modélisation et optimisation 1-611-09 - hec

Modélisation et optimisation

1-611-09

Séance 1

Optimisation d’une

fonction d’une seule

variable

Plan

1.1 Introduction

1.2 Conditions d’optimum du premier ordre

1.3 Nature des optima locaux

1.4 Conditions d’optimum du second ordre

1.5 Analyse de convexité

1.6 Conditions d’optimum d’ordre supérieur

1.7 Résumé des étapes d’optimisation

Cours 1-611-09 2 HEC Montréal

1.1 Introduction

• L’optimisation est l'étude des minima et maxima d’une fonction.

• Qu’est-ce qu’un minimum local, minimum absolu, maximum local, maximum absolu?

Cours 1-611-09 3

f atteint un maximum absolu en Ax * si )()( *xfxf Ax .

f atteint un minimum absolu en Ax * si )()( *xfxf Ax .

f admet un maximum local en Ax * si )()( *xfxf Ax voisin de *x .

f admet un minimum local en Ax * si )()( *xfxf Ax voisin de *x .

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1.1 Introduction

Cours 1-611-09 4

-100

0

100

200

300

400

500

600

-6 -4 -2 0 2 4 6 8x

f(x)

Optimum Minimum ou maximum Local ou absolu

x = -6

x = -4

x = 2

x = 8

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1.2 Conditions d’optimum du premier

ordre

Cours 1-611-09 5

Un optimum peut se retrouver en 3 types de points :

i) Bornes : extrémités d’un domaine fermé

ii) Point critique : point où la dérivée n’existe pas

iii) Point stationnaire : point où la dérivée s’annule

Théorème 1.1 : Condition (nécessaire) d'optimum du premier ordre

Si Af : admet un optimum local en *x et si )( *xf existe,

alors on a nécessairement 0)( * xf .

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Cours 1-611-09 6

i) Comment identifier les bornes et leur nature?

Identification?

Borne inférieure : ext. de gauche du domaine fermé

Borne supérieure : ext. de droite du domaine fermé

Nature ?

Borne inférieure : signe de dérivée à droite

Borne supérieure : signe de dérivée à gauche

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Cours 1-611-09 7


Ex 1 :

Identification?

Borne inférieure :

Borne supérieure :

Nature ?

Borne inférieure :

Borne supérieure :

100,0pour 2)( xxxf

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Cours 1-611-09 8


Ex 2 :

Identification?

Borne inférieure :

Borne supérieure :

Nature ?

Borne inférieure :

Borne supérieure :

5,1pour12

1,5pour164)(

2

34

xxx

xxxxf

-150

-100

-50

0

50

100

-6 -4 -2 0 2 4 6

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Cours 1-611-09 9

ii) Comment identifier les points critiques et leur nature?

Identification?

cas 1 : dérivée tend vers l’infini (division par zéro dans la

dérivée)

cas 2 : dérivée à gauche ≠ dérivée à droite (point de coupure)

Nature ?

cas 1 : pas vu dans ce cours

cas 2 : Comparer le signe de la dérivée à gauche et de la

dérivée à droite

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Cours 1-611-09 10

51pour122

15pour124)('

23

xx

xxxxf

-150

-100

-50

0

50

100

-6 -4 -2 0 2 4 6

ii) Comment identifier les points critiques et leur nature?

Suite de l’exemple 2

Identification?

Nature ?

5,1pour12

1,5pour164)(

2

34

xxx

xxxxf

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Cours 1-611-09 11

iii) Comment identifier les points stationnaires et leur nature?

Identification?

Trouver les points qui annulent la dérivée première (résolution

d’une équation à un inconnu)

Nature ?

Utilisation des conditions d’optimum du second ordre, de

l’analyse de convexité ou des conditions d’optimum d’ordre

supérieur (sections 1.4 à 1.6) .

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1.4 Conditions d’optimum du second

ordre

Cours 1-611-09 12

Théorème 1.2 : Condition (suffisante) d'optimum du second ordre

Soit *x un point stationnaire et f dérivable deux fois :

si 0)( * xf , alors *x est un minimum local.

si 0)( * xf , alors *x est un maximum local.

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Cours 1-611-09 13

Ex 3 :

Identification des points stationnaires :

xxxxxf pour 364)( 234

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Cours 1-611-09 14

Suite ex 3 :

Nature des points stationnaires :


xxxxf 72124)( 23

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

-5 -3 -1 1 3 5 7 f(x)

f''(x)

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Théorème 1.3 : Soit *x un point stationnaire de )(xf .

Si )(xf est convexe, alors *x est un minimum absolu.

Si )(xf est concave, alors *x est un maximum absolu.

Théorème 1.4 : Soit )(xf une fonction deux fois dérivable sur A.

)(xf est convexe 0)( xf , Ax ;

)(xf est concave 0)( xf , Ax .

