modulo_estadistica_compleja

5/10/2018 modulo_estadistica_compleja - slidepdf.com

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ESTADISTICACOMPLEJA(Probabilidad)Cod.301014

AdrianaMoralesRobayoEstadístico

UNIVERSIDADNACIONALABIERTAYADISTANCIA–UNAD–

ESCUELADECIENCIASBÁSICASEINGENIERÍAUNIDADDECIENCIASBÁSICAS

BogotáD.C.,2007



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COMITÉDIRECTIVOJaimeAlbertoLealAfanador

RectorRobertoSalazarRamosVicerrectordeMediosyMediacionesPedagógicasGloriaHerreraSánchezVicerrectoraAcadémicaydeInvestigación

MÓDULO

CURSOPROBABILIDADPRIMERAEDICIÓN

©CopyrigthUniversidadNacionalAbiertayaDistancia



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INTRODUCCIÓN

LaEstadísticasehaconvertidoenunefectivométodoparadescribir,relacionaryanalizar los valores de datos económicos, políticos, sociales, biológicos, físicos,entreotros.Peroestaciencianosóloconsisteenreunirytabularlosdatos,sinoendarlaposibilidaddetomardecisionesacertadasyatiempo,asícomorealizarproyeccionesdelcomportamientodealgúnevento.Esasícomoeldesarrollodelateoría de la Probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de laEstadística.Muchos de los eventos que ocurren en la vida del ser humano no se puedenpredecirconexactitud,pueslamayoríadeloshechosestáninfluenciadosporelazar,esdecir,porprocesosinciertos,enlosquenoseestásegurodeloquevaa

ocurrir.Seríaunerrorafirmarquevivimosenunmundodeterminista,endondenohay influencia del azar y la incertidumbre. La Probabilidad permite unacercamiento a estossucesos,ponderandolas posibilidadesdesuocurrenciayproporcionando métodos para tales ponderaciones, creando así modelosProbabilísticos. Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por lateoríadelaProbabilidadllevanadescubrirqueciertoseventostienenunamayoromenor probabilidad de ocurrir que la apreciación hecha a través del sentidocomún.De esta manera, la Probabilidad permite estudiar los eventos de una manerasistemáticaymáscercanaalarealidad,entregandounainformaciónmásprecisa

yconfiabley,portanto,másútilparalasdistintasdisciplinasdelserhumano.Deahí que se vea la importancia de conocer a profundidad las características deciertos fenómenos cotidianos que el serhumano vive, comprender los métodosProbabilísticosmáscomúnmenteusadosyconellosllegaratomarlasdecisionesmásapropiadas.ElconocimientodelaProbabilidad constituyelabasequepermitecomprenderlaformaenquesedesarrollanlastécnicasdelaInferenciaEstadísticaylatomadedecisiones,enotraspalabras,esellenguajeylafundamentaciónmatemáticadelaInferenciaEstadística.

El curso de Probabilidad , programado como curso académico básico —comúnentre los diferentes programas que oferta la UNAD—, busca fomentar en elestudiante la capacidad de reconocer y establecer modelos apropiados paradescribirfenómenosaleatoriosquesurgenensusáreasdeespecialidad,yapuntaaqueéstereconozcaquelaEstadísticaproporcionalasherramientasnecesariasparahacerinferenciassobreuntodo(población)enbasealosdatosrecopiladosensólounoscuantoselementosobservadosdelapoblación(muestra)yquelaProbabilidad aportaloselementosdevalidacióndelosmétodosestadísticos.



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Elpresentemódulobuscadotaralestudiantedelasherramientasprobabilísticasbásicasparaelestudiodefenómenospropiosdesudisciplinadeformaciónydelentorno social, económico y político en que se desenvuelve, cuya evolución

temporal o espacial depende del azar, y apunta a que el estudiante tomedecisiones más objetivas frente a dichos fenómenos. En él se introducen losconceptos básicos de la Probabilidad y se manejan las distribuciones deprobabilidadmásconocidas.Estetextocontienedosunidadesdidácticas 1,correlacionadasdirectamenteconelnúmero de créditos académicos asignados. La primera de ellas considera losPrincipios de Probabilidad, necesarios para el cumplimiento de los propósitos yobjetivos delcurso. Enesta unidadse recuerdan algunos conceptos básicosdelastécnicasdeconteo:permutaciones,variacionesycombinaciones;seidentificanconceptos sobre espacios muestrales y eventos, las propiedades básicas de la

probabilidad como las reglas de adición y multiplicación, la probabilidadcondicionalyelteoremadeBayes.Enlasegundaunidaddidáctica,seestablecela diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas, en términos de sufunción de probabilidad, valor esperado, varianza y desviación estándar sereconocenalgunasdelasdistribucionesdeprobabilidadmáscomunes,tantolasdiscretas como las continuas. Entre las primeras se contemplan la uniformediscreta,binomial,geométrica,binomialnegativa,hipergeométricayladistribuciónde Poisson y, como distribuciones de probabilidad continua, se trabajan ladistribuciónuniformecontinua,normal,exponencial,Weibull,Erlang,Gamma,Ji-cuadrada,t-studentyFdeFisher.

El módulo está dirigido a una población estudiantil que se interesa en laestadísticaporsu valorcomo instructivo para apoyarprocesos de investigación,más que como objeto del conocimiento, que sería el caso si se tratara deestudiantes de estadística o matemática. Es por esto que se evitarán losdesarrollos matemáticos de las fórmulas, aunque se presentan algunosrazonamientosyprocedimientosenqueellassefundamentan.Seenfatizamásenlaformaadecuadadeinterpretar,seleccionaryutilizardichosplanteamientos,queenlasdemostraciones,deduccionesydesarrollosmatemáticos.El curso está escrito partiendo de la premisa de que el estudiante posee losconocimientosbásicosdelaEstadísticaDescriptiva,requisitosmínimosparallevarcon éxito las intencionalidades formativas trazadas para el curso. También esdeseable tener algunos conocimientos básicos de la teoría de conjuntos y del

1Conjuntodeconocimientosseleccionados,organizadosydesarrolladosapartirdepalabrasclavetomados como conceptos que los tipifican, en articulación con las intencionalidades formativas,destinadas a potenciar y hacer efectivo el aprendizaje mediante el desarrollo de operaciones,modificaciones y actualizaciones cognitivas y nuevas actuaciones o competencias por parte delestudiante.ELMATERIALDIDÁCTICO. RobertoJ.SalazarRamos.UNAD,BogotáD.C.2004.



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cálculointegraldebidoaqueestospermitenobtenerunaperspectivamásampliadelaProbabilidad.Estetextonopretendereemplazarlasdiferentesreferenciasbibliográficasclásicas

delaProbabilidad,eselresultadodelaconsultadediferentesfuentesquetratancadatemaenformamásamplia.Loquesepretendeesentregarlosconceptosdeunmodomásdidáctico,enfocadoenelautoaprendizajeyenrelacióndirectaconlaGuíadeActividadesreferenciadaenelprotocolodelpresentecurso.Alfinaldecadaunidad,elestudianteencontrarálasreferenciasbibliográficasbásicas,perono únicas, para que con ellas refuerce en conceptos y definiciones. Además,encontrará una serie de páginas web recomendadas que amplían los temastratados. Se trata pues de un material didáctico de apoyo para el curso deProbabilidad delaUNAD,comopartedelasdiferentesydiversasherramientasdidácticasenlasqueseapoyaelaprendizajeautónomo.



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CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

UNIDADUNOPRINCIPIOSDEPROBABILIDADINTRODUCCIÓNALAUNIDADOBJETIVOGENERALOBJETIVOSESPECÍFICOSRESEÑAHISTÓRICADELAPROBABILIDAD1.-EXPERIMENTOALEATORIO,ESPACIOSMUESTRALESYEVENTOS1.1.ESPACIOMUESTRAL1.2.SUCESOSOEVENTOS.OPERACIONESCONEVENTOSEJERCICIOSCAPITULO12.-TÉCNICASDECONTEO2.1PRINCIPIOFUNDAMENTALDELCONTEO

2.2.FACTORIALDEUNNÚMERO2.3PERMUTACIONESYVARIACIONES2.4COMBINACIONES2.5REGLADELEXPONENTEEJERCICIOSCAPÍTULO23.-PROPIEDADESBÁSICASDELAPROBABILIDAD

3.1.-INTERPRETACIONESDELAPROBABILIDAD3.2.AXIOMASDEPROBABILIDAD3.3.PROBABILIDADTOTALYTEOREMADEBAYESEJERCICIOSCAPÍTULO3



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UNIDADDOSVariablesAleatoriasyDistribucionesdeprobabilidadINTRODUCCIÓNALAUNIDADOBJETIVOGENERALOBJETIVOSESPECÍFICOS1.-VARIABLESALEATORIAS1.1.-VARIABLEALEATORIADISCRETA1.2.-VARIABLEALEATORIACONTINUA1.3.-TEOREMADECHÉBYSHEVEJERCICIOSCAPÍTULO12.-DISTRIBUCIONESDEPROBABILIDADDISCRETA2.1.-DISTRIBUCIÓNUNIFORMEDISCRETA2.2..-DISTRIBUCIÓNBINOMIAL

2.3.-DISTRIBUCIÓNGEOMÉTRICA2.4.-DISTRIBUCIÓNBINOMIALNEGATIVA2.5.-DISTRIBUCIÓNHIPERGEOMÉTRICA2.6.-DISTRIBUCIÓNPOISSON3.-DISTRIBUCIONESDEPROBABILIDADCONTINUA3.1.-DISTRIBUCIÓNUNIFORMECONTINUA

3.2..-DISTRIBUCIÓNNORMALBIBLIOGRAFÍA



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UnidadUno

PRINCIPIOSDEPROBABILIDAD



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INTRODUCCIÓNALAUNIDAD

Para indicar el grado de incertidumbre de un evento, ésta debe expresarse entérminosnuméricos;paraelloserequiereconocerlasreglasyoperacionesdelaprobabilidad. Es así como, en esta primera unidad didáctica, se tratarán losprincipiosbásicosdeProbabilidad.Estaunidadsedivideencuatrocapítulos.Losdosprimeroscapítulossecentranennocionesbásicasparaeldesarrollocompletodelconceptodeprobabilidad.Elprimero de ellos introduce los términos básicos que se encuentran ligados allenguajeestadísticoylosfundamentosnecesariosparaelestudiodelateoríade

laprobabilidad.Elsegundocapítulodesarrollalateoríadelconteoylastécnicasparadeterminarelnúmerodevecesdeocurrenciadeunevento.Enelcapítulo3se desarrolla el concepto de probabilidad y se examinan las diferentesinterpretaciones que se tienen de ella, también se trata aquí los axiomas quesatisfacen las probabilidades de cualquier experimento aleatorio, las reglas deadición y de multiplicación para probabilidades, la probabilidad condicional, laindependenciadeeventosyelTeoremadeBayes.



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OBJETIVOGENERAL

Analizar e interiorizar los principios de Probabilidad, identificando suspropiedades,leyesyloscamposdeaplicaciónquetieneestacienciapropiadelaestadística.

OBJETIVOSESPECÍFICOS

• Introducir los fundamentos necesarios para el estudio de la teoría de laprobabilidad.

• Reconocerlascaracterísticasdeunexperimentoaleatorio.

• Identificar el espacio muestral y distintos eventos de experimentos

aleatorios.• Adquirir las herramientas y habilidades necesarias de las técnicas de

conteo.

• Calcular las medidas de espacios muestrales y eventos aplicando reglasbásicasdeconteo,permutacionesycombinaciones.

• Establecer y aplicar las técnicas de conteo a través de permutaciones y

combinaciones.

• Enunciar y aplicar el principio fundamental de conteo o principiomultiplicativoyutilizardiagramasdeárbolparaejemplificarlo

• Definiryestudiardiversostiposdeespaciosdeprobabilidad.

• Reconocerlaimportanciadelateoríadelasprobabilidadesenelanálisise

interpretacióndeinformaciónestadística.• Aplicarlaspropiedadesmatemáticasbásicasde lasprobabilidadesparael

cálculo de la probabilidad de diferentes eventos que ocurren enexperimentosaleatorios.

• Calcularlaprobabilidaddeunevento,dadoqueotrohasucedido.



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• Demostrarlaindependenciaonodedosomáseventos.

• Enunciaryaplicarlaleydelaprobabilidadtotal.

• Obtener la probabilidad de eventos que involucren el uso del principiomultiplicativo,diagramasdeárbolylastécnicasdeconteo.

• CalcularlaprobabilidaddecausasaplicandoelteoremadeBayes.



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RESEÑAHISTÓRICADELAPROBABILIDAD2.

Elorigendelateoríadelasprobabilidadesesoscuroynisiquieraloshistoriadores

estándeacuerdoconlafechaenquepuedesituarse.En1494(apenasdosañosdespués del descubrimiento de América), el italiano Pacioli planteó algunaspreguntasconcretassobrelaprobabilidad,peronuncaintentóabordareltemademaneracientífica.

Cincuenta y seis años más tarde, también en Italia, elcélebre y controvertido matemático Girolamo Cardano(1501-1576)loestudióconmayorprofundidadyescribióuntratadosobrelosjuegosdeazar,perosusescritosnofueronpublicadossinohastadespuésdesumuerte,bajoeltítuloLíberdeLudoAleae (Librosobrelosjuegosdel

azar). Ése fue el primer tratado sobre la teoría de lasprobabilidadesqueseescribióenelmundoypasaríanmásdecienañosantesdequeseescribieraelsegundo.

Contodaseguridad,elestudianterecordaráoasociaráelnombredeCardanoconlasolucióndelasecuacionesgeneralesdetercerycuartogradopormedioderadicales,aunquealgunoshistoriadoressostienenqueesasfórmulasCardanoselasusurpóalvenecianoNiccoloTartaglia(1500-1557).Alparecer,Cardano,adictoa los juegos de azar y las apuestas, desarrolló por su cuenta la teoría deprobabilidades para sacar ventaja en el juego, pero sus resultados másimportantes jamás los publicó por miedo a que sus contrincantes en el juegotambiénlosutilizaran.SecuentaqueCardanoteníafrecuentesdisputasconsusadversarioseneljuegoysiemprecargabauncuchillo,conelcualhirióenlacaraauncontrincantequenoqueríapagarleunaapuesta.Esunaironíadelahistoriaque Cardano sea reconocido por algo que aparentemente no hizo (la solucióngeneraldelascúbicasylascuárticas),yencambionoseareconocidoporalgoquesíhizo(serelprimeroencrearlasbasesdelateoríadelasprobabilidades).Apesardesupasióncompulsivaporeljuegoylasapuestas,Cardanologróescribirmuchoslibrosacercadetodoloqueleinteresaba,eraunhombresabio,estudiómedicinayamabalamúsica.Suinfanciafuemuydura:sumadrejamásloquiso,porloqueloregalóaunosparientes,quieneslogolpeabanylohacíantrabajarduro. Ya de viejo pronosticó que moriría exactamente a los 75 años, yefectivamentesesuicidóel21deseptiembrede1576alaedadde75años.

En1654,ydesconociendoloquehabíaescritoCardanomásdecienañosatrás,el gran matemático francés (o geómetra, como se autonombraba) Blas Pascalredescubriólasbasesdelateoríadelasprobabilidadesconunenfoquemuchomásuniversaly riguroso.Secuenta quepor aquella épocaelcaballerodeMere

2SOTOMAYORG.yP.WISNIESKIPiotr.ProbabilidadyEstadísticaparaIngenieríayCiencias.Thomson

Learning.2001.



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formuló, en París, la siguiente pregunta al célebre ex prodigio Blas Pascal: "Sialguienlanzaunpardedadosordinariosunayotravez,¿cuántasveceshabráque lanzarlos para que se pueda apostar ventajosamente a que aparecerá eldoble seis?" Aunque hoy en día este problema lo puede resolver con facilidad

cualquier estudiante de un primer curso deprobabilidad, en aquella época fue un planteamientonovedoso.Pascalsepusoatrabajarenesteasuntoyal cabo de unos días halló una serie de fórmulassimples que permitían resolver el problema y otrossimilares.PascalinformóentoncesalCaballerodeMe-re que ya tenía la respuesta a su pregunta: resultaventajoso apostar al doble seis en 25 tiradas de losdados o más; pero es desventajoso hacer semejanteapuestaen24tiradasomenos.Alparecer,araízdeeste incidente, Pascal se interesó por el estudio

matemáticoseriodelosfenómenosrelacionadosconelazar,aunquenoseregistraningunapublicaciónsuyaalrespecto: pero hubo un intercambio de cartas entrePascal y otro ilustre matemático —que curiosamenteeraabogadodeprofesión—,PierreFermat.Aproximadamentetresañosdespuésdeesteincidente,unjovenholandésde27años radicado temporalmente en París y de nombre Christian Huygens, tuvoaccesoa lascartasquehabíanintercambiadoPascaly Fermat,yprofundizó lasideasdeambosenunapequeñamonografíasobrelaincertidumbreyelazar (Elrazonamientoenlosjuegosdelazar).Esefueelsegundolibrosobrelateoríade

probabilidadesqueaparecióenelmundoyademásmarcóelcaminosobreelquedeberíadesarrollarseestaciencia.

Algunos años después de la aparición del libro de Huygens, Jacobo Bernoullipublicó en Basilea, Suiza, su obra Ars Conjectandi, en la cual aparecen porprimera vez las fórmulas y leyes básicas de la teoría de las probabilidades. Eldesarrollo posterior de esta ciencia tuvo lugar primero en Francia, y algunasdécadasdespuésenInglaterrayAlemania.Unfuertedesarrollodeesateoríaestáasociado con los nombres de ilustres matemáticos franceses como el MarquésPierreSimóndeLaplace(1749-1827),AbrahamDeMoivre(1667-1754),Georges-LouisLecler(CondedeBuffon),JosephLouisFrancoisBertrand(1822-1900)(esteúltimo autor del libro Calcul des Probabilités), así como el reverendo ThomasBayes en Inglaterra; el ruso Pafnuty Lvovich Chébyshev (1821-1894) y CarlosFederico Gauss en Alemania, este último considerado por muchos como elmatemáticomásnotableentodalahistoriadelahumanidadhastanuestrosdías,notantoporlacantidad(lacualfuebastanteexigua)sinoporlaimpresionantecalidad y originalidad de sus trabajo y descubrimientos, los cuales tuvieroninfluenciadeterminanteencasitodaslasramasdelasmatemáticas.



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EnelsigloXIX,PierreSimon,marquésdeLaplace(1749-1827),unificótodasestasprimerasideasycompilólaprimerateoríageneraldelaprobabilidad.

AmediadosdelsigloXIX,unfraileagustinoaustriaco,GregorMendel,inicióel

estudiodelaherencia,lagenética,consusinteresantesexperimentossobreelcruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de laHerencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría deprobabilidadalascienciasnaturales.

Lateoríadelaprobabilidadfueaplicadaconéxitoenlasmesasdejuegoy,loqueesmásimportante,enproblemassocialesyeconómicos.Laindustriadesegurosrequería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida. Muchoscentrosde aprendizaje estudiaron laprobabilidadcomo una herramienta para elentendimientodelosfenómenossociales.

Nuestranecesidaddetratarcontotalincertidumbrenosllevaaestudiaryutilizarlateoría de la probabilidad. Al organizar la información y considerarla de manerasistemática, seremos capaces de reconocer nuestras suposiciones, comunicarnuestrorazonamientoaotraspersonasytomarunadecisiónmássólida.



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CAPITULO1

EXPERIMENTOSALEATORIOSYESPACIOMUESTRAL.

Enlateoríadeprobabilidadessehablaamenudodeexperimentosaleatoriosydefenómenosaleatorios.Lapalabraaleatorioprovienedelvocablolatinoalea,elcualsignificasuerteoazar.Unfenómenoaleatorio,esportanto,aquélcuyoresultadoestáfueradecontrolyquedependedelazar.

Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a variosresultados,sinquepuedaserprevisibleenunciarconcertezacuáldeéstosvaaserobservadoenlarealizacióndelexperimento.

Sidejamoscaerunapiedraolalanzamos,yconocemoslascondicionesinicialesde altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo

tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre unamesa,ignoramosquécaraquedaráarriba.Elresultadodependedelazar.Esunaexperienciaaleatoria.

SSuucceessooaalleeaattoorriiooeessuunnaaccoonntteecciimmiieennttooqquueeooccuurrrriirrááoonnoo,,ddeeppeennddiieennddooddeellaazzaarr..

La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tiposociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un granalmacénoquesematricularánenunacarrera...)aunquesonsumademuchasdecisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como

aleatorios.1.1ESPACIOMUESTRALEspaciomuestraleselconjuntoformadoportodoslosposiblesresultadosdeunexperimento aleatorio. En adelante lo designaremos por S. A la colección deresultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espaciomuestral.

EJEMPLO1.1:

Enundado,S={1,2,3,4,5,6}

Enunamoneda,S={C,+}

Unexperimentoaleatoriocumpleconlassiguientescaracterísticas:



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• Elexperimentopuederealizarsebajoidénticascondicionescuantasvecesseanecesario.

• Losposiblesresultadossontodosconocidos.• Elresultadodelexperimentoesincierto,dependedelazar.

• Se observa cierto patrón de regularidad a medida que aumentan lasrepeticiones.

EJEMPLO1.2:Enunaempresadelácteoshacencontroldecalidadalllenadodebolsasdelechede1000ccdevolumen.Cada20minutosseverificaelvolumendellenadodelamáquina. La evaluación continúa hasta encontrar una bolsa que no cumple lasespecificaciones.

