ESCUELA NORMAL SUPERIOR ANTONIA SANTOSPUENTE NACIONAL 2008

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Movimiento armónico simple: Movimiento producido por una fuerza recuperadora,

donde la fuerza recuperadora es variable tanto en magnitud como en dirección.

El movimiento armónico simple se manifiesta en un resorte cuando de él se

suspende una masa y se pone a oscilar. El resorte obedece a una ley denominada

ley de Hooke.

LABORATORIO

L.1 OBJETIVO: Establecer el modelo matemático de la Ley de Hooke, a partir de la

experiencia de laboratorio.

Materiales: Tornillo de mesa, nuez doble, pesas, pinzas de bureta, portapesas, triple

decímetro, varilla.

Procedimiento:

1. Medir la masa del portaspesas. Cuelgue el

portapesas y agregue una pesa.

2. Continua agregando pesas, en cada caso

anota el alargamiento del resorte.

Resultados:

Masa

Suspendida

(gramos)

Deformación ( cm)

l = Lf - Li

Peso (fuerza) Newton

P = m.g ( g=9,8 m/s2 )

Cocientes

P/ l

l1 = P1

l2 = P2

l3 = P3

l4 = P4

l5 = P5

3. En el plano cartesiano represente los valores de l contra pesos.

4. Conclusiones a partir de la tabla de datos y de la gráfica.

5. Que alargamiento producirá una masa de 200 gramos?

6. Que peso es necesario para producir un alargamiento de 25 cm?

Ley de Hooke: F = - K.X

ORIENTACION EN EL DESARROLLO DE EJERCICIOS DE APLICACION

E1. Qué fuerza se debe hacer sobre un resorte para deformarlo 20 cm, si sabemos que

al suspender una masa de 2 Kg, sufre una deformación de 45 cm?

Datos: x = 20 cm; m = 2 Kg K = ?

Si x2 = 45 cm = 0,45 m F=?

F = K.X (1) equilibra a P = m.g (2)

Ayuda: K.X = m.g K = m.g/x; a) Halle K b ) Halle F

Preguntas:

1. ¿Cual es el significado del signo - en la ecuación de Hooke?

2. Si tomas un resorte, es posible que determines la constante de elasticidad?

Si la respuesta es afirmativa, indica los pasos a seguir.

E.2 Tomado de exámenes de estado.

Dos láminas delgadas de masas m cada una están sujetas por medio de un

resorte de constante K y longitud natural l. El sistema se coloca entre dos paredes

separadas una longitud L/2 como se indica en la figura. El coeficiente de fricción

estático entre cada una de las láminas y la pared es . El sistema está en

equilibrio. (Nota: Desprecie el efecto de la gravedad sobre el resorte.

2

Las láminas se cambian por otras de igual material pero masas M cada una. El

valor máximo de M para que las láminas no deslicen hacia abajo es

A. B. m. C. D. m

Análisis para determinar la respuesta.

1. Se pregunta sobre la máxima masa que se puede sostener con el resorte como lo

indica la figura. Por lo tanto la unidad de medida de la respuesta debe corresponder a

masa (gr, Kg, lb, onzas,..etc)

2. La unidad de medida de K es N/.m; no tiene unidades, por lo tanto las respuestas A

y C tienen las mismas unidades de medida.

= = Kg

3. Las respuestas B y D por estar en función de m tienen unidad Kg.

Lo anterior no nos permite descartar respuesta alguna.

4. Puesto que existe un reemplazo de las masas iniciales m por las láminas de masa M,

entre las cuales no existe relación, podemos descartar las respuestas B y D.

5. El análisis de los vectores libres correspondientes a las fuerzas que se dan en el

sistema, teniendo en cuenta que se encuentra en equilibrio, es decir que las masa no se

desplazan, basta con resolver el sistema para una sola masa M.

6. fr : Fuerza de rozamiento entre la pared y la lámina.

P : Peso de la lámina.

