moms lecture 11

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 1/42

Б.Оюун - Эрдэнэ /магистр/



• Нэгэн туршилтын хувьд холбоотойсанамсаргүй хэмжигдэхүүнийг X гэе.

• Энэхүү туршилтыг n удаа давтан явуулья . k- ртуршилттай холбоотой санамсаргүйхэмжигдэхүүнийг X k гэе .

Санамсаргүй түүвэр



Санамсаргүй түүвэр

• { X 1, X 2, …, X n} санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийнолонлогийг n хэмжээтэй санамсаргүй түүвэр гэнэ.

• X 1, X 2, …, X n санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ньхоорондоо үл хамаарах бөгөөд f (x) нягтын функцбүхий нэгэн ижилхэн тархалттай (iid түүвэр ) байна .(iid - independent identically distributed )



Шоог 2 удаа хаясан. Үл хамаарах 2 туршилт явагдах тул X 1, X 2 санамсаргүй

хэмжигдэхүүнүүд холбогдон гарч ирнэ.• Эхний хаялтын үр дүн X 1 с/х

• Хоёр дахь хаялтын үр дүн X 2 с/х Магадлалын нягтын функц нь дараах хэлбэртэй бичигдэнэ.

{ X 1, X 2} санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн олонлогийг 2 хэмжээст

санамсаргүй түүвэ р гэнэ.

Жишээ -1.

6,....,2,1,6

11

x x f

6,....,2,1,

6

12

x x f



• X 1, X 2 санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь хоорондоо үлхамаарах бөгөөд нягтын функц бүхий нэгэнижилхэн тархалттай байна .

• Ө.х шооны 2 удаагийн хаялтын үр дүн нь{1,2,3,4,5,6 } эгэл үзэгдлийн огторгуйтай, ижилтархалтай олонлогоос олж авсан n=2 хэмжээтсанамсаргүй түүвэр юм.

Жишээ -1.

61

x f

61

x f



Хамтын магадлалын нягтын функц

X 1, X 2, …, X n нь n хэмжээт санамсаргүй түүвэр. X 1, X 2, …, X n нь үл хамаарах с/х -үүд бөгөөд f (x) нягтынфункц бүхий нэгэн ижил тархалттай бол

X 1, X 2, …, X n хамтын магадлалын нягтын функц нь

болно. n x f x f x f

21



Шооны 2 удаагийн хаялтын үр дүн X 1 , X 2 үл хамаарахс/х -үүд бөгөөд ижил тархалттай тул хамтынмагадлалын нягтын функц

болно.

Жишээ -1.

6,....2,1;6,.....2,1361

61

61

2121 x x x f x f



Теором -1.

X 1, X 2, …, X n үл хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бөгөөд хамтын магадлалын нягтынфункц нь .

санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын функц бол Y-н хүлээгдэж буйУтга :

Дискрет с/х -ий хувьд :

Тасралтгүй с/х -ий хувьд нийлбэрийн тэмдэгүүдийноронд интегралууд орлуулан тавина.

n x f x f x f 21

n X ,... X , X uY 21

y g

, x f x f x f x ,... x , xu y yg Y E y x x xnnn

n 1 2

221121



Теором -2.

X 1, X 2, …, X n үл хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ба .

Хэрэв оршин байвал

nn X u X u X uY 2211

ni X u E ii ,...,2,1)],([

nn

nn

X u E X u E X u E

X u X u X u E Y E

2211

2211



Хэрэв нь харгалзан 1, 2 , …, nдундаж, 2

1, 2 2 ,…, 2

n дисперстэй харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бол

байх Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикдундаж болон дисперс нь:

n X X X ,...,, 21

),...,,( 211 тогтмолуудaaa X aY n

n

iii

n

iiiY

n

iiiY aa

1

222

1

Теором -3.



Шооны 2 удаагийн хаялтын үр дүн X1, X 2 нь f (x)=1/6

ижил тархалтын n=2 хэмжээт санамсаргүй түүвэр юм. Хоёр үл хамаарах с/х -ий хувьд холбогдохүзүүлэлтүүдийг тооцъё.

536

121 . x xf X E X E x

1235

536

1

221

x

x f . x X Var X Var

251253532121 ... X E X E X X E

053535353 2121 . X E . X E . X . X E

Жишээ -1.