Sea s el hecho de que la bolsa de leche cumple con las especificaciones devolumen,yn lasquenocumpleconellas.¿Cuáleselespaciomuestraldeesteexperimento?Elespaciomuestralserepresentacomounasecuenciadelasletras s yn .Dadoque el experimento termina cuando una bolsa de leche no cumple con lasespecificaciones de volumen, el espacio muestral estará formado por unasecuenciades seguidaporunan .

,...},,,,,{ sssssnssssnsssnssnsnnS =

1.2.SUCESOSOEVENTOS.OPERACIONESCONSUCESOS.

SucesosoEventos.

Elespaciomuestralasociadoallanzamientodetresdadosyanotarlasumadelospuntosobtenidoses:

S={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}PodemosconsideraralgunossubconjuntosdeS,porejemplo:Salirmúltiplode5: A={5,10,15}Salirnúmeroprimo: C={2,3,5,7,11,13,17}Salirmayoroigualque12: D={12,13,14,15,16,17,18}



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Todos estos subconjuntos del espacio muestral S los llamamos sucesos oeventos.

SSuucceessoo oo EEvveennttoo ddee uunn ffeennóómmeennoo oo eexxppeerriimmeennttoo aalleeaattoorriioo eess ccaaddaa uunnoo ddee llooss

ssuubbccoonn j juunnttooss ddeell eessppaacciioo mmuueessttrraall SS.. LLooss eelleemmeennttooss ddee SS ssee llllaammaann ssuucceessoossiinnddiivviidduuaalleess oo ssuucceessooss eelleemmeennttaalleess.. TTaammbbiiéénn ssoonn ssuucceessooss eell ssuucceessoo vvaaccííoo oossuucceessooiimmppoossiibbllee,,ØØ,,yyeellpprrooppiiooSS,,ssuucceessoosseegguurroo..

SiStieneunnúmerofinito,n,deelementos,elnúmerodesucesosdeEes2n.

EJEMPLO1.3:

• {1,2},{2,4,6},{3,5}sonsucesos.{1},{2},{3}...,sonsucesosindividuales.

• Enundadohay26

=64sucesos.• Enunamonedahay22=4sucesos,queson:Ø,{C},{+},{C,+}Esdecir,S={Ø,{C},{+},{C,+}}

1.2.1.-OperacionesconsucesosoeventoYa que los eventos o sucesos son subconjuntos, entonces es posible usar lasoperaciones básicas de conjuntos3, tales como uniones, intersecciones ycomplementos, para formar otros eventos de interés, denominados eventos o

sucesoscompuestos.

Dadosdossucesos,AyB,sellaman:

Unión

eselsucesoformadoportodosloselementosdeAytodoslos

elementosdeB.

3Eneldesarrollo del presentemódulo separtede lapremisa deque el estudiantemaneja los diferentesconceptos de la Teoría de Conjuntos. Se recomienda al estudiante que consulte el módulo de Lógica

Matemáticaocualquierotrotextoquecontengadichosconceptos.



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Intersección

eselsucesoformadoportodosloselementosqueson,ala

vez,deAydeB.

Diferencia

eselsucesoformadoportodosloselementosdeAquenoson

deB.

Sucesocomplementario

ElsucesoA´=E-AsellamasucesocomplementariodeA.

DossucesosAyB,sellamanincompatiblescuandonotienenningúnelementocomún. Es decir, cuando = Ø (A y B son mutuamente excluyentes odisjuntos)

Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatoriocorrespondiente,elresultadoesunodelossucesoselementalesdedichosuceso.Porejemplo,siallanzarundadosale5,sehaverificado,entreotros,lossucesos{5},{1,3,5}oS.Demaneraanáloga,decimosque:

• Elsuceso severificacuandoseverificaunodelosdosoambos.• Elsuceso severificacuandoseverificansimultáneamenteAyB.• ElsucesoA´,contrariodeA,severificacuandonoseverificaA.• Dos sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes no se verifican

simultáneamente.

EJEMPLO1.4:

EnelexperimentoS="lanzarundadoalaire",consideramoslossucesos:

A="sacarunnúmeropar".B={1,2,3,5}="obtenerun1,2,3ó5".



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C={4,6}="obtenerun4óun6".D={2,4,6}="obtenerun2,4ó6".F={1,3}="obtenerun1óun3".G="obtenerunmúltiplode3".

A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesoselementales.

C está contenido en A. Luego = C, puesto que siempre queocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que seobtieneunnúmeropar.

B y C son incompatibles, ya que B C = Ø y complementarios, alcumplirseB C=E.

="sacarunnúmeropar" {1,2,3,5}={1,2,3,4,5,6}=E. A G = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los

sucesos"sacarunnúmeropar"y"obtenerunmúltiplodetres"es"sacar

un6". B-D=B ={1,2,3,5} {1,3,5}={1,3,5}="obtenerunnúmeroimpar"=

. CyFsonincompatiblespuestoqueC F=Ø.

Las operaciones unión, intersección y complementación (contrario) verifican laspropiedades:

Unión Intersección

1.Conmutativa 2.Asociativa 3.Idempotente 4.Simplificación 5.Distributiva 6.Elementoneutro

7.Absorción Paradescribirlasrelacionesentreeventosseusanconfrecuencialosdiagramas.Estosbienpueden ser los denominados diagramasde Venno los diagramasdeárbol.Acontinuaciónsedescribenambostratamientosgráficosdeloseventosdeunespaciomuestraldeterminado.



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LosdiagramasdeVenn suelenemplearsepararepresentarunespaciomuestraly sus eventos. En la figura siguiente se contempla un espacio muestralS (lospuntosdentrodelrectángulo)yloseventosA,B yC comosubconjuntosdeeste.Se representan diferentes diagramas de Venn, ilustrando varios eventos

combinados.

Figura1.1DiagramasdeVenn

(a)EspaciomuestralS conloseventosAyB mutuamenteexcluyentes, =∩ B A Ø.(b)InterseccióndeloseventosAyB delespaciomuestralS , B A∩ .(c)ComplementodeleventoA(A´ )enelespaciomuestralS .(d)Evento C B A ∩∪ )( .

(e)Evento )´( C A∩

EJEMPLO1.5:Lasorquídeasdeunvivero,presentanlassiguientescaracterísticas:

Tamañodepétalo Grande Pequeño

ColorLila 40 4

Blanca 2 3Seanloseventos:

A:laorquídeaesdepétalogrande.B :laorquídeaesdecolorlila.

Determine el número de muestras en B A∩ , ` A y B A∪ . Represente condiagramasdeVennesteespaciomuestralyloseventosAyB.Indiqueelnúmeroderesultadosencadaregióndeldiagrama.

(a) (b) (c)

(d) (e)



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Observe que siempre es necesario describir el evento que se va a considerardentrodelespaciomuestral.

Deacuerdoalascaracterísticasdescritas,elevento B A∩ estáformadopor40orquídeasparalascualeseltamañodepétalosesgrandeysondecolorlilaalmismotiempo.Elevento ` A contiene7orquídeasparalasquesuspétalossonpequeños,independientedesucolor.Elevento B A∪ estáconformadopor46orquídeas en las que sus pétalos son grandes o su color es lila (o ambascaracterísticasalavez).El siguiente diagrama de Venn representa dicho espacio muestral y los doseventosAyB.Losnúmerosindicanlacantidadderesultadosencadaregióndeldiagrama.

Figura1.2DiagramadeVenn,ejemplo1.5

Cuandounespaciomuestralpuedeconstruirseenvariospasosoetapassuelesermásútilhacerusodelosdiagramasdeárbol .Cadaunadelas n 1manerasdecompletarelprimerpasopuederepresentarsecomounaramadelárbol,cadaunadelasmanerasdecompletarelsegundopasopuederepresentarseconn 2 ramasquecomienzandondeterminanlasramasoriginales,yasísucesivamente.Undiagramadeárbolesunaespeciedemapadeacontecimientosendondesedescriben los eventos básicos que ocurren en un experimento aleatorio. Estegráficoestáformadoporsegmentosderectasypuntos.Loseventosqueocurrensedenotanporpuntos.Estediagramapuedeserdibujadodeizquierdaaderechaodearribahaciaabajo,nohayrestriccionesparaello(Verfigura3).

Estetipodediagramasesmuyusualnosóloparadescribirunespaciomuestral,sinoensituacionesdeprobabilidad,casoenelcuallaprobabilidaddeleventoseindicasobreelsegmentoderecta,tambiénencombinatoriayenmuchasotrasramasdelamatemática.



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Figura1.3Diagramasdeárbol

(a)Vertical,(b)Horizontal

EJEMPLO1.6:SofíayCamilaIntervienenenuntorneodetenis.Laprimerapersonaqueganedos juegosseguidos o que complete tres, gana el torneo. Use un diagramadeárbolparadeterminarlosposiblesresultadosdeltorneo.

Figura1.4Diagramadeárboldelejemplo1.6

Elrecorridodesdeelprincipiodelárbolhastalospuntosterminales,indicaquiénganó cada juego en el torneo individual de tenis. Observe que hay 10 puntos

terminalesquecorrespondenalos10resultadosposiblesdeltorneo,ellosson:{SS,SCSS,SCSCS,SCSCC,SCC,CSS,CSCSS,CSCSC,CSCC,CC.}

S

A

B

C

S

A B C

(a) (b)

S

SS

SS

S

SS

S

C

CC

C C

C

CC

C



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EEJJEERRCCIICCIIOOSSCCAAPPÍ Í TTUULLOO111.- Proporcioneuna descripción razonabledel espacio muestralde cadaunodelossiguientesexperimentosaleatorios.Utiliceundiagramadeárbol.

a.- Lanzar tres veces una moneda y observar la serie de sellos o caras queaparecen.b.- Tirar un dado, si el resultado es un numero par lanzar una moneda, si elresultadoesunnumeroimparlanzarunamonedadosveces.2.-SedeseaobservarunafamiliaqueposeedosautomóvilesyparacadaunoobservamossifuefabricadoenColombia,siesAmericanoosiesEuropeo.

a.-Cualessonlosposiblesresultadosdeesteexperimento?b.-DefinaeleventoA:LosdosautomovilesnosonfabricadosenColombia,Liste

eleventoB:Unautomovilescolombianoyelotrono.c.-DefinaloseventosA∪ByB∩A.3-Labibliotecadeunauniversidadtienecincoejemplaresdeunciertotextoenreserva,Dosejemplares(1y2)sonprimeraediciónylosotrostres(3,4y5)sonsegundasediciones.Unestudianteexaminaestoslibrosenordenaleatorio,ysedetienecuandoseleccionaunasegundaimpresión.Ejemplosderesultadosson:5,213.

a.-hagaunalistadeloselementosdeSb.- ListeloseventosA: ellibro 5esseleccionado,B:exactamenteun librodebe

serexaminado,C:ellibro1noesexaminadoc.-Encuentre:A∪B,B∩A.,A∪CyB∩C.4.-Dosestacionesdegasolinaseencuentranenunciertocrucedelaciudad,encadaunahay4bombasparadespachodegasolina.Considereelexperimentoenqueelnumerodebombasenusoenundíaparticularsedeterminaparacadaunadelasestaciones.Unresultadoexperimentalespecificacuantasbombasestánenusoenlaprimeraestaciónycuantasestánenusoenlasegunda.a.-Cualessonlosposiblesresultadosdelexperimentob.- Defina el evento A: el numero de bombas en uso es el mismo en ambas

estaciones,eleventoB:elnumerodebombasenusoesmáximodosencadaestación,eleventoC:elnumerototaldebombasenusoenambasestacionesescuatro.c.-DefinaA∪B,B∩C5.- ElsiguientediagramadeVenncontienetreseventos.Reproduzcala figuraysombreelaregiónquecorrespondeacadaunodelossiguienteseventos:



25

a. ´ A b. B A∩ c. C B A ∪∩ )( d. )( ′∪C B

e. C B A ∪′∩ )( 6.- Una mujer es portadora de hemofilia clásica. Esto significa que, aunque lamujernotengahemofilia,puedetransmitirlaenfermedadasushijos.Ellatienetreshijos.Describaelespaciomuestraldeesteexperimento.7.- Enunaencuestarealizadaentre200 inversionistasactivos,sehallóque120utilizancorredoresporcomisión,126usancorredoresdetiempocompletoy64empleanambostiposdecorredores.Determineelnúmerodeinversionistastalesque:

a.Utilizanalmenosuntipodecorredor.b.Utilizanexactamenteuntipodecorredor.c.Utilizansólocorredoresporcomisión.d.Noutilizancorredores.Represente con un diagrama de Venn este espacio muestral y los eventosrelacionados.Indiqueelnúmeroderesultadosencadaregióndeldiagrama.8.-Latablasiguientepresentaunresumendelascaracterísticassolicitadasen100órdenesdecompradecomputadores.

Memoriaadicional No SiProcesadoropcionaldealtavelocidad

No 75 7Si 10 8

Sean:A: evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional y sinprocesadoropcionaldealtavelocidad.B :eventodondelaordendecompraessolicitadasinmemoriaadicional.

Determineelnúmerodemuestrasen B A ∩′ , B′ y B A∪ .DibujeundiagramadeVennquerepresenteestosdatos.9.-Selepidióa110comerciantesquedijeranquetipodeprogramadetelevisiónpreferían.Latablamuestralasrespuestasclasificadasalavezsegúnelniveldeestudiosdeloscomerciantesysegúneltipodeprogramapreferido.



26

TipodeProgramaNiveldeestudios Colegio(A)

Universidad(B)

Postgrado(C)

Total

Deportes(D) 15 8 7 30Noticias(N) 3 27 10 40Drama(M) 5 5 15 25Comedia(W) 10 3 2 15Total 33 43 34 110

Especifique el numero de elementos en cada uno de los siguientes eventos ydefínalosconpalabras:a)D, b)A∪M c)W`

d)C∩N e)D∩B f)(M∩A)´



27

CAPITULO2

TÉCNICASDECONTEO

Enelcálculodelasprobabilidadessedebepoderdeterminarelnúmerodevecesque ocurre un evento o suceso determinado. Es muchas situaciones deimportanciaprácticaesimposiblecontarfísicamenteelnumerodeocurrenciasdeuneventooenumérelosunoaunosevuelveunprocedimientoengorroso.Cuandoseestafrenteaestasituaciónesmuyútildisponerdeunmétodocorto,rápidoyeficazparacontar.

Acontinuaciónsepresentanalgunasdeestastécnicas,denominadas técnicasdeconteo o análisis combinatorio, entre las cuales se tienen: el principiofundamentaldelconteo,permutaciones,variaciones,combinaciones,laregladel

exponenteyeldiagramadeárbol.2.1PRINCIPIOFUNDAMENTALDELCONTEOEnla teoría fundamentaldelconteosetienendosprincipiosbásicos,queson labaseparadesarrollarotrosconceptoscomopermutacionesycombinacionesqueseveránmásadelante.2.1.1Principiodemultiplicaciónomultiplicativo

Algunos problemas de probabilidad pueden resolverse aplicando este principio.Suponga que unapersonadeseaprepararunalmuerzoparasus amigos ytienedos recetas para la sopa, trespara el plato principal y dos para el postre. ¿Decuántas maneras puede el anfitrión hacer su menú? En la figura 5 se señalantodaslasmanerasposiblesparaprepararelalmuerzo.

Figura2.5Diagramadelasposiblesopcionesparaprepararunmenú

Lasalternativasquetendráson:

{1,3,6} {1,3,7} {1,4,6} {1,4,7} {1,5,6} {1,5,7}{2,3,6} {2,3,7} {2,4,6} {2,4,7} {2,5,6} {2,5,7}

Sopa Platoprincipal

Postre

1

2

3

4

5

6

7



28

En total se tienen 12 maneras diferentes de preparar un delicioso almuerzo.Aplicandoelprincipiodemultiplicaciónsetiene:

2x3x2=12Generalizando, si un evento determinado puede realizarse de n 1 manerasdiferentes,ysiunsegundoeventopuederealizarseden 2 manerasdiferentes,ysi,además, un tercer evento puede realizarse de n 3 maneras diferentes y asísucesivamente, y si al mismo tiempo cada evento es independiente del otro,entonceselnúmerodemanerasenqueloseventospuedenrealizarseenelordenindicadoeselproducto:

...321 ××× nnn

2.1.2PrincipioaditivoEste principiotiene las mismas premisasdel principio multiplicativo,pero con lacondición no de que los eventos sean independientes sino de que seanmutuamenteexcluyentes, esdecirquecadauno ocurrasin lanecesidaddequeotrolohaga.Elnúmerototaldemanerasenlasquepuedenrealizarseloseventoseslaadición:

...321 +++ nnn

Suponga,ahora,quelapersonaquepreparaelmenúparasusamigosprepararápescado como plato principal. Para preparar el pescado, él encuentra cincomaneras diferentes de hacerlo al horno, dos para hacerlo frito y tres paraprepararlococido.¿Decuántasmanerasdiferentespuedecocinarsupescado?Cadaunadelasmanerasdeprepararelpescadoesexcluyentedelasotrasdos.Esdecir,sielcocinerodecideprepararelpescadococido,yanopodráprepararlonifritonialhorno;deigualmanerasucedesidecidehacerloalhornoo frito.Asíqueentotal,ydeacuerdoconelprincipioaditivo,sólohay5+2+3=10manerasdiferentesdecocinarelpescado.

Figura2.6

Esquemadeinterpretacióndelosprincipiosmultiplicativoyaditivo

n1 n2 n3 ...

Principiomultiplicativo

n1

n2

n3.

.

.

Principioaditivo



29

El esquema de la figura 1.6 ilustra una interpretación sencilla de ambosprincipios4.Másadelantesedesarrollanlosconceptosdeeventosindependientesyeventosmutuamenteexcluyentes,peroyainiciaunprimeracercamientoaellos.

2.2FACTORIALDEUNNÚMEROEn el análisis combinatorio interviene con mucha frecuencia el concepto defactorialdeunenterononegativon .Estesedenotaporelsímbolon! ysedefinecomoelproductodenportodoslosenterosqueleprecedenhastallegaraluno.Simbólicamentequedaexpresadocomo:

( )( ) 1121 ≤…= nn-n-nn!

Laexcepcióneselcasode0! Elcualconvienedefinirlocomoiguala1conobjeto

depreservarlavalidezdelasfórmulasencasosextremos.Muchascalculadorastraenunateclafactorial,verifiquequelasuyalatengaypractique.

EJEMPLO2.7Calcule:a. 720123456!6 =×××××= b. 000.368.674.307'1123...131415!15 =××××××= c. 121)12345()1(!5!0 =××××+=+

d. 1561213!11

!111213

!11

!131561213

123...91011

123...111213

!11

!13=×=

××=⇔=×=

××××××

××××××=

e.720

1

8910

1

!78910

!7

!10

!7

123...910

1234567

!10

!7=

××=

×××=⇔

×××××

××××××=

2.3PERMUTACIONESYVARIACIONESConsidere un conjunto de elementos { }cbaS ,,= . Una permutación de los

elementosesunacomodouORDENAMIENTOdeellos.Así:

abc acb bac bca cab cba

4ModificadodeProbabilidady estadísticaparaingeniería y ciencias ,GabrielVelascoS.yPiotrMarianWisniewski.ThomsonLearning.México.2001



30

sonlaspermutacionesdeloselementosdelconjunto S ysonentotal6posiblesacomodos.Estoes:

6123!3 =××=

El número de permutaciones (acomodos u ordenaciones) de n elementosdistintos,tomadostodosdeunavez,sedenotaporn!Unaordenacióndeunnúmeror deelementosdelconjuntoden elementos, nr ≤ ,esdenominadavariación .Sonpermutacionesen lasque implicaun ordenen lacolocación de los elementos, tomando únicamente una parte de los elementos.Unavariaciónpuedeconstruirseseleccionandoelelementoqueserácolocadoenlaprimeraposicióndelarreglodeentrelosnelementos,paraluegoseleccionarelelemento de la segunda posición de entre los n-1 elementos restantes, paraseleccionar después el tercer elemento de entre los n-2 restantes, y así

sucesivamente.Setratapuesdeunapermutacióndenelementostomandoralavez.Elnúmerodepermutacionesden elementostomadosr alavezsedenotacomo

r nP o n

r V ysedefinecomo:

( )( ) ( )( )!r n

n!r n...nnnPP n

r r n−

=+−−−== 121

Observequeenelcasoespecialder=n ,setiene:

!123)...2)(1( nnnnP

nn=××−−=

Enelsiguienteejemploseharáunanálisisbásicoydidácticoparacomprenderfácilmenteelusoadecuadodelaspermutacionesylasvariaciones.

Ejemplo2.7SupongaquesetienenlasbasesTiamina(T),Adenina(A),Citosina(C)yGuanina(G). ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar estas bases en una

secuenciadelongitud4,sinrepetirningunabase?Supóngasequeenlassiguientescasillasseubicaránlasbases.



31

Enlaprimeracasillasepuedeubicarunadelascuatrobases,cualquieradeellas.Demodoquesetienen4formasdellenarestacasilla.Independientedelabaseelegidaparalaprimeracasilla,quedantresbasesnoseleccionadas,puessehaaclaradoquenosepuederepetirningunabase.Demodoquelasegundacasilla

podrállenarsede3manerasdiferentes.Laterceracasillasepuedellenarde2manerasdiferentes.Unavezllenadalaterceracasilla,quedaunasolabasequedeberáserubicadaenlacuartacasilla.Demodoqueeltotaldeformasdiferentesdellenarestascuatrocasillases:

4 3 2 1 = 24 = 4!Haciendousodelosconceptoshastaahoraestudiados,setratadeconocerelnúmerodepermutacionesde4elementosdistintos,tomadostodosdeunavez.Así:

241234!4 =×××= Bien, ahora suponga que se seleccionará una secuencia de 2 elementos, ¿decuántasmanerassepuedenordenarestasbases?Setienenahoralassiguientescasillas:

Enlaprimeracasillasepuedeubicarunadelascuatrobases,cualquieradeellas.