Luego: . fr = P = M.g fr = M.g, luego .N = M.g despejando N,

Además: F R = N = k.X

Como F R = K.X y x = L/2 entonces: F R = k. L/2

Reemplazando en : N = k. L/2 por igualación de N, tenemos

3

Tenemos: despejando a M, tenemos:

Que corresponde a la respuesta A.

RESORTES UNIDOS EN SERIE Y EN PARALELO

En paralelo

En serie

K = K1 + k2

La constante de elasticidad de un sistema de resortes unidos en serie, de

constantes de elasticidad k1 y k2 está dada por:

K = k1.k2 /(k1 + k2)

Demostración:

x1 = F/k1 x2 = F/k2 luego x1 + x2 = F/k1 + F/k2 , es decir:

x1 + x2 = F/k1 + F/k2

la terminación de la demostración se deja al estudiante.

La constante de elasticidad de un sistema de resortes unidos en paralelo, de constantes

de elasticidad k1 y k2 está dada por:

K = k1 + k2

E.2 Un sistema de resortes, unidos en serie, de constantes de elasticidad k1 =

0,8 N/m y 0,6 N/m se deforma 20 cm. Que fuerza, recuperadora, ejerce el

resorte?

Datos: k1 = 0,8 N/m y 0,6 N/m x= 20 cm. F=?

Solución:

Sabemos que F = - K.x pero existe un sistema de resortes en serie, los dos se

comportan como un solo resorte pero con constante de elasticidad , por lo

tanto es necesario hallar primero el valor de la constante de elasticidad, resultado del

sistema conformado por los resortes.

4

k = 0,34 N/m

Ahora procedemos a determinar el valor de la fuerza ejercida por el resorte:

F = - kx entonces, F = - (0,34 N/m) .(0,2 m) luego F = - 0.068 N

E.3 Un bloque de 4 Kg de masa se comprime contra un resorte de constante de

elasticidad 8 N/m. Cuando el resorte se ha comprimido 12 cm se deja libre de tal forma

que la masa salga disparada. Si suponemos que no existe rozamiento entre la superficie y

el bloque, calcular:

a) La fuerza ejercida por el resorte en el momento de dejar libre la masa.

b) La aceleración que experimenta la masa.

c) La velocidad que adquiere y la distancia recorrida a los 5 seg. De dejar el resorte.

Solución:

a) F = K.x F = 8 N/m.0,12m = 0,96 N.

b) F = m.a a = 0,96 N/ 4 Kg = 0,24 m/seg2

c) Vf = Vi + a.t Vf = 0 + 0,24 m/seg2. 5 seg Vf = 1,2 m/seg

X = Vi .t + ½.a.t2 X = ½.0,24 m/seg2.(5 seg)2 = 0,12*25 m

X = 3 m

TERMINOS ASOCIADOS AL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Oscilación: movimiento de la partícula hasta regresar a su posición inicial.

Periodo (T): Tiempo de una oscilación. T = tiempo/ Número de ciclos.

Frecuencia (f): Número de ciclos en la unidad de tiempo.

5

F = número ciclos/ tiempo.

Punto de equilibrio: punto donde la fuerza recuperadora es nula.

Puntos de retorno, elongación, amplitud.

Velocidad angular: W = 2.π/ T

La gráfica muestra una secuencia de una partícula que gira en una trayectoria

circular, la proyección a partir del centro se muestra en cada caso. Observe que

las proyecciones ( elongaciones ) inician en el valor del radio, se acerca a cero y

pasa al otro lado (negativo) hasta - r y se devuelve para completar un ciclo en el

punto de partida.

La misma proyección se consigue con el movimiento de un péndulo:

En el gráfico se presenta el movimiento de un ciclo. Tome atenta nota del presente

taller, confrontar con la simulación presentada del movimiento armónico simple.

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Laboratorio 2

El péndulo

Objetivos: Medir el periodo de un péndulo simple.

