIÓN

Sempre que se dea na práctica a situación que representa o modelo de escaseza deinventarios, é dicir, que os clientes estean dispostos a esperar polo produto ata que aempresa reciba un novo pedido de reaprovisionamento que lle permita entregar asunidades pendentes que se acumularan, terá sentido efectuar esta comparación. Aempresa decantarase pola utilización dun mecanismo de xestión de inventarios ououtro en función do custo total que implique cada un deles.

Se se compara o custo total no que incorre o modelo que non permite a falla deinventarios para a cantidade óptima de pedido (44.716,76 €) co que se deriva do


ρ =+

=+

=C

C Cr

p r

24 0418 03 24 04

0 5714,, ,

,

modelo no que si se permite a existencia dun certo nivel de demanda sen atender(44.510,82 €), obsérvase que esta última é un 4,61% máis económica.

A razón de que á empresa lle interese deixar unha certa cantidade de produto senatender ó longo de cada ciclo de reaprovisionamento é que o custo unitario de rupturanon é o suficientemente grande como para que non resulte rendible permitir unhasituación de carencia de inventario. Isto pódese observar ó analizar a taxa de escasezaou deficiencia de inventario, D, que recolle a relación existente entre Z* e Q*, e que sepode determinar mediante a seguinte expresión:

Se o custo unitario de ruptura toma un valor moi grande en relación ó custounitario de posesión, o valor da taxa de escaseza tomaría valores próximos a un e daríalugar a que Z* e Q* fosen case iguais e, polo tanto, que a diferenza entre ambascantidades fora cero ou un valor moi próximo a el polo que non se permitiría unasituación de carencia de inventario. Neste caso, non existe unha gran diferenza entreo custo unitario de ruptura e o custo unitario de posesión polo que a taxa de escasezaten un valor afastado da unidade. Isto explica que se presente unha situación decarencia de inventario e que incluso esta sexa máis económica ca aquela na que nonse permite a falla de inventario.

EXERCICIO 20

A empresa segue a considerar a posibilidade de xestionar o inventario doreprodutor de vídeo de maneira que, ó longo do horizonte temporal de planificación,teñan lugar de forma periódica algunhas situacións de carencia de inventario. Por iso,Anxo Casteleiro, interesado en saber cando ha facer os seus pedidos para que cheguenó comezo de cada ciclo, lle indica ó encargado de operacións que estime o punto depedido para tres opcións de tempo de entrega dos pedidos que son as que o provedorlle propón a Electrodomésticos San Miguel, S.A.: un mes (30 días), tres meses (90días) e medio mes (15 días). Determine o punto de pedido para as distintas opciónsque se lle presentan á empresa.

SOLUCIÓN

Para determinar o punto de pedido, previamente é necesario establecer para cadaciclo de reaprovisionamento o período no que existe inventario e o período no que tenlugar a falla de inventarios, xa que o cálculo do punto de pedido é diferente segundoa posición relativa do prazo de entrega con respecto a estes dous períodos. Entón, oprimeiro paso para o cálculo do punto de pedido para este produto ten que ver coa


s d L R= ⋅ ′−( )*2

Q

R

0

R2R1

Q- Z

L

s

Tempo


Q

R

0

R2R1

Q- Z

L

s

Tempo


Figura 4.14. Cálculo do punto de pedidocun prazo de entrega de 30 días

determinación de R1 e R2. Este último xa se calculou no exercicio 18 e é igual a 26,53días e R1 pódese calcular dividindo o nivel máximo de inventario entre a taxa dedemanda (35,38 unid / 1 unid/día), co que se obtén que é igual a 35,38 días. Polotanto, o ciclo de reaprovisionamento é igual a 61,91 días (35,38 días + 26,53 días).

O segundo paso para o cálculo do punto de pedido consiste en comparar o prazode entrega co ciclo de reaprovisionamento: se o prazo de entrega é maior, isosignificará que é necesario establecer o número de ciclos de reaprovisionamento enque hai que anticipar o pedido, m, que se calcula como a parte enteira do cocienteentre L e R*.