Demodoquesetienen4formasdellenarestacasilla.Independientedelabaseelegidaparalaprimeracasilla,quedantresbasesnoseleccionadas.Demodoquelasegundacasillapodrállenarsede3manerasdiferentes.Así,eltotaldeformasdiferentesdellenarestascuatrocasillases:

4 3 = 12Se trata de un problema tipo variación, en donde se pide el número depermutacionesde4elementosdistintostomados2alavez.

( ) ( )1234

24

24412341244 2424 =×==−

=⇔=×=+−=!!

!!PP

Cuandounoovarioselementosestánrepetidos,elcálculodelaspermutacionesvaría;enestecasosehabladepermutaciones con repetición .Elnúmerodepermutacionesden objetosdeloscualesn 1soniguales,n 2 soniguales,…,n r soniguales,es:



32

!!...!

!

21 r nnn

n

Ejemplo2.8CalcularelnúmerodeacomodosdistintosdelapalabraCASA.Paralapalabra CASA se tendrían un número inferior a 24 acomodos distintos.DebetenerseencuentalarepeticióndelaletraA.Debeaplicarse:

1243!2

!4=×=

Compruebecuálessonesas12permutacionesposiblesdelapalabraCASA.Ahorabien,¿decuántasmanerasdistintassepuedeordenarlapalabraCASAS?

102

45

!2!2

!5=

×=

×

Compruebecuálessonesas10permutacionesposibles.

2.4COMBINACIONESSuponga que tiene un conjunto de n elementos. Una combinación de ellos,tomadosr alavez,esunsubconjuntode r elementosdondeelordennosetieneencuenta.Elnúmerodecombinacionesden elementostomadosr alavez, nr ≤ ,sintenerencuentaelorden,es:

!)!(

!

r r n

n

r

nC C

n

r r n−

=

==

Ejemplo2.9• Seaelconjunto { }d cbaS ,,,= ,sisedeseacombinarloscuatroelementosala

vez,¿cuántascombinacionessepodránhacer?



33

Una sola combinación, ya que al no importar el orden de colocación da lomismocualquieradeellas.Compruébelousandolafórmula.

• Sisedeseancombinaresascuatroletrasensubconjuntosdedoselementos,

¿cuántascombinacionessepodránhacer?Lascombinacionesposiblestomadasdosalavezson:

ab,ac,ad,bc,bd,cd

Observequeelsubconjuntocompuestodeloselementosaybpuedeser{a,b}o{b,a},puesenunacombinaciónnosetieneencuentaelorden.Elnúmerodeposiblescombinacioneses:

6!2)!24(

!424 =

−=C

Elusodecombinacionesesmásusualcuandosetratadecontarlasposibilidadesde ordenar un conjunto de elementos independientemente de su colocación oposición.Enelsiguienteejemploseverásuusomáscomún,endondenoimportaquiéno quéestomadodeprimero,oenquéordenespecíficoes tomado,deunsubconjuntodeelementosdeterminado.

EJEMPLO2.10

Enunaasambleadesociosdeunaimportanteempresadelpaís,compuestade7hombres y 5 mujeres, se acuerda conformar una comisión de verificación deactividadescomercialesenlaregión.Estacomisióndebeestarcompuestapor3hombresy2mujeres.¿Decuántasmaneraspuedeescogersedichacomisión?Delos7hombrespuedenseleccionarse3.Estoes:

35123

567

!3!4

!7

3

737 =

××

××=

×=

=C posiblesmanerasdeseleccionar3hombresdeun

conjuntode7.Delas5mujerespuedenseleccionarse2.Estoes:

1012

45

!2!3

!5

2

525 =

×

×=

×=

=C posibles maneras de seleccionar 2 mujeres de un

conjuntode5.Por consiguiente, la comisión puede escogerse de 3501035 =× manerasdiferentes.



34

En la gran mayoría de calculadoras científicas existe un par de teclas quesimplificanelcálculodelaspermutacionesylascombinaciones.Observesiensucalculadora de trabajo se encuentran dichas teclas. Para las permutaciones la

teclaseexpresacomo r n P ór

nP ó ),( r nP yparalascombinacioneses r nC ór

nC ó),( r nC .Identifiqueestasteclasensucalculadoraypractique.

2.5REGLADELEXPONENTESe trata de un tipo de combinación o arreglo ordenado en donde siempre hayreemplazodelelementoquesetoma.SisetienenunconjuntodeN elementosyseconstruyeconestoselementosunconjunto de n elementos, con la condición de que cada vez que se tome unelemento del conjunto de N elementos este sea nuevamente reemplazado,

entonceselnúmerodeposiblesarreglosoacomodosdelconjuntode n elementoses:

n N

El siguiente ejemplo explica de una manera didáctica el cálculo del número deposiblesarregloshaciendousodelaregladelexponente.

Ejemplo2.11

¿Cuántoscasosposiblesexistenallanzarunamonedaen5lanzamientos?En el lanzamientode una moneda se tienen dos posibilidades: cara o sello.Elnúmerodecasosposiblesestarádadoporelnúmerodeposibilidades(2,enestecaso)conexponenteigualalnúmerodelanzamientos:

• Enunlanzamiento: 221 = casosposibles

• Endoslanzamientos: 422 = casosposibles

• Entreslanzamientos: 823 = casosposibles

Demodoque,paracincolanzamientos,hay 3225 = casosposibles



35

EEJJEERRCCIICCIIOOSSCCAAPPÍ Í TTUULLOO22..1.-SupongaqueunapersonaqueviveenelmunicipiodeBello(Antioquia)trabajaenelcentro de laciudad de Medellín. Para llegara susitiode trabajo, este tienetres rutasdistintasparallegaralaAutopistaydeallípuedetomarotrastresrutasparallegaralcentrodelaciudad.Enelcentro,puedetomarcuatrorutasparallegaralparqueaderomáscercanoasuoficina.¿Decuántasmanerasorutasdistintaspodríatomarlapersonaparallegardelacasaalparqueaderomáspróximoasuoficina?2.- En un restaurante en el centro de la ciudad ofrecen almuerzos ejecutivos con lassiguientesopciones:trestiposdiferentesdesopa,cuatrotiposdecarneconlabandeja,cuatrobebidasaescogerydostiposdepostre.¿Decuántasmaneraspuedeuncomensalelegirsumenúqueconsistade unasopa,unacarneparasubandeja,unabebidayunpostre?3.-Siunfutbolistaconoce7jugadasdiferentesysielentrenadorleinstruyeparaque

jueguelas7sinqueningunaserepita,¿quélibertadlequedaaesejugador?4.-¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con el conjunto S={a,b,c,d}? Describacadaunadelaspermutacionesposibles.5.- ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de la palabraPROBABILIDAD?6.-Dadoslossiguientesseisnúmeros:2,3,5,6,7,9;ysinosepermitenrepeticiones,resuelva:

¿Cuántosnúmerosdetresdígitossepuedenformarconestosseisdígitos?¿Cuántosdeestossonmenoresde400?¿Cuántossonpares?¿Cuántossonimpares?¿Cuántossonmúltiplosdecinco?

7.- Una tarjeta de circuito impreso tiene ocho posiciones diferentes en las que puedecolocarse un componente. Si se van a colocar cuatro componentes distintos sobre latarjeta,¿cuáleselnúmerodediseñosdiferentesposible?8.-Enunapizzeríaseanunciaqueofrecenmásde500variedadesdistintasdepizza.Unclientepuedeordenarunapizzaconunacombinacióndeunoomásdelossiguientesnueve ingredientes: jamón, champiñones, piña, pimentón, salchicha, cebolla, peperoni,salamiyaceitunas.¿Esciertoloqueafirmasupublicidad?

9.- El itinerario de un recorrido turístico por Europa incluye cuatro sitios de visita quedebenseleccionarseentrediezciudades.¿Encuántasformasdiferentespuedeplanearseesterecorridosi:

Esimportanteelordendelasvisitas?Noimportaelordendelasvisitas?

10.-ElmuyconocidoBALOTOelectrónicoesunjuegodeazarqueconsisteenacertaren6númerosde45posiblesparaganarelpremiomayor.Calculecuántosboletosdejuego



36

debe usted comprar para asegurar que tendrá el boleto ganador. La empresa delBALOTOaseguratambiénqueustedpuedeganarunmontodeterminadosiacierta3,4o5veces,calculetambiéncuántosboletosdebecomprarparaasegurar3,4y5aciertos.¿TodavíacreeenelBALOTO?

11.-Enunasaladeesperaseencuentran5personas:3hombresy2mujeres.¿Decuántasmaneraspuedensentarseenunafila?¿Decuántasmaneraspuedensentarseenfilasiloshombressesientanjuntosylasmujerestambién?¿Decuántasmaneraspuedensentarseenfilasijustamentelasmujeressesientan

juntas?¿Decuántasmaneraspuedensentarseenunamesaredonda?

12.-Enunaurnase tienen10bolitas:5 rojas,3blancasy 2azules.Sise toman3conreemplazo,¿decuántasmanerassepuedensacarlastresbolitasdemodoquetodasseandelmismocolor?

13.- Una prueba de opción múltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tresalternativas,delascualessólodebemarcaruna.¿Encuántasformasdiferentespuedemarcarunestudiantesurespuestaaestaspreguntas?14.-¿CuántasplacasvehicularessepuedenelaborarenColombia?Recuerdequeéstasconstandetresletrasdelalfabetoytresdígitos.Tome26letrasdelalfabeto.15.-Cuantasformashaydeseleccionar3candidatosdeuntotalde8reciénegresadosyconlasmismascapacidadesparaocuparvacantesenunaempresa?16.-EnunestudiorealizadoenCalifornia,seconcluyoquealseguir7reglassencillasdesaludlavidadeunhombrepuedealargarse,enpromedio11años.Las7reglassonno

fumar, hacer ejercicio regularmente, tomar alcohol solo en forma moderada, dormir 7horas,conservarunpesoapropiado,desayunarynocomerentrealimentos.Encuantasformaspuedeunapersonaadoptar5deestasreglas,a)siactualmentelasviolatodas;b)Sinuncatomabebidasalcohólicasysiempredesayuna.17.-UnTestigodeunaccidentedetránsitoenelqueelcausantehuyóleindicaalpolicíaqueelnumerodematriculatenialasletrasRHLseguidaportresdígitoselprimerodeloscualeseracinco,eltestigonopuederecordarlosotrosdosperoestaseguroquelostresnúmeroserandiferentes,encuentreelnumeromáximoderegistrosquedebeverificarlapolicía18.- Seis alumnos de último año de bachillerato participan en un concurso de ensayo

literario. No puede haber empates. ¿Cuántos resultados diferentes son posibles?¿Cuántosgruposdeprimero,segundoytercerpuestopuedehaber?19.- Unpsicólogotiene14 pacientes entre los cuales debe seleccionar nuevepara unexperimentoengrupo.¿Cuántosgruposdenuevesepuedehacer?



37

CAPITULOTRES

PROPIEDADESBÁSICASDELASPROBABILIDADES.

Enlavidacotidiananoshemosacostumbradoahaceryaoírafirmacionesquellevanimplícitoelconceptodeprobabilidades:lospronósticosmeteorológicosnosseñalanlasprobabilidadesdelluvia;losmédicosnosdicenqueprobabilidadhaydequenuestrasenfermedades se curen por medio de determinados tratamientos; los consejerosescolares, en el colegio, especulan sobre nuestras posibilidades de éxito en launiversidad,losencuestadorespolíticosnosdicenqueoportunidadtienedeganarenlaseleccionesnuestrocandidatofavorito.

Enformamuysimplesepuededefinirlaprobabilidadcomounnúmerode0a1,queleasignamosasucesoparaindicarsuposibilidaddeocurrir.Lasprobabilidadesseexpresancomo fracciones o como decimales que están entre uno y cero o también en valor

porcentualentre0y100.Tenerunaprobabilidaddecerosignificaquealgonucavaasuceder; una probabilidad de uno indica que algo va a suceder siempre. Casi todo elmundoestarádeacuerdoenquesiselanzaunapelotaalairelaprobabilidaddequevuelvaacaeres1.Porelcontrario,laprobabilidaddequeunapersonapuedasobrevivirenelplanetaMercuriosinningunaclasedeprotecciónes0.

Enelpresentecapítuloseexaminaránlasdiferentesinterpretacionesquesetienendelaprobabilidad: la clásica , la de frecuencias relativas y la subjetiva o a priori . Las dosprimeras son muy similares por cuanto se basan en la repetición de experimentosrealizadosbajolasmismascondiciones;mientrasquelatercerarepresentaunamedidadelgradodecreenciaconrespectoaunaproposición.

Despuésdedefinidalaprobabilidaddeunevento,severáacontinuaciónlosaxiomasquedebensatisfacer lasprobabilidades de cualquier experimento aleatorio.Posteriormente,setrataránlasreglasdeadiciónydemultiplicaciónparaprobabilidades,apoyadasenlateoríadeconjuntos,dedondesederivanconceptoscomolaprobabilidadcondicional,laindependenciadeeventosyelTeoremadeBayes.

3.1.-INTERPRETACIONESDELAPROBABILIDAD

Existentresdiferentesformasdedefinirlaprobabilidaddeunevento.CadaunadeestasformasdeinterpretacióntienesulugarenelestudiodelaProbabilidadyningunadeellasporseparadocubrecompletamentetodosloscasos.

Antesdeiniciarconestasdefiniciones,sehaceimportanteacordarunanotaciónqueseseguirá a lo largo del texto, y que usted encontrará comúnmente en otros textosacadémicos relacionados con la probabilidad. Los eventos serán enunciados en letrasmayúsculas así: A, B, C ,…; la letra mayúscula P denotará una probabilidad y P(A)indicará,entonces,laprobabilidaddequeocurraeleventoA.



38

3.1.1.-DEFINICIÓNCLÁSICADEPROBABILIDADOAPRIORICuandounexperimentoaleatoriotienen resultados,ytodosellosconigualposibilidaddeocurrencia, entonces se emplea el método clásico de la probabilidad para estimar laposibilidaddeocurrenciadecadaunodeellos.Lecorrespondepues,acadaresultado,

unaprobabilidadiguala1/n.

Considere,porejemplo,undadode6caras,¿cuáleslaprobabilidaddequecaigaelnúmero5despuésdeunlanzamiento?Undadobalanceado(estoes,norecargado)tiene6resultadosposibles:1,2,3,4,5,6.Laprobabilidaddequecaigaelnúmero5esigualalaprobabilidadquetienecualquierotrodelosvalores,yestaesiguala1/6.

Resumiendo,laprobabilidaddequeocurraunevento Acualquiera,quetienelamismaposibilidad de ocurrencia que cualquier otro evento dentro del espacio muestral detamañon ,sedefinecomo:

n AP1

)( = Esteplanteamientodelaprobabilidadtieneseriosproblemascuandointentamosaplicarloa los problemas de toma de decisiones menos previsibles. El planteamiento clásicosuponeunmundoquenoexiste,suponequenoexistensituacionesquesonbastanteimprobables pero que podemos concebir como reales. La probabilidad clásica suponetambiénunaespeciedesimetríaenelmundo.

3.1.2.- DEFINICIÓN DEPROBABILIDADSEGÚN ELCONCEPTO DE FRECUENCIA

RELATIVAOPROBABILIDADFRECUENTISTA

EnelsigloXIX,losestadísticosbritánicos,interesadosenlafundamentaciónteóricadelcálculo del riesgo de pérdidas en las pólizas de seguros de vida y comerciales,empezarona recoger datos sobre nacimientosy defunciones. En la actualidad, a esteplanteamiento se le llamafrecuencia relativadepresentación deun evento y define laprobabilidadcomo:

La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de

intentos,o La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las

condicionessonestables.

Este método utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un eventocomounaprobabilidad.Determinamosquétanfrecuentehasucedidoalgoenelpasadoyusamosesacifraparapredecirlaprobabilidaddequesucedadenuevoenelfuturo.

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticascondicioneselcocienteentreelnúmerodevecesqueapareceunresultado(suceso)yelnúmero total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Estapropiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jacob



39

Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas deunasseriesderealizacionesaotras,sibienelvaloralqueseaproximanamedidaqueelnúmeroderealizacionesaumentasemantieneestable.

LafrecuenciarelativadelsucesoA:

Cuandoutilizamoselplanteamientodefrecuenciarelativaparaestablecerprobabilidades,el número que obtenemos como probabilidad adquirirá mayor precisión a medida queaumentan las observaciones. Una dificultadpresentecon este planteamiento es quelagenteloutilizaamenudosinevaluarelnúmerosuficientederesultados.

Paraunespaciomuestraldetamañon yparauneventocualquieraAconfrecuenciaf ,se

tienequesuprobabilidaddeocurrenciaes:

n

f AP =)(

EJEMPLO3.12Enunaurnasetienen9bolitasdediferentescolores:4blancas,3grisesy2negras.Siseseleccionadelaurnaunabolita,sean:B :Eventoparaelcuallabolitaseleccionadaesblanca.G :Eventoparaelcuallabolitaseleccionadaesgris.N :Eventoparaelcuallabolitaseleccionadaesnegra.Determinarlaprobabilidaddeocurrenciadecadaevento.Tamañodelamuestra: 9=n FrecuenciadeB : 4= B f

FrecuenciadeG : 3=G f

FrecuenciadeN : 2= N f

%2.2222.09

2)(

%3.3333.09

3)(

%4.4444.094)(

====

====

====

n

f N P

n

f GP

n f BP

N

G

B



40

Intuitivamente, se puede pensar que la probabilidad de ocurrencia de un evento estáasociada a la cantidad de veces en que se repite un procedimiento o fenómeno. Porejemplo, en un típico experimento aleatorio como lanzar una moneda, se tienen dosresultadosprobables:caraosello.Ambosresultadossonigualmenteprobables(siempreycuandolamonedanoestérecargada).Peroperfectamenteenunexperimentocon10

lanzamientosdelamoneda,sepodríatenerunresultadocomo8carasy2sellos.Esteesun resultado normal. Sin embargo, si el experimento fuera de 100 lanzamientos, seríamuy extraño encontrar un resultado como 80 caras y 20 sellos; o bien, con 1000lanzamientos 800 caras y 200 sellos. Entonces, no se puede garantizar cuál será elresultadoenunlanzamiento,opocoslanzamientos,perosepuedeverqueconunagrancantidaddelanzamientoslosresultadosdequelamonedacaigacaraseránmuysimilaresalnúmerodevecesparasello.

Con lo anterior, puede concluirse que al calcular probabilidades con el método defrecuenciasrelativas,seobtieneunestimado ynounvalorexacto.Conformeelnúmerodeobservacionesseincrementa,losestimadoscorrespondientestiendenaacercarsealaprobabilidadreal.Estapropiedadesconocidacomúnmentecomolaleydelosgrandes

números .3.1.1.-PROBABILIDADESSUBJETIVAS.

Las probabilidades subjetivas están basadas en las creencias de las personas queefectúanlaestimacióndeprobabilidad.Laprobabilidadsubjetivasepuededefinircomolaprobabilidadasignadaauneventoporpartedeunindividuo,basadaenlaevidenciaquesetengadisponible.Esaevidenciapuedepresentarseenformadefrecuenciarelativadepresentación de eventos pasados o puede tratarse simplemente de una creenciameditada.

Lasvaloracionessubjetivasdelaprobabilidadpermitenunamásampliaflexibilidadquelosotrosdosplanteamientos.Lostomadoresdedecisionespuedehacerusodecualquierevidencia que tengan a mano y mezclarlas con los sentimientos personales sobre lasituación.Lasasignacionesdeprobabilidadsubjetivasedanconmásfrecuenciacuandoloseventossepresentansólounavezounnúmeromuyreducidodeveces.

Porejemplo,unamujerenembarazoaseguraqueelbebéquetendráserávarónporlacantidad de pataditas recibidas en el vientre, mientras que su cuñada le refuta esteargumento, pues afirma que la forma de su barriga le asegura que tendrá una niña.Ambas mujeres parten de una experiencia o una práctica personal para atreverse aasegurarelsexodelserquevieneencamino.Sinembargo,laprobabilidaddequesea

niñoesigualalaprobabilidaddequeseaniña,yesoesiguala0.5(ó50%).

Otro ejemplo común es el de las predicciones meteorológicas, en las que el científicodebe usar su conocimiento experto de las condiciones del tiempo para desarrollar unestimado de la probabilidad de buen o mal tiempo. Como casi todas las decisionessocialesyadministrativasdealtonivelserefierenasituacionesespecíficasyúnicas,losresponsablesdetomardecisioneshacenunusoconsiderabledelaprobabilidadsubjetiva.



41

Se trata pues de una conjetura entrenada, basada siempre en la práctica, en lacomprensióndefenómenossimilaresoenlascircunstanciasquerodeaalevento,ynocomopresuncioneslanzadassinunconocimientodelascausasocomocorazonadas.

Este método es usado, por ejemplo, cuando un médico estima la probabilidad de

recuperación para un enfermo grave o también cuando un ingeniero estima rápida ysubjetivamentelaresistenciadeunpuentealpasodeunacargasuperioralaestablecidaenlosdiseños.