Establecer la relación entre el periodo de un péndulo y su longitud.

Verificar las leyes del péndulo.

Determinar el valor de la gravedad en el laboratorio.

Recursos:

Cronómetro, metro metálico, nuez doble, péndulo, mordaza, tornillo de mesa,

varilla soporte.

Procedimiento.

Separe el péndulo de la posición de equilibrio un pequeño ángulo, el péndulo debe

oscilar exactamente en un plano, de lo contrario detenerlo y volver a repetir la

acción.

Deje oscilar el péndulo unos momentos y tome como referencia uno de los puntos

extremos y cuente 10 oscilaciones completas con el cronómetro en marcha,

finalmete determine el periodo.

Disminuya la longitud del péndulo en 20 cm y completa la tabla de datos.

La medida del péndulo se toma desde el punto de suspensión hasta el centro

geométrico de la masa (esfera).

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No

Experi

encia

Longitud (m) No

Oscilacion

es (n)

Tiempo de n

oscilaciones (s)

Periodo:

T = t/n

Cuadrado del

periodo.

T2 (seg2 )

T2/L

(s2 /m)

E.1

E.2

E.3

E.4

E.5

E.6

Representar En el plano cartesiano a T2 contra L y presentar la conclusión

correspondiente.

Preguntas:

P.1 Qué sucede con el periodo a medida que aumenta la longitud del péndulo?

P.2 Cómo son los cocientes T2/L

P.3 Cuál debe ser el periodo para un péndulo de longitud 2 metros?

P.4 Determine la media aritmética de la K, según los datos de la última columna.

P.5 Si el cociente T2/L = K y K = 4.2 / g podrías determinar el valor de la

gravedad en el laboratorio?

Ecuaciones de la elongación, velocidad y aceleración de un M.A.S

Recordemos que en el movimiento uniforme:

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Deducción de la ecuación de elongación, a partir de la proyección del movimiento

circular:

Recordemos que: Cos se define como cateto adyacente ( x ) sobre hipotenusa

que es el radio y que corresponde a la vez a la Amplitud ( A), a partir de la

definición de coseno aplicado al ángulo y teniendo en cuenta que la velocidad

angular W se define como el ángulo barrido en la unidad de tiempo, se obtiene la

ecuación correspondiente a la elongación.

Analice cada una de las gráficas, empiece por determinar cuales son las

magnitudes que se relacionan en ella. Observe y verifique con un péndulo los

cambios presentados a través del tiempo de la magnitud registrada en el eje

vertical.

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Para determinar la velocidad de un péndulo, conociendo la amplitud, la elongación y el

periodo, se aplica la ecuación:

E.4 Deducción de la ecuación anterior:

Ecuación de la elongación: Ecuación de velocidad:

x = A. Cos W.t (1) V = - A.W. Sen W. t (2)

Observará, que se tienen dos ecuaciones de primer grado, por lo tanto para trabajar con

ellas podemos aplicar uno de los métodos de solución de sistemas de ecuaciones:

Igualación, reducción, determinantes…etc.

En este caso en las ecuaciones aparecen las funciones seno y coseno las cuales

desaparecen en la ecuación final, ello me permite pensar que en alguna parte se debe

aplicar una identidad trigonométrica, posiblemente Sen2A + Cos2 A = 1.

Entonces procedemos a elevar las dos ecuaciones al cuadrado:

X2 = A2. Cos2 W.t (1) V 2= A.2W2. Sen2 W. t (2)

A la primera ecuación la multiplicamos por w2 y obtenemos:

x2 .W2 = W 2A2 . Cos2 W.t (1) V2 = A2 .W.2 Sen2 W.t (2)

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X = A. Cos W.t V = - A.W. Sen W. t a = - A.W2. Cos W. t

Sumando miembro a miembro, los miembros izquierdos y los miembros derechos de la

igualdad, tenemos:

V2 + X2 .W2 = A2 .W.2 Sen2 W.t + W 2A2 . Cos2 W.t

Factorizando el Segundo miembro de la igualdad, se tiene:

V2 + X2 .W2 = W 2A2 ( Sen2 W.t + Cos2 W.t )

Aplicando la primera identidad pitagórica, obtenemos:

V2 + X2 .W2 = W 2A2*1 Despejando V2 V2 = W 2A2 - X2 .W2

Factorizando en el segundo miembro:

V2 = W 2 ( A2 - X2 ) Despejando v

EJERCICIOS.