Se se considera que L' = L - m A R*, a determinación do punto de pedidoefectuarase mediante a seguinte expresión:

Polo tanto, a determinación do punto de pedido para a primeira ópción na que oprazo de entrega é igual a 30 días dará como resultado que é igual a 3,47 unidades (1unid/día A (30 días - 26,53 días)) posto que m é igual a cero. Isto significa que, candoo nivel de existencias no almacén baixe a 3,47 unidades, hase efectuar o pedido de61,91 unidades de produto que chegará ó comezo do seguinte ciclo dereaprovisionamento (figura 4.14).

No caso de considerar a segunda das opcións propostas, na que o prazo de entregaé de 90 días, L'será igual a 28,09 días (90 días - 1 A 61,91 días) dado que m, que é aparte enteira do cociente entre L e R*, é igual a un. Entón, o punto de pedido será de1,56 unidades (1 unid/día A (28,09 días - 26,53 días)). É dicir, haberá que efectuar o


Q

R

R2R1

Q- Z

L

s

L´

Tempo


0

Q

R

R2R1

Q- Z

L

s

L´

Tempo


0


Q

R

R2R1

Q- Z

L

s Tempo


0

Q

R

R2R1

Q- Z

L

s Tempo


0


pedido cando o nivel de inventario se sitúe en 1,56 unidades, e a cantidade deinventario solicitada non chegará ó inventario ó inicio do seguinte ciclo dereaprovisionamento senón que o fará ó inicio do que lle segue (figura 4.15).

Finalmente, a determinación do punto de pedido cando o prazo de entrega é de 15días dará como resultado que o punto de reaprovisionamento se alcanza cando o nivelde inventario toma valores negativos, isto é, cando se está a acumular demandapendente de atender para o momento no cal a cantidade solicitada se incorpore óinventario. Como se pode observar, a diferenza dos dous casos anteriores, o pedidorecíbese cando o nivel de inventario é negativo debido a que L'é menor que R2

*. Esta


cantidade será de 11,53 unidades (1 unid/día A (15 días - 26,53 días)) e o pedidorecibirase á fin deste ciclo de reaprovisionamento dado que m resulta ser igual a cero(figura 4.16).

EXERCICIO 21

O provedor informa a Electrodomésticos San Miguel, S.A. de que modificou osistema de distribución dos seus produtos. A partir deste momento, será capaz desubministrar, unha vez transcorrido o prazo de entrega de 5 días, pequenas cantidadesdo aparato reprodutor de vídeo cada día. Deste modo, a cantidade solicitada en cadaorde de pedido incorporarase ó inventario durante un determinado período do ciclo dereaprovisionamento, a razón de 5 equipos ó día, de maneira que o provedor lleentregaría á empresa todas as unidades que conforman a cantidade de pedido solicitadaá finalización de este período de tempo.

Atendendo a esta noticia, o propietario da empresa suxírelle ó encargado deoperacións que analice as consecuencias que tería para a empresa esta nova políticade subministración. Responda ás seguintes preguntas considerando que non se vaipermitir unha situación de falla de inventario:

a) Como sería a evolución ideal do nivel de inventario ó longo do horizontetemporal de planificación?

b) Estableza como se podería calcular a cantidade óptima de pedido. Cal sería esacantidade?

c) Cal sería o nivel máximo de inventario e o número óptimo de pedidos?

d) Cal sería o intervalo entre dous pedidos consecutivos, o período do ciclo dereaprovisionamento no que existe entrada de produtos no inventario e operíodo de tempo no que non ten lugar a entrada de ningún produto enalmacén?

e) Cal sería o custo total de inventario? Resultaría máis rendible para a empresaun sistema de reaprovisionamento deste tipo ou algún dos analizadosanteriormente?

