new.math.msu.sunew.math.msu.su › department › dm › data › uploads › seminar12...m34 УДК...
TRANSCRIPT
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВА
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
МАТЕРИАЛЫ
XII Международного семинара
«ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ»имени академика О. Б. ЛУПАНОВА
(Москва, 20–25 июня 2016 г.)
Издательство механико-математического факультета МГУ
Москва 2016
M34УДК 519.7
Издание осуществлено приподдержке Российского фондафундаментальных исследова-ний по проекту 16–01–20345.
М34 Материалы XII Международного семинара «Дискретная ма-тематика и ее приложения» , имени академика О. Б. Лупанова(Москва, МГУ, 20–25 июня 2016 г.) / Под редакцией О. М. Касим-Заде. — М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ,2016. — 417 с.
Сборник содержит материалы XII Международного семинара «Дис-кретная математика и ее приложения» имени академика О. Б. Лупано-ва, проходившего на механико-математическом факультете МГУ имениМ.В. Ломоносова с 20 по 25 июня 2016 г. при поддержке Российского фондафундаментальных исследований (проект 16–01–20345). Для студентов, аспи-рантов и научных работников в области дискретной математики и матема-тической кибернетики.
Научное издание
МАТЕРИАЛЫXII МЕЖДУНАРОДНОГО СЕМИНАРА
«ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ»имени академика О. Б. Лупанова
(Москва, МГУ, 20–25 июня 2016 г.)
Под общей редакцией О. М. КАСИМ-ЗАДЕ
Редакционная группа:О.С. Дудакова, Р.М. Колпаков, Ю.А. Комбаров
В. В. Кочергин, А. В. Чашкин
Ответственный за выпуск Ю.А. Комбаров
Н/КИД 04059 от 20.02.2001 Подписано к печати 05.08.2016. Формат 60 × 90/16.Бумага типогр. 1. Печ. л. 26,5. Тираж 200 экз.Издательство механико-математического факультета МГУ. 119991, Москва, Ле-нинские горы, МГУ.Отпечатано с оригинал-макета в типографии «DIAMOND TEAM», Москва.
c© Коллектив авторов, 2016
ПРЕДИСЛОВИЕ
XII Международный семинар «Дискретная математика и ее при-ложения» имени О. Б. Лупанова, проходил на механико-математи-ческом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова с 20 по 25 июня2016 г. при поддержке Российского фонда фундаментальных иссле-дований (проект 16–01–20345).
Оргкомитетом семинара до начала его работы были разосланыинформационные письма в ведущие научные центры и университетыстран СНГ, отобраны наиболее интересные доклады и сообщения длязаслушивания на пленарных и секционных заседаниях.
Семинар собрал более 200 участников (в том числе около 50 док-торов наук) из 40 научных центров России, Беларуси, Украины,Молдовы и Узбекистана.
Работа семинара проходила в семи секциях:— синтез, сложность и надежность управляющих систем,— теория функциональных систем,— комбинаторный анализ,— теория графов,— математическая теория интеллектуальных систем,— дискретная геометрия,— теория кодирования и математические вопросы теории защиты
информации.Всего было заслушано 15 пленарных и 119 секционных докладов;
содержание большинства из них отражено в настоящем сборнике.Тексты публикуются в авторской редакции (исправлены замечен-
ные опечатки).
3
ПЛЕНАРНЫЕ ДОКЛАДЫ
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ О.Б. ЛУПАНОВА
В. В. Кочергин (Москва)
Отправной точкой для доклада на семинаре и для данного тек-ста стали обнаруженные несколько лет назад три листочка с запися-ми Олега Борисовича Лупанова, датированныe, по-видимому, весной1988 года. В этих листочках О. Б. Лупанов ставил автору, тогда ещестуденту-пятикурснику, задачу о сложности вычисления элементовконечных абелевых групп. С тех пор в этом и близких направлени-ях был получен ряд результатов, постановки задач видоизменялись,расширялись, переосмысливались, так или иначе все дальше удаля-ясь от исходной. В связи с этим представляется важным вернуться кзадаче именно в исходной постановке — решению задач в изначаль-ной постановке О. Б. Лупанов придавал большое значение.
Достаточно серьезное продвижение в решении поставленной за-дачи было получено в начале 90-х годов в работах [4, 5]. Однако вдальнейшем эти результаты получили развитие в несколько другойплоскости, дистанцировшись от первоначальной задачи. Первой по-сле долгого перерыва попыткой ответить в точности на вопросы изупомянутых листочков стала заметка [10], в которой, в основном,применением ранее установленных для близких задач результатовполучены ответы на некоторые вопросы. Для удовлетворительногоответа на все поставленные вопросы потребовалось еще три года...
Постановка задачиПусть G — конечная абелева группа (групповую операцию будем
называть умножением). Подмножество B = a1, . . . , aq элементовгруппы будем называть базисом в группе G, если G раскладываетсяв прямое произведение циклических подгрупп, порожденных элемен-тами множества B:
G = 〈a1〉u1 × . . .× 〈aq〉uq ,
где ui — порядок элемента ai, i = 1, . . . , q.Для каждого элемента g группы G определим его сложность ре-
ализации (вычисления) над базисом B, обозначаемую через L(g;B)как минимальное число операций умножения, достаточное для вы-числения элемента g с использованием элементов множества B, при
4
этом все уже вычисленные элементы могут быть использованы мно-гократно — в этом принципиальное отличие этой, «схемной», ме-ры сложности от другой, «формульной» (см., например, [2]), мерысложности вычислений элементов в группах. Отметим также, что валгебре под задачей вычислений в группе понимают, как правило,совсем другую задачу, а именно, задачу распознавания равенстваслов в группе — см., например, [17].
Сложность реализации элемента g группы G над базисом B удоб-но интерпретировать на языке схем из функциональных элемен-тов [15], как это сделано, например, в [5]: на входы схем подаютсябазисные элементы группы G, сами схемы состоят из двухвходовыхэлементов, которые по двум представителям группы G, поступаю-щим на входы, реализуют их произведение; под сложностью схемыпонимается число функциональных элементов в схеме (т. е. операцийумножения), а сложность реализации L(g;B) элемента g группы Gнад базисом B численно равна минимальной сложности схем, реа-лизующих элемент g над базисом B.
Имеет смысл дать еще одно эквивалентное определение величи-ны L(g;B). Вычислительной цепочкой (по аналогии с аддитивнойцепочкой [3]) для элемента g конечной абелевой группы G над ба-зисом B = a1, . . . , aq будем называть всякую последовательностьa1, . . . , aq, h1, h2, . . . , hr = g элементов группы G, удовлетворяющуюсвойству: для каждого k, 1 ≤ k ≤ r, найдется два не обязательно раз-личных элемента hk1 и hk2 из множества a1, . . . , aq, h1, h2, . . . , hk−1,т. е. лежащих в этой последовательности левее элемента gk, таких,что hk = hk1hk2. Число r называется длиной вычисления элементаg над базисом B, минимальная длина вычисления элемента g надбазисом B совпадает с величиной L(g;B).
Сложность L(G,B) конечной абелевой группы G над базисом Bопределим так:
L(G,B) = maxg∈G
L(g;B).
Положим
LM(G) = maxB : B− базис G
L(G,B), Lm(G) = minB : B−базис G
L(G,B).
Так как конечная абелева группа G полностью определяется век-тором v = (v1, . . . , vq) порядков примарных циклических компо-нент, то вместо обозначения LM(G) можно использовать обозначе-ние M(v), а вместо Lm(G) — m(v).
5
Для абелевой группы, порядки примарных циклических компо-нент которой задаются вектором v, будем использовать обозначе-ние Gv.
Для вектора v = (v1, . . . , vq) обозначим через ‖v‖ величинуv1v2 . . . vq. Положим
M(n) = maxv : ‖v‖≤n
M(v), m(n) = maxv : ‖v‖≤n
m(v).
Кроме того, введем функции Mср(n) и mср(n), характеризующиесредние значения соответствующих мер сложности абелевых групппорядка n, определив их равенствами
Mср(n) =
∑LM(G)
A(n), mср(n) =
∑Lm(G)
A(n),
где суммы берутся по всем различным (с точностью до изоморфиз-ма) абелевым группам G порядка n, а A(n) — количество попарнонеизоморфных абелевых групп порядка n.
Задача, поставленная О. Б. Лупановым, заключается в том, что-бы, во-первых, как можно более точно оценить величину L(G,B);во-вторых, найти числовые функции f1(v) и f2(v), определенныена векторах v, характеризующих порядки примарных циклическихгрупп, с помощью которых выражались бы величины M(v) и m(v)(хотя бы асимптотически или с точностью до порядка при условии,что порядок всей группы стремится к бесконечности); в-третьих, ис-следовать рост функций M(n) и m(n), а также функций Mср(n) иmср(n), при n→ ∞.
Основные результатыПолучение точных формул для введенных мер сложности при
больших значениях порядков групп является, по всей видимости,очень трудной задачей, что подтверждается, в частности, NP -пол-нотой близкой задачи [23], о которой ниже также пойдет речь. По-этому далее будем говорить только об асимптотических оценках, повозможности асимптотически точных или хотя бы точных по поряд-ку при условии роста к бесконечности порядка группы.
Первые серьезные результаты в решении этих задач были по-лучены в работе [5] (см. также краткий вариант [4]). Помимо двухпростых нижних оценок (одна из которых стандартная мощностная),была получена и важная верхняя оценка сложности конечной абеле-вой группы над заданным базисом. Чтобы сформулировать эти оцен-ки введем следующие обозначения. Пусть G = 〈a1〉u1 × . . . × 〈aq〉uq .
6
Тогда для базиса B = a1, . . . , aq положим k(B) = max1≤i≤q
ui. Кроме
того, для произвольного базиса B конечной абелевой группы поло-жим q(B) = |B|. Иногда будем вместо q(B) использовать обозначе-ние q, если при этом не возникает коллизий.
Теорема 1 [5]. Пусть B — базис конечной абелевой группы G.
Тогда1
L(G,B) ≥ ⌊log(k(B)− 1)⌋+ q(B)− 1.
Теорема 2 [5]. Для произвольного положительного ε найдетсятакое положительное m(ε), что для сложности любой конечнойабелевой группы G над базисом B при выполнении условия |G| >m(ε) справедлива оценка
L(G,B) ≥ log |G|log log |G|
(1 + (1− ε)
log log log |G|log log |G|
).
В основе доказательства верхней оценки величины L(G,B) из [5]лежит сведение задачи вычисления элемента группы к задаче ре-ализации булевых матриц специального вида вентильными схема-ми [14, 26] — ориентированными графами без ориентированных цик-лов с двумя группами выделенных вершин, называемых, соответ-ственно, входами и выходами схемы, такими что ориентированныепути от входа к входу, от выхода к выходу и от выхода к входу от-сутствуют, а число путей от i-го входа к j-му выходу равно элементуматрицы, стоящему на пересечении i-й строки и j-го столбца. Вычис-ляемому элементу группы сопоставляется булева матрица, столбца-ми которой являются двоичные записи показателей степеней в пред-ставлении элемента через образующие; при этом старшие разрядыдополняются нулями для выравнивания высоты. С использованиемвентильной конструкции автора из [5], опирающейся в свою очередьна конструкции О. Б. Лупанова [14], Э. И. Нечипорука [16] и Н. Пип-пенджера [26] и дающей асимптотически оптимальную оценку через«информационную площадь» матрицы, доказана следующая
Теорема 3 [5]. Существуют такие положительные константыc1 и c2, что для произвольной конечной абелевой группы G и любогобазиса B этой группы справедливо неравенство
L(G,B) ≤ log |G|log log |G|
(1 + c1
(log log log |G|log log |G|
)1/2)+
+ c2 max(log k(B), q(B)).
1Здесь и далее все логарифмы берутся по основанию 2.
7
Теоремы 1–3 устанавливают порядок роста величины L(G,B):при условии |G| → ∞ справедливо равенство
L(G,B) = Θ
(log |G|
log log |G| + log k(B) + q(B)
).
Кроме того, результаты, установленные в [5], с использованиемтеоремы Бертрана — Чебышева о распределении простых чисел (см.,например, [20]), в силу которой найдется простое p, удовлетворяющееусловиям ⌈n/2⌉ < p < 2⌈n/2⌉, а следовательно, и неравенствам n/2 <p ≤ n, по-существу позволяют доказать справедливость следующихутверждений.
Теорема 4. При n→ ∞ справедливы равенства
M(n) = logn+logn
log logn+ o
(logn
log logn
);
m(n) = logn+logn
log logn+ o
(logn
log logn
).
Тем самым получено решение еще одной из поставленныхО. Б. Лупановым задач — найдена асимптотика роста функцийM(n)и m(n) (на самом деле не только асимптотика, но и асимптотикаостаточного члена).
Собственно, на этом результаты в данном направлении формаль-но, по-видимому, и исчерпывались. Были еще две работы автора [6,9], являющиеся в некотором смысле логическим продолжением ста-тьи [5], но они посвящены задачам сложности вычислений (в том жесамом смысле) в конечных нильпотентных и разрешимых группах, ив них новых результатов для класса конечных абелеых групп прак-тически не содержится. Однако задачи, поставленные О. Б. Лупано-вым, имеют тесную связь с задачей Ричарда Беллмана, на которойостановимся несколько подробнее.
В 1963 г. Р. Беллман [22] (для случая m = 2), а затемв 1964 г. Е. Страус [28] (для произвольного m) сформулировализадачу о нахождении сложности вычисления одночлена от m пе-ременных. Под сложностью вычисления одночлена xn1
1 xn22 . . . xnm
m
(обозначение l(xn11 xn2
2 . . . xnmm )) понимается минимальное число опе-
раций умножения, достаточное для вычисления по переменнымx1, x2, . . . , xm одночлена xn1
1 xn22 . . . xnm
m . На аддитивном языке вели-
8
чина l(xn11 xn2
2 . . . xnmm ) формально определяется как минимально воз-
можная длина r последовательности m-мерных векторов (наборов)
d1 = (1, 0, . . . , 0),d2 = (0, 1, . . . , 0), . . . ,dm = (0, 0, . . . , 1),
dm+1,dm+2, . . . ,dm+r = (n1, n2, . . . , nm),
начинающейся с m единичных векторов и удовлетворяющей усло-вию: для каждого k, m+ 1 ≤ k ≤ m + r, найдется два натуральныхчисла (не обязательно различных) i и j, 1 ≤ i ≤ k − 1, 1 ≤ j ≤ k − 1,таких, что dk = di + dj (сложение векторов покомпонентное).
На самом деле задача Беллмана эквивалентна [19, 24, 25] извест-ной задаче Дональда Кнута [3, разд. 4.6.3, упр. 32] о нахождениивеличины l(xn1 , xn2 , . . . , xnm) — сложности вычисления набора сте-пеней (xn1 , xn2 , . . . , xnm), т. е. минимального числа умножений, до-статочного для вычисления множества степеней xn1 , xn2 , . . . , xnm ис-ходной переменной x. Эта эквивалентность, заключающаяся в спра-ведливости равенства
l(xn11 xn2
2 . . . xnmm ) + 1 = l(xn1 , xn2 , . . . , xnm) +m,
позволяет говорить об этих двух задачах как об одной задаче Белл-мана — Кнута.
Небольшой обзор результатов по задаче Беллмана — Кнута мож-но найти в [12].
Очевидно, что для произвольного элемента an11 an2
2 . . . anmm абеле-
вой группы 〈a1〉 × 〈a2〉 × . . .× 〈am〉 справедливо неравенство
L (an11 an2
2 . . . anmm , a1, a2, . . . , am) ≤ l (xn1
1 xn22 . . . xnm
m ) .
Поэтому верхние оценки сложности в задаче Беллмана — Кнута ав-томатически дают верхние оценки в задаче о сложности вычисленияэлементов конечных абелевых групп. С получением нижних оценоксложности вычисления элементов конечных абелевых групп черезнижние оценки для задачи Беллмана — Кнута, конечно, все не такоднозначно, что и иллюстрируют следующие два примера.
Пример 1. С одной стороны, справедливо равенство l(x31) = 7(см., например, [3]), а с другой стороны, в группе 〈a〉33, очевидно,выполняется соотношение L(a31, a) = 6.
Обобщая, получаем, с одной стороны, неравенство
l(x2n−1) ≥ n+ logn− 2, 13,
9
вытекающее из основного результата работы [27], а с другой, длягруппы 〈a〉2n+1 — равенство
L(a2
n−1, a)= n+ 1.
Таким образом,
l(x2n−1)− L
(a2
n−1, a)≥ log n− 3, 13.
Пример 2. Для произвольногоm oбозначим через (n1, n2, . . . , nm)набор, удовлетворяющий двум условиям:
1) ni ≤ 2m, i = 1, 2, . . . ,m;2) l (xn1
1 xn22 . . . xnm
m ) = max l(xt11 x
t22 . . . xtmm
), где максимум берется
по всем наборам (t1, t2, . . . , tm) с целыми неотрицательными компо-нентами, не превышающими величины 2m.
Из стандартных мощностных соображений (см., например, [7])при всех достаточно больших значениях m следует такое неравен-ство:
l (xn1
1 xn2
2 . . . xnmm ) ≥ m2
2 logm.
Теперь положим n = maxj=1,2,...,m
nj , ri = 2n+1−ni (i = 1, 2, . . . ,m).
Отметим, что при всех i, 1 ≤ i ≤ m, выполняются неравенства ni <ri. Рассмотрим группу 〈a1〉r1 × 〈a2〉r2 × . . . × 〈am〉rm . В этой группесправедлива цепочка равенств
(a1a2 . . . am)2n+1 =
m∏
i=1
a2n+1−ni+ni
i =
m∏
i=1
(arii ani
i ) = an11 an2
2 . . . anmm .
Поэтому, используя известный факт о том, что для возведения встепень t достаточно log t + o(log t) операций умножения [21] (см.также, например, [3]), при m→ ∞ получаем следующую оценку2:
L (an11 an2
2 . . . anmm , a1, a2, . . . am) ≤ logn+ o(logn) +m . 2m.
2Для функций f(m) и g(m), заданных на множестве натуральных чисел, при
m → ∞ запись f(m) . g(m) означает выполнение условия limm→∞
f(m)g(m)
≤ 1,
запись f(m) & g(m) — выполнение условия limm→∞
f(m)g(m)
≥ 1, и, наконец, запись
f(m) ∼ g(m) — выполнение условия limm→∞
f(m)g(m)
= 1.
10
Следовательно,
l (xn11 xn2
2 . . . xnmm ) &
(L (an11 an2
2 . . . anmm , a1, a2, . . . am))2
8 logL (an11 an2
2 . . . anmm , a1, a2, . . . am) ,
т. е. отличие в порядках роста сложности с увеличением параметраm для двух задач почти квадратичное.
Таким образом, сами нижние оценки, полученные при исследова-нии задачи Беллмана — Кнута, не могут быть напрямую примененыдля получения нижних оценок сложности вычислений элементов ко-нечных абелевых групп. Однако основные методы получения ниж-них оценок с различной степенью эффективности работают и в этойзадаче.
Возвращаясь к верхним оценкам в задаче Беллмана — Кнута, от-метим, что наиболее сильная из них получена в работе [12] на основеоценок из [1], которые, в свою очередь, существенно опираются нарезультаты из [5]. Нам достаточно будет следующей упрощеннойформулировки (в работе [12] это следствие к теореме 1).
Утверждение 1 [12]. Для любой последовательности наборов
натуральных чисел n(s) =(n1(s), n2(s), . . . , nm(s)(s)
), s = 1, 2, . . . ,
удовлетворяющей условию
m(s)∑
i=1
ni(s) → ∞,
при s→ ∞ выполняется неравенство
l(xn11 xn2
2 . . . xnmm ) . log
(max
1≤i≤mni(s)
)+
logN(s)
log logN(s)+m(s),
где N(s) = n1(s)n2(s) . . . nm(s).С использованием утверждения 1 один из результатов работы [5]
можно значительно усилить следующим образом.Теорема 5. Пусть G = 〈a1〉u1 × . . . × 〈aq〉uq , B = a1, . . . , aq.
Тогда при |G| → ∞ справедливы соотношения
max
(log |G|
log log |G| , log k(B) + q
). L(G,B) .
log |G|log log |G| + log k(B)+ q.
Теперь, возвращаясь к нижним оценкам, сформулируем в упро-щенном виде, удобном для наших целей, основной результат рабо-ты [8].
11
Утверждение 2 [8]. Пусть последовательность наборов
n(s) =(n1(s), n2(s), . . . , nm(s)(s)
), s = 1, 2, . . . ,
натуральных чисел при s→ ∞ удовлетворяет условию
m(s) = o
(log(maxini(s)
)+
logN(s)
log logN(s)
),
где N(s) =∏m(s)i=1 ni(s). Тогда при s→ ∞ справедливо соотношение
max l(xt11 x
t22 . . . x
tm(s)
m(s)
)& log
(maxini(s)
)+
logN(s)
log logN(s),
где максимум берется по всем наборам (t1, t2, . . . , tm(s)) целых чи-
сел, удовлетворяющих условиям 0 ≤ ti ≤ ni(s), i = 1, 2, . . . ,m(s).Как уже отмечалось выше, из нижней оценки для задачи Белл-
мана напрямую не следует аналогичная нижняя оценка сложностиконечных абелевых групп. Тем не менее, повторяя с соответствую-щими изменениями рассуждения из работы [8], можно установитьследующий факт.
Теорема 6. Пусть B — базис конечной абелевой группы G. При|G| → ∞ если выполняется условие
q(B) = o
(log |G|
log log |G| + log k(B)
),
то справедлива асимптотическая оценка
L(G,B) &log |G|
log log |G| + log k(B).
Теперь перейдем к исследованию асимптотики роста величинM(v) и m(v).
Функцию h(n) натурального аргумента будем называть допусти-мой, если выполняется следующее свойство — для любых двух после-
довательностей натуральных чисел d(1)n и d(2)n , удовлетворяющихусловиям:
1) d(1)n → ∞;
2) d(2)n /2 ≤ d(1)n ≤ 2d
(2)n для всех достаточно больших значениях n,
12
при n→ ∞ справедливо асимптотическое равенство h(d(1)n ) ∼ h(d(2)n ).
Заметим, что допустимую функцию можно определить как функ-цию натурального аргумента, допускающую доопределение до мед-ленно меняющейся на бесконечности функции (см., например, [18]).
Теорема 7 [13]. При ‖v‖ → ∞ выполняются соотношения
log ‖v‖log log ‖v‖ . m(v) ≤M(v) . log ‖v‖,
причем для любых допустимых функций h1(n) и h2(n), удовлетво-ряющих при n→ ∞ условиям
logn
log logn. h1(n) . h2(n) . logn,
найдется последовательность векторов vs, удовлетворяющая усло-вию ‖vs‖ → ∞, для которой справедливы соотношения
m(vs) ∼ h1(‖vs‖), M(vs) ∼ h2(‖vs‖).
Перейдем к исследованию величины M(v). Пусть группа G пред-ставлена как прямое произведение своих примарных циклическихкомпонент:
G = 〈a1〉v1 × . . .× 〈aq〉vq .Обозначим через q(v) размерность (число координат) вектора v.
Далее для каждого простого делителя pi величины ‖v‖ обозна-чим через Pi(v) максимальный из порядков примарных цикличе-ских подгрупп, являющихся степенями числа pi. Теперь положимP (v) =
∏Pi(v), где произведение берется по всем простым делите-
лям числа ‖v‖. Легко заметить, что величина P (v) численно равнамаксимальному значению порядка среди всех элементов группы G.Кроме того, всегда найдется базис B1 группы G, для которого спра-ведливо равенство k(B1) = P (v).
Очевидно, что справедливы оценки M(v) ≥ q(v) − 1 и M(v) ≥log(P (v) − 1), но «объединение» их путем сложения оценок в однонеравенство подобно теореме 1 не является, вообще говоря, вернымсоотношением — например, для вектора v = (2, 3) имеем: M(v) = 3,q(v) = 2, log(P (v) − 1) ≈ 2, 32.
А вот соответствующая асимптотическая оценка справедлива.
13
Теорема 8 [13]. При ‖v‖ → ∞ выполняется асимптотическоенеравенство
M(v) & q(v) + logP (v).
Следующая теорема дает ответ еще на одну часть исходной за-дачи.
Теорема 9 [13]. При ‖v‖ → ∞ выполняются соотношения
max
(log ‖v‖
log log ‖v‖ , q(v)+logP (v)
).M(v).
log ‖v‖log log ‖v‖+q(v)+logP (v).
Теорема 9 уставливает порядок роста величины M(v), причемверхняя оценка может превышать нижнюю асимптотически не бо-лее чем в два раза. Кроме того, в случае, когда одна из величинlog ‖v‖
log log ‖v‖ или q(v)+logP (v) растет существенно быстрее другой, т. е.выполняется условие
log ‖v‖log log ‖v‖(logP (v) + q(v))
+log log ‖v‖(logP (v) + q(v))
log ‖v‖ → ∞,
теорема 9 устанавливает следующую асимптотику роста функцио-нала сложности M(v):
M(v) ∼ log ‖v‖log log ‖v‖ + logP (v) + q(v).
Для формулировки оценок асимптотического роста величиныm(v) введем обозначения. Пусть B — базис конечной абелевой груп-пы G. Положим
r(B) = ⌊log(k(B) − 1)⌋+ q(B), r(v) = minB : B−базис Gv
r(B).
Теорема 10 [13]. С одной стороны при ‖v‖ → ∞ выполняетсяверхняя оценка
m(v) .log ‖v‖
log log ‖v‖ + r(v);
с другой стороны, при всех достаточно больших значениях ‖v‖справедлива нижняя оценка
m(v) ≥ max
(log ‖v‖
log log ‖v‖ , r(v) − 1
).
14
Эта теорема уставливает порядок роста величины m(v), причемопять верхняя оценка может превышать нижнюю асимптотически не
более чем в два раза. В случае, когда одна из величин log ‖v‖log log ‖v‖ или
r(v) растет существенно быстрее другой, т. е. выполняется условие
log ‖v‖(log log ‖v‖)r(v) +
(log log ‖v‖)r(v)log ‖v‖ → ∞,
теорема устанавливает следующую асимптотику роста функционаласложности m(v):
m(v) ∼ log ‖v‖log log ‖v‖ + r(v).
В заключение сформулируем наиболее трудный из результатовв этом направлении за последнее время — теорему об асимптотиче-ском поведении функций Mср(n) и mср(n), характеризующих сред-ние значения соответствующих мер сложности абелевых групп по-рядка n.
Теорема 11 [13]. При n→ ∞ выполняются соотношения
logn
log logn. mср(n) ≤Mср(n) . logn,
причем для любых допустимых функций h1(n) и h2(n), удовлетво-ряющих при n→ ∞ условиям
logn
log logn. h1(n) . h2(n) . logn,
найдется такая последовательность ns, что ns → ∞ при s→ ∞,для которой справедливы соотношения
mср(ns) ∼ h1(ns); Mср(ns) ∼ h2(ns).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 14–01–00598.
Список литературы1. Гашков С. Б., Кочергин В. В. Об аддитивных цепочках век-
торов, вентильных схемах и сложности вычисления степеней // Ме-тоды дискретного анализа в теории графов и сложности. — Новоси-бирск, 1992. — Вып. 52. — С. 22–40.
15
2. Глухов М. М., Зубов А. Ю. О длинах симметрических и зна-копеременных групп подстановок в различных системах образую-щих // Математические вопросы кибернетики. Вып. 8. — М.: Наука,1999. — С. 5–32.
3. Кнут Д. Е. Искусство программирования для ЭВМ, т. 2. 1-еиздание. — М.: Мир, 1977.
4. Кочергин В. В. О сложности вычислений в конечных абелевыхгруппах // Доклады АН СССР — 1991. — Т. 317, 2. — С. 291–294.
5. Кочергин В. В. О сложности вычислений в конечных абелевыхгруппах // Математические вопросы кибернетики, вып. 4. — М.: На-ука, 1992. — С. 178–217.
6. Кочергин В. В. О сложности вычислений в конечных абеле-вых, нильпотентных и разрешимых группах // Дискретная матема-тика. — Т. 5, вып. 1. — 1993. — С. 91–111.
7. Кочергин В. В. О вычислении наборов степеней // Дискретнаяматематика. — Т. 6, вып. 2. — 1994. — С. 129–137.
8. Кочергин В. В. О сложности вычислений одночленов и набо-ров степеней // Дискретный анализ. — Новосибирск: ИздательствоИнститута математики СО РАН, 1994. — (Тр./РАН. Сиб. отделение.Ин-т математики; Т. 27) — С. 94–107.
9. Кочергин В. В. О сложности вычислений в конечных нильпо-тентных группах // Дискретный анализ и исследование операций. —1996. — Т. 3, 1. — С. 43–51.
10. Кочергин В. В. Некоторые задачи сложности вычисления эле-ментов конечных абелевых групп // Материалы XI Международногосеминара «Дискретная математика и ее приложения», посвященного80-летию со дня рождения академика О. Б. Лупанова (Москва, МГУ,18–23 июня 2012 г.) — М.: Издательство механико-математическогофакультета МГУ, 2012. — С. 135–138.
11. Кочергин В. В. Об одной нижней оценке сложности вычисле-ния элементов конечных абелевых групп // Проблемы теоретическойкибернетики. Материалы XVII международ. конференции (Казань,16–20 июня 2014 г.). — Казань: Отечество, 2014. — С. 155–158.
12. Кочергин В. В. Уточнение оценок сложности вычисления од-ночленов и наборов степеней в задачах Беллмана и Кнута // Дис-кретный анализ и исследование операций. — 2014. — Т. 21, 6. —С. 51–72.
13. Кочергин В. В. О некоторых мерах сложности конечных абе-левых групп // Дискретная математика. — 2015. — Т. 27, вып. 3. —С. 25–43.
16
14. Лупанов О. Б. О вентильных и контактно-вентильных схе-мах // Доклады АН СССР. — 1956. — Т. 111, 6. — С. 1171–1174.
15. Лупанов О. Б. О синтезе некоторых классов управляющихсистем // Проблемы кибернетики, вып. 10. — М.: Физматгиз, 1963. —C 63–97.
16. Нечипорук Э. И. О топологических принципах самокоррек-тирования // Проблемы кибернетики, вып. 21. — М.: Наука, 1969. —C. 5–102.
17. Ольшанский А. Ю. О сложности вычислений в группах //Соросовский образоват. журнал. — 2000. — Т. 6, 3. — C. 118–123.
18. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука,1985. — 144 с.
19. Сидоренко А. Ф. Сложность аддитивных вычислений се-мейств целочисленных линейных форм // Записки научных семи-наров ЛОМИ. — Л.: Наука, 1981. — Т. 105. — С. 53–61.
20. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чи-сел. — М.: Мир, 1974.
21. Brauer A. On addition chains // Bull. Amer. Math. Soc. —1939. — V. 45. — P. 736–739.
22. Bellman R. E. Addition chains of vectors (Advanced problem5125) // Amer. Math. Monthly. — 1963. — V. 70. — P. 765.
23. Downey P., Leong B., Sethi R. Computing sequences withaddition chains // SIAM Journal on Computing. — V. 10. — 1981. —P. 638–646.
24. Knuth D. E., Papadimitriou C. H. Duality in additionchains // Bulletin of the European association for Theoretical ComputerScience. — 1981. — V. 13. — P. 2–4.
25. Olivos J. On vectorial addition chains // J. Algorithms. — 1981. —V. 2, N 1. — P. 13–21.
26. Pippenger N. The mimimum number of edges in graphs withprescribed paths // Math. Systems Theory. — 1979. — V. 12, 4. —P. 325–346.
27. Schonhage A. A lower bound for the lenght of addition chains //Theoretical Computer Science. — 1975. — V. 1. — P. 1–12.
28. Straus E. G. Addition chains of vectors // Amer. Math.Monthly. — 1964. — V. 71. — P. 806–808.
17
КРИПТОГРАФИЯ И p-АДИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
М. П. Минеев, В. Н. Чубариков (Москва)
Настоящая статья представляет собой изложение нашего сообще-ния на Международном семинаре имени академика О. Б. Лупанова.На наш взгляд следующие слова Б. Паскаля в определенном смыслеотражают жизненные принципы О. Б. Лупанова: “Весь блеск поче-стей и величия не имеет цены в глазах людей, посвятивших себяисследованиям в умственной области.”
ВведениеАрифметика занимается изучением свойств целых чисел. Вели-
чина числа связана с аддитивной структурой чисел, последнее опре-деляет абелеву группу с образующей, равной 1. Другая характери-стика целых чисел связана с их делимостью и тесно связана с муль-типликативной структурой целых чисел. По умножению целые числаобразуют полугруппу, количество образующих которой бесконечно.Это простые числа. Данное обстоятельство вносит элемент неиссяка-емого научного интереса к теории целых чисел и ее приложениям. Вчастности, к применению ее в криптографии. Большую пользу приизучении мультипликативной теории чисел дает теория сравнений.Первые вопросы здесь возникают в связи со свойствами различныхарифметических объектов в полной и приведенной системах вычетовпо некоторым определенным модулям. Подобным моментам теориичисел посвящено настоящее сообщение.
§1. Китайская теорема об остаткахПусть m > 1 — натуральное число, m = m1m2, (m1,m2) = 1.
Тогда найдутся числа m′1 и m′
2 такие, что
m1m′1 ≡ 1 (mod m2), m2m
′2 ≡ 1 (mod m1).
Рассмотрим систему сравнений
x ≡ x1 (mod m1),
x ≡ x2 (mod m2),
с неизвестным x по модулю m. Единственное решение этой системыимеет вид
x ≡ m2m′2x1 +m1m
′1x2 (mod m).
Другими словами, если переменная x1 пробегает полную систему вы-четов по модулю m1, а x2 — полную систему вычетов по модулю m2,
18
то x пробегает полную систему вычетов по модулю m. Это утвер-ждение и есть китайская теорема об остатках (см., например, [1,гл. IV, §3, с. 57]).
1.1. Применение китайской теоремы об остатках к шифру Виже-нера.
Возвращаемся к “сложным” шифрам, для которых китайская тео-рема об остатках дает возможность изменить частоту появления зна-ков в них.
Рассмотрим известный многоалфавитный шифр Виженера. Онявляется обобщением одноалфавитного шифра простой замены ипредставляет собой шифр гаммирования с периодической гаммой(см., например, [9, с. 151–152; 8, с. 11]).
Пусть количество символов алфавита равно составному числу n.Каждому символу αr(r = 1, . . . , n) алфавита присваивается некото-рый вычет ar по модулю n, причем различным символам отвечаютразличные вычеты. Можно предложить следующий способ шифро-вания.
1.2. Предварительные преобразования. Пусть число n предста-вимо в виде n = dq, (d, q) = 1, d > 1, q > 1. Представим каждое число1 ≤ a ≤ n в виде
a ≡ qb+ dc (mod n), (2.1.1)
где 1 ≤ b ≤ d, 1 ≤ c ≤ q. Тогда по китайской теореме об остаткахвычет a по модулю n однозначно определяет вычеты b по модулю dи c по модулю q и наоборот.
Составим две таблицы Виженера, отвечающие вычетам b и c.Пусть b1, . . . , bd — полная система вычетов по модулю d, например,1, 2, . . . , d, и c1, . . . , cq — полная система вычетов по модулю q.
Тогда таблицы Виженера будут иметь вид
b1, b2, . . . , bd−1, bd, c1, c2, . . . , cq−1, cq,
b2, b3, . . . , bd, b1, c2, c3, . . . , cq, c1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
bd, b1, . . . , bd−2, bd−1, cq, c1, . . . , cq−2, cq−1.
Для каждой из приведенных выше таблиц Виженера при неко-торых натуральных числах s, t с условиями 1 ≤ s ≤ d, 1 ≤ t ≤ qвозьмем свой ключ k = (bk1 , bk2 , . . . , bks) для первой таблицы и соот-ветственно p = (cp1 , cp2 , . . . , cpt) для второй таблицы. Над каждымвычетом первой строки первой таблицы выписываем в строку сим-волы ключа k следующим образом
bk1 , bk2 , . . . bks , bk1 , bk2 , . . . .
19
Аналогично выписываем ключ p над второй таблицей.1.3. Процедура шифрования открытого текста.Пусть задан открытый текст ah1ah2 . . . ahu . По формуле (2.1.1)
преобразуем его в два текста. Имеем
bh1bh2 . . . bhu ; ch1ch2 . . . chu .
На пересечении h1-го столбца и k1-й строки в первой таблиценаходим символ x1, а на пересечении h1-го столбца и p1-й строкивторой таблицы находим символ y1. Повторим эту процедуру дляследующего символа ah2 и т.д. Получим шифрованный текст
x1y1x2y2 . . . xuyu
или два шифрованных текста x1x2 . . . xu и y1y2 . . . yu, или z1z2 . . . zu,где zt = qxt + dyt, 1 ≤ t ≤ u.
1.4. Процедура расшифрования.По ключам k и p в первой и второй таблицах Виженера находим
строки с номерами k1 и p1 соответственно. На этих строках находимэлементы x1 в первой таблице и y1 во второй таблице, а затем по этимэлементам находим, отвечающие им столбцы, и получаем элементыbh1 и ch1 . По тому же правилу восстанавливаются элементы bh2 и ch2
и т. д.Далее, используя формулу (2.1.1), по паре символов (bqt , cqt) на-
ходим символ aqt , t = 1, . . . , u. Процедура расшифрования заверше-на.
§2. p-адическая метрика поля рациональных чисел Q
Пусть k — поле. Тогда отображение φ : k → R+ называется мет-рикой, если
1) ∀α ∈ k φ(α) > 0, φ(0) = 0;2) ∀α, β ∈ k φ(α + β) ≤ φ(α) + φ(β);3) ∀α, β ∈ k φ(αβ) = φ(α)φ(β).Пара (k, φ) называется метризованным полем. Последователь-
ность αn из k называется сходящейся к элементу α, если φ(αn−α) →0 при n → ∞. Говорят, что αn фундаментальная последователь-ность, если она удовлетворяет условию Коши: для всякого ε > 0 най-дется номер n0 такой, что для всех n,m > n0 имеем φ(αn −αm) < ε.Метризованное поле (k, φ) называется полным, если любая фунда-ментальная последовательность сходится к элементу поля k.Для лю-бого метризованного поля k существует полное метризованное полеk, содержащее k в качестве всюду плотного подполя. Поле k опре-деляется однозначно с точностью до топологического изоморфизма,оставляющего элементы поля k на месте.