E.5 Qué fuerza se debe ejercer sobre un resorte de constante de elasticidad 8 N/m, para

deformarlo 25 cm?

E.6 La aguja de una máquina de coser tiene aproximadamente un M.A.S y realiza 40

ciclos en 5 segundos, calcular:

a. La frecuencia de la aguja. b. El periodo de la aguja.

E.7 Enuncie el periodo y la frecuencia de dos eventos o fenómenos.

E.8 Enuncie Y DESCRIBA tres eventos o fenómenos de la naturaleza de los cuales se

pueda hablar de periodo y frecuencia.

Un movimiento armónico simple tiene la característica de poderse explicar en términos

de una función senoidal. Las ecuaciones que expresan la elongación ( posición), la

velocidad en cualquier instante y la aceleración se presentan en la página 7. Tenga en

cuenta que W expresa la velocidad angular de la partícula y que W = 2 / T.

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E.9 Si una partícula oscila con M.A.S. de 10 cm de amplitud ( A), hallar la elongación

( x), su velocidad ( v ) y la aceleración ( a ) 0,5 segundos después de iniciado el

movimiento sabiendo que su periodo es de T = 1,8 segundos.

E.10 Hallar el periodo de una masa de 0,5 Kg atada a un resorte de constante de

elasticidad K = 2 N/m.

E.11 Determinar el periodo de una masa de 1 Kg atada al mismo resorte del ejercicio

anterior.

E.12 Que sucede con el periodo al aumentar la masa? Qué pasaría con el periodo si la

masa disminuye?

E.13. Cuál es el periodo de un péndulo simple de 1 m de longitud en el ecuador terrestre

donde la g = 9,8 m/seg2 y cuál es el periodo del mismo péndulo si se lleva al polo norte

donde la g = 10,2 m/seg2 ¿

E.14. El péndulo se atrasa o se adelanta en el polo norte?

E.15 Qué sucede con el periodo de un péndulo cuando aumenta y disminuye la longitud

de dicho péndulo?

*************************************

DESARROLLO ANALITICO

1. Una masa acoplada a un resorte vibra con una amplitud de 3 cm y con un

periodo de segundos, calcular la máxima velocidad y la máxima aceleración

adquirida por la masa.

Solución:

12

2. El movimiento de una partícula, se rige bajo la ecuación: x = 4.Cos10t. Cuál

es el valor de A = ¿ W = ¿ T= ¿ y la f = ¿

Solución: Comparando la ecuación dada con la ecuación de elongación:

x = 4.Cos10t x = A. Cos Wt

podemos deducir, que: A = 4 cm; W = 10 seg-1 , a continuación

procedemos a sustituir el valor de W. Puesto que ,

reemplazando el valor de W, tenemos que: T = 0,62

seg.

Puesto que el valor de la frecuencia f, es inverso al periodo, podemos aplicar la

ecuación: a)

b) Entonces:

c)

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FUERZA RECUPERADORA DE UN RESORTE

La aceleración de una partícula animada de movimiento armónico simple, se rige

por el modelo: a = - w2 . x

Según la ley de Hooke, la fuerza ejercida por un resorte está dada por: F = - K.x,

donde K es la constante de elasticidad del resorte y x representa la deformación,

(Longitud que se estira o que se encoge el resorte).