SOLUCIÓN

A diferenza dos modelos considerados ata o de agora onde se supoñía que toda acantidade solicitada no pedido lle chegaba á empresa de forma conxunta, neste modeloo produto que se lle solicita ó provedor vaise incorporando ó almacén regularmentea una taxa de reposición, p, constante, recorrente e coñecida, que se supón quecontinuará comportándose deste modo por un tempo indefinido. Para que o modelo


Q((p-d)/p)

R

T

s

L

Nivel deInventario

Tempo

R2R1

R R

s

Q((p-d)/p)

R

T

s

L

Nivel deInventario

Tempo

R2R1

R R

s

Figura 4.17. Evolución teórica do nivel de inventario

I

Q p dp Q d

pM =

⋅ −

= ⋅ −

( )

2 21

CT Q C D C DQ

Q dp

C Ta e p( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ −

⋅ ⋅

21

sexa factible, a taxa de reposición debe ser maior cá taxa de demanda (p > d) demaneira que, durante o tempo que tarda en recibirse a cantidade dereaprovisionamento solicitada, este produto recíbese e consúmese simultaneamente.

Seguindo estes supostos, o inventario compórtase ó longo do tempo da forma quese mostra na figura 4.17. Nela obsérvase que, mentres está chegando a orde, seproduce un aumento no inventario a un ritmo equivalente á diferenza entre a taxa dereaprovisionamento e a taxa de demanda (p - d) e, unha vez que este se recibiutotalmente, ten lugar unha diminución do nivel de inventario cuxo ritmo vén marcadopola taxa de demanda.

Para establecer a cantidade óptima de pedido empregando unha política de controlde inventario do tipo (s,Q), procédese de maneira similar á seguida nos modelosconsiderados anteriomente malia que, neste caso, a cantidade almacenada de produtosobre a que se vai calcular o custo total de posesión sexa distinta.

A fase de recepción do lote de reaprovisionamiento, R1, dura un tempo Q / p e oritmo ó que crece o inventario durante este tempo é de p - d unidades por unidade detempo, co que se alcanza un nivel máximo de inventario de (p - d) A Q / p unidades.Neste caso, o inventario medio virá dado pola seguinte expresión:

Daquela, o custo total do inventario para o horizonte temporal de planificaciónserá:


QC D

dp

C T

e

p

* =⋅ ⋅

−

⋅ ⋅

2

1

Q* ,

,,=

⋅ ⋅

−

⋅

=2 54 09 365

1 15

18 0352 32

O lote óptimo de pedido obtense derivando a ecuación de custos totais con respectoa Q, igualando a primeira derivada a cero e despexando dela Q. Ó realizar operacións,obtense que a cantidade óptima de pedido para este modelo se establece mediante aseguinte ecuación:

que proporciona a cantidade de produtos que hai que pedir para minimizar os custostotais considerados.

Se se substitúen os datos do problema na ecuación anterior, obtense que acantidade óptima de reaprovisionamento é de 52,32 unidades en cada pedido.

Como se pode observar na figura 4.17, neste modelo o nivel máximo de inventarioalcánzase para un valor máis pequeno có tamaño de reaprovisionamento xa que o lotese vai a incorporar ó inventario pouco a pouco a unha taxa constante e igual a 5unidades/día e o nivel de inventario vai crecer a unha taxa de 4 unidades/día. Polotanto, o nivel máximo de inventario será de 41,86 unid. ((5 unid/día - 1 unid/día) A(52,32 unid / 5 unid/día)).

A determinación do número óptimo de pedidos faise igual ca para o resto dosmodelos. Entón, o número óptimo de pedidos será de 6,98 pedidos/ano (365 unid/ano/ 52,32 unid/pedido). Isto supón que será necesario efectuar un pedido cada 52,32 días,posto que R* = Q* / d (52,32 unid/pedido / 1 unid/día) ou tamén R* = T / n (365días/ano / 6,98 pedidos/ano).