Es importante entender que el método de la probabilidada priori o subjetiva no debemenospreciarse frente a los otros métodos (frecuencia relativa y clásica), ya que esfrecuentenotenerregistrosdelcomportamientodeciertavariableparadeterminarunaprobabilidadrelacionada,puessimplementenoesposiblerepetirelexperimento.

Porejemplo,lasaseguradorasnopuedendarseellujoderepetirelensayodeldañodeun carro, del robo de una valiosa obra de arte, del secuestro de una persona o delaccidente de un avión. Éstas solo pueden basarse en experiencias adquiridas para

estimarsuprobabilidaddeocurrenciayasídeterminarelcostodelseguroqueofrece.Dela misma manera, no se podría determinar la probabilidad de que una ciudad seabombardeadapormeteoritos,porquesimplementenohayregistroshistóricosparahacerunaestimación.Sólosepuedehacerunestimadosubjetivo.

EJEMPLO3.13Suponga queustedesun astrónomo quequiere determinar laprobabilidadde queungranasteroidedestruyaelplanetaTierra.¿Quémétodousaríaparaestecálculo?

Observequenopuedeusarseelmétodoclásico,porquelosresultadosposiblesnotienenlamismaposibilidaddeocurrir.Tampocoseaplicaelmétodo delas frecuencias relativas,yaque esimposible realizarensayosynohaydatoshistóricosdeunadestruccióndeesetipo.Sólopuedeaplicarseelmétododelaprobabilidadsubjetivaapoyándose,porejemplo,enelnúmero deasteroidesreportadoscon untamañosuficientey tan cercanosa nuestroplaneta como para destruirlo, también en el conocimiento de las órbitas de estosasteroides.Los astrónomos desarrollaron la probabilidad subjetiva de que el planeta Tierra fueradestruidoporunacolisiónconunasteroideenalgúnmomentoenlospróximos100años:laprobabilidadesaproximadamentede1/5000.

3.2.AxiomasdeprobabilidadConocida ahora la probabilidad de un evento, se pueden reunir ciertas característicasconocidas como axiomas de probabilidad que satisfacen la probabilidad de cualquierexperimentoaleatorio.Estosaxiomasnodeterminanlasprobabilidades,loquehacenesfacilitarelcálculodelasprobabilidadesdealgunoseventosapartirdelconocimientodelasprobabilidadesdeotros.



42

Entendiendolaprobabilidaddecualquiereventocomounnúmeroentre0y1,ella

satisfacelassiguientespropiedades:Si S eselespaciomuestralyA es cualquier evento del experimento aleatorio,

entonces:1. 1)( =SP 2. 1)(0 ≤≤ AP Estosaxiomasimplicanlossiguientesresultados.

• Laprobabilidaddeuneventoimposiblees0óP( Ø )=0 .• Laprobabilidaddequeuneventoocurraconcertezaes1.• ParacualquiereventoA, )(1)( AP AP −=′ .

• SieleventoA1estácontenidoeneleventoA2 ,entonces: )()( 21 AP AP ≤ Laprobabilidaddeuneventocompuesto,generadoalaplicarlasoperacionesbásicasdelos conjuntos a los eventos individuales que lo componen (unión, intersección ycomplementodeeventos),sepuedeobtenerapartirdelasprobabilidadesdeloseventosindividuales.Enestoscasos,lasoperacionesbásicasdelosconjuntostambiénsonútilesparadeterminarlaprobabilidaddeuneventocompuesto3.2.1.REGLADELAADICIÓNa.-Regladelaadiciónparaeventosmutuamenteexcluyentes.Amenudo,estamosinteresadosenlaprobabilidaddequeunacosauotrasuceda;esdecirnosinteresalaprobabilidaddelaunióndedoseventos.Siestosdoseventossonmutuamenteexcluyentes,podemosexpresarestaprobabilidadhaciendousodelaregladeadiciónparaeventosmutuamenteexcluyentes:P(A∪B)=P(A)+P(B)Existeuncasoespecial,paracualquiereventoA,tenemosqueéstesucedeonosucede.DemodoqueloseventosAyA’sonmutuamenteexcluyentesyexhaustivos:P(A)+P(A’)=1P(A’)=1-P(A)b.-Regladeadiciónparaeventosquenosonmutuamenteexcluyentes.Sidoseventosnosonmutuamenteexcluyentes,esposiblequeambossepresentenalmismo tiempo. Entalescasos, debemos modificar la reglade laadición para evitar elconteodoble:



43

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

Elsiguientediagramadeflujo5,resumelasreglasdeadiciónparaelcálculodelaprobabilidaddedoseventosdadosAyB .

Figura3.7Diagramadeflujodelaregladeadición

EJEMPLO3.14:Lassiguientessonlascaracterísticasdelasorquídeasdeunvivero:


Color Lila 40 4Blanca 2 3SeaeleventoA:laorquídeaesdepétalogrande.Entonces:

4942)( = AP YseaeleventoB :laorquídeaesdecolorlila.Entonces:

4944)( = BP Deotrolado, )( B AP ∩ eslaprobabilidaddequelaorquídeaseadepétalograndeyalmismotiempodecolorlila.Entonces:

4940)( =∩ B AP

5ModificadodeProbabilidadyestadística ,MarioF.Triola.Novenaedición.Pearson&AddisonWesley.México.2004.

)( B AP ∪

¿ =∩ B A Ø? )()()( BP AP B AP +=∪

)()()()( B AP BP AP B AP ∩−+=∪

Si

No



44

Elevento B A∪ esaqueldondelaorquídeaesdetamañodepétalograndeodecolorlilao ambos. La tabla indica rápidamente, al igual que su diagrama de Venn, el valor de

4964)( =∪ B AP .

Laotramaneradecalcularloes:

4964)(

494049444942)(

)()()()(

=∪

−+=∪

∩−+=∪

B AP

B AP

B AP BP AP B AP

SeaeleventoE dondelaorquídeanoesdepétalograndeytampocoesdecolorlila.Latablatambiénindicaelvalorde 493)( = E P Otraalternativaparaelcálculode )( E P ,es hacerusoadecuadode operacionesentreconjuntos.Setieneque:

)( ′∪= B A E Portanto,

49349641)(1)( =−=∪−= B AP E P

3.2.2REGLASDEMULTIPLICACIÓN

Eneltemaanteriorsepresentólaregladelaadiciónparacalcular )( B AP ∪ .Enesta

secciónsedesarrollaráunareglaparadeterminar )( B AP ∩ ,estoes,laprobabilidaddequeeleventoAocurraenunprimerexperimentoyeleventoBocurraenunsegundo

experimento.a.-Probabilidadesbajocondicionesdeindependenciaestadística.Cuandosepresentandoseventos,elresultadodelprimeropuedetenerunefectoenelresultadodelsegundo,opuedenotenerlo.Estoes,loseventospuedenserdependienteso independientes. Existen tres tipos de probabilidades que se presentan bajoindependenciaestadística:• Marginal.• Conjunta.• Condicional.

Probabilidadesmarginalesbajoindependenciaestadística.

• Una probabilidad marginal o incondicional es la probabilidad simple depresentacióndeunevento.

• Probabilidadesconjuntasbajocondicionesdeindependenciaestadística.



45

La probabilidad de dos o más eventos independientes que se presentan juntos o ensucesióneselproductodesusprobabilidadesmarginales:P(A∩∩∩∩B)=P(A)XP(B)Probabilidadescondicionalesbajoindependenciaestadística.Simbólicamente,laprobabilidadcondicionalseescribeP(B/A)yselee"laprobabilidaddequesepresenteel eventoB,dadoqueeleventoA sehapresentado".La probabilidadcondicionaleslaprobabilidaddequeunsegundoevento(B)sepresente,siunprimerevento(A)yahasucedido.Paraeventosestadísticamenteindependientes,laprobabilidadcondicionaldequesucedaeleventoBdadoqueeleventoAsehapresentado,essimplementelaprobabilidaddeleventoB:P(B/A)=P(B)

b.-Probabilidadesbajocondicionesdedependenciaestadística.La dependencia estadística existe cuando la probabilidad de que se presente algúnsucesodependeoseveafectadaporlapresentacióndealgúnotroevento.Lostiposdeprobabilidadbajocondicionesdedependenciaestadísticason:• Condicional.• Conjunta.• Marginal.

Probabilidadcondicionalbajodependenciaestadística.P(B/A)=P(B∩A)/P(A)Probabilidadesconjuntasbajocondicionesdedependenciaestadística.P(B∩∩∩∩A)=P(B/A)xP(A)OP(B∩∩∩∩A)=P(A/B)xP(B)

Ejemplo3.1.5Retomeelejemplodelascaracterísticasdelasorquídeasdeunviveroycalculelaprobabilidaddequelaorquídeaqueseseleccioneseadecolorliladadoquesehatomadounaorquídeadetamañodepétalogrande.



46


Color Lila 40 4Blanca 2 3

Seanloseventos: A:laorquídeaesdepétalogrande. B:laorquídeaesdecolorlila.

Sepideentonces:)(

)()(

AP

A BP A BP

∩=

49 / 42)(

49 / 40)(

=

=∩

AP

A BP

Así: %2,95952,049 / 42

49 / 40)( === A BP

Calcule ahora la probabilidad de que la orquídea seleccionada sea de pétalograndedadoqueesdecolorlila.Observequeestaprobabilidadesdiferentealacalculadaarriba,sepide:

%9,90909,049 / 44

49 / 40)(

)(

)()( ===⇒

∩= B AP

BP

B AP B AP

En este caso, )( AP y )( B AP son las probabilidades del mismo evento (laorquídea es de pétalo grande) pero calculadas bajo dos diferentes estados de

conocimiento:laprimera,sinlacondicióndesucolorylasegunda,condicionadaaquesucolorsealila.Demanerasimilar, )( BP y )( A BP sonlasprobabilidadesdelmismoevento(laorquídeaesdecolorlila)calculadasbajodosestadosdiferentesdeconocimiento:sincondicionarsutamañodepétaloparalaprimeraylasegundacondicionadaaquesutamañodepétaloseagrande.

Laregladelamultiplicaciónsepuederesumirenelsiguientediagramadeflujo 6paraelcálculodelaprobabilidaddelainterseccióndedoseventosdadosAyB .

6ModificadodeProbabilidadyestadística ,MarioF.Triola.Novenaedición.Pearson&AddisonWesley.México.2004.



47

Figura3.8.Diagramadeflujodelareglademultiplicación

RECOMENDACIONESPRÁCTICAS:

• Cuandoseaplicalaregladelaadicióndeprobabilidades,determinarpreviamentesiloseventossonexcluyentesono.

• Cuando se usa la regla de la multiplicación, determinar si los eventos sondependientesoindependientes.

• Siempre que sea posible, apoyar la interpretación del problema mediante elempleodediagramasdeVenn.

• Laprobabilidadesunnúmeroquenuncapuedetenervalornegativo,nisermayorque1.

3.3.PROBABILIDADTOTALYTEOREMADEBAYES.

Lareglademultiplicaciónesútilparadeterminarlaprobabilidaddeuneventoquedependedeotros.Enestasecciónseveráotromododecalcularlaprobabilidaddeuneventoconsiderandoaestecomoelresultadodelaunióndeotroseventos.Paraestoesnecesariodefinirelconceptodepartición.Se llama partición al conjunto de eventos Ai tales que n A A AS ∪∪∪= L21 y

=∪ jiA A Ø; es decir un conjunto de eventos mutuamente excluyentes y que

componentodoelespaciomuestral S.engeneral,sedicequeunacolecciónde

conjuntos A1, A 2,…, A nesexhaustiva si n A A AS ∪∪∪=L

21 .Lasiguientefigurapresenta el diagrama de Venn que corresponde a la partición de un espaciomuestralSen A neventos.

)( B AP ∩

¿SonAyBindependientes? )()()( BP AP B AP ⋅=∩

)()()( A BP AP B AP ⋅=∩

Si

No



48

Figura3.10DiagramadeVennindicandolaparticióndeunespaciomuestral

Para cualquier evento B, éste puede definirse como un evento compuesto devariossubconjuntosmutuamenteexcluyentes(verfigura3.6.),estoes:

)()()( 21 n A B A B A B B ∩∪∪∩∪∩= L

Figura3.11

DiagramadeVenndeuneventoenvariossubconjuntosmutuamenteexcluyentes

Laprobabilidadtotal deuneventoeslasumaexhaustivadelasprobabilidadesdetodosloscasosmutuamenteexcluyentesqueconducenadichoevento.,Esasícomolaregladeprobabilidadtotal afirma:

)()()()()()()(

)()()()(

2211

21

nn

n

AP A BP AP A BP AP A BP BP

A B A BP A BP BP

⋅++⋅+⋅=

∩++∩+∩=

L

L

Algunosautoresresumenestadefinicióncomounasumatoria,así:



49

∑=

⋅=n

i

nn AP A BP BP1

)()()(

Laregladeprobabilidadtotalparadoseventossesimplificaconsiderandoqueelevento Bpuededescribirsecomolaunióndelapartede Bqueestáen Aylapartede Bqueestáen A’.Estoes:

)'()( A B A B B ∩∪∩= Demaneraqueparacualquierpardeeventos Ay B:

)'()'()()()()'()()( AP A BP AP A BP BP A BP A BP BP ⋅+⋅=⇔∩+∩=

Ejemplo3.16Unacompañíadedicadaaltransportepúblicotienetreslíneasenunaciudad,deformaqueel60%delosautobusescubreelserviciode laprimeralínea,el30%cubrelasegundayel10%cubreelserviciodelaterceralínea.Sesabequelaprobabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%,respectivamente,paracadalínea.Determinelaprobabilidaddeque,enundía,unautobússufraunaavería.Recuerde que el primer paso en el cálculo de probabilidades es la adecuadadefinicióndeloseventosqueintervienen.Así,sedefinenlossiguienteseventos: L1:eventoparaelcualelautobúscubreelserviciodelaprimeralínea. L2:eventoparaelcualelautobúscubreelserviciodelasegundalínea. L3:eventoparaelcualelautobúscubreelserviciodelaterceralínea. A:eventodondeelautobússeavería.Conesto,seveclaramentequelaprobabilidadpedidaes P(A).Usandolaregladeprobabilidadtotal,setiene:

025,0)(

)1,001,0()3,004,0()6,002,0()(

)3()3()2()2()1()1()(

)3()2()1()(

=

×+×+×=

⋅+⋅+⋅=

∩+∩+∩=

AP

AP

LP L AP LP L AP LP L AP AP

L AP L AP L AP AP

Demaneraquelaprobabilidaddequeenundíaunautobúsdelacompañíaseaveríeesdel2,5%.



50

3.3.1TEOREMADEBAYES

En el año 1763, dos años después de la muerte deThomas Bayes (1702-1761),sepublicó una memoriaenla queaparece, por vez primera, ladeterminacióndelaprobabilidaddelascausasapartirdelosefectosquehanpodidoser observados.El cálculo dedichasprobabilidadesrecibeelnombredeteoremadeBayes.

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos,tales que la probabilidad de cada uno de ellos esdistintadecero,yseaBunsucesocualquierdelquese conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai).entonces la probabilidad P(Ai /B) viene dada por laexpresión:

dondeeldenominadorcorrespondeaencontrarlaProbabilidadTotaldeB.

En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidadcondicionada,asícomoconlaprobabilidadtotalyelteoremadeBayes,esaconsejableque,conlainformacióndelproblema,construyasunatabladecontingenciaoundiagramadeárbol.

EJEMPLO3.17

Tresmáquinas,A,ByC,producenel45%,30%y25%,respectivamente,deltotaldelaspiezasproducidasenunafábrica.Losporcentajesdeproduccióndefectuosadeestasmáquinassondel3%,4%y5%.

a. Seleccionamosunapiezaalazar;calculalaprobabilidaddequeseadefectuosa.b. Tomamos,alazar,unapiezayresultaserdefectuosa;calculalaprobabilidadde

habersidoproducidaporlamáquinaB.c. ¿Quémáquinatienelamayorprobabilidaddehaberproducidolacitadapiezadefectuosa?

Solución:

SeaD="lapiezaesdefectuosa"yN="lapiezanoesdefectuosa".Lainformacióndelproblemapuedeexpresarseeneldiagramadeárboladjunto.



51

a. Paracalcularlaprobabilidaddequelapiezaelegidaseadefectuosa,P(D),porlapropiedaddelaprobabilidadtotal,

P(D)=P(A)·P(D/A)+P(B)·P(D/B)+P(C)·P(D/C)==0.45·0.03+0.30·0.04+0.25·0.05=0.038

b. DebemoscalcularP(B/D).PorelteoremadeBayes,

c. CalculamosP(A/D)yP(C/D),comparándolasconelvalordeP(B/D)yacalculado.AplicandoelteoremadeBayes,obtenemos:

LamáquinaconmayorprobabilidaddehaberproducidolapiezadefectuosaesA

EJEMPLO3.18

Tenemostresurnas:Acon3bolasrojasy5negras,Bcon2bolasrojasy1negrayCcon

2bolasrojasy3negras.Escogemosunaurnaalazaryextraemosunabola.Silabolahasidoroja,¿cuáleslaprobabilidaddehabersidoextraídadelaurnaA

Solución:

LlamamosR="sacarbolaroja"yN="sacarbolanegra".EneldiagramadeárboladjuntopuedenverselasdistintasprobabilidadesdeocurrenciadelossucesosRoNparacadaunadelastresurnas.



52

LaprobabilidadpedidaesP(A/R).UtilizandoelteoremadeBayes,tenemos:



53

EJERCICIOSCAPITULO31-SeaP(A)=0.6P(AΡ B)=0.25P(B´)=0.7a.-EncontrarP(B/A)b.-SonAyBindependientes,compruebe?c.-EncontrarP(A´)2.-Seextraeunacartaalazardeunabarajade40cartas.a.-¿Cuáleslaprobabilidaddequeseadososeaunsiete?B.-Cualeslaprobabilidaddequeseaorooun6?3.- Consideremos el lanzamiento de un dado, usted gana si el resultado es impar odivisiblepordos.¿cuáleslaprobabilidaddeganar?4.-Enelcursodeestadísticalaprobabilidaddequelosestudiantestengancomputadoresde0.60,laprobabilidaddequetenganautoesde0.25yambascosasesde0.15.Cualeslaprobabilidaddequeunestudianteescogidoalazartengacomputadoroauto?5.-Deentre20tanquesdecombustiblefabricadosparaeltransbordadorespacial,tresseencuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente 4 tanques: a.- cual es la

probabilidaddequeningunodelostanquesseadefectuosob.-Cualeslaprobabilidaddequeunodelostanquestengadefectos. 6.-Enlatablaaparecen1000estudiantesuniversitariosclasificadosdeacuerdoconlospuntajesqueobtuvieronenunexamendeadmisiónalauniversidad.Tambiénmuestralaclasificacióndeloscolegiosendondesegraduarondebachilleres:

Puntaje

Colegio TotalInferior(I) Regular(R) Superior(S)

Bajo(B) 100 50 50 200Medio(M) 75 175 150 400

Alto(A) 25 75 300 400

Total 200 300 500 1000Calcular la Probabilidad de que un estudiante escogido al azar: a) haya obtenido unpuntajebajoenelexamen.b)Sehayagraduadoenuncolegiodenivelsuperiorc)hayaobtenidounpuntajebajoenelexamenysehayagraduadoenuncolegiodenivelsuperiord)hayaobtenidounpuntajebajoenelexamendadoquesehayagraduadoenuncolegiode nivel inferior e) si el estudiante escogido termino en un colegio de grado regularencontrarlaprobabilidaddequetengaunpuntajealtoenelexamen.7.-FabiányPilarestudianenunmismocurso.LaprobabilidaddequeFabiánnopierdaningunamateriaesdel85%yladePilaresdel90%.a)Cualeslaprobabilidaddequelosdos no pierdan ninguna materia. b) Cual es la probabilidad de que Fabián pierdaunamateriayPilarninguna.C)Cualeslaprobabilidaddequelosdospierdanunamateria.8.-Cuatroamigossedirigenaunlugarytoman4rutasdiferentesdeacuerdoalriesgodetenerunaccidente.Lasprobabilidadesderiesgodecadarutason0.2,0.15,0.25,0.10respectivamente.Cualeslaprobabilidaddequeningunosufraunaccidente.9.-Elconsejeroescolardeuncolegioestimólasprobabilidadesdeéxitoenlauniversidadpara tres alumnos de último año en 0.9, 0.8 y 0.7 respectivamente. ¿Cuál es laprobabilidaddequelostrestenganéxitoenlauniversidad?



54

10.-Unamaquinaqueproduceundeterminadoartículofueadquiridabajolacondicióndeque el 3% de los artículos producidos son defectuosos. Si el proceso se realiza bajocontrol,esdecirindependientecualeslaprobabilidaddequea.-dosartículosseguidossean defectuosos, b.- dos artículos seguidos no sean defectuosos, c.- el primero sea

defectuosoyelsegundobueno.11.-Laprobabilidad dequeun doctor diagnostiqueen formacorrectauna determinadaenfermedadesde0.7.Dadoqueeldoctorhaceundiagnosticoincorrecto,laprobabilidaddequeunpacientepresentaunademandaesde0.9.¿cuáleslaprobabilidaddequeeldoctorhagaundiagnosticoincorrectoyelpacientepresenteunademanda?12.-Enunaempresa,laprobabilidaddequeunempleadoescogidoalazartengamásde30añosesde0.55.¿Cuáleslaprobabilidaddequeunempleadoescogidoalazartenga30añosomenos?13.-Enunaciudadgrandeel70%deloshogarescompraunperiódicomatutinoyel90%

uno vespertino. Si se supone que los dos eventos son independientes cual es laprobabilidad de que un hogar escogido al azar sea uno de los que compra ambosperiódicos?14.-Latablamuestraelresultadode500entrevistashechasduranteunaencuesta.Losdatosseclasificaronsegúnelsectordelaciudaddondeseaplicoelcuestionario.