21 X X Y 7535321 .. X E X E Y E

.6

3512352

02

5.35.35.325.35.35.37

21

2221

21

221

221

X Var X Var

X E X X E X E X X E X X E Y Var

Жишээ -1.



с/х -ий магадлалын нягтын функц y g

12432 ,........, , ,Y

.................................

, X , X эсвэл X , X эсвэл X , X P g

, X , X эсвэл X , X P g

, f f X , X P g

3631322314

362

61

61

61

61

12213

361

61

61

11112

212121

2121

21

Жишээ -1.

21 X X Y



y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

g(y)361

362

365

363

365

364

366

364

363

362

361

Y –н тархалтын хууль :

712

2 y

y yg Y E

, y g yY Var y 6

35712

2

2

Жишээ -1.



Теорем -4.

• Хэрэв нь байххарилцан хамааралгүй санамсаргүйхэмжигдэхүүнүүд бол

санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь Y дундаж , 2Y

дисперс бүхий хэвийн тархалттай байна.

n X X X ,...,, 21 ),(~ 2iii N X

n

iii X aY

1

n

iiiY a

1

2

1

22i

n

ii X a



Санамсаргүй түүврийн дундаж

µ математик дундажтай, 2

дисперстэй тархалтын X 1, X 2, …, X n санамсаргүй түүврийн дундаж нь

бөгөөд нь с/х -үүдээс хамаарсаншугаман функц юм.

n X ... X X

X n 21

X

n X ,..., X , X u X 21

n X ,..., X , X 21



нь дундаж, 2 дисперс бүхий хэвийнтархалттай эх олонлогоос n хэмжээтэйгээр авсансанамсаргүй түүвэр бол түүврийн дундаж нь

дундаж, 2/n дисперс бүхий хэвийн тархалттай

санамсаргүй хэмжигдэхүүн болно.

n X X X ,...,, 21

X

Теорем -5.

),(~2

n N X

),(~ 2

N X



Гаргалгаа

• Түүврийн дунджийн математик дундаж нь:

.1)(1)(11

n

i

n

ii n X E n X E



• Түүврийн дунджийн дисперс нь:

nn

n

n X

n

n

X X X X

n

i

n

ii

n

22

2

1

22

1

22

2122

1

11

...)(

Гаргалгаа



Жишээ -2.

нь =50, 2 =16 байх хэвийнтархалттай олонлогоос авсан санамсаргүйтүүвэр бол,

6421 ,...,, X X X

?)5149( X P

?)5149( 8 X P



учраас N X )16,50(~8

1974.04013.05987.04

1

4

1

45051

45049

)5149( 8

Z P

Z P

X P

Жишээ -2.



)6416,50(~ N X

9544.0

22

6416

5051

6416

5049

)5149(

Z P Z P

X P

Жишээ -2.



Их тооны хууль

Гол санаа нь :• Хэрэв X 1, X 2, …, X n нь дундажтай Х эх

олонлогоос авсан n хэмжээтэй санамсаргүй түүвэр бол түүврийн хэмжээ n маш их үед түүврийн дундаж нь эх олонлогийн математик дундаж -аас маш багаар хазайдаг .

• Өөрөөр хэлбэл, түүврийн хэмжээ ихсэх тусам

түүврийн дундаж нь эх олонлогийн дундаж -рүү магадлалаараа нийлнэ .



Их тооны “сул” хуулийн теоремууд

Теором -1. Марковын тэнцэтгэл биш X нь E(X) дундажтай, сөрөг биш санамсаргүйхэмжигдэхүүн бол с /х-ий боломжит утгууд ямар

нэг их тоо a -аас их байх магадлал нь тухайнс /х-ий математик дунджийг тэр эерэг, их а тоонд харьцуулсан харьцаанаас хэтрэхгүйбайна.

0 a ,a X E a X P



С/x-ий боломжит утгуудыг өсөх эрэмбээрбайрлуулъя.