O período de tempo durante o cal ten lugar a entrada de produtos ó inventario, R1,pódese establecer como o cociente entre a cantidade de pedido e a taxa de entrega doproduto por parte do provedor, o que dá un resultado de 10,46 días (52,32 unid / 5unid/día). De acordo con isto, tal período de tempo é independente do ritmo de saídado produto do inventario.

O intervalo de tempo durante o cal só ten lugar a demanda, R2, pódese calcularrestándolle R1 ó ciclo de reaprovisionamento, co que se obtén un resultado de 41,86días (52,32 días - 10,46 días). Outra forma de establecelo é a través da relación entreo nivel máximo de inventarios e a taxa de demanda (41,86 unid / 1 unid/día).


CT Q( ) , ,,

, , . ,= ⋅ + ⋅ + ⋅ −

⋅ =120 20 365 54 09 365

52 3252 32

21 1

518 03 44 627 68

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

10 30 50 70 90 110 130 150 170 190 210

Cantidad de Pedido

Cos

tes

(D/Q)*Ce(Q/2)*Cp*(1-d/p)CE + CP

CT

CE

CP

Cu

stos

Cantidade de Pedido

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

10 30 50 70 90 110 130 150 170 190 210

Cantidad de Pedido

Cos

tes


CT

CE

CP

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

10 30 50 70 90 110 130 150 170 190 210

Cantidad de Pedido

Cos

tes


CT

CE

CP

Cu

stos

Cantidade de Pedido

Figura 4.18. Curvas de custos do problema de inventarios

Finalmente, o custo total de inventario, que se pode calcular ó substituir o valordos parámetros do modelo na ecuación de custos totais, será igual a 44.627,68 €:

Na figura 4.18, represéntase a curva de custos totais do problema e as curvas quea orixinan a excepción do custo total de adquisición.

EXERCICIO 22

Na situación definida no último exercicio, a empresa provedora do equiporeprodutor de vídeo, a través da súa xerente Dona Fina Aneiros, proponlle ó dono deElectrodomésticos San Miguel, S.A. tres opcións en relación ó tempo de entrega dospedidos deste produto: un mes (30 días), mes e medio (45 días) e tres meses (90 días).O propietario de Electrodomésticos San Miguel, S.A. está interesado en saber omomento no que ten que facer os seus pedidos para que se cumpran as hipóteses domodelo, é dicir, para que a cantidade ordenada chegue antes de que se esgote oproduto e que o nivel de inventario se manteña no nivel mínimo necesario parafacerlle fronte á demanda. Por este motivo, pídelle ó encargado de operacións que


s d L d L m R= ⋅ ′ = ⋅ − ⋅( )*

[ ]s p d R L p d R L m R= − ⋅ − ′ = − ⋅ − − ⋅( ) ( ) ( ) ( )* * *

estime o punto de pedido para cada unha das distintas opcións que se lle presentan áempresa. Determine o punto de pedido para cada un destes tempos de subministración.

SOLUCIÓN

Neste modelo, débeselle prestar especial atención á determinación do punto depedido xa que o procedemento de cálculo dependerá da posición relativa do prazo deentrega respecto ó momento no que termina a subministración do produto. Ademais,como se pode observar, en cada ciclo de reaprovisionamento alcánzase dúas veces onivel de inventario que determina o momento no que se vai colocar a orde dereaprovisionamento. Polo tanto, para a súa determinación é preciso coñecerpreviamente o período de tempo durante o cal ten lugar a chegada da cantidadesolicitada, R1

*, e o período que media entre a finalización da entrega do lote e achegada da primeira unidade do seguinte pedido, R2

*. Tal e como comprobamos nafigura 4.19, a suma destes dous períodos temporais é igual ó ciclo dereaprovisionamento, R*. A partir desta información e tendo en conta que L' = L - mA R*, o cálculo do punto de pedido farase como se indica a continuación.