Sector

Resultadodelaentrevista TotalContesto(C) Nocontesto(N) Noestaba(S)

M 100 5 20 125N 115 5 5 125O 50 15 60 125P 35 40 50 125

Total 300 65 135 500Siseseleccionauncuestionario.Cualeslaprobabilidaddea)Nosehayacontestadob)Lapersonanoestabaencasac)elcuestionariosehayacontestadoylapersonavivaenel sector N d) Dado que la persona viva en el sector O, no haya contestado elcuestionario e) La persona viva en el sector M ó Conteste el cuestionario. F) Si lapersonanoestabacualeslaprobabilidaddequevivaenelsectorO.15.-Enelejercicioanterior,elresultadodelaentrevistaesindependientedelsectordelaciudaddondevivelapersona?Comprobarlarespuesta16.- El 70% de los estudiantes aprueba una asignatura A y el 60% aprueba otraasignaturaB.Sabemosademás,queel35%deltotaldelosestudiantesapruebaambas.Elegidounestudiantealazar,calcularlasprobabilidadesde:a.-hayaaprobadolaasignaturaBsabiendoquehaaprobadolaAb.-hayaaprobadolaasignaturaBsabiendoquenohaaprobadolaAc.-nohayaaprobadolaasignaturaBsabiendoquehaaprobadolaAd.-nohayaaprobadolaasignaturaBsabiendoquenohaaprobadolaA



55

17.-Los pedidos nuevos delosproductos deunacompañía varíanenvalormonetario,segúnelsiguientecuadro Montoventa 0-1000 1001-

20002001-3000

3001-4000

4001-5000

Probabilidad 0.10 0.35 0.25 0.20 0.10

a) cualeslaprobabilidaddequeunnuevopedidoseamayora$2.000b) cualeslaprobabilidaddequeunnuevopedidoseaigualomenora$2000dado

queelpedidoexcedea$1.000c) cualeslaprobabilidaddequeunnuevopedidoseamayora$3.000dadoquela

ventaexcedea$2.00018.-Unacompañíaencontróqueel82%delaspersonasseleccionadasparasuprogramade entrenamiento de vendedores termino el curso. De estos solamente 60% seconvirtieron envendedoresproductivos. Si unaspirante nuevo llegaal cursocuales laprobabilidaddequetermineelcursoyseconviertaenunvendedorproductivo.19-Enuncentromédico,losfumadoresquesesospechateníancáncerpulmonar,el90%lo tenía, mientras que el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción defumadores es del 45% a) Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncerseleccionadoalazarseafumador?B)Cualeslaprobabilidaddequelapersonatengacáncer..20.- Un investigador de una clínica de especialistas ha descubierto que durante unperiodo de varios años, el 20% de los pacientes que llegaron a la clínica tenían laenfermedadD1, el30%la enfermedad D2,yel 50% laenfermedadD3.El investigadordescubriótambiénqueunconjuntodesíntomasbiendefinidosalquedenominoS,seencontrabaenun25%delospacientesconlaenfermedadD1,60%delosqueteníanlaenfermedadD2,y80%delosqueteníanlaenfermedadD3.Elinvestigadorquiereutilizarestainformaciónparahacerrápidamenteeldiagnosticoalospacientesreciénllegados.SupongamosquehasidoadmitidounpacienteconelconjuntodesíntomasS,cualeslaprobabilidad de que tenga la enfermedad D3, cual es la probabilidad de que tenga laenfermedadD1.21.-Uncientíficohadescubiertoenunhospitalparaenfermedadescrónicasqueel15%delospacientespermanecenenelhospitalmenosde30días,mientrasqueel85%delospacientespermanece30díasomás.Tambiénhadescubiertoqueel20%delosquesequedanmenosde30díasyel60%delosquesequedan30díasomás,presentanciertogrupodecaracterísticas.Cualeslaprobabilidaddequeunpacientequellegaalhospitalconesascaracterísticaspermanezcamenosde30días?.22.-Aunsospechososeleaplicaunsuerodelaverdadquesesabequeesconfiableen90%cuando lapersonaesculpableyen99%cuandolapersonaesinocente.Enotraspalabrasel10%delosculpablesseconsideraninocentescuandoseusaelsueroyel1%delosinocentessejuzganculpables.Sielsospechososeescogiódeungrupodelcualsolo5%hancometidoalgunavezuncrimenyelsueroindicaquelapersonaesculpable,cualeslaprobabilidaddequeseainocente?



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23.-Conlosjugadoresdeunclubdefútbolseformandosequiposparajugarunpartidodeentrenamiento;entrelosdosequipossereúnen6defensas,8medios,6delanterosy2porteros.Elentrenadorsabequeenestospartidos,laprobabilidaddequeselesioneun

jugadores0.22siesdelantero,0.11siesmedio,0.055siesdefensay0siesportero.a.-Calcularlaprobabilidaddequeselesioneunocualquieradelosjugadoreseneste

partido.b.- Sisesabeque unjugadorseha lesionado,determinar laprobabilidad dequehayasidoundefensa.23.-Trasunestudioestadísticoenunaciudadseobservaqueel70%delosmotoristassonvaronesy,deestos,el60%llevanhabitualmentecasco.Elporcentajedemujeresqueconducenhabitualmenteconcascoesdel40%.Sepide:a.-Calcularlaprobabilidaddequeunmotoristaelegidoalazarllevecasco.b.-Seeligeunmotoristaalazaryseobservaquellevacasco.¿Cuáleslaprobabilidaddequeseavarón?24.-LosalumnosdePrimerodeBiologíatienenquerealizardospruebas,unateóricay

otrapráctica.Laprobabilidaddequeunestudianteapruebelaparteteóricaesde0.6,laprobabilidaddequeapruebelaparteprácticaesde0.8ylaprobabilidaddequeapruebeambaspruebases0.5.a.-¿Sonindependienteslossucesosaprobarlaparteteóricaylapartepráctica?b.-¿Cuáleslaprobabilidaddequeunalumnonoapruebeningunodelosdosexámenes?c.- ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dosexámenes?d.-Sesabe queun alumno aprobó la teoría. ¿Cuáles la probabilidad de queapruebetambiénlapráctica?25.-Enunacajahayxbolasblancasy1bolaroja.Alextraerdelacajadosbolasalazarsinreemplazamiento,laprobabilidaddequeseanblancases1/2.Calculaelnúmerode

bolasblancasquedebetenerlacaja.26.- El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% soneconomistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de loseconomistastambién,mientrasquedelosnoingenierosynoeconomistassolamenteel20%ocupanunpuestodirectivo.¿Cuáleslaprobabilidaddequeunempleadodirectivoelegidoalazarseaingeniero?



57

AUTOEVALUACIONUNIDAD1

1.- Una Vendedoratiene 10productosy los deseaexhibirenuna ferianacional.Sinembargo,nopuedeexhibirsinocuatro.¿Entrecuantasmuestrasdiferentes

puedeescogersielordenenquevaaexhibirlosproductosnotieneimportancia?2.- En un depósito hay almacenados 503 equipos de televisión. En la tabla sehallanclasificadossegúnlamarcayelmodelo.

ModeloMarca

TotalB1 B2 B3

S1 70 22 50 142S2 65 16 40 121S3 45 35 30 110S4 50 17 60 127

Total 230 90 180 500Conlosdatos,encontrar:a)P(B1) b)P(B2∩S4) c)P(S1∪B1)d)Laprobabilidadde que unequiposeleccionado aleatoriamenteseade marcaB1,dadoquesumodeloesS4e)LaprobabilidaddequeunequiposeleccionadoseademarcaB1oB33.-Cincoamigosquedandereunirseelsábadoenlatardeenelrestaurante“elsombrero”sucedequehaycincorestaurantesenlaciudadconelmismonombreynoacordaronacualdeellosibanair.Cualeslaprobabilidaddequeloscincovayanarestaurantesdiferentes?

4.-Enlosarchivosdeunacompañíadesegurossehanregistradoqueenlosúltimosañosdeuntotalde949171jóvenesde21años,solo577882llegaronalaedadde65años.Sitomamosestosdatoscomorepresentativosdelarealidada)¿cuáleslaprobabilidaddequeunjovende21añosvivaparapensionarsealos65años?b)Sienunaciudadpequeñahayenlaactualidad2000jóvenescuantosdeellossepuedeesperarquesepensionen.

5.-Unseñorreemplazolasdospilasinserviblesdesulinternapordosnuevas,peroseleolvidotirarlaspilasusadasalabasura.Suhijopequeñoqueestaba

jugandoconlalinterna,sacolaspilasyrevolviólaspilasnuevasconlasusadas.

Sielseñorcolocanuevamentepilasasulinterna¿cuáleslaprobabilidaddequefuncione?Porsupuesto,sesuponequelalinternanopuedefuncionarconunapilanuevayunainservible.6.- Unseñorteníacincomaquinasdeafeitardesechables lascualesyaestabanmuyusadas,laspusoenuncajónconlaintencióndebotarlasalabasura.Suhijopequeñonolosabíaylasrevolviócontresnuevasquesacodeunpaquete.Siel



58

señorpruebadosmaquinasdeafeitarunatrasotra¿Cuál eslaprobabilidaddequelasdosesténusadas?7.-LaprobabilidaddequeJuanlleguetardeasucitaconRosyesde0.3.La

probabilidaddequeambos lleguen tardees de0.2.¿Cuáles laprobabilidaddequeJuanlaesteesperando?8.- En un examen de matemáticas solo 75% de una clase respondió todas laspreguntas. De aquellos que lo hicieron, 80% aprobó, pero de los que norespondieron todo, sólo aprobaron 50%. Si un estudiante paso, ¿Cuál es laprobabilidaddequehayarespondidotodaslaspreguntas?9.- Se ha observado que hombres y mujeres reaccionan diferente a unmedicamento;70%delasmujeresreaccionanbien,mientrasqueelporcentajeenlos hombres es solamente de 40%. Se realizo una prueba a un grupo de 20

personas,15mujeresy5hombresparaanalizarsus reacciones.Unarespuestaelegidaalazarde las 20resultonegativa.¿Cuáles laprobabilidaddequehayacontestadounhombre?10.- Ernesto y Luís están enamoradosde Silvia. Si Ernesto le pideque sea sunovia,tiene70%deprobabilidaddequeledigaquesíyLuis30%.SiErnestoeselnoviodeSilviahayunaprobabilidaddel40%dequesecasenysiesLuisdel30%.SiSilviasecasó¿CuáleslaprobabilidaddequehayasidoconLuis?RESPUESTAS

AUTOEVALUACIÓNUNIDAD11.-2102.- a)0.46 b)0.025 c)0.605 d)0.4082 e)0.8253.-0.03844.-a)0.609 b)12165.-1/66.-0.3577.-0.28578.-24/299.-0.4010.-0.756



59

UnidadDos

VARIABLESALEATORIASYDISTRIBUCIONESDEPROBABILIDAD



60

INTRODUCCIÓNALAUNIDAD

ConlosprincipiosdeProbabilidad,laspropiedadesbásicasyleyes,sedefinenlasvariablesaleatoriasyseestableceladiferenciaentrevariablesaleatoriasdiscretasycontinuas,entérminosdesufuncióndeprobabilidad,valoresperado,varianzaydesviaciónestándarysedesarrollaladesigualdaddeChébyshevqueseaplicaacualquiervariablealeatoriadiscretaocontinua.Posteriormente se inicia el estudio de las distribuciones de probabilidad, espertinente comentar que en todo fenómeno, los datos obtenidos tienen uncomportamiento específico, es así como el análisis de las distribuciones deprobabilidadpermitedeterminarquedistribucióndeprobabilidadeslapertinente

paraunconjuntodedatos.Las distribuciones de probabilidad son de tipo discreto y continuo, según lavariablealeatoriaqueesteencuestión,luegoenesteaparteseestudiarandichasdistribuciones,susprincipios,lafunciónquelaidentifica,suspropiedadesyloscamposdeaplicacióndelasmismas.Bienvenidos a el mundo de las distribuciones de probabilidad, será un caminomuy interesante y ameno, por los ejemplos propuestos y las situacionesanalizadas.



61

OBJETIVOGENERAL

Comprendereinteriorizarlostiposdedistribucionesdeprobabilidadqueexisten,suscaracterísticas,susparámetrosyloscamposdeaplicaciónquetienendichasdistribuciones.

OBJETIVOSESPECÍFICOS

• Definirvariablealeatoria.

• Definirvariablealeatoriadiscretaycontinua.

• Definirfuncióndeprobabilidaddeunavariablealeatoriadiscreta.

• Definirfuncióndedensidaddeunavariablealeatoriacontinua.

• Obtener probabilidades de eventos haciendo uso de la función de

probabilidaddeunavariablealeatoriadiscreta.

• Establecer las propiedades de la función de distribución de probabilidad

acumuladadeunavariablealeatoriadiscreta.

• Obtener y graficar la función de probabilidad acumulada de una variablealeatoriadiscreta,dadasufuncióndeprobabilidad.

• Obtener y graficar la función de distribución acumulada de una variable

aleatoriacontinua.

• Obtener probabilidades de eventos que involucren variables aleatoriasdiscretas o continuas, haciendo uso de su función de distribuciónacumulada.

• Definiryobtenerelvaloresperadodeunavariablealeatoria,tantodiscreta

comocontinua.

• Definir y obtener la varianza y la desviación estándar de una variablealeatoria,tantodiscretacomocontinua.



62

• Aplicaradecuadamente el teorema deChébyshev para cualquier variablealeatoriadiscretaocontinua.

• Describirlasprincipalescaracterísticasypropiedadesde lasdistribucionesdeprobabilidaddiscretaycontinua.

• Identificar y diferenciar las distribuciones de probabilidad discretas máscomunes, como son: distribución uniforme discreta, binomial, geométrica,binomialnegativa,hipergeométricayPoisson.

• Calculareinterpretarparámetrosestadísticos,talescomoMedia,varianzay

desviación estándar, de las diferentes distribuciones de probabilidaddiscretaycontinua.

• ReconocercuándounexperimentoaleatorioesunensayodeBernoulli.• Identificar y diferenciar las distribuciones de probabilidad continuas más

comunes,comoson:distribuciónuniformecontinua,normal,exponencial.

• Estandarizarunavariablealeatoria.

• Emplear la distribución normal para aproximar las probabilidades de unavariablealeatoriabinomialyPoisson.

• Interpretaryutilizarcorrectamente las tablasexistentespara cadaunade

lasdistribucionesdeprobabilidaddiscretasycontinuas.



63

CAPITULOUNOVARIABLESALEATORIAS

Enelcapítuloanteriorseexaminaronlosconceptosbásicosdeprobabilidadconrespectoaeventosqueseencuentranenunespaciomuestral,enestecapítuloseverá la importancia de cuantificar los resultados de un experimento aleatoriosabiendoqueellospuedensercualitativosocuantitativos.

Enunexperimentoaleatorioloquemásinteresaesconocerelnúmerototaldeveces que se obtiene un mismo resultado en un determinado número deejecuciones (es decir, cuantificar) y no en cuál ejecución se obtiene undeterminadoresultado.Esporestoqueenlateoríadelaprobabilidad,sehacenecesaria lacuantificaciónde los resultados cualitativosdeunespacio muestralpara luego, mediante el empleo de medidas numéricas, estudiar su

comportamientoaleatorio.Parafacilitarestoscálculosseacudeaunafunciónqueubicaelespaciomuestralenelconjuntodelosnúmerosreales,lacualesconocidacomovariablealeatoria.

Una variablealeatoria espues,unafunciónqueasignaunnúmerorealacadaresultadoenelespaciomuestraldeunexperimentoaleatorio.Ellassedenotanconunaletramayúscula,talcomo X .

Sediceque X esaleatoriaporqueinvolucralaprobabilidaddelosresultadosdel

espacio muestral, y se define X como una función porque transforma todos losposiblesresultadosdelespaciomuestralencantidadesnuméricasreales.

Ejemplo1.1.Considere el lanzamiento de una moneda. El espacio muestral de esteexperimentoaleatorioestáconstituidopordosresultados:caraysello.SisedefineX(cara)=0yX(sello)=1,setransformanlosdosposiblesresultadosdelespaciomuestralencantidadesnuméricasreales.

DeestamaneraP(X=0)representalaprobabilidaddequeelresultadoallanzarlamonedaescara.



64

EJEMPLO1.2Considereellanzamientodedosdados 7.Elespaciomuestraldeesteexperimentoaleatorioestáconstituidopor36posiblesresultados.

Sedefinecomovariablealeatoria X lasumadelosvaloresdelasdoscarasdelosdados. La siguiente tabla relaciona los 36 resultados con los valorescorrespondientesdelavariablealeatoria X definidaenesteejemplo.

Tabla1.1.Correspondenciaentrelosresultadosdellanzamientodeunpardedadosylavariable

aleatoriaquerepresentalasumadelascaras.

ResultadoValordela

variablealeatoria

Númerodeocurrencias Probabilidad

(1,1) 2 1 1/36(1,2)(2,1) 3 2 2/36(1,3)(2,2)(3,1) 4 3 3/36(1,4)(2,3)(3,2)(4,1) 5 4 4/36(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1) 6 5 5/36(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 7 6 6/36(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2) 8 5 5/36(3,6)(4,5)(5,4)(6,3) 9 4 4/36(4,6)(5,5)(6,4) 10 3 3/36(5,6)(6.5) 11 2 2/36(6,6) 12 1 1/36

Sepuedendefinirvariablesaleatoriascuyosvaloresseancontablesono,yalseruna caracterización cuantitativa de los resultadosde un espacio muestral, ellaspuedenserdiscretasocontinuas.Enlosdostemassiguientessedesarrollanlosconceptos de variable aleatoria discreta y variable aleatoria continua y susestadísticosasociados.1.1.-VARIABLEALEATORIADISCRETASe dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores quepuedetomaresfinito(oinfinitocontable).Frecuentementeelinterésrecaeenlaprobabilidaddequeunavariablealeatoriatome un valor particular, para ello se requiere primero definir claramente la

7TomadodeProbabilidadyestadística.Aplicacionesymétodos ,GeorgeC.Canavos.McGrawHill.México.1988.



65

variablealeatoria.Seráimportantepues,acordarlasiguientesimbología:{ } x X = denotará el evento formado por todos los resultados para los que x X = y

)( x X P = serálaprobabilidaddedichoevento.

Ladistribucióndeprobabilidad deunavariablealeatoria X esunadescripcióndelconjuntodeposiblesvaloresde X ,juntoconlaprobabilidadasociadaconcadaunodeestosvalores.Estadistribuciónbienpuedeserunagráfica,unatablaounaecuación que da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria y seconsideracomoelresumenmásútildeunexperimentoaleatorio.Todadistribucióndeprobabilidaddebesatisfacercadaunodelosdosrequisitossiguientes:

• 1)( ==∑ x X P

• 1)(0 ≤=≤ x X P

EJEMPLO1.3Determinesilasiguientetabladescribeunadistribucióndeprobabilidad

x 0 1 2P( X=x) 0,04 0,32 0,64

Para ser una distribución de probabilidad, P( X=x) debe satisfacer los dosrequisitos.

1)(

64,0,32,004,0)(

)2()1()0()(

==

++==

=+=+===

∑∑∑

x X P

x X P

X P X P X P x X P

Demaneraquelatabladeprobabilidadesdelavariablealeatoria X satisfaceelprimer requisito. Observe, además, que cada uno de los valores de P( X=x) seencuentran entre 0 y 1. Como ambos requisitos se satisfacen, la tabla deprobabilidadesdelavariablealeatoria X esunadistribucióndeprobabilidadde X .

Cuandoladistribucióndeprobabilidadsedescribeapartirdeunaecuación,seledenominafuncióndeprobabilidad .Estafunción )()( x X P x f == vadelconjuntodelosvaloresposiblesdelavariablealeatoriadiscreta X (denominadorangode X )alintervalo[0,1]ysatisfacelassiguientespropiedades:

• x x f ∀≥ 0)(



66

• 1)( =∑ x f

Ejemplo1.4

Determinesilafunción 3)()(

x x X P x f === (dondexpuedeser0,1ó2)esuna

funcióndeprobabilidad.Enlasiguientetablaseresumenlosposiblesvaloresdelavariablealeatoria X .

X 0 1 2 f(x)=P( X=x) 0 1/3 2/3

Observequetodoslosvaloresde f(x)sontodospositivos,estoes 0≥ .Ademássecumpleelsegundorequisito:

1

3

2

3

10)( =++=∑ x f

Porlotanto,lafunción f(x)esunafuncióndeprobabilidad.

Enocasiones,esútilpoderexpresarprobabilidadesacumuladas,estoes,valorespara los que X son menores o iguales a un valor específico x. El uso deprobabilidades acumuladas es una alternativa para describir la distribución deprobabilidaddeunavariablealeatoria.

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X ,denotadapor F(x)es:

∑≤

=≤= x x

i

i

x f x X P xF )()()(

Paraunavariablealeatoriadiscreta X , F(x)satisfacelassiguientespropiedades:

• 1)(0 ≤≤ xF • )()(, yF xF entonces y xSi ≤≤

• )(1)( xF x X P −=> • 0)( =−∞F • 1)( =+∞F

Además, puede establecerse que para variables aleatorias discretas de valorenterosetiene:



67

• )1()()( −−== xF xF x X P • )1()()( −−=≤≤ i j ji xF xF x X xP

La función de distribución acumulada también proporciona probabilidades. Elsiguienteejemploilustracómoemplearla funciónde distribuciónacumuladaparadeterminarlafuncióndeprobabilidaddeunavariablealeatoriadiscreta.

