modèle de young tension interfaciale Équation de gibbs
TRANSCRIPT
1
1
tension interfaciale
Physique thermique et statistique (PHY2215)treizième cours
François SchiettekatteUniversité de Montréal
Hiver 2009 2
Surfaces
Modèle de YoungFormation des gouttesÉquation de Gibbs-DuhemRelation pression ↔ courbureÉquation de Gibbs-Duhem
Influence de la courbure sur la pression de vapeurnanocalorimétrienanobulles
3
tension interfaciale
tension interfacialeforce présente à l'interface entre deux phasesCausée par l’énergie nécessaire pour briser des liens ou former des liens avec une autre substance
dans les systèmes en séparation de phasele système tente de minimiser cette énergie
interface avec phase "vapeur": tension de surfaceModèle de Young
on considère l’interface comme une membrane élastique d'épaisseur infinitésimale entre les deux phasesvalide pour les liquides, mais pas pour les solides
4
Modèle de Young
on coupe une surface en deux (ex: bulle de savon)
pour chaque élément dl de la coupure, il faudra exercer une force σ par unité de longueur pour maintenir l'équilibre
dl σ
2
5
Modèle de Young
la tension de surface représente la force nécessaire à équilibrer les pressions entre les deux phases
interface réelle d'épaisseur δ
réalité modèle de Young
σ
pa
pb
pa
pb
6
Modèle de Young
critère d'équilibresupposons qu’on sectionne par un plan arbitraire une interface entre phases a et b
l’interface possède une courbure quelconque supposons la sphérique pour l'instant
Examinons le bilan des forces au niveau du plan de section (en gris sur le schéma de la page suivante)
les forces doivent s'équilibrerla différence de pression projetée sur le plan équivaut à une force vers le hautavant de sectionner le plan, le reste de l'interface maintenait l'interface en place grâce à une tension σ vers le bas
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Modèle de Young
critère d'équilibrebilan des forces sur la section
pa
pb
r
ρ
dl
{ ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−− ∫ r
πρσ=πρrρσ=dlφσ=F'
πρ 2 2
0bas le vers
composantebas le
vers force
2 2cos321
φσcos
( ) abab ppπρpp=F >− ,2
σφ
φ
8
Modèle de Youngcritère d'équilibre
plus généralement, la surface peut être décrite par deux rayons de courbure et
relation de Laplaceen quelque sorte, la "tension" dans la "membrane" que constitue la surface fait que la pression àl'intérieur est plus élevée
( )
rσ=pp
rπρσπρppF'FF'F
ab
ab
2
20 2
2
−⇒
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−⇔−=⇔=+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
2 1
1 1rr
σ=pp ab
3
9
Modèle de Young
interface avec une phase solidele solide peut opposer une forcesi on considère un solide rigidel'équilibre des forces impose
équation de Youngrelation entre les différentes tensions
on doit avoirsans quoi le liquide:
ne mouillera pas la surfacemouillera complètement la surface
slσ
sgσ
lgσ
gaz
liquide
solide
slsglg σσ=φσ −cos
lgslsglg σσσσ <−<−
φ
10
force capillairesoit un tube de rayon a plongé dans un liquide
si r: rayon du ménisque
gravité:
Young:
mesure de È
sl
gaz
liquide
solide
( )gllgl
glgl
ρρhgρppρρhgp=p
>>≈−⇒
−+
si
h
a
r
r=pp lg
gl
σ2−
a=φrra cos,<
φahgρ=σ lgl cos/2 1
aagρφσ
hl
gl 1~cos2
≈
φ
φ
glσ
11
travail exercé par la tension de surface
travail exercé par la tension de surfaceon sépare un liquide d'un solide
par Young
solide
liquide
slσ
solide
liquidelgσ
sgσ
slsglgs σσσ=W −+
( )φσ=W lgs cos1+
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travail exercé par la tension de surface
on sépare ou "clive" un solide