Se L' < R2*, o pedido deberase efectuar cando o nivel de inventario está

diminuíndo polo que na súa determinación deberase considerar a taxa de diminucióndo inventario, d, e o período de tempo que transcorre desde o momento de efectuar opedido ata que finaliza o ciclo de reaprovisionamento, L'. Entón, o punto de pedidopódese calcular a través da seguinte ecuación:

Se L'> R2*, o pedido efectuarase cando o inventario está aumentando; polo tanto,

para determinar o punto de pedido deberase considerar a taxa de crecemento do nivelde inventario, p - d, e o período de tempo desde o inicio do ciclo dereaprovisionamento ata o momento de efectuar o pedido, R* - L'. O punto de pedidocalcularase empregando a ecuación:

Ademais, posto que esta cantidade se alcanza en máis dunha ocasión e o pedidonon sempre se debe efectuar cando diminúe o nivel de inventario, será necesarioindicar a posición do nivel de inventario que determina o momento no que se vaicolocar a orde de pedido en relación ó inventario máximo. Se o prazo de entregasupera o ciclo de reaprovisionamento, tamén se deberá especificar con cántos períodosde antelación será necesario efectuar o pedido para poder recibilo no instantedesexado.

Entón, se o prazo de entrega é de 30 días, o punto de pedido calcúlase do seguintemodo: dado que a parte enteira do cociente entre o prazo de entrega e o ciclo de


Q(1-d/p)

s

R2R1

s

R2

L

R


Tempo

Q(1-d/p)

s

R2R1

s

R2

L

R



Tempo

Figura 4.19. Determinación do punto de pedido cuntempo de subministración de 30 días

Q(1-d/p)

R2R1R2

s

L

R


Tempo

Q(1-d/p)

R2R1R2

s

L

R



Tempo

Figura 4.20. Determinación do punto de pedido cunprazo de entrega de 45 días

reaprovisionamento é igual a cero, L'será igual a 30 días, prazo que é menor que R2*

(41,86 días), polo que o punto de pedido será de 30 unidades (1 unid/día A 30 días) eo pedido deberá realizarse cando o nivel de inventario estea diminuíndo (figura 4.19).

Se o produto ten un prazo de entrega de 45 días, o punto de pedido situarase nalgúndos momentos en que aínda está chegando produto ó inventario dado que o prazo deentrega é maior ca R2

* (41,86 días) pero menor ca R* (52,32 días). Neste caso, L'seráigual a 45 días e o punto de pedido será de 29,28 unidades ((5 unid/día - 1 unid/día)A (52,32 días - 45 días)). Polo tanto, o pedido deberase efectuar cando o nivel deinventario estea aumentando e acade as 29,28 unidades de maneira que poida recibirse


Q(1-d/p)

R2R1R2

s

L

R

L´ Momento de Chegada do Pedido

Tempo

Q(1-d/p)

R2R1R2

s

L

R

L´ Momento de Chegada do Pedido


Tempo

Figura 4.21. Determinación do punto de pedido cuntempo de subministración de 90 días

cando se esgote a cantidade de produto que chega no lote que se está a recibir neseinstante (figura 4.20).

Finalmente, se se considera un prazo de entrega de 90 días, pódese observar queo pedido deberá efectuarse cun ciclo de reaprovisionamento de antelación dado quem é igual a 1 ([90 días / 52,32 días]). Neste caso, tamén será necesario coñecer se sedebe efectuar cando o nivel de inventario aumenta ou, pola contra, cando diminúe.Para iso, se se compara L'(37,68 días) con R2

* (41,86 días), obsérvase que o últimoé maior e o punto de pedido será de 37,68 unidades (1 unid/día A 37,68 días). Enresumo, o pedido deberá efectuarse cando o nivel de inventario diminúe e se alcanzanas 37,68 unidades, e cun ciclo de reaprovisionamento de antelación ó momento en quese desexa recibir o lote ordenado (figura 4.21).