La segunda ley de Newton o ley del movimiento, nos dice que F = m.a

Aplicando el método de igualación para las dos ecuaciones de F, tenemos que:

- K.x, = m.a despejando la aceleración, tenemos:

La aceleración, cuando no es máxima, está dada por a = -w2.x

Igualando, tenemos: , cancelando x, se obtiene

reemplazando a:

T2.k = 4.2 .m de donde despejando a

T, se obtiene:

Ejercicio.

14

De la ecuación del periodo de una masa suspendida de un resorte, se puede

deducir que:

a. El periodo es (directa, inversamente) proporcional a la raíz cuadrada de la

masa.

b. El periodo es (directa, inversamente) proporcional a la raíz cuadrada de la

constante de elasticidad del resorte.

c. A mayor masa (mayor, menor) periodo.

d. A menor masa (mayor o menor) el valor de la constante de elasticidad.

Es de suma importancia que Ud., verifique paso a paso la deducción de las

ecuaciones, lo cual le da destreza en procesos analíticos.

E.1 Hallar el periodo de una masa de 150 gr suspendida de un resorte de

constante de elasticidad 0,8 N/m.

Solución

m = 0,15 Kg K = 0,8 N/m T = ¿

Reemplazando los datos en la ecuación, , reemplazando

T = 2*3,14*0,433 seg T = 2,72 seg

Periodo de una masa que oscila suspendida de una cuerda.

Observe en la gráfica las fuerzas que se

ejercen sobre la masa suspendida.

Haciendo uso adecuado de los elementos

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presentados en la gráfica, se obtiene la ecuación del periodo de la masa

oscilantes, dada por:

EJERCICIOS.

1. Que fuerza debe ejercerse sobre un resorte de constante de elasticidad 5

N/m, para deformarlo 10 cm?

SOLUCIÒN

Datos: K = 5 N/m x = 10 cm = 0,1 m F = ¿

F = -kx entonces, F = - 5 N/m*0,1 m F = - 0,5 N.

2. Una masa de 5 Kg se suspende de un resorte de elasticidad de 12 N/m,

que tanto se deforma?

SOLUCIÒN

Datos: K = 12 N/m x = ¿ m = 5 Kg

F = -kx entonces,

3. A partir de la gráfica del movimiento de un péndulo, y analizando los puntos

extremos y el punto medio o punto de equilibrio, determine la gráfica de

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cambio de la energía potencial, la energía cinética, la velocidad y la

aceleración de la masa suspendida de la cuerda.

Recuerde que en los puntos de retorno la Velocidad de la masa oscilante es

mínima, es decir que Vc = Vb = 0; que en dichos puntos la aceleración es máxima

ab = ad = amáx , tenga en cuenta que existe una diferencia, la cual consiste en el

sentido y dirección tanto de la velocidad como de la aceleración.

La velocidad máxima se consigue en el punto más bajo de la caída del péndulo, es

decir en C. Teniendo en cuenta esos datos, trate de dibujar el gráfico que

representa el cambio tanto de energía potencial como de energía cinética.

Energía de un movimiento armónico simple.

Para el movimiento de una masa atada a un resorte, es necesario deformar el

mismo, llevándolo hasta una posición equivalente a la amplitud del movimiento, el

trabajo que se realiza se transforma en energía potencial. Cuando se deja libre la

masa, ésta adquiere velocidad e inicia un proceso de cambio de energía potencial

por Energía cinética, en todo caso en todo momento se mantiene la misma

cantidad de energía mecánica total, cuando la masa pasa por el punto de

equilibrio toda la energía se convierte en cinética, puesto que en este punto

mantiene la máxima velocidad.

Analiza el siguiente gráfico de Fuerza (N) contra elongación

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P1. Qué significado tiene la

pendiente de la recta?

P.2. Determine el área bajo la

curva (Recta).

P3 Está de acuerdo que el

área bajo la curva está dada

por: A = x.F/2 ¿

Orientación: Recuerde que el

trabajo fue definido como T =

desplazamiento por fuerza

aplicada en la misma dirección.