20
Поле p-адических чисел Qp — это пополнение поля рациональныхQ по p-адической метрике φp(x) = ρνp(x), где ρ — любое фиксирован-ное число с условием 0 < ρ < 1, а символ νp(x) означает содержаниепростого числа p в рациональном числе x.
Согласно известной теореме А. Островского все нетривиальныеметрики поля рациональных чисел исчерпываются вещественнойметрикой и p-адическими метриками для всех простых чисел p.
Из всякой ограниченной последовательности p-адических чиселQp можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Любое ξ ∈ Qp является пределом последовательности рациональ-ных чисел по p-адической метрике.
В поле Qp справедлив критерий Коши.Ряд Σξn, ξn ∈ Qp, сходится тогда и только тогда, когда
limn→∞
φp(ξn) = 0.
Любая перестановка членов сходящегося ряда из Qp не нарушаетсходимости и при перестановке его сумма не изменяется.
Если два ряда сходятся, то при любой перестановке попарныхпроизведений их членов ряд, являющийся произведением этих рядовсходится к произведению их сумм.
Каждое ξ ∈ Qp \ 0 однозначно представляется в виде ξ = pmε,где m = νp(ξ), а
ε =
∞∑
n=0
anpn, 1 ≤ a0 < p, 0 ≤ an < p∀n > 0.
Арифметические операции (четыре арифметических действия)над сходящимися рядами дают сходящиеся ряды. Суперпозиция схо-дящихся рядов приводит к сходящемуся ряду.
2.1. p-адическое обобщение малой теоремы Ферма. Теорема А. Г.Постникова.
Пусть p — простое число, an — последовательность p-адическихчисел из Qp. Тогда последовательность
a′n = ∆an =an+1 − an
pn
называется производной последовательностью по Шуру. Далееопределим индуктивно высшую производную
a(ν)n = ∆νan = ∆(aν−1n ) = ∆(∆ν−1an).
21
Малая теорема Ферма имеет вид.Теорема 2.1. Пусть a — целое p-адическое число. Тогда после-
довательность
∆apn
=ap
n+1 − apn
pn+1
будет состоять из целых p-адических чисел.И. Шур в подтверждение такой трактовки малой теоремы Ферма
доказал интересное ее обобщение.Теорема 2.2. Пусть a — целое p-адическое число и p 6| a. Тогда
следующие производные последовательности
∆apn
,∆2apn
, . . . ,∆p−1apn
,
состоят из целых p-адических чисел.Более того, если
ap−1 − 1
p≡ 0 (mod p),
то ∆rapn
, r = 1, . . . , p−1, состоят из целых p-адических чисел. Еслиже
ap−1 − 1
p6≡ 0 (mod p),
то для любого n число p в точности делит знаменатель ∆papn
.Важное приложение p-адических рядов к теории L-рядов Дири-
хле в 1955 г. дал А. Г. Постников [4].Теорема 2.3. Пусть g — первообразный корень по модулю
pn, p — простое и n — натуральное, indg(k) — индекс натураль-ного числа k по модулю pn относительно первообразного корня g.Тогда справедлива формула
indg(1 + pu)
p− 1≡ Λf(u) (mod pn−1),
где f(u) — многочлен степени n− 1,Λ — некоторая целочисленнаяпостоянная.
Это утверждение является p-адическим аналогом классическогоразложения при |x| < 1 для логарифма
ln(1 + x) = x− x2
2+x3
3− . . . .
22
§3. Об одной цифровой подписи и блочном шифре3.1. О цифровой подписи.Дадим обобщение цифровой подписи М. О. Рабина [11] (см. так-
же [10]). Оно связано с рассмотрением чисел по модулю, равномустепени простого числа.
Пусть абонент A создает цифровую подпись и передает ее по от-крытому каналу связи абоненту B. В качестве секретного ключа або-нент A выбирает большие нечетные простые числа p и q, сравнимыес 3 по модулю 4 и два натуральных числа a и b. Открытый ключсостоит из двух чисел n = pa и r = pb. Секретный ключ известентолько абоненту A.
Далее абоненту A присваивается некоторая метка Q — натураль-ное число.
Затем выбирается часть L передаваемого сообщения m. Числа Lи Q обязаны удовлетворять следующим условиям
(L, p) = 1, 0 < L < n,
(L
p
)= 1, (Q, q) = 1, 0 < Q < r,
(Q
q
)= 1.
Если для чисел L или Q не выполняется хотя бы одно из этихусловий, то абонент A заменяет в случае необходимости число L наL ± 1 и метку Q на Q ± 1. Он повторяет эту процедуру до тех пор,пока не найдет числа L и Q, удовлетворяющие приведенным вышеусловиям.
Абонент A образует новое сообщение C1, C2, где 0 < C1 < n, 0 <C2 < r, вида
L ≡ C21 (mod n), Q ≡ C2
2 (mod r),
и передает числа C1, C2 и L,Q, а также те величины, на которыеизменились числа L и Q, по открытому каналу связи абоненту B.Эти четыре числа C1, C2, L,Q и образуют цифровую подпись.
Решения C1, C2 строятся абонентом A, обладающим секретнымиключами p, q и a, b. Сравнения L ≡ C2
1 (mod n) и Q ≡ C22 (mod r) ре-
шаются единым алгоритмом. Поэтому рассмотрим сравнениеH ≡ x2
(mod ps), где заданы натуральные числа H, s, простое число p, и ве-личина x является неизвестной. Представим переменную x в видеx ≡ uν (mod pν+1), где uν = uν−1 + xνp
ν , ν ≥ 1, u0 = x0, и коорди-наты x0, x1, . . . , xs−1 изменяются в пределах от 0 до p − 1. Решимсначала сравнение
H ≡ x20 (mod p).
23
Все его решения суть: x0 ≡ ±H(p+1)/4 (mod p). Из двух найденныхзначений величины x0 возьмем то, которое является квадратичнымвычетом по модулю p, и обозначим его y0, причем 0 < y0 < p.
Далее, предположим, что найдено uν−1 при ν ≥ 1, причем u0 =y0. Найдем значение uν при ν ≥ 1. Имеем цепочку сравнений
H ≡ (uν−1 + pνxν)2 (mod pν+1),
H ≡ u2ν−1 + 2pνuν−1xν (mod pν+1),
xν ≡ (H − u2ν−1)(2uν−1)−1 (mod p),
поскольку H ≡ x20 (mod p), H ≡ u2ν−1 (mod pν) и 2uν−1 ≡ 2x0(mod p), 2x0 6≡ 0 (mod p).
Абонент B и представитель третьей стороны могут проверитьподлинность подписи с помощью открытого ключа n. Для этого вы-числяются значения L′ ≡ C2
1 (mod n) и Q′ ≡ C22 (mod r). Достаточ-
но установить, что L′ = L,Q′ = Q.3.2. О блочном шифре.Пусть задан открытый текст, представленный в цифровом виде
числом m, имеющим в двоичной записи k цифр. Возьмем любое на-туральное число r, удовлетворяющее условиям 1 ≤ r ≤ k/2. Разобьемчисло m на блоки, представив его в виде
m = m1 +m22r + · · ·+mn2
(n−1)r,
где 0 ≤ m1, . . . ,mn < 2r и (n− 1)r ≤ k < nr.Расположим числа m1, . . . ,mn в порядке возрастания, при этом
отметим места, где встречаются равные числаms и числаms, равныенулю. Далее, выбросим все ms, равные нулю и оставим по одномуэкземпляру из ненулевых равных чисел. Получим 0 < m1 < · · · <md < 2r.
Затем найдем сумму m1 + · · · + md = N1. Очевидно, имеемd(d + 1)/2 ≤ N1 < d2r. Выберем простое число p, находящееся впромежутке N1 ≤ p < 2N1. Предположим, что ms 6≡ mt (mod p)для всех s 6= t, 1 ≤ s, t ≤ d. Наконец, найдем суммы вторых,..., d-хстепеней чисел m1, . . . , md. Получим
m1 + · · ·+ md = N1,
m21 + · · ·+ m2
d = N2,
. . . . . . . . .
md1 + · · ·+ md
d = Nd.
(5.2.1)
24
Заметим, что p ≥ N1 ≥ md > · · · > m1.Числа N1, . . . , Nd составят часть шифртекста.Покажем, как по этим числам можно восстановить числа
m1, . . . , md. Рассмотрим систему сравнений
x1 + · · ·+ xd ≡ N1 (mod p),
x21 + · · ·+ x2d ≡ N2 (mod p),
. . . . . . . . .
xd1 + · · ·+ xdd ≡ Nd (mod p).
(5.2.2)
Эта система сравнений имеет единственное решение 0 < ν1,0 < · · · <νd,0 ≤ p, причем ν1,0 ≡ m1 (mod p), . . . , νd,0 ≡ md (mod p).
Действительно, пусть при 1 ≤ s ≤ d символ σs = σs(x1, . . . , xd)обозначает s-ю элементарную симметрическую функцию. Тогда приp > d из формул Ньютона—Варинга (см., например, [3, с. 60–61])
Ns −Ns−1σ1 + · · ·+ (−1)ssσs ≡ 0 (mod p)
функции σ1, . . . , σd однозначно выражаются через суммы степенейN1, . . . , Nd. С другой стороны, в поле из p элементов многочленf(z) = zd− σ1z
d−1 + · · ·+ (−1)dσd однозначно разлагается на линей-ные множители f(z) = (z − x1) . . . (z − xd). Тем самым, с точностьюдо перестановки находятся корни ν1,0, . . . , νd,0 предыдущей системысравнений.
Пусть при 1 ≤ s ≤ d найдены решения u1,s−1, . . . , ud,s−1 системысравнений
u1,s−1 + · · ·+ ud,s−1 ≡ N1 (mod ps−1),
u21,s−1 + · · ·+ u2d,s−1 ≡ N2 (mod ps−1),
. . . . . . . . .
ud1,s−1 + · · ·+ udd,s−1 ≡ Nd (mod ps−1).
Далее будем искать решение u1,s, . . . , ud,s системы сравнений помодулю ps. При 1 ≤ t, s ≤ d положим ut,s = ut,s−1 + ps−1xt,s. Имеемсистему сравнений
u1,s + · · ·+ ud,s ≡ N1 (mod ps),
u21,s + · · ·+ u2d,s ≡ N2 (mod ps),
. . . . . . . . .
ud1,s + · · ·+ udd,s ≡ Nd (mod ps).
(5.2.3)
25
Эта система сравнений эквивалентна следующей линейной относи-тельно неизвестных x1,s, . . . , xd,s системе сравнений вида
x1,s + · · ·+ xd,s ≡ N′
1 (mod p),
u1,s−1x1,s + · · ·+ ud,s−1xd,s ≡ N′
2 (mod p),
. . . . . . . . .
ud−11,s−1x1,s + · · ·+ ud−1
d,s−1xd,s ≡ N′
d (mod p),
(5.2.4)
где ps−1N′
l ≡ Nl − ul1,s−1 − · · · − uld,s−1 (mod ps) при 1 ≤ l ≤ d.
Поскольку для всех t = 1, . . . , d имеем ut,s−1 ≡ νt,0 (mod p), опре-делитель системы сравнений является определителем Вандермондас элементами ν1,0, . . . , νd,0, не сравнимыми между собой по моду-лю p, т. е. этот определитель отличен нуля. Следовательно, преды-дущая система сравнений имеет единственное решение x1,s ≡ ν1,s(mod p), . . . , xd,s ≡ νd,s (mod p).
Таким образом, при s = d из предыдущей системы сравненийполучим ее единственное решение вида
ut,d = νt,0 + pνt,1 + · · ·+ pd−1νt,d ≡ mt (mod pd), 1 ≤ t ≤ d.
Кроме того, так как 0 ≤ ut,d < pd и 0 < mt < N1 ≤ pd, то ut,d = mt
при всех t = 1, . . . , d.Тем самым, доказано, что по числам N1, . . . , Nd однозначно вос-
станавливаются числа m1, . . . , md.Таким образом, весь шифрованный текст будет состоять из на-
туральных чисел N1, . . . , Nd, указания мест расположения нулевыхчисел ms, т. е. указания индексов s для нулевых ms, далее указанияиндексов индексов чисел mt в порядке возрастания ms, 1 ≤ s ≤ d ипростого числа p.
Восстановление открытого текста по приведенному шифртекступроведем по следующим шагам.
1. Вычислим σd = σd(N1, . . . , Nd), где σd = m1 . . . md.2. Найдем σd ≡ σd (mod p). Поскольку при всех t = 1, . . . , d спра-
ведливы сравнения mt ≡ νt,0 (mod p), имеем σd ≡ m1 . . . md (mod p).Последнее обстоятельство упрощает перебор наборов при поиске ре-шения системы сравнений (5.2.2) по модулю p.
3. При s = 1, . . . , d находим решение u1,s, . . . , ud,s системы сравне-ний (5.2.3), решая линейную систему сравнений (5.2.4). Тем самымбудут найдены m1, . . . , md.
26
4. Так как имеется взаимно однозначное соответствие между на-бором m1, . . . , md и набором m1, . . . ,mn, то открытый текст будетвосстановлен.
Заметим, что избавиться от условия, что числа mt, 1 ≤ t ≤ d, несравнимы между собой по модулю p, можно добавлением к каждомуиз этих чисел натуральных слагаемых, не превосходящих d.
§4. Полные арифметические суммы значений многочленовБернулли от произвольного рационального многочленаНам представляется полезным в качестве приложения рассмот-
реть следующую сумму с многочленом Бернулли Bs(x). Заметим,чтодля этих сумм удается построить теорию, аналогичную анализу Фу-рье для тригонометрических функций.
Полная рациональная арифметическая сумма от функцииρs(x) = Bs(x) имеет вид
S = S
(f(x)
q
)=
q∑
x=1
ρs
(f(x)
q
),
где q > 1 — натуральное число, f(x) = anxn + · · · + a1x + a0 —
многочлен степени n ≥ 1, причем (an, . . . , a1, q) = 1.4.1. Гауссова теорема умножения для многочленов Бернулли.Нам необходима следующая известная формула Гаусса умноже-
ния для многочленов Бернулли.Лемма 4.1.1. Пусть n — натуральное число, (a, n) = 1. Тогда
для любого вещественного числа x имеем
n1−sBs(nx) = Bs(x) +Bs
(x+
a
n
)+ · · ·+Bs
(x+
a(n− 1)
n
).
Из леммы 4.1.1 выведем следующее утверждение.Лемма 4.1.2. Пусть n — натуральное число, (a, n) = 1. Тогда
для любого вещественного числа x имеем
n1−sBs(nx) = Bs(x)+Bs(x+
a
n
)+· · ·+Bs
(x+
a(n− 1)
n
).
Доказательство. Левая и правая части равенства имеют период,равный 1/n. Действительно,
Bs
(n
x+
1
n
)= Bs(nx+ 1) = Bs(nx);
27
n−1∑
m=0
Bs
(x+
am
n
)=
n−1∑
m=0
Bs
(x+
m
n
),
поскольку am пробегает полную систему вычетов по модулю n при(a, n) = 1, если m пробегает полную систему вычетов по модулю n;далее
n−1∑
m=0
Bs
(x+
1
n+m
n
)=
n−1∑
m=0
Bs
(x+
m+ 1
n
)=
=
n∑
m=1
Bs
(x+
m
n
)=
n−1∑
m=0
Bs
(x+
m
n
).
Поэтому достаточно доказать равенство при 0 ≤ x < 1/n. Для целых0 ≤ m ≤ n− 1 имеем
nx = nx,x+
m
n
= x+
m
n,
n−1∑
m=0
Bs
(x+
m
n
)=
n−1∑
m=0
Bs
(x+
m
n
),
Bs(nx)) = Bs(nx).
Следовательно, по теореме умножения (лемма 4.1.1) получаем иско-мую формулу. Лемма доказана.
Утверждение леммы 4.1.2 можно записать в виде.
n1−sρs(nx) = ρs(x) + ρs
(x+
a
n
)+ · · ·+ ρs
(x+
a(n− 1)
n
).
4.2. Редукция полных рациональных арифметических сумм попроизвольному модулю к суммам по модулям, равным степеням про-стых чисел.
Лемма 4.2.1. Пусть (q1, q2) = 1, f(x) = anxn + . . . a1x + a0 =
g(x) + a0 — многочлены с целыми коэффициентами. Тогда справед-ливо равенство
S
(f(x)
q1q2
)= S
(q−12 g(q2x1)
q1+q−11 g(q1x2)
q2+
a0q1q2
), (I.2.1)
28
где x, x1, x2 пробегают соответственно полные системы вычетовпо модулям q1q2, q1, q2.
Доказательство. Пусть x1 и x2 пробегают независимо соответ-ственно полные системы вычетов по модулям q1 и q2. Тогда x вида
x ≡ q2x1 + q1x2 (mod q1q2)
пробегает полную систему вычетов по модулю q1q2 и наоборот.Отсюда находим
g(x) ≡ g(q2x1) + g(q1x2) (mod q1q2),
что немедленно приводит к искомому равенству.4.3. “Подъем” решений полиномиального сравнения по модулю,
равному степени простого числа.Лемма 4.3.1. Пусть p — простое число, g(x) — многочлен
с целыми коэффициентами, a — корень кратности m сравненияg(x) ≡ 0 (mod p), и пусть u — наибольшая степень числа p, де-лящая все коэффициенты многочлена h(x) = g(px+ a). Тогда числокорней сравнения
p−uh(x) ≡ 0 (mod p)
с учетом их кратностей не превосходит m.Доказательство см., например, в [14, с. 55, лемма 2].Лемма 4.3.2. Пусть p — простое число, f(x) = anx
n+· · ·+a1x+a0 — многочлен с целыми коэффициентами, (an, . . . , a1, p) = 1, ипусть u — наивысшая степень числа p, делящая все коэффициентымногочлена g(x) = f(λ+ px)− f(λ). Тогда имеем 1 ≤ u ≤ n.
Доказательство см., например, [14, с.56, лемма 3].4.4. Редукция к линейным сравнениям.Пусть p — простое число, l ≥ 2 — натуральное число, f(x) =
n∑k=0
akxk, (an, . . . , a1, p) = 1. Рассмотрим сначала случай, когда p
превосходит степень многочлена f, т. е. p > n. Представим сумму
S(f(x)pl
)в виде
S
(f(x)
pl
)=
p∑
ξ=1
Sξ, Sξ =
pl∑
x=1x≡ξ (mod p)
ρs
(f(x)
pl
). (I.4.1)
Имеем следующее утверждение.
29
Лемма 4.4.1. Пусть f ′(ξ) 6≡ 0 (mod p). Тогда Sξ =
p(1−s)(l−1)ρs
(f(ξ)p
).
Доказательство. Имеем
Sξ =
pl−1∑
y=1
y≡ξ (mod p)
p−1∑
z=0
ρs
(f(y + pl−1z)
pl
)=
=
pl−1∑
y=1
y≡ξ (mod p)
p−1∑
z=0
ρs
(f(y)
pl+f ′(y)z
p
). (I.4.2)
Воспользуемся леммой 4.1.2. Найдем
Sξ = p1−spl−1∑
y=1
y≡ξ (mod p)
ρs
(f(y)
pl−1
).
Повторяя эту процедуру l − 2 раза, получим утверждение леммы.Лемма 4.4.2. Пусть f ′(ξ) ≡ 0 (mod p). Тогда
Sξ =
pl−1∑
y=1
y≡ξ (mod p)
ρs
(f(y)
pl
)p = p
pl−2∑
y=1
ρs
(f(ξ + py)
pl
).
Доказательство. Из равенства (I.4.2) получим утверждение лем-мы 4.4.2.
4.5. Цепочка показателей и оценка полной рациональной ариф-метической суммы.
Теорема 4.5.1. Пусть n ≥ 2 — целое число, f(x) = anxn + · · ·+
a1x + a0 — многочлен с целыми коэффициентами, (an, . . . , a1, p) =1, p > n — простое число и l — натуральное число, и пусть j —наименьшая длина цепочки показателей (u1, u2, . . . ). Тогда, еслиu1 + · · ·+ uj ≥ l, u1 + · · ·+ uj + uj−1 = l − 1, то имеем оценку
∣∣∣∣S(f(x)
pl
)∣∣∣∣ ≤ n2pl−j−1/2;
30
если же u1 + · · ·+ uj ≥ l, u1 + · · ·+ uj + uj−1 < l − 1, то имеем∣∣∣∣S(f(x)
pl
)∣∣∣∣ ≤ npl−j .
Приведем только схему вывода оценки суммы из утверждениятеоремы.
Пусть кратность корня ξ сравнения f ′(x) ≡ 0 (mod p) равнаn > m ≥ 1 и u1 — наивысшая степень числа p, делящая все ко-эффициенты многочлена
f(ξ + py)− f(ξ) = pu1f1(y) =
n∑
k=1
f (k)(ξ)
k!(py)k.
Из леммы I.3.2 следует, что 2 ≤ u1 ≤ n.При l ≤ u1 по лемме 4.4.2 получим
Sξ = pl−1ρs
(f(ξ)
pl
). (I.5.1)
Далее, при l > u1 находим
Sξ = p
pl−2∑
y=1
ρs
(f(ξ)
pl+f1(y)
pl−u1
).
Представим y в виде y = z + pl−u1t, где 1 ≤ z ≤ pl−u1 , 0 ≤ t ≤pu1−2 − 1. Тогда сумма Sξ примет вид
Sξ = pu1−1
pl−u1∑
z=1
ρs
(f(ξ)
pl+f1(z)
pl−u1
).
При l > u1 преобразуем сумму Sξ, если f ′(ξ) ≡ 0 (mod p). Имеем
Sξ = pu1−1
p∑
ξ1=1
Sξ,ξ1 , Sξ,ξ1 =
pl−u1∑
z=1z≡ξ1 (mod p)
ρs
(f(ξ)
pl+f1(z)
pl−u1
).
Пусть сначала f ′1(ξ1) 6≡ 0 (mod p). Тогда аналогично предыдущему
получим
Sξ,ξ1 = p(1−s)(l−1)ρs
(f(ξ)
pu1−1+f1(ξ1)
p
).
31
Пусть теперь f ′1(ξ1) ≡ 0 (mod p), кратность корня ξ1 равна m1 и
pu2 — наивысшая степень числа p, делящая все коэффициенты мно-гочлена
f1(pt+ ξ1)− f1(ξ1) = pu2f2(t).
Из лемм 4.4.1 и 4.4.2 имеем 2 ≤ u2 ≤ u1 ≤ n,m2 ≤ m1.При l ≤ u1 + u2 найдем
Sξ,ξ1 = pu1−1
pl−u1−1∑
t=1
ρs
(f(ξ)
pl
)= pl−2ρs
(f(ξ)
pl
).
При l > u1 + u2 получим
Sξ,ξ1 =
pl−u1∑
z=1z≡ξ1 (mod p)
ρs
(f(ξ)
pl+f1(z)
pl−u1
)=
= p
pl−u1−2∑
t=1
ρs
(f(ξ)
pl+f1(ξ1)
pl−u1+
f2(t)
pl−u1−u2
)=
= pu2−1
pl−u1−u2∑
t=1
ρs
(f(ξ)
pl+f1(ξ1)
pl−u1+
f2(t)
pl−u1−u2
).
Продолжая предыдущие рассмотрения, получим наборы корнейсравнений (ξ, ξ1, . . . ) и отвечающий каждому из этих наборов един-ственный набор показателей (u1, u2, . . . , ut), где величина t =t(ξ, ξ1, . . . ) определяется с помощью соотношений
u1 + · · ·+ ut ≥ l > u1 + · · ·+ ut−1,
причем из леммы 4.3.1 имеем, что количество наборов показателей(u1, . . . , ut) не превосходит степени n многочлена f(x) и справедливынеравенства n ≥ u1 ≥ u2 ≥ · · · ≥ ut ≥ 2. Отсюда получаем искомуюоценку.
4.6. Средние значения полных рациональных арифметическихсумм.
Пусть n ≥ 2, f(x) = anxn + · · ·+ a1x+ a0 — многочлен с целыми
коэффициентами, p — простое число и (an, . . . , a1, p) = 1. Назовем
32
средним значением σp = σp(k; ρs) полной рациональной арифмети-ческой суммы
S
(f(x)
ps
)=
ps∑
x=1
ρs
(f(x)
ps
)
выражение вида
σp = 1 +
+∞∑
t=1
A(pt), A(pt) =
pt−1∑
an=0
· · ·pt−1∑
a1=0
pt−1∑
a0=0
(an,...,a1,p)=1
∣∣∣∣p−tS
(f(x)
pt
)∣∣∣∣2k
.
Теорема 4.6.1. Ряд σp сходится при 2k > (n2 + n)/2 + 1 и рас-
ходится при 2k ≤ (n2 + n)/2 + 1.Пусть fg(x) = anx
n + amxm + · · · + arx
r + a0 — “выщерблен-ный” многочлен с целыми коэффициентами, 1 ≤ r < · · · < m <n, r+ · · ·+m+ n < (n2 + n)/2, и пусть ς = ς(k; ρs; fg) — среднее зна-чение полной рациональной арифметической суммы от ρs-функциис “выщербленным” многочленом fg(x) в аргументе, т. е.
ςp = 1 +
+∞∑
t=1
A(pt), A(pt) =
pt−1∑
an=0
pt−1∑
am=0
· · ·pt−1∑
ar=0
pt−1∑
a0=0
(an,am,...,ar,p)=1
∣∣∣∣p−tS
(fg(x)
pt
)∣∣∣∣2k
.
Теорема 4.6.2. Ряд ςp сходится при 2k > n+m+ · · ·+r и расхо-дится при 2k ≤ n+m+ · · ·+ r. Теоремы 4.6.1 и 4.6.2 стандартнымобразом выводятся из теоремы 4.5.1.
4.7. Кратные полные рациональные арифметические суммы.Приведем оценку модуля полной рациональной кратной арифме-
тической суммы с ρ-функцией, аргумент которой является много-членом от нескольких переменных.
Теорема 4.7.1. Пусть n, α ≥ 2 — натуральные числа, p — про-стое число,
F (x1, . . . , xr) =
n∑
t1=0
· · ·n∑
tr=0
a(t1, . . . , tr)xt11 . . . xtrr
многочлен с целыми коэффициентами, взаимно простыми в сово-купности с p, исключая свободный член a(0, . . . , 0), и пусть
S
(F (x1, . . . , xr)
pα
)=
pα∑
x1=1
· · ·pα∑
xr=1
ρs
(F (x1, . . . , xr)
pα
).
33
Тогда имеем оценку
∣∣∣∣S(F (x1, . . . , xr)
pα
)∣∣∣∣≪n,r,s (α + 1)r−1pα(r−1/n).
Далее, пусть σ(r)p = σ(k; ρs) — среднее значение полной рациональ-
ной арифметической суммы от ρs-функции
σ(r)p = 1 +
+∞∑
q=1
Ar(pq),
Ar(pq) =
pq−1∑
an,...n=0
· · ·pq−1∑
a1,0,...,0=0
pq−1∑
a0,...,0=0
(an,...,n,...,a1,0,...,0,p)=1
∣∣∣∣p−qrS
(F (x1, . . . , xr)
pq
)∣∣∣∣2k
.
Тогда ряд σ(r)p сходится при 2k > n(n + 1)r и расходится при 2k <
∑nl=1 l
t ∼ (n+1)r+1
r+1 .
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант16-01-00-071.
Список литературы1. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — Москва—Ижевск:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — 176 с.2. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометриче-
ских сумм. — М.: Наука, 1976. — 120 с.3. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории
чисел. — М.: Наука, 1980. — 144 с.4. Постников А. Г. Избранные труды. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2005. — 512 с.5. Минеев М. П., Чубариков В. Н. Задача об искажении частоты
появления знаков в шифре простой замены // Математические во-просы кибернетики. Вып. 16. — 2007. — C. 242–245.
6. Минеев М. П., Чубариков В. Н. Об одном методе искажения ча-стоты появления знаков в шифре простой замены // Докл. РАН. —2008. — Т. 420, 6. — C. 736–738.
7. Минеев М. П., Чубариков В. Н. К вопросу об искажении частотпоявления знаков в шифре простой замены // Докл. РАН. — 2009. —Т. 426, 1. — C. 6–8.
8. Баричев С. Криптография без секретов (www.artelecom.ru/library/books/swos/index/html)
34
9. Бабаш А. В., Шанкин Г. П. Криптография. — М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2007. — 511 с.
10. Молдовян Н. А., Молдовян А. А. Введение в криптосистемы соткрытым ключом. — СПб.: БХВ-Петербург,2005.
11. Rabin M. O. Digitalized signatures and public key functions asintractable as factorization // Technical report MIT/LCS/TR-212.MITLaboratory for Computer Science. — 1979.
12. Чубариков В. Н. О кратных рациональных тригонометриче-ских суммах и кратных интегралах // Мат. заметки. — 1976. — Т. 20,1. — С. 61-68.
13. Архипов Г. И. Избранные труды. — Орел: Изд–во Орловскогогос. ун-та, 2013.
14. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория крат-ных тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1987. — 368 с.
15. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции поматематическому анализу. — М.: Дрофа, 2006. — 640 с.
16. Романов Н. П. Теория чисел и функциональный анализ: сбор-ник трудов / Под общ. ред. В. Н. Чубарикова. — Томск: Изд-во Том.ун-та, 2013. — 478 с.
17. Arkhipov G. I., Karatsuba A. A., Chubarikov V. N. Trigonometricintegrals. Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat. — 1979. — 43 (5). — P. 971–1003.
18. Hua L.-K. On the number of solutions of Tarry’s problem // ActaSci. Sinica. — 1953. — 1. — P. 1–76.
ДВЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ КОДИРОВАНИЯНЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ ДАННЫХ
Л. А. Шоломов (Москва)
Рассматриваются последовательности недоопределенных симво-лов. Каждому такому символу соответствует некоторое множествоосновных (полностью определенных) символов, одним из которых
35
он может быть замещен (доопределен). Имеются две естественныепостановки задачи кодирования недоопределенных данных.
В первой постановке кодирование должно обеспечить восстанов-ление какого-либо доопределения исходных данных (но не их самих).Она соответствует случаю, когда в равной мере устраивает любоедоопределение данных. При второй постановке от кодирования тре-буется, чтобы оно позволяло полностью восстановить исходные недо-определенные данные. К такой постановке приводит задача их хра-нения. С первой постановкой будем связывать термин «сжатие», совторой — термин «архивация». Отметим, что для полностью опре-деленных данных эти термины понимаются одинаково.
Результаты, относящиеся к задаче сжатия, были представленыв докладе на Х семинаре ”Дискретная математика и ее приложе-ния” [1]. Данный доклад в большей степени посвящен задаче архи-вации.
Введем ряд понятий. Задан алфавит A0 = a0, a1, . . . , am−1 ос-новных символов. Обозначив M = 0, 1, . . . ,m− 1, сопоставим каж-дому непустому T ⊆M символ aT . Он называется недоопределенными его доопределением считается всякий основной символ ai, i ∈ T .Символ aM , доопределимый любым основным символом, называет-ся неопределенным и обозначается ∗. Считаем, что выделена системаT некоторых непустых подмножеств T множества M и с ней связаннедоопределенный алфавит A = AT = aT | T ∈ T .
Приведем некоторые результаты, относящиеся к задачесжатия. Их развернутое изложение имеется в [2–4] (см. также [1]).
Задача сжатия допускает вероятностную и детерминированнуюпостановки. При вероятностной постановке считаем, что имеется ис-точник S, порождающий символы aT ∈ A независимо с вероятностя-ми pT . Энтропией источника S назовем величину
H(S) = minQ
−∑
T∈TpT log
∑
i∈Tqi
,
где log x = log2 x, минимум берется по наборам Q = (qi, i ∈ M),qi ≥ 0,
∑i∈M qi = 1. Наряду с H(S) будем использовать обозначение
H(P ), где P = (pT , T ∈ T ).Свойства энтропии H(S) во многом обобщают свойства энтропии
Шеннона [3], а в случае всюду определенных данных H(S) совпадаетс энтропией Шеннона.
В задаче сжатия недоопределенных данных требуется осуще-ствить кодирования источника, позволяющее по коду порождаемойим последовательности восстановить какое-либо ее доопределение.
36
Качество кодирования характеризуется средней длиной кода l насимвол последовательности. Теорема кодирования полностью опре-деленных источников обобщается на недоопределенный случай в сле-дующем виде.
Теорема 1 [2]. При любом способе блокового кодирования недо-
определенного источника S выполнено l ≥ H(S) и существует бло-
ковое кодирование, для которого l ≤ H(S)+o(logn/n), где n — длинаблока.
При детерминированной постановке задачи сжатия недоопреде-ленных данных рассматривается класс Kn(r), r = (rT , T ∈ T ), всехслов длины n, n =
∑T∈T rT , в алфавите A, в которых символ aT ∈ A
встречается rT раз. Обозначим через Nn(r) минимальную мощностьмножества слов в алфавитеA0, содержащего доопределение каждогослова из Kn(r). Величина hn(r) = logNn(r) называется комбинатор-ной энтропией класса Kn(r).
Теорема 2 [2]. Справедливы оценки комбинаторной энтропии
nH(r/n)− c logn ≤ hn(r) ≤ nH(r/n) + c logn,
где c = c(m) — некоторая константа.Эта теорема дает границы минимальной длины кодовых слов при
кодировании класса Kn(r).Приведем некоторые результаты, не имеющие аналогов в класси-
ческой теории информации, поскольку связаны с наличием неопре-деленных символов.
Э. И. Нечипорук установил [5], что слова длины n в алфавите0, 1, ∗ и двоичные слова, образованные из них удалением символов∗, представимы кодами одинаковой с точностью до O(log n) длины.Этот факт в расширенной интерпретации (для других классов слов итребований к кодированию) будем называть эффектом Нечипорука.
Применительно к недоопределенным данным общего вида онимеет следующую формулировку.
Теорема 3 [4]. Если класс Kn′(r′), n′ = n−r∗, образован из классаKn(r) удалением в его словах символов ∗, то
hn(r) = hn′(r′) +O(log n).
Эффект Нечипорука распространяется и на кодирование с задан-ным критерием верности. Пусть слова в алфавите A недоопределен-ных символов должны быть представлены словами (той же длины n)в алфавите A0 при выполненении некоторых условий верности вос-произведения. Будем считать, что эти условия задаются отношением
37
v ω w допустимости воспроизведения слова w ∈ An0 вместо v ∈ An.Будем полагать, что отношение ω не зависит от нумерации разрядовслов и обладает тем свойством, что для любых слов v, w и w таких,что w и w отличаются лишь в разрядах, где v содержит символ ∗,выполнено vωw ⇔ vωw.
Пусть Nn,ω(r) — минимальное число слов в алфавите A0, содер-жащих для каждого слова из Kn(r) ω-допустимое слово. Величинуhn,ω(r) = logNn,ω(r) назовем комбинаторной ω-энтропией классаKn(r). Применительно к ω-энтропии эффект Нечипорука формули-руется в следующем виде.
Теорема 4 [4]. Если класс Kn′(r′), n′ = n−r∗, образован из Kn(r)удалением в его словах символов ∗ и отношение допустимости ω′
для Kn′(r′) индуцировано отношением ω для Kn(r), то
hn,ω(r) = hn′,ω′(r′) +O(log n).
Оставшаяся часть доклада посвящена результатам, относя-щимся к задаче архивации недоопределенных данных. Ре-зультаты, авторство которых не указано, взяты из [6].
Для архивации будем использовать представления алфавитов A0
и A в виде двоичной и недоопределенной двоичной матриц с неко-торым числом s строк. Для этого каждому ai ∈ A0 сопоставим кодλi = (λi(1), . . . , λi(s)) ∈ 0, 1s, а каждому aT ∈ A — представлениеλT = (λT (1), . . . , λT (s)) ∈ 0, 1, ∗s. Образуем матрицу Λ со столбца-
ми λi, i ∈M , и матрицу Λ со столбцами λT , T ∈ T . Будем говорить,что пара (Λ, Λ) задает двоичное представление алфавита A, если
λi доопределяет λT ⇔ i ∈ T.
Таким образом, отношение доопределимости между основными инедоопределенными символами переносится на представляющие ихнаборы, что позволяет решать задачи, связанные со сжатием и до-определением данных, работая непосредственно с представлениями.В случае, когда Λ — матрица в двоичном алфавите 0, ∗, представ-ление будем называть строго двоичным.
Утверждение 1. Для любого алфавита A существует двоичноеи строго двоичное представление.
Будем рассматривать побуквенное представление недоопределен-ных слов, при котором слову aT1aT2 . . . aTN соответствует представ-ление λT1λT2 . . . λTN . Его построение и восстановление по нему ис-ходного слова использует матрицу Λ, число столбцов которой может
38
достигать 2m − 1. Это делает процедуру неэффективной (неполи-номиальной). Покажем, как эту задачу можно эффективно решатьпользуясь лишь матрицей Λ, имеющей m столбцов.
Матрица Λ называется T -допустимой (строго T -допустимой),
если существует двоичное (строго двоичное) представление (Λ, Λ)алфавита AT , использующее матрицу кодирования Λ. Дадим описа-ние T -допустимых и строго T -допустимых матриц.
Под дизъюнкцией λ ∨ λ′ двоичных слов λ = (λ(1) . . . λ(s)) и λ′ =(λ′(1) . . . λ′(s)) в алфавите 0, 1 понимается слово с разрядами λ(i)∨λ′(i), i = 1, . . . , s. Считается, что слово λ′ покрывает λ, если λ∨λ′ =λ′, и что некоторое множество слов покрывает λ, если λ покрываетсяих дизъюнкцией.