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Cours 1-611-09 16

Ex 4 :

Identification des points stationnaires:


xxxxf où76)( 2

-5

0

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4 6 8 10

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Cours 1-611-09 17

Ex 5 :



8,0où)4(2)( 4 xxxf

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Ex 6 :



4,4où)25ln()( 2 xxxf

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Ex 7 :



xxxf où)1()( 3

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

-6 -4 -2 0 2 4 6

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Retour sur ex 3 :

Max local en

Min locaux en

Intervalles de convexité?


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xxxxf 72124)( 23

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

-5 -3 -1 1 3 5 7 f(x)

f''(x)

722412)( 2 xxxf

0x

6et 3 xx

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1.6 Conditions d’optimum d’ordre

supérieur

Cours 1-611-09 21

Théorème 1.5 : Conditions (suffisantes) d’optimum d’ordre supérieur

Soit )(xf dérivable n fois et *x un point stationnaire :

1. Trouver la première dérivée non nulle de )(xf en*x ,

et soit nr l’ordre de cette dérivée.

2. Si r est pair alors *x est un : maximum local si 0)( *)( xf r

;

minimum local si 0)( *)( xf r.

Si r est impair, alors *x est un point singulier.

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1.6 Conditions d’opt. d’ordre supérieur

Cours 1-611-09 22

Fin ex 2 :


51pour122

15pour124)('

23

xx

xxxxf

5,1pour12

1,5pour164)(

2

34

xxx

xxxxf

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1.6 Conditions d’opt. d’ordre supérieur

Cours 1-611-09 23

Fin ex 2 :


-150

-100

-50

0

50

100

-6 -4 -2 0 2 4 6

5,1pour12

1,5pour164)(

2

34

xxx

xxxxf

51pour122

15pour124)('

23

xx

xxxxf

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1.7 Étapes d’optimisation

Soit une fonction f(x), suivre les étapes suivantes pour optimiser cette fonction :

Étape 1 : Identification des points stationnaires

identifier les points stationnaires (f’(x) = 0) inclus dans le domaine sans déterminer leur nature et aller à l’étape 2.

Étape 2 : Identification des points critiques

identifier les points critiques (f’(x) n’existe pas ) inclus

dans le domaine sans déterminer leur nature :

– Si la fonction possède un seul point stationnaire et

aucun point critique, aller à l’étape 3.

– Sinon, aller à l’étape 4.



Étape 3 : Nature des points par la convexité

vérifier si f(x) est convexe partout (f’’(x) ≥ 0) ou concave

partout (f’’(x) ≤ 0 ).

– Si f(x) est convexe partout, le point stationnaire est un

minimum absolu et les deux bornes des maximums

locaux. Aller à l’étape 5 pour identifier le maximum

absolu.

– Si f(x) est concave partout, le point stationnaire est un

maximum absolu et les deux bornes des minimums

locaux. Aller à l’étape 5 pour identifier le minimum

absolu.

– Si la convexité de f(x) change, aller à l’étape 4.

.



Étape 4 : Nature locale des points

identifier la nature locale de chaque candidat individuellement :

– Borne inférieure : regarder le signe de la dérivée à droite pour

déterminer si le point est un min. local ou un max. local;

– Borne supérieure : regarder le signe de la dérivée à gauche

pour déterminer si le point est un min. local ou un max. local;

– Point critique : comparer les signes des dérivées à gauche et à

droite pour déterminer si le point est un min. local, un max. local

ou ni l’un, ni l’autre;

– Point stationnaire : utiliser les conditions d’optimum d’ordre

supérieur (théorème 1.5) pour déterminer si le point est un min.

local, un max. local ou un point singulier.

Une fois la nature locale de chaque candidat identifiée, aller à

l’étape 5.

.



Étape 5 : Identification des min et max absolus

• Si la fonction est définie et continue partout sur le domaine et

que le domaine est fermé, il suffit de calculer la valeur de f(x)

en chacun des minimums locaux pour trouver le minimum

absolu et calculer la valeur de f(x) en chacun des maximums

locaux pour trouver le maximum absolu.

Remarque : Si le domaine est ouvert ou non-borné, la

fonction pourrait ne pas posséder de minimum absolu et/ou

de maximum absolu.



Remarques

• Un croquis du graphique de la fonction pourrait aider à détecter des erreurs éventuelles (ex : deux maximums qui se suivent, deux minimums qui se suivent, …).

• Certaines étapes pourraient se faire plus rapidement (ex : la nature des bornes peut être déduite aisément connaissant la nature locale de tous les points stationnaires et de tous les points critiques). Les étapes données dans ce résumé constituent la démarche complète. L’utilisation de cette démarche permet d’éviter la multiplication des erreurs et parfois même de détecter certaines erreurs.


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