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Primera Cartilla

Matemticas

Escuela Nueva

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DISEOYDIAGRAMACIN

Elvira Ausique Lozano

DIRECCINEDITORIAL

Mara Constanza Pardo SarmientoKarem Langer Pardo

Gloria Daz Granados M. DISEOPROYECTOGRFICO

Mara Jos Daz Granados M. CORRECCINESTILO

Juan Ramn Sierra, Sebastin Gonzlez Pardo. ILUSTRACIN

Javier David Tibocha. DIGITALIZACINIMGENES

Mara Eugenia Caicedo Concha, Mara Consuelo Aguirre,Fanny Sarmiento, Martha Luca Vega. ASESORAS

Blanca Elvira Villalobos Guarn. COORDINADORAADMINISTRATIVA

Imgenes de las cartillas de Escuela Nueva 2010;con derechos de autor previstos por las leyes nacionales einternacionales.

Alejoy Marianason una creacin exclusiva para las cartillas deEscuela Nueva. Por tanto, slo podrn ser utilizados para Escuela Nueva.Estos personajes han sido registrados por sus autores en la Direccin Nacionalde Derechos de Autor del Ministerio de Gobierno, y estn cobijados por las

leyes nacionales e internacionales en materia de Derechos. Por lo anterior, nopodrn ser modificados, alterados o utilizados de otra manera diferente para lacual fueron creados.

AUTORES

Jorge Castao GarcaAlexandra Oicat Ojeda

COORDINADORADEPROYECTO

Patricia Enciso Patio

Diseo y DireccinProyecto Escuela Nueva 2010

Apoyo y acompaamientoComit de Cafeteros de Caldas

Mara Fernanda Campo Saavedra

Ministra de Educacin Nacional

Mauricio Perfetti del CorralViceministro de Educacin Preescolar, Bsica y Media

Mnica Lpez CastroDirectora de Calidad para la Educacin Preescolar,Bsica y Media

Heublyn Castro ValderramaSubdirectora de Referentes yEvaluacin de la Calidad Educativa

Heublyn Castro ValderramaCoordinadora del proyecto

Clara Helena Agudelo QuinteroGina Graciela CaldernLuis Alexander CastroMara del Sol Effio JaimesFrancy Carranza FrancoOmar Hernndez SalgadoEdgar Mauricio Martnez MoralesJess Alirio NaspiranEmilce Prieto RojasEquipo Tcnico

2010 Ministerio de Educacin NacionalTodos los derechos reservados

Prohibida la reproduccin total o parcial, el registro o la transmisinpor cualquier medio de recuperacin de informacin,sin permiso previo del Ministerio de Educacin Nacional.

Ministerio de Educacin NacionalISBN libro: 978-958-8712-38-3

ISBN obra: 978-958-33-3362-0

Direccin de Calidad para la Educacin Preescolar,Bsica y MediaSubdireccin de Referentes y Evaluacin de la Calidad EducativaMinisterio de Educacin NacionalBogot, Colombia, 2010

www.mineducacion.gov.co

Agradecemos a los profesionales que participaron en la pri-mera edicin de las cartillas Escuela Nueva 1997, Ministeriode Educacin Nacional. Muchos de los textos de la edicin2010, se basaron en la edicin 1997. Tambin agradecemosy reconocemos a los autores, ilustradores, diagramadores,correctores, editores y dems profesionales que participaronen dicha edicin.

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Hola, somosMariana,

Alejo y

Vamos a emprendercontigo un viajemuy interesante y

divertido.

Vers qu maravilloso es conocer, compartir, investigar y aprender!

Y como todo viaje necesita mapas, una buena brjula, provisiones,aqu tenemos TODO!

Las cartillas de Escuela Nueva sern nuestros mapas, mira cmo estnorganizadas para que puedas recorrer el camino ms fcilmente.

Vamos a recorrer UNIDADESque se dividen en GUAS: 1, 2, 3, 4.Cada Gua se divide en cuatro partes:A, B, Cy D. Por eso vas a verque las guas se ordenan as: GUA 1A, GUA 1B, GUA 1C, GUA 1D;GUA 2A, GUA 2B, GUA 2C, GUA 2D... y as sucesivamente.

En laPARTE Ade las GUASte invitamos a resolver situacionesproblema con tus ideas y con las de tus compaeros; intenta inventartus propias soluciones, que aunque no siempre sean las mejores, teayudarn a entender lo que sabes y cmo lo sabes. Aprender separece ms a transformar, poco a poco, las ideas que uno tiene de las

cosas, de la gente, del mundo, que a memorizar lo queotros nos dicen.

En la PARTE Bde las GUASrealizars actividades paraque amples y profundices tus conocimientos. Te pediremos,que junto a tus compaeros, compares soluciones y decidassobre las que te parecen mejor.

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En la PARTE Cde las GUASrealizars actividadespara que precises y amples lo que has aprendidoen las dos partes anteriores.

En la PARTE Dde las GUASrealizars actividadespara que apliques lo que has aprendido a

situaciones de tu vida y de tu comunidad.

La brjula somosAlejoyMarianapues te ayudaremos todo el tiempo; lasprovisiones son nada menos que todolo que tienes dentro como ser humano:experiencia, sueos, alegra, curiosidad,

camaraderaBueno ahora s

Estas imgenesse llaman conos, lasencontrars a lo largo

de las cartillas paraque sepas qu hacer en

diferentesmomentos.

a VOLAR!

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Unidad 1 Nuevamente cmo varan magnitudes 7

Gua 1. Comparemos la concentracinde mezclas 10

Unidad 2 Algo ms sobre fraccionarios 23

Gua 2. Utilicemos mquinas compuestas 26

Gua 3. Aprendamos algoms sobre mquinas 36

Gua 4. Aprendamos algoms de fraccionarios 46

Gua 5. Mquinas y fraccionesequivalentes 58

Gua 6. Practiquemos los fraccionarioscomo razones 74

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Unidad 1

Nuevamente cmo varanmagnitudes

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Matemticas

8

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Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa, inversa y productode medidas.

Modelo situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa e inversa. Describo e interpreto variaciones representadas en grficos. Analizo y explico relaciones de dependencia entre cantidades que varan en el tiempo con cierta

regularidad en situaciones econmicas, sociales y de las ciencias naturales.

GUA 1. COMPAREMOS LA CONCENTRACIN DE MEZCLAS

Estndares:

Trabajar en Escuela Nueva los siguientes

Competencias

en Matemticas

Me permite desarrollar mis

Unidad 1

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Matemticas

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Comparemos la concentracinde mezclas

Ampliemos y reduzcamos

Gua 1A

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1. Copia las dos cuadrculas en tu cuaderno. Completa el dibujo dela segunda. Ten cuidado que cada partecita del dibujo originalquede en el cuadro correspondiente de la cuadrcula grande.

2. Contesta las preguntas:Cmo es la altura de Marianaen el dibujo ampliado con relacin aldibujo original?

Cmo es el largo de un zapato en el dibujo ampliado con relacin aldibujo original?

1 cm

0,5 cm

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Gua 1 A

3. Consigue dibujos que te gustara ampliar o reducir y utiliza el mtodo decuadrcula.

Ampla tres veces el largo y el ancho del dibujo. (Sugerencias:sobre el original puedes hacer una cuadrcula de cuadritos de

0.5 cm de lado y para obtener el dibujo ampliado, haz una cuadrcula decuadritos de 1.5 cm. Pero podras utilizar otras cuadrculas, por ejemplo, decuadritos de 1 cm y 3 cm respectivamente).

Ampla el dibujo a cuatro veces el largo y el ancho del dibujo.

Reduce el dibujo a la mitad del largo y del ancho.

4. Se ha utilizado el mtodo de cuadrcula para ampliar 10 veces el largo y elancho del dibujo de un rbol.

Contesta las preguntas.

Una rama mide 4.2 cm de largo en el dibujo original, cunto mide en laampliacin?