С/x-ий боломжит утгуудын илрэх магадлал :

25

n x x x x X ....,0 321

ii p X X P ni ,1

Баталгаа :



Х c/x- ий математик дунджийг тооцвол :

нөхцөл биелэгдэнэ. 26

nnk k k k p x... p x p x.... p x X E 1111

000 X E p , X i

X E p x... p x p x nnk k k k 2211



гэсэн а -аас их

утгуудыг эерэга

тоогоор солъё. Тэгвэл

27

nk k k x x x x ,,,,, 321

X E p... p pa nk k 21

a X E

p... p p nk k 21



гэж санавал :

байх магадлал :

28

a x , , , x , x , x nk k k 321

a X

a

X E

a X P



Теором -2. Чебышевийн тэнцэтгэл биш Х нь дундаж, 2 төгсгөлөг дисперстэйсанамсаргүй хэмжигдэхүүн байг. Тэгвэл,дурын эерэг тоо -ийн хувьд

тэнцэтгэл биш хүчинтэй.

29

2

2

X P



Магадлалыг тодорхойлж байгаа нөхцлийн 2талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлье.

30

22

X

Баталгаа :



авч үзвэл Марковын тэнцэтгэл бишбиелэгдэж байна.

Ө.х эерэг байна.

31

22 X P

2 X



32

2

222

X E

X P

2

222

X P

22 X

X

2

2

X P



33

2

2

1

X P

Чебышевийн тэнцэтгэл бишийн

нөгөө хувилбар :



нь =E ( X i), 2= 2( x i)

(i=1,2,… ) бүхий хоорондоо хамааралгүй,

нэгэн ижил тархалттай санамсаргүйхэмжигдэхүүнүүдийн дараалал гэвэл

,..., 21 X X

, X P lim nn

0 n

X X X энд n

n ...1

1 nn

X P lim

Теором -3. Их тооны “сул” хууль

ε -дурын эерэг тоо



Теором -5- д байсан.

Чебышевийн тэнцэтгэл бишийн дагуу

хязгаар авахад

Баталгаа : , n X E

n

X Var n

2

,2

n

nn X Var

X E X P

2

2

n X P n

0

n

2

2

limlim

n X P n

nn

0lim nn

X P



Теором -4. Бернуллийн хууль

нь p магадлал бүхийБернуллийн тархалттай, хоорондоохамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийндараалал бол

,..., 21 X X

1lim p X P nn

n X X X энд n

n ...1



нь =E ( X i ), 2= 2( x i) ( i =1,2,… )

бүхий хоорондоо хамааралгүй, нэгэн ижилтархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийндараалал гэвэл

,..., 21 X X

1lim

nn

X P

n X X

X энд nn

...1

Теором -5. Их тооны “хүчтэй” хууль



Теором -6. Төвийн хязгаарын теором

төгсгөлөг математик дундаж , 2 төгсгөлөгдисперстэй тархалтаас авсанхангалттай их (n→∞) хэмжээтэй санамсаргүй түүврийн

дундаж бол

хэмжигдэхүүн нь тархалттай байна. (Энд : түүврийн хэмжээ хангалттай их (n→∞) гэсэн хязгаарлалт тавигдаж

байна. )

n X X X ,...,, 21

X

n /

X Z n

10 , N



Төвийн хязгаарын теором

Түүврийн хэмжээ (түүврийн нэгж ) хангалттай их тохиолдолд түүврийн дунджийн тархалт нь хэвийн тархалт руу дөхдөг. Энэ нь түүврийг

бүрдүүлсэн эх олонлогийнх нь тархалтын хэлбэр ямар байхаас хамаарахгүйгээр үнэн байдаг .



• Гэтэл түүврийн ямар хэмжээг хангалттай их гэж үзэхвэ ?

Төвийн хязгаарын теором



Хэрвээ түүврийн хэмжээ хамгийн багадаа30 бол ихэнх эх олонлогийн тархалтынхувьд түүврийн дунджийн тархалт ньхэвийнтэй ойролцоо тархалттай байдаг.

Хэрэв эх олонлогийн тархалт нь бараг тэгшхэмтэй байгаад түүврийн хэмжээ нь хамгийн

багадаа 15 байхад түүврийн дунджийн тархалтнь хэвийнтэй ойролцоо тархалттай байна.

Хариулт



Төвийн хязгаарынтеорем:

Эх олонлог ньХэвийн, Ижил ,Экспоненциальтархалттайтохиолдолдn=2; 5; 30; хэмжээтэйтүүврүүдийн

дунджийн тархалтууд

moms lecture 11

Documents