EXERCICIO 23

Vista a política de control de inventarios contemplada no exercicio anterior, AnxoCasteleiro proponlle ó encargado de operacións que analice o efecto que tería sobreos custos totais de inventario:

a) Ordenar unha cantidade de produto igual a 70 unidades.

b) Un cambio no custo unitario de preparación de pedidos se non se modifican oresto dos parámetros.

c) Unha modificación do custo de posesión se se manteñen constantes o resto dosparámetros.


CT Q( ) , , , . ,= ⋅ + ⋅ + ⋅ −

⋅ =120 20 365 54 09 365

70702

1 15

18 03 44 659 88

Figura 4.22. Efecto do cambio do custo de preparación sobre o custo total

Responda ás preguntas formuladas supoñendo tamén que o custo de adquisicióné de 120,20 € por unidade calquera que sexa a cantidade ordenada en cada pedido dereposición.

SOLUCIÓN

Para analizar o efecto que ten ordenar unha cantidade distinta da cantidade óptimade pedido, pódese empregar o cociente das expresións resultantes de efectuar unpedido por unha e outra cantidade, é dicir, CT(Q) / CT(Q*). Daquela, se se efectúanpedidos de 70 unidades, os custos totais serán de 44.659,88 €:

Polo tanto, un aumento na cantidade ordenada respecto a Q* nun 33,79% vai darlugar a un crecemento nos custos totais de 0,07%.

Para analizar o efecto que ten sobre os custos totais un cambio no custo unitario deemisión de pedido, supoñendo que o resto dos parámetros non se modifica, vaiseelaborar unha táboa na que se calculan distintos resultados para diferentes valores docusto unitario de emisión de pedido.

Como se pode observar na figura 4.22, unha modificación dos custos unitarios deemisión de pedido ten un efecto directo sobre a cantidade óptima de pedido de talmodo que esta será maior canto maior sexa o custo unitario de emisión. Este aumentotrae consigo un incremento do custo total visto que o equilibrio dos custos de emisióne posesión se alcanza para valores máis altos da cantidade de pedido.


Figura 4.23. Efecto do cambio do custo de posesión sobre o custo total

Para analizar o efecto que terá un incremento do custo unitario de posesión deinventario sobre os custos totais, faise unha análise similar (figura 4.23). Neste caso,canto menor sexa o custo de posesión, maior será a cantidade óptima de pedido.

EXERCICIO 24

Analice os resultados que lle suporía a Electrodomésticos San Miguel, S.A. oacceso a un plano de descontos no prezo de adquisición de cada unidade do reprodutorde vídeo que lle propón o provedor situado en Singapur. O proxecto de prezos que llepresenta á empresa é o seguinte: para pedidos inferiores a 100 unidades, o prezo deadquisición será de 120,20 €/unid; se se adquiren entre 100 e 299 equipos, o prezopagado sería de 120,20 €/unid para as primeiras 99 unidades e, por cada unidade quesupere esta cantidade, 117,20 €; se se adquiren 300 unidades ou máis, o prezo das 99primeiras sería de 120,20 €/unid, as 200 seguintes pagaríanse a 117,20 €/unid e asrestantes terían que pagarse a 114,19 €/unid. O custo unitario de posesión estímasenun 15% do custo unitario de adquisición.

Determine a cantidade óptima de pedido e estableza para esta cantidade se resultamáis axeitado empregar un plano de descontos como este ou se, pola contra, resultamellor acceder a un plano de prezos como o presentado no exercicio 16.

SOLUCIÓN

Analizando o plano de prezos que lle presenta o provedor á empresa, obsérvase quese trata de descontos no prezo de venda que se poden considerar como de tipoincremental, posto que a rebaixa no prezo se aplica soamente ás unidades que se


( )

( )

CT Q

QQ

QQ Q

Q

QQ Q

( )

, , , ,

, , ( ) ,

, , , ,

, , ( ) , ( ) ,

, ,

=

⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ − + +

+ ⋅ +−

⋅ ≤ <

⋅ + ⋅ − + ⋅ − + +

+ ⋅

120 20 365 54 09 3652

0 15 120 02

120 20 100 117 20 100 365 54 09 365

1002

0 15 120 20100

20 15 117 20

120 20 100 117 12 300 100 114 19 300 365 54 09 365

1002

0 15 120 20

si Q < 100

si 100 Q 300

+ −⋅ +

−⋅ ≥

300 1002

0 15 117 20300

20 15 114 19, , , ,

Q si Q 300

Figura 4.24. Custo total de adquisición en función dacantidade de pedido

adquiren por riba do punto que determina a aplicación do desconto. A representacióngráfica da evolución do custo total de adquisición en función do prezo é a que seinclúe na figura 4.24.