Una raz mide 53 cm de largo en el dibujo ampliado, cunto mide en eloriginal?

5. Una fbrica produce tres tipos de bocadillos: guayaba, mora y naranja.Para venderlos los empaca en cajas de docena, en las que siempre coloca6 de guayaba, 2 de mora y 4 de naranja. En la fbrica quieren empacar losbocadillos en cajas ms grandes pero manteniendo la misma relacin entre lascantidades de los tres sabores. Completa la tabla.

Nmero de bocadillosTotal de bocadillos

Guayaba Mora Naranja

12 436144

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Matemticas

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6. Alejoy Marianajuegan a adivinar el colorde la ficha que se saca de una urna. Ellossaben que en la urna introdujeron fichasde tres colores: verdes, azules y moradas

y que la cantidad de fichas depositadas

de cada color se hizo de acuerdo con lasiguiente regla: por cada 2 fichas verdes,se introdujeron 5 azules y 3 moradas.

Di cuntas fichas azules y cuntas moradas se depositaron en la urna sise sabe que en la urna se echaron 12 verdes.

Si en la urna hay un total de 20 fichas, podrs decir cuntas fichas de

cada color se introdujeron? Llena la tabla con la informacin que falta. Ten en cuenta que se cumpla

la regla:Por cada 2 fichas verdes, se introdujeron 5 azules y 3 moradas.

Fichas verdes Fichas azules Fichas moradas Total fichas

4060

100

7. Marianadice que el color de la ficha que va a sacar es verde yAlejodice que es azul. Cul de los dos tiene ms posibilidadde acertar?

Hagan el siguiente experimento. Uno de los nios del grupo introduce 10 fichasen una urna manteniendo la regla que establecieron MarianayAlejo. Saca unaficha, registra el color, la devuelve a la urna, la bate bien y vuelve a sacar otra.

Repite el proceso 50 veces y contabiliza cuntas veces sale cada color. Otrohace lo mismo pero con 30 fichas y un tercero con 60 fichas. Comparen losresultados. En un caso sali ms un color que otro? El color quepredomina en los tres casos es el mismo o es diferente?Discutan sobre el experimento y traten de dar una explicacinde los hechos.

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GuaC

GuaB

Busquemos una forma de comparar mezclas

1. Imagina que preparas las dos mezclas siguientes:

Mezcla Uno:2 cc de polvo degelatina de color rojo se

disuelven en el agua quecontiene una vasija a la quepreviamente se le ha vertidoel contenido de 3 vasos.

Mezcla Dos:7 cc de polvo degelatina del mismo color rojose disuelve en una vasijacuyo contenido es el de 8vasos de agua.

Contesta la siguiente pregunta:

Cul de las dos mezclas tendr un color rojizo ms fuerte? Escribe unbuen argumento para justificar tu respuesta.

2. Comenten la respuesta que dieron a la actividad anterior.

Escriban sus conclusiones. Justifiquen su respuesta.

Gua 1 B

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Matemticas

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3. Estudien el dilogo que tienenAlejoy Mariana, conversen sobre lo que ellosdicen. Estn de acuerdo?

Escriban lo que ustedes piensan.

Yo creo que lasdos mezclas son del mismo color porque

se combinan igualito. En ambas mezclasse echa 1 unidad menos de polvo que

de agua. Mira, la mezcla uno tiene 2 ccy 3 vasos y la mezcla dos

7 cc y 8 vasos.

No, yo creo que la mezclados es ms roja porque en

sta se usa ms polvo (7 cc)

que en la uno (2 cc).

4. Hagan un experimento, preparen las dos mezclas, paraello elaboren un cubito de 1 cm3.

Consigan suficiente gelatina de color rojo fuerte.

Coloquen cintaen las aristas para

que no quedenhuecos.

Pueden usar anilina, pero tengancuidado de no ir a beber estamezcla o meterse los dedos a laboca. La anilina es txica. Pidancolaboracin a su profesora.

Consigan un vaso plstico (no usen material de vidrio) y tres vasijas. Unapara llevar agua al sitio del experimento, otra en la que echarn los 3vasos de agua y la otra, para los 7 vasos. Busquen que las 2 vasijas enlas que van a mezclar el agua y la gelatina sean transparentes.

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Revuelvan muy bien las dos mezclas y comprenlas. Hay una que esms roja que la otra? Cul?

5. Con la informacin que brinda el experimento recin hecho:

Digan si MarianaoAlejotienen razn. Justifiquen su respuesta. Consideran que tienen que revisar lo que ustedes respondieron en las

actividades 1 y 2?

6. Analicen lo que ahora dice Mariana.

Ah! ahora entiendo.Yo me equivoqu, es cierto que en

ambas mezclas la diferencia entrela cantidad de gelatina y la cantidadde vasos es la misma, pero tambin hay que tener en

cuenta la cantidad de agua.

Mezcla 1 Mezcla 2 2 cc 3 vasos 7 cc 8 vasos

En ambas mezclas la diferencia es de 1, pero comohay menos agua en la mezcla 1, pues tiene que

quedar ms roja.

Claro, me haba equivocado!

Mariana, y qu pasasi las mezclas fueran as:

Mezcla uno: 1 cc y 2 vasos.Mezcla dos: 6 cc y 8 vasos.

En este caso hay dos unidades menos depolvo que de agua en la mezcla dos, serque en este caso la mezcla dos es menos

roja que la uno?

Gua 1 B

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Matemticas

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Qu piensan de la suposicin deAlejo?

7. Hagan un segundo experimento con las nuevas mezclas que proponeAlejo

para comprobar su respuesta. Comparen los colores de las dos mezclas, losresultados del nuevo experimento los obligan a modificar su respuesta?

Resumen de lo hecho

Primer experimento

Mezcla 1

Gelatina 2 ccAgua 3 vasos

Mezcla 2Gelatina 7 ccAgua 8 vasos

Hiptesis de Mariana:las dos mezclas son de igual color porqueen cada caso se echa una unidad menosde polvo.

Hiptesis deAlejo:la mezcla dos es ms roja, porque se usams polvo.

Resultado del experimento:la mezcla dos es ms roja.

Segundo experimento

Mezcla 1Gelatina 1 ccAgua 2 vasos

Mezcla 2

Gelatina 6 ccAgua 8 vasos

Hiptesis deAlejo:la mezcla dos es menos roja, porque haydos unidades menos de polvo que agua.

Resultado del experimento:

la mezcla dos es ms roja.

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Gua 10 C

En el primer experimentoAlejodijo que la mezcla dos (7 cc y 8 vasos)

es ms roja porque tiene ms polvo que la mezcla uno (2 cc y 3 vasos).Cuando se hizo el experimento se encontr que la mezcla dos es ms rojaque la uno, por eso se reafirm en su idea.

Si ves Mariana, yo pienso que unamezcla es ms roja si se le echa

ms polvo rojo. Fjate que en los dosexperimentos que hemos hecho, la ms

roja es la mezcla a la que se le haechado ms polvo rojo.

8. Qu piensan del argumento deAlejo?

9. Hagan un tercer experimento.

Mezcla uno:3 cc y 2 vasos

Mezcla dos: 7 cc y 8 vasos

SegnAlejola segunda mezcla ser ms roja porque tiene mspolvo. Los resultados del experimento estn a favor o en contradel argumento deAlejo?

Gua 1 B

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Matemticas

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10.Los experimentos realizados nos ayudan a descartar las hiptesis de MarianayAlejo. Analicen la informacin del recuadro.

Primera hiptesis

Las mezclas son del mismo colorporque la diferencia entre lascantidades de polvo y agua soniguales.

Conclusin por el experimentoEl primer experimento mostr que

las dos mezclas2 cc y 3 vasos (3 2 =1)7 cc y 8 vasos (8 7 =1)no son de el mismo color.

Segunda hiptesisLa mezcla que tenga menos unidadesde polvo rojo comparado con lasde agua es menos roja. Por eso lamezcla 6 cc y 8 vasos (8 6 =2)ser menos roja que 1 cc y 2 vasos(2 1 =1).