EJEMPLO1.5Supongaquelafuncióndedistribuciónacumuladadelavariablealeatoria X es:

≤

<≤

<

=

x

x

x

xF

31

315,0

10

)(

Determinelafuncióndeprobabilidadde X .

Figura1.1.(a)Funcióndedistribuciónacumuladadelejemplo4.5.

(b)Funcióndeprobabilidaddelejemplo4.5.Enlafigura1.1.(a),serepresentaunagráficadelafunción F(x).Sepuedeverquelosúnicospuntosquetienenunaprobabilidaddistintadeceroson1y3.Paratodovalorde xmenorque1, 0)( =≤ x X P yf(1)=0,5.Paravaloresde xentre1y3ymayoresde3,sinincluiresteúltimo, 0)( =≤ x X P yf(3)=0,5.Demaneraquelafuncióndeprobabilidadde X sepuedeescribircomo:

F(x)

x

0,5

1

1 2 3

f(x)

x

0,5

1

1 2 3

a b



68

>=

<<

=

<

=

x x

x

x

x

x f

3035,0

310

15,0

10

)(

Lafigura1.1.(b)representalagráficadelafuncióndeprobabilidadde X .Observetambiénquelafunciónqueseacabadedefinircumplelosdosrequisitos: 0)( ≥ x f

y 1)( =∑ x f .Compruébelo.

Ahorabien,observecomo seusanlaspropiedadesdela funcióndedistribuciónacumuladade X paracalcularlassiguientesprobabilidades:

a. 1)3()3( ==≤ F X P b. 5,0)2()2( ==≤ F X P c. 05,05,0)1()2()21( =−=−=≤≤ F F X P d. 5,0)2(1)2( =−=> F X P

El valor esperado (también llamado media o esperanza matemática ) de unavariablealeatoriadiscreta X esunamedidadeposiciónparaladistribuciónde X .Sesimbolizacon µysecalculaalsumarelproductodecadavalorde X consuprobabilidadcorrespondiente.Enotraspalabras,lamediaovaloresperadodeuna

variablealeatoriadiscreta X es:

∑ ⋅== x

X x f x X E )]([)( µ

EJEMPLO1.6.Considerelasiguientedistribucióndeunavariablealeatoria X .

X 0 1 2 f(x) 0,04 0,32 0,64

Lamediaestádadapor:

6,1)64,02()32,01()04,00()( =×+×+×== X E X µ



69

EJEMPLO1.7

Determine el valor esperado de la suma de las caras de dos dados al serlanzados.Sea X lavariablealeatoriaquerepresentalasumadelascarasdelosdosdados.Tomando de referencia la tabla 4.1. en la que se relacionan los resultados dellanzamientodelosdadosylasumadelascaras,setiene:

7)36 / 112()36 / 211(...)36 / 34()36 / 23()36 / 12()( =×+×++×+×+×== X E X µ Demaneraqueelvaloresperadoallanzardosdadoses7.

La varianza de una variable aleatoria es una medida de la dispersión de ladistribucióndeprobabilidaddeésta.Secalculaponderandoelcuadradodecadadesviación con respecto a la media, con la probabilidad asociada con ladesviación.Enotraspalabras,lavarianzadeunavariablealeatoriadiscreta X conmedia X µ yfuncióndeprobabilidadf(x),es:

∑ ⋅−=−== x

X X X x f x X E X V )]()[()()( 222 µ µ σ

Odeunmodoequivalente,

222 )]([()( X

x X

x f x X V µ σ −−== ∑

EJEMPLO1.8Determineahoralavarianzadelavariablealeatoriadefinidaenelejemplo4.7.

05,27)]36 / 112(...)36 / 34()36 / 23()36 / 12[(222222

=×−++−+−+−= X σ

Otra alternativa para medir la variabilidad, que con frecuencia es más fácil deinterpretarpuessusunidadessonidénticasalasdelavariablealeatoria X ,esladesviación estándar denotada por X σ y que corresponde a la raíz cuadradapositivadelavarianza.



70

1.2.-VARIABLEALEATORIACONTINUA

Eneltemaanteriorsepresentóelconceptodevariablealeatoriacomounafuncióndevalorqueasignaunnúmerorealfinito(oinfinitocontable)acadaresultadoenelespaciomuestraldeunexperimentoaleatorio;variablesaleatoriasquehansidodenominadas discretas . En este tema, donde las variables aleatorias puedentomarvaloresenunaescalacontinua,elprocedimientoescasielmismo.Se dice que una variable aleatoria X es continua sielnúmerodevaloresquepuedetomarestáncontenidosenunintervalo(finitooinfinito)denúmerosreales.Dichosvalorespuedenasociarseamedicionesenunaescalacontinua,demaneraquenohayahuecosointerrupciones.

En algunos casos, la variable aleatoria considerada continua en realidad esdiscreta,perocomoelrangodetodoslosvaloresposiblesesmuygrande,resultamásconvenienteutilizarunmodelobasadoenunavariablealeatoriacontinua.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X estácaracterizadaporunafunción f(x)querecibeelnombrede funcióndedensidaddeprobabilidad .Estafunción f(x)noeslamismafuncióndeprobabilidaddeunavariable aleatoria discreta. La gráfica de la función f(x) es una curva que seobtienepara un númeromuy grande de observaciones y para una amplituddeintervalomuypequeña.Recuerdequelagráficadeunafuncióndeprobabilidadde

unavariablealeatoriadiscretaesescalonada,dandolasensacióndepeldañosenascendencia(verfigura1.1.(a)).

Estafuncióndedensidaddeprobabilidad f(x)permitecalculareláreabajolacurvaque representa la probabilidad de que la variable aleatoria continua X tomeunvalorentreelintervalodondesedefinelafunción.

Formalmente,lafuncióndedensidaddeprobabilidad f(x)deunavariablealeatoriacontinua,sedefinecomotalsiparacualquierintervalodenúmerosreales[a,b]secumpleque:

• 0)( ≥ x f • 1)( =∫

∞

∞−

dx x f

• ∫=≤≤b

a

dx x f b X aP )()(



71

Puestoqueeláreatotalbajo f(x)esuno,laprobabilidaddelintervalo[a,b]eseláreaacotadaporlafuncióndedensidadylasrectas X =ay X =b,comosemuestraenlafigurasiguiente.

Figura1.2.Probabilidadilustradacomoeláreabajolacurvadedensidad

Elmodelodevariablealeatoriacontinuaimplicalosiguiente:

)()()()( b X aPb X aPb X aPb X aP <<=<≤=≤<=≤≤ Además,para cualquiervaloren elrangode lavariablealeatoria continua X ,secumplequeP( X=x)=0.Esteresultadosedesprendedelaspropiedadesdelcálculointegral8:

0)( =∫ x

x

dx x f

8Separtedelapremisadequeelestudiantemanejaelcálculodiferencial,oporlomenostieneunconocimiento básico de este. Se recomienda al estudiante que consulte el módulo de CálculoIntegralocualquierotrotexto.Sinembargo,eneltratamientodelasdistribucionesdeprobabilidadelcálculodeintegralescomplejasnoescomúny,comoseveráenlasiguienteUnidadDidáctica,lasdistribucionesdeprobabilidadmáscomunesestándefinidasporfuncionespococomplejasypermitenasíuntratamientosencillo.



72

EJEMPLO1.9Supongaque xe x f −=)( para x>0.Calculelassiguientesprobabilidades:

a. 368,0)()1( 1

111

=+−=−===> −∞−∞

−∞

−∞

∫∫ eeedxedx x f X P x x

b. 286,0)()5,21( 15,25,2

1

5,2

1

5,2

1

=+−=−===<< −−−−

∫∫ eeedxedx x f X Px x

c. 0)3( == X P

d. { } 982.0018,0111)4(1)4( 4

4

=−=+−−=−=>−=< ∞−−∞

−

∫ eedxe X P X P x

e. 05,0)()3()3( 3

333

=+−=−===≥=≤ −∞−∞

−

∞

−

∞

∫∫eeedxedx x f X P X P x x

Al igual que en el caso de una variable aleatoria discreta, la función dedistribuciónacumulada deunavariablealeatoriacontinua X eslaprobabilidaddeque X tomeunvalormenoroigualaalgún xespecífico.Estoes,

∫∞−

=≤= x

dx x f x X P xF )()()( para ∞<<∞− x

Porlotanto,lafuncióndedistribuciónacumulada F(x)eseláreaacotadaporlafunción de densidad que se encuentra a la izquierda de la recta X=x,comoseilustraenlafigura4.3.Lafuncióndedistribuciónacumulada F(x)cumplelassiguientespropiedades:

• )()()( x X P x X P xF <=≤= • 0)( =−∞F • )()()( aF bF b X aP −=<<

• )()( x f dx xdF =

EJEMPLO1.10



73

Supongalasiguientefuncióndedistribuciónacumuladadelavariablealeatoria X ydetermine:

≤

<≤

<

=

x

x x

x

xF

51

502,0

00

)(

a. 56,08,22,0)8,2()8,2( =×==< F X P b. 70,0)5,12,0(1)5,1(1)5,1(1)5,1( =×−=−=<−=> F X P X P c. 0)2()2( =−=−< F X P d. 011)6(1)6(1)6( =−=−=<−=> F X P X P e. 2,0)42,0(1)4()6()64( =×−=−=<< F F X P

Lamedia ylavarianza deunavariablealeatoriacontinuasedefinendemanerasimilaralcasodelavariablealeatoriadiscreta.Enlasdefiniciones,laintegraciónsustituyealasumatoria.

∫∞

∞−

== dx x xf X E X )()( µ

[ ]

222

22

)()(

)()()(

µ σ

µ σ

−==

−==

∫∫∞

∞−

∞

∞−

dx x f x X V

dx x f x X V

X

X X

Asímismo,ladesviaciónestándarde X es 2

X X σ σ =

EJEMPLO1.11

Supongaque f(x)=0,125xpara0<x<4.Calculelamediaylavarianzade X .

( )3

8

24

1

8

1125,0

4

0

3

4

0

2

4

0

=⋅==⋅= ∫∫ xdx xdx x x X µ



74

88,09

64

8

1)(

4

0

32 =−== ∫ dx x X V X σ

1.3.-TEOREMADECHÉBYSHEVParademostrarcómoladesviaciónestándaresindicadoradeladispersióndeladistribución de una variable aleatoria, el matemático ruso Pafnuty LvovichChébyshevdesarrollóunteoremaenelqueofreceunagarantíamínimaacercadela probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de kdesviacionesestándaralrededordelamedia.Para cualquier variable aleatoria X con media µ y desviación estándar σ , laprobabilidaddeque X tomeunvalorcontenidoen kdesviacionesestándardela

media,siendo kunaconstantepositivacualquiera,escuandomenos 211k

− .

Simbólicamente,elteoremaseexpresadecualquieradelassiguientesmaneras:

( ) ( )22

111

k k X Pó

k k X P ≤>−−≥≤− σ µ σ µ

LadesigualdaddeChébyshevesmuyimportante,yaquepermitedeterminarloslímitesdelasprobabilidadesdevariablesaleatoriasdiscretasocontinuassintener

que especificar sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura que laprobabilidad de que una variable aleatoria se aleje de la media no más de kdesviacionesestándar,esmenoroiguala1/k 2paraalgúnvalorde k>1.Aunquelagarantíanosiempreesmuyprecisa,laventajasobreesteteoremaessu gran generalidad por cuanto es aplicable a cualquier variable aleatoria concualquierdistribucióndeprobabilidad,yaseadiscretaocontinua.

EJEMPLO1.12Elnúmerodelicenciasdeconducciónexpedidasenunaciudadduranteelmesde

junio puede considerarse como una variable aleatoria cuya distribución deprobabilidadsedesconoce,pero seestima quesu mediaseaaproximadamente µ=124ysudesviaciónestándarσ =7,5.SegúnelteoremadeChébyshev,¿conquéprobabilidad se puede afirmar que se expedirán entre 64 y 184 licencias deconducciónenesaciudadduranteelmesdejunio?



75

Paradarsoluciónaesteproblemasedebeconocercuálesesevalordek.Paraellosepartedeladefinicióndeunadesigualdadmenorquedeunvalorabsoluto:

( ) ( )22

11

11

k

k X k P

k

k X k P −≥+≤≤+−⇔−≥≤−≤− µ σ µ σ σ µ σ

Tomandoelfactordelaizquierda,setiene

( ) ( )18464 ≤≤⇔+≤≤+− X Pk X k P µ σ µ σ

Esto quiere decir que: 64=+− µ σ k o bien que 184=+ µ σ k . Al despejar k decualquieradeellassetiene:

85,7

6412464=

−=

−=

σ

µ k

DemaneraqueladesigualdaddeChébyshevquedaplanteada:( ) ( ) 9844,018464

8

1118464

2≥≤≤⇔−≥≤≤ X P X P

De modo que se puede afirmar que se expedirán entre 64 y 184 licencias deconducción en esa ciudad durante el mes de junio con una probabilidad del98,44%.



76

EEJJEERRCCIICCIIOOSSCCAAPPÍ Í TTUULLOO11..1.-Unaurnacontienecuatrobalotasconlosnúmeros1,2,3y4,respectivamente.Sisetomandosbalotasdelaurnasinsustitucióny X eslasumadelosnúmeros

de las dos balotas extraídas, determine la distribución de probabilidad de X yrepreséntelapormediodeunhistograma.2.-Paralassiguientestablasdedatos,determinesisetratadeunadistribucióndeprobabilidad. En los casos en que sea así, identifique los requisitos que no sesatisfacen.Enloscasosenquesisedescribaunadistribucióndeprobabilidad,calculesumediaydesviaciónestándar.

a. x 0 1 2 3

f(x) 0,125 0,375 0,375 0,125

b. x 0 1 2 3 4

F(x) 0,502 0,365 0,098 0,011 0,001

c. x 0 1 2 3 4

f(x) 0,0000 0,0001 0,0006 0,0387 0,96063.- El espacio muestral de un experimento aleatorio es { } f ed cba ,,,,, , y cadaresultadoesigualmenteprobable.Sedefineunavariablealeatoriadelasiguientemanera:

resultado a b c d e f x 0 0 1,5 1,5 2 3

Determine:a. Lafuncióndeprobabilidadde X . e. )20( <≤ X P b. )5,1( = X P f. )20( == X ó X P

c. )7,25,0( << X P g. 2

X X y σ µ d. )3( > X P

4.-Sea X una variable aleatoria discreta. Determine el valor de kparaquelafunción xk x f / )( = , x=1,2,3,4,sealafuncióndeprobabilidadde X .Determineademás )31( ≤≤ X P .5.-Elrangodelavariablealeatoria X es[0,1,2,3, x],donde xesunaincógnita.Sicadavaloresigualmenteprobableylamediade X es6,calcule x.



77

6.-Compruebequelasiguientefunciónesfuncióndedistribuciónacumuladadelavariable aleatoria discreta X y calcule la función de probabilidad y lasprobabilidadespedidas.

≤

<≤<≤−

−<

=

x

x

x

x

xF

5,01

5,03,075,0

3,01,025,0

1,00

)(

a. )5,0( ≤ X P d. )0( < X P b. )4,0( ≤ X P e. )1,00( <≤ X P c. )6,04,0( ≤≤ X P f. )1,01,0( <<− X P

7.-Verifiquequelasiguientefunciónesunafuncióndeprobabilidadycalculelasprobabilidadespedidas.

x -2 -1 0 1 2 f(x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8

a. )2( ≤ X P d. )21( =−≤ X ó X P

b. )2( −> X P e. Determine 2

X X y σ µ c. )11( ≤≤− X P

8.- Dada lasiguientefunción deprobabilidadacumulada de lavariable aleatoriadiscreta X ,

≥

<≤

<≤

<≤−

−<

=

51

5343

3121

1141

10

)(

x

x

x

x

x

xF

Obtenga:a. )3( ≤ X P d. )3( = X P b. )1( ≥ X P e. )44,0( <<− X P c. )3( < X P f. )5( = X P

9.-SeaXunavariablealeatoriaquerepresentaelnúmerodeclientesquellegaaunalmacénenunahora.Dadalasiguienteinformación:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) 0,05 0,10 0,10 0,10 0,20 0,25 0,10 0,05 0,05

Encuentre E(X)yV(X).



78

10.- Demuestre que las siguientes funciones son funciones de densidad deprobabilidad para algún valor de k;determineelvalorde k.Calculelamediayvarianzadecadaunadelastresfuncionesdedensidad.

•••• 2)( kx x f = para 40 << x •••• )21()( xk x f += para 20 << x

•••• xke x f −=)( para x<0 11.-Lafuncióndedensidaddeprobabilidaddeunavariablealeatoriacontinua X estádadapor:

<<

=casootroen

x x f

0

7251)(

a. Demuestrequeeláreabajolacurvadeestafunciónesiguala1.b. Determine )53( << X P

12.-Sea X unavariablealeatoriacontinua.

a. Determineelvalorde k,demaneraquelafunción f(x)sealafuncióndedensidaddeprobabilidadde X .

≤≤−

=casootroen

xkx x f

0

11)(

2

b Determinelafuncióndedistribuciónacumuladade X .c. Calcule )2 / 12 / 1()2 / 1( ≤≤−≥ X P y X P .

13.- La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X estádadapor:

>

<<−

≤

=

11

102

00

)( 2

x

x x x

x

xF

Determine:a. )( x f b. )2 / 1( < X P c. )4 / 3( > X P

14.- Suponga que la función de distribución acumulada de la variable aleatoriacontinua X es:



79

≤

<≤−+

−<

=

x

x x

x

xF

21

225,025,0

20

)(

Determine:a. )8,1( < X P c. )2( −< X P b. )5,1( −> X P d. )11( <<− X P

4.15. Supongaque 25,0)( = x f ,para 40 << x .Calculelamediaylavarianzade

lavariablealeatoriacontinua X .16.-Sea X lavariablequerepresentalacantidaddelluviacaídadeunasemanaenunaregióndeterminada.Supongaque µ=1,0yσ =0,25pulgadas.¿Seríaextrañoqueestaregiónregistremásdedospulgadasdeaguaduranteunasemana?

17.-SeaXelnúmerodecasosderabiaregistradosenunmesenunaciudaddeterminada. Suponga que µ=1/2 y σ

2=1/25. ¿Podría considerarse infrecuente

registrardoscasosderabiaenunmesenesaciudad?18.- Se lleva a cabo un estudio de un fármaco destinado a mantener un ritmocardíacoconstanteenpacientesqueyahansufridouninfarto.Sea X elnúmerodelatidos por minuto, registrado durante la utilización de este fármaco con lasiguientefuncióndeprobabilidad:

x 40 60 68 70 72 80 100 f(x) 0,01 0,04 0,05 0,80 0,05 0,04 0,01

Utilizando la desigualdad de Chébyshev, ¿entre qué valores oscilará elritmocardíacodel75%delospacientestratados?

19.-¿Cuáleselvalormínimode kenelteoremadeChébyshevparaelcuallaprobabilidaddequeunavariablealeatoriatomeunvalorentreque µ-k σ y µ+k σ sea:

a. cuandomenos0,95?b. cuandomenos0,99?



80

CAPITULODOSDISTRIBUCIONESDEPROBABILIDADDISCRETA

En este capítulo se examinan con detalle seis familias de distribuciones deprobabilidaddiscretaysehacencomentariossobresuaplicación.Estasson:lasdistribuciones uniforme discreta, binomial, geométrica, binomial negativa,hipergeométricayPoisson.Tambiénseestudiansusparámetrosestadísticosmásusados;esdecir,lamediaovaloresperado,lavarianzayladesviaciónestándar.2.1. DISTRIBUCIÓNUNIFORMEDISCRETA

La variable aleatoria discreta más sencilla es aquella que toma sólo unnúmerofinitodevaloresposibles n,cadaunoconlamismaprobabilidad.Ellasedenomina entonces variable aleatoria discreta uniforme y su distribución

uniformediscretaestádadapor:

n x f

1)( =

Para una variable aleatoria discreta uniforme X , que puede tomar los

valores1,2,…,n,lamediaes:

2

1)(

+==n

X E X µ

Ysudesviaciónestándares:

12

12 −=

n X σ

Otros autores expresan estos parámetros en términos del rango de la

variablealeatoriadiscretauniforme[a,b].

12

1)1(

2)(

2 −+−=

+==

abba X E X X σ µ

No hay reparos para usar una u otra fórmula, queda a criterio del

estudiante.Loimportanteesqueésteentiendaquesonequivalentes.



81

EJEMPLO2.1.

Lavariablealeatoria X tieneunadistribucióndiscretauniformesobrelosenteros10091 ≤≤ x .Determinelamediaylavarianzade X .