Por lo tanto el área representa el trabajo realizado sobre el resorte para deformarlo una longitud A. Sustituya a A por T y a f = K.x. Observe que la ecuación que se obtiene representa la energía potencial Ep = K. A2 /2 donde A representa la amplitud, además de acuerdo a la Ley de Conservación de la energía, tenemos

que: = donde el término del miembro izquierdo representa

la energía mecánica total del sistema resorte masa.Análisis gráfico de los cambios de energía a través del movimiento de un ciclo:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

E.1 Una masa de 0,8 Kg atada a un resorte de constante K = 10 N/m posee M.A.S. Si inicialmente se deforma 0,25 m, calcular a) La energía potencial del sistema b) La velocidad máxima que alcanza la masa.

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E.2 Una masa oscila atada a un resorte, en el instante en que la elongación en la mitad de la amplitud, qué porcentaje de energía cinética es cinética y que porcentaje energía potencial?

E.3 Calcular ka longitud de un péndulo que realiza 15 oscilaciones en 2,5 segundos.Cuántas oscilaciones da un péndulo de 50 cm de longitud en un minuto?

E.4 El péndulo de un reloj tiene un periodo de 3 seg cuando la gravedad es de 9,81 m/seg2 . Si su longitud es de 2 mm, ¿ cuánto se habrá atrasado después de 24 horas?

E.5 El periodo de un péndulo de 80 cm es de 1,64 seg, ¿ cuál es el valor de la gravedad en el lugar de la experiencia?

E.6 En cuanto varia el periodo de un péndulo de 1 m de longitud, si se reduce en sus ¾ partes? Tenga en cuenta que es diferente se reduce en sus ¾ partes a se reduce a las ¾ partes.

E,7 En péndulo en el polo norte tiene un periodo de 1 segundo, que sucede con su periodo cuando se pone a oscilar en un lugar sobre el ecuador terrestre? Si el péndulo es parte del mecanismo de un reloj, en el ecuador el reloj se adelanta o se atrasa?

E.8 Un péndulo oscila con periodo de 0,8 seg, si su longitud se reduce en sus ¾ partes ¿ cuál será el nuevo periodo?

E.9 Calcular el periodo de oscilación de una masa de 3 Kg atada a un resorte de constante de elasticiadd K = 0,8 N/mE.10 Qué masa debe suspenderse a un resorte de constante de elasticidad K = 1,25 N/m para que realice6 oscilaciones en 18 segundos.

E.11 Un bloque de 5 Kg de masa se ata a un resorte de oscila con periodo de 0,1 seg y energía total de 24 J, calcular a) La constante de elasticidad del resorte. b) La amplitud del movimiento. c) La velocidad máxima de la masa. d) La aceleración máxima.

E.12 Un bloque de 4 Kg de masa deforma un resorte 16 cm cuando se suspende de él. Luego sde reemplaza por un bloque de 0,5 Kg , se deforma el resorte con una fuerza adicional y se pone en movimiento, cuál es el periodo de la masa?

ORIENTACION GENERAL

El módulo debe trabajarse a manera de consulta extraclase, tiempo para su estudio y desarrollo 2 semanas, en las cuales se complementará el módulo con el desarrollo de los laboratorios enunciados y con una presentación de Simulaciones realizadas por computador.

El módulo presenta ejercicios desarrollados que le orientan en el desarrollo analítico de los ejercicios propuestos, la participación en clase es de importancia puesto que ellos medirán la responsabilidad de trabajo del presente módulo.

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En clase deben exponerse las conclusiones, deducciones y dificultades encontradas en el estudio del tema de Movimiento Armónico Simple.

Como conclusión del estudio del tema debe presentarse una experiencia relativa al mismo, experiencia práctica a manera de proyecto y en grupo.

Módulo preparado por:Pedro Pablo Buitrago RoaLic. Matemáticas y FísicaEsp. Computación.

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