Considerados os datos dos que se dispón para este produto, o custo total deadquisición dun lote virá dado polas cantidades pagadas polo número de unidadessolicitado tendo en conta que o prezo de cada unidade será distinto en función dotramo en que se encontre o número de unidades que se estean adquirindo. Por tanto,este custo será relevante para a decisión sobre o tamaño de reaprovisionamento queordenar pois vai influír sobre o custo total de xestión do inventario. O custo total deemisión do pedido dependerá do número de pedidos realizados polo que será idénticoó caso dos descontos proporcionais. O custo total de posesión do lote valórase, tendoen conta o inventario medio, nos prezos respectivos ós que foron adquiridos. Entón,o custo total de inventario para o próximo año virá dado pola seguinte ecuaciónCT(Q).


CT QC

QD C D

QQ C

Qi M Q Mj A

j

eA

jj j)

) )) )( ) =

⋅ + ⋅ +

≤ <−

21

CAj)

Q

( )C C (M M )

C (Q M ) M M

Aj)

ak) k) k 1)

aj) j 1) )

= ⋅ − +

+ ⋅ − ≤ <

−

=

−

− −

∑ k 1

j 1

j 1 jQ )

( )

C

Q

Q

Q

Aj)

,

, ( ) , ( )

, , ( ) , ( )

=

+ ⋅

⋅ − + ⋅ − ≤ <

⋅ + ⋅ − + ⋅ − ≥

0 120 20

120 20 100 0 117 20 100

120 20 100 117 12 300 100 114 19 300

si Q < 100

si 100 Q 300

si Q 300

Do mesmo xeito que para o caso no que existen descontos proporcionais, nestasituación preséntase un problema á hora de determinar a cantidade de inventario quese debe adquirir. Para poder calcular o valor óptimo global da cantidade de pedido,será necesario achar o tamaño de reaprovisionamento que determine o mínimo custoen cada segmento da curva de custos totais, comparalos e atopar o mínimo global.

O procedemento que se pode seguir para determinar a cantidade que repoñerexponse a continuación. En primeiro lugar, débese establecer unha expresión alxébricado custo total para cada intervalo de prezo j, CTj)(Q):

O custo unitario de adquisición que se emprega para determinar a función de custostotais medios é o custo medio en cada intervalo, isto é:

onde CAj) é o custo total de adquisición para cada intervalo j, que virá dado por:

Daquela, para o problema de xestión de inventarios deste produto, o custo total deadquisición para cada un dos intervalos de prezos virá dado pola seguinte ecuación:

e, polo tanto, a expresión alxébrica do custo total para cada intervalo de prezo será:


( )

( )

( )

CT Q

QQ Q

Q QQ

QQ Q

Q QQ

QQ

( )

, , , ,

, ,,

,, ,

, , ,

=

⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

⋅

⋅ + ⋅ −

⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅⋅ + ⋅ −

≤ <

⋅ + ⋅ + ⋅ −

120 20 365 54 09 3652

0 15 120 20

120 20 100 117 20 100365 54 09 365

20 15

120 20 100 117 20 100

120 20 100 117 20 200 114 19 300

si Q < 100

si 100 Q 300

( )

⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ −

≥

365 54 09 365

20 15

120 20 100 117 20 200 114 19 300

,

,, , ,

Q

Q QQ

si Q 300

[ ]Q

D C

i Cj

e

aj

)*)=

⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅

⋅

−=

− −∑2 C (M M ) - Ca Mak) k) k 1) j) j 1)

k 1

j 1

[ ]