Скажем, что множество столбцов T матрицы Λ (1) покрывает,(2) инверсно покрывает, (3) дважды покрывает столбец λj , если (1)дизъюнкция столбцов из T покрывает λj , (2) дизъюнкция инверсийстолбцов из T покрывает инверсию столбца λj , (3) множество столб-цов T покрывает и инверсно покрывает λj .
Матрица Λ называется свободной от T -покрытий (двойных T -покрытий), если для любого T ∈ T множество столбцов T не по-крывает (не покрывает дважды) ни одного столбца вне T .
Теорема 5. Матрица Λ T -допустима (строго T -допустима)тогда и только тогда, когда она свободна от двойных T -покрытий(от T -покрытий).
Следующая теорема дает способ построения матрицы Λ соответ-ствующей допустимой матрице кодирования Λ.
Теорема 6. 1) Если матрица кодирования Λ T -допустима, то
для двоичного представления (Λ, Λ) алфавита A = AT может
быть взята матрица Λ со столбцами λT = ∇i∈Tλi, где операцияv∇w над троичными словами v, w ∈ 0, 1, ∗s дает троичное слово,разряд v(i)∇w(i) которого равен 0 при v(i) = w(i) = 0, равен 1 приv(i) = w(i) = 1 и равен ∗ в остальных случаях.
2) Если матрица кодирования Λ строго T -допустима, то для
строго двоичного представления (Λ, Λ) алфавита A = AT может
быть взята матрица Λ со столбцами λT = ∨∗i∈Tλi, где операция
v ∨∗w над троичными словами v, w ∈ 0, 1, ∗s дает троичное слово,разряд v(i) ∨∗ w(i) которого равен 0 при v(i) = w(i) = 0 и равен ∗ востальных случаях.
В соответствии с этой теоремой, (строгое) представление λT сим-
39
вола aT находится по матрице Λ с полиномиальной сложностью. Иобратно, по (строгому) представлению λT и матрице Λ с полиноми-альной сложностью определяется символ aT — множество T образо-вано всеми i, при которых столбец λi доопределяет λT .
Приведем еще одну полезную характеризацию допустимых мат-риц. Скажем, что система Z подмножеств множества M образуетконъюнктивный базис системы T , если каждое множество T ∈ Tможет быть получено как пересечение некоторых множеств из Z, иобразует обобщенный конъюнктивный базис, если каждое T ∈ T мо-жет быть получено как пересечение каких-либо множеств из Z либоих дополнений (до M).
Посредством λ(v), v = 1, . . . , s, будем обозначать строки матри-цы Λ. Строке λ(v) сопоставим множество Zv ⊆ M , Zv = i | λi(v) =1, характеристическим набором которого строка является. Поло-жим Z(Λ) = Z1, . . . , Zs, Z ′(Λ) = Z1, . . . , Zs, где Zv =M \ Zv.
Теорема 7. Матрица кодирования Λ1) T -допустима тогда и только тогда, когда система мно-
жеств Z(Λ) образует обобщенный конъюнктивный базис систе-мы T ,
2) строго T -допустима тогда и только тогда, когда системамножеств Z ′(Λ) образует конъюнктивный базис системы T .
Двоичное представление алфавита AT допускает интерпретациюв терминах вложения системы T подмножеств множества M в бу-лев куб 0, 1s (подходящей размерности s). При вложении каждомуi ∈ M сопоставляется некоторая точка λi куба, каждому T ∈ T —некоторый подкуб λT , и этот подкуб содержит те и только те точ-ки λi, которые соответствуют значениям i ∈ T . Параметр s будемназывать размерностью представления (вложения). Наименьшее s,при котором для алфавита A имеется двоичное представление раз-мерности s, обозначим s(A) и назовем размерностью алфавита A.Аналогично вводится размерность s0(A) при строго двоичном пред-ставлении.
Задача о размерности алфавита состоит в том, чтобы по алфави-ту A и числу s узнать, существует ли для A двоичное представлениеразмерности s. Аналогично формулируется задача о размерности ал-фавита при строго двоичном представлении.
Теорема 8. Задачи о размерности алфавита и о размерностипри строго двоичном представлении NP-полны.
В связи с трудностью нахождения значений s(A) и s0(A) пред-ставляют интерес оценки этих величин. Обозначим через s(m,n) иs0(m,n) максимальные значения s(A) и s0(A) по всем алфавитам A
40
с |A0| = m, |A| = n, где | · | означает мощность множества.Утверждение 2. Имеют место равенства
s(m,n) = s0(m,n) = minm,n.
В качестве основного будем рассматривать случай m ≤ n. Приэтом условии утверждение 2 приобретает вид s(m,n) = s0(m,n) = m.
В случае, когда множество T образовано всеми t-элементнымиподмножествами множества M , матрицы, свободные от T -покрытий(двойных T -покрытий), будем называть свободными от t-покрытий[7] (двойных t-покрытий). Матрицы, свободные от t-покрытий, на-зываются также t-дизъюнктивными. Они возникли в работе [8] каксредство описания введенных в ней дизъюнктивных (superimposed)кодов. Последние широко применяются в задачах прикладной мате-матики и информатики — см., например, [8–12] и цитированные тамисточники.
Обозначим через s0(m; t) (через s(m; t)) минимальное число строкматрицы с m столбцами, свободной от t-покрытий (двойных t-пок-рытий). В работе [13] установлено, что при t→ ∞ (и, как следствие,m → ∞) имеет место асимптотическое равенство s0(m; t) ∼ s(m; t),поэтому дальше будем вести речь об оценках величины s0(m; t).
Тривиальные мощностные нижние оценки величины s0(m; t) име-ют порядок t logm. Впервые немощностная (и к данному моментунаилучшая) нижняя оценка для s0(m; t) установлена Дьячковым иРыковым [9].
Теорема 9 [9]. При t→ ∞ справедлива оценка
s0(m; t) &t2
2 log tlogm.
Этот факт доказывается достаточно сложно индукцией по t.Позднее в работе [14] было найдено чисто комбинаторное доказа-тельство в 4 раза более слабой оценки. Затем в заметке [15] былопредставлено очень простое комбинаторное доказательство оценки,которая хуже оценки теоремы 8 в 2 раза. Она вытекает из установ-ленного в [15] соотношения
m ≤ t+
(s⌈
2(s−t)t(t+1)
⌉),
41
связывающего параметры t-дизъюнктивной матрицы — число mстолбцов и число s строк.
Приведем верхнюю оценку величины s0(m; t), полученную мно-гими авторами различными вариантами метода случайного кодиро-вания [7–9, 11, 16] или жадного алгоритма (напр., в [17, 18]).
Теорема 10. При t→ ∞ справедлива оценка
s0(m; t) .et2
log elogm.
Верхняя и нижняя оценки теорем 10 и 9 различаются по порядкув log t раз. Этот разрыв по порядку ликвидирован в [19], где такжеиспользован метод случайного кодирования.
Теорема 11 [19]. При t→ ∞ имеет место оценка
s0(m; t) .e2t2
4 log tlogm.
Оценки теорем 9 и 11 различаются асимптотически в 2e−2 =0.271 . . . раз.
Метод случайного кодирования не дает конструкции t-дизъюнк-тивной матрицы, а трудоемкость жадного алгоритма экспоненциаль-на. Возникает задача нахождения эффективных и конструктивныхалгоритмов, обеспечивающих «достаточно хорошие» верхние оценкивеличины s0(m; t). Детерминированный алгоритм считается эффек-тивным, если его трудоемкость ограничена полиномом от размераисходных данных, и считается конструктивным, если из него извле-кается явное описание объекта.
В работе [8] представлены некоторые конструкции дизъюнктив-ных кодов. Один из предложенных там подходов основан на исполь-зовании q-ичных кодов с большим кодовым расстоянием. Реализацияэтого подхода с применением кодов Рида—Соломона позволила длядизъюнктивных матриц получить достаточно хорошую эффектив-ную оценку величины m при заданных t и s [8]. Применительно кзадаче двоичного представления недоопределенных данных из неевытекает следующий результат.
Утверждение 3. Существует эффективный и конструктив-ный метод, обеспечивающий при t→ ∞ оценку
s0(m; t) .
(2t logm
log(t logm)
)2
.
42
В работе [11] приведена эффективная конструкция, позволившаяпри малых t улучшить эту оценку. Она использует некоторое се-мейство алгебро-геометрических кодов Гоппы. Из полученной в [11]оценки m в функции от t и s вытекает следующий результат длядвоичных представлений.
Утверждение 4. Существует эффективный и конструктив-ный метод, обеспечивающий оценку
s0(m; t) = O
(t3 logm
log t
).
Разрыв между детерминированными эффективными оценками иоценкой теоремы 10, полученной методом случайного кодирования,устранен в работе [12]. Из нее вытекает следующий факт.
Утверждение 5. Существует эффективный метод, обеспечи-вающий оценку
s0(m; t) = O(t2 logm
).
Однако, этот результат нельзя считать вполне удовлетворитель-ным, поскольку метод работы [12] эффективен (полиномиален), ноне конструктивен — использует дерандомизацию метода случайногокодирования.
Рассмотрим теперь более общий случай системы множеств T .Недоопределенные данные, с которыми имеют дело в приложениях,обычно помимо неопределенного символа ∗ используют лишь симво-лы, имеющие небольшое число доопределений.
Обозначим через s(m,n; t) (через s0(m,n; t)) максимумальную изразмерностей s(A) (соответственно, s0(A)) алфавитов A, для кото-рых |A0| = m, |A| = n и каждый символ aT ∈ A имеет не более tдоопределений либо является неопределенным.
Приведем верхние и нижние оценки этих величин.Теорема 12. Справедливы оценки
s0(m,n; t) ≤ s(m,n; t) ≤ e(t+ 1) ln(mn) + 1.
Теорема 13. При выполнении условия
t = o
(logn
log logn
)
43
справедливы оценки
s0(m,n; t) &(t+ 1) logn
2(2 log t+ c),
s(m,n; t) &(t− 1) logn
2(2 log(t− 1) + c),
где c = log3e
4< 1.027.
Верхняя оценка получена методом случайного кодированияс использованием теоремы 7, сводящей оценку числа строк T -допустимой матрицы к оценке мощности обобщенного конъюнктив-ного базиса системы T . При доказательстве нижней оценки основ-ную роль играет неравенство Фареди, приведенное в тексте послетеоремы 9.
При растущем t разрыв между верхними и нижними оценкамитеорем 12 и 13 в основном случае m ≤ n имеет порядок log t.
Список литературы1. Шоломов Л. А. Элементы теории недоопределенной информа-
ции // Материалы X Международного семинара ”Дискретная ма-тематика и ее приложения” (1–6 февраля 2010 г.). — М.: Изд-вомеханико-математического факультета МГУ, 2010. — С. 52–58.
2. Шоломов Л. А. Сжатие частично определенной информации //Нелинейная динамика и управление. — Вып. 4. — М.: Физматлит,2004. — С. 385–399.
3. Шоломов Л. А. Информационные свойства недоопределенныхданных // Дискретная математика и ее приложения: Сборн. лекциймолодежных научных школ. — Вып. IV. — М.: Изд-во ИПМ РАН,2007. — С. 26–50.
4. Шоломов Л. А. О кодировании недоопределенных последова-тельностей с заданной точностью воспроизведения // Доклады Ака-демии наук. — 2009. — Т. 429, 5. — C. 605–609.
5. Нечипорук Э. И. О сложности вентильных схем, реализую-щих булевские матрицы с неопределенными элементами // ДАНСССР. — 1965. — Т. 163, 1. — С. 40–42.
6. Шоломов Л. А. Двоичные представления недоопределенныхданных и дизъюнктивные коды // Прикладная дискретная матема-тика. — 2013. — 1 (19). — С. 17–33.
7. Erdos P., Frankl P., Furedi Z. Families of finite sets in which no setis covered by the union of r others // Israel Journal of Mathematics. —1985. — Vol. 51, 1–2. — P. 79–89.
44
8. Kautz W. H., Singleton R. C. Nonrandom binary superimposedcodes // IEEE Transactions on Information Theory. — 1964. — Vol. 10, 4. — P. 363–377.
9. Дьячков А. Г., Рыков В. В. Границы длины дизъюнктивныхкодов // Проблемы передачи информации. — 1982. — Т. 18, вып. 3. —С. 7–13.
10. D’yachkov A. G. Lectures on designing screening experiments.Lecture Note Series 10. — Korea: Combinatorial and computation mathe-matics center, Pohan University of science and technology, 2003.
11. Kumar R., Rajagopalan S., Sahai A. Coding construction forblacklisting problems without computational assumptions // CRYPTO-99. Lecture Notes in Computer Science, vol. 1666. — Berlin, Heidelberg:Springer-Verlag, 1999. — P. 609–623.
12. Porat E., Rotshchild A. Explicit non-adaptive combinatorialgroup testing schemes // Automata, Languages and Programming.Lecture Notes in Computer Science, vol. 5125. — Springer, 2008. —P. 748–759.
13. D’yachkov A. G., Vorobyev I. V., Polyanskii N. A., ShchukinV. Yu. Symmetric disjunctive list-decoding codes // Proceedings of theIEEE International symposium on information theory (Hong Kong, 14–19 June, 2015). — IEEE, 2015. — P. 2236–2240.
14. Ruszinko M. On the upper bound of the size of the r-cover-freefamilies // Journal of Combinatorial Theory. Ser. A. — 1994. — Vol. 66. —P. 302–310.
15. Furedi Z. On r-cover-free families // Journal of CombinatorialTheory. Ser. ,A. — 1996. — Vol. 73. — P. 172–173.
16. Cheng V., Du D.-Z., Lin G. On the upper bounds of the minimumnumber of rows of disjunct matrices // Optimization Letters. — 2009. –Vol. 3, iss 2. — P. 297–302.
17. Hwang F. K., Sos V. T. Non-adaptive hypergeometric grouptesting // Studia Scientiarum Mathecarum Hungarica. — 1987. —Vol. 22. — P. 257–263.
18. Шоломов Л. А. Двоичное представление недоопределенныхданных // Доклады Академии наук. — 2013. — Т. 448, 3. — С. 275–278.
19. Дьячков А. Г., Воробьев И. В., Полянский В. А., Щукин В. Ю.Границы скорости дизъюнктивных кодов // Проблемы передачи ин-формации. — 2014. — Т. 50, вып. 1. — С. 31–63.
45
О СИНТЕЗЕ СХЕМ И ФОРМУЛ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВС ПРЯМЫМИ И ИТЕРАТИВНЫМИ ВХОДАМИ
В. А. Коноводов, С. А. Ложкин (Москва)
В работе [1] был определен класс функционально-проводящихсхем, который обобщает многие известные классы дискретныхуправляющих систем [2–4], реализующих функции алгебры логики(ФАЛ). Там же, а так же в [5], были введены некоторые специальныеподклассы указанного класса схем, связанные, в частности, с разде-лением управляющих входов каждого базисного функционального-проводящего элемента (ФПЭ) на т. н. прямые и итеративные входы.
Рассмотрим сначала классы контактных схем (КС) и итеративно-контактных схем (ИКС) над заданным базисом ФПЭ, частными слу-чаями которых являются известные классы схем «проводящего» ти-па — классы «обычных» КС и ИКС [4].
Рассматриваемые схемы строятся из ФПЭ базиса A = E1, . . . , Eb,каждый элемент Ei, i = 1, . . . , b, которого представляет собой тройку〈ϕi, Li, τi〉, где ϕi — ФАЛ, существенно зависящая от булевых пере-менных (БП) x1, . . . , xki , Li — положительное действительное число,а τi — булевская константа. Предполагается, что число Li характери-зует сложность («вес») ФПЭ Ei, который состоит из ориентирован-ного в случае τi = 0 и неориентированного в случае τi = 1 контактаKi, проводящего на наборе α значений БП x1, . . . , xki тогда и толь-ко тогда, когда ϕi(α) = 1, причем указанная проводимость в случаеτi = 0 имеет место только в направлении ориентации Ki.
Таким образом, с формальной точки зрения ФПЭ Ei представляетсобой контакт (ребро) Ki с пометкой ϕi. При этом из содержатель-ных соображений можно считать, что ФПЭ Ei состоит из контактаKi и функционального элемента Ei, реализующего ФАЛ ϕi, выходкоторого «управляет» проводимостью Ki.
Следуя [1, 4], определим (одновходовую) КС Σ = Σ(x1, . . . , xn;z1, . . . , zm) над базисом A как частично ориентированный граф сединственным (проводящим) входом, помеченным символом 1, и m(проводящими) выходами, помеченными выходными БП z1, . . . , zm,каждое ориентированное (соответственно, неориентированное) реброкоторого помечено одной из базисных ФАЛ ϕi, где τi = 0 (соответ-ственно, τi = 1), зависящей от ki переменных из множества входных(управляющих) БП X(n) = x1, . . . , xn. Для любой упорядоченнойпары (u, v) вершин данной КС стандартным образом вводится ФАЛпроводимости от u к v, зависящая от БП X(n). Будем, как обычно,считать, что в каждой вершине рассматриваемой КС Σ реализуется
46
ФАЛ проводимости от входа 1 к этой вершине, и что сама КС Σ ре-ализует систему ФАЛ FΣ = (f1, . . . , fm), где fj — ФАЛ, реализуемаяв вершине Σ с пометкой zj, j = 1, . . . ,m.
Пусть UKA — класс КС над базисом A, входные и выходные БПкоторых берутся из счетных упорядоченных непересекающихся ал-фавитов X = x1, x2, . . . , xn, . . . и Z = z1, z2, . . . , zm, . . . соответ-ственно. Предполагается, что базис A является полным, то есть лю-бая ФАЛ от БП из X может быть реализована схемой из UKA . Заме-тим, что любой базис, содержащий «обычные» неориентированныезамыкающий и размыкающий контакты, т. е. контакты с базиснойФАЛ xi и xi соответственно, является полным. Базис A0, состоящийиз замыкающего и размыкающего контактов веса 1, будем считатьстандартным.
Под сложностью схемы L(Σ) КС Σ, Σ ∈ UKA , понимается, какобычно, сумма весов всех ее ФПЭ, а под сложностью LKA (F ) систе-мы ФАЛ F = (f1, . . . , fm) от БП из X — минимальная из сложно-стей схем класса UKA , ее реализующих. Для указанного функциона-ла сложности обычным образом вводится соответствующая функцияШеннона
LKA (n) = maxf∈P2(n)
LKA (f), (1)
где P2(n) — множество всех ФАЛ от БП X(n), n = 1, 2, . . .Положим
πA = min16i6b
Li, θA = minLi=πA
(3 − ki), (2)
и будем считать базис A ориентированным, если оба минимума в (2)достигаются на «ориентированном» ФПЭ Ej, для которого τj = 0. За-метим, что для произвольного базиса A из результатов [1] вытекаютнеравенства3
πA2n
n
(1 +
θA logn−O(1)
n
)6 LKA (n) 6 πA
2n
n
(1 +O
(1√n
)), (3)
а в случае ориентированного базиса A — соотношение
LKA (n) = πA2n
n
(1 +
θA logn±O(1)
n
), (4)
3в настоящей работе все логарифмы рассматриваются по основанию 2
47
которое описывает поведение функции Шеннона LKA (n) на уровнеасимптотических оценок высокой степени точности (АОВСТ).
Исходя из содержательных соображений в классе UKA так же, каки в классе «обычных» КС UKA0
, можно выделять некоторые (полные)подклассы и изучать поведение связанных с ними функций Шенно-на, определяемых аналогично (1).
Так, в работе [6] для базиса−→A0, состоящего из ориентирован-
ных замыкающего и размыкающего контактов веса 1, и произволь-ного фиксированного натурального λ, λ > 2, рассматривался класс
UK−→A0,λ— класс КС над
−→A0 с полустепенью исхода вершин, не превос-
ходящей λ. При этом поведение соответствующей функции ШеннонаLK−→A0,λ
(n) было установлено на уровне близких к АОВСТ оценок вида
LK−→A0,λ(n) =
λ
λ− 1
2n
n
(1 +
− 1λ−1 logn±O(log logn)
n
).
Оценки аналогичного уровня точности были получены в [7] длякласса двоичных решающих диаграмм (BDD), являющегося под-классом класса UK−→A0
.
Определим далее класс UИКС
A — класс итеративно-контактных
схем над базисом A, который обобщает класс UKA аналогично томукак класс «обычных» ИКС [4] обобщает класс обычных КС UKA0
.
Для этого рассмотрим счетный упорядоченный алфавит итера-тивных БП Y = y1, y2, . . . , yp, . . ., где Y ∩X = Y ∩Z = ∅, и индук-цией по t, t = 0, 1, . . . , введем класс UИКС
A,t — класс ИКС итератив-
ного ранга t над базисом A. Базис указанной индукции составляеткласс UИКС
A,0 — класс ИКС итеративного ранга 0, который совпадает
с классом UKA .Индуктивный переход, позволяющий от ИКС Σ = Σ(x1, . . . , xn;
z1, . . . , zm) из класса UИКС
A,t , реализующей систему ФАЛ (f1, . . . , fm)
от БП x = (x1, . . . , xn), переходить к реализующей систему ФАЛ(f ′
1, . . . , f′j−1, f
′j+1, . . . , f
′m) от БП x′ = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn) ИКС
Σ′ = Σ′(x′, z1, . . . , zj−1, zj+1, . . . , zm) из класса UИКС
A,t+1, связан с при-менением операции присоединения выхода zj ИКС Σ к ее входу xi.Эта операция применима, если ФАЛ fj не зависит существенно от xiи состоит в замене пометки zj выходной вершины v ИКС Σ, а также
48
всех пометок БП xi на контактах Σ пометками БП yt+1. При этомпредполагается, что ФАЛ f ′
s(x′), где s 6= j, получается из ФАЛ fs(x)
подстановкой ФАЛ fj(x′) вместо БП xj .
Будем считать, что для описанных выше схем ИКС Σ являетсябазовой ИКС ранга t для ИКС Σ′ и что переходя от ИКС Σ к еебазовой ИКС ранга (t − 1) и т. д. мы придем к базовой для ИКС Σ′
КС Σ. Заметим, что сложности всех построенных ИКС одинаковыи равны L(Σ). Определим, наконец, класс UИКС
A как объединениеклассов UИКС
A,i по всем i, i = 0, 1, . . . .
Рассмотрим теперь подклассы класса UИКС
A , связанные с темиограничениями, которые накладывает на применение операции при-соединения выходов ИКС к ее входам наличие у ФПЭ базиса A пря-мых и итеративных входов. Будем считать, что каждому ФПЭ Ei,i = 1, . . . , b, базиса A сопоставлено число k′i, 0 6 k′i 6 ki, и чтопервые k′i входов являются прямыми, а остальные — итеративны-ми входами данного ФПЭ. Будем говорить, что ИКС Σ являетсяитеративно-правильной, если прямые входы всех ее ФПЭ являютсявходами Σ, то есть, если при построении ИКС Σ в операциях присо-единения выходов ИКС к их входам участвовали только итератив-ные входы ФПЭ. При этом множество UИКС
A будем трактовать какмножество всех итеративно-правильных ИКС над базисом A. Заме-тим, что UИКС
A = UКС
A , если k′i = ki при всех i, i = 1, . . . , b, т. е. еслиу ФПЭ базиса A нет итеративных входов.
Для базиса A, в котором есть ФПЭ с итеративными входами,вводятся параметры
πi =Li
ki − k′i + 1, θi =
2ki − 3k′i + 3
ki − k′i + 1,
где i = 1, . . . , b, а затем определяются величины (ср. с (2))
πA = min16i6b
πi, θA = minπi=πA
θi. (5)
Для полного класса UИКС
A и произвольной системы ФАЛ F =
(f1, . . . , fm) обычным образом определяется сложность LИКС
A (F ) —сложность реализации системы F в классе UИКС
A , а затем аналогично(1) вводится соответствующая функция Шеннона LИКС
A (n).В [1] приведены результаты, согласно которым функция Шенно-
на LИКС
A (n) удовлетворяет оценкам (3) для произвольного (полного)
49
базиса A и оценкам (4) если оба минимума в (5) достигаются наФПЭ Ej таком, что либо сама ФАЛ τjϕj , либо ФАЛ, получающая-ся из нее заменой одной из итеративных БП ФАЛ ϕj константой,тождественно равна 0. В работе [5] для одного специального бази-са A поведение функции Шеннона, характеризующей сложность ре-ализации схемами из UИКС
A класса таких ФАЛ, столбцы значенийкоторых принадлежат экспоненциальному языку, порожденному за-данной грамматикой с конечным числом состояний, установлено спорядком относительной погрешности таким же, как у АОВСТ ви-да (4).
Рассмотрим теперь более детально результаты последних лет,связанные с изучением сложности ФАЛ и поведения соответству-ющих функций Шеннона для классов формул и схем, построенныхиз функциональных элементов с прямыми и итеративными входами.
Заметим, что класс UCA — класс схем из функциональныхэлементов (СФЭ) над базисом A = E1, . . . , Eb, где Ei =〈ϕi(x1, . . . , xki), Li〉 для всех i, i = 1, . . . , b, — можно считать под-классом класса UИКС
A , где A = E1, . . . , Eb и Ej = 〈ϕi, Li, 0〉 для всехj, j = 1, . . . , b. Действительно, указанный подкласс состоит из техИКС Σ, Σ ∈ UИКС
A , в которых начальная вершина контакта любогоФПЭ совпадает с входом 1, а также отсутствуют циклы по операцииприсоединения выходов схемы к ее итеративным входам.
Для произвольного множества БП W ⊆ X ∪ Y будем обозначатьчерез P2(W ) множество всех ФАЛ, зависящих от БП из W. ФАЛ, неимеющие общих существенных [8] БП, будем называть независимы-ми.
На множестве P2(X∪Y), согласно [9], введем следующие операциисуперпозиции:
1) переименование (с отождествлением) прямых БП, т. е. БП из X ;
2) подстановка констант 0, 1 вместо БП;
3) переименование (с отождествлением) итеративных БП, т. е. БПиз Y;
4) подстановка одной из двух независимых ФАЛ вместо итератив-ной БП другой ФАЛ;
5) замена итеративных БП прямыми.
Пусть A ⊆ P2(X ∪ Y)— некоторое конечное множество базисныхФАЛ. Будем рассматривать одновыходные СФЭ из функциональ-ных элементов [4] над базисом A с ограничениями на соединения
50
элементов между собой, соответствующими введенным операциямсуперпозиции. Вход базисного функционального элемента будем на-зывать константным, если вместо него в этот элемент подставленаконстанта 0 или 1. Правила соединения элементов в СФЭ ограничи-ваются следующим образом:
1) прямые входы любого элемента либо присоединяются к входамСФЭ, либо являются константными входами;
2) итеративные входы любого элемента либо присоединяются квыходам других элементов, либо присоединяются к входамСФЭ, либо являются константными входами;
3) неконстантным входам СФЭ сопоставлены некоторые БП измножества X .
Под формулами будем понимать те одновыходные СФЭ, которыене содержат ветвлений выходов элементов. С точки зрения рекур-сивного определения формулы как символьной записи [8] указанныевыше операции дают возможность проводить суперпозицию толькопо итеративным БП базисных ФАЛ.
Систему ФАЛ A, A ⊆ X ∪ Y, будем называть полной, если длялюбой ФАЛ f, f ∈ P2(X ), существует формула, построенная в соот-ветствии с введенными выше ограничениями, реализующая ФАЛ f.
Пусть A, A ⊆ P2(X ∪ Y). Множество тех ФАЛ, которые можнополучить из функций системыA в результате применения указанныхвыше операций суперпозиции, обозначим [A]. Множество ФАЛ Q,такое, что Q ⊇ 0, 1, x1, и [Q] = Q, называется замкнутым классом.
Множество δ(A) = [A] ∩ P2(Y) называется итеративным замы-канием [9, 10] базиса A, и определяет все те ФАЛ от итеративныхБП, которые можно получить из базисных ФАЛ рассматриваемымиоперациями суперпозиции. Заметим, что δ(A) является «обычным»замкнутым классом [8] в P2(Y), содержащим все константы, и поэто-му совпадает с одним из классов системы
∆ = B, I,O,D,K,L,M,P2(Y),
где B = 0, 1, I = Y ∪B, O = I ∪y : y ∈ Y, класс D (класс K) со-держит константы и дизъюнкции (соответственно, конъюнкции) БПY, а классы L и M состоят из линейных и монотонных ФАЛ от БПY соответственно. Таким образом, введение оператора δ позволяетклассифицировать все системы ФАЛ от прямых и итеративных БПпо их итеративным замыканиям. Эта классификация имеет прямое
51
отношение к полноте базисов и исследованию сложности формул вних.
Для каждого δ, δ ∈ ∆, через Z(δ) обозначим множество всехзамкнутых классов Q, для которых δ(Q) = δ. Максимальным повключению классом системы Z(δ) является класс R(δ) тех ФАЛ f,f ∈ P2(X ∪ Y), для которых все ФАЛ из P2(Y), получаемые приподстановке констант вместо БП в f, лежат в δ.
Замкнутый класс Q называется предполным классом системы
Z(δ), δ ∈ ∆ \ B, если δ(Q) = δ, и R(δ) ⊂ Q, но R(δ) = [Q ∪ ϕ]для любой ФАЛ ϕ ∈ R(δ) \Q. Для каждого δ ∈ ∆ существует конеч-ное число предполных классов Z(δ), все они построены в [9]. Там жеописаны структурные и мощностные особенности замкнутых клас-сов в P2(X ∪ Y) и получен следующий критерий полноты конечныхмножеств ФАЛ относительно P2(X ).
Теорема 1 [9]. Конечное множество ФАЛ A, A ⊆ P2(X ∪ Y),является полным тогда и только тогда, когда δ(A) 6= B и либоδ(A) = P2(Y), либо A не содержится целиком ни в одном из пред-полных классов системы Z(δ(A)).
Далее будут рассматриваться только полные системы ФАЛ A.Будем считать, что подстановка константы вместо входа любого
элемента не меняет его сложности. Функцией Шеннона LCA(n) длясложности СФЭ из класса UCA , как обычно, будем называть макси-мальное значение LCA(f) среди всех ФАЛ f, f ∈ P2(n), где LCA(f)—минимальная сложность СФЭ из рассматриваемого класса, реализу-ющей ФАЛ f от прямых БП. Аналогично можно определить функ-цию Шеннона LΦ
A(n) для сложности реализации ФАЛ от прямых БПв классе формул над базисом A, A ⊆ P2(X ∪ Y).
Приведенным весом элемента Ei, i = 1, . . . , b, такого, что ki > 1,будем называть величину
ρi =Li
ki − 1.
Назовем макроблоком в базисе A СФЭ в этом базисе, состоящуюиз одного элемента Ej , такого, что k′′j > 1, и m, 0 6 m 6 k′′j − 1,
элементов Ei1 , . . . , Eim , не имеющих итеративных входов, выходыкоторых подаются на итеративные входы элемента Ej . Отметим, чточисло макроблоков в конечном базисе конечно.
Прямыми входами макроблока будем считать входы элементовEi1 , . . . , Eim , а также все свободные (т. е. те, на которые не подают-
52
ся выходы других элементов макроблока) входы элемента Ej , кромеодного из итеративных, который будем считать единственным ите-ративным входом макроблока.
Таким образом, макроблок M имеет сложность LM = Lj + Li1 +. . .+Lim , а число его входов равно kM = k′j+ki1 + . . .+kim +k′′j −m =
ki1 + . . .+ kim + kj −m. Приведенным весом макроблока M назовемвеличину ρM = LM
kM−1 , и обозначим за ρA минимальный приведенныйвес среди всех элементов, имеющих хотя бы один итеративный вход,и всех макроблоков в этом базисе.
Для базиса A указанного выше вида введем при j, j = 1, . . . , b,таких что k′′j > 2, следующие величины:
ρj =Lj
k′′j − 1, θj =
k′jk′′j − 1
.
Пусть, далее,ρA = min
k′′j >2ρj , θA = max
ρj=ρAθj .
Теорема 2 [11]. Для любой системы ФАЛ A, A ⊆ P2(X ∪Y), приn→ ∞ справедливо соотношение
LCA(n) = ρA2n
n
(1 +
(1− θA ± o(1)) logn
n
).
Эта теорема устанавливает поведение функции Шеннона длясложности СФЭ с прямыми и итеративными входами в произволь-ном полном базисе, которая имеет «стандартный» порядок роста2n/n.
Задача синтеза формул в базисах с прямыми и итеративнымивходами оказывается существенно сложнее. Как будет показано, вэтом случае соответствующая функция Шеннона не всегда имеет«стандартный» для формул порядок роста 2n/ logn.
Следующая теорема устанавливает асимптотику функции Шен-нона для сложности формул в базисах, итеративное замыкание ко-торых содержит класс монотонных ФАЛ.
Теорема 3 [12]. Для любой системы ФАЛ A, A ⊆ P2(X ∪Y), та-кой, что δ(A) ∈ M,P2(Y), при n→ ∞ справедливо соотношение
LΦA(n) ∼ ρA · 2n
logn.
53
Для таких базисов функция LΦA(n) имеет «стандартный» для фор-
мул порядок роста 2n/ logn, при этом константа в асимптотике от-личается от константы для случая СФЭ. В остальных семействахбазисов в классификации по их итеративным замыканиям существу-ют примеры, для которых эта функция имеет «граничный» порядокроста 2n:
Теорема 4 [10]. Для каждого δ, δ ∈ I, O,D,K,L, существуетбазис A такой, что δ(A) = δ и при этом
LΦA(n) = Θ (2n) .
При этом оказалось, что при переходе от базиса к базису слож-ность индивидуальной ФАЛ может кардинально меняться в рамкаходного и того же семейства. Пусть ln = x1 ⊕ . . . ⊕ xn — линейнаяФАЛ n, n > 1, БП.
Теорема 5 [10]. Пусть
A1 = x1y1 ∨ x1y2,A2 = (x1 ⊕ x2)y1, (x1 ⊕ x2 ⊕ 1)y1, y1 ∨ y2,A3 = (x1 ⊕ x2)y1, y1 ∨ y2,A4 = (x1 ⊕ x2 ⊕ 1)y1, y1 ∨ y2.
Тогда справедливы соотношения:
LΦA1
(ln) = Θ(2n),
LΦA2
(ln) = Θ(2n/2),
c1 · 2n/2 6 LΦAi(ln) 6 c2 · 3n/2, i = 3, 4,
где c1, c2 — некоторые положительные константы.Итеративное замыкание каждого из указанных в теореме бази-
сов образует класс D. Следует отметить, что сложность LΦA1
(f) дляпочти всех ФАЛ f ∈ P2(X ) равна [11] o(2n).
В работе [13] рассматривались так называемые обобщенныеДНФ, а из полученных в ней результатов следует, в частности, что
LΦA3
(n) = Ω
(2n
n1/4
).
54
В теореме 4 получена асимптотика функции Шеннона для случаятех базисов A, для которых δ(A) ⊇M. Для некоторых классов такихбазисов в следующих теоремах установлены асимптотические оценкивысокой степени точности. Для формул в базисе A, все элементыкоторого имеют только итеративные входы, оценка высокой степениточности для соответствующей функции Шеннона получена в [1] иимеет вид:
ρA2n
logn
(1 +
κA log logn±O(1)
log n
),
где ρA — минимальный приведенный вес элементов из A, а константаκA ∈ 0, 1 и зависит только от ФАЛ, реализуемых элементами сминимальным приведенным весом.
Для каждого базиса A, A ⊆ P2(X ∪ Y), обозначим через A мно-жество тех элементов базиса A с итеративными входами, которыелибо имеют приведенный вес, равный ρA, либо входят в макроблокиэтого базиса с приведенным весом ρA.
Теорема 6 [14]. Пусть A, A ⊆ P2(X ∪ Y), — конечный полныйбазис, такой, что δ(A) ⊇ M. Пусть, далее, справедливо хотя быодно из следующих утверждений:
1) δ(A) ⊇M ;
2) базис A является полным базисом;
3) δ(A) ∈ L,D,K, множество A содержит ФАЛ f вида
f = (ϕ1 y1) ⋄ . . . ⋄ (ϕk yk) ⋄ ϕ0,
где ϕ0, ϕ1, . . . , ϕk ∈ P2(X ), (, ⋄) ∈ (&,∨), (∨,&), (&,⊕), длякоторой найдутся такие индексы j1, j2 ∈ 1, . . . , k, j1 6= j2, инаборы α, β значений прямых БП, что
ϕj1(α) = ϕj1(β) = ϕj2(β) = ϕj2 (α) = 0.
Тогда при растущем значении натурального аргумента n, n > 2,справедливо соотношение
LΦA(n) = ρA · 2n
logn
(1± O(1)
logn
).
55
Другое поведение остаточного члена в оценках высокой степениточности для функции Шеннона сложности формул рассматривае-мого класса демонстрирует следующая теорема.
Теорема 7 [15]. Пусть
A1 = y1 · . . . · yk1 , x1 ∨ . . . ∨ xk2 , y1;A2 = y1 ∨ . . . ∨ yk1 , x1 · . . . · xk2 , y1;
где k1, k2 > 2. Тогда для i = 1, 2 имеют место следующие неравен-ства:
ρAi
2n
logn
(1 +
1k2
log logn±O(1)
logn
)6 LΦ
Ai(n) 6
6 ρAi
2n
logn
(1 +
log logn±O(1)
logn
).
Если при этом минимальный приведенный вес ρAi базиса Ai, i ∈1, 2, достигается на макроблоке, отличном от элемента базиса,то справедливо соотношение:
LΦAi(n) = ρAi
2n
logn
(1 +
1k2
log logn±O(1)
logn
).
Итеративное замыкание приведенных в теореме базисов рав-но P2(Y).
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 15-01-07474.
Список литературы1. Ложкин С. А. Оценки высокой степени точности для сложно-
сти управляющих систем из некоторых классов // Математическиевопросы кибернетики. Вып. 6. — М.: Наука, 1996. — С. 189–214.
2. Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляю-щих систем. — М.: Изд-во МГУ, 1984.