5,952

91100)( =

+== X E X µ

25,812

1)191100()(

22 =

−+−== X V X σ

EJEMPLO2.2

Unjugadorlanzaundadocorriente.Sisaleunnúmeroprimo,ganaelvalorendólares pero si no sale el número, entonces pierde igual cantidad en dólares.Determinesieljuegoesfavorableodesfavorableparaelapostador.Solución:Losposiblesvaloresqueseobtienenallanzarundadosonlosnúmerosdel1al6,de ellos sólo tres son números primos, a saber: 2, 3 y 5. Estos númeroscorresponden a las ganancias posibles en dólares del apostador. Las posiblespérdidas serán entonces: 1, 4 y 6. La siguiente tabla relaciona los posiblesresultados de la variable aleatoria X (cantidad de dólares ganados al lanzar un

dado)consusrespectivasprobabilidades,queparaestecasosonigualespueseldadonoseencuentracargadohaciaunacaradeterminada.

x -1 2 3 -4 5 -6 f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Observequelosnúmeros1,4y6sonnegativos,puescorrespondenalhechodequeeljugadorpierdesinosaleunnúmeroprimo.Comocadavalordelavariablealeatoriatieneigualprobabilidad,ladistribucióndeprobabilidadesuniformediscreta.Perotengaencuentaquelosvaloresquetoma X nosonconsecutivos,portantonoseaplicaladefinicióndevaloresperadoy

deberecurrirsealadefiniciónoriginalEstoes:

6

1)654321(

6

1)()(

1

−=−+−++−⋅=⋅== ∑=

n

i

i X x f x X E µ

Comoelvaloresperadoesnegativo,eljuegoesdesfavorableparaelapostador.



82

Si todos los valores del rango de la variable aleatoria X semultiplicanporunaconstante (sin cambiar ninguna de las probabilidades), entonces la media y la

desviaciónestándarde X quedanmultiplicadasporlamismaconstante.2.2.- DISTRIBUCIÓNBINOMIALLasdistribucionesbinomialessonlasmásútilesdentrodelasdistribucionesdeprobabilidad discretas. Sus áreas de aplicación incluyen inspección de calidad,ventas, mercadotecnia, medicina, investigación de opiniones, entre otras. Estasdistribuciones permiten enfrentar circunstancias en las que los resultadospertenecenadoscategoríasrelevantes:queocurrauneventodeterminadooquenolohaga.Estetipodeexperimentoaleatorioparticularesdenominado ensayodeBernoulli .Susdosresultadosposiblessondenotadospor“éxito”y“fracaso”y

sedefinepor plaprobabilidaddeunéxitoy1-plaprobabilidaddeunfracaso.Engeneral, unexperimento aleatorio queconsistede nensayosrepetidostalesque:

• Losensayossonindependientes• Cada ensayo es de tipo Bernoulli. Esto es, tiene sólo dos resultados

posibles:“éxito”o“fracaso”.• La probabilidad de éxito de cada ensayo, denotada por p, permanece

constante.recibeelnombredeexperimentobinomial .

Lavariablealeatoria X ,deunexperimentobinomial,quecorrespondealnúmerodeensayosdondeelresultadoesunéxito,tieneuna distribuciónbinomial conparámetros pyn=1,2,…ysufuncióndeprobabilidades9:

n x para p p x

nn p x f

xn x,...,1,0)1(),;( =−⋅⋅

= −

Sisedenotalaprobabilidaddefracasocomo pq −= 1 ,lafuncióndeprobabilidadbinomialsesimplificadelasiguientemanera:

xn x q p

x

nn p x f −⋅⋅

=),;(

9Recuerdequelanotación )!(!

!

xn x

n

x

n

−=

esunacombinación yestádesarrolladaenelcapítulo2delaUnidadDidácticaUnodelpresentemódulo.



83

En muchos casos es conveniente denotar la función de probabilidad binomialcomo ),;( n p xb .

Lafuncióndedistribuciónbinomialacumulada seexpresacomo:

∑=

−⋅⋅

==≤

x

i

ini q pi

nn p xF x X P

0

),;()(

EJEMPLO2.3Lavariablealeatoria X tieneunadistribuciónbinomialconn=10y p=0,5.Calculelasprobabilidadessiguientes.Antes de determinar las probabilidades pedidas, debe definirse la distribuciónbinomialconlosparámetrosdados.

1010 5.010

)5.01(5.010

)10,5.0;()( ⋅

=−⋅⋅

=== −

x x x f x X P

x x

a. 246,05.05

10)10,5.0;5()5( 10 =⋅

=== f X P

b. 055,05.02105.0

110)10,5.0;2()2( 21 =⋅

+⋅

==≤ F X P

c. ∑=

=−=⋅

−=≤−=≥

8

0

011,0989,015.010

1)8(1)9(i

i

i X P X P

d. ∑=

=⋅

=<≤

4

3

322,05.010

)53(i

i

i X P

e. 945,0055,01)2(1)2( =−=≤−=> X P X P

Lamedia ylavarianza deunavariablealeatoria binomialdependensólode losparámetros py n.Yellassedefinen:

npq pnp ynp X E X X =−=== )1()( 2σ µ

EJEMPLO2.4



84

Laprobabilidaddequeunfutbolistaprofesionalhagagoldetirolibreesdel70%.Enunentrenamiento,estefutbolistahace14tiroslibres.Calculelaprobabilidaddeque éste haga por lo menos 7 goles, la probabilidad de que falle entre 3 y 6

inclusive, laprobabilidaddequeno haganingúngoly laprobabilidaddequeentodossustirosélacierte.Calculetambién,elpromediodegolesesperados.Sea X elnúmerodegoleshechosporunfutbolistaen14tiros.Observeque X esunavariablealeatoriaquesedistribuyecomounabinomialcon p=0.7yn=14.

x x

x x f n p xb

−⋅⋅

== 143.07.014

)14,7.0;(),;(

Sepidelaprobabilidaddequehagaporlomenos7goles,estoes:

∑∑ =

−

==−=⋅⋅

−=≤−==≥

6

0

1414

79685,00315,013.07.0

14

1)6(1)14,7.0;()7(i

ii

i i X Pi f X P

Laprobabilidaddequefalleentre3y6equivaleaqueestehagaentre8y11golesinclusive.Puessifalla3goles,esporquehaacertadoen11ysifallaen6,ha hecho 8 goles. Recuerde que se ha definido la variable aleatoria como elnúmerodeaciertosodegoleshechosynoelnúmerodefallas.Demaneraquelaprobabilidadpedidaes:

∑=

− =⋅⋅

=≤≤

11

8

14 7459,03.07.014

)118(i

ii

i X P

Laprobabilidaddequeelfutbolistanohaganingúngolensus14tiroslibresestádadapor:

010783,43.07.00

14)0( 8140 ≈×=⋅⋅

== − X P

Escasiimposible,encondicionesnormales,queunfutbolistaconladestrezade7golesporcada10detirolibrenopuedahacerunsólogolen14oportunidadesPorúltimo,laprobabilidaddequeéstehagalos14golesserá:

0068,010782,63.07.014

14)14( 3014 ≈×=⋅⋅

== − X P

Esto quieredecir que nuestrofutbolistatieneunaprobabilidadmenordel1%deacertarentodossus14tiroslibres.Ahorabien,elpromediodegolesqueseesperanes:

8.97.014)( =×== X E X µ Conunadesviaciónestándarde1,71goles.Compruébelo.



85

Ladistribuciónbinomialsehatabuladodemaneraextensaparadistintosvaloresdeny p.Enlatabladelarchivoanexo“Tablasestadísticas” 10,seproporcionanlasprobabilidades acumuladas para distintos valores de los parámetros n y p. El

procedimientoparasucálculoeselsiguiente:(1)Localiceelvalorden,indicadoenlaprimeracolumnadelatablaenmención.(2)Ubiqueelvalorcorrespondientede xenlasegundacolumna.(3)Identifiqueelrenglónofiladenúmeros,resultadodelospasos(1)y(2).(4)Enlaprimerafiladelatabla,quecorrespondealvalorde p,ubiqueelvalordesubúsqueda.(5) Haga coincidiro cruzarla fila que obtuvo enel paso (3) con la columnadelpaso(4).(6) El valor correspondiente a la intersección obtenida en el paso (5) será laprobabilidadacumuladadeseada.

Enelsiguienteejemploseindicacómohacerestecálculo.

EJEMPLO1.5Sea X unavariablealeatoriabinomialconn=13y p=0.3.HaciendousodelatablaA.1.delanexoA,calculelaprobabilidaddequeXpuedasercuatro.La siguiente tabla es extraída de la tabla de distribución binomial acumulada,correspondientealvalorden=13.

Tabla2.1.Distribuciónbinomialacumuladaparan =13

P

n x 0.1 0.2 0.25 0.3 0.4

13 0 0.2542 0.0550 0.0238 0.0097 0.0013 1 0.6213 0.2336 0.1267 0.0637 0.0126 2 0.8661 0.5017 0.3326 0.2025 0.0579 3 0.9658 0.7473 0.5843 0.4206 0.1686 4 0.9935 0.9009 0.7940 0.6543 0.3530

5 0.9991 0.9700 0.9198 0.8346 0.5744 6 0.9999 0.9930 0.9757 0.9376 0.7712 7 1.0000 0.9988 0.9944 0.9818 0.9023

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

10http://www.informatica.us.es/~calvo/asi/varios/tablaspedro.pdf



86

p

n x 0.1 0.2 0.25 0.3 0.4

13 0 0.2542 0.0550 0.0238 0.0097 0.0013 1 0.6213 0.2336 0.1267 0.0637 0.0126

2 0.8661 0.5017 0.3326 0.2025 0.0579 3 0.9658 0.7473 0.5843 0.4206 0.1686 4 0.9935 0.9009 0.7940 0.6543 0.3530 5 0.9991 0.9700 0.9198 0.8346 0.5744 6 0.9999 0.9930 0.9757 0.9376 0.7712 7 1.0000 0.9988 0.9944 0.9818 0.9023

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

Enlafigurasiguienteseindicangráficamenteunoaunolospasosparaelcálculo

de 6543,07.03.013

)13,3.0;4()4(13

0

13 =⋅⋅

==≤ ∑

=

−

i

ii

iF X P

Figura2.1.

Esquemagráficoparaelusodelatabladedistribuciónbinomialacumulada

De la misma manera, puede hacerse uso de esta tabla para determinar lasprobabilidadesindividualespuestoquelavariablealeatoriabinomialtieneunvalorenteroyseaplicalapropiedad:

),;1(),;(),;( pn xF pn xF pn xb −−= Parailustrarlo,sean=10y p=0.3,laprobabilidaddeque X seaexactamentecincoes:

1030,08497,09527,0)4()5()5( =−=−== F F X P Nota:Enelsiguientelinksepuedeencontrarunprogramasencilloquepermitecalcularprobabilidades de variables aleatorias discretas, simplemente conociendo losvaloresdelosparámetrosdecadauna



87

http://www.pwpamplona.com/wen/calcu/calcu1.htm2.3DISTRIBUCIÓNGEOMÉTRICA

Considereahorauna serie deensayos Bernoulliconunaprobabilidadconstantedeéxitos p,enlaqueelnúmerodeensayosnoesfijocomoenladistribuciónbinomial si no que éstos se realizan hasta que se obtiene el primer éxito. Seaentonces,lavariablealeatoria X elnúmero deensayosrealizadoshastaobtenerunéxito,ellatieneunadistribucióngeométrica conparámetro pyseexpresa:

,...2,1)1();( 1 =⋅−= − x p p p x f

x

Tomando pq −= 1 y denotando la distribución geométrica como );( p xg ,ellasesimplificadelasiguientemanera:

pq p xg x ⋅= −1);( Lafuncióndedistribucióngeométricaacumulada seexpresacomo:

∑=

− ⋅==≤ x

i

i pq p xF x X P0

1);()(

Lamedia ylavarianza deunavariablealeatoriageométricason:

2

2 )(1

)( p

q X V

p X E X X ==== σ µ

EJEMPLO1.6Supongaquecadaunadelasllamadasquehaceunapersonaaunaestaciónderadiomuypopulartieneunaprobabilidadde2%dequelalíneanoestéocupada.

Supongaquelasllamadassonindependientes.a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera llamada que entre sea de la

décimapersonaquelarealizó?Sea X lavariablealeatoriacorrespondientea encontrar lalíneadesocupada,enotraspalabras,que entre lallamada. Entonces X sedistribuyegeométricamentecon p=0.02.

02.098.0)02.0;( 1 ⋅= − x xg



88

Entonces: 0167,002.098.0)02.0;10()10( 9 =⋅=== g X P b. ¿Cuáleslaprobabilidaddequeseanecesariollamarmásdecincoveces

parahallardesocupadalalínea?

8836,0)0184,00188,00192,00196,00200,00204,0(1)5(

02.098.01)5(1)5(5

0

1

=+++++−=>

⋅−=≤−=> ∑=

−

X P

X P X Pi

i

c. ¿Cuáleselnúmeropromediode llamadasquedebenhacerseparahallar

desocupadalalínea?

5002.0

1)( === X E X µ llamadas.

2.4.-DISTRIBUCIÓNBINOMIALNEGATIVAEnladistribucióngeométrica,lavariablealeatoriaestabadefinidacomoelnúmerodeensayosBernoullinecesariosparaobtenerelprimer éxito.Supongaahoraquesedeseaconocerelnúmerodeensayos hastaobtener réxitos;enestecasolavariablealeatoriaesdenominadabinomialnegativa.La distribución binomial negativa o distribución de Pascal es unageneralización de la distribución geométrica donde la variable aleatoria X eselnúmerode ensayos Bernoulli efectuados hasta que se tienen réxitos,conunaprobabilidadconstantedeéxito p.Sediceentoncesque X tieneunadistribuciónbinomialnegativaconparámetros pyr =1,2,3,…

...2,1,1

1),;( ++++=⋅⋅

−

−= −

r r r r x pqr

xr p x f

r r x

Algunosautoresdenotanestadistribucióncomo ),;(* r p xb Observequeenelcasoespecialdonder =1, lavariablealeatoriabinomialnegativaseconvierteenunavariablealeatoriageométrica.

Latablasiguienteexpresaladiferenciaentreunavariablealeatoriabinomialyunavariablealeatoriabinomialnegativa.Enestesentido,lavariablealeatoriabinomialnegativaseconsideracomoelopuesto,oelnegativo,deunavariablealeatoriabinomial.



89

Tabla2.2.Comparaciónentreunavariablealeatoriabinomial

yunavariablealeatoriabinomialnegativa

Variablealeatoria Predeterminado Aleatorio

BinomialConteodelnúmerodeéxitosennensayosBernoulli,

Númerototaldeensayos

Númerodeéxitos.

BinomialnegativaConteodelnúmeroseensayosnecesariosparaobtenerr éxitos.

Númerodeéxitos Númerodeensayos.

La media y la varianza de una variable aleatoria binomial negativa X conparámetros pyr son:

22 )()(

p

qr X V

p

r X E X X

⋅==== σ µ

Ejemplo2.7Suponga otra vez el caso del jugador de fútbol del ejemplo 1.4. ¿Cuál es laprobabilidaddequeelquintotiroquelanzaseaprecisamentesutercergol?Sea X elnúmerode tiroslibreshechosporunfutbolistaparaobtenertresgoles.Observeque X esunavariablealeatoriabinomialnegativacon p=0.7yr =3.

33* 7.03.013

1)3,7.0;( ⋅⋅

−

−= − x

x xb

Laprobabilidadpedidaes:

1852,07.03.02

15)5( 32 =⋅⋅

−== X P

Lafuncióndedistribuciónbinomialnegativaacumulada seexpresacomo:

∑=

− ⋅

−

−==≤

x

r i

r r i pq

r

ir p xF x X P

1

1),;()(



90

EJEMPLO2.8SupongaqueXesunavariablealeatoriabinomialnegativaconp=0,2yr=4.

Calcule:

a. LamediadeX. 202.0

4)( === X E X µ

b. 0436,02.08.014

120)20( 4420 =⋅⋅

−

−== − X P

c. 0170,02.08.03

1)6(

6

4

44 =⋅⋅

−=≤ ∑

=

−

i

ii

X P

d. 9830,00170,01)6(1)5( =−=≤−=> X P X P

2.5.DISTRIBUCIÓNHIPERGEOMÉTRICAEn la distribución binomial se veía que el muestreo se hacía con reemplazo,asegurando la independencia de los ensayos y la probabilidad constante.Supóngaseahoraqueelmuestreoessinreemplazo ,casoenelcuallosensayos

nosonindependientes.Sea N elnúmerodeelementosdeunconjuntodeloscuales k sondeterminadoscomoéxitosy N-k comofallas,se trataahoradedeterminar laprobabilidad de xéxitosennensayosdelos N elementosdelconjuntodonde N k ≤ y N n ≤ .Seatambién la variable aleatoria X el númerode éxitosen la muestra. Entonces, X tiene una distribución hipergeométrica y su función de distribución deprobabilidadestádadapor:

),(,...2,1,0),,;( nk mín x

n

N xn

k N

x

k

nk N x f =

−

−

=

Laexpresiónmín(k,n)correspondealvalormenorentreeltamañodelamuestrak y el número máximo de éxitos que puede presentarse en la muestra n. Ladistribuciónhipergeométricasueleexpresarsecomo ),,;( nk N xh .



91

Lafuncióndedistribuciónhipergeométricaacumulada seexpresacomo:

∑=

−

−

==≤ x

i

n

N

in

k N

i

k

nk N xF x X P0

),,;()(

Eláreadondemásaplicacionestieneladistribuciónhipergeométricaeselcontrolestadístico de calidad y la aceptación de muestreo, el siguiente ejemplo esmuestradeello.

EJEMPLO2.9Un lote de 75 quesos contiene cinco en los que la variabilidad de su peso esinaceptable.Setomaunamuestraalazarde10quesos,sinreemplazo.Determinelassiguientesprobabilidades.Antesdeiniciarconelcálculodelasprobabilidades,sedebeidentificareltipodevariablealeatoriaqueintervieneenelproblemaysusrespectivosparámetros.Sea X elnúmerodequesosinaceptablesenunamuestrade10,tomadosdeunlotede75quesosdeloscuales5soninaceptables.Estoes, X esunavariablealeatoriahipergeométrica con parámetros N =75, k =5 y n=10 y su distribución de

probabilidades:

−

=

10

75

10

705

)10,5,75;( x x

xh

a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los quesos inaceptables se

encuentrenelamuestra?

4786,0

10

75

10

70

0

5

)0( =

== X P

b. ¿Cuáleslaprobabilidaddequealmenosunodelosquesosinaceptables

seencuentreenlamuestra?



92

8709,03923,04786,0

10

75

9

70

1

5

10

75

10

70

0

5

)1()0()1( =+=

+

=+=≤ F F X P

c. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los quesos

inaceptablesseencuentreenlamuestra?

3923,0

10

75

9

70

1

5

)1( =

== X P

La media y la varianza de una variable aleatoria hipergeométrica X conparámetros N,k ynson:

N

k N

pq y N

k

pdonde

N

n N npq X V np X E X X

−

=−==

−

−⋅====

1

1)()( 2σ µ

Observequeelvalordelamediaparaunavariablealeatoriahipergeométricaessimilaralresultadocorrespondienteaunavariablealeatoriabinomial.Además,el

valordesuvarianzadifiereentreambasdistribucionesporelfactor:1−

−

N

n N ,quese

conocecomofactordecorreccióndepoblaciónfinita .Estacorrecciónsehacesobre la varianza binomial debido a que el muestreo en la distribuciónhipergeométricaessinreemplazo deunconjuntofinitodetamaño N .

Sinespequeñorespectoa N ,entonceslacorrecciónespequeñayladistribuciónhipergeométrica es similar a la binomial. De esta forma, la distribuciónhipergeométricatiendealabinomialconformeelcocientede n/N sevuelvemáspequeño.Demanerageneral,lafuncióndeprobabilidadbinomialaproximarádemaneraadecuadaaladistribucióndeprobabilidadhipergeométricasisetienequen<0,1N .



93

EJEMPLO2.10Un fabricante asegura que sólo el 1% de su producción total se encuentra

defectuosa. De un lote de 1000 artículos y se seleccionan 25 al azar parainspeccionarlos.Siloqueafirmaelfabricanteescierto,¿cuáleslaprobabilidaddeobservardosomásartículosdefectuososenlamuestra?Sea X elnúmerodeartículosdefectuososdeunamuestrade25,tomadosdeunlotede1000con10 artículos defectuosos.Entonces X esunavariablealeatoriahipergeométrica con parámetros N =1000, k =10 y n=25. Dado que el cocienten/N =0,025<0,1 puede emplearse la distribución binomial para aproximar laprobabilidaddeseada.

0258,0)1964,07778,0(1)2(

99.001.01

2599.001.0

0

251)2(

)25,01.0;1(1)1(1)2(

24250

=+−=≥

⋅⋅

+⋅⋅

−=≥

−=≤−=≥

X P

X P

F X P X P b

DondeF besladistribución

Comoseve,laprobabilidaddetenerdosomásartículosenelloteesdemasiadopequeña.Estoquieredecirquesedeberechazarellotesiseencuentranmásdedos artículos defectuosos, pues habría serias dudas de que el fabricante estédiciendolaverdadfrenteasuproducción.

2.6.DISTRIBUCIÓNPOISSONEstaesotradistribucióndeprobabilidaddiscretaútilenlaquelavariablealeatoriarepresenta el número de eventos independientes que ocurren a una velocidadconstante. La distribución de Poisson, llamada así en honor a Simeón DenisPoisson probabilista francés que fue el primero en describirla, es el principalmodelode probabilidadempleado para analizarproblemasde líneasdeespera,confiabilidadycontroldecalidad;comoelnúmerodepersonasquelleganaunlugardeterminadoenuntiempodefinido,losdefectosenpiezassimilaresparaelmaterial,elnúmerodebacteriasenuncultivo,elnúmerodegolesanotadosenun

partidodefútbol,elnúmerodefallasdeunamáquinaenunahoraoenundía,lacantidad de vehículos que transitan por una autopista, el número de llamadastelefónicas por minuto, etc. Como se puede observar se trata de hallar laprobabilidaddeocurrenciadecualquiernúmeroporunidaddemedición(temporaloespacial).Dado un intervalo de números reales, si éste puede dividirse en subintervalossuficientementepequeños,talesque:



94

(1) La probabilidad de másdeunacierto en un subintervalo es cero oinsignificante.