[ ]

[ ]

2 365 54 09 0 120 20 00 15 120 20

46 8

2 365 54 09 120 20 100 0 117 20 1000 15 117 20

121 25

2 365 54 09 120 20 100 117 20 200 114 19 3000 15 114 19

231 46

⋅ ⋅ + − ⋅

⋅=

⋅ ⋅ + ⋅ − + ⋅

⋅=

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅

⋅=

, ,, ,

,

, , ( ) ,, ,

,

, , , ,, ,

,

A continuación, para cada unha das curvas de custo total (correspondentes a cadaintervalo de prezo), débese calcular o valor da cantidade de reaprovisionamento queminimice a función CTj)(Q)/Q, Qj)*. Este valor óptimo para cada unha das funciónspódese calcular a través da expresión:

Entón, o valor óptimo da cantidade económica de pedido para cada un dosintervalos do prezo para o produto considerado será:

Un resumo dos resultados dos pasos que se desenvolveron ata o momentorecóllense na parte superior da figura 4.25.

O seguinte paso consiste en determinar cales das cantidades óptimas calculadas sonfactibles, é dicir, se están dentro do treito ó que se lle aplica o desconto utilizado paradeterminala:


Figura 4.25. Cálculos do proceso de determinación da solución óptima

M Q Mj j j− ≤ <1) )* )

{ }Q CT Qjj j* ) )*min ( )= ∀

Neste problema, as cantidades óptimas calculadas que resultan factibles son as quecorresponden ós dous primeiros intervalos de prezos.

Se unha cantidade óptima resulta factible, pode ser solución do problema aíndaque, se hai máis dun tamaño do lote factible, non se pode garantir que o sexa. Nestecaso, para determinar o lote que dá lugar á solución óptima, débese resolver oproblema comparando os custos totais medios para os valores de Qj)* factibles eescoller, obviamente, o que dá lugar a un menor custo.

Na parte inferior da figura 4.25, recóllese este último paso no que se observa quea solución óptima será ordenar 46,80 unidades que é, das dúas factibles, a que dá lugaró menor custo total de xestión do inventario para o horizonte temporal deplanificación considerado.

Por último, na figura 4.26, onde se representan graficamente as tres funcións quedeterminan o cálculo da cantidade óptima de pedido para este produto cando existe unplano de descontos incrementais como o que se acaba de analizar, obsérvase que a quedá lugar ó menor custo total é a cantidade óptima de pedido da curva con maior custounitario de adquisición. No caso de existiren descontos incrementais, o mínimo globalnunca será un punto de corte de prezos, a diferenza do que pode acontecer cando sepresentan descontos sobre todas as unidades.


42.000

43.000

44.000

45.000

46.000

47.000

48.000

49.000

50.000

6 26 46 66 86 106 126 146 166 186 206 226 246 266 286 306 326 346 366 386 406

Cantidad de Pedido

Cos

tes

Tota

les

CT120,20

CT117,20

CT114,19

Cantidade de Pedido

Cu

stos

Tot

ais

42.000

43.000

44.000

45.000

46.000

47.000

48.000

49.000

50.000

6 26 46 66 86 106 126 146 166 186 206 226 246 266 286 306 326 346 366 386 406

Cantidad de Pedido

Cos

tes

Tota

les

CT120,20

CT117,20

CT114,19

42.000

43.000

44.000

45.000

46.000

47.000

48.000

49.000

50.000

6 26 46 66 86 106 126 146 166 186 206 226 246 266 286 306 326 346 366 386 406

Cantidad de Pedido

Cos

tes

Tota

les

CT120,20

CT117,20

CT114,19

Cantidade de Pedido

Cu

stos

Tot

ais

Figura 4.26. Curvas de custos totais

modelos de xestión de inventarios deterministas con taxas

Documents