3. Лупанов О. Б. О сложности реализации функций алгебрылогики релейно-контактными схемами // Проблемы кибернетики.Вып. 11. — 1964. — С. 25–48.
4. Ложкин С. А. Лекции по основам кибернетики: Учебное посо-бие. — М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2004. — 256 с
5. Кондратов А. В. Асимптотические оценки высокой степени точ-ности для сложности реализации функций, связанных с автоматны-ми языками, в некоторых классах схем // Математические вопросыкибернетики. Вып. 13. — М.: Наука, 2004. — С. 279–288.
56
6. Шиганов А. Е. О сложности ориентированных контактныхсхем с ограниченной полустепенью исхода // Ученые записки Казан-ского университета. Серия Физико-математические науки. — 2009. —Т. 151, кн. 2. — С. 164–172.
7. Lozhkin S. A., Shiganov A. E. High Accuracy Asymptotic Boundson the BDD Size and Weight of the Hardest Functions // FundamentaInformaticae. — V. 104, N. 3. — 2010. — P. 239–253.
8. Яблонский. С. В. Введение в дискретную математику. — М.:Наука, 1986. — 384 с.
9. Ложкин С. А. О полноте и замкнутых классах функций ал-гебры логики с прямыми и итеративными переменными // ВестникМосковского университета. Серия 15. Вычислительная математикаи кибернетика. — 1999. — 3. — С. 35–41.
10. Коноводов В. А. Некоторые особенности задачи синтеза бу-левых формул в полных базисах с прямыми и итеративными вхо-дами // Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. — 2014. — Т. 156, 3. — С. 76–83.
11. Ложкин С. А. О сложности реализации функций алгебры ло-гики схемами и формулами, построенными из функциональных эле-ментов с прямыми и итеративными переменными // Тр. III Между-народной конференции «Дискретные модели в теории управляющихсистем». — М.: Диалог-МГУ, 1998. — С. 72–73.
12. Ложкин С. А., Коноводов В. А. О сложности формул алгебрылогики в некоторых полных базисах, состоящих из элементов с пря-мыми и итеративными входами // Известия высших учебных заведе-ний. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2015. — 1. — С. 55–68.
13. Ложкин С. А. Реализация функций алгебры логики схемамииз функциональных элементов с задержками // Диссертация на со-искание ученой степени кандидата физико-математических наук. —МГУ им. М. В. Ломоносова, 1979.
14. Ложкин С. А., Коноводов В. А. Оценки высокой степени точ-ности для сложности булевых формул в некоторых базисах из эле-ментов с прямыми и итеративными входами // Известия высшихучебных заведений. Поволжский регион. Физико-математическиенауки. — 2015. — 2. — C. 16–30.
15. Коноводов В. А. Асимптотические оценки высокой степениточности для сложности булевых формул в некоторых базисах, со-стоящих из элементов с прямыми и итеративными входами // Дис-кретные модели в теории управляющих систем: IX Международнаяконференция, Москва и Подмосковье, 20–22 мая 2015 г. — М.: МАКСПресс, 2015. — C. 110–113.
57
КВАНТОВОЕ КРИПТОГРАФИЧЕСКОЕ ХЕШИРОВАНИЕ
Ф. М. Аблаев, М. Ф. Аблаев (Казань)
Криптографическое хеширование предъявляет ряд специальныхтребований на хеш-функции, обусловленные требованиями проти-востояния атакам на передаваемую и хранимую информацию [3].Одним из центральных понятий, определяющих понятие криптогра-фической хеш-функций, является свойство однонаправленности (од-ностороннести, one-way property) функции. Формализация понятия“однонаправленная функция” следующая.
Рассмотрим функцию f : Σ∗ → Σ∗. Определим следующий экспе-римент InvertA,f обращения функции f на основе полиномиальногопо времени алгоритма A и числа n ∈ N:
Процедура обращения функции f . Процедура обращения
InvertA,f : N → 0,1 :
• Выбирается произвольный элемент x ∈ Σn. Вычисляется зна-чение y = f(x).
• Вероятностный (обращающий) алгоритм A для данных входов1n и y выдает результат x′.
• Результат процедуры InvertA,f полагается равным 1, еслиf(x′) = y и полагается равным 0, если f(x′) 6= y.
На основе процедуры Invert формулируется понятие однонаправ-ленной функции. Функцию f : Σ∗ → Σ∗ называют однонаправлен-ной, если выполняются следующие два условия:
1. Функция легко вычислима: существует полиномиальный (отдлины аргумента) по времени алгоритм Mf вычисляющий f ;т. е., Mf(x) = f(x) для всех x ∈ Σ∗.
2. Вероятность быстрого обращения функции незначительна: дляпроизвольного полиномиального по времени вероятностногоалгоритма A, обращающего функцию f , для произвольного по-линома p(n) ∈ POLY выполняется
Pr[InvertA,f (n) = 1] ≤ 1/p(n).
Известно, что в терминах приведенной выше формализации су-ществование однонаправленной функции влечет NP 6= P . Таким
58
образом все используемые на сегодняшний день однонаправленныефункции — функции, для которых не известны быстрые алгоритмыих обращения — являются “условно однонаправленными” (“условноодносторонними”).
Классическое хеширование. Требования. Криптографиче-ская хеш-функция h, “сжимающая” слова в алфавите Σ
h : Σ∗ → Σ∗, h : Σk → Σm, k > m
должна удовлетворять (как минимум) следующим требованиям.
1. Функция h должна быть однонаправленной (точнее “условнооднонаправленной” на сегодняшний день).
2. Функция h должна быть стойкой к коллизиям первого ро-да: для заданного сообщения w должно быть “вычислительносложно” подобрать другое сообщение v, для которого h(w) =h(v).
3. Функция h должна быть стойкой к коллизиям второго рода:должно быть “вычислительно сложно” подобрать пару сообще-ний (w, v) такую, что h(w) = h(v).
4. Функция h должна удовлетворять свойству лавинного эффекта(Avalanche effect): изменение одного символа аргумента должновызывать изменение в среднем половины выходных символов(лавинное изменение).
Квантовое хеширование. Пусть X — конечное множество,K = |X|. Например, X = Σk — множество слов длины k в алфа-вите Σ или X = 0, 1, . . . , q − 1 — конечное множество чисел.
Мы используем систему понятий и обозначений работ [1–4]. Пред-лагается следующая формализация понятия односторонней кванто-вой функции (quantum one-way function).
1. Пусть ψ : X → (H2)⊗s квантовая функция.
2. Пусть дана функцияD : (H2)⊗s → X. Будем называтьD — “де-кодированием квантовой s-кубитной системы” (кратко — “деко-дированием”). Содержательно декодирование D — это извлече-ние информации из квантового системы, состоящее из процессаизмерения квантового состояния |ψ〉 ∈ (H2)⊗s и алгоритма пре-образования результата измерения в элемент w множества X .
59
Определение. Пусть ψ : X → (H2)⊗s квантовая функция.Пусть X случайная величина, равномерно распределенная над мно-жеством X, Pr[X = w] = 1/|X| : w ∈ X. Пусть случайная величи-на Y = D(|ψ(X)〉) над X , получена применением декодирования Dк значению |ψ(X)〉 функции ψ случайной величины X . Пусть ǫ > 0.
Будем называть функцию ψ односторонней ǫ-устойчивой (a one-way ǫ-resistant), если для произвольного декодирования D вероят-ность Pr[Y = X ] события, “декодирование D верно определяет зна-чение X из значения |ψ(X)〉” ограничена величиной ǫ
Pr[Y = X ] ≤ ǫ.
Содержательно квантовое s кубитное состояние |ψ〉 может “содер-жать огромный объем информации”, при этом один из фундамен-тальных законов квантовой информатики, известный как ТеоремаХолево, утверждает, что при извлечении информации из состояния|ψ〉 можно получить не более s бит информации о |ψ〉. Для наших це-лей достаточен следующий специальный вариант формализации [5]Теоремы Холево.
Свойство. Пусть случайная величина X равномерно распреде-лена на множестве 0, 1k. Пусть случайная величина Y на 0, 1kзадается квантовой функцией ψ : 0, 1k → (H2)⊗s и декодировани-
ем D : (H2)⊗s → 0, 1k по правилу Y = D(|ψ(X)〉).Тогда вероятность Pr[Y = X ] правильного извлечения значе-
ния случайной величины X декодированием D из значения |ψ(X)〉оценивается сверху следующим образом
Pr[Y = X ] ≤ 2s
2k.
Определение. Функция ψ : X → (H2)⊗s называется коллизияδ-устойчивой (resistant), если для каждой пары w,w′ различных эле-ментов из X выполняется
|〈ψ(w)|ψ(w′)〉| ≤ δ.
Понятие коллизия δ-устойчивости обеспечивает выполнение тре-бований 2–4 для классической хеш-функции [3, 4].
Предлагается следующее определение квантовой хеш-функции.
60
Определение. Пусть K = |X|, s ≥ 1. Квантовую ǫ-одностороннюю и δ-устойчивую функцию ψ : X → (H2)⊗s будемназывать (ǫ, δ)-устойчивой квантовой хеш-функцией.
Два примера хеш-функций.Следующие два простых примера показывают особенности (ǫ, δ)-
устойчивой квантовой хеш-функций.Пример 1. Пусть число v ∈ 0, . . . , 2k − 1 отображается в
кубит по правилу:
ψ : v 7→ cos
(2πv
2k
)|0〉+ sin
(2πv
2k
)|1〉.
Извлечение информации из кубита |ψ〉 путем его измерения относи-тельно базиса |0〉, |1〉 дает нам следующее. Функция ψ односторон-няя 1/2k-устойчивая и коллизия δ-устойчива для δ = cos
(π/2k−1
).
Таким образом функция ψ обладает хорошим свойством одосторон-ности, но плохим свойством устойчивости к коллизиям для боль-ших k.
Пример 2. Здесь мы считаем число v ∈ 0, . . . , 2k−1 двоичным
словом v ∈ 0, 1k. Пусть v = σ1 . . . σk. Мы представляем слово v ввиде системы из k кубит:
ψ : v 7→ |v〉 = |σ1〉 · · · |σk〉.
В этом случае извлечение информации из |ψ〉 = |v〉 путем измерения|ψ〉 относительно базиса |0 . . . 0〉, . . . , |1 . . . 1〉 дает нам следующее.Различные слова отображаются в ортогональные состояния поэтомуψ абсолютно устойчива к колизиям, но потеряно свойство одонаправ-ленности — функцию ψ легко обратить. Таким образом в отличииот примера 1 квантовая функция ψ из примера 2 — односторонне1-устойчива и коллизия 0-устойчива.
“Сбалансированная” квантовая хеш-функция. Рассмотрен-ные выше примеры показывают, что устойчивость однонаправленнаяи устойчивость к коллизиям конфликтные свойства: чем более кван-товая функция однонаправленно устойчива тем менее она устойчивак коллизиям и наоборот. Поэтому естественно ввести понятие “сба-лансированной” квантовой хеш-функции.
В [2] приведено свойство, которое дает нижнюю оценку на тре-буемое число кубит квантовой системы для требуемой коллизии δ-устойчивости.
61
Свойство. Если функция ψ : X → (H2)⊗s коллизия δ-устойчива. то
s ≥ log log |X| − log log(1 +
√2/(1− δ)
)− 1.
Приведенные выше свойства определяют рамки конструкции“сбалансированной” квантовой (ǫ, δ)-устойчивой хеш-функции [4].Пусть требуется построить квантовую “максимально односторон-нюю” функцию, коллизия δ-устойчиво, хеширующую элементы мно-жества X мощности K. Тогда, в случае построения квантовой (K; s)функции коллизия δ-устойчивой с s ≈ log logK − c(δ) кубитами, мыполучаем квантовую хеш-функцию, которая будет квантовой (ǫ, δ)-устойчивой хеш-функцией для ǫ ≈ logK/K. Такую функцию есте-ственно считать сбалансированной квантовой хеш-функцией.
Конструкция сбалансированной квантовой хеш-функции.Пример сбалансированной квантовой хеш-функции приведен в рабо-те [3]. Здесь излагаются конструкция построения такой квантовыххеш-функций, в терминах изменяющих комплексную “фазу” кванто-вой системы [1]. Это позволяет не только упростить математическиевыкладки, но и представить конструкции квантовых хеш-функций втерминах квантово-оптических технологий. Пусть q — простое чис-ло, Fq — поле, а B ⊂ Fq. Квантовая функция
ψq,B : 0, 1log q → (H2)⊗ log |B| (1)
имеет вид
|ψq,B(a)〉 =1√|B|
|B|∑
j=1
ei2πabj
q |j〉.
Справедлив следующий результат.Теорема. Для числа δ(q) = 1/(log q)O(1) существует множе-
ство (“хорошее множество”) B ⊂ Fq мощности |Bδ,q| = (log q)O(1)
такое, что для s = log (log q)O(1) квантовая хеш-функция
ψq,B : 0, 1log q → (H2)⊗s
является (ǫ, δ)-устойчивой квантовой хеш-функцией, где
ǫ ≤ (log q)O(1)
q.
62
Приведенная выше общая нижняя оценка на число s используемыхв конструкции квантовой хеш функции дает следующую конкретнуюнижнюю оценку на число s используемых в конструкции ψq,B кубит:
s ≥ log log q.
Работа выполнена в рамках Российской государственной про-грамме повышения конкурентоспособности Казанского федерально-го университета и при поддержке грантов РФФИ 14-07-00878, 14-07-00557, 15-37-21160.
Список литературы1. Аблаев М. Ф. О конструкции квантовых хеш-функций // Мате-
риалы IX Международной конференции “Дискретные модели в тео-рии управляющих систем“. — М.: Изд-во механико-математическогоф-та МГУ, 2015. — C. 8–9.
2. Ablayev F.M., Ablayev M.F. Quantum hashing via classical e-universal hashing constructions // arXiv:1404.1503v2 [quant-ph].
3. Ablayev F.M., Vasiliev A.V. Cryptographic quantum hashing //Laser Phys. Lett. — 2015. — 11 025202.
4. Ablayev F.M., Ablayev M.F., Vasiliev A.V. On the balancedquantum hashing // Journal of Physics: Conference Series. —V. 681,No. 1. 2015 — P. 012019.
5. Nayak A. Optimal lower bounds for quantum automata, randomaccess codes // arXiv:quant-ph/9904093v, 1999.
СЛОЖНОСТЬ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВ-ЛЕНИЙ ФУНКЦИЙ k-ЗНАЧНЫХ ЛОГИК
С. Н. Селезнева (Москва)В докладе предлагается обзор сложности представлений и при-
ближений функций k-значной логики полиномиальными формами.Пусть Ek = 0, 1, . . . , k − 1, где k ≥ 2 — натуральное число,Pk = f (n) : Enk → Ek | n = 0, 1, 2, . . . — множество всех функ-ций k-значной логики.
Первые две части доклада посвящены представлениям функ-ций k-значных логик полиномиальными формами. Полиномиальной
63
формой (ПФ) называется сумма по модулю k произведений каких-то базисных функций одной переменной, длиной l(P ) ПФ P назы-вается число ее попарно различных слагаемых. Классы ПФ разли-чаются видом базисных функций. Длиной lK(f) функции k-значнойлогики f в классе K назовем наименьшую длину среди всех ПФ изкласса K, представляющих эту функцию. Рассматривается наиболь-шая длина LKk (n) в классе K среди всех функций k-значной логики,зависящих от n переменных. В этих частях мы также коснемся во-просов сложности представления систем функций k-значной логикиполиномиальными формами. Сложностью системы ПФ из класса Kназывается число попарно различных слагаемых во всех ПФ этой си-
стемы. Сложностью lK(F ) системы F функций k-значной логики вклассеK называется наименьшая сложность среди всех систем ПФ вклассеK, представляющих все функции этой системы. Рассматрива-
ется наибольшая сложность LKk (m,n) в классе K среди всех систем
с m функциями, зависящими от одних и тех же n переменных.В первой части доклада расматриваются ПФ для функций ал-
гебры логики (k = 2).Поляризованной полиномиальной формой (ППФ) по вектору по-
ляризации δ = (d1, . . . , dn) ∈ En2 называется сумма по модулю двапроизведений поляризованных переменных xi ⊕ di. Каждая функ-ция алгебры логики f(x1, . . . , xn) представима однозначной ППФP δ(f) по каждому вектору δ ∈ En2 , при нулевом векторе поляри-зации получаем полином Жегалкина P (f) [1]. В [2, 3] найдены неко-
торые оценки LППФ2 (n), в [4] доказано LППФ
2 (n) = ⌊ 23 · 2n⌋. Ниж-
няя оценка в [4] получена предъявлением последовательностей сим-метрических функций алгебры логики fn(x1, . . . , xn), для которых
lППФ(fn) ≥ ⌊ 23 ·2n⌋. В [5] найдено LППФ
2 (m,n) = LППФS2
(m,n) = 2n
при m ≥ 2, n ≥ 1, где S2 — множество всех симметрических функ-ций алгебры логики. Нижняя оценка получена предъявлением си-стем симметрических функций алгебры логики с указанной сложно-стью, функции из [2].
Полиномиальной нормальной формой (ПНФ) называется суммапо модулю два произведений переменных или их отрицаний. В [6]
получено LПНФ2 (n) ≥ 2n
n log2 3 . В [7] найдено LПНФ2 (n) ≤ 2n+1
n (log2 n+
1), но с учетом оценки из [8] по теореме из [7] получается LПНФ2 (n) =
Θ(2n
n
). Отсюда с учетом нижней мощностной оценки следует, что
для сложности систем с m функциями в классе ПНФ справедливо
64
LПНФ2 (m,n) = Θ
(m · 2n
n
)при m = o(n) и LПНФ
2 (m,n) = Θ (2n) приn = O(m).
Во второй части доклада расматриваются ПФ для функций мно-гозначных логик (k ≥ 3). Каждая функция k-значной логики пред-ставима полиномом по модулю k тогда и только тогда, когда k — про-стое число. Если в полиномах степени переменных не превосходятk− 1, то представление однозначно [1]. Далее считаем, что k — про-стое число, и степени переменных в полиномах не выше k−1. Можнорассматривать полиномы относительно операций поля (Ek; +, ·) (ес-ли такое поле существует) [1].
Поляризованной полиномиальной формой (ППФ) по вектору по-ляризации δ = (d1, . . . , dn) ∈ Enk называется сумма по модулю k про-изведений поляризованных переменных xi+ di. Каждая функция k-значной логики f(x1, . . . , xn) представима однозначной ППФ P δ(f)по каждому вектору δ ∈ Enk [9], при нулевом векторе поляризацииполучаем полином P (f). Найдены следующие оценки в классе ППФ:
LППФk (n) ≤ k(k−1)
k(k−1)+1 · kn [9], LППФk (n) ≤ k(k−1)−1
k(k−1) · kn (k ≥ 3) [10],k−1k · kn . LППФ
k (n) [11], LППФk (1) = k − 1 [12]. В [13, 5] доказано
LППФ3 (n) ≥ ⌊ 3
4 · 3n⌋. Оценки из [13, 5] получены предъявлением по-следовательностей функций трехзначной логики fn(x1, . . . , xn), для
которых lППФ(fn) ≥ ⌊ 34 ·3n⌋, в [5] функции — симметрические. В [5]
также найдено LППФ3 (m,n) = LППФ
S3(m,n) = 3n при m ≥ 2, n ≥ 1,
где S3 — множество всех симметрических функций трехзначной ло-гики логики. Нижняя оценка получена предъявлением систем сим-метрических функций трехзначной логики с указанной сложностью.
Пусть s0,i(xi), s1,i(xi), . . . , sk−1,i(xi) — множество, образующеебазис функций одной переменной, обобщенным вектором поляриза-ции называется набор таких множеств для переменных x1, . . . , xn.Каждая функция k-значной логики однозначно представляется ПФ,в которой сомножители в слагаемых только из этих базисных мно-жеств [14, 15]. Получаем обобщенно поляризованные ПФ (ОППФ),если для каждого базисного множества степени полиномов от 0до k − 1, и квазиполиномиальные формы (КВПФ), если базисныемножества без дополнительных ограничений. Найдены следующие
оценки в классах ОППФ и КВПФ: LОППФk (n) ≤ k
k+1 · kn [14],
LОППФk (n) ≤ k+(k−1)−1−1
k+(k−1)−1 · kn [10], k−1k · kn . LОППФ
k (n) [14],
LКВПФ1k (n) ≤ k
k+1 · kn [15], где КВПФ1 — подкласс квазиполино-
65
мов, в которых базисные множества по всем переменным, за исклю-
чением x1, — 1, xi, . . . , xk−1i , LКВПФ
k (n) ≤ k−1k−k1−k · kn [16]. Векто-
ром коэффициентов ПФ из класса K, в котором функции k-значнойлогики представляются однозначно, называется вектор с kn коэф-фициентами этой ПФ при всех возможных слагаемых в каком-то ихупорядочении. Матрица перехода от вектора коэффициентов поли-нома функции f к вектору коэффициентов ее ПФ в классах ППФ,ОППФ, КВПФ является кронекеровым произведением n матриц раз-мера k × k. Классы ППФ, ОППФ, КВПФ можно определять какклассы матричных кронекеровых форм [16, 10].
Полиномиальной нормальной формой (ПНФ) называется сум-ма по модулю k произведений поляризованных переменных xi + d,d ∈ Ek. В отличие от ППФ в ПНФ поляризация переменной можетменяться от слагаемого к слагаемому. Получены следующие оцен-
ки в классе ПНФ: LПНФk (n) . 2 · knn · lnn [17], kn
n logk(k(k−1)+1) .
LПНФk (n) [17], LПНФ
k (n) = Θ(kn
n
)[18]. Отсюда с учетом нижней
мощностной оценки следует, что для сложности систем с m функ-
циями в классе ПНФ справедливо LПНФk (m,n) = Θ
(m · knn
)при
m = o(n) и LПНФk (m,n) = Θ (kn) при n = O(m).
Третья часть доклада посвящена приближению функций k-знач-ных логик полиномами при k ≥ 2.
Рассматриваются длина и ранг полиномов, приближающихфункции k-значной логики с заданной точностью. Если k — про-стое число, то каждая функция k-значной логики f представима од-нозначным полиномом P (f), в котором степени переменных не вы-ше k− 1. Функция g(x1, . . . , xn) называется приближением функцииf(x1, . . . , xn) с точностью δ, 0 ≤ δ ≤ 1, если доля наборов значенийпеременных, в которых функции f и g различаются, не превосхо-дит δ. Полином P (g) приближает функцию k-значной логики f сточностью δ, если функция g является приближением функции f сточностью δ.
Длиной l(P ) полинома P называется число его попарно различ-ных слагаемых с ненулевыми коэффициентами, рангом r(P ) поли-нома P называется наибольшее число различных переменных, пе-ремножающихся в его слагаемых с ненулевыми коэффициентами,r(0) = 0. Рангом rδ(f) (длиной lδ(f)) функции k-значной логики f сточностью δ наименьший ранг (наименьшая длина) среди всех поли-номов, приближающих функцию f с точностью δ. Рассматриваютсянаибольший ранг rδnk (n) и наибольшая длина lδnk (n) с точностью δn
66
функций k-значной логики, зависящих от n переменных. Всегда счи-таем, что δn → 0 при n → ∞. Случай δn = q
kn будем обозначать
r(q)k (n) и l(q)k (n), приближение с точностью до q точек.
Получены следующие оценки ранга полиномов, приближающихфункции k-значной логики с заданной точностью: rδ2(n) = 0 приδ ≥ 1
2 [19], rδk(n) = 0 при δ ≥ k−1k [20], rδ2(n) ∼ 1
2 ·n при 0 < δ < 12 [19],
rδk(n) ∼ k−1k · n при 0 < δ < k−1
k [20], rδnk (n) ∼ k−1k · n при 1
kn =
o(δn) [20], r(q)k (n) = n при n ≥ n0, k ≥ 3 [20], r(q)2 (n) = n−2 при n ≥ n0,
q ≥ 2 [20] (совм. c В.Б. Алексеевым (2015 г.)), r(1)2 (n) = n− 1 [20].Найдены следующие оценки длины полиномов, приближающих
функции k-значной логики с заданной точностью: lδ2(n) = 1 при δ ≥12 [19], lδk(n) = 1 при δ ≥ k−1
k [20], lδ2(n) ≤ 12 · (1 − δ) · 2n + o(2n) при
0 < δ < 12 [19], lδk(n) ≤ k−1
k · (1 − δ) · kn + o(kn) при 0 < δ < k−1k [20],
lδnk (n) ∼ k−1k · kn при δn ≥ (k−1
k )n [20], l(q)2 (n) ∼ 12 · 2n при q ≥ 1 [20].
Список литературы1. Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значной ло-
гике // Труды Математического института им. В. А. Стеклова АНСССР. — 1958. — Т. 51. — С. 5–142.
2. Sasao T., Besslich P. On the complexity of mod-2 sum PLA’s //IEEE Trans. on Comput. — 1990. — V. 39, N 2. — P. 262–266.
3. Супрун В. П. Сложность булевых функций в классе канони-ческих поляризованных полиномов // Дискретная математика. —1993. — Т. 5, вып. 2. — С. 111–115.
4. Перязев Н. А. Сложность булевых функций в классе полино-миальных поляризованных форм // Алгебра и логика. — 1995. —Т. 34, вып. 3. — С. 323–326.
5. Селезнева С. Н. Сложность систем функций алгебры логикии систем функций трехзначной логики в классах поляризованныхполиномиальных форм // Дискретная математика. — 2015. — Т. 27,вып. 1. — С. 111–122.
6. Even S., Kohavi I., Paz A. On minimal modulo 2 sums of productsfor switching functions // IEEE Trans. Elect. Comput. — 1967. — P. 671–674.
7. Кириченко К. Д. Верхняя оценка сложности полиномиальныхнормальных форм булевых функций // Дискретная математика. —2005. — Т. 17, вып. 3. — С. 80–88.
8. Cooper J. N., Ellis R. B., Kahng A. B. Asymmetric binary coveringcodes // Journal of Combinatorial Theory. Series A. — 2002. — V. 100,
67
N 2. — P. 232–249.9. Селезнева С. Н. О сложности представления функций много-
значных логик поляризованными полиномами // Дискретная мате-матика. — 2002. — Т. 14, вып. 2. — С. 48–53.
10. Балюк А. С., Янушковский Г. В. Верхние оценки функций надконечными полями в некоторых классах кронекеровых форм // Из-вестия Иркутского государственного университета. Серия: Матема-тика. — 2015. — Т. 14. — С. 3–17.
11. Алексеев В. Б., Вороненко А. А., Селезнева С. Н. О сложностиреализации функций k-значной логики поляризованными полинома-ми // Сб. Труды V Международной конференции «Дискретные мо-дели в теории управляющих систем» (Ратмино, 26–29 мая 2003 г.). —М.: МАКС Пресс, 2003. — С. 8–9.
12. Селезнева С. Н. О сложности поляризованных полиномовфункций многозначных логик, зависящих от одной переменной //Дискретная математика. — 2004. — Т. 16, вып. 2. — С. 117–121.
13. Маркелов Н. К. Нижняя оценка сложности функций трех-значной логики в классе поляризованных полиномов // ВестникМосковского университета. Серия 15. Вычислительная математикаи кибернетика. — 2012. — вып. 3. — С. 40–45.
14. Селезнева С. Н. О сложности обобщенно-поляризованных по-линомов k-значных функций // Дискретная математика. — 2009. —Т. 21, вып. 4. — С. 20–29.
15. Селезнева С. Н. О сложности k-значных функций в одномклассе полиномов // Сб. Проблемы теоретической кибернетики. Ма-териалы XVI Международной конференции (Нижний Новгород, 20–25 июня 2011 г.). — Нижний Новгород: Издательство Нижегородско-го университета, 2011. — С. 430–434.
16. Балюк А. С. О верхней оценке сложности задания квазипо-линомами функций над конечными полями // Известия Иркутско-го государственного университета. Серия: Математика. — 2014. —Т. 10. — С. 3–12.
17. Селезнева С. Н., Дайняк А. Б. О сложности обобщенных по-линомов k-значных функций // Вестник Московского университета.Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 2008. —вып. 3. — С. 34–39.
18. Башов М. А., Селезнева С. Н. О длине функций k-значнойлогики в классе полиномиальных нормальных форм по модулю k //Дискретная математика. — 2014. — Т. 26, вып. 3. — С. 3–9.
19. Джавадов Р. М. О сложности приближенного задания функ-ций алгебры логики // Доклады АН СССР. — 1982. — Т. 265,
68
вып. 1. — С. 24–27.20. Селезнева С. Н. О пpиближении с заданной точностью функ-
ций k-значных логик полиномами // Дискретная математика. —2008. — Т. 20, вып 2. — С. 32–45.
ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ:УСЛОВИЯ МИНИМАЛЬНОСТИ И
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ МЕТОД
И. П. Чухров (Москва)
Задача минимизации булевых функций обычно рассматривает-ся в двух эквивалентных моделях — аналитической и геометри-ческой [1]. В аналитической модели используются понятия: буле-ва функция, импликанта, дизъюнктивная нормальная форма(ДНФ),зависящие от n переменных. В геометрической модели эквивалент-ными понятиями являются подмножество вершин, грань, комплексграней в n-мерном единичном кубе Bn. Задача минимизации буле-вых функций для аддитивной сложности является задачей о покры-тии множества единичных вершин функции гранями единичногокуба.
В обзорных статьях [2–4] изложены различные алгоритмическиевопросы и подходы к решению задачи о покрытии. При точном ре-шении задачи для уменьшения вычислительной сложности снача-ла выполняются преобразования, направленные на сокращение раз-мерности задачи. Используемые для этого подходы приемлемой тру-доемкости основаны на понятиях: связность, неприводимое покры-тие, ядровые множества, доминирование. В результате итеративныхпреобразований исходная задача сводится к задаче о покрытии для
69
не сокращаемого множества, которое называется циклическим яд-ром [4]. Для таких задач точные алгоритмы обычно используют пе-реборные схемы и относятся к методам ветвей и границ. Возмож-ность выполнения перебора в значительной степени определяетсяприменимостью достаточных условий минимальности, т. е. дости-жимостью нижних границ используемых для оценки минимальнойсложности покрытия. При этом обычно используются нижние гра-ницы, основанные на понятии независимого множества. Численныеэксперименты также показывают, что основные затраты приходятсяна доказательство оптимальности решения [5].
Характерной чертой задачи минимизации булевых функций яв-ляется возможность нахождения оптимального решения уменьше-нием ранга и удалением импликант. Такие преобразования реализу-ются локальными алгоритмами [6] конечного порядка и их трудоем-кость считается приемлемой.
Полиэкстремальность задачи минимизации булевой функции за-ключается в возможности существования большого числа локаль-ных экстремумов, в роли которых выступают тупиковые покрытия(ДНФ), среди которых содержатся глобальные экстремумы — мини-мальные покрытия (ДНФ).
Задача о поведении параметров µ (n) и τ (n) — максимальныхзначений числа тупиковых и минимальных ДНФ булевой функции сростом числа переменных была поставлена С. В. Яблонским в связис оценкой трудоемкости минимизации булевых функций алгоритма-ми, использующими переборные схемы поиска решения. Отношениечисла минимальных к числу тупиковых ДНФ булевой функции яв-ляется верхней оценкой вероятности нахождения минимальной ДНФпри случайном выборе тупиковой, которая в худшем случае не пре-восходит χ−1 (n), где χ (n) — максимальное значение отношения чис-ла тупиковых к числу минимальных ДНФ.
Большинство задач, которые возникают при минимизации буле-вых функций, относится к полным или трудно решаемым комбина-торным задачам [7, 8]. Поэтому актуальными являются задачи выде-ления эффективно и неэффективно минимизируемых классов буле-вых функций, определения достаточных критериев минимальностии обоснованности сокращения перебора в алгоритмах минимизации.
Множество булевых функций n переменных обозначим через Pn.Для функции f ∈ Pn обозначим:T (f) и τ (f) — множество и число тупиковых комплексов граней;ML (f) и µL (f) — множество и число L-минимальных комплек-
сов граней;
70
M∩C (f) и µ∩C (f) — множество и число минимальных комплек-сов граней относительно любой меры из класса мер сложности C;
χL (f) = τ (f)/µL (f) — отношение числа тупиковых и L-мини-мальных комплексов граней.
Максимальное значение параметра qv (f) на множестве функцийPn будем обозначать через qv (n), например, τ (n) или µL (n).
Число тупиковых и L-минимальных комплексов граней в кубе Bn
обозначим через T (n) и ML (n) соответственно.Обозначения параметра без указания меры сложности использу-
ются в утверждениях, которые справедливы одновременно для ми-нимальных и кратчайших тупиковых комплексов.
Пояс куба Bn, состоящий из слоев Bni = x ∈ Bn : ‖x‖ = i с но-мерами i = m−k, . . . ,m, где 0 ≤ k ≤ m ≤ n, обозначим через Snm−k,m.
Функция называется поясковой, если множество единичных вер-шин функции совпадает с поясом единичного куба.
Функция называется симметрической, если она не меняет значе-ния при любой перестановке переменных. Симметрическая функцияоднозначно представляется в виде дизъюнкции поясковых функций,которые являются компонентами связности. Множество симметри-ческих функций n переменных обозначим через Sn.
Целую часть и верхнюю целую часть числа x обозначим через ⌊x⌋и ⌈x⌉ соответственно. Сколь угодно малая положительная константаобозначается через ε. Под log понимается логарифм по основанию 2.Асимптотические оценки числовых параметров в единичном кубе Bn
всюду получаются при n→ ∞.Из очевидных соотношений µ (n) ≤ τ (n), χ (n) ≤ τ (n) и мощ-
ностных соображений получается верхняя оценка [9, стр. 125]:
logχ (n) , logµ (n) ≤ log τ (n) . n2n log 32 .
Нижние оценки максимальных значений, полученные конструктив-ными методами, последовательно улучшались в работах С. В. Яблон-ского, Ю. И. Журавлева, В. В. Глаголева, Ю. Л. Васильева, А. А. Са-поженко, И. П. Чухрова:
logµ (n) ≥ log maxf∈Sn
µ (f) ∼ n
(n
⌊n/2⌋
)∼√2/π
√n2n,
logχ (n) ≥ log maxf∈Sn
χ (f) ≥ Θ(n(
n⌊n/2⌋
))≍ √
n2n.
Исследование симметрических функций и, в частности, пояско-вых функций объяснялось существованием гипотезы о достижимо-сти значений τ (n) и µ (n) на симметрических функциях. При этом
71
отмечалось, что «для числа кратчайших ДНФ известна лишь оцен-ка снизу его максимального значения нетривиальные оценки сверху,нетривиальные оценки типичных значений неизвестны» [9, стр. 102].
1. Меры сложности и доказательство минимальности [10]
Функционал L, определенный на множестве комплексов граней,является мерой сложности, если он удовлетворяет аксиомам неотри-цательности, монотонности, выпуклости и инвариантности относи-тельно изоморфизма [11, стр. 298].
Комплекс граней называется L-минимальным, если он имеетнаименьшую меру сложности L среди эквивалентных комплексовграней.
Кратчайшим называется l-минимальный комплекс и минималь-ным называется L-минимальный комплекс, где l — число граней иL — сумма рангов граней в комплексе.
Грани I и I ′ называются изоморфными, если существует такаяперестановка координат π, что π (I ′) = I.
Грань I доминирует грань I ′, если существует такая перестанов-ка координат π, что π (I ′) ⊂ I.
Комплекс граней называется минимальным относительно классамер сложности C или кратко C-минимальным, если он является L-минимальным для любой меры сложности L из класса C.
В теории выбора рассматривается два подхода к сравнению аль-тернатив — порядковый и количественный.
Формализм порядкового подхода основан на теории бинарных от-ношений: сравнение любой пары альтернатив и выделение предпо-чтительной, что не требует их количественной оценки. Альтернати-вы представляются частично упорядоченным множеством и решениезадачи заключается в нахождении недоминируемых альтернатив.
Формализм количественного подхода основан на представленииотношения предпочтения на множестве альтернатив функцией по-лезности. Решение задачи выбора сводится к решению оптимизаци-онной задачи и нахождению альтернатив с максимальным значениемфункционала полезности.
Функционал меры сложности порождает линейное бинарное от-ношение на множестве комплексов граней единичного куба. Акси-омы неотрицательности, монотонности и выпуклости определяютсвойство нестрогого порядка при уменьшении ранга или удаленияграни комплекса. Аксиома инвариантности определяет свойство эк-вивалентности изоморфных комплексов граней, т. е. неразличимо-сти по сложности. Обоснование минимальности или не минималь-ности комплекса граней выполняется с использованием порядковых
72
свойств, которые порождаются мерой сложности. Для этого опре-деляются классы мер сложности, позволяющие установить эквива-лентность или строгий порядок по сложности для комплексов гра-ней:
Λπ — меры сложности удовлетворяют усиленному свойству ин-вариантности относительно изоморфизма, т. е. при замене некото-рых граней на изоморфные сложность комплекса не изменяется;
Λl — меры сложности удовлетворяют свойству строгой монотон-ности относительно длины, т. е. сложность комплекса уменьшаетсяпри удалении произвольной грани;
ΛL — меры сложности удовлетворяют свойству строгой мо-нотонности относительно сложности, т. е. сложность комплексауменьшается при уменьшении ранга или удалении произвольной гра-ни;
Λ+ — меры сложности удовлетворяют свойству аддитивности,т. е. сложность комплекса граней равна сумме сложностей граней.Аддитивными являются меры сложности l и L, а также L0 и L1 —число направлений грани равных 0 и, соответственно, 1, т. е. числопеременных с отрицанием и без отрицания в импликанте.
Комплекс граней называется неприводимым, если после удалениялюбой грани получается комплекс другой булевой функции. Тупико-вым называется неприводимый комплекс граней, в котором все гранимаксимальные. Любой L-минимальный комплекс является неприво-димым для L ∈ Λl и является тупиковым для L ∈ ΛL.
Используемые при минимизации функционалы обычно являютсямерами сложности из классов Λπ ∩ Λl или Λπ ∩ ΛL.