(2) La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo es la mismaparatodoslossubintervalos,yesproporcionalalalongituddeestos.

(3) Elconteodeocurrenciasencadasubintervaloesindependientedeldelosdemássubintervalos.entonceselexperimentoaleatoriorecibeelnombrede procesoPoisson o flujodeprocesosdePoisson .Un proceso Poisson constituye un mecanismo físico aleatorio en el cual loseventosocurrenalazarenunaescaladetiempo(odedistancia).Porejemplo,laocurrencia de accidentes en un cruce específico de una carretera sigue dichoproceso.Caberecordarquenoesposiblepredecirconexactitudlacantidaddeaccidentes que pueden ocurrir en determinado intervalo de tiempo, pero sí elpatróndelosaccidentesengrannúmerodedichosintervalos.

DadounprocesoPoissondonde λeselnúmeropromediodeocurrenciasenelintervalo de números reales donde este se define, la variable aleatoria X correspondiente al número de ocurrencias en el intervalo es llamada variablealeatoriaPoisson ysufuncióndeprobabilidadestádadapor:

0,...2,1,0!

);( >==−

λ λ

λ λ

x x

e x f

x

LadistribuciónPoissonrepresentalaprobabilidaddequeuneventoaisladoocurra

unnúmeroespecíficodevecesenunintervalodetiempo(ounespacio)dado,alfijarse la tasa de acontecimientos en un continuo temporal (o espacial). Suparámetroes λ,elnúmeropromediodeocurrenciasdelexperimentoaleatorio.En

muchoscasossedenotacomo );( λ x℘ .

LaprobabilidaddequeunavariablealeatoriaPoisson X seamenoroigualaunvalorde xsedeterminaporlafuncióndedistribuciónacumulada:

∑=

−

==≤ x

i

i

i

e xF x X P

0 !);()(

λ λ

λ

LadistribuciónPoissonsehatabuladodemaneraparadistintosvaloresde λ.Enla tabla A.2. del anexo A, se proporcionan las probabilidades acumuladas paradistintosvaloresdelparámetro λ.Elprocedimientoparasucálculoessimilaralseguido en el cálculo de probabilidades acumuladas de variables aleatoriasbinomiales,

(1)Localiceelvalorde λ,indicadoenlaprimerafiladelatabla.(2)Identifiquelacolumnadenúmerosqueseobtienendelpaso(1).(3)Ubiqueelvalorcorrespondientede xenlaprimeracolumna.



95

(4)Hagacoincidirocruzarlafilaqueobtuvoenelpaso(3)conlacolumnadelpaso(1)paraobtenerelvalordelaprobabilidadacumuladadeseada.

Sepuedehacerusodeestatablaparadeterminarlasprobabilidadesindividuales

puesto que la variable aleatoria Poisson tiene un valor entero y se aplica lapropiedad:

);1();();( λ λ λ −−=℘ xF xF x El número promedio de ocurrencias de un evento por unidad de tiempo (o deespacio)eslamediadelavariablealeatoriaPoissonysedefinecomo:

λ µ == )( X E X Yladesviaciónestándarresultaser: λ σ == )(2 X V X

EJEMPLO2.11Un equipo de fútbol, en un campeonato local, lleva un promedio de 2,5 golesanotados.Calculelaprobabilidaddequeenunpartidocualquieraelequipohaga:a. cuatrogoles.b. entre4y6golesinclusive.c. nomásdetresgoles.d. ningúngol.e. porlomenostresgoles.

Sea X elnúmerodegolesporpartidodefútboljugadoanotadosporunequipo.Entonces X sedistribuyecomounaPoissonconparámetro λ=2.5.

!

5.2)5.2;(

5.2

x

e x

x−

=℘

HaciendousodelastablasdeprobabilidadesacumuladasdePoisson,seobtiene:

a. 1336,07576,08912,0)5.2;3()5.2;4()5.2;()5.2;()4(3

0

4

0

=−=−=℘−℘== ∑∑==

F F x x X P x x

b.

2282,07576,09858,0)5.2;3()5.2;6(

)5.2;()5.2;()5.2;()64(

3

0

6

0

6

4

=−=−=

℘−℘=℘=≤≤ ∑∑∑ ===

F F

x x x X P x x x

c. 7576,0)5.2;3()3( ==≤ F X P



96

d. 0821,0)5.2;0()5.2;()0(0

0

==℘== ∑=

F x X P x

e. 4562,05438,01)5.2;2(1)5.2;(1)3(

2

0=−=−=℘−=≥ ∑= F x X P

x

2.6.1. DistribuciónPoissoncomoaproximaciónaladistribuciónbinomialLa distribución Poisson ofrece una aproximación excelente a la función deprobabilidadbinomialcuandolaprobabilidad pdetenerunéxitoespequeñayeltamañondelamuestraesgrande.Podríadecirsequesetieneunaaproximaciónmuy satisfactoria cuando 20≥n y 05.0≤n y tal aproximación se incrementa amedidaquedisminuye p.Esteresultadoseobtienemedianteelsiguienteteorema.

SeaXunavariablealeatoriacondistribuciónbinomialyfuncióndeprobabilidad:

xn x q p x

nn p xb

−⋅⋅

=),;(

Si para n = 1, 2, … la relaciónn

pλ

= es cierta para alguna constante 0>λ ,

entonces:

,...2,1,0!

),;(

0

==−

→

∞→ x

x

e pn xblím

x

p

n

λ λ

Deacuerdoalanteriorteorema,lamediaylavarianzadeladistribuciónbinomiales:

λ === np X V X E )()(

EJEMPLO2.12.Siel1%delasbombillasfabricadasporunaempresasondefectuosas,determinelaprobabilidaddequeenunamuestrade100bombillas3seandefectuosas.Sea X elnúmerodebombillasdefectuosascon p=0.01yn=100,entonces X esuna variable aleatoria binomial que puede aproximarse a una Poisson conparámetro λ=np=(0.01)(100)=1ysufuncióndedistribuciónes:



97

!

1)1;(

1

x

e x

x−

=℘

Laprobabilidaddeencontrar3bombillasdefectuosases:

0613,0

!3

1)3(

31

===−e

X P



98

EJERCICIOSCAPITULODOS1.-Sesabequeel60%delosalumnosdeunauniversidadasistenaclaseseldíaviernes.Enunaencuestaa8alumnosdelauniversidad.¿Cuáleslaprobabilidad

dequea)porlomenossieteasistanaclaseeldíaviernes.b)porlomenosdosnoasistanaclase.2.-Segúnlosregistrosuniversitariosfracasael5%delosalumnosdeciertocurso.¿cuáleslaprobabilidaddequede6estudiantesseleccionadosalazar,menosde3hayanfracasado?3.- En promedio, el 10% de las varillas de madera usadas en cierto productopresentan problemas para ser usadas. ¿cuál es la probabilidad de que en unpaquetede15varillas,a)encuentreexactamente5condefectos.b)porlomenos10esténnudosas,c)nomasde4esténnudosas.

4.-Unacompañíadesegurosconsideraquealrededordel25%deloscarrosseaccidentan cada año. Cual es la probabilidad de que por lo menos 3 de unamuestrade7vehículosasegurados,sehayaaccidentado?5.-Losregistrosmuestranque30%delospacientesadmitidosenunaclínica,nopagansusfacturasyeventualmentesecondonaladeuda.Supongaquellegan4nuevos pacientes a la clínica, cual es la probabilidad de que se tenga queperdonar la deuda de uno de los cuatro. B) los cuatro pacientes paguen susfacturas.

6.- El conmutador de un hospital recibe en promedio 20 llamadas cada dosminutos.Cualeslaprobabilidaddequelleguencomomáximodosllamadasenunperiodode15segundos.7.-Losclienteslleganaunaexhibiciónarazónde6,8clientes/horaCalculelaprobabilidaddequea)enlaprimeramediahoraporlomenoslleguendosclientes;b)encualquierhoradadalleguemasdeuno.8.-Elnumeropromediodeurgenciasquellegaaunhospitalenunahoraesde12.Cualeslaprobabilidaddequeenunminutolleguenporlomenos2urgencias.Cualeselnumerodeurgenciasesperadoporminuto?

9.- Las estadísticas indican que en una fabrica se presentan en promedio 10accidentesportrimestre.Determinelaprobabilidaddequenohayamasde12accidentesenelúltimotrimestre.10.-Elnumerodepersonasqueingresanalaunidaddecuidadosintensivosdeunhospitalenundíacualquiera,esde5personasdiarias.Cualeslaprobabilidadde



99

queelnumerodepersonasqueingresanalaunidaddecuidadosintensivosenundíaparticularseamenoroiguala2personas?11.-Unjefedealmacénsabeque6delas25bicicletasquetieneparalaventa

presentan fallas en los frenos y necesitan ajuste. Si el vendedor que no teníaconocimientodeloanteriorvendióeneldía4bicicletas,¿cuáleslaprobabilidaddequevendieradosdelasquerequeríanajuste12.-Deungrupode20ingenieroscondoctorado,seseleccionan10paraunaltocargo de una compañía. Cual es la probabilidad de que los 10 seleccionadosincluyaalos5ingenierosquetienenlasmejorescalificacionesdelgrupode20?13.-Unalmacéncontienediezmaquinasimpresoras,cuatrodelascualesestándefectuosas.Unacompañíaseleccionaalazarcincodelasmaquinas,pensandoquetodasestánencondicionesdetrabajar,¿cuáleslaprobabilidaddequelas

cincomaquinasesténenbuenestado?14.- En promedio una casa de cada 2000 en cierta zona de Barranquilla seincendiaduranteelaño,sihay6000casasendichazona¿Cuáleslaprobabilidaddequemasde3casasseincendienduranteelaño?15.-Laprobabilidaddequeunestudiantedeaviaciónpaselapruebaescritaparaobtenersulicenciadepilotoprivadoesde0.7.encuentrelaprobabilidaddequeunapersonapaselapruebaantesdelcuartointento.16.- La experiencia mostró que en promedio, solamente uno de diez pozos

perforadosllegaaproducirpetróleo.Cualeslaprobabilidaddequenecesiteochoperforacionesparaencontrarpetróleo.17.- En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidadesterminadasqueprovienendeunalíneadeensamble.Sepiensaquelaproporcióndeunidadesdefectuosasesde0.05.Cuales laprobabilidaddequela vigésimaunidadinspeccionadasealasegundaqueseencuentredefectuosa?



100

CAPITULOTRESDISTRIBUCIONESDEPROBABILIDADCONTINUA

3.1.DISTRIBUCIONUNIFORMESedicequeunavariableX poseeunadistribuciónuniformeenelintervalo[a ,b ],

sisufuncióndedensidadeslasiguiente:

Con esta ley de probabilidad, la probabilidad de que al hacer un experimentoaleatorio,elvalordeX estecomprendidoenciertosubintervalode[a ,b ]dependeúnicamentedelalongituddelmismo,nodesuposición.

Teniendoencuentaquesi ,

lafuncióndedistribuciónde es:



101

Figura3.1FuncióndeProbabilidadydeDistribucióndelaVariableUniformeContinua

Elvaloresperadosepuededefinir:

Lavarianza:

Ejemplo3.1:

El volumen de precipitaciones estimado para el próximo año en la ciudad de

Bucaramangava aoscilarentre400y 500litrospormetrocuadrado.Calcularlafuncióndedistribuciónylaprecipitaciónmediaesperada:

Esdecir,queelvolumendeprecipitacionesestéentre400y401litrostieneun1%deprobabilidades;queestéentre401y402litros,otro1%,etc.



102

Elvalormedioesperadoes:

Esdecir,laprecipitaciónmediaestimadaenBucaramangaparaelpróximoañoesde450litros.

3.2.DISTRIBUCIONNORMALOGAUSSIANA

Esel modelodedistribuciónmásutilizadoenlapráctica,yaquemultituddefenómenossecomportansegúnunadistribuciónnormal.

Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando unacampanadeGauss,entornoaunvalorcentralquecoincideconelvalormediodeladistribución:

Figura3.2Funcióndedensidaddeunavariablealeatoriadedistribuciónnormal

Ladistribucióngaussiana ,recibetambiénelnombrededistribuciónnormal ,yaqueuna gran mayoría de las variables aleatorias continuas de la naturaleza siguenesta distribución. Se dice que una variable aleatoriaX sigue una distribuciónnormalsisufuncióndedensidades:

Estadistribuciónvienedefinidapordosparámetros:X:N(µ,σσσσ2)



103

µ:eselvalormediodeladistribuciónyesprecisamentedondesesitúaelcentro

delacurva(delacampanadeGauss).σσσσ

2:eslavarianza.Indicasilosvaloresestánmásomenosalejadosdelvalorcentral:silavarianzaesbajalosvaloresestánpróximosalamedia;siesalta,entonceslosvaloresestánmuyalejadosdeella.Serepresentapor σσσσ2porquesuraizcuadrada,σσσσ,esladenominadadesviaciónestandar.

3.2.1DistribuciónnormalestándarotipificadaCuandolamediadeladistribuciónnormales0ylavarianzaes1,sedenomina"normaltipificada",ysuventajaresideenquehaytablas,orutinasdecálculo

que permiten obtener esos mismos valores, donde se recoge la probabilidadacumuladaparacadapuntodelacurvadeestadistribución.

Además, toda distribución normal se puede transformar en una normaltipificada:

Enelcasodequetengamosunadistribucióndiferente,

seobtieneZ haciendoelsiguientecambio:

Ladistribuciónnormaltipificada tienelaventaja,comoyahemosindicado,dequelasprobabilidadesparacadavalordelacurvaseencuentranrecogidasenunatabla.(VertablacompletaenelarchivoanexodeTablasestadísticas)

X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5723

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7090 0,7224



104

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7813 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8416 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,86211,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169

2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574

2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899

2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158

2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361

2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520

2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643

2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736

2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807

2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861

¿Cómoseleeestatabla?

Lacolumnadelaizquierdaindicaelvalorcuyaprobabilidadacumuladaqueremosconocer. La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamosconsultando.

Ejemplo3.2.Queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 2,75. Entoncesbuscamosenlacolumnadelaizquierdaelvalor2,7yenlaprimerafilaelvalor

0,05.Lacasillaenlaqueseinterceptanessuprobabilidadacumulada(0,99702,esdecir99.7%).

Atención:latablanosdalaprobabilidadacumulada,esdecir,laquevadesdeelinicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor. No nos da la probabilidadconcreta enesepunto.En una distribucióncontinuaen elque lavariable puede



105

tomar infinitos valores, la probabilidad en un punto concreto es prácticamentedespreciable.

Ejemplo3.3.Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5. Laprobabilidaddequetomeexactamenteelvalor2esdespreciable,yaquepodríatomarinfinitosvalores:porejemplo:1,99,1,994,1,9967,1,9998,1999791,etc.Veamosotrosejemplos:a.-Probabilidadacumuladaenelvalor0,67:larespuestaes0,7486

b.-Probabilidadacumuladaenelvalor1,35:larespuestaes0,9115

c,-Probabilidadacumuladaenelvalor2,19:larespuestaes0,98574

Veamosahora,comopodemosutilizarestatablaconunadistribuciónnormal:

Ejemplo3.4.El salario medio de los empleados de una empresa se distribuye según unadistribuciónnormal,conmedia$500.000.ydesviacióntípica$100.000Calcularelporcentajedeempleadosconunsueldoinferiora$700.000

Solución:

Loprimeroqueharemosestransformaresadistribuciónenunanormaltipificada,paraellosecreaunanuevavariable(Z)queseráigualalaanterior(X)menossumediaydivididaporladesviacióntípica

000.100

000.500000.700 −= Z

Estanuevavariablesedistribuyecomounanormaltipificada.LavariableZque

correspondeaunavariableXdevalor700.000es:2= Z

Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2(equivalentealaprobabilidaddesueldosinferioresa$700.000.).Estaprobabilidades0,97725



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Porlotanto,elporcentajedeempleadosconsalariosinferioresa$700.000esdel97,725%.

EJEMPLO3.5.

Larentamediadeloshabitantesdeunpaísesde4millonesdepesos/año,conunavarianzade1,5.Sesuponequesedistribuyesegúnunadistribuciónnormal.CalcularelPorcentajedelapoblaciónconunarentainferiora3millonesdepesos.

Solución:

Loprimeroquetenemosquehacerescalcularlanormaltipificada:

5.1

43−= Z

Recordemos que el denominador es la desviación típica ( raíz cuadrada de lavarianza)

ElvalordeZequivalentea3millonesdepesoses-0,816.

P(X<3)=P(Z<-0,816)

Ahora tenemos que ver cuál es la probabilidad acumulada hasta esevalor.Tenemos un problema: la tabla de probabilidades sólo abarca valorespositivos, no obstante, este problema tiene fácil solución, ya que la distribuciónnormalessimétricarespectoalvalormedio.

Porlotanto:

P(Z<-0,816)=P(Z>0,816)

Por otraparte, la probabilidad quehay a partirdeun valor es igual a 1 (100%)menoslaprobabilidadacumuladahastadichovalor:

P(Z>0,816)=1-P(Z<0,816)=1-0,7925=0,2075

Luego,el20,75%delapoblacióntieneunarentainferiora3millonespesos.

EJEMPLO3.6



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Lavidamediade loshabitantesdeunpaísesde68años,conunavarianzade25.Sehaceunestudioenunapequeñaciudadde10.000habitantes:a)¿Cuántaspersonassuperaránprevisiblementelos75años?b)¿Cuántosviviránmenosde60años?

Solución:a)¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años? Calculamos elvalordelanormaltipificadaequivalentea75años

P(X>75)=P(Z>1,4)=1-P(Z<1,4)=1-0,9192=0,0808

Luego,el8,08%delapoblación(808habitantes)viviránmásde75años.

b)Personasquevivirán(previsiblemente)menosde60años.Calculamoselvalordelanormaltipificadaequivalentea60años

P(X<60)=P(Z<-1,6)=P(Z>1,6)=1-P(Z<1,6)=0,0548

Luego, el 5,48% de la población (548 habitantes) no llegarán probablemente aestaedad.

EJEMPLO3.7

La vida media de una lámpara, según el fabricante, es de 68 meses, con unadesviacióntípicade5.SesuponequesedistribuyesegúnunadistribuciónnormalEnunlotede10.000lámparas.a)¿Cuántaslámparassuperaránprevisiblemente

los75meses?.b)¿Cuántoslámparasseestropearánantesde60meses?

Solución:

Z=(75-68)/5=1,4

P(X>75)=P(Z>1,4)=1-P(Z≤1,4)=1-0,9192=0,0808

Luego,el8,08%delaslámparas(808lámparas)superaránlos75meses

b)Z=(60-68)/5=-1,6

P(X≤60)=P(Z≤-1,6)=P(Z>1,6)=1-P(Z≤1,6)=0,0548

Luego,el5,48%dellote(548lámparas)nollegaránprobablementeadurar60meses



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Ejemplo3.8

Elconsumomediobimestraldeenergíaeléctricaenunaciudadesde59Kwh.,con una desviación típica de 6 Kwh. Se supone que se distribuye según una

distribuciónnormal.a)¿CuántosKwh.tendríaqueconsumirbimestralmenteparapertenecer al 5% de la población que más consume?. b) Si ustedconsume 45Kwh.¿qué%delapoblaciónconsumemenosqueusted?

Solución:

a) Buscamos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidadacumulada esel 0,95 (95%), por lo que por arribaestaría el 5% restante. EstevalorcorrespondeaZ=1,645.AhoracalculamoslavariablenormalXequivalenteaesevalordelanormaltipificada:

1,645=(X-59)/6X=67,87

Porlotanto,tendríaustedqueconsumirmásde67,87Kwh.bimestralmenteparaperteneceral5%delapoblaciónquemásconsume

b)Vamosaverenqueniveldelapoblaciónsesituaríaustedenfuncióndelos45Kwh.consumidos.

Calculamoselvalordelanormaltipificadacorrespondientea45Kwh.

Z=(45-59)/9=-2.333

P(X≤45)=P(Z≤-2,333)=P(Z>2,333)=1-P(Z≤2,333)=1-0,9901=0,0099

Luego,tansóloun1,39%delapoblaciónconsumemenosqueusted



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EJERCICIOSCAPITULO3

1.-Unamaquinaautomáticaconfuncionamientoelectrónicohacepernosde3/8depulgadaloscualesdebentenerunalongitudde3pulgadas.Sienrealidadlas

longitudesdelospernosde3/8sedistribuyenuniformeenelintervalo(2,5:3,5)pulgadas¿Cuáleslaprobabilidaddequeunodelospernoselegidoalazar,deunlotedeterminadotengaunalongitudde:a.-esteentre2.75y3.25pulgadasb.-seamayorde3.25pulgadasc.-seaexactamenteiguala3pulgadas2.-Unaempresadeproductosdehulefabricapelotasesféricasdehulebaratas,cuyosdiámetrososcilanentre4 y8 cm.Supongaqueeldiámetrodeunapelotaelegidaalazaresunavariablealeatoriaquesedistribuyedemodouniformeentredichosvalores.¿Cuáleselvaloresperadodelvolumendeunapelota?

3.-Elpesodeunbebereciénnacidoenunpaísesunavariablealeatoriacontinuaquesigueunadistribuciónnormal,conmedia3.2kgydesviacióntípicade0.4kg.Determineelporcentajedebebesreciénnacidosquepesan3.5kgomas.4.- Un número considerable de muestras aleatorias de leche parcialmentedescremadafueron



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modulo_estadistica_compleja

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