ce travail correspondà couper des liensatomiques d'énergieΦ en deux
pour un réseau cubique,b étant le paramètre de réseau
solide
solide
sgσ
sgσ
sgs σ=W 2
ν2Φ=σ sg
2/1 b=ν
4
13
travail exercé par la tension de surfaceLorsqu'on exerce un tel travail, ce travail correspond à l'énergie fournie aux atomes, plus le travail exercé sur l'environnement, moins l'énergie associée à l'entropie gagnée dans le processus, i.e. l'énergie libre de Gibbs
autrement dit, la tension interfaciale est l'énergie libre de Gibbs par unité de surfacesi aucun changement ne se produit au niveau de la surface, on pourrait recoller les surface, et regagner le travail
cette énergie est donc "libre"c'est un travail réversible (comme pV)en réalité, c'est un peu plus compliqué
pVTSEG +−≡
AG σ=
14
travail exercé par la tension de surfacepetit ajout à la relation thermodynamique fondamentale
au dernier cours, nous avions défini
comme nous venons de le voir, la tension de surface ajoute l'énergie σ par unité de surface dAnotre relation fondamentale deviendra donc
dAµdNpdVTdSdE σ++−=
µdNpdVTdSdE +−=
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forme d'un petit cristal à l'équilibre
Si nous avons affaire à un cristal et que la surface est vicinale, pour un réseau cubique
( ) ( )ϕϕϕ sincos 2 2 +bΦ=σ sg
ϕ
( )ϕϕν sincos 12 +
b=
( )ϕsgσ
16
forme d'un petit cristal à l'équilibre
forme d'un petit cristal à l'équilibreun petit cristal tentera de minimiser son énergie libre:
dans le cas d'un liquide, et on minimise la quantité de surface, ce qui donne?pour un cristal, σ n'est pas isotropeconsidérons un prisme rectangulaire de dimension x, y, z, on voudra minimiser
au minimum
dAσ=Gs ∫∫∫ dAσ=dAσ=Gs
( ) ( ) ( )2xyσ2xzσ2yzσ=Aσ=G zyxs ++∑[ ] 0222 =xyσxzσyzσd=dG zyxs ++
( ) ( ) ( ) 0222 =dxydyxσdxzdzxσdyzdzyσ zyx +++++⇒
5
17
forme d'un petit cristal à l'équilibrepar ailleurs, V = xyz est constant, donc
on introduit le multiplicateur de Lagrange
on additionne avec l'expression pour dG
comme dx, dy et dz sont indépendants, chaque terme = 0
mais λ est le même
0=xzdyzydxxydz=dV ++
0=λxzdyλzydxλxydz ++
( ) ( ) ( ) 022 2 2 2 2 =dxλyzzσyσdyλxzxσzσdzλxyxσyσ yzzxyx ++++++++
( )
( ) ( ) ( ) cterrσ
zσ=
yσ
=xσ
yσ
xσ=λ=λxyxσyσ
zyx
yxyx
==⇒
+−⇒++
)(2/2/2/
20 2 2
r
zy
x r
18
forme d'un petit cristal à l'équilibre
cette équation est connue comme la relation de Wulffelle implique de la dimension d'un petit cristal à partir du centre sera inversement proportionnelle à la tension de surface dans cette direction (pas uniquement dans les directions x, y, z)
( )ϕsgσ
100 nmSi/AsInSource: Anna Tchebotareva, UdeM
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formation des gouttes dans les nuages
un exemple: soit un nuage saturé de vapeur d'eauon cherche comment la variation d'énergie de Gibbs associée à la condensation est influencée en par la taille des gouttes d'eau qui se formenten termes de taille,
ρl la concentration de molécules dans la phase liquidesi on ajoute le terme de tension interfaciale
dans une situation où l'énergie de Gibbs est favorable pour la formation d’une phase liquide (condensation),
3 3
34
34 rΔµΔGrN ll
πρπρ =⇒=
232 43
4 rσrΔµ=ΔGrdA l ππρ +⇒∝∫
0<Δµ20
rayon
éner
gie
libre
de
Gib
bs
formation des gouttes dans les nuages
traçons l'énergie de Gibbs vs rrayon critiqueles gouttelettes plus petitess'évaporerontles gouttelettes plus grossecroîtront
mais alors, comment les goûtes arrivent-elle à se former?
rayon critique ~μm
6
21
formation des gouttes dans les nuages
mais alors, comment les gouttes arrivent-elle à se former?