Каждая грань неприводимого комплекса M содержит хотя быодну собственную вершину x, не принадлежащую другим гранямкомплекса. Такую грань обозначим через IM,x.
Для множества вершин Q ⊆ Bn подмножество вершин X ⊆ Q на-зывается интервально независимым, если любая допустимая граньдля множества Q содержит не более одной вершины множества X .
Подмножество вершин называется протыкающим для комплексаграней, если в каждой грани комплекса содержится хотя бы однавершина подмножества.
Утверждение. Пусть BM — подмножество собственных вер-шин для граней неприводимого комплекса M и определены условия:
(i) BM является интервально независимым и протыкающимдля комплекса граней;
(ii) для каждой вершины x ∈ BM ранг грани IM,x не больше рангалюбой допустимой грани комплекса, содержащей x;
(iii) для каждой вершины x ∈ BM грань IM,x изоморфна или
73
доминирует любую допустимую грань комплекса, содержащую x.Тогда комплекс M является кратчайшим, если выполнено усло-
вие (i), минимальным и кратчайшим, если выполнены условия (i)и (ii), Λπ-минимальным, если выполнены условия (i) и (iii).
Λπ-минимальные комплексы при выполнении условий (i) и (iii)обладают свойством суммируемости для компонент связности.
Следствие. Любой L-минимальный комплекс симметрическойфункции является Λπ-минимальным и
logµ∩Λπ (n) & logM∩Λπ (n) &√2/π
√n 2n.
2. Вероятностные методы получения оценокСущественного улучшения нижних оценок τ (n) и µ (n) удалось
добиться после отказа от построения и исследования свойств кон-кретных функций и переходу к построению множеств тупиковыхи минимальных комплексов граней в кубе Bn.
Из известных нижних оценок следует, что log |Pn| = 2n являетсявеличиной o (log τ (n)) и o (logµ (n)), соответственно, из соотношений
T (n)/|Pn| ≤ τ (n) ≤ T (n) , M (n)/|Pn| ≤ µ (n) ≤M (n)
следует, что log τ (n) ∼ log T (n) и log µ (n) ∼ log M (n) при n → ∞.Это означает эквивалентность с точностью до асимптотики логариф-ма задач (i) о максимальном числе тупиковых или минимальныхкомплексов булевой функции n переменных и (ii) о числе тупиковыхили минимальных комплексов в кубе Bn.
Отметим, что мощность множества комплексов различных гра-ней в кубе Bn не превосходит 2o(n2
n), если в комплексах множества:либо число граней равно o (2n), либо число граней равно Θ(2n) и всеграни размерности o (n). Следовательно, существование тупиковых,кратчайших или минимальных комплексов граней, которые содер-жат порядка 2n граней размерности порядка n в единичном кубеBn, является необходимым условием для получения соответствую-щей нижней оценки по порядку логарифма равной n2n.
Метод построения тупиковых комплексов граней [12]. Идея ме-тода основана на обобщении доказательства существования такоготупикового комплекса T пояса S = Snm−k,m, что l (T ) ∼ |S| при
k ≤ Θ(log logn/log log logn) и 14n ≤ m− k < m ≤ 3
4n [13].Грань минимальной размерности единичного куба, которая со-
держит вершины x и y, обозначим через I (x, y).
74
Для множеств A ⊂ S ⊂ Bn и вершин, содержащихся в граняхдопустимых для S и пересекающихся с A, определим два множества.
Множество (A,S)-внутренних вершин W (A,S) содержит вер-шины x ∈ S, для которых существует такая вершина α ∈ A, чтогрань I (x, α) является допустимой, но не максимальной для мно-жества S.
Множество (A,S)-граничных вершин G (A,S) содержит верши-ны x ∈ S, для которых грань I (α, x) для любой вершины α ∈ Aявляется либо максимальной, либо недопустимой для множества S.
Обозначим через T (S,A) множество комплексов граней, в кото-рых для каждой (A,S)-граничной вершины x в комплекс включаетсягрань I (x, α) для такой одной вершины α ∈ A, что I (x, α) являетсямаксимальной гранью для S.
Лемма. Для множеств вершин A ⊂ S ⊂ Bn любой комплексграней T ∈ T (S,A) является тупиковым и для грани I (x, α) ∈ Tвершина x ∈ G (A,S) является собственной.
Теорема. Существует Aλ ⊂ Snm−k,m и тупиковый комплекс гра-
ней T ∈ T(Snm−k,m, Aλ
)такой, что
∣∣Snm−k,m∣∣ (1− e−λ
)(1− λk
m− 2k
). l (T ) <
∣∣Snm−k,m∣∣ ,
где εn ≤ m ≤ n2 , k ≤ m
2 (1− ε), ε < λ < minmk − 2− ε, o (n)
.
Множество тупиковых комплексов в поясе Snm−k,m образуется изпучков граней, которые получаются сечением по слою m − k гра-ней тупикового комплекса из пояса Snm−k0,m, имеющих собственныевершины в поясе Snm−p,m, где p < k < k0.
Метод построения ядровых комплексов граней [14]. Для множе-ства вершин A ⊂ Bn определим множество простых k-граничныхвершин Gk (A), которое содержит такие вершины x ∈ Bn, чтоρ (α, x) ≥ k для любой вершины α ∈ A и существует единствен-ная вершина α ∈ A, обозначаемая через ϕA,k (x), для которойρ (α, x) = k.
Будем говорить, что множество состоит из изолированных вер-шин, если в нем нет соседних вершин.
Лемма. Для множества вершин A ⊂ Bn и подмножества изо-лированных простых k-граничных вершин G ⊂ Gk (A) ядровым яв-ляется комплекс граней, в котором для каждой вершины x ∈ G вкомплекс включается грань I (x, α) для вершины α = ϕA,k (x) ∈ A.
75
Вершина x является собственной для грани I (x, α) в таком ядро-вом комплексе.
Задача о максимальном числе k-мерных граней в ядровом ком-плексе сводится к доказательству существования множества вершинA ⊂ Bn, для которого число изолированных простых k-граничныхвершин сравнимо с мощностью куба. Для этого используется веро-ятностный метод, основанный на случайном выборе вершин множе-ства A и оптимизацией при подборе параметров для двух способовполучения изолированных вершин.
Теорема. Для 1 ≤ k < n2 − η (n), где η (n) /
√n → ∞ при n →
∞, существуют множество A ⊂ Bn и ядровой комплекс k-мерныхграней M , построенный по множеству изолированных простых k-граничных вершин G ⊂ Gk (A), для которого
l (M) &2n−1
eϕc
(k
n
), ϕc (x) =
1− 2x
1− xmax
1,
2x
1− x
.
Множество Λπ-минимальных комплексов граней образуется из пуч-ков граней, которые получаются сечением по слоям r−
⌊k2
⌋и r+
⌈k2
⌉
граней ядрового комплекса k0-мерных граней, имеющих собственныевершины в поясе Snr−p,r+p, где 2p < k < k0 и r =
⌊n2
⌋.
Подбор параметров и вычисление констант в нижних оценках вы-полняется методом нелинейного программирования.
3. Оценки максимальных значенийТупиковые комплексы граней [12]. Доказано существование ту-
пиковых комплексов k-мерных граней с числом граней порядка 2n
при k ≤ n2 (1− ε) и асимптотически равном 2n при k = o (n).
Для числа тупиковых комплексов граней в кубе Bn и для макси-мального числа тупиковых комплексов граней функции n перемен-ных получен порядок логарифма равный n2n с константой в нижнейоценке, которая больше 1.355 · 2−5. Нижние оценки достигаются намножестве тупиковых комплексов граней T n
m−k,m и множестве функ-ций Fn
m−k,m, которые содержат только максимальные k-мерные гра-ни пояса Snm−k,m.
Ядровые и кратчайшие комплексы граней [14]. Доказано суще-ствование ядровых комплексов k-мерных граней с числом гранейпорядка 2n при 1 ≤ k ≤ n
2 (1− ε).Число кратчайших комплексов k-мерных граней совпадает по по-
рядку логарифма с общим числом комплексов, которые состоят изне более 2n−1 различных k-мерных граней при 1 ≤ k ≤ n
2 (1− ε).
76
Для числа кратчайших комплексов граней в кубе Bn и для макси-мального числа кратчайших комплексов граней функции n перемен-ных получен порядок логарифма равный n2n с константой в нижнейоценке, которая больше 1.0614 · 2−5.
Минимальные комплексы граней [15]. Для комплексов гранейразмерности не более k число Λπ-минимальных комплексов и числокомплексов из не более 2n−1 различных граней совпадают по поряд-ку логарифма при k ≤ n
2 (1− ε).Для числа Λπ-минимальных комплексов граней в кубе Bn и для
максимального числа Λπ-минимальных комплексов граней функцииn переменных получен порядок логарифма равный n2n с константойв нижней оценке, которая больше 0.5307 · 2−5.
Мощность множества функций, для которых число Λπ-минималь-ных комплексов равно по порядку логарифма n2n, совпадает по по-рядку логарифма с числом функций n переменных.
Отношение числа тупиковых и минимальных комплексов граней[16]. Для получения нижних оценок используются свойства экстре-мальных функций из множества Fn
m−k,m.Максимальное значение по порядку логарифма равно n2n:(i) для отношения числа тупиковых и минимальных комплексов
граней функции относительно всех мер сложности класса Λπ ∩ Λl;(ii) для числа тупиковых комплексов граней функции при един-
ственном минимальном комплексе граней функции относительновсех мер сложности класса Λπ ∩ ΛL.
Мощности множеств функций по порядку логарифма равны 2n,т. е. числу функций n переменных, для которых значение по порядкулогарифма равно n2n для одного из параметров:
(i) число тупиковых комплексов,(ii) отношение числа тупиковых и минимальных комплексов от-
носительно всех мер сложности класса Λπ ∩ Λl,(iii) число тупиковых комплексов при единственном минималь-
ном комплексе относительно всех мер сложности класса Λπ ∩ ΛL.Для получения нижних оценок используются свойства экстре-
мальных функций из множества Fnm−k,m с большим числом тупико-
вых комплексов и методы доказательства минимальности комплек-сов граней для мер сложности из классов Λl и ΛL (являются рас-ширением классов Λl и ΛL за счет исключения требования «строгоймонотонности» для граней, содержащих вершину 0 или 1).
77
4. Оценки типичных значений [17]
Обозначим через Pn подмножество почти всех функций из Pn, ко-торые при k0 = ⌈log n⌉, k1 = ⌈log logn+ log log logn⌉ и k2 = ⌊log log n⌋обладают свойствами 1–5:
1. Нет допустимых граней размерности более k0 [18].2. Число допустимых граней g (f) = 2nnlog logn(1+o(1)), почти все
допустимые грани функции имеют размерность k2 или k2+1, |Nf | ∼2n−1 и допустимые грани функции размерности больше k1 содержатне более 2nn− log logn(1−o(1)) вершин функции [19].
3. Число максимальных граней s (f) = 2nnlog log n(1+o(1)), почтивсе максимальные грани функции имеют размерность k2 или k2 + 1и почти все k-мерные допустимые грани функции являются макси-мальными при k2 < k ≤ k0 [20].
4. lL (f) ∼ l (f) и Ll (f) ∼ L (f) ∼ n l (f), т. е. длина минималь-ных и кратчайших комплексов граней, сложность минимальных икратчайших комплексов граней — асимптотически равны [21].
5. l (f) ∼ l (n), где l (n) — среднее значение длины кратчайшегокомплекса граней функции [22, стр. 94].
Оценкам длины кратчайших ДНФ для почти всех функций былипосвящены работы В. В. Глаголева, Р. Г. Нигматуллина, А. А. Сапо-женко, А. Д. Коршунова, С. Е. Кузнецова, А. Е. Андреева, Н. Пиппен-джера. Наилучшие известные результаты следующие:
l (f) ∼ l (n) = cn2n/logn log logn,
где 1 ≤ cn [23] и cn ≤ 1.5 [24] или cn ≤ ω (n) [25], при этом функцияω (n) зависит от дробной части log logn + log log log n и колеблетсямежду 1.38826 . . . и 1.54169 . . . в зависимости от n.
Мощностная верхняя оценка µL (f) при lL (f) < g (f) /2 имеетвид
logµL (f) ≤ log∑lL(f)
i=l(f)
(g (f)
i
)< lL (f) log
e g (f)
lL (f).
Следовательно, для кратчайших и минимальных комплексов почтивсех булевых функций выполняется logµ (f) . cn2
n.Идея улучшения верхней оценки для кратчайших комплексов
граней основана на сравнении этой оценки с мощностью множествакратчайших комплексов граней функций из множества Pn. Это мно-жество, которое обозначим через Mn
l , содержит комплексы граней,состоящие из не более m ∼ l (n) различных граней размерности не
78
более k ∼ log logn и o(2n
n
)граней большей размерности, но не бо-
лее k0 = ⌈logn⌉. Оказывается, что общее число комплексов гранейс такими характеристиками с точностью до асимптотики логариф-ма не превосходит cn2n. Тогда, в силу неравенства Маркова, числократчайших комплексов граней функций из Pn не может по порядкулогарифма превосходить среднего значения, т. е. 2−2n |Mn
l |. Поэтомус точностью до асимптотики логарифма возможно улучшение верх-ней оценки до величины log |Mn
l |−2n . (cn − 1) 2n, что существенноменьше числа функций n переменных.
Теорема. Если lL (f) ∼ l (f) для почти всех функций из Pn, то
log µL (f) . (cn − 1) 2n
при n→ ∞, где cn определяется из соотношения для среднего значе-ния длины кратчайшего комплекса граней типичной булевой функ-ции l (n) = cn2
n/logn log log n.
Тогда для почти всех функций logµl (f) . 2n−1 и logµL (f) .
2n−1, если lL (f) ∼ l (f), так как cn ≤ 1.5 [24].При определенных предположениях для аддитивных мер слож-
ности асимптотически совпадают длины L-минимальных и кратчай-ших комплексов для почти всех функций.
Теорема. Для почти всех функций lL (f) ∼ l (f) при n→ ∞ дляаддитивной меры сложности L 6≡ 0, если в единичном кубе Bn:
(i) максимальная L-сложность граней ограничена полиномомот n,
(ii) грани размерности не более k0 = ⌈logn⌉ и содержащиеся в
средних слоях куба ширины Θ(√n log n) имеют асимптотически
одинаковую L-сложность.Следствие. Если для аддитивной меры сложности функционал
имеет вид Lq (I) = q (L0 (I) , L1 (I)), где q(x, y) — полином двух пере-менных и I — грань куба, то для почти всех функций lLq (f) ∼ l (f)
и logµLq (f) . (cn − 1) 2n.
5. О минимизации одного множества булевых функций [26]
Обозначим через Fn,L множество функций n переменных, кото-рые для аддитивной меры сложности L обладают следующими свой-ствами: (i) множество единичных вершин функции является однойсвязной компонентой, (ii) множества тупиковых кратчайших и мини-мальных комплексов граней не пересекаются и (iii) длина кратчай-ших комплексов l (f) равна мощности максимального интервальнонезависимого множества вершин функции m (f).
79
Для функции f ∈ Fn,L в любом L-минимальном комплексе гра-ней нельзя выбрать интервально независимое множество собствен-ных вершин из различных граней, так как он не является кратчай-шим, т. е. число граней в комплексе больше l (f) = m (f). Соответ-ственно, для таких функций не применимы независимая миними-зация для компонент связности и достаточные условия минималь-ности, основанные на интервально независимых множествах, поз-воляющие при минимизации сократить трудоемкость и исключитьперебор всех минимальных комплексов граней. Задача заключаетсяв получении нижних оценок |Fn,L| и µ (Fn,L) — мощности и мак-симального числа L-минимальных комплексов граней для функциймножества Fn,L.
Для построения функций множества Fn,L выполняется преобра-зование функции s переменных в функцию n переменных, для ко-торой можно описать все тупиковые комплексы граней и получитьдля них сравнительные оценки сложности. При преобразовании:
(i) каждая максимальная грань исходной функции преобразуетсяв пучок изоморфных максимальных граней функции n− 2 перемен-ных;
(ii) добавлением одномерных ядровых граней в двух новых изме-рениях, которые содержат все вершины функции n− 2 переменныхза исключением вершин исходной функции s переменных в фикси-рованной грани.
При специальном выборе параметров и выполнении определен-ных условий для L-сложности граней различного ранга получают-ся функции из множества Fn,L. У такой функции будет единствен-ный тупиковый кратчайший комплекс граней, L-сложность которогобольше, чем остальных тупиковых и, в том числе, L-минимальныхкомплексов граней.
Теорема. Если для функции f ∈ Ps и параметров s, t и булевавектора αs+1,n = (αs+1, . . . , αn) для аддитивной меры сложности Lвыполняется: l (f) > 1 и lmax
T (f)Lmaxs+t+2 < Lmax
n−s = L(Bn,αs+1,...,αn
s+1,...,n
),
тоlogµ (Fn,L) ≥ l (f) log |I| , log |Fn,L| ≥ k (f) (|I| − 1) ,
где Lmaxr — максимальная L-сложность грани ранга r; k (f), l (f),
lmaxT (f) — число компонент связности, длина кратчайшего и мак-симальная длина тупикового комплексов граней функции f ; |I| —максимальная мощность пучка изоморфных граней I, которыеимеют ранг t и содержат вершину (αs+1, . . . , αn−2) в кубе Bn−s−2.
Аддитивная мера сложности L называется линейной, если L (I) =aL0 (I) + bL1 (I) для любой грани I, где a, b ≥ 0 и max a, b > 0.
80
Аддитивная мера сложности L называется полиномиальной, еслиL (I) = q (L0 (I) , L1 (I)) для любой грани I, где q(x, y) — многочленне ниже 2-ой степени с положительными коэффициентами.
Теорема. Для аддитивной линейной меры сложности L выпол-няются соотношения:
logµ (Fn,L) & n logn, log |Fn,L| ≥ Θ(2n/√n) .
Для аддитивной меры полиномиальной сложности L выполня-ются соотношения:
logµ (Fn,L) ≥ (Lmaxn )
1−o(1)logn, log |Fn,L| ≥ Θ
(2n/n3/2
).
ЗаключениеСуществование мощных классов функций с экстремальными зна-
чениями характеристик, которые зависят от числа минимальныхкомплексов граней функции, доказано для классов мер сложности.Этот результат позволяет сделать вывод, что проблемы минимиза-ции экстремальных булевых функций определяются свойствами об-ласти, на которой минимизируется функционал меры сложности, ане его свойствами.
Существование гипотезы о достижимости значений τ (n) и µ (n)на симметрических функциях объясняется справедливостью такогоутверждения при небольших n. Соответствующие нижние оценки,которые по порядку логарифма равны n2n с константами 1.35 · 2−5
и 0.53 · 2−5, превосходят нижние оценки для симметрических функ-ций, которые по порядку логарифма асимптотически равны
√n2n с
константой√2/π, только при n > 256.
Минимальные комплексы граней экстремальных функций содер-жат порядка 2n граней, собственные вершины различных гранейпредставляют независимое множество и каждая грань может бытьвыбрана из пучка мощности 2Θ(n). Построение таких функций воз-можно при числе переменных больше 30 и для их минимизации прак-тически не применимы точные алгоритмы, а для приближенных ал-горитмов представляются необоснованными используемые эвристи-ки.
Многие открытые проблемы в задаче минимизации булевыхфункций связаны с невозможностью универсальных и эффектив-ных методов обоснования минимальности. Например, представля-ется правдоподобным, что доля булевых функций, имеющих един-ственный минимальный или минимальный и не кратчайший ком-плекс граней, стремится к 0 с ростом n. Справедливость таких пред-положений означает, что у почти всех функций должно быть хотя быдва минимальных и все минимальные комплексы граней являютсякратчайшими.
81
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 16-01-00593а).
Список литературы1. Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значной ло-
гике // Тр. МИАН СССР. — 1958. — Т. 51. — С. 5–142.2. Еремеев А. В., Заозерская Л. А., Колоколов А. А. Задача о по-
крытии: сложность, алгоритмы, экспериментальные исследования //Дискретный анализ и исследование операций. Серия 2. — 2000. —Т. 7, 2. — С. 22–46.
3. Леонтьев В. К. Дискретная оптимизация // Журнал вычисли-тельной математики и математической физики. — 2007. 47, 2. —С. 338–352.
4. Coudert O., Sasao T. Two-level logic minimization // Logic syn-thesis and verification. — Norwell, MA, USA: Kluwer Academic Publi-shers. — 2002. — P. 1–27.
5. Забиняко Г. И. Реализация алгоритмов решения задачи о по-крытии множеств и анализ их эффективности // Вычислительныетехнологии. — 2007. — Т. 12, 6. — С. 50–58.
6. Журавлев Ю. И. Теоретико-множественные методы в алгебрелогики // Проблемы кибернетики. — 1962. — 8. — С. 5–44.
7. Cook S. A. An overview of computational complexity // Communi-cations of the ACM. — 1983. — Vol. 26, no. 6. — P. 401–408.
8. Umans C., Villa T., Sangiovanni-Vincentelli A. L. Complexity ofTwo-Level Logic Minimization // IEEE Trans. on CAD of IntegratedCircuits and Systems. — 2006. — Vol. 25, no. 7. — P. 1230–1246.
9. Васильев Ю. Л., Глаголев В. В. Метрические свойства дизъ-юнктивных нормальных форм // Дискретная математика и матема-тические вопросы кибернетики. — М.: Наука, 1974. — Т. 1. — С. 99–148.
10. Чухров И. П. О мерах сложности комплексов граней в единич-ном кубе // Дискретный анализ и исследование операций. — 2013. —Т. 20, 6. — С. 77–94.
11. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.:Высшая школа, 2003.
12. Чухров И. П. О тупиковых комплексах граней в единичномкубе // Дискретная математика. — 2011. — Т. 23, 1. — С. 132–158.
13. Глаголев В. В. О длине тупиковой дизъюнктивной нормаль-ной формы // Математические заметки. — 1967. — Т. 2, 6. —С. 665–672.
14. Чухров И. П. О ядровых и кратчайших комплексах граней вединичном кубе // Дискретный анализ и исследование операций. —
82
2011. — Т. 18, 2. — С. 75–94.15. Чухров И. П. О соотношении тупиковых и минимальных ком-
плексов граней в единичном кубе // Дискретная математика. —2012. — Т. 24, 2. — С. 46–74.
16. Чухров И. П. О минимальных комплексах граней в единичномкубе // Дискретный анализ и исследование операций. — 2012. —Т. 19, 3. — С. 79–99.
17. Чухров И. П. Минимальные комплексы граней случайной бу-левой функции // Дискретный анализ и исследование операций. —2014. — Т. 21, 5. — С. 76–94.
18. Журавлев Ю. И. Оценка для числа тупиковых д.н.ф. функ-ций алгебры логики // Сибирский математический журнал. —1962. — Т. 3, 5. — С. 802–804.
19. Глаголев В. В. Некоторые оценки дизъюнктивных нормаль-ных форм функций алгебры логики // Проблемы кибернетики. —1967. — Т. 19. — С. 75–94.
20. Сапоженко А. А. Дизъюнктивные нормальные формы. — М.:Издательство МГУ, 1975.
21. Коршунов А. Д. Сравнение сложности длиннейших и крат-чайших д.н.ф. и нижняя оценка числа тупиковых д.н.ф. для почтивсех булевых функций // Кибернетика. — 1969. — Т. 4. — С. 1–11.
22. Нигматуллин Р. Г. Сложность булевых функций. — М.: Наука,1991.
23. Кузнецов С. Е. О нижней оценке длины кратчайшей д.н.ф.почти всех булевых функций // Вероятностные методы и киберне-тика. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1983. — 19. — С. 44–47.
24. Андреев А. Е. Об одной модификации градиентного алгорит-ма // Вестник МГУ. Мат. Мех. — 1985. — 3. — С. 29–35.
25. Pippenger N. The shortest disjunctive normal form of a randomBoolean function // Random Structures & Algorithms. — 2003. —Vol. 22, no. 2. — P. 161–186.
26. Чухров И. П. О задаче минимизации для одного множествабулевых функций // Дискретный анализ и исследование операций. —2015. — Т. 22, 3. — С. 75–97.
83
ТРЕЙДЫ В КОМБИНАТОРНЫХ КОНФИГУРАЦИЯХ
Д. С. Кротов (Новосибирск)
Трейды отражают возможную разницу между двумя комбина-торными объектами (конфигурациями) одного и того же типа (си-стемами Штейнера или блок-схемами с другими параметрами, под-пространственными аналогами блок-схем, латинскими квадратамиили латинскими гиперкубами, совершенными кодами, МДР кода-ми, MRD (maximum rank distance) кодами, ортогональными масси-вами и т.д.). Если C и C′ — две конфигурации с одинаковыми па-раметрами (например, системы троек Штейнера S(2, 3, 13)), то пара(C\C′, C′\C) является битрейдом, а C\C′ и C′\C — трейдами. (Сле-дует отметить, что в литературе распространена также альтернатив-ная терминология, когда пара называется трейдом, а сами множе-ства — ногами, трейд-партнерами или др.) Однако, трейды обычноможно определить независимо от «полных» конфигураций данноготипа, они не обязательно вложимы в такие конфигурации и дажемогут существовать при параметрах, при которых полные конфи-гурации не существуют. Таким образом, изучение трейдов можнорассматривать как самостоятельное направление исследований, ре-зультаты которого находят применение в построении конфигурацийс соответствующими параметрами. Если (T0, T1) — битрейд (опре-деляемый в соответствии с параметрами некоторой конфигурации),и T0 является подмножеством конфигурации C, то T1 ∪ C\T0 явля-ется конфигурацией с теми же параметрами. Эта замена называет-ся свитчингом (трейд T0 называют также свитинговой компонентойконфигурации C) и используется как в теоретических, так и в вы-числительных [12] построениях. При таком подходе (то есть, когдатрейды могут быть определены независимо), если конфигурация Cсодержит непересекающиеся трейды, то свитчинг может быть при-менен к каждому из трейдов независимо, таким образом из даннойконфигурации можно получить 2N других конфигураций с теми жепараметрами, где N — число попарно непересекающихся трейдов вC. Во многих случаях, как правило, в случаях, когда растет размер-ность дискретного пространства, в котором рассматриваются кон-фигурации, эта оценка дает неплохое представление о росте числаразличных конфигураций при росте размерности пространства.
В настоящем обзоре мы рассмотрим ограниченный класс комби-наторных конфигураций и соответствующих трейдов, который темне менее охватывает несколько хорошо известных классов объектов,каждому из которых уделяется отдельное внимание в комбинато-рике и посвящено немалое количество литературы. Мы рассмотрим
84
несколько общих утверждений из теории битрейдов, после чего пе-рейдем к рассмотрению примеров конкретных классов конфигура-ций, упомянув, в частности, некоторые свежие результаты, связан-ные с оценкой числа объектов при помощи свитчинга трейдов.
1. ОпределенияПод графом будем понимать неориентированный граф без крат-
ных ребер и петель. Расстояние d(x, y) между двумя вершинами x,y в связном графе — это минимальная длина цепи с концами в дан-ных вершинах. Диаметр diam(Γ) связного графа Γ — максимальноерасстояние между двумя вершинами графа. Клика в графе — любоемножество попарно смежных вершин. Независимое множество вер-шин графа — любое множество попарно несмежных вершин графа.
Дистанционно регулярный граф — такой связный граф, что длялюбых двух вершин v и w число ai,j,k вершин с расстоянием j от vи расстоянием k от w зависят только от j, k и расстояния i = d(v, w)между v и w (и не зависят от выбора v и w). Коэффициенты ai,j,kназываются числами пересечений дистанционно регулярного графа.
Характеристическая функция χC множества C вершин графа —действительнозначная функция, равная 1 на вершинах из C и 0 навсех остальных вершинах графа.
Весовым распределением действительнозначной функции f навершинах связного графа Γ относительно вершины x графа назо-
вем набор(f(y),
∑y∈Γ1(x)
f(y), . . . ,∑
y∈Γdiam(Γ)(x)f(y)
), где Γi(x) —
множество вершин графа Γ на расстоянии i от x.Собственная функция графа Γ = (V,E) — функция f : V → R,
не равная тождественно нулю и удовлетворяющая соотношению∑y∈Γ1(x)
f(y) = θf(x) для любой вершины x из V и некоторой кон-станты θ, которая называется собственным значением графа Γ.
Дельсартова клика — клика мощности 1 − r/θ в дистанционнорегулярном графе, где r — степень, а θ — минимальное собственноезначение графа. Известно [5], что в дистанционно регулярном графене может быть клик большей мощности.
(r, s)-Пара — пара (Γ, S), где Γ — регулярный граф степени r, аS — такой непустой набор клик мощности s+1 графа Γ, что каждоеребро содержится в одном и том же (не зависящем от выбора ребра)числе клик из S. Дельсартовой (r, s)-пара (Γ, S) называется в томслучае, когда граф Γ дистанционно регулярный и клики из S дель-сартовы (то есть −r/s — минимальное собственное число графа).
Клик-дизайн и клик-битрейд. Пусть (Γ, S) есть (r, s)-пара. Мно-жество вершин C графа Γ назовем S-дизайном, или клик-дизайном
85
если оно пересекается с каждой кликой из S ровно в одной точке. Па-ру (T0, T1) непересекающихся непустых независимых множеств вер-шин графа Γ назовем S-битрейдом, или клик-битрейдом, если длякаждой клики K из S верно |K ∩ T0| = |K ∩ T1|. Множество вершинграфа назовем S-трейдом, клик-трейдом, или просто трейдом, ес-ли оно в паре с некоторым другим множеством образует S-битрейд.Очевидно, что для любых двух различных S-дизайнов C, C′ пара(C\C′, C′\C) является S-битрейдом.
Двойным подсчетом числа пар (x,K): K ∈ S, x ∈ M ∩ Kлегко установить, что любое независимое множество M мощности|V (Γ)|/(s+1) является S-дизайном для любой (r, s)-пары (Γ, S). По-этому понятие клик-дизайна не зависит от выбора системы кликS, образующих с графом (r, s)-пару, важно лишь ее существование(примерами графов, для которых такая система может быть выбра-на не единственным образом, являются полный (s+1)-дольный графс равными долями, графы Джонсона J(2k, k) и Грассмана Jq(2k, k)).Как следует из теоремы 1 в следующем разделе, то же верно и дляклик-битрейдов.
2. Некоторые общие факты о битрейдахТеорема 1 (характеристические свойства битрейда [8]). Пусть
(Γ, S) является (r, s) парой. Пусть T = (T0, T1) — пара непустыхнепересекающихся независимых множеств вершин графа Γ. Следу-щие утверждения эквивалентны:
(a) T является S-битрейдом;
(b) функция fT (x) = χT0(x) − χ
T1(x) является собственной с
собственным числом θ = −r/s;(c) двудольный подграф ΓT графа Γ, индуцированный множе-
ством вершин T0 ∪ T1, является регулярным степени −θ = r/s(поскольку T0 и T1 — независимые множества, этот подграф дву-дольный).
Кроме того, если граф Γ является дистанционно регулярным,то из (a)–(c) следует, что пара (Γ, S) является дельсартовой, асобственное число −r/s является наименьшим для графа Γ.
Для оценки минимальной мощности битрейда в дистанционно ре-гулярном графе полезен следующий факт.
Лемма 1. Весовое распределение собственной функции f ди-станционно регулярного графа Γ относительно вершины x равно
(f(x)W iΓ,θ)
diam(Γ)i=0 , где коэффициенты W i
Γ,θ вычисляются через чис-
ла пересечений графа и собственное число θ, соответствующее f .
86
Следствие 1 (граница весового распределения). Собственнаяфункция f дистанционно регулярного графа с собственным значе-
нием θ имеет не меньше чем∑diam(Γ)
i=0 |W iΓ,θ| ненулей.
Теорема 2 (Характеристические свойства минимального битрей-да [8]). Пусть верны предположения и обозначения теоремы 1 играф Γ является дистанционно регулярным. Следующие утвержде-ния эквивалентны:
(a) T — минимальный, достигающий границы весового распреде-ления, клик-битрейд;
(b) fT — собственная функция графа Γ с собственным значени-
ем −r/s и числом ненулей∑diam(Γ)
i=0 |W iΓ,−r/s|;
(c) ΓT — регулярный изометричный подграф степени r/s (изо-метричность означает, что расстояние между вершинами в графеΓT совпадает с расстоянием между данными вершинами в Γ).
Кроме того, при выполнении (a)–(c) подграф ΓT является ди-станционно регулярным.
3. Известные классы клик-дизайнов и трейдов3.1. Графы Хэмминга: латинские гиперкубы. Граф Хэмминга
H(n, q) — граф на множестве слов длины n в алфавите 0, . . . , q−1.Два слова смежны, если они различаются ровно в одной позиции.Граф H(n, 2) также известен как n-куб.
Дельсартовой кликой в графе H(n, q) является множество из qслов, различающихся между собой в одной позиции. Множество всехдельсартовых клик образует с графом (n(q − 1), q − 1)-пару.
Латинские гиперкубы (в случае n = 3, латинские квадраты)порядка q можно определить как клик-дизайны в графах H(n, q).Элементы латинского квадрата часто представляют упорядоченны-ми в виде таблицы q на q, где слову (a, b, c) соответствует ячейка вa-й строке и b-м столбце таблицы, в которой записано значение c.
Клик-битрейды в графах Хэмминга известны как латинскиебитрейды [21], наиболее изученным является случай n = 3 [2], соот-ветствующий трейдам в латинских квадратах.
Минимальная мощность латинского битрейда — 2n, подграф, ин-дуцированный таким битрейдом — n-куб H(n, 2).
Теорема 3 [9, 22]. Обозначим через L(n, q) число латинских ги-перкубов в H(n + 1, q). При фиксированном q ≥ 4 имеем L(n, q) ≥ee
cn
, где c — константа, зависящая от q.Формулы для c в известных оценках [9, 22] разные для четных
q, нечетных q > 5 и для q = 5. Во всех случаях доказательство со-
87
0 1 4 5 6 7 2 31 0 5 4 7 6 3 26 7 2 3 0 1 4 57 6 3 2 1 0 5 42 3 6 7 4 5 0 13 2 7 6 5 4 1 04 5 0 1 2 3 6 75 4 1 0 3 2 7 6
1 8 4 5 6 7 2 3 08 0 5 4 7 6 3 2 16 7 3 8 0 1 4 5 27 6 8 2 1 0 5 4 32 3 6 7 5 8 0 1 43 2 7 6 8 4 1 0 54 5 0 1 2 3 7 8 65 4 1 0 3 2 8 6 70 1 2 3 4 5 6 7 8
Рис. 1: Латинские квадраты, итерация которых дает латинские ги-перкубы с большим числом независимых минимальных трейдов
стоит в построении латинского гиперкуба с экспоненциальным чис-лом N попарно непересекающихся трейдов (например, для q = 8,9 такие гиперкубы получаются многократной суперпозициех латин-ских квадратов, изображенных на Рис. 1), независимым свитчингомэтих трейдов можно получить 2N различных латинских гиперку-бов.
В случае, когда мы рассматриваем асимптотику величины L(n, q)
при фиксированном n и растущем q, оценка 2N не будет хорошей:она даст не более чем econst·q
n
различных объектов, поскольку чис-ло непересекающихся трейдов тривиально оценивается числом вер-шин в латинском гиперкубе. Оказывается, можно получить нижнююоценку econst·q
n ln q, если оценить число различных способов набратьсистему непересекающихся трейдов в специально построенном ла-тинском гиперкубе (при q = 2t, в качестве такого латинского ги-перкуба выбирается множество наборов (x1, . . . , xn+1), задаваемоесоотношением xn+1 = x1 + . . .+ xn над группой Zt2).
Теорема 4 [13]. При фиксированном n ≥ 3 логарифм числаL(n, q) латинских гиперкубов в H(n+ 1, q) имеет порядок qn ln q.
Верхняя оценка вида L(n, q) ≤ econst·qn ln q тривиальна, так как
такой вид (при фиксированном n и растущем q) имеет число всевоз-можных функций из 0, . . . , q − 1n в 0, . . . , q − 1. Более сильная
верхняя оценка L(n, q) ≤((1 + o(1)) qen
)qnполучена в работе [11],
авторы предполагают, что она асимптотически точна. Заметим, чтодля латинских квадратов (n = 2) утверждение теоремы также верно,но этот классический случай исследован при помощи других подхо-дов, позволяющих получить более точные формулы.
88
0 3 6 1 5 4 23 1 4 0 2 6 56 4 2 5 1 3 01 0 5 3 6 2 45 2 1 6 4 0 34 6 3 2 0 5 12 5 0 4 3 1 6
0 1 2 31 2 3 02 3 0 13 0 1 2
Рис. 2: Трансверсаль с минимальным трейдом, латинский квадратбез трансверсали
3.3. Графы латинских квадратов: трансверсали. Граф латинскогоквадрата строится на q2 элементах латинского квадрата порядкаq ≥ 2, два различных элемента (x1, x2, x3) и (y1, y2, y3) соединеныребром, если они в одной строке (то есть x1 = y1), в одном столбце(то есть x2 = y2) или в них стоят одинаковые значения (то есть x3 =y3). Граф любого латинского квадрата порядка больше 2 являетсядистанционно регулярным диаметра 2 (такие графы известны такжекак сильно регулярные графы).
Множество из q элементов, содержащихся в одной строке, в одномстолбце, или с одним и тем же значением, образуют дельсартовуклику, набор всех 3q таких клик (отметим, что при q = 3 есть идругие дельсартовы клики) составляет с графом (3(q−1), q−1)-пару.
Трансверсаль латинского квадрата — клик-дизайн в соответству-ющем графе. Более традиционно, трансверсаль определяется как qячеек латинского квадрата, пересекающихся с каждым столбцом, скаждой строкой и в которых встречаются все q различных значений.Заметим, что есть латинские квадраты без трансверсалей (рис. 2).
Минимальная мощность клик-битрейда в графах латинскихквадратов — 6 (рис. 2), подграф, индуцированный таким битрей-дом — полный двудольный граф K3,3.