Conclusin por el experimentoEl experimento mostr que estesupuesto no es correcto.La mezcla 6 cc y 8 vasos (8 6 =2)result ms roja que 1 cc y 2 vasos(2 1 =1).

Tercera hiptesisLa mezcla que tenga ms polvo serms roja. Por eso la mezcla 7 cc y 8vasos es ms roja que 3 cc y 2 vasos.

Conclusin por el experimentoEl experimento mostr que la mezcla3 cc y 2 vasos, es ms roja a pesarde tener menos polvo que la mezcla7 cc y 8 vasos.

Conversen sobre estos resultados, intenten buscar una solucinadecuada que les permita anticipar cul mezcla es ms roja a partirde comparar las cantidades de polvo y agua que se mezclan.

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GuaC

Comparemos mezclas haciendo grficas

Grfica de la cantidad de polvo y lacantidad de agua.

Primer experimento:Gelatina: 2 ccAgua: 3 vasosPensemos que esta mezcla est compuesta por 5partes: 2 de gelatina y 3 de agua.

Representemos estas partes sobre una barra.

De 5 partes 3 son depolvo rojo.

1.4 cm

Cmo dividir la barra en5 partes iguales?Si la barra mide 7 cmcada parte mide7 cm 5 =1.4 cm.

1 cm y 4 mm

1. Haz un grfico como el anterior para la mezcla dos del primer

experimento.Mezcla dos, primer experimento.Gelatina: 7 ccAgua: 8 vasosSugerencia:Toma una barra exactamente igual a la grfica anterior

de 7 cm de alto. (7 cm 15 =0.466... cm 0.5 cm)

Gua 1 C

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Matemticas

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2. Haz los dos grficos anteriores, uno al lado del otro para facilitar sucomparacin. Qu conclusin te permite obtener esta grfica?

3. Haz las dos grficas correspondientes a las dos mezclas del segundoexperimento.

Mezcla unoGelatina 1 ccAgua 2 vasos

Mezcla unoGelatina 3 ccAgua 2 vasos

Mezcla dosGelatina 6 ccAgua 8 vasos

Mezcla dosGelatina: 7 ccAgua: 8 vasos

Qu conclusin puedes obtener?

4. Ahora haz los dos grficos correspondientes a las dos mezclas deltercer experimento.

5. Comparen sus procedimientos y respuestas.

6. A la luz de los resultados analicen nuevamente las hiptesisy explicaciones de MarianayAlejoen los tres experimentos(vean actividad 10 de la Gua 1B) y sus propias explicaciones,

Ahora qu piensan?

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GuaD

Utilicemos el mtodo de grficas en otras situaciones

Resuelve los siguientes problemas.

1. Don Jos mezcla pinturas de dos colores para obtener unnuevo color.

Primera mezcla:5 tarros de pintura blanca con 2 tarros de rojo.

Segunda mezcla:10 tarros de pintura blanca con 3 tarros de rojo.Cul de estas dos mezclas produce un rojo ms suave?

Gua 1 D

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Matemticas

22

2. Para preparar galletas doa Ofelia mezcla 100 g de harina con

10 huevos, mientras don Carlos utiliza 150 g de harina con 16 huevos.

Cul de las dos recetas tiene mayor concentracin de huevo?Sugerencia:al hacer el grfico no dividas las barras en 110partes (100 g y 10 huevos) y en 166 partes (150 g y 16huevos), pues se vuelve muy difcil. Piensa, por ejemplo,que la harina la encuentras en paquetes de 50 g, de estamanera podrs remplazar 100 g por 2 paquetes y 150 gpor 3 paquetes.

En cul de las dos recetas se prepara ms cantidad.

Si de su receta don Carlos saca 10 galletas y el desea tener50 galletas, qu le aconsejas hacer?


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Unidad 2

Algo ms sobrefraccionarios

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Matemticas

24

Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medicin, relaciones parte todo,

cociente, razones y proporciones. Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solucin requiera de las relaciones y propiedadesde los nmeros naturales y sus operaciones.

Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa, inversa yproducto de medidas.

Justifico regularidades y propiedades de los nmeros, sus relaciones y operaciones.

GUA 2. UTILICEMOS MQUINAS COMPUESTAS

Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medicin, relaciones parte todo,cociente, razones y proporciones.

Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solucin requiera de las relaciones y propiedadesde los nmeros naturales y sus operaciones.



GUA 3. APRENDAMOS ALGO MS SOBRE MQUINAS

Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medicin, relaciones parte todo,cociente, razones y proporciones.




GUA 4. APRENDAMOS ALGO MS DE FRACCIONARIOS

Estndares:

Trabajar en Escuela Nueva los siguientes

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Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medicin, relaciones par te todo,

cociente, razones y proporciones. Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solucin requiera de las relaciones y propiedadesde los nmeros naturales y sus operaciones.

Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa, inversa y producto de medidas.Justifico regularidades y propiedades de los nmeros, sus relaciones y operaciones. Diferencio y ordeno, en objetos y eventos, propiedades o atributos que se puedan medir

(longitudes, distancias, reas de superficies, volmenes de cuerpos slidos, volmenes de lquidosy capacidades de recipientes; pesos y masa de cuerpos slidos; duracin de eventos o procesos;amplitud de ngulos).

Construyo igualdades y desigualdades numricas como representacin de relaciones entre distintos datos.

GUA 5. MQUINAS Y FRACCIONES EQUIVALENTES

Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medicin, relaciones par te todo,cociente, razones y proporciones.


Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa, inversa y productode medidas.

Modelo situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa e inversa. Represento y relaciono patrones numricos con tablas y reglas verbales. Construyo igualdades y desigualdades numricas como representacin de relaciones entre distintos datos.

GUA 6. PRACTIQUEMOS LOS FRACCIONARIOS COMO RAZONES

Competencias

en Matemticas

Me permite desarrollar mis

Unidad 2

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Matemticas

26

Recordemos

Gua 2A Utilicemos mquinas compuestas

30

1 x2

15 604x

20

15

28

100

4

3

2x

4

?

5

4x

2x

??

???

?

10

20

???1

40

1 cm

??

1 x10

1 x10

? 1 cl?1 x10

1 x10

Mquinas compuestas

30 ?1x2

?4x

Dos o ms mquinas se pueden conectar en serie para hacer mquinasms potentes.

Lo que sale de la primera mquina, de inmediato entra a la segundamquina y lo que sale de sta entra a la tercera, etc.

1. Pon a funcionar las mquinas en tu imaginacin y encuentrael dato que falta.

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2x 3x? ?

Gua 2 A

2. Imaginen que se toma una piola de una longitud cualquiera yque primero se estira hasta obtener el doble de su longitud yque despus, se coge esta piola estirada y se vuelve a estirarhasta el triple de su longitud.

Conversen sobre cmo es la longitud de la piola alfinal comparada con la longitud inicial. Escriban susconclusiones.

Ideen un procedimiento que les permita comprobarsus conclusiones. Escrbanlo en el cuaderno y despusejectenlo.

Con lo que encontraron en la comprobacin quehicieron, mantienen la repuesta que dieron al compararla longitud final de la piola con la longitud inicial?

3. Analicen el dilogo entreAlejoy Mariana.

Mariana, si uno tomauna piola y primero la estira hasta el doble,y, despus, nuevamente la estira hasta su

triplo, es fcil saber cmo es la longitud finalcomparada con la inicial: es cinco veces

mayor, porque2 veces ms 3 veces son 5 veces.

No estoy tansegura que la longitud final de

la piola sea 5 veces la longitudinicial.

Qu piensan de la idea deAlejo?

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Matemticas

28

4. A continuacin se propone un procedimiento para comprobar si la ideaque dioAlejoen la pgina anterior es correcta o no. Si no realizaron esteprocedimiento en la actividad 2, desarrllenlo.

Primero:tomen una piola de una longitud cualquiera.