en pratique, on a besoin de sites de germinationpoussière apportée par les courants ascendantsvrai aussi pour le CO2 dans le champagne (chaînons de bulles)vrai également pour la solidification des matériaux cristallins
grains dans les métauxcroissance Czochralski des semiconducteurs
Éventuellement, Δμ devient énorme loin de l’équilibre et la moindre perturbation induira une transition de phase homogène
Réponse:
22
équation de Gibbs-Duhem
Équation de Gibbs-Duhemau dernier cours, nous avons vu que
considérons quecomme E, S, V et N sont toutes des variables extensives, si S, V et N augmentent par un facteur α, E doit également augmenter par un facteur α
en particulier, choisissons
µdNpdVTdS=dE +−
( )NVSE=E ,,
( ) ( )NVSαE=αNαVαSE ,,,,
1 ,1 <<+ γγ=α
23
équation de Gibbs-Duhemon peut donc faire une expansion en série de E autour de γ = 0:
les s‘annulent, et
et ainsi
… sous une forme non différentielle
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) γNNEγV
VEγS
SENVSE
NγVγSγE=NVSγENVSE=NVSEγ
VSNSNV ,,,
,,
1,1,1,,,,,,1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+≈
+++++
γ
( ) NNEV
VES
SE=NVSE
VSNSNV ,,,
,, ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
µNpVTS=E +−
24
équation de Gibbs-Duhemil s'en suit deux choses:
l'énergie de Gibbs i.e. le potentiel chimique représente l'énergie libre par particule pour une substance homogènela différentielle totale de l'énergie est
or
donc, la somme des autres termes doit être égal à 0
c'est l'équation de Gibbs-Duhem
NdµµdNVdppdVSdTTdS=dE ++−−+
NG=µµN=pVTSEG /⇒+−≡
µdNpdVTdS=dE +−
0=NdµVdpSdT +−
µNpVTS=E +−
7
25
pression de vapeur à l'équilibre
pression de vapeur à l'équilibresoit une goutte liquide en équilibre à T constant dans un environnement saturé de sa phase vapeur, pour chaque phase:puisque
doncv est le volume molaire
de l'équation de Laplace
lvlv dµ=dµµ=µ ⇒00,0 =dµdpv=dµdpv;=dT lllvvv +−+−
vl
vlllvv dp
vv=dpdpv=dpv ⇒
vl
lvvv
l
vvl dp
vvv=dpdp
vv=dpdp=
rσd ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 2
26
pression de vapeur à l'équilibre
or, vl << vv; de plus, si on considère la vapeur comme un gaz parfait, vv = kT/pv, donc
on intègre l'équation d'un rayon infini à r et de p0 àpv, où p0 est la pression de vapeur pour une surface plane
kTv
rσ=
pp
rσ=
pp
vkT
pdp
vkT=
rσd lvv
l
p
p v
v
l
r v 2ln 2ln 2 0 00
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∫∫
∞
v
v
l pdp
vkT=
rσd ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 2
27
pression de vapeur à l'équilibre
Donc
Pression de vapeur énorme pour r petit
les petites gouttes s’évaporent très viteÀ l’inverse, les bulles tendent à se remplir d’autant plus qu’elles sont petites
difficulté de former une bulle spontanémentbesoin d’un site de germination (champagne)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
kTv
rσp=p l
v 2exp0
-2 -1 0 1 20
2
4
6
8
p v / p
0
bulles gouttes
1/r
28
nanocalorimétrie
François Schiettekatte
UIUC: Mike Efremov, Ming Zhang, Eric Olson, Alex Kwan, Les Allen
8
29
Calorimétrie
Mesure de la chaleur générée ou absorbé par une réaction ou un changement d’étatCalorimétrie différentielle à balayage: DSC
On chauffe à vitesse égale (dT/dt) deux cellules (échantillon et référence)On mesure la différence de puissance (ΔP) nécessaire à faire chauffer la cellule contenant l'échantillon p/r à la référencecapacité calorifiquechaleur latenteil s'agit d'une mesure de volume
30
nanocalorimétrie: principe de base
Tech=f(R=V/I)
ΔP=(VI)ech- (VI)ref
temps T
point de fusion
Cap
acité
calo
rifiq
ue
Tem
péra
ture
, Pui
ssan
ce
Iref Iech
VechVref
membrane de Si3Nx
métallisation Ni ou Pt
104-106 K/s
31
fabrication
Si
SiN
photorésine
métallisation
échantillon déposé
(LPCVD)
(RIE)
(gravure KOH)
32
Survol: du plus gros au plus petit
cristaux de polymèresdécroissance du point de fusionnombres magiques?
9
33
cristaux de polymères: AFM
34
cristaux de polymères: TEM
35
cristaux de polymères: calorimétrie
0.3 ng1.5 ng5.0 ng
1 cristal !
36
cristaux de polymères: calorimétrie
50 75 100 125 1500
10
20
30
40
Cha
leur
spé
cifiq
ue[ J
/g K
]
Température [°C]
première mesuresubséquentes
10
37
décroissance du point de fusion
équation de Laplace:
σσ
pj
pi
équation de Gibbs-Duhem(phase i):
21
11
,2
21
rrrr
ddpdp
pp
ijji
rrijji
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−⇒
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +=−
σ
σ
μμμρ
ddddpdTs
i
iiii
=
=+− 0
38
décroissance du point de fusion
coquille liquide
solide
Hypothèse: coquille liquide (LSM)
r0
Chaleur latente:
( )0)(
00
=+−−=+−−=+−
ssllsl
ssss
llll
dpdpdTssddpdTsddpdTs
ρρμρμρ
( ){
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
−+−=−=⇒−=∴
−≈
0
soustraiton et ajouteon
2121
11111
)(
rrd
rd
dpdpdpdpdpdp
dpdpdpdpdpdpdTTlssTl
sl
l
slv
s
lsl
s
dpdpl
sls
slsl
s
l
s
l
s
s
l
l
s
s
l
l
fslf
vl
σρρσ
ρ
ρρ
ρρρρ
ρρρρρρ
48476
39
décroissance du point de fusion
Décroissance du point de fusion:
( ) 3/2'
11
'0
lslvsvHGM
l
slv
rr
slLSM
ρρσσσ
ρρσσσ
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−=
∫∫=
∞=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
'
0
' 2121rr
r
sl
l
slv
s
fT
T rrd
rd
lT
dTf
σρρσ
ρ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=−
'/1212
''21
'2'
00 rrrlT
rrrlT
TT sl
l
slv
s
fsl
l
slv
s
ff
σρρσ
ρσ
ρρσ
ρ
rlT
rTTTs
ff ρ
σ '2)( =−=Δ
40
décroissance du point de fusion
100 110 120 130 140 150 160Temperature [oC]
0
1
2
3
4
5
Cap
acte
cao
que
[J/g
]
Tm,bulk
CP,bulk
1.3 nm
2.3 nm
3.2 nm
5.6 nm
0 1 2 3 4 5 6 7Epaisseur deposee [nm]
100
110
120
130
140
150
Tem
pera
ture
dum
axim
um[o C
]
0
5
10
15
20
25
30
PLM
H[o C
]
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
4πr3 h(
r)/3
0 5 10 15 20 25 30rayon [nm]
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
4πr3 h(
r)/3
a) 1.3 nm
b) 5.6 nm
M. Zhang, M. Yu. Efremov, F. Schiettekatte, E. A. Olson, A. T. Kwan, S. L. Lai, T. Wisleder, J. E. Greene, and L. H. Allen Size-dependent melting point depression of nanostructures: Nanocalorimetric measurements Phys. Rev. B 62, 10548 (2000)
11
41
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.00
0.05
0.10
0.15
4πr3 h(
r)/3
0.0 1.0 2.0 3.0radius [nm]
0.0
0.1
0.2
0.3
RL
0
50
100
150
200
0
50
100
150
CP(
T)/S
[nJ/
cm2 K
]
50 100 150Temperature [oC]
0
50
100
150
Tm
TL
décroissance du point de fusion
10 nm
a)
b)
c)
0.1 nm In
0.2 nm In
0.4 nm In
42
r'
décroissance du point de fusion
T (r’)
RL TTL
Mêmesuperficie
( )rhπrH TEM 3
34
CP
ž T Ÿ
bulkPC ,
43
décroissance du point de fusion
● bon regroupement
● moyenne linéaire
● expérimental σ´=(53±3)×10-7 J/cm2
● littérature
– HGM
σ´=(43±10)×10-7 J/cm2
– LSM:
• limite sur r0
• r0 < 0.5 nm
50
100
150
Poin
tde
fusi
on[0 C
]
2468ayo [ ]
0.2 nm0.3 nm0.4 nm0.6 nm0.8 nm1 nm2 nm3 nm5 nm10 nm
Tm,bulk
a)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6inverse du rayon 1/r [nm-1]
50
100
150
Poin
tde
fusi
on[0 C
]
T(r) moyenHGMLSMLNG
b)
rHT
Tsf
m
ρσ '2
=Δ
( ) 3/2' lslvsv ρρσσσ −=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−=
l
slv
rr
slρρ
σσ
σ 11
'0
44
décroissance de la chaleur latente
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6inverse du radius 1/r [nm-1]
0
5
10
15
20
25
30
35
Ca
euat
ete
[J/g
]
2468ayo [ ]
Hm pour chaque experienceC
regression lineaireHm(r) selon le cycle thermochimique
Hf,bulk
0.2 nm0.4 nm
0.6 nm
0.8 nm1 nm
2 nm
3 nm5 nm
10 nm
rayon (nm)
Cha
leur
late
nte
[J/g
]
12
45
nombres magiquesa) b) c)
20 nm
50 100 150Temperature [oC]
0
100
200
300
400
500
600
Cha
leur
spec
ifiqu
e[n
J/cm
2 ]/K
0.8 nm
0.6 nm
0.4 nm
d)
50 100 150Ti [oC]
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
δri[Å
]
c/2
a/√2
Tme)
� séparation en rayon:
� équivaut à 1 monocouche d’Indium
� effet de couches atomiques� T(r) ∝1/r
M. Yu. Efremov, F. Schiettekatte, M. Zhang, E. A. Olson, A. T. Kwan, R. S. Berry, and L. H. Allen Discrete Periodic Melting Point Observations for Nanostructure Ensembles Phys. Rev. Lett. 85, 3560 (2000)
))(('2
1
1
+
+
−−−
=imim
ii
sf
mii TTTT
TTH
Tr
ρσ
δ
isf
mim rH
TTT
ρσ '2
=−
46
nombres magiques
Pourquoi de tels maxima? Deux avenues:� distribution non-uniforme de la taille des particules
� l’énergie des particules oscille entre r and r+δr� nombres magiques:
� atomiques: Na = (10 i3 - 15 i2 + 11 i - 3)/3
� électroniques: Ne ≈ i(i+1)(i+2)/3
� ~50 eV/particule pour des amas de 1500 atomes
� observés sur une surface� jusqu’à 10000 atomes� énergie mesurée
0
5
10
15
20
25
raci
ne c
ubiq
ue d
u no
mbr
e d'
atom
es, N1/
3
Schmidtet al.
electronique atomique
ce travail
47
conclusions (nanocalorimétrie)
La physique du XIXe siècle peut expliquer des expériences du XXIe siècleeffets discrets dus aux couches atomiquesmesure sur des monocristaux de polymèressensibilité < monocouche @ 30 meV/at(i.e. fusion)la nanocalorimétrie est aux surfaces ce que la DSC est au volumes
48
Nanobulles
MotivationImpuretés métalliques
néfastes pour les dispositifs semi-conducteurs
Nanobulles: excellent pour le piégeage interne de telles impuretésplus efficaces que la simple surface du silicium
Les effets de capillarité pourraient-ils en être responsables
13
49
Procédure expérimentale
surface
2e couche
1e couche
50
Procédure expérimentale
1017 He/cm2
100 keV1000°C
1h
Création de la 1e couche de nanobulles (33 nm)
1014 Au/cm2
300 keV800°C
1h
Contamination
3•1016 He/cm2
30 keV
He pour la 2e couche
Création de la deuxième couche (10 nm) et mesure du transport de Au
800°C0.5 h
RBS4He 2 MeV
800°C1 h
RBS4He 2 MeV
800°C30 h
RBS4He 2 MeV
•••
51
Résultats
constant
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1depth (µm)
Con
cent
ratio
n (%
Au/
Si)
0 h1 h30 h
52
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 10 20 30
temps de recuit de la 2e couche (h)C
once
ntra
tion
(1014
Au/
cm2 )
1e couche2e couchetotalsurface
Au_vs_t_serie_E.xls
Évolution de la concentration dans les différente couches
Les petites nanobulles (12 nm) sont 4x plus efficaces que les grandes (34 nm)La quantité de Au perdu correspond à sa solubilité dans le Si
x4
2.5 eV
14
53
Thermodynamique
Potentiel chimiqueéquilibre des bulles avec l'environnement:
vr
kTikT σββθ
θμ 2,1
ln][ln0 =−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−=+
kTv
rσ=
pp lv 2ln
0⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Le signe "-" vient de la courbure négative
54
Thermodynamique
Potentiel chimique:calculé
mesuré
reconstruction de surface? (k1/k2 ~ 50%)Efficacité des petites nanobulles due à la fois à leur courbure plus prononcée et àdes effets de reconstruction
meV1643,32 12 ±=−= ββφβ
Raf
meV130)1(lnln22
11
1
212 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
AkAkkTkT
αα
θθββ
55
À retenir (mais pas pour l'examen!)
pour les petites particules, les effets de surface deviennent importants (et même dominants)
Équation de Youngcapillarité, forme des cristaux, germination
pression/concentration
point de fusion
-2 -1 0 1 20
2
4
6
8
p v / p
0
bulles gouttesrH
TT
sf
m
ρσ '2
=Δ
kTv
rσ=
pp lv 2ln
0⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1/r 56
Semaine prochaine
Intra mardi 12h30-14h20Vous avez droit à une feuille 8.5"x11" recto-verso
Pas de cours jeudiJe serai absent à partir de samedi
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