Теорема 5 [15]. Обозначим через R(q) максимальное, по всемквадратам порядка q, число трансверсалей в латинском квадрате.Тогда lnR(q) ≥ 1
6q ln q +O(q).Учитывая, что число трансверсалей в латинском квадрате поряд-
ка q, очевидно, не превышает q! = eO(q ln q), теорема 5 устанавлива-ет порядок роста величины lnR(q) ∼ q ln q. Доказательство теоре-мы основано на рассмотрении конкретной трансверсали конкретно-го латинского квадрата (при q ≡ 1, 3 mod 6 это главная диагональ
89
латинского квадрата, соответствующего произвольной системе тро-ек Штейнера) и оценке числа способов набрать в этой трансверсалимножество непересекающихся трейдов. Каждому такому способу со-ответствует трансверсаль, полученная свитчингом всех набранныхтрейдов. Заметим, что если мы зафиксируем набор трейдов даннойтрансверсали и рассмотрим независимые свитчинги каждого из них,то получится не больше чем 2q/3 различных трансверсалей, что попорядку логарифма всего лишь q.
К настоящему времени известны более точные оценки макси-мального числа трансверсалей в латинском квадрате. Верхняя оцен-ка R(q) ≤ ((1+ o(1)) qe2 )
q была получена в [16] методом многомерныхперманентов, в [4] доказано, что действительно R(q) = ((1+o(1)) qe2 )
q
(нижняя оценка доказана вероятностными методами, то есть непредложено явной конструкции латинских квадратов, число транс-версалей которых имеет такой рост), в [3] показано, что такой ростчисла трансверсалей имеет латинский квадрат нечетного порядка,соответствующий циклической группе.
3.4. Графы Джонсона: системы Штейнера. Граф ДжонсонаJq(v, k) строится на подмножествах мощности k данного множестваV мощности v. Два k-подмножества смежны, если они имеют k−1 об-щих элементов. Далее считаем, что 2k ≤ n, поскольку графы J(n, k)и J(n, n− k) изоморфны.
Множество всех k-подмножеств, содержащих данные k − 1 эле-ментов, является дельсартовой кликой, набор всех
(nk−1
)таких клик
(при 2k < v это все дельсартовы клики, а в случае 2k = v — толькополовина) составляет с графом (k(v − k), v − k)-пару.
Система Штейнера S(k− 1, k, v) — клик-дизайн в графе J(v, k).Более традиционно, система Штейнера S(t, k, v) определяется какt-(v, k, 1) схема, где t-(v, k, λ) — это пара (V,B) из конечного мно-жества V и набора B его k-подмножеств (блоков) такая, что любоеt-модмножество множества V входит ровно в λ блоков из B.
Битрейд Штейнера T (k−1, k, v) — клик-битрейд в графе Джон-сона (в литературе для этого случая чаще всего используетсянесколько другая терминология: пара (T0, T1) называется трейдом,а сами множества T0, T1 — ногами, или трейд-партнерами).
Известно, что минимальная мощность битрейда Штейнера T (k−1, k, v) — 2k, подграф, индуцированный таким битрейдом — k-кубH(k, 2). Самым известным примером трейда Штейнера являетсяконфигурация Паша (Pasch configuration), см. рис. 3.
Давно известно, что порядок роста логарифма числа систем тро-
90
1, 2, 6 − 1, 5, 6 ×
1, 2, 3 − 1, 5, 3 4, 2, 6 − 4, 5, 6 ×
4, 2, 3 − 4, 5, 3
Рис. 3: 3-куб, порожденный битрейд-парой конфигураций Паша
ек Штейнера S(2, 3, v) — v2 log v. Более точно [18], [10],
( v
e233/2
) v2
6 ≤ |S(2, 3, v)| ≤((1 + o(1))
v
e2
) v2
6
.
Недавно [14] был установлен порядок роста логарифма числа си-стем четверок Штейнера.
Теорема 6 [14]. Логарифм числа систем четверок Штейнера
S(3, 4, v) имеет порядок v3 ln v, v ≡ 2, 4 mod 6 (то есть для всех v,для которых существуют S(3, 4, v)).
Верхняя оценка тривиальна. Доказательство нижней оценки на-прямую не использует трейды, но используется теорема 4: при помо-щи нескольких известных и одной новой конструкции для каждогослучая v mod 36 строится S(3, 4, v), в которую «встроен» произволь-ный латинский куб порядка v/const.
3.5. Графы Грассмана: q-аналоги систем Штейнера. Граф Грас-смана Jq(v, k) строится на подпространствах размерности k данногоv-мерного пространства V над полем мощности q. Два k-мерных под-пространства смежны, если они их пересечение имеет размерностьk−1. Как и в случае графов Джонсона, графы Jq(n, k) и Jq(n, n−k)изоморфны, поэтому далее полагаем 2k ≤ n.
Множество всех k-мерных подпространств, содержащих данное(k − 1)-мерное подпространство, является дельсартовой кликой, на-бор всех таких клик составляет с графом (k(v − k), v − k)-пару.
Структура Штейнера Sq(k−1, k, v) — клик-дизайн в графеJq(v, k). Более общо, структуры Штейнера Sq(t, k, v), соответству-ющие битрейды Tq(t, k, v) и t-(v, k, λ)q схемы являются подпростран-ственными аналогами (в англоязычной литературе известные такжекак subspace designs) классических систем Штейнера, битрейдов иблок-схем, где вместо множества V рассматривается конечномерноепространство над полем порядка q, а вместо k-подмножеств (t-под-множеств) — k-мерные (t-мерные) подпространства.
91
В настоящее время известен только один набор параметров, аименно Sq(2, 3, 13) [1], при котором нетривиальные Sq(t, k, v) суще-ствуют, кроме случая t = 1, который соответствует разбиениям про-странства на подпространства, известным как «spreads». Минималь-ные битрейды Tq(k−1, k, v), являющиеся клик-битрейдами в Jq(v, k),существуют при любых v, k ≤ v/2 и q — степени простого числа:
Теорема 7 [8]. Набор k-мерных подпространств v-мерного про-странства, v ≥ 2k, все элементы которых удовлетворяют уравне-ниям x1x1+k+. . .+xkx2k = 0, x2k+1 = . . . = xv = 0, будучи записан-ными в виде наборов (x1, . . . , xv) в некотором фиксированном базисе,разбивается на два поднабора, образующих битрейд Tq(k − 1, k, v).
Число таких подпространств∏k−1i=0 (1+ qi), что совпадает с грани-
цей весового распределения для мощности клик-битрейда в Jq(v, k).Подграф графа Jq(n, k), индуцированный такими подпростран-
ствами, — дуальный полярный граф [Dk(q)] (дуальными полярныминазываются графы нескольких классов, из них только [Dk(q)] явля-ются двудольными).
3.6. Половинные гиперкубы: 1-совершенные коды. Половинным(halved) n-кубом 1
2H(n, 2) называется граф, построенный да однойдоле графа n-куба H(n, 2) (без потери общности, на двоичных n-словах с четным числом единиц). Ребром соединены вершины нарасстоянии Хэмминга 2.
Окрестность слова с нечетным числом единиц в H(n, 2) являетсядельсартовой кликой в 1
2H(n, 2) тогда и только тогда, когда n четно.Множество всех таких клик образует (n(n − 1)/2, n − 1)-пару, причетном n являющуюся дельсартовой.
Определение клик-дизайна в 12H(n, 2) эквивалентно определению
двоичного расширенного 1-совершенного кода, или кода с парамет-рами расширенного кода Хэмминга. Такие коды существуют при лю-бом n равном степени двойки. Соответствующие же битрейды су-ществуют при любом четном n, минимальная мощность битрейда— 2n/2, подграф, индуцированный таким битрейдом, изоморфен n
2 -кубу H(n2 , 2). В недавней работе [6] получена классификация клик-битрейдов в графах 1
2H(8, 2) и 12H(10, 2), а также в 1
2H(12, 2) в слу-чае, когда трейды состоят только из слов с 6-ю единицами (что эк-вивалентно битрейдам Штейнера T (5, 6, 12)).
Большое число 1-совершенных кодов (и, следовательно, рас-ширенных 1-совершенных кодов) было построено в классическойработе [19]. Нижняя оценка числа таких кодов (клик-дизайнов в
92
12H(n, 2)), вытекающая из [19], имеет вид 2N(1+o(1)), где N = 2
n2 /n —
число трейдов минимальной мощности, на которые разбивается одинкод. Полученные после [19] нижние оценки [7] не улучшили асимп-тотику логарифма, а известные верхние [23] находятся в рамках
22n−o(n)
.3.7. Двудольные и антиподальные графы. В случае, когда сам ди-
станционно регулярный граф Γ двудольный, ребра графа суть дель-сартовы клики, клик-дизайном является каждая из долей графа,пара долей образует единственный битрейд.
Более интересен случай антиподальных графов. Граф Γ на-зывается антиподальным, если соотношение «быть на расстоянииdiam(Γ)» является эквивалентностью (наиболее легко представи-мый, но не единственно возможный случай — когда классы экви-валентности имеют мощность 2). Отождествление вершин каждогокласса эквивалентности приводит к другому дистанционно регуляр-ному графу, называемому свернутым (folded). Эта операция так-же приводит к сворачиванию изометричного двудольного подграфаΓT из теоремы 2. В случае, если после сворачивания ΓT остаетсядвудольным, он соответствует минимальному клик-битрейду в свер-нутом Γ. Это происходит в случаях, когда Γ — половинный n-куб12H(n, 2) или граф Джонсона J(n, n/2), при n кратных 4. Таким об-
разом, свернутый k-куб H(k, 2) при четном k пополняет небогатуюколлекцию (k-куб H(k, 2), дуальный полярный граф [Dk(q)], полныйдвудольный граф) двудольных дистанционно регулярных графов,встречающихся в качестве подграфа ΓT .
4. Другие трейды, число ненулей собственных функцийМы не рассмотрели кратные клик-дизайны (каждая клика содер-
жит λ элементов дизайна) и соответствующий, более общий, классбитрейдов (без условия независимости для T0 и T1). Кроме того,для многих комбинаторных конфигураций (таких, как t-(v, k, λ) схе-мы и их подпространственные аналоги, совершенные коды в H(n, q),q > 2, МДР- и MRD-коды с расстоянием больше 2, корреляционно-иммунные функции, ортогональные массивы, совершенные раскрас-ки) битрейды определяются естественным образом (хотя и не укла-дываются в концепцию клик-битрейдов) и часто изучаются в тойили иной альтернативной терминологии. Более того, как и в част-ном случае клик-битрейдов, во многих случаях битрейды связаныс собственными функциями графа, поскольку спектр их характери-стической 0,±1-функции состоит из небольшого числа собствен-ных значений графа. Поскольку в каждом случае актуальна задача
93
нахождения минимального размера битрейда, которая имеет непо-средственное отношение к оценкам числа объектов, вопрос о размереминимального носителя (то есть о минимальном числе ненулей) соб-ственной функции графа также интересен в этом контексте, хотяэтот вопрос естественный и с общематематической точки зрения.
В настоящее время, минимальное число ненулей собственнойфункции неизвестно даже для графов Хэмминга H(n, q), q ≥ 3 (вчастности, в недвоичном случае неизвестен минимальный размертрейда, соответствующего 1-совершенным кодам). В общем случаеизвестны некоторые оценки [20] и точные формулы для максималь-ного собственного значения (qn, тривиально), минимального (2n, со-гласно границе весового распределения), и для второго наибольшегособственного значения (2(q − 1)qn−2, это новый результат [17]).
Для двоичного случая размер 2(n+|θ|)/2 минимального носителясобственной функции графа H(n, 2) находится достаточно просто,хотя этот известный факт, по-видимому, нигде не опубликован. Ниж-няя граница доказывается индукцей по n − |θ|. База индукции —случай |θ| = n (максимальное и минимальное собственное значе-ние). Индукционный шаг основан на том факте, что для собственнойфункции f с собственным значением θ функции
f(x1, . . . , xi−1, 0, xi, . . . , xn−1)± f(x1, . . . , xi−1, 1, xi, . . . , xn−1)являются собственными функциями графа H(n− 1, 2) с собственны-ми значениями θ ± 1 (или тождественно нулевыми, что невозмож-но для всех i в случае |θ| 6= n). Пример минимального носителя —множество (x, x, y) : x ∈ 0, 1(n−|θ|)/2, y ∈ 0, 1|θ|, собственнаяфункция на нем равна 1 или −1, в зависимости от четности числаединиц в x, если θ положительно, или в (x, y), если θ отрицательно.
Работа поддержана Российским научным фондом (14-11-00555).
Список литературы1. Braun M., Etzion T., Ostergard P. R. J., Vardy A., Wassermann A.
Existence of q-analogs of Steiner systems // ArXiv.org: 1304.1462, 2013.2. Cavenagh N. J. The theory and application of latin bitrades: A
survey // Math. Slovaca — 2008. — Vol. 58, no. 6. — P. 691–718.3. Eberhard S., Manners F., Mrazovic R. Additive triples of
bijections, or the toroidal semiqueens problem // ArXiv.org: 1510.05987,2015.
4. Glebov R., Luria Z. On the maximum number of Latintransversals // J. Comb. Theory, Ser. A. — 2016. — Vol. 141. — P. 136–146.
5. Hoffman A. J. On eigenvalues and colourings of graphs // Graph
94
Theory and Its Applications. — New York : Acad. Press, 1970. — P. 79–91.
6. Krotov D. S. The extended 1-perfect trades in small hypercubes //ArXiv.org: 1512.03421, 2015.
7. Krotov D. S., Avgustinovich S. V. On the number of 1-perfectbinary codes: A lower bound // IEEE Trans. Inf. Theory. — 2008. —Vol. 54, no. 4. — P. 1760–1765.
8. Krotov D. S., Mogilnykh I. Y., Potapov V. N. To the theory ofq-ary Steiner and other-type trades // Discrete Math. — 2016. — Vol.339, no. 3. — P. 1150–1157.
9. Krotov D. S., Potapov V. N., Sokolova P. V. On reconstructingreducible n-ary quasigroups and switching subquasigroups // Quasigroups
Relat. Syst. — 2008. — Vol. 16, no. 1. — P. 55–67.10. Linial N., Luria Z. An upper bound on the number of Steiner
triple systems // Random Struct. Alg. — 2013. — Vol. 43, no. 4. —P. 399–406.
11. Linial N., Luria Z. An upper bound on the number of high-dimensional permutations // Combinatorica. — 2014. — Vol. 34, no. 4. —P. 471–486.
12. Ostergard P. R. J. Switching codes and designs // Discrete
Math. — 2012. — Vol. 312, no. 3. — P. 621–632.13. Potapov V. N. On the number of latin hypercubes, pairs of
orthogonal latin squares and MDS code // ArXiv.org: 1510.06212, 2015.14. Potapov V. N. On the number of SQS. // ArXiv.org: 1606.02426,
2016.15. Potapov V. N. On the number of transversals in latin squares //
Discrete Appl. Math. — 2016. — Vol. 202. — P. 194–196.16. Taranenko A. A. Multidimensional permanents and an upper
bound on the number of transversals in latin squares // J. Comb. Des. —2015. — Vol. 23, no. 7. — P. 305–320.
17. Valyuzhenich A. A. Minimal supports of eigenfunctions ofHamming graphs // ArXiv.org: 1512.02606, 2015.
18. Wilson R. M. Nonisomorphic Steiner triple systems //Mathematische Zeitschrift. — 1974. — Vol. 135, no. 4. — P. 303–313.
19. Васильев Ю. Л. О негрупповых плотно упакованных кодах //Проблемы кибернетики. Вып. 8. — М.: Физматгиз, 1962. — С. 337–339.
20. Воробьев К. В., Кротов Д. С. Оценки мощности минимально-го 1-совершенного битрейда в графе Хэмминга // Дискрет. анализ и
исслед. операций. — 2014. — Т. 21, 6. — С. 3–10.
95
21. Потапов В. Н. Многомерные латинские битрейды // Сиб.
мат. ж. — 2013. — Т. 54, 2. — С. 407–416.22. Потапов В. Н., Кротов Д. С. О числе n-арных квазигрупп
конечного порядка // Дискр. мат. — 2012. — Т. 24, 1. — С. 60–69.23. Сапоженко А. А. К вопросу о числе совершенных кодов //
Проблемы теоретической кибернетики. Материалы XVI Межд.конф. — Н. Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та, 2011. —P. 416–419.
СЕМЕЙСТВА ЗАМКНУТЫХ КЛАССОВ В Pk,ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ АДДИТИВНЫМИ
И ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ ФУНКЦИЙ
Д. Г. Мещанинов (Москва)
Как обычно, Ek = 0, 1, . . . , k − 1 для натурального k ≥ 2,Pk = f : Enk → Ek, n = 0, 1, 2, . . . — класс всех функций k-значнойлогики, Polk — замкнутый класс функций из Pk, представимых по-линомами над кольцом вычетов Zk. В дальнейшем под полиномамибудем понимать именно полиномы над Zk, символами +,−, · обозна-чаем операции кольца Zk (иные случаи их употребления будут спе-циально оговариваться). Будем использовать верхний индекс в скоб-ках для указания числа переменных: f (n) — функция f зависит отn переменных, Φ(n) — подмножество некоторого класса Φ функций,состоящее из функций от n переменных. Буквами p, q, возможно, синдексами, будем обозначать простые числа. Бинарные отношенияи операции над наборами длины n выполняются покомпонентно.
Исторические корниИзвестному результату А. В. Кузнецова, изложенному C. B. Яб-
лонским в 1958 г. [1], о том, что равенство Polk = Pk имеет место
96
тогда и только тогда, когда число k простое, предшествовали сле-дующие.
В 1863 г. Ш. Эрмит [1], анализируя так называемые перестано-вочные многочлены над полем GF (pm), установил, что при простом
k любая функция из P (1)k представима полиномом.
В 1921 г. О. Кемпнер [2] вычислил мощность |Pol(1)k | для k = pm,
откуда следует, что равенство Pol(1)k = P(1)k справедливо в точности
при m = 1 (позже мощность |Pol(1)k | вычислена для всех значений k,а результат Кемпнера получил более краткий вывод [2–7]).
Кроме условия равенства Polk = Pk А. В. Кузнецовым полученаТеорема 1 [1]. При составном k класс Polk не является пред-
полным в Pk.Если p1|k, p2|k, p1 6= p2, то Polk ⊆ C(p1)∩C(p2) ⊂ Pk, где C(d) —
замкнутый класс функций, сохраняющих сравнение по модулю d,d|k (т. е. сохраняющих разбиение множества Ek).
Если k = pm,m ≥ 2, то существует замкнутый класс K такой,что Polk ⊆ K ⊂ C(p) ⊂ Pk. Класс K состоит из функций f таких,
что для всех y из Enk функции f(x + py) по модулю p2 линейныотносительно py1, . . . pyn:
f(x+ py) ≡ c0(x) + py1c1(x) + · · ·+ pyncn(x) (mod p2).
В связи с этим при составном k возникает две проблемы, решениюкоторых и посвящена данная работа.
1. Нахождение условий, при которых функция из Pk принадле-жит классу Polk (условий полиномиальности).
2. Описание замккнутых классов, содержащих Polk, и решеткитаких классов по отношению включения.
Обзор критериев полиномиальностиOчевидный способ проверить полиномиальность функции и по-
строить реализующий ее полином состоит в анализе системы линей-ных уравнений над кольцом Zk для коэффициентов полинома. Вэтой связи важна
Теорема 2 [8]. Если k = pm и f ∈ Polk, то существует такойполином, представляющий функцию f , в который каждая перемен-ная входит в степени не выше mp− 1.
Как выяснить разрешимость системы уравнений для коэффици-ента полинома? Как ее решить? В каком виде искать реализующийданную функцию полином?
97
Перечислим полученные к настоящему моменту критерии поли-номиальности.
1. Л. Карлиц в 1964 г. установил следующие критерии для функ-
ций из P (1)k и P (2)
k при k = pm.Теорема 3 [9]. При k = pm функция f(x) принадлежит классу
Pol(1)k тогда и только тогда, когда для всех c ∈ Ep, r ∈ Epm−1
выполняется соотношение
m∑
s=0
(−1)r−s(r
s
)f(c+ s) ≡ 0 (mod pν(rp)),
где ν(t) = minm,µ(t), µ(t) — показатель наибольшей степени p,делящей t!.
Теорема 4 [9]. При k = pm функция f(x) принадлежит классу
Pol(1)k тогда и только тогда, когда для всех l ∈ Z существуют
функции f1, . . . , fm−1 ∈ P(1)k такие, что
f(x+ lp) = f0(x) + lpf1(x) + (lp)2f2(x) + · · ·+ (lp)m−1fm−1(x).
Теорема 5 [9]. При k = pm функция f(x, y) принадлежит классу
Pol(2)k тогда и только тогда, когда для всех r, s ∈ Ek выполняется
соотношение
r∑
i=0
s∑
j=0
(−1)r+s−i−j(r
i
)(s
j
)≡ 0 (mod pE),
E = minm,µ(rp) + µ(sp).Теорема 6 [9]. При k = pm функция f(x, y) принадлежит классу
Pol(2)k тогда и только тогда, когда для всех r, s ∈ Z существуют
функции fi,j ∈ P(2)k такие, что
f(x+ rp, y + sp) =∑
i+j<m
(rp)i(sp)jfij(x, y) = 0.
2. В 1971 г. Н. Н. Айзенберг и И. В. Семйон установили два кри-терия полиномиальности: один из них есть в точности теорема 4Л. Карлица, другой же состоит в следующем.
Теорема 7 [8]. Если p1, . . . , ps — попарно различные простыечисла и k = p1 · · · ps, то имеет место равенство Polk = Mk, где
98
Mk — класс функций, сохраняющих сравнения по всем модулям-делителям числа k, т. е. удовлетворяющих для каждого pi, i =
1, . . . s, условиям: если a ≡ b (mod pi), то f(a) ≡ f(b) (mod pi).В 1986 г. А. Н. Череповым [10] и независимо в 1987 Д. Г. Меща-
ниновым [11, 12] установлено, что равенство Polk =Mk справедливотолько при k = p1 · · · ps.
3. И. Розенберг в 1974 г. [13] обобщил теоремы 4 и 6 на случайпроизвольного составного k и произвольного числа n переменных.
4. А. Н. Черепов в 1986 г. [10] вывел критерий полиномиальностидля любых k и n, основанный на свойствах конечных разностей иинтерполяционных формулах в кольце функций над Z.
5. Д. Г. Мещаниновым в 1986–1987 гг. [11, 14] получены критерииполиномиальности в терминах конечных разностей для всех k, неделящихся на куб простого числа.
6. В 1989 г. А. Б. Ремизов [15] вывел специальный критерий дляслучая k = p2 с помощью разложения функций, аналогичного раз-ложению чисел в p-ичной позиционной системе счисления.
7. В 1992 г. Д. Г. Мещанинов [16] установил критерий полино-миальности для k = p3, формулируемый также на языке конечныхразностей с шагом p (p-рaзностей).
8. В 1995 г. Д. Г. Мещанинов [17] вывел конечно-разностный кри-терий для произвольного k, предложил алгоритм проверки полино-миальности и построения полинома, оценил временную сложностьтакого алгоритма для k = pm (сводящегося к вычислению и анализуp-разностей порядка m− 1) как O(N logNm), где N = kn — размервходных данных, таблицы n-местной функции.
9. В 2011 г. С. Н. Селезнева [18] предложила критерий полиноми-альности, основанный на теореме 2 и результатах [6, 7], и наилучшийпо сложности (O(N)) алгоритм построения полинома особого кано-нического вида при любых k и n.
Классы сохранения сравненийПусть d|k. Функция f(x) из Pk сохраняет сравнение по модулю
d, если из условия a ≡ b (mod d) следует, что и f(a) ≡ f(b) (mod d).Если при этом f(a) = f(b), то функция называется d-периодической.
Функции, сохраняющие сравнение по модулю d, образуют за-мкнутый класс C(d), предполный в Pk, если d 6= 1, d 6= k. При этомC(1) = C(k) = Pk. Для нескольких делителей d1, . . . ds числа k вве-дем также классы C(d1, . . . , ds) = C(d1)∩· · ·∩C(ds) иMk =
⋂d|k C(d).
99
Тогда∀d|k Polk ⊆Mk ⊆ C(d) ⊆ Pk
Решетка всех классов, содержащихMk, описана А. Н. Череповым[10, 19]. Тем самым, в силу теоремы 9, описана решетка всех классов,содержащих Polk при k = p1 · · · ps. Если k = pm, то решетка всехклассов, находящихся между Polk и Mk, изоморфна (m−1)-мерномукубу [10–12].
Теорема 8 [20, лемма 2]. Kласс C(d) состоит из всех функцийвида
f(x) = g(x) + dh(x), (1)
где функция g(x) является d-периодической.Определим функции
gd(x) =
1, x ≡ 0 (mod d),0, x 6≡ 0 (mod d),
j0(x) =
1, x = 0,0, x 6= 0,
Следствие 1. Система функций x + y, gd(x, y), dj00(x, y) об-разует базис в классе C(d). При некоторых условиях на числа k иd базисные функции gd(x, y) и dj00(x, y) можно заменить на одно-местные.
При d = k 6= 2 эти результаты выражают известные вторуюформу функций и базис x+ y, j0(x) в Pk.
Теорема 9. При k = pm класс Mk состоит из всех функций вида
f(x) =
m−2∑
i=0
pihi(x) + pm−1h(x), (2)
где каждая функции hi(x) является pi+1-периодической.Аналогичным образом выделяются и базисы в классахC(d1, . . . , dr).
Для класса Mk при k = pm доказательство равносильного теореме9 утверждения и полноты в Mk соответствующей системы функцийизложено в 1996 г. Г. П. Гавриловым [21, предложение 2, замечание4].
Решеточное представлениеПусть d|k, a ∈ End . Множество x ∈ Enk : x ≡ a (mod d) называ-
ется d-решеткой. Рассмотрим представление
f(x) =∑
a∈End
f a(x), где f a(x) =
f(x), x ≡ a (mod d),
0, x 6≡ 0 (mod d).(3)
100
Функции f a называются d-решеточными ограничениями функ-ции f . Они могут быть проще исходной функции f и позволяют сво-дить многие задачи принадлежности функции классам, содержащимx + y, к тем же задачам относительно ее решеточных ограничений.В частности, таким способом установленa
Теорема 10 [11, 14]. Если p|k и функция f из Mk является p-периодической, то f ∈ Polk.
Справедливость теоремы для одноместных функций при k = pm
отмечена Л. Карлицем [9].Теорема 11 [11, 22]. Если d|k, d = d1 · · · ds, где s ≥ 2, а числа
d1, . . . , ds попарно взаимно простые, и функция f класса C(d1, . . . ds)является d-периодической, то справедливо представление
f(x) = f(0) +
s∑
i=1
(d/di)fi(x), (4)
где каждая функция fi является di-периодической.Следствие 2. Если p1, . . . ps — различные простые делители
числа k, а функция f из Mk является p1 · · · ps-периодической, тоf ∈ Polk.
Cохранение разностей
Далее для t из Zn+ полагаем σ(t) = t1+· · ·+tn, сумма вычисляетсяв кольце Z.
Пусть d|k, f ∈ P(n)k , x ∈ Enk , r ∈ Zn+, R = σ(r). Величины
∆R(r)f(x) =
r1∑
s1=0
· · ·rn∑
sn=0
(−1)R−σ(r)(r1s1
)· · ·(rnsn
)f(x+ ds)
называются d-разностями типа r и порядка R функции f в точкеx. Если a ∈ End , то d-разностями ограничения f a функции f назы-ваются ее d-разности в точках x ≡ a (mod d). Функция f сохраняетd-разности порядка R, если для каждого r, σ(r) = R, и каждогоa ∈ End разности ∆R(r)f a(x) равны при всех x ≡ a (mod d).
Теорема 12 [17]. Если k = pm и f ∈ M(n)k , то функция f при-
надлежит классу Polk тогда и только тогда, когда она сохраняетp-разности порядка m − 1 и для каждого r, σ(r) = R, все ее p-
разности типа r кратны pRr1! · · · rn!. При этом каждая функция
101
f a, a ∈ Enp , представляется полиномом вида
f a(x) = gp(y)∑
t: σ(t)≤R
b(y)yt11 · · · ytnn , (5)
где y = x− a, R ≤ m− 1, b(y) ∈ Ek.Случай произвольного k сводится к случаю k = pm с помощью
периодических функций. Пусть k = pm11 · · · pms
s , s ≥ 2. Положимd = k, di = pmi
i для i = 1, . . . , s и рассмотрим формулу (4) дляфункции f класса Mk. Присутствующие в ней функции fi такжепринадлежат Mk, а условие f ∈ Polk равносильно условиям fi ∈Polk для всех i = 1, . . . , s. Для pmi
i -периодической функции fi из Mk
условие принадлежности классу Polk аналогично случаю k = pmi
i , аполином f ai имеет вид
f ai (x) = (k/di)gpi(y)∑
t: σ(t)≤R
b(y)yt11 · · · ytnn , (6)
y = x− a, a ∈ Enpi , R ≤ mi − 1, b(y) ∈ Ek.
Cохранение первых d-разностейВеличины
∆if(x1, . . . , xi, . . . , xn) = f(x1, . . . , xi−1, xi + d, xi+1, . . . , xn)− f(x)
называются (первыми) d-разностями функции f по переменной xiв точке x. Функция f сохраняет d-разности, если при фиксирован-ных i и a ∈ End величины ∆if
a)(x) не зависят от x. Функция абсо-
лютно сохраняет d-разности, если разности ∆ifa(x) не зависят и
от a. Функции, сохраняющие и абсолютно сохраняющие d-разности,образуют замкнутые классы R(d) и L(d).
Теорема 13 [12, 22]. Классы R(d) и L(d) обладают следующимисвойствами.
1. Если d 6= 1 и d 6= k, то Lk ⊂ L(d) ⊂ R(d) ⊂ C(d), где Lk =L(1) = R(1) — класс всех линейных по модулю k функций. Крометого, L(k) = R(k) = Pk.
2. Если d1|d2, то R(d) ⊆ R(d2) и L(d1) ⊆ L(d2). Классы R(d)образуют решетку, изоморфную решетке делителей числа k. Такуюже решетку образуют классы L(d).
102
3. Класс R(d) состоит из асех функций вида
f(x) = l(x) + g(x) +∑
a∈End
n∑
j=1
bj(a)yjgd(y). (7)
Класс L(d) состоит из всех функций вида
f(x) = l(x) + g(x) +
n∑
j=1
bjd⌊xj/d⌋. (8)
В этих формулах l(x) ∈ Lk, функция g(x) является d-периодической, y = x− a и bj(a), bj ∈ Ek.
4. Условия "класс R(d) является предполным в C(d)", "классL(d) является предполным в R(d)" и равенство k = pd эквивалент-ны.
Теорема 14 [12]. Пусть p1, . . . , ps, q1, . . . , qt— различные простые
числа, s ≥ 1, k = p21 · · · p2sQ, di = k/pi, i = 1, . . . , s, где Q = 1 илиQ = q1 · · · qt. Тогда Polk = Mk ∩ R(d1) ∩ · · ·R(ds), а классы Polk,Mk и все классы, находящиеся между ними, образуют решетку,изоморфную s-мерному кубу.
С помощью свойств сохранения разностей можно описать над-структуру не только класса Polk но и класса Lk при k = p1 · · · ps.
Классы, содержащие Lk
Теорема 15 [22]. Пусть k = p1 · · · ps, s ≥ 2, di = k/pi, i = 1, . . . , s.Тогда справедливо следующее.
1. Классы Mk = Polk, R(pi) и R(pj) i 6= j несравнимы по вклю-чению.
2. Для каждого i = 1, . . . , s класс Mk∩R(di) состоит в точностииз функций вида
f(x) = l(x) +∑
j 6=idjhj(x), (9)
где l(x) ∈ Lk, а каждая функция hj является pj-периодической.3. Выполняется равенство Polk =Mk ∩R(d1) ∩ · · · ∩R(ds),4. Kлассы Lk, Mk и все классы, находящиеся между ними, обра-
зуют решетку, изоморфную s-мерному кубу.При k = p (и только при нем) класс Lk является предполным в
Polk = Pk [1]. В [23] построена решетка всех классов, содержащихLk при k = 4. Ее обобщение на все k = p2 анонсировано в [24].
103
Результаты других авторовПри k = pm применяется разложение функций в сумму функций
p-значной логики с коэффициентами 1, p, p2, . . . pm−1 (координатныхфункций). Оно равносильно представлению в виде суммы с периоди-ческими слагаемыми, подобному (3). Таким способом А. А. Нечае-вым найден критерий полноты в Pk системы, порождающей Polk,[25] (аналогичный критерий для k = p1 · · · ps найден А. Н. Черепо-вым [19]). Весьма важен результат А. Б. Ремизова.
Теорема 16 [15]. Если p3|k, то между классами Polk и Mk име-ется бесконечная цепь замкнутых классов.
При помощи координатных функций Г. П. Гавриловым [21] вы-делена цепь классов Vm(l), l = 1, . . .m − 1, состоящих из функцийвида
f(x) = π(x) + plh(x). (10)
Класс V3(2) был описан ранее на языке p-разностей порядка 2, оноказался предполным в Mp3 [16].
С помощью координатных функций Г. П. Гаврилов описал такжесемейство классов в Pk при k = pm, обобщающих класс K Кузнецова(см. теорему 1) [26]. Некоторые свойства классов, обобщающих K,анонсированы в [27].
Также М. В. Заец [28, 29] описал на языке координатных функцийцепь классов длины 3 или 4 с минимумом Polk и максимумом Mk,k = pm.
Итак, указаны аддитивные представления (1)–(10), определяю-щие замкнутые классы, содержащие все полиномы или все линейныефункции. Многие из них переносятся и на случай частично опреде-ленных функций. Некоторые результаты по этой теме анонсированыв [30,31].
Список литературы1. Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значной
логике // Труды МИАН СССР. — 1958. — Т. 51. — C. 5–142.2. Hermit Ch. Sur les fonctions des sept lettres // C. R. Acad. Sci.
Paris. — 1863. — 57. — P. 750–757.3. Kempner A. J. Polynomials and their residue systems // Trans.
AMS. — 1921. — V. 22. — 240-288.4. Redei L., Szele T. Algebraisch-Zahlentheoretisch Betrachtungen
uber Ringe, II // Acta Math. — 1950. — 82. — P. 240–291.5. Keller G, Olson F. R. Counting polynomial functions (mod pn) //
Duke Math. J. — 1968. — 35:4. — P. 835–838.
104
6. Aйзенберг Н. Н., Семйон И. В., Циткин А. И. Мощностькласса функций k-значной логики от n переменных, представимыхполиномами по модулю k // Многоустойчивые элементы и их при-менение — М.: Сов. радио, 1971. — С. 79–83.
7. Singmaster D. On polynomial functions (mod m) // J. NumberTheory. — 1974. — 6:5. — P. 345–352.
8. Aйзенберг Н. Н., Семйон И. В. Некоторые критерии представи-мости функций k-значной логики полиномами по модулю k // Мно-гоустойчивые элементы и их применение — М.: Сов. радио, 1971. —С. 84–88.
9. Carlitz L. Functions and polynomials (mod pn) // ActaArithm. — 1964. — 9. — P. 66–78.
10. Черепов А. Н. Надструктура класса сохранения отношенийсравнения в k-значной логике по всем модулям-делителям k. Авто-реф. дисс. канд. физ.-мат. н. — М., 1986.
11. Мещанинов Д. Г. О полиномиальной реализации функций k-значной логики. — Деп. ВИНИТИ 23.10.87, 7441-В87.
12. Мещанинов Д. Г. О первых d-разностях функций k-значнойлогики // Математические вопросы кибернетики. Вып. 7. — М.: На-ука, 1998. — С. 265–280.
13. Rosenberg I. G. Polynomial functions over finite rings //GlasnikMatematiki. — 1975. — 10:1. — P. 25–33.
14. Мещанинов Д. Г. Некоторые условия представимости функ-ций из Pk полиномами по модулю k // Докл. АН СССР. — 1988. —299:1. — С. 50–53.
15. Ремизов А. Б. О надструктуре замкнутого класса полиномовпо модулю k // Дискретная математика. — 1989. — 1:1. — С. 3–15.
16. Мещанинов Д. Г. О вторых p-разностях функций pα-значнойлогики // Дискретная математика. — 1992. — 4:4. — С. 131–139.
17. Мещанинов Д. Г. Метод построения полиномов для функцийk-значной логики // Дискретная математика. — 1995. — 7:3. — С. 48–60.
18. Селезнева С. Н. Быстрый алгоритм построения для k-значных функций полиномов по модулю k при составных k // Дис-кретная математика. — 2011. — 23:3. — С. 3–22.
19. Черепов А. Н. Описание структуры замкнутых классов в Pk,содержащих класс полиномов // Проблемы кибернетики. Вып. 40. —М.: Наука, 1983. — С. 5–18.
20. Мещанинов Д. Г. О некоторых свойствах надструктуры клас-са полиномов в Pk // Матем. заметки. — 1988. — 44:5. — С. 673–681.
21. Гаврилов Г. П. О надструктуре класса полиномов в многознач-ных логиках // Дискретная математика. — 1996. — 8:3. — С. 90–97.
105
22. Мещанинов Д. Г. О замкнутых классах k-значных функций,сохраняющих первые d-разности // Математические вопросы кибер-нетики. Вып. 8. — М.: Наука, 1999. — С. 219–230.
23. Крохин А. А., Сафин К. Л., Суханов Е. В. О строении решеткизамкнутых классов полиномов // Дискретная математика. — 1997. —9:2 — C. 24–39.
24. Мещанинов Д. Г. О замкнутых классах полиномов над коль-цом Zk // Труды IX Междунар. конф. "Дискретные модели в тео-рии управляющих систем" (20–22 мая 2015 г.) — М.: МАКС-Пресс,2015. — С. 161–163.
25. Нечаев А. А. Критерий полноты систем функций pn-значнойлогики, содержащих операции сложения и умножения по модулюpn // Методы дискретного анализа в решении комбинаторных задач.Вып. 34. — Новосиб., 1980. — С. 74–89.
26. Гаврилов Г. П. О замкнутых классах многозначной логики,содержащих класс полиномов // Дискретная математика. — 1997. —9:2. — С. 12–23.
27. Мещанинов Д. Г. О классе Кузнецова в pa-значной логи-ке // Проблемы теоретической кибернетики. Тез. докл. XI Между-нар. конф. Ульяновск, 10–14 июня 1996 г. — М.: Изд-во РГГУ, 1996. —С. 142–143.
28. Заец М. В. Классификация функций над примарным кольцомвычетов в связи с методом покоординатной линеаризации // Прикл.дискретная математика. Приложение. — 2014. — 7. — С. 16–19.
29. Заец М. В. О классе вариационно-координатно-полиномиаль-ных функций над примарным кольцом вычетов // Прикл. дискрет-ная математика. — 2014. — 3 (25). — С. 12–27.
30. Мещанинов Д. Г. О надструктуре класса полиномов в ча-стичной k-значной логике // Труды VII Междунар. конф. "Дискрет-ные модели в теории управляющих систем". Покровское. 4–6 марта2006 г. — С. 248–250.
31. Мещанинов Д. Г. Классификация аддитивных представле-ний частичных и всюду определенных функций k-значной логики //Труды VIII Междунар. конф. "Дискретные модели в теории управ-ляющих систем" (6–9 апреля 2009 г.) — М.: МАКС-Пресс. 2009. —С. 214–218.
106
ОБ ОЦЕНКЕ ЧИСЛА И ЭФФЕКТИВНОМ ПОИСКЕПОВТОРОВ И ПАЛИНДРОМОВ С РАЗРЫВАМИ
В ФОРМАЛЬНЫХ СЛОВАХ
Р. M. Колпаков (Москва)
В данной работе рассматриваются вопросы, связанные с оцен-кой числа и эффективным поиском регулярных фрагментов в фор-мальных словах. Классическим примером регулярных фрагментовявляются периодичности. Под периодичностью в слове формальнопонимается любой фрагмент, порядок которого не меньше 2, где по-рядок слова определяется как отношение длины слова к его мини-мальному периоду. Периодичности имеют фундаментальное начениедля комбинаторных свойств слов и активно используются в различ-ных алгоритмах, работающих с формальными словами, в частности,в алгоритмах поиска образцов в слове, алгоритмах сжатия слов, ал-горитмах анализа биологических последовательностей и т. д. Про-стейшим частным случаем периодичности является квадрат, т. е.подслово вида uu, где u — произвольное непустое слово, котороеназывается корнем данного квадрата. Аналогичным образом перио-дичность вида uuu, где u — произвольное непустое слово, называетсякубом. В общем случае, для любого целого k ≥ 2 периодичность ви-да uk = uu . . . u︸ ︷︷ ︸
k
, где u — произвольное непустое слово, называется
k-ой степенью слова u. Слово называется примитивным, если оно неявляется степенью меньшего слова. Длину произвольного слова wбудем обозначать через |w|.
При изучении квадратов в формальных словах естественным об-разом можно ограничиться примитивными квадратами, т.е. квад-ратами, имеющими примитивные корни. В [1] показано, что макси-мальное число примитивных квадратов в слове длины n равно попорядку Θ(n logn), и все примитивные квадраты в слове длины nмогут быть найдены за оптимальное время Θ(n logn). В [2,3] пред-ложены алгоритмы проверки существования квадрата в слове дли-ны n за время O(n). B [4] показано, что все примитивные квадратымогут быть найдены в слове длины n за время Θ(n log k + S), гдеk — размер алфавита слова, а S — число примитивных квадратов вслове (тем самым в случае алфавита константного размера и срав-нительно небольшого числа примитивных квадратов в слове данныйалгоритм может оказаться эффективнее алгоритма, предложенногов [1]).
Естественным обобщением периодичностей, содержащих целое
107
число корней, являются “дробные” периодичности вида uu . . . u︸ ︷︷ ︸k
u′,
где k ≥ 2 и u′ — префикс непустого слова u. Такая периодичность вслове называется максимальной, если она не является частью боль-шей периодичности с тем же минимальным периодом, т.е. не можетбыть расширена в слове ни на один символ с сохранением своегоминимального периода. Отметим, что любая периодичность в словеявляется частью некоторой максимальной периодичности с тем жеминимальным периодом, т. е. максимальные периодичности задают вслове все остальные периодичности любого другого типа: квадраты,кубы, целые степени и т. д., полностью определяя таким образомпериодическую структуру слова. В [5] показано, что в слове дли-ны n все максимальные периодичности могут быть найдены за времяΘ(n logn), при этом в случае алфавита неограниченного размера ивычислительной модели, допускающей только попарные сравнениясимволов с целью проверки их равенства, полученная оценка време-ни поиска является оптимальной по порядку. В [6] установлено, чтомаксимальное число максимальных периодичностей в слове длины nравно по порядку Θ(n), и все максимальные периодичности в словедлины n могут быть найдены за время Θ(n log k), где k — размералфавита слова. Таким образом, в случае алфавита константногоразмера предложенный в [6] алгоритм является оптимальным. Дан-ный результат был усилен в [7], где показано, что в слове длины nнад полиномиально ограниченным алфавитом все максимальные пе-риодичности могут быть найдены за время Θ(n) (алфавит называет-ся полиномиально ограниченным, если существует вычисляемое законстантное время соответствие между символами алфавита и на-туральными числами, не превосходящими по величине некоторогополинома от n). Дальнейшие исследования [8, 9] в данной областисвязаны с уточнением времени поиска всех максимальных перио-дичностей для случая линейно упорядоченного алфавита неограни-ченного размера и вычислительной модели, допускающей попарныесравнения символов относительно определенного на алфавите ли-нейного порядка (в [10] было высказано предположение, что в этомслучае все максимальные периодичности в слове также могут бытьнайдены за линейное время). Наилучший к настоящему времени ре-зультат для данного случая получен в [11], где предложен алгоритмпоиска всех максимальных периодичностей в слове длины n за времяO(n · κ(n)), где κ(·) — функция, обратная к функции Аккермана.
В [6] на основе компьютерных экспериментов была высказана ги-потеза, что число максимальных периодичностей в слове не превос-
108
ходит его длины. После длительных активных исследований, опуб-ликованных в многочисленных работах на эту тему, эта гипотезадоказана в [12]. В данной работе установлено, что каждой макси-мальной периодичности в слове можно сопоставить некоторый содер-жащийся в этой периодичности символ слова, отличный от самогопервого символа, так, что разным периодичностям сопоставляютсяразные символы, из чего непосредственно следует, что число мак-симальных периодичностей в слове строго меньше его длины. Наи-лучшая к настоящему времени верхняя оценка числа максимальныхпериодичностей в словах фиксированной длины получена в [13], гдедоказано, что число максимальных периодичностей в слове длины nне превосходит 22n/23.
Квадраты в словах естественным образом обобщаются на случайфрагментов вида uvu, где u и v — некоторые непустые слова. Такойфрагмент называется повтором с разрывом, при этом слова u назы-ваются левой и правой копиями этого повтора, а слово v — его раз-рывом. Периодом повтора с разрывом называется суммарная длинакопии и разрыва повтора. Отметим, что один и тот же фактор в сло-ве может рассматриваться в качестве различных повторов с разры-вом, имеющих разные периоды, т.е. повторы с разрывом, имеющиеразные периоды, могут иметь одновременно одинаковые начальныеи конечные позиции в слове. Такие повторы считаются различными.Повтор с разрывом в слове называется максимальным, если выпол-няются следующие два условия:
1) если повтор не является префиксом слова, то символ, предше-ствующий в слове левой копии повтора, отличен от символа,предшествующего его правой копии;
2) если повтор не является суффиксом слова, то символ, следу-ющий в слове за правой копией повтора, отличен от символа,следующего за его левой копией.
Другими словами, повтор с разрывом является максимальным, ес-ли он не содержится в более длинном повторе с разрывом или бо-лее длинной периодичности, имеющих тот же период. Таким обра-зом, любой повтор с разрывом однозначным образом расширяетсяс сохранением периода либо до некоторой периодичности, либо донекоторого максимального повтора в разрывом. Поэтому, с учетомвозможности эффективного поиска периодичностей в словах посред-ством упомянутых выше в данной работе алгоритмов, задача эф-фективного поиска повторов в разрывом в словах сводится к зада-че эффективного поиска максимальных повторов с разрывом. Важ-ным частным случаем повторов с разрывом являются α-повторы при
109
α > 1: повтор с разрывом называется α-повтором, если отношениеего периода к длине его копии не превосходит α. Понятие α-повторавведено в работе [14], где было показано, что глово длины n содержитO(α2n) максимальных α-повторов, которые могут быть найдены завремя Θ(α2n log k), где k — размер алфавита.
Наряду с периодичностями можно рассматривать в словах фак-торы порядка меньшего, чем 2. Мы называем такие факторы субпе-риодичностями. Субпериодичность называется δ-субпериодичностью,где 0 < δ < 1, если ее порядок не меньше 1+ δ. Аналогично понятиюмаксимальной периодичности, субпериодичность называется макси-мальной, если она не содержится в более длинной периодичности илисубпериодичности с тем же минимальным периодом, т.е. не можетбыть расширена в слове ни на один символ с сохранением своего ми-нимального периода. Нетрудно заметить, что каждая максимальнаяδ-субпериодичность в слове однозначным образом представляется ввиде некоторого максимального 1/δ-повтора с разрывом, период ко-торого совпадает с минимальным периодом субпериодичности. Темсамым в слове существует взаимно однозначное соответствие междувсеми максимальными δ-субпериодичностями и максимальными 1/δ-повторами с разрывом, представляющими эти субпериодичности.Поэтому в любом слове число максимальных δ-субпериодичностейне превосходит числа максимальных 1/δ-повторов с разрывом.
Алгоритмы поиска всех максимальных δ-субпериодичностей вслове на основе поиска 1/δ-повторов впервые были предложеныпредложены в [14]. В работе [15] показано, что в не содержащемпериодичностей слове над константным алфавитом за линейное от-носительно длины слова время можно вычислить максимальный по-рядок содержащихся в этом слове субпериодичностей и найти всесубпериодичности этого порядка. Используя идеи данной работы,в [16] предложен алгоритм поиска всех максимальных α-повторовв слове длины n над константным алфавитом за время O(αn + S),где S — число таких повторов в слове. В [17] показано, что в сло-ве длины n над полиномиально ограниченным алфавитом макси-мальный α-повтор с разрывом, имеющий наибольшую длину, можетбыть вычислен за время Θ(αn). В [18] установлено, что максималь-ное число максимальных α-повторов с разрывом в слове длины nравно по порядку Θ(αn) и на основе подхода, предложенного в [17],предъявлен оптимальный алгоритм поиска всех максимальных α-повторов в слове длины n над константным алфавитом за времяO(αn). В работе [19] было независимо показано, что в слове длины nсодержится не более 18αn максимальных α-повторов с разрывом,
110
которые могут быть найдены за время Θ(αn) в более общем случаеслова над полиномиально ограниченным алфавитом. Из полученнойоценки O(αn) числа α-повторов вытекает, что слово длины n содер-жит O(n/δ) максимальных δ-субпериодичностей, и данная оценкадля максимальных δ-субпериодичностей является оптимальной попорядку в случае слов над алфавитом неограниченного размера (во-прос об оптимальности данной оценки в случае слов над констант-ным алфавитом остается пока открытым). Кроме того, пользуясьмодификацией алгоритмов, предложенных в [14], с учетом получен-ной оценки числа α-повторов, можно показать, что в слове длины nвсе максимальные δ-субпериодичности могут быть найдены за вре-мя Θ(n log k + n log logn
δ ), где k — размер алфавита, или за среднееожидаемое время O(n logn+ n
δ log1δ ).
На основе компьютерных экспериментов в [18] выдвинута следу-ющая гипотеза.
Гипотеза 1. В слове длины n содержится не более αn макси-мальных α-повторов с разрывом.
В поддержку данной гипотезы имеются также следующие косвен-ные соображения. Отметим, что период повтора с разрывом можнотакже формально определить как дистанцию между начальными по-зициями копий повтора. В таком случае понятие α-повтора можнообобщить также на случай α ≤ 1: при α ≤ 1 под α-повтором в словебудем понимать фрагмент, состоящий из двух смежных или пере-секающихся копий таких, что отношение дистанции между началь-ными позициями копий к длине копий не превосходит α. Нетруд-но заметить, что каждый максимальный 1-повтор представляет со-бой в качестве фрагмента слова некоторую максимальную перио-дичность, минимальный период которой является делителем пери-ода 1-повтора. Таким образом, каждому максимальному 1-повторуоднозначно сопоставляется максимальная периодичность. С другойстороны, каждой максимальной периодичности сопоставляется приэтом по крайней мере один максимальный 1-повтор, период которо-го равен минимальному периоду периодичности, причем максималь-ной периодичности порядка, не меньшего 4, сопоставляется несколь-ко максимальных 1-повторов (на самом деле насложно заметить, чтокаждой максимальной периодичности r сопоставляется ⌊e(r)/2⌋ раз-личных максимальных 1-повторов). Таким образом, в любом словечисло максимальных 1-повторов не меньше числа максимальных пе-риодичностей и может быть больше числа максимальных периодич-ностей при наличии в слове периодичностей достаточно большогопорядка. Тем не менее, пользуясь несложной модификацией пред-
111
ложенного в [10] доказательства того, что число максимальных пе-риодичностей в слове меньше его длины, можно также доказать,что число максимальных 1-повторов в слове меньше его длины, темсамым гипотеза 1 справедлива для α = 1. Данное наблюдение поз-воляет также предположить, что гипотеза 1 справедлива также при0 < α < 1. Отметим также, что, согласно компьютерным экспери-ментам, в словах с максимально возможным числом максимальныхпериодичностей не содержится периодичностей большого порядка,тем самым имеется взаимно однозначное соответствие между мак-симальными 1-повторами и сопоставленными им максимальными пе-риодичностями. Поэтому в [18] выдвинута также следующая гипо-теза.
Гипотеза 2. Для любого n в словах длины n максимальное числомаксимальных 1-повторов равно максимальному числу максималь-ных периодичностей.
Одним из дальнейших направлений исследований в данной об-ласти является изучение повторов с разрывами, на длины которыхнакладываются произвольные ограничения, зависящие от длин ко-пий. Пусть f : N → R, g : N → R — две функции такие, чтодля любого x ∈ N выполняется 0 < g(x) ≤ f(x). f, g-повторамибудем называть повторы uvu с разрывом, удовлетворяющие усло-вию g(|u|) ≤ |v| ≤ f(|u|). Например, α-повторы с разрывами яв-ляются частным случаем f, g-повторов для g(x) = min1, α − 1,f(x) = (α − 1)x. f, g-повторы впервые рассматривались в рабо-те [20], в которой предложен алгоритм поиска всех максимальныхf, g-повторов в слове длины n за время O(n log n+ S), где S — чис-ло таких повторов в слове. Для частного случая f(x) = g(x) = dв [21] предложен алгоритм поиска всех f, g-повторов в слове длины nза время O(n log d + S). Таким образом, получение оценок для мак-симального возможного числа f, g-повторов в слове заданной дли-ны является важным для оценки эффективности алгоритмов поискаf, g-повторов в заданном слове.
Пусть f(x) — функция из N в R. Для каждого x ∈ N положим∂+f (x) = (f(x+1)− f(x)), если f(x+1) ≥ f(x), и ∂+f (x) = 0 в против-
ном случае. Положим также ∂−f (x) = (f(x) − f(x + 1)), если f(x) ≥f(x+ 1), и ∂−f (x) = 0 в противном случае. Обозначим через ∂+f (∂−f )
супремум supx∂+f (x) (supx∂−f (x)), если этот супремум существу-
ет. Пусть f(x), g(x) — две функции из N в R такие, что f(x) ≥ g(x)
для любого x ∈ N. Если обе величины ∂+f и ∂−g существуют, обозна-
чим max∂+f , ∂−g через ∂af,g. Если обе величины ∂−f и ∂+g существуют,
112
обозначим max∂−f , ∂+g через ∂bf,g. Пусть хотя бы одна из величин
∂af,g, ∂bf,g существует. Тогда определим ∂f,g как min∂af,g, ∂bf,g если
обе величины ∂af,g, ∂bf,g существуют; в противном случае, т.е. если
существует только одна из величин ∂af,g, ∂bf,g, положим ∂f,g равным
этой величине. Положим также ∆f,g(x) = 1x (f(x) − g(x)) ≥ 0 для
каждого x ∈ N и ∆f,g = supx∆f,g(x), если этот супремум суще-ствует.
Теорема. Пусть для функций f(x), g(x) существуют обе вели-чины ∂f,g, ∆f,g. Тогда в слове длины n содержится не более чемO(n(1 + max∂f,g,∆f,g)) максимальных f, g-повторов.
Другим классическим примером регулярных фрагментов явля-ются палиндромы. Палиндромом называется слово w = a1a2 . . . an,совпадающее со словом wR = anan−1 . . . a1. Аналогично квадратам,палиндромы обобщаются на случай палиндромов с разрывами. Подпалиндромом с разрывом в слове понимается фрагмент вида uvuR,где u, uR — непустые слова, называемые рукавами палиндрома, аv — непустое слово, называемое разрывом палиндрома. Палиндромс разрывом в слове называется максимальным, если выполняютсяследующие два условия:
1) если палиндром не является ни префиксом, ни суффиксом сло-ва, то символ, предшествующий в слове левому рукаву палин-дрома, отличен от символа, следующего за его правым рука-вом;
2) символ, следующий в слове за левым рукавом палиндрома, от-личен от символа, предшествующего его правому рукаву.
Другими словами, палиндром с разрывом является максимальным,если его рукава не могут быть расширены ни на один символ нивлево, ни вправо. Аналогично понятию α-повтора с разрывом, приα > 1 палиндром uvuR с разрывом называется α-палиндромом, ес-ли |u| + |v| ≤ α|u|. Несложно заметить, что любой α-палиндромс разрывом однозначным образом расширяется либо до некоторо-го палиндрома, либо до некоторого максимального α-палиндрома вразрывом. Поэтому, с учетом возможности эффективного поиска па-линдромов в словах с помощью уже известных алгоритмов [22, 23],задача эффективного поиска α-палиндромов в слове сводится к за-даче поиска всех максимальных α-палиндромов. Исходя из сообра-жений симметрии, методы, предложенные в [18, 19] могут быть лег-ко модифицированы для того, чтобы показать, что в слове длины n
113
содержится O(αn) максимальных α-палиндромов (в частности, с по-мощью методов, предложенных в [19], можно показать, что в сло-ве длины n содержится не более чем 28αn + 7n максимальных α-палиндромов) и в слове длины n над полиномиально ограниченнымалфавитом все максимальные α-палиндромы могут быть найдены завремя Θ(αn).
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 14-01-00598.Список литературы
1. Crochemore M. An optimal algorithm for computing therepetitions in a word // Information Processing Letters. — 1981. —Т. 12. — С. 244–250.
2. Crochemore M. Recherche lineare d’un carre dans un mot //Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Ser. I Math. — 1983. — V. 296. —P. 781–784.
3. Main M., Lorentz R. Linear time recognition of square freestrings // Combinatorial Algorithms on Words, NATO Advanced ScienceInstitutes, Series F. — 1985. — V. 12. — P. 271–278.
4. Gusfield D., Stoye J. Linear time algorithms for finding and repre-senting all the tandem repeats in a string // Journal of Computer andSystem Sciences. — 2004. — V. 69. — N. 4. — P. 525–546.
5. Main M., Lorentz R. An O(n log n) algorithm for finding all repe-titions in a string // Journal of Algorithms. — 1984. — V. 5. — N. 3. —P. 422–432.
6. Kolpakov R., Kucherov G. On maximal repetitions in words //Journal of Discrete Algorithms. — 2000. — V. 1. — N. 1. — P. 159–186.
7. Crochemore M., Ilie L., Smyth W. A simple algorithm for compu-ting the Lempel-Ziv factorization // Proceedings of Data CompressionConference (DCC 2008), IEEE Computer Society. — 2008. — P. 482–488.
8. Kosolobov D. Computing runs on a general alphabet //Information Processing Letters. — 2016. — V. 116. — N. 3. — P. 241–244.
9. Gawrychowski P., Kociumaka T., Rytter W., Walen T. Fasterlongest common extension queries in strings over general alphabets //Proceedings of 27th Annual Symposium on Combinatorial Pattern Mat-ching (CPM’16), LIPIcs, Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrum fuer Infor-matik. — 2016. — V. 54. — P. 5:1–5:13.
10. Breslauer D. Efficient string algorithmics // PhD thesis, ColumbiaUniversity. — 1992.
11. Crochemore M., Iliopoulos C., Kociumaka T., Kundu R., Pissis S.,Radoszewski J., Rytter W., Walen T. Near-optimal computation of runsover general alphabet via non-crossing LCE queries // CoRR, abs/ 1606.08275. — 2016.
114
12. Bannai H., I T., Inenaga S., Nakashima Y., Takeda M., Tsuruta K.A new characterization of maximal repetitions by Lyndon trees // CoRR,abs/1406.0263. — 2014.
13. Fischer J., Holub S., I T., Lewenstein M. Beyond the runs theo-rem // Lecture Notes in Computer Science. — 2015. — V. 9309. — P. 277–286.
14. Kolpakov R., Podolskiy M., Posypkin M., Khrapov N. Searchingof gapped repeats and subrepetitions in a word // Lecture Notes inComputer Science. — 2014. — V. 8486. — P. 212–221.
15. Badkobeh G., Crochemore M., Toopsuwan C. Computing themaximal-exponent repeats of an overlap-free string in linear time //Lecture Notes in Computer Science. — 2012. — V. 7608. — P. 61–72.
16. Tanimura Y., Fujishige Y., I T., Inenaga S., Bannai H., Takeda M.A faster algorithm for computing maximal α-gapped repeats in astring // Lecture Notes in Computer Science. — 2015. — V. 9309. —P. 124–136.
17. Gawrychowski P., Manea F. Longest α-gapped repeat and palind-rome // Lecture Notes in Computer Science. — 2015. — V. 9210. —P. 27–40.
18. Crochemore M., Kolpakov R., Kucherov G. Optimal bounds forcomputing α-gapped repeats // Lecture Notes in Computer Science. —2016. — V. 9618. — P. 245–255.
19. Gawrychowski P., I T., Inenaga S., Koppl D., Manea F. Efficientlyfinding all maximal α-gapped repeats // Proceedings of 33rd Symposiumon Theoretical Aspects of Computer Science (STACS 2016). — 2016. —P. 39:1–39:14.
20. Brodal G., Lyngso R., Pedersen C., Stoye J. Finding maximalpairs with bounded gap // Journal of Discrete Algorithms. — 2000. —V. 1. — N 1. — P. 77–104.
21. Kolpakov R., Kucherov G. Finding repeats with fixed gap //Proceedings of 7th International Symposium on String Processing andInformation Retrieval (SPIRE’00). — 2000. — P. 162–168.
22. Manacher G. A new linear-time “on-line” algorithm for findingthe smallest initial palindrome of a string // Journal ACM. — 1975. —V. 22. — N 3. — P. 346–351.
23. Gusfield D. Algorithms on strings, trees, and sequences: computerscience and computational biology. — Cambridge University Press, 1997.
115
Секция«Синтез, сложность и надежность
управляющих систем»
О k-ЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО КЛАССА
М. А. Алехина (Пенза)
Пусть k, n ∈ N, k ≥ 3, Ek = 0, 1, ..., k−1, а Pk — множество всехфункций k-значной логики, то есть функций f(x1, ..., xn) : (Ek)
n →Ek. Рассмотрим реализацию функций из множества Pk схемами изненадежных функциональных элементов в произвольном полном ко-нечном базисе B.
Будем считать, что схема из ненадежных элементов реализуетфункцию f(xn) (xn = (x1, ..., xn)), если при поступлении на входысхемы набора an при отсутствии неисправностей в схеме на ее выходепоявляется значение f(an).
Предполагается, что все базисные элементы ненадежны, перехо-дят в неисправные состояния независимо друг от друга, а сами неис-правности могут быть произвольными (например, инверсными иликонстантными).
Пусть схема S реализует функцию f(xn), an — произвольныйвходной набор схемы S, f(an) = τ . Обозначим через Pi(S, a
n) ве-роятность появления значения i (i ∈ Ek) на выходе схемы S привходном наборе an, а через Pf(an) 6=τ (S, a
n) — вероятность появле-ния ошибки на выходе схемы S при входном наборе an. Ясно, чтоPf(an) 6=τ (S, a
n) = Pτ+1(S, an) + Pτ+2(S, a
n) + ... + Pτ+k−1(S, an). (В
выражениях τ + 1, τ + 2,..., τ + k − 1 сложение осуществляется помодулю k.)
Ненадежностью схемы S, реализующей функцию f(xn), будемназывать число P (S), равное наибольшей из вероятностей появленияошибки на выходе схемы S. Надежность схемы S равна 1− P (S).
Пусть αm, βm — наборы с компонентами из множества Ek длиныm (m ≥ 3). Обозначим через ρ(αm, βm) число координат, в которыхнаборы αm и βm различаются.
Пусть для функции g(xm) существуют такие различные наборыαm1 , α
m2 , ..., α
mk , что:
116
1) значения g(αmi ) и g(αmj ) попарно различны при i 6= j (i, j ∈1, 2, ..., k);2) при всех допустимых значениях i и любого набора αm такого, чтоρ(αm, αmi ) ≤ 1, верно равенство g(αm) = g(αmi ).
Наборы αm1 , αm2 , ..., α
mk будем называть характеристическими
наборами функции g(xm).Замечание. Если αm1 , α
m2 , ..., α
mk — характеристические наборы
функции g(xm), то любые два из них отличаются не менее чем втрех координатах.
Пример. Нетрудно проверить, что:1) функция g1(x
4) = maxmin(x1, x2),min(x3, x4) лежит в G, а(0000), (1111), ..., (k − 1, k − 1, k − 1, k − 1) — ее характеристическиенаборы;
2) функция g2(x3) = x1 + x2 + x3 (mod k) не лежит в G.Обозначим через Gm множество функций g(xm) с перечисленны-
ми свойствами. Пусть
G =∞⋃
m=3
Gm
.Теорема 1. Для числа |Gm| функций из множества Gm спра-
ведливы неравенства
kkm−k2m+(k+1)m−k
k−1∏
i=1
(km − ia) ≤ |Gm| ≤ kkm−k2m+2mk−k,
где a = (k − 1)m+ 1 + C2m(k − 1)2.
В теореме 2 получено рекуррентное соотношение для ненадежно-стей исходной схемы и новой схемы S, построенной с использованиемсхемы Sg, реализующей функцию g(xm) ∈ G.
Теорема 2. Предположим, что любую функцию f ∈ Pk мож-но реализовать схемой с ненадежностью не больше p. Пустьg(xm) ∈ G, αm1 , αm2 , ..., αmk — ее характеристические наборы,причем g(αm1 ) = 0, g(αm2 ) = 1, ..., g(αmk ) = k − 1. Пусть схе-ма Sg реализует функцию g(xm) ∈ G с ненадежностью P (Sg),
а v0, v1, ..., vk−1 — вероятности ошибок схемы Sg на харак-теристических наборах αm1 , αm2 , ..., αmk соответственно. Тогдафункцию f можно реализовать такой схемой S, что P (S) ≤maxv0, v1, ..., vk−1+mpP (Sg) + (2m −m− 1)p2.
Доказательства теорем 1 и 2 можно найти в работе [3] (k ≥ 3).
117
Таким образом, описаны свойства функций, схемы которых мож-но использовать для повышения надежности схем, а также приведе-ны оценки (снизу и сверху) для числа таких функций.
В списке литературы приведены работы, в которых ранее былиописаны аналогичные свойства функций при k = 2 [1], k = 3 [4] иk = 4 [2]. Отметим, что при k = 2 для повышения надежности невет-вящихся программ с оператором условной остановки также исполь-зуются неветвящиеся программы, реализующие булевы функции сописанными свойствами [5].
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ(проект 14-01-00273).
Список литературы1. Alekhina M. A. Synthesis and complexity of asymptotically
optimal circuits with unreliable gates // Fundamenta Informaticae. —2010. — 104(3). — P. 219–225.
2. Алехина М. А., Каргин С. П. О синтезе схем из ненадежныхэлементов в P4 // Известия высших учебных заведений. Поволжскийрегион. Физико-математические науки. — 2014. — 4 — C. 47–56.
3. Алехина М. А. Синтез схем из ненадежных элементов в Pk //Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2015. — 3 — C. 8–10.
4. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. О надежности схем, реализу-ющих функции трехзначной логики // Дискретный анализ и иссле-дование операций. — 2014. — Т. 21. вып. 4. — С. 12–24.
5. Грабовская С. М. Асимптотически оптимальные по надежно-сти неветвящиеся программы с оператором условной остановки //Дис. канд. физ.-мат. наук. — Пенза, 2012. — 89 с.
О СЛОЖНОСТИ ПРОВЕРКИ РАВЕНСТВА ПОЛИНОМОВ,ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ПО РАЗНЫМ ВЕКТОРАМ
А. В. Бухман (Москва)
Определение. Пусть E2 = 0, 1. Булевой функцией от n пере-менных будем называть любое отображение f : En2 → E2.
Определение. Элементарной конъюнкцией (ЭК) над перемен-ными x1, . . . , xn будем называть выражение вида xσ1
i1. . . xσs
is, где
118
x0 = x, x1 = x, а коэффициенты i1, . . . , is попарно различны. Эле-ментарные конъюнкции, отличающиеся только порядком перемен-ных будем считать равными.
Определение. Обобщенным полиномом назовем сумму по мо-дулю 2 конечного числа различных элементарных конъюнкций. Ес-ли каждая переменная входит в обобщенный полином только с от-рицанием или только без отрицания, то такой полином называютполяризованным. Для поляризованного полинома от n переменныхвведем понятие вектора поляризации. Пусть переменная xi входитв запись поляризованного полинома только с отрицанием, тогда по-ложим αi = 1, если эта переменная входит только без отрицания, тоположим αi = 0. Вектор (α1, . . . , αn) назовем вектором поляризацииполинома.
Заметим, что полином Жегалкина является поляризованным по-линомом, у которого вектор поляризации равен (0, . . . , 0).
Рассмотрим следующую задачу (1): на вход подаются два поля-ризованных полинома, с разными векторами поляризации. Нужнопроверить, будут ли эти полиномы задавать одинаковые функции.
Данная задача является обобщением задачи проверки четностифункции [1] и задачи проверки периодичности функции [2].
Для оценки сложности алгоритма введем алгоритмическую мо-дель. В качестве вычислителя будем рассматривать РАМ машину,которая описана в [3]. Ей на вход будут подаваться записи двух по-линомов. Таким образом, если длина первого полинома была l1, авторого l2, то длина входного слова будет N = n(l1 + l2), где n —число переменных от которых зависят функции. Под сложностьюалгоритма будем понимать время его работы (количество тактов ра-боты РАМ машины) в худшем случае на всех входах длины N.
Отметим, что в такой постановке задачи тривиальная проверкаравенства полиномов как функций займет в общем случае экспонен-циальное время. Другой очевидный способ решить эту задачу — этосложить два полинома, заменить все вхождения x на x⊕1, раскрытьскобки привести подобные слагаемые и проверить равенство поли-нома 0. Но и в этом случае можно подобрать полиномы и вектораполяризации так, что сложность будет экспоненциально зависеть отвхода. В данной работе показано существование полиномиальногоалгоритма.
Для начала упростим задачу. Пусть на вход даны полином P1,поляризованный по вектору τ и полином P2, поляризованный повектору σ. Если в первом полиноме формально заменить все xτii наxτi⊕σi
i , то получим новый полином P ′1 поляризованный по вектору
(τ1 ⊕ σ1, . . . , τn ⊕ σn). В полиноме P2 просто уберем отрицания у
119
всех переменных, получим полином Жегалкина P ′2. Функции, зада-
ваемые полиномами P1, P2 равны тогда и только тогда, когда рав-ны функции, задаваемые полиномами P ′
1, P′2. Таким образом можно
упростить исходную задачу (1) до следующей задачи (2): на вход по-дается поляризованный полином и полином Жегалкина, проверитьзадают ли они равные функции.
Идея построения полиномиального алгоритма состоит в ограни-чении перебора. Рассмотрим вспомогательную лемму.
Лемма. Пусть поляризованный полином P1 и полином Жегал-кина P2 задают равные функции. Пусть K — произвольное слага-емое полинома P1, заменим в K все переменные с отрицанием xiна xi ⊕ 1, раскроем скобки приведем подобные слагаемые, получимполином Жегалкина PK . Тогда верно, что l(PK) ≤ l(P1) + l(P2), гдеl(P ) — длина полинома P.
Теорема. Существует РАМ машина, которая, получив на входзаписи двух поляризованных (по различным векторам) полиномов,проверяет, задают ли эти полиномы одинаковые функции. Причемвремя работы данной машины O(N3), где N = n(l1 + l2) — длиназаписи входного слова.
Идея алгоритма состоит в следующем. Сначала преобразуемвходные полиномы, чтобы свести задачу (1) к задаче (2). Далеедля каждого слагаемого поляризованного полинома делаем заменуxi = xi ⊕ 1. Если длина нового полинома будет больше суммы длинисходных полиномов, то по лемме функции не могут быть равны, иалгоритм выда т ответ — НЕТ. Иначе мы можем раскрыть скобки иполучим новый полином, длина которого есть O(N). Проверяем егона равенство 0. Сложность такой проверки потребует O(N3) тактовработы машины.
Список литературы1. Селезнева С. Н. О сложности распознавания полноты мно-
жеств булевых функций, реализованных полиномами Жегалкина //Дискретная математика. — 1997. — Т. 9, вып. 5. — С. 24–31.
2. Бухман А. В. О свойствах полиномов периодических функ-ций и сложности распознавания периодичности по полиному буле-вой функции // Дискретная математика. — 2014. — Т. 11, вып. 3. —С. 129–137.
3. Гэри М. Джонсон Д. Вычислительные машины и труднореша-емые задачи. — М.: Мир, 1982.
120
КВАНТОВОЕ ХЕШИРОВАНИЕДЛЯ КОНЕЧНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
А. В. Васильев (Казань)
Данная работа посвящена обобщению предложенного нами ра-нее метода квантового хеширования. Предлагаемый подход позво-ляет конструировать квантовую хеш-функцию для произвольной ко-нечной абелевой группы на основе ее неприводимых представлений.Учитывая необходимость обеспечения криптографических свойствквантового хеширования, предлагаемая нами функция оказывает-ся асимптотически оптимальной по размеру получаемых квантовыххеш-кодов.
Как нами было показано ранее [1], основными свойствами кван-товой криптографической хеш-функции являются эффективная вы-числимость, устойчивость к восстановлению прообраза и устойчи-вость к коллизиям, причем все эти свойства тесно связаны.
В частности, свойства эффективной вычислимости и устойчиво-сти к восстановлению прообраза часто объединяют в свойство од-носторонности — как и в классическом случае односторонняя функ-ция должна быть эффективно вычислима, но сложна при восстанов-лении прообраза. В квантовом случае чаще всего прообраз и вовсеневозможно достоверно получить благодаря фундаментальному ре-зультату из области квантовой информации, известному как теоремаХолево [2]. Из данной теоремы следует, что из s-кубитного состоя-ния невозможно извлечь более O(s) бит классической информации.Поэтому при построении квантовой хеш-функции требуется, чтобыразмер получаемого квантового состояния был намного меньше (ча-ще всего экспоненциально меньше) исходного сообщения.
В данной работе предлагается обобщенная квантовая хеш-функция, основанная на так называемых множествах с ε-отклоне-нием (в англоязычной литературе — ε-biased set). Данный комбина-торный объект имеет ряд важных приложений в различных обла-стях, таких как дерандомизация, теория графов, теория чисел и т.д.Приведем его определение согласно [3].
ПустьG— это конечная абелева группа. Следовательно, ее непри-водимые представления одномерны и совпадают с характерами. Обо-значим их χa, пронумеровав элементами группы a ∈ G.
Определение. Множество B = b1, b2, . . . , bd ⊆ G называет-ся множеством с ε-отклонением, если для любого нетривиального
121
характера χa выполняется неравенство
1
|B|
∣∣∣∣∣∣
|B|∑
j=1
χa(bj)
∣∣∣∣∣∣≤ ε.
Как было доказано в [4], существует такое множество с ε-отклоне-
нием, что его размер имеет порядок O(
log |G|ε2
), а в статье [3] приво-
дится явная конструкция такого множества.Для дальнейших построений зафиксируем ε ∈ (0, 1) и поло-
жим, что B ⊆ G является множеством с ε-отклонением размера
O(
log |G|ε2
).
Определение. Классически-квантовой будем называть функ-цию, значениями которой являются единичные векторы из про-
странства (H2)⊗s = H2⊗ · · ·⊗H2 = H2s — 2s-мерного гильбертовапространства, описывающего состояния s квантовых бит.
Определение. Определим классически-квантовую функцию
ψB : G→ (H2)⊗ log |B| следующим образом:
|ψB(a)〉 =1√|B|
|B|∑
j=1
χa(bj) |j〉.
Теорема. Функция ψB является криптографической квантовойхеш-функцией.
Доказательство. Докажем наличие у ψB свойств квантовойкриптографической хеш-функции [1].
Устойчивость к коллизиям. Согласно определению устойчивостик квантовых коллизиям [1] необходимо доказать ограниченность зна-чения скалярного произведения различных образов функции ψB.
Пусть a1, a2 ∈ G, a1 6= a2. Тогда χa1(x), χa2(x) являются различ-ными характерами G. χ∗
a1(x) также является характером G, как ифункция χ(x) = χ∗
a1(x)χa2 (x).χ(x) является нетривиальным характером G, поскольку χa1(x) 6≡
χa2(x) и χ(x) = χ∗a1(x)χa2(x) 6≡ χ∗
a1(x)χa1(x) ≡ 1, где 1 обозначаеттривиальный характер G.