Segundo:tomen otra piola cuya longitud sea el doble de la anterior.

Tercero:tomen una tercera piola que tenga una longitud 3 veces lalongitud de la piola del paso anterior.

Cuarto:ahora comparen la longitud final de la piola con la inicial.

Despus de hacer esta comprobacin consideran que la idea deAlejoes correcta?

Escriban en sus cuadernos la conclusin que pueden extraer sobrecmo es la longitud final de una piola si primero se estira hasta eldoble y despus hasta el triplo.

La conclusin que escribieron se cumple para cualquier valor de la

longitud inicial de la piola o por el contrario habr algunos casos enque no se cumple?

Si un nmero cualquiera primero se duplica y el resultado obtenido setriplica cmo es el nmero final comparado con el nmero inicial?Estudien varios casos particulares.

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5. Una piola se estira hasta que su longitud sea el triplo y, despus, esta nueva piolase vuelve a estirar hasta el quntuplo.

ax bx? ?

Cmo es la longitud final de la piola comparada con la longitud inicial?

Utilicen piola y comprueben sus respuestas.

Despus de hacer la comparacin mantienen la respuesta dada a lapregunta sobre cmo es la longitud final de la piola comparada con lalongitud inicial?

Si consideran que tienen que cambiar su respuesta inicial, escriban en sucuaderno la nueva respuesta y elaboren un argumento para justificar quesu nueva respuesta se cumple en cualquier caso, sin importar la longitudinicial de la piola.

6. Conversen sobre los resultados encontrados y elaboren una regla que permitasaber cuntas veces mayor es la longitud final de una piola comparada con lalongitud inicial, despus de que se ha estirado dos veces.

Estira un nmero

de veces

Estira otro nmero

de veces

Utilizamos las letras a y b para noescribir nmeros en particular.

aes un nmero de veces cualquiera.

bes un nmero de veces cualquiera.

Gua 2 A

3x 5x? ?

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Matemticas

30

Reduzcamos mquinas como ? ? ?

Gua 2B

ax bx

Ei

Ei

Ei

Ei

Ei

Ei

Ei

ax

2x

3x

2x

3x

6x

15x

bx

3x

5x

3x

5x

?

?

??

?

Ef

Ef

Ef

Ef

Ef

Ef

Ef

Reduccin de una mquina como

Las actividades de la gua anterior nos ayudaron a entender que cuando setiene una mquina compuesta por dos mquinas simples, ambas ampliadoras,es fcil saber cuntas veces mayor es el Ef comparado con el Ei.

Veamos los resultados obtenidos

La piola inicial se duplica y despusse triplica.

La piola inicial se triplica y despusse quintuplica.

El Ef es 6 vecesel Ei

La longitud final de la piolaes 6 veces la inicial.

El Ef es 15 vecesel Ei

La longitud final de la piola es15 veces la inicial.

Estos resultados nos dan una idea para convertir estas mquinasa otras mquinas simples, que hagan en un nico paso la que lascompuestas hacen en dos.

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Gua 11 C

1. Transforma las mquinas compuestas a simples. En cada casoda tres valores diferentes al Ei y comprueba que el Ef que seobtiene en la mquina compuesta y en la simple es el mismo.Estudia el ejemplo.

Ei

3 6

Ei

3

2x

2x

8x

8x

4x

4x

? Ef

24

Ef

24

Comprobacincon Ei = 3

Conclusin:cuando a la mquina compuesta y la simple entra elnmero 3, en ambas sale el nmero 24.

Ei5x 2x

? Ef

Eiax bx

? Ef

Ei 10 5

? Ef

Ei3x 10x

? Ef

Ei12x

EfEi10x

Ef

2. Transforma la mquina simple dada en una compuesta que tenga

dos mquinas simples en serie.

3. Hemos establecido cmo reducir una mquina compuesta como

a una simple. Investiguen cmo se podr reducir una mquina como

a una simple. Escriban sus conclusiones.Elaboren buenos argumentos para justificar sus conclusiones.

Gua 2 B

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Matemticas

32

Reduzcamos mquinas como Ei ? Ef

Gua 2C

6 2

1. Imaginen que toman una piola de cualquier longitud, primeroreducen su longitud a la sexta parte y, despus, toman esta piolareducida y la vuelven a reducir a la mitad de su longitud.

Conversen sobre cmo ser la longitud final de la piola comparada

con la inicial. Escriban sus conclusiones.Tomen piolas y comprueben sus conclusiones.

El resultado de la comprobacin hecha los obliga a modificar suconclusin? Si es as, hganlo y justifiquen su nueva conclusin.

2. Estudien el siguiente dilogo entre MarianayAlejo.

Ei 6 2

? Ef

Yo creo queen este caso la cosa es sencilla. Si unapiola primero se reduce a la sexta parte ydespus a la mitad, pues queda reducida

a la tercera parte, porque6 veces menos 2 veces menos da

3 veces menos.

Alejo, yo no creo,porque si en el primer paso qued

reducida a y despus se vuelve a reducir,cmo es posible que al final no quede mspequea que como sali de la primera

reduccin, cmo es posible que quede sloreducida a la tercera parte; es como si enel segundo paso en lugar de achicarse se

hubiera agrandado.

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Qu piensan de lo qu diceAlejo?

Qu piensan de lo qu dice Mariana?

3. Elaboren una regla que permita saber cuntas veces menor es la longitud final deuna piola comparada con la longitud inicial, despus de que se ha achicado dosveces seguidas.

Ei a b? Ef

Se achica un

nmero de veces

Se achica otro

nmero de veces

arepresenta que la longitudde la piola se reduce un nmero

de veces cualquiera.brepresenta que en el segundo paso

la piola se vuelve a reducir un nmero deveces cualquiera.

4. Tomen piolas y comprueben si la regla elaborada por ustedes es correcta o no.

5. Apliquen la regla elaborada por ustedes para contestar las preguntas.

La longitud de una piola se reduce a la cuarta parte y despus a la mitad.Cmo es la longitud final de la piola comparada con la inicial?

Un nmero se divide entre 3 y despus se divide entre 2. Cmo es elnmero final comparado con el inicial? Comprueben si sus respuestas soncorrectas o no, hganlo con los nmeros 12, 24 y 36.

Gua 2 C

5/19/2018 MT Grado05 01

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Matemticas

34

Reduccin de una mquina como

6 2

Ei a b

? Ef

Ei

6 2

? Ef Ei 12

EfLa piola inicial se reduce a la sextaparte y despus se vuelve a reducira la mitad.

La longitud final de la piola es12 veces menor que la inicial.

6. Transforma las mquinas compuestas a simples. En cada casoda al Ei los tres valores diferentes sugeridos y comprueba que el

Ef que se obtiene en la mquina compuesta y en la simple es elmismo, de forma semejante a como hiciste en la actividad 1 de lagua anterior.

5 10

? EfEi

20EfEi

8EfEi

EfEi

?

1 x12

1 x2

Valores de Ei 50, 100 y 200

Valores de Ei 24, 48, 96

7. Ahora haz lo contrario, transforma la mquina simple en una compuesta.

16

de 12

de

112

dees

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GuaD

Apliquemos lo aprendido

1. Como doa Sofa se preocupa por aprovechar los alimentos quese cultivan en la regin ha preparado mermelada de mango quees la fruta en cosecha. De la cantidad que prepar, separ latercera parte para consumirla en casa, la cantidad restante lavender el da de mercado. De la cantidad que guard para elconsumo separ la cuarta parte que guardar para consumirla elmes siguiente, la cantidad que guard para el consumo del mes

siguiente, qu parte es del total de mermelada que prepar?Haz un esquema que ilustre las divisiones hechas por doa Sofa.

2. Don Antonio prepar un terreno para cultivar zanahoria y arveja.El terreno es de forma rectangular de 90 m de largo por 30 m deancho. En la tercera parte del terreno piensa sembrar zanahoria.Como no tiene suficiente semilla de zanahoria decide sembrar slola mitad de terreno que separ para este cultivo y la otra mitad

piensa sembrarla un mes despus. La parte que inicialmente va asembrar de zanahoria qu parte es del total del terreno?

Haz dibujos del terreno a escala (representa 1 m por 1 cm) ydibuja otras formas distintas como le aconsejas a don Antoniodividir el terreno.


Gua 2 D

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Matemticas

36

Apliquemos

Gua 3A Aprendamos algo ms sobre mquinas

1. Representa las equivalencias entre unidades como la reduccinde una mquina compuesta a simple, as como el ejemplo.

Encuentra la relacin entre

1 cm y 1 m 1 cl y 1 l 1 dg y 1 Dg

1 segundo y 1 hora.

1 unidad y 1 gruesa. (Una gruesa tiene 12 docenas y1 docena tiene 12 unidades).

1 arroba y 1 quintal (una arroba equivale a 25 libras y1 quintal 4 arrobas).

1 milsima y 1 dcima.

Cul es la relacin entre 1 mm y 1 dm?

1 mm es 110

de 1 cm y 1 cm es 110

de 1 dm

1 cm 1 mm

1 x10

1 dm 1 mm

1 x100

1 dm 1 cm

1 x10

1 mm1 dm 1 cm

1 x10

1 x10

1 mm es de 1 dm1 mm es la centsima parte de 1 dm

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GuaB

1. Imaginen que se toma una piola de longitud cualquiera yque primero se estira hasta el doble de su longitud y quedespus, se reduce a la sexta parte.

Ei2x 6

? Ef

?Ei 2x 6 Ef

Reduzcamos mquinas como Ei ? Ef2x 6

Conversen sobre cmo es la longitud final de la piolacomparada con la longitud inicial. Es ms larga o mscorta?, Cuntas veces ms larga o cuntas veces ms corta?Expliquen por qu.

Tomen piolas y comprueben sus respuestas.

Lo que encontraron al trabajar con las piolas escogidas secumple con cualquier piola que se escoja como Ei sin importar

la longitud que tenga, o este resultado depende de la longitudque tenga la piola?

Utilicen nmeros para comprobar que sus resultados soncorrectos. Sugerencia:utilicen nmeros mltiplos de 3.

2. Investiguen si siempre que un nmero se ampla al doble de su valor ydespus el resultado se reduce 6 veces

el resultado final siempre ser la tercera parte delnmero inicial. Tomen Ei que sean mltiplos de 6.

Gua 3 B

5/19/2018 MT Grado05 01

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Matemticas

38

3. Hagan grficos que los ayuden a explicarse por qu siempre que primero seduplique y despus se reduzca a la sexta parte el resultado final es reducir a latercera parte.

4. Verifiquen si las conclusiones a las que han llegado en la actividad anterior secumplen con otras mquinas compuestas de dos simples: la primera que ampla yla segunda que reduce. Hganlo con piolas y con nmeros.

Sugerencia:para hacer sus verificaciones tomen las mquinas siguientes. Tomencomo valores de Ei mltiplos de 2

Ei

10x 2

? Ef

10x 2? ?

Ei4x

? Ef1 x8

5. Analicen si siempre que amplen 10 veces la longitud de una piola y despusla reduzcan a la mitad

la longitud final de la piola es 5 veces ms larga que la piola inicial. Por qusucede esto?

Hagan la prueba con piolas de diferentes longitudes, para entender si este hechopuede suceder siempre.

6. Hagan lo mismo de la actividad anterior, pero en este caso no trabajen con

piolas sino con nmeros. Analicen si siempre que multipliquen un nmero por 10y despus el resultado lo dividen por 2, el nmero final es 5 veces mayor que elnmero inicial. Expliquen por qu sucede esto.

5/19/2018 MT Grado05 01

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8x 16? ?

7. Analicen si siempre que amplen 8 veces la longitud de una piola ydespus la reduzcan a 16 veces la longitud final de la piola es lamitad de la longitud inicial. Por qu sucede esto?

Hagan la prueba con piolas de diferentes longitudes, para saber sieste hecho puede suceder siempre.

8. Hagan lo mismo de la actividad anterior, pero en este caso no trabajen con

piola sino con nmeros. Analicen si siempre que multipliquen por 4 un nmeroy, despus, lo dividen por 8; el nmero final es la mitad que el nmero inicial.Expliquen por qu sucede esto?

9. Las conclusiones a las que llegaron con las mquinas.

se cumplen si se cambia el orden de las mquinas?

Comprueben con varios nmeros. Escriban sus conclusiones y las explicacionesque dan a este hecho.

Ei

Ei

Ei

Ei

Ei

Ei

2x

2x

10x

10x

4x

4x

6

6

2

2

8

8

Ef

Ef

Ef

Ef

Ef

Ef

Gua 3 B

?

?

?

?

?

?

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Matemticas

40

10.A continuacin encuentras dos columnas. En la columna

de la izquierda aparecen mquinas compuestas queprimero amplan y despus reducen o, al contrario, primeroreducen y despus amplan.

En la columna de la derecha encuentras un enunciado quetiene que ver con algunas de las mquinas de la columnade la derecha. Busca cul va con cul. Traza una lnea ascomo en el ejemplo.

Ei 2x 8? Ef

Ei

3x 9

? Ef

Ei10x 5

? Ef

Ei4x 4

? Ef

Ei3x 6

? Ef

El Ef es el doble del el Ei

El Ef es la mitad del el Ei

El Ef es igual al el Ei

El Ef es un cuarto de Ei

El Ef es la tercera parte de Ei

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11.Comparen el Ef y Ei en las mquinas siguientes, digan si el Ef es mayor, menor oigual al Ei. Expliquen por qu.

Ei4x ? Ef1 x8

Ei40x

? Ef1 x20

Ei5x

? Ef1 x5

12.Comparen las respuestas dadas en las actividades 10 y 11.

13. Conversen sobre los resultados encontrados para este tipo demquinas que se estudiaron en esta gua.

Ei ax b? Ef

Eiax b

? Ef

Recuerden que escribimoslas letras a y b parareferirnos a cualquier

nmero.

Ampla Reduce

Reduce Ampla

Y escriban una regla que permita saber si el resultado final (Ef)

es mayor o menor que el nmero inicial (Ei), y cuntas vecesmayor o cuntas veces menor.

Gua 3 B

5/19/2018 MT Grado05 01

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Matemticas

42

Resumamos nuestras conclusiones

Gua 3C

Reduccin de mquinas como

Eiax b

? EfEi

ax b? Ef

Algunas de estas mquinas se pueden reducir a una simple, otrasno, todo depende de los valores que tenga a y b

Ejemplo 1

Ei

Ei

Ei

6x

2

6x 2

2

2

6x

?

?

Ef

Ef

Ef

6x

Ei3x

Ef

Ei3x

Ef

Primero se ampla a 6 veces ydespus se reduce a la mitad.

Se ampla a 3 veces.6 veces mayor seguido de 2veces menor, es como ampliarslo a tres veces.

Reducida a la mitad

Reducidaa la mitad

Ampliada 6 veces

Ampliada 6 veces

es tres veces mas larga que

es tres veces mas larga que

Ejemplo 2

5/19/2018 MT Grado05 01

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??

Ei12x 2

? EfEi6x

Ef

Ei

4x

Ef Ei

3x

Ef

1. Reduce la mquina compuesta a una simple

Ei8x 2

Ef

Ei 6

Ef12x

2. Transforma la mquina simple que se da a una compuesta que haga

lo mismo, en la que la primera ample y la segunda reduzca, ascomo en el ejemplo.

3. Escribe sobre la lnea lo que hace falta para que la afirmacin sea verdadera.

Si un nmero se multiplica por 8 y el resultado despus se divide por 2, elresultado final es _______ que el nmero inicial.

3 vasijas A, B y C contienen cantidades diferentes de agua. La vasija B

contiene la sexta parte de agua que contiene A y la C contiene el doble deB. En la vasija C hay ________de la cantidad que contiene A.

Gua 3 C

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Matemticas

44

Interpretemos situaciones usando mquinas

Gua 3D

1. Toma una hoja de cuaderno. Dblala para obtener una partecuya rea sea la cuarta parte del total de la hoja. Colorea estaparte con rojo. Ahora sobre la misma hoja colorea con verdeuna regin que tenga el doble de rea de la regin roja. Cules la relacin entre el rea de la regin verde con el rea totalde la hoja?

2. Don Julin vende vinagre. l reparte por igual el contenido de 1en 8 frascos ms pequeos.

Si vende 2 de estos frascos, qu parte de un litro es la cantidadvendida? Representa el problema como una mquina compuesta.

3. Imagina esta situacin como una mquina y descubre qufraccin de 1 pesa cada bola.

5/19/2018 MT Grado05 01

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4. Recorta un rectngulo de 16 cm de largo y 10 cm de ancho.

Imagina que recortas un nuevo rectngulo cuyas medidas sean la mitaddel largo y del ancho del rectngulo inicial. Analiza cuntas veces cabe elsegundo pedazo de hoja en el primero.

Recorta los dos rectngulos y comprueba tu respuesta.

Qu suceder si las medidas del largo y ancho del nuevo rectngulo son lacuarta parte del primero.

Cuntas veces cabe este pedazo en el rectngulo inicial?

Analiza si la siguiente afirmacin es verdadera o falsa. Si el largo y elancho de un rectngulo se reduce a la mitad del rea, el nuevo rectnguloes la mitad del original.

Rectngulo original

1 de2

a1 de a2


Gua 3 D

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Matemticas

46

Resumamos los casos de reduccin de mquinas compuestas

Gua 4A Aprendamos algo ms de fraccionarios

Tres casos de reduccin de mquinas

En las guas anteriores hemos estudiado tres casos de reduccin demquinas

Primer caso:cuando ambas mquinas amplan.

Ei

Ei

Ei

3x

3

3x

5x

12x

12

?

?

?

Ef

Ef

Ef

Ei 3 5

?Ef

Ei15x

Ef

Ei 15

Ef

Ei4x

Ef

Ei 4

Ef

Se dice que estas dos mquinas son equivalentesporque cada vezque a las dos mquinas entra el mismo nmero, siempre saldr elmismo nmero. En otras palabras: las dos mquinas son equivalentesporque ambas hacen las mismas transformaciones.

Segundo caso:cuando ambas mquinas reducen.

3x 5 = 15

3x 5 = 15

12 3 = 4

12 3 = 4

Estas dos mquinas son equivalentes porque ambas hacen la mismatransformacin.

Tercer caso: una de las dos mquinas ampla y la otra reduce.

La mquina simple se puede obtener nicamente si uno de losnmeros es mltiplo del otro.

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1. Estudia el ejemplo.

Qu nmero debe ir en el para que la mquinacompuesta que se forme, se pueda transformar en una simple?

Eix 4? Ef

Eix 4? Ef

En el cuadro puede ir el nmero 12, ya que as se forma unamquina que se puede transformar en una simple.

Ei

Ei

Ei

Ei

12x

4 x

8 x

16 x

4

4

4

4

?

?

?

?

Ef

Ef

Ef

Ef

Ei3x

Ef

Ei1x

Ef

Ei2x

Ef

Ei4x

Ef

Pero en el pueden ir otros nmeros. Por ejemplo 4, 8,16, 20, En todos estos casos se obtiene una mquina quese puede reducir a una simple.

Siempre que en el se escriba un nmero mltiplo de 4 la mquina

se puede transformar en una simple.

Gua 4 A

......

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Matemticas

48

2. Al final de estas pginas encuentras mquinas compuestas pero estnincompletas, as como en el ejemplo de la pgina anterior, con cada una deestas mquinas haz lo siguiente:

Escribe el nmero que consideras debe ir en el cuadro para que se formeuna mquina compuesta que se pueda transformar en una simple.

Escribe la mquina simple que es equivalente a la mquina compuestaque formes.

Si consideras que en puedes colocar varios nmeros que satisfagan lacondicin de formar una mquina compuesta que se pueda transformar

en simple, escribe, si es posible, 5 nmeros diferentes.Podras decir qu condicin debe cumplir ese nmero que va en elpara que siempre se obtenga una mquina compuesta que se puedatrasformar en simple.

Ei 3 x? Ef

xEi ? Ef

1 x2

Ei 15

? Efx

Ei ? Ef1 x2x

Ei2x

? Efx

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Ei 2 3x

? EfEi

4x 3? Ef

3. Comenten sus respuestas y procedimientos.

4. Cul es la relacin multiplicativa entre Ef y Ei de las mquinas

de la actividad anterior.

En la actividad 2 encontraron algunas mquinas en las que enel se puede escribir cualquier nmero y siempre se formauna mquina compuesta que se puede transformar en unasimple. Encontraron otras en las que slo para algunos nmerosse puede transformar en una simple. Llenen la siguiente tabla:

Mquinas que se pueden completar con

cualquier nmero y siempre se puedentransformar en una simple

Mquinas que se pueden completar solo

con algunos nmeros para que se puedantransformar en una simple

5. Estudien las siguientes mquinas:

Estas mquinas se pueden reducir a una simple que sea equivalente?

Gua 4 A

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Matemticas

50

Aprendamos otra forma de pensar fracciones como

Gua 4B

34

Mquinas compuestas que no se dejan reducir a simples

Mquinas como las de la actividad 6 de la gua anterior no se pueden reducira una simple. En estos casos se utilizar una fraccin como para representarde forma abreviada lo que hace esta mquina.

Ei3x 4

?Ef

Ei3x

? Ef1 x4

Ei Ef

3 x4

Ei Ef 3 x4

Ef = (Ei)3 x4

Tambin se puede escribir:

El numeradorrepresentala mquina que ampla.

El denominadorrepresentala mquina que reduce.

Cul es la relacin multiplicativa entre Ef y Ei?

El Ef son los tres cuartos de Ei

El Ef son de Ei

Una mquina como:

se escribir como una multiplicacin

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1. Utiliza una fraccin para representar de formaabreviada las mquinas compuestas:

Ei 5 3x

? Ef

Ei 2x 7? Ef

Ei5x 4

? Ef

Ei5x 4

? Ef

85x 4

? Ef

Ei 2x ? Ef1

x4

Ei5x

? Ef1 x4

8

5x

40 10

1 x4

2. Escribe como mquina compuesta las mquinas que se dan, as comomuestra el ejemplo.

Ei Ef

5x4

8 Ef

5x4

Ei Ef

2 x3

Ei Ef

5 x4

Ei Ef

3 x2

Ei Ef

5 x2

3. Pon a funcionar las mquinas y encuentra el Ef, despus escribe la relacinmultiplicativa entre Ef y Ei. As como muestra el ejemplo.


Relacin multiplicativa entre Ef y Ei:10 son los de 8

Gua 4 B

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Matemticas

52

Estudiemos los efectos de mquinas como Ei Ef

Gua 4C 4x

3

Comparacin de las transformaciones de una mquina

?4 x3

Ampla 4 veces

Reduce 3 veces

Tomemos un pedazo de piola de cualquier longitud. Nosotros tomaremos

la piola del dibujo4x

3

Mide 4 veces ms

Apreciemos el efecto de la mquina

Observemos: la longitud de es la longitud deLa longitud de la cuerda es mayor que la longitud de la cuerda que entra,porque la mquina ampla ms (4 veces) de lo que reduce (3 veces)Cual es la relacin multiplicativa entre las longitudes de las cuerdas y ?La longitud de la cuerda es de

Si imaginamos la cuerda dividida en 3 partes, la cuerda mide 4 deestas partecitas.

Mide un terciode la

4 x3

4 x3

cada partees

Mide 4 veceslo que mide de

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1. Utiliza cuerdas para comparar las longitudes del Ef y Ei de lassiguientes mquinas y escribe la relacin multiplicativa en Ef y Ei.

Ei Ef

4 x6

Ei Ef

5 x

4

Ef

5 x2

Ef

2 x3

Ef

6 x5

Ef

4 x3

Ei Ef

1 x3

Ei Ef

6 x4

Ei Ef 2 x3

Ei Ef

3 x2

Ei Ef 4 x5

2. Remplaza el Ei por los nmeros que en cada caso se sugieren y pon a funcionarlas mquinas para obtener el Ef. En cada caso compara Ef con el Ei, di si Ef esmayor, menor o igual al Ei y la relacin multiplicativa entre Ef y Ei.

Ei = 4 y Ei = 8

Ei = 6 y Ei = 15

Ei = 4 y Ei = 12

3. Usa agua, vasijas y vasitos. Haz las medidas necesarias para obtener el Ef en lassiguientes mquinas:

1 litro 300 cc

4. Usa arena que empacas en bolsas. Haz las medidas necesarias para obtener elEf en las siguientes mquinas:

1 Kg 500 g

Gua 4 C

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Matemticas

54

Comparacin entre Ef y Ei con reas

Ei Ef

3 x2

Tomemos un pedazo de papel de forma rectangular de 20 cm delargo y 10 cm de ancho.

20 cm 20 cm 20 cm

10 cm

5 cm

555

2 x 3

El rea del pedazo es del rea del

Qu significa decir que el rea del pedazo azul es del readel pedazo verde?

Recortemos los dos pedazos de papel.

Veamos cuntos pedazos se necesitan para cubrirel pedazo

El pedazo cabe 1 vezcompleta y media en el

Por eso se dice que esdel

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5. Dibuja rectngulos y compara el Ef y el Ei en cada caso, as como se hizo en lapgina anterior. Recorta pedazos de hoja de forma rectangular de las medidas

que te parezcan adecuadas y compara el tamao de los pedazos. Explcate elsignificado de la fraccin que expresa la relacin multiplicativa entre las reas delos rectngulos Ef y Ei.

Ei Ef

3 x4

Ei Ef

2 x5

Ei Ef

1 x3

Ei Ef 6 x4

Ei Ef

5 x4

Ei Ef

6 x3

6. Haz lo mismo que en la actividad anterior pero en este caso hazlo con nmeros.Toma los nmeros que se recomiendan en cada caso.

Toma como Ei cualquier mltiplo de 5.

Toma Ei cualquier mltiplo de 4.


Gua 4 C

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Matemticas

56

Usemos lo aprendido en situaciones de la vida

Gua 4D

1. A continuacin se da la longitud de una piola, corta otra cuyalongitud sea lo que en cada caso se indica.

Corta una piola que tenga una longitud igual alos de la del dibujo.

Corta una piola que tenga una longitud igual alos de la del dibujo.

20 cm

30 cm

2. Alberto y Juan comparan el peso de dos pedazos de queso. El primerpedazo pesa 240 g, del segundo se sabe que pesa del primero. Cuntopesa el segundo?

3. En los ltimos meses ha llovido poco. Don Joaqun cultiva caf, l estima queen la cosecha apenas recoger de la cosecha anterior. Si se sabe que enla cosecha anterior recogi 160 sacos:

Cuntos bultos estima recoger don Joaqun?

Averigua cunto pesa un saco, expresa la cantidad que estima recogerdon Joaqun en arrobas y en kilogramos.

Averigua el precio de un saco de caf, calcula cunto dinero estima

recibir por la venta de lo producido.

5/19/2018 MT Grado05 01

57/88

4. Consigue vasijas y agua y ejecuta las acciones que necesitas para resolver lossiguientes problemas:

de litro de agua se reparten en frascos a los que les cabe de litro.Cuntos de estos frascos se necesitan?

de galn se reparte en tarros de de galn. Cuntos tarros se necesitan?

5. Haz grficos que ilustren la forma como resolviste los problemas anteriores .

6.Comparen sus procedimientos y respuestas.

de litro

Gua 4 D

de litro

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Matemticas

58

Reconozcamos mquinas distintas que producen lo mismo

Gua 5A Mquinas y fracciones equivalentes

1. Estudia las siguientes mquinas:

Ei 6 2x

? Ef

Ei 12 4x

? Ef

Ei 3

? Ei 12

?Ei

20

?Ei

5

?Ei

3x? Ei

15x?

Ei 4

? Ei 15

?

Ei 3

Ef

Ei 3

Ef

M1

M2

Estas dos mquinas son distintas, sin embargo, ambas se puedenreducir a la misma mquina simple, a una mquina que reduce ala tercera parte.

Comprueba que estas dos mquinas producen el mismo efectocon los siguientes valores de Ei

8 12 20 40

2. Compara el Ef que cada vez sale de los pares de las siguientes mquinas y dicul es la relacin multiplicativa entre ellos.

5/19/2018 MT Grado05 01

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Ei 6

?Ei

12

?

Ei 6 2x

? Ef

Ei 6 2x

? Ef

Ei 5 10x

? Ef Ei 15 30x

? Ef

Ei 12 4x

? Ef

Ei 12 4x

? Ef

M1

M1

M1

M2

M2

M2

Por qu M1y M2hacen lo mismo?

Una forma de explicar porque M1y M2hacen lo mismo.

Las dos mquinas M1y M2reducen ms que lo que amplan,

ambas reducen tres veces ms de lo que amplan.Reduce 6

veces mientras ampla2 veces.

Reduce 12 veces mientrasampla 4 veces.

Por eso ambas mquinas reducen a la tercera parte.Otra forma de explicar porque M1y M2hacen lo mismo.

M2reduce el doble de lo que reduce M1.

M1reduce 6 veces. M2reduce el doble de M1es decir

reduce 12 veces.

M2ampla el doble que M1M1ampla 2 veces.

M2ampla el doble que M1,es decir ampla 4 veces.

M2reduce el doble que lo que reduce M1, pero tambin ampla eldoble que lo que ampla M1.

3. Investiga si las dos mquinas siguientes hacen lo mismo.

Gua 5 A

5/19/2018 MT Grado05 01

60/88

Matemticas

60

4. Toma dos pedazos de piola de igual magnitud. Toma una y psala por laprimera mquina y despus toma la otra y psala por la segunda mquina.

?3 x4 ?

6 x8

Compara el Ef de las dos mquinas. Las dos piolassalen con la misma o con diferente longitud?

Explica por qu se obtiene el resultado al que se llega.

Intenta encontrar otro par de mquinas distintas a a que haga lo mismo.

5. Comparen sus procedimientos y respuestas. Hagan grficosque les permitan explicar el resultado.

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6. Comparen los dos pares de mquinas. Cul de ellos tienen dos mquinas quehacen lo mismo?

7. Toma dos colecciones de 6 tapas y a cadacoleccin aplcale una mquina.

Ei Ef

1 x2

Ei Ef

5 x2

Ei Ef

4 x8

Ei Ef

15 x 6

2 x3

Ei ?4 x6

Ei

?

Sugerencia:haz tres grupos iguales ydespus toma dos.

Que sucede? Las dos mquinas hacen lo mismo?

8. Consigue otros ejemplos como los anteriores.

Gua 5 A

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Matemticas

62

Identifiquemos mquinas equivalentes

Gua 5B

Mquinas equivalentesSe dice que dos mquinas son equivalentes si siempre que entra el mismoEi producen el mismo Ef. Es decir, si las dos mquinas producen la mismatransformacin.Ejemplo:

Ei Ef

2 x5

15

6 x15

Ei Ef

6 x15

Son equivalentes porque ambas mquinas siempre producen la mismatransformacin Si Ei =15

?152 x5 ?

15 3 6

1 x5 2x

30 12

2 x5 30 12

6 x15

15 1 6

1 x15 6x

Si Ei =30

1. Investiga cules de los siguientes pares son mquinas equivalentes:

Ei Ef 2 x3

Ei Ef

3 x4

Ei Ef 8 x12

Ei Ef

4 x5

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Ei Ef

4 x3

2. Escribe en los cuadros los nmeros para que la mquina seaequivalente a la de la izquierda.

Ei Ef

x

Ei Ef

xEi Ef

2 x3

Ei Ef

2 x3

Ei Ef

1 x3

Ei Ef

6 x9

3. Utiliza un rectngulo o un crculo, aplica las mquinas ycomprueba si son o no son equivalentes.

Sugerencia:revisa la Gua 4C de esta cartilla.

4. Conversen sobre los resultados obtenidos en las actividadesanteriores y hagan lo que se indica.

Intenten encontrar 5 mquinas distintas que sean equivalentesa la mquina.

Conversen sobre una forma de obtener mquinas equivalentes ala mquina dada.

Cuantas mquinas distintas equivalentes a la mquina dadapodrn encontrar?

Gua 5 B

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Matemticas

64

5. Aplica la idea de las mquinas equivalentes y resuelve la

pregunta de Mariana.

De un bloque de queso tomo unpedazo que pesa los 2

3del peso

total del bloque.

y yo de un bloque igual al que tutomaste, corto un pedazo que pesa

los 1015

del peso total.

Dime si la parte que yo he tomadopesa ms, menos o igual que el

tuyo.

6. Resuelve los problemas.

Don Alberto siembra de tomate de su parcela y dezanahoria. A cul de los dos productos le dedica ms terreno?

de las mujeres de la vereda son mayores de 25 aos y sonnias menores de 12 aos. Hay ms, menos o la misma cantidadde nias menores de 12 aos que mayores de 25?

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GuaC

Estudiemos fracciones equivalentes

1. Escribe los pares de fracciones como mquinas y si lasmquinas son equivalentes entonces las fracciones sonequivalentes. Di si las dos fracciones son equivalentes.

34

2

3

12

23

12

45

15

2

5

23

1520

6

8

36

630

8

20

412

y

y

y

y

y

y

2. Haz grficos con rectngulos o crculos y verifica si las siguientesfracciones son equivalentes:

3. Encuentra 5 fracciones que sean equivalentes a la fraccin dada encada caso:


5. Conversen sobre un mtodo que les permita encontrarfracciones equivalentes.

Cuntas fracciones equivalentes a una fraccin dadapodran encontrar si aplican el procedimiento encontrado?

Gua 5 C

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Matemticas

66

Complificacin de fracciones

Se tiene la fraccin

Multiplicando numerador y denominador por 2

34 683x24x2= =

3

4

3x2

4x2

= =

34

912

3x34x3

= =

3x3

4x3

= 3x4

4x4

= 3x5

4x5

=

Multiplicando numerador y denominador por 3

Se puede seguir por 4, por 5, etc.

...

34

=68

= 912

= 1216

= 1520

= ...

A este proceso se le llama complificar. Nos permite transformar una fraccina otra equivalente, que tenga numeradores y denominadores mayores.

6. Aplica el mtodo de complificacin para obtener 10fracciones equivalentes a la fraccin dada.

23

48

53

7. En la escuela tienen una parcela de forma rectangular de 240 m por 120 m.Los alumnos preparan el terreno para sembrar dos tipos de hortalizas A y B. Ala hortaliza A desean dedicar la cuarta parte de su parcela y a la B la terceraparte, aydales a dividir el terreno. Haz un croquis en el que muestres por dnde

recomiendas hacer las divisiones y di a cul de las dos hortalizas vas a destinarms terreno. Justifica tus respuestas.

8. Conversen sobre sus procedimientosy respuestas.

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72120

3660

1830

915

3660

1830

915

35

72 2120 2

36 260 2

18 230 2

9 315 3

=

=

=

=

=

=

=

=

72120

72120

3660

35

= =1830

= 915

= 35

=

612

4270

69

2142

Simplificacin de fracciones

El procedimiento anterior se puede hacer en sentido contrario.

Por ejemplo se tiene

Se verifica si el numerador y eldenominador son mltiplos de 2 y sehacen las divisiones, despus si sonmltiplos de 3, de 5, etc.

A este mtodo se le llama simplificacin de fracciones. A expresionescomo 35 se les llamafraccin irreducible, porque ya no se puedereducir ms; su numerador y denominador no tienen un mltiplo comn;

es decir, no hay un mismo nmero, que los dividida a ambos.

9. Simplifica las fracciones siguientes, hasta obtener unafraccin irreducible.

10.Combina los mtodos de complificacin y simplificacin para transformar las dosfracciones a otras dos que tengan el mismo denominador que se indica.34

23

56

15

y

y denominador 15

denominador 12

Gua 5 C

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Matemticas

68

Apliquemos las fracciones para resolver problemas cotidianos

Gua 5D

1. Estudien el dilogo de MarianayAlejoque tienen cuando tratande resolver un problema de la actividad 7 de la Gua 5C. Primero que todo vuelvan a leer el problema y despus

estudien lo que hacen MarianayAlejo.

Mariana, para sabera cul de las hortalizas dedican ms terreno,

te propongo que dibujemos el terreno yrepresentemos las partes que dedican a cada

hortaliza.

Bueno,hagmoslo. Despus te cuento la forma

como yo pens el problema.

1

3

1

3

1

3

80 m

240 m

120 m

El dialogo entre MarianayAlejocontinua as:

Alejo: si comparas la parte correspondiente a con la parte correspondientea , concluimos que la de es ms grande que la de .

1

4

1

4

1

4

1

4

240 m

60 m

120 m

60 m

120 m

80 m

120 m

El rea de esta parterepresenta del rea total

del terreno.

El rea de esta parterepresenta del rea total

del terreno.

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Mariana:simplemente yo razono as:

Hortaliza A = o sea de 4 partes iguales toman 1. Hortaliza B = o sea de 3 partes iguales toman 1.

Las partes de los tercios necesariamente son ms grandes que lasde los cuartos, porque en el primer caso se divide en menos partesque en el segundo. Como en ambos casos se toman de a unaparte, a la hortaliza B se le dedica ms terreno.

Alejo: s, tienes razn, este mtodo es mucho ms potente que el mopara casos como estos, pues no tenemos que hacer grficos,adems no importan para nada las medidas del terreno.

Ahora entiendo, de algo siempre ser ms grande que noimporta lo que sea ese algo, siempre que ese algo sea el mismo.

Mariana:eso es, por ejemplo, podramos pensar en otro problema, digamosque en un hospital de los pacientes son hombres y mujeres,

y que nos preguntan: hay ms, menos o la misma cantidad depacientes mujeres que hombres?

2. Cul es tu respuesta a la pregunta anterior?

Est bien, pero yo tengo una formade pensar el problema que me

parece ms potente.

Dime, cmo haces.

Gua 5 D

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Matemticas

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3. Inventen un problema en el que la totalidad que se reparte sea leche, y una partesea y la otra . Conversen cmo lo resolveran.

Marianatu mtodo es muy bueno, perocmo haramos en los casos en que lasfracciones que se comparan no tienen el

mismo numerador.

Eso es fcil propongoel problema.

Alejo: por ejemplo este problema, don Arturo recoge su cosecha denaranja: grandes, medianas y pequeas. Don Arturo elabor lasiguiente tabla. Observa que en la tabla el manchn no deja ver lafraccin de naranjas medianas.

Fraccin de naranjas segn tamao

Tamao Fraccin

Grandes

Medianas

Pequeas

Hay ms, menoso igual cantidad denaranjas pequeas quegrandes?

Mariana:como aqu el numerador y el denominador son diferentes,te propongo que transformemos las dos fracciones para

llevarlas a fracciones que tengan el mismo denominador.

25

1435

=

7x

7x

37

1535

=

5x

5x

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Fraccin de naranjas segn tamao

Tamao Fraccin

Grandes

Medianas

Pequeas

Ahora podemos hacer la comparacin con facilidad.

Hay menos naranjasgrandes que pequeas.

1435

1535

mt grado05 01

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