Поскольку B является множеством с ε-отклонением, получаем
|〈ψB(a1) |ψB(a2)〉| =1
|B|
∣∣∣∣∣∣
|B|∑
j=1
χ∗a1(bj)χa2(bj)
∣∣∣∣∣∣=
1
|B|
∣∣∣∣∣∣
|B|∑
j=1
χ(bj)
∣∣∣∣∣∣≤ ε.
122
Устойчивость к восстановлению прообраза. Необратимость функ-ции ψB следует теоремы Холево [2], поскольку по построению размеробраза ψB равен log |B|. При этом согласно [4] существует множество
с ε-отклонением B размера O(
log |G|ε2
). Следовательно, в таком слу-
чае размер образа ψB равен log |B| = O(log log |G| − log ε), и эта жеоценка справедлива для количества информации о прообразе, кото-рую можно извлечь из такого квантового состояния.
Эффективная вычислимость. Эффективная вычислимость сле-дует из размера образа квантовой хеш-функции, который экспонен-циально меньше размера исходных данных. Известно, что произ-вольный квантовый алгоритм на q кубитах представим в виде после-довательности O(q24q) базисных операций. Поскольку q = log |B| =O(log log |G| − log ε), время вычисления квантовой хеш-функции по-линомиально зависит от длины входных данных.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты14-07-00878, 15-37-21160).
Список литературы1. Ablayev F. M., Vasiliev A. V. Cryptographic quantum hashing //
Laser Physics Letters. — 2014. — Vol. 11, I. 2. — P. 025202.2. Holevo A. S. Some estimates of the information transmitted by
quantum communication channel (russian) // Probl. Pered. Inform.[Probl. Inf. Transm.]. — 1973. — Vol. 9, I. 3. — P. 3–11.
3. Chen S., Moore C., Russell A. Small-bias sets for nonabeliangroups // Approximation, Randomization, and Combinatorial Optimi-zation. Algorithms and Techniques. — 2013. — Vol. 8096. — P. 436–451.
4. Alon N., Roichman Y. Random Cayley graphs and expanders //Random Structures & Algorithms. — 1994. — Vol. 5, I. 2. — P. 271–284.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МОЩЬ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ,РЕШАЮЩИХ УНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ОТДЕЛИМОСТИ
А. Ф. Гайнутдинова (Казань)
Исследование сравнительной сложности квантовых и классиче-ских вычислительных моделей — актуальное направление матема-тической кибернетики. Конечные автоматы являются одной из про-стейших моделей, для которой известно следующее: вероятностныеконечные автоматы (ВКА) с ограниченной ошибкой распознают в
123
точности класс регулярных языков, квантовые конечные автоматы(ККА), использующие единственное измерение в конце вычислений,распознают собственное подмножество регулярных языков. Такжеизвестно, что число состояний как ВКА, так и ККА не может бытьменьше по порядку чем логарифм от числа состояний минимальногодетерминированного автомата (ДКА), распознающего тот же язык.
Задача отделимости двух непересекающихся языков являетсяобобщением задачи распознавания языков, когда вместо задачи от-деления множества L слов языка от его дополнения Σ∗ \L решаетсязадача отделения множеств слов двух непересекающихся языков Lи L′, при этом L ∪ L′ 6= Σ∗ в общем случае [1]. Мы показываем,что при решении задач отделимости 1) ККА решают больший классзадач, чем ВКА и ДКА; 2) ККА и ВКА демонстрируют большуюэффективность, чем при распознавании языков.
Приведем необходимые определения. ВКА P = (S,Σ, Mσ | σ ∈Σ, µ0, Acc), где S, Σ — конечные множество состояний и входнойалфавит, µ0 — |S|-мерный стохастический вектор начального рас-пределения вероятностей состояний автомата, Mσ(σ ∈ Σ) — стоха-стические по столбцам |S|× |S|-матрицы, где Mσ(j, i) — вероятностьперехода автомата из состояния si в sj при считывании символа σ,Acc ⊆ S множество принимающих состояний.
На входе w = w1 . . . wn ∈ Σ∗ автомат начинает работу с распре-деления µ0, на каждом шаге j (j = 1, . . . , n) считывает очереднуюбукву и преобразует вектор распределения состояний: µj = Awjµj−1,Вероятность принятия входного слова определяется по финальномувектору µ|w| как PrPacc(w) =
∑sj∈Acc µ|w|(j).
Если вектор µ0 и матрицы Mσ(σ ∈ Σ) содержат только нули иединицы, то в этом случае мы имеем определение ДКА. ДКА D при-нимает слово w, если он завершает обработку слова w в состояниииз множества Acc, в противном случае D отвергает w.
В литературе рассматриваются различные модели ККА. В ра-боте мы исследуем модель “один раз измеряемых” ККА, впервыеопределенную в [2], которая использует унитарные преобразованияна каждом вычислительном шаге и заключительное измерение вконце вычисления, как процедуру извлечения результата вычисле-ния. ККА M = (S,Σ, Uσ | σ ∈ Σ, |ψ0〉, Acc). Отличием от мо-дели ВКА являются: |ψ0〉 — d-мерный комплекснозначный векторначального распределения амплитуд состояний автомата, при этом|||ψ〉||2 = 1; Uσ(σ ∈ Σ) — унитарные матрицы переходов, где Uσ(j, i)— амплитуда перехода автомата из состояния si в sj . Вероятность
124
принятия слова w определяется по финальному вектору |ψn〉 какPrMacc(w) =
∑sj∈Acc ||ψ|w|〉(j)|2.
Пусть имеются два языка Lyes, Lno (Lyes, Lno ⊆ Σ∗, Lyes ∩ Lno =∅). Будем говорить, что ДКА D отделяет язык Lyes от языка Lno,если он принимает все слова из Lyes и отвергает все слова из Lno.Будет говорить, что ВКА (ККА) M отделяет язык Lyes от языка Lnoс ограниченной ошибкой, если существует ε (0 ≤ ε < 1/2) такое, чтоM принимает все слова из Lyes с вероятностью 1− ε и отвергает всеслова из Lno с вероятностью 1−ε. В случае, если автомат принимаетслова из Lyes с вероятностью 1 будем говорить, что автомат отделяетязык Lyes от языка Lno с односторонней ограниченной ошибкой ε.
Будем говорить, что автомат M решает задачу отделимостиL = (Lyes, Lno), если он отделяет язык Lyes от языка Lno. Если Σ —унарный алфавит, то L = (Lyes, Lno) — унарная задача отделимости.
Следующий результат показывает, ККА решают больший классзадач отделимости, чем ВКА.
Пусть ϕ иррациональный угол, не кратный π. Для произвольногоθ ∈ (0, π4 ) определим унарную задачу отделимости L
θ = Lθyes, Lθno:
• Lθyes = ak | kϕ ∈ [lπ − θ, lπ + θ] для некоторого l ≥ 0,
• Lθno = ak | kϕ ∈ [lπ + π
2 − θ, lπ + π2 + θ] для некоторого l ≥ 0.
Теорема 1. Существует ККА M с двумя состояниями, ре-шающий задачу отделимости L
θ с односторонней ограниченнойошибкой.
Теорема 2. Не существует ВКА, который решает задачу от-делимости L
θ с ограниченной ошибкой.Следующая серия результатов относится к сравнительной слож-
ности ККА, ВКА и ДКА, решающих унарные задачи отделимости.Для произвольного n ∈ Z+ определим семейство унарных задач
отделимости Fn = Lk,n | k ∈ Z+ следующим образом. Обозначимчерез pj j-ое по порядку простое число, через Pk,n = pn, pn+1, . . . ,pn+k−1 множество простых чисел с n-го по (n + k − 1)-ое, N =pn ·pn+1 · · · pn+k−1. Определим задачу отделимости L
k,n = Lk,nyes, Lk,nno :
• Lk,nyes = am | m ≡ 0 (mod N) ,
• Lk,nno = am | m (mod p)j ∈
[pj8 ,
3pj8
]∪[5pj8 ,
7pj8
]для более чем
2k3 различных pj из множества Pk,n.
125
Используя китайскую теорему об остатках можно показать, чтокак L
k,nyes, так и L
k,nno содержат бесконечное множество слов.
Теорема 3. Для произвольного n ∈ Z+ существует ККА, име-ющий 2k состояний, который решает задачу отделимости L
k,n содносторонней ограниченной ошибкой 1
3 .
Теорема 4. Любой ВКА, решающий задачу отделимости Lk,n с
ограниченной ошибкой, имеет Ω(k(n+ k) logn) состояний.Теорема 5. Для любого n > 0 существует ВКА Pk,n с O(k(n+
k) log(n + k)) состояниями, решающий задачу отделимости Lk,n с
односторонней ограниченной ошибкой 13 .
Теорема 6. Для любого n > 0 любой ДКА, решающий задачу
отделимости Lk,n, имеет Ω(n log(n))
k3 состояний.
Теорема 7. Для любого n > 0 существует ДКА Dk,n, имеющий
O((n+ k3 ) log(n+ k
3 ))k3 состояний, который решает задачу отдели-
мости Lk,n ∈ Fn.Доказанные оценки для ВКА и ДКА являются почти точными.
При выборе n = 2k мы имеем экспоненциальное преимущество какККА над ВКА, так и ВКА над ДКА.
Список литературы1. Трахтенброт Б. А., Барздинь Я. М. Конечные автоматы. По-
ведение и синтез. — М.: Наука, 1970.2. Moore C., Crutchfield J. P. Quantum Automata and Quantum
Grammars // Theoretical Computer Science. — 2000. — 237 (1–2) —P. 275–306.
О РЕАЛИЗАЦИИ МУЛЬТИПЛЕКСОРНОЙ ФУНКЦИИСХЕМАМИ КОНТАКТНОГО ТИПА,
ВЛОЖЕННЫМИ В ЕДИНИЧНЫЕ КУБЫ
Е. Л. Довгалюк (Москва)
В настоящее время распространенной моделью реализации функ-ций алгебры логики (ФАЛ) являются различные схемы контактно-го типа. Во многих случаях для эффективного использования схемнеобходима их геометрическая реализация, то есть вложение в неко-торую геометрическую структуру. В данной работе в качестве такойструктуры используется единичный многомерный куб.
126
Рассмотрим так называемые гомеоморфные вложения некоторыхграфов в единичные кубы, при которых ребро вкладываемого графаможет переходить в цепочку ребер того графа, в который происходитвложение, а также их модификации — квазигомеоморфные вложе-ния.
В данной работе исследуется квазигомеоморфное вложение неко-торых схем контактного типа, реализующих мультиплексорнуюфункцию в единичный куб минимально возможной размерности.
Из ранее полученных в [1] результатов следует, что квазиго-меоморфное вложение древовидной двоичной решающей диаграммыс "подводкой" переменных, реализующей мультиплексорную функ-цию от n переменных в единичный куб возможно при размерностикуба, равной n + 8. В данной работе эта оценка была значитель-но улучшена и доведена до n + 3. Построено вложение контакт-ной схемы, реализующей мультиплексорную функцию с асимпто-тически минимальной сложностью, которое оставляет свободнымигораздо большее число вершин куба, чем при использовании древо-видной BDD.
Определим основные понятия, связанные с реализацией ФАЛ иих гомеоморфными вложениями в единичный куб (те понятия, ко-торые в данной работе не определяются, см., например, в [2]).
Определение. Двоичная решающая диаграмма (BDD) от БПx = (x1, . . . , xn) — это ориентированный ациклический графΣ = Σ(x) с одним истоком, в котором каждому стоку приписы-вается либо 0, либо 1, а каждой вершине, отличной от стока, при-писывается БП xi, i ∈ 1, . . . , n, и предполагается, что из такойвершины выходит 2 ребра, одно из которых помечено символом 0, адругое — символом 1.
При этом BDD, в которых вершины, соответствующие выходнымзначениям 0, сходятся к одному стоку, а все вершины, соответству-ющие выходным значениям 1 — к другому, будем называть 2-BDD.
Пусть B = 0, 1 и Bn — единичный n-мерный куб.Определение. Мультиплексорная функция порядка n — это
функция вида
µn(x1, . . . , xn, y0, . . . , y2n−1) =∨
α=(α1,...,αn)∈Bn
xα11 · . . . · xαn
n · yν(α),
где первые n переменных называются адресными, оставшиеся 2n —информационными, а значение функции равно значению той ее ин-формационной переменной, номер которой поступил на адресныевходы.
127
Реализуем мультиплексорную функцию с помощью древовиднойBDD и древовидной 2-BDD Σn и Σn соответственно. Рассмотримтакже реализующую ее асимптотически оптимальную по сложностиконтактную схему Kn, которая описана в [3].
Определение. Подразбиением первого типа графа G называет-ся любой граф G, получающийся из G в результате замены его реберпростыми цепями, которые не имеют общих внутренних вершин ине проходят через вершины графа G. При этом неориентированные(ориентированные) ребра заменяются цепями из неориентированных(соответственно, ориентированных в том же направлении) ребер.
Определение. Гомеоморфным вложением графа G′ в граф G′′
называется отображение, задающее изоморфизм некоторого подраз-биения первого типа G′ графа G′ на граф G′′ — основной подграфвложения, который либо является подграфом графа G′′, либо можетбыть получен из такого подграфа в результате придания ориентациинекоторой части его неориентированных ребер.
Определение. Подразбиением второго типа графа G называ-ется любой граф G, получающийся из G в результате замены еговершин связными графами, которые не имеют общих вершин и ре-бер как друг с другом, так и с графом G. При этом ребра графа G,ведущие в вершины, замененные связными графами, в новом графеведут к любой вершине соответствующего графа.
Определение. Квазигомеоморфным вложением графа G′ в графG′′ называется отображение, задающее изоморфизм некоторого гра-фа G′, полученного с помощью применения подразбиений первого ивторого типов к графу G′, на граф G′′ (основной подграф), которыйлибо является подграфом графа G′′, либо может быть получен изнего в результате придания ориентации некоторой части его неори-ентированных ребер.
Определение. Квазигомеоморфным вложением BDD Σ в графG′′ с подводкой переменных — это квазигомеоморфное вложениеBDD Σ, при котором вершины, соответствующие переменнной xi(i ∈ 1, . . . , n) соединены неориентированными ребрами так, чтобыони образовывали связный неориентированный граф, не имеющийобщих ребер с основным подграфом G′′.
Пусть R(G) — минимальная размерность единичного куба, до-пускающего квазигомеоморфное вложение некоторого графа G, аR(Σ) — минимальная размерность единичного куба, допускающе-го квазигомеоморфное вложение с подводкой переменных некоторойBDD Σ.
128
Справедливы следующие утверждения:Теорема 1. Для любого n > 2 выполняется равенство R(Σn) =
n+ 3.Теорема 2. Для любого n > 2 выполняются неравенства:
n+ 2 6 R(Σn) 6 n+ 3.
Теорема 3. Для любого n > 8 выполняется неравенствоR(Kn) 6 n+ 2, причем существует такое вложение в куб размер-ности n + 2, при котором остаются свободными 2n − 448 вершинкуба.
Список литературы1. Седелев О. Б. О реализации функций алгебры логики схемами
из функциональных элементов, вложенными в единичный куб //Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. — 2008. —1. — С. 44–50.
2. Ложкин С. А. Лекции по основам кибернетики. — М.: Изда-тельский отдел ВМК МГУ, 2004.
3. Власов Н. В. О сложности мультиплексорных функций в неко-торых классах схем. — Дисс. канд. физ.-мат. наук. — М.: 2013
ИЕРАРХИЯ ДЛЯ ДВУСТОРОННИХВЕРОЯТНОСТНЫХ АВТОМАТОВ
Р. Н. Ибрагимов (Казань)
В данной работе рассматривается известная модель — двусторон-ние вероятностные автоматы. В частности, рассматривается вопросиерархии классов сложности по количеству состояний для вероят-ностной версии двусторонних неоднородных автоматов, описанныхв работе [2]. С одной стороны, такая модель является близкой к мо-дели OBDD, а с другой — вбирает специфику автоматов. В данноймодели рассматривается вычисление булевой функции, по аналогиис моделью OBDD, это можно трактовать как вычисление характе-ристической функции языка, распознаваемого автоматом. Заметим,что ранее иерархии по количеству состояний для вероятностных мо-делей не рассматривались. В данной работе развиты подходы, при-мененные в работах [1, 3].
Полученные результаты. Определим классы языков, относитель-но которых будет построена иерархия.
129
Определение. 2PSIZE(d) — класс языков, распознаваемых дву-сторонним неоднородным вероятностным автоматом размера d.
Был получен следующий результат .Теорема 1. Пусть d : N → N отличная от константы функция,
такая что d2(n) < n. Тогда 2PSIZE
(⌊√(d+9)/13−2
4(8+3 log t)
⌋)
( 2PSIZE (d) .
Для доказательства теоремы используются свойства булевойфункций Shuffled Address Function 2-SAFw [2]. Сначала представимнеобходимые условия представимости языка двусторонним автома-том.
Необходимое условие вычисления автоматом булевой функции.Рассмотрим булеву функцию f = f(X) и разбиение π = (XA, XB)переменных X . Для каждого фиксированного набора σ будем рас-сматривать отображение ρ : XA → σ. Подфункция f |ρ над перемен-ными из множества XB получается из функции f фиксированиемпеременных из множества XA в соответствии с отображением ρ.
Обозначим за Nπ (f) количество различных подфункций, полу-чаемых при рассмотрении всех возможных σ.
Рассмотрим множество Θ всех возможных перестановок чисел от1 до n. Для θ = (j1, ..., jn) обозначим через Xθ,u множество перемен-ных (xj1 , ..., xju).
Через Π(θ) обозначим множество разбиений Π(θ) = π : π =
(Xθ,u, X \Xθ,u), где 1 ≤ u ≤ n.Определение. Количеством подфункций для порядка θ ∈ Θ для
булевой функции f назовем величину Nθ(f) = maxπ∈Π(θ)Nπ(f).
Заметим, что если id = (1, ..., n) и f — характеристическая фукн-ция языка L, то величина N id(f) совпадает с рангом языка L (коли-чеством классов эквивалентности отношения ≡L).
Свойства функции 2-SAFw.Лемма 1 [2]. Для целого w = w(n), удовлетворяещего неравен-
ству 2w(2w+⌈log 2w⌉) < n, выполняется неравенство N(2-SAFw) ≥ww−2.
Лемма 2 [2]. Существует 2КА A размера 13w+4, распознающийязык, характеристической функцией которого является функция2-SAFw.
Матричное представление 2ВА. Пусть L — язык, распознаваемыйдвусторонним вероятностным автоматом A, а f(x) — характеристи-ческая функция языка L. Для оценки количества подфункций функ-ции f(x) воспользуемся коммуникационным подходом представле-ния работы автомата.
130
Определим матрицу MA (σ, γ), описывающую работу автомата Aна входном слове v = (σ, γ) в соответствии с разбиением π:
MA (σ, γ) =
[0 MA(σ)
0 I2 0MA(γ) 0
],
где I2 — единичная 2 × 2 матрица; MA (σ) — (d+ 1) × d матрица,которая описывает работу автомата на σ (компонент (i, j) определя-ет вероятность перехода в конфигурацию bj+d+3 из конфигурации biраньше, чем в любую другую конфигурацию br, r ≥ d+3); MA (γ) —d× (d+ 3) матрица, которая описывает работу автомата на γ (ком-понент (i, j) определяет вероятность перехода в конфигурацию bj изконфигурации bi+d+3 раньше, чем в любую другую конфигурациюbr, r ≤ d+ 3).
Заметим, что сумма элементов в каждой строке матриц MA (σ)и MA (γ) равна единице.
Определение. Числа a и b называются β-близкими по модулюλ, если a ≤ λ и b ≤ λ или β−1 ≤ a
b ≤ β.Лемма 3. Пусть M — множество всех возможных попар-
но не β− близких по модулю λ матриц размера d × d′. То-
гда |M| ≤⌈−2 log λlog β
⌉d·d′.
Определение. Пусть P — марковская цепь. Обозначим вероят-ность попадания в поглощающее состояние через a (P ).
Определение. Пусть P — марковская цепь. Обозначим матема-тическое ожидание числа шагов до попадания в поглощающее состо-яние через t (P ).
Лемма 4. Пусть P , P ′ — две марковские цепи с m состояниями
и a (P ) ≥ 12 + ε. Пусть t = max (t (P ) , t (P ′) ,m), λ = ε2
256t3 и β =
2m
√1+ε+ε2
1+ε . Тогда если P и P ′ β-близки по модулю λ, то a (P ′) ≥12 + ε/4.
Теорема 2. Если язык L распознается 2ВА A с ε-изолированнойточкой сечения и математическим ожиданием числа шагов авто-
мата t, то N(f) ≤⌈
4d(8+3 log t)log(1+2ε)(1+ε)
⌉(d+1)2
.
Используя приведенные верхние оценки и свойства функции2-SAFw, мы можем доказать теорему 1.
По лемме 1, лемме 2, теореме 2 получаем, что 2-SAFd ∈2PSIZE (13d+ 4) и 2-SAFd 6∈ 2PSIZE
(⌊ √d+1−2
4(8+3 log t)
⌋).
131
Список литературы1. Dwork C., Stockmeyer L. A time complexity gap for two-way
probabilistic finite-state automata // SIAM Journal on Computing. —19 (6). — 1990. — P. 1011–1023.
2. Khadiev K., Yakaryilmaz A. New size hierachies for two-waynon-uniform automata // Sixth Workshop on Non-Classical Models ofAutomata and Applications (NCMA 2014) Short Papers. — 2014. —P. 13–18.
3. Хадиев К. Р., Ибрагимов Р. Н. Иерархия для двухстороннихдетерменированных и недетерменированных автоматов // Дискрет-ные модели в теории управляющих систем: IX Международная кон-ференция, Москва и Подмосковье, 20–22 мая 2015 г — М.: МАКСПресс, 2015. — C. 252–254.
О ПОРЯДКЕ РОСТА МОЩНОСТИ ПЛОСКИХ СХЕМДЛЯ ЗАМКНУТЫХ КЛАССОВ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Г. В. Калачев (Москва)
Плоская схема — это схема из функциональных элементов, уло-женная на плоскость так, чтобы каждому входу и выходу соответ-ствовала некоторая сторона клетки, в которой находится элемент.Таким образом, в такой схеме могут использоваться любые функци-ональные элементы, у которых в сумме не более четырех контактов.Понятие плоской (клеточной) схемы ввел Кравцов С. С. в работе [1]и показал, что порядок площади плоских схем, реализующих булевыфункции от n переменных, равен 2n.
Мы в качестве меры сложности будем рассматривать максималь-ную, а также среднюю мощность схемы. Под мощностью схемымы будем понимать электрическую мощность, потребляемую схемой(эта величина также называется активностью схемы). В работе [2]было показано, что порядок функции Шеннона мощности плоскихсхем, реализующих функции от n переменных, равен 2n/2.
В этой работе исследуется порядок функции Шеннона среднейи максимальной мощности плоских схем для класса монотонныхфункций, и как следствие получаются порядки функции Шеннонадля всех замкнутых классов.
Чтобы сформулировать результаты, введем несколько определе-ний. Рассмотрим плоскую схему K, реализующую булеву функциюот n переменных. Входы схемы K, а также выходы всех ее элементов
132
назовем узлами схемы K. Функцию, реализуемую схемой K обозна-чим fK .
Потенциалом схемы K на наборе x назовем количество узловсхемы K, принимающих значение 1, когда на вход схемы поданнабор x. Будем обозначать эту величину uK(x). Максимальным
потенциалом схемы K назовем величину U(K) = maxx∈0,1n
uK(x).
Максимальным потенциалом булевой функции f назовем величи-ну U(f) = min
K:fK=fU(K). Cредним потенциалом схемы K назовем
величину
UP (K) =1
2n
∑
x∈0,1n
uK(x).
Средним потенциалом булевой функции f назовем величинуUP (f) = min
K:fK=fUP (K).
Введем функцию Шеннона для среднего и максимального потен-циала функций из класса F от n переменных:
UF(n) = maxf∈F∩P2(n)
U(f), UF (n) = maxf∈F∩P2(n)
U(f).
За M будем обозначать класс монотонных функций.Теорема 1. При n → ∞ справедливы соотношения UM (n) ≍
2n/2
4√n, UM (n) ≍ 2n/2
n3/4 .
Здесь стоит отметить, что в отличие от P2 для класса монотонныхфункций средняя и максимальная мощность отличаются по порядку.
Из результатов для класса монотонных функций и для P2 можнополучить порядок мощности для всех замкнутых классов. Чтобысформулировать этот результат, разобьем все замкнутые классы на4 множества.
R =P2, T0, T1, T01, S, S01, Iµ, Iµ1 , I
∞, I∞1 , Oµ, Oµ0 , O∞, O∞
0 ;RM =M,M0,M1,M01, SM,MIµ,MIµ1 ,MI∞,MI∞1 ,
MOµ,MOµ0 ,MO∞,MO∞0 ;
RL =K,K0,K1,K01, L, L0, L1, L01, SL,D,D0, D1, D01;RC =U, SU,MU,U0, U1, U01, C, C0, C1.
Обозначения замкнутых классов взяты из [3].Теорема 2. Если F — замкнутый класс, то есть 4 случая.
133
1. Если F ∈ R, то UF (n) ≍ UF (n) ≍ 2n/2 при n→ ∞.
2. Если F ∈ RM , то UF (n) ≍ 2n/2
4√n, UF (n) ≍ 2n/2
n3/4 при n→ ∞.
3. Если F ∈ RL, то UF (n) ≍ UF (n) ≍ n при n→ ∞.
4. Если F ∈ RC , то UF (n) ≍ UF (n) = O(1).Таким образом, все замкнутые классы делятся на 4 группы. По-
рядок мощности в любом замкнутом классе либо такой же, как вP2, либо как в классе монотонных функций, либо линейный, либоконстантный.
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководи-телю д.ф.-м.н., профессору Э. Э. Гасанову за постановку задачи инаучное руководство.
Список литературы1. Кравцов С. С. О реализации функций алгебры логики в одном
классе схем из функциональных и коммутационных элементов //Проблемы кибернетики. Вып. 19. — М.: Наука, 1967. — С. 285–293.
2. Калачев Г. В. Порядок мощности плоских схем, реализую-щих булевы функции // Дискретная математика. — 2014. — Т. 26,вып. 1. — С. 49–74.
3. Угольников А. Б. Классы Поста. Учебное пособие. — М.: Изда-тельство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им.М. В. Ломоносова, 2008.
О ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ СЛОЖНОСТИ ЧИСЕЛПРИ РЕАЛИЗАЦИИ СХЕМАМИ
ИЗ ЕДИНИЧНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
О. М. Касим-Заде (Москва)
В данной работе рассматривается известная задача о синтезе иде-ализированных электрических схем наименьшей сложности из еди-ничных сопротивлений. Имеется неограниченный запас электриче-ских сопротивлений одинаковой величины, скажем, 1 Ом (единицаизмерения сопротивления не важна, далее опускаем ее наименова-ние). Строятся двухполюсные схемы: выводы сопротивлений произ-вольным образом присоединяются друг к другу и к двум внешнимизажимами — полюсам схемы; требуется создать между полюсами за-данное сопротивление R. Сопротивление схемы отыскивают по из-вестным формальным правилам электротехнических расчетов (за-коны Кирхгофа и Ома) [1].
134
Сопротивление всякой схемы из единичных сопротивлений вы-ражается рациональным числом, и, наоборот, всякое (неотрицатель-ное) рациональное число выражает сопротивление некоторой схе-мы. Под сложностью схемы понимается число содержащихся в нейединичных сопротивлений. Схема называется минимальной, еслине существует схемы меньшей сложности с тем же сопротивлени-ем. Сложность минимальной схемы с сопротивлением R, называетсясложностью числа R и обозначается через L(R). Задача состоит втом, чтобы для всякого рационального числа R > 0 найти величи-ну L(R) (в более сильном варианте — найти для R хотя бы однуминимальную схему). Эта задача в обоих вариантах представляетсявесьма трудной. Какие-либо алгоритмы ее решения с существенноменьшей трудоемкостью, чем полный перебор схем к настоящемувремени не известны. Хотя задача известна давно — по крайней ме-ре с середины 1930-х годов [2, задача 60], она еще весьма далека отокончательного решения. Существующие методы синтеза позволяютполучать лишь верхние оценки сложности, минимальность соответ-ствующих схем, как правило, остается под вопросом [1–3].
До последнего времени точные значения сложности были из-вестны для небольшого количества конкретных рациональных чи-сел (найдены перебором), и лишь для двух бесконечных последо-вательностей: всех натуральных чисел и всех чисел, обратных кнатуральным. Для всякого натурального n выполняются равенстваL(n) = L(n−1) = n, причем для каждого из чисел n, n−1 существу-ет единственная минимальная схема: в первом случае это n после-довательно соединенных единичных сопротивлений, во втором — nсопротивлений, соединенных параллельно (математический фольк-лор).
В данной работе предложен метод, позволяющий при некоторыхусловиях получать точные значения сложности для различных бес-конечных последовательностей чисел. В частности, с его помощью вработе найдены точные значения сложности всех рациональных чи-сел, выражающихся дробями с числителями или знаменателями ≤ 6.Предлагаемый метод основан на некоторых утверждениях, представ-ляющих самостоятельный интерес.
Для любого рационального числа R > 1 имеет место очевидноенеравенство L(R) ≤ L(R− 1) + 1. Оказывается, что для достаточнобольших, в некотором смысле, чисел R это неравенство обращаетсяв равенство.
Теорема 1. Если рациональное число R > 1 удовлетворяет усло-вию L(R) < 4R, то L(R) = L(R− 1) + 1.
135
Теорема 2. Если рациональное число R0 > 0 удовлетворяетусловию L(R0) < 4R0 + 3, то для всякого натурального числа kимеет место равенство L(R0 + k) = L(R0) + k.
Таким образом, как только удается установить точное значениесложности некоторого удовлетворяющего указанным условиям чис-лаR0, автоматически становятся известными точные значения слож-ности всей последовательности чисел R0, R0 + 1, R0 + 2, R0 + 3, . . ..
Числовую последовательность f(1), f(2), f(3), . . . будем называтьлинейно-периодической, если найдутся такие неотрицательные числаT (период) и s, что f(x + T ) = f(x) + 1 для всякого x ≥ s + 1; наи-меньшее возможное s называется предпериодом последовательности.Такая последовательность записывается в виде [f(1), . . . , f(s)](f(s+1), . . . , f(s+ T )) (при s = 0 квадратные скобки опускаем).
Для всякого n обозначим через Ln последовательность значенийсложности дробей с одинаковым знаменателем n, упорядоченных повозрастанию числителя: L(1/n), L(2/n), L(3/n), . . .
Теорема 3. При любом фиксированном n последовательностьLn является линейно-периодической с периодом n.
При этом можно показать, что для всякого n предпериод после-довательности Ln не превосходит n2/3− 1.
Найдены в явном виде: L1 = (1); L2 = (2, 1); L3 = (3, 3, 1); L4 =(4, 2, 4, 1); L5 = [5](4, 4, 5, 1, 5); L6 = [6](3, 2, 3, 5, 1, 5). Таким образом,установлены точные значения сложности всех рациональных чисел,выражающихся обыкновенными дробями со знаменателем n ≤ 6.
Все осуществленные выше построения можно провести в некото-ром смысле двойственным образом.
Теорема 1′. Если число R < 1 удовлетворяет условию L(R) <
4R−1, то L(R) = L((R−1 − 1)−1) + 1.Теорема 2′. Если обыкновенная дробь m/n удовлетворяет усло-
вию L(m/n) < 4n/m+3, то для любого натурального числа k имеетместо равенство L(m/(n+ km)) = L(m/n) + k.
Для всякого натурального числа m обозначим через Lm беско-нечную последовательность значений сложности всех обыкновенныхдробей c числителем m, упорядоченных по возрастанию знаменате-ля: L(m/1), L(m/2), L(m/3), . . .
Теорема 3′. При любом фиксированном m последовательностьLm является линейно-периодической с периодом m.
Можно показать, что для всякого m предпериод последователь-ности Lm не превосходит m2/3− 1.
Последовательности Lm вычислены для всех m ≤ 6. Оказалось,
136
что при всех n ≤ 6 последовательности Ln и Ln совпадают. Неиз-вестно, совпадают ли эти последовательности при всех n.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект14–01–00598) и Программы фундаментальных исследований ОМНРАН «Алгебраические и комбинаторные методы математической ки-бернетики и информационные системы нового поколения» (проект«Задачи оптимального синтеза управляющих систем»).
Список литературы1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Элек-
трические цепи. — М.: Высш. шк., 1996.2. 400 задач. Избранные задачи из журнала “American Mathema-
tocal Monthly”. — М.: Мир, 1977.3. Касим-Заде О. М. О сложности схем из единичных сопро-
тивлений и о некоторых свойствах чисел Фибоначчи // Тр. МИАНим. В. А. Стеклова. — 1997. — Т. 218. — С. 233–247.
О ЗАДЕРЖКЕ ФУНКЦИЙ k-ЗНАЧНОЙ ЛОГИКИВ КОНЕЧНЫХ БАЗИСАХ
А. В. Кочергин (Москва)
В работе исследуется глубина и задержка функций k-значной(k ≥ 2) логики при реализации схемами из функциональных элемен-тов над произвольным конечным базисом. Под базисом понимаетсяпроизвольное множество функций k-значной логики, такое, что егозамыкание относительно операции суперпозиции совпадает с множе-ством всех функций k-значной логики.
Под глубиной схемы понимается максимальное число функци-ональных элементов в ориентированных цепях, ведущих от какого-либо входа схемы к еe выходу. Глубиной функции f над базисом B,обозначаемой через DB(f), называется минимальная глубина схем,реализующих функцию f над базисом B. Функцией Шеннона глу-бины над базисом B называется функция DB(n), определяемая прилюбом натуральном n соотношением DB(n) = maxDB(f), где мак-симум берется по всем функциям f , зависящим от n переменных.
Пусть каждому функциональному элементу Φi базиса B соответ-ствует некоторое положительное число ti. Величину ti будем назы-вать задержкой элемента Φi над базисом B. Под задержкой цеписхемы будем понимать сумму задержек составляющих ее элементов.
137
Задержкой схемы над базисом B, обозначаемой через TB(S), назы-вается максимальная задержка цепи, ведущей от некоторого входасхемы S к ее выходу. Задержкой функции f над базисом B будем на-зывать величину TB(f) = minTB(S), где минимум берется по всемсхемам S над базисом B, реализующим функцию f . Функцией Шен-нона для задержек над базисом B называется функция TB(n), опре-деляемая при всех натуральных n равенством TB(n) = maxTB(f),где максимум берется по всем функциям k-значной логики f , зави-сящим от n переменных.
Заметим, что если задержка каждого функционального элементабазиса B равна единице, то задержка всякой схемы над базисом Bсовпадает с глубиной этой же схемы.
В работе [1] установлена асимптотика функции Шеннона глуби-ны для произвольного базиса функций двузначной (k = 2) логики:доказано, что для всякого конечного базиса B функций двузначнойлогики при n→ ∞ выполняется соотношение
DB(n) ∼ βn,
где β = (log2m)−1 и m — максимальное число существенных пере-менных у функций из базиса B.
В работе [2] установлено, что для всякого конечного базиса Bфункций k-значной (k > 2) логики существует такая положительнаяконстанта αB , что при n→ ∞ выполняется соотношение
DB(n) ∼ αBn.
Показано, что константа αB представляется в виде αB = logk λB,где λB является алгебраическим числом. Указан алгоритм нахож-дения по произвольному конечному базису B функций k-значнойлогики многочлена с целыми коэффициентами, максимальным дей-ствительным корнем которого является число λB.
Для функций двузначной логики в работе [1] установлена асимп-тотика и функции Шеннона для задержек: показано, что для произ-вольного конечного базиса B функций двузначной логики и любыхположительных задержек базисных элементов при n→ ∞ выполня-ется соотношение
TB(n) ∼ γn,
где γ = mini (ti
log2mi), ti — задержка элемента Φi, а mi — число
существенных переменных у базисной функции fi, соответствующейэлементу Φi.
138
Результатом данной работы является следующее утверждение.Теорема. При любом натуральном k, k ≥ 3, для произвольно-
го конечного базиса B функций k-значной логики и любых положи-тельных задержек базисных элементов существует такая поло-жительная константа τB, что при n → ∞ выполняется соотно-шение
TB(n) ∼ τBn.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 14-01-00598) и Программы фундаментальных исследований ОМН РАН«Алгебраические и комбинаторные методы математической кибер-нетики и информационные системы нового поколения» (проект «За-дачи оптимального синтеза управляющих систем»).
Список литературы1. Лупанов О. Б. О схемах из функциональных элементов с за-
держками // Проблемы кибернетики. Вып. 23. — М.: Наука, 1970. —С. 43–81.
2. Кочергин А. В. О глубине функций k-значной логики в конеч-ных базисах // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. — 2013. —1. — С. 56–59.
ОБ УТОЧНЕНИИ НЕКОТОРЫХМОЩНОСТНЫХ НИЖНИХ ОЦЕНОК
В. В. Кочергин, Д. В. Кочергин (Москва)
Рассматриваются асимптотические нижние оценки схемнойсложности для двух неклассических с точки зрения реализации бу-левых функций вычислительных моделей.
1. Схемная сложность булевых функций.Асимптотическая постановка задачи о сложности реализации бу-
левых функций связана с изучением поведения той или иной функ-ции Шеннона при растущем значении ее натурального аргумента.О. Б. Лупановым найдена асимптотика функции Шеннона для слож-ности булевых функций во всех основных модельных классах управ-ляющих систем (см., например, [1]; там же можно найти все необ-ходимые определения). В частности, для схем из функциональныхэлементов, построенных из элементов произвольного конечного пол-ного базиса установлены оценки
139
ρB2n
n
(1 + (1 + o(1))
log n
n
)≤ LB(n) ≤ ρB
2n
n
(1 + (3 + o(1))
log n
n
),
где LB(n) — функция Шеннона для базиса B, состоящего из функ-ций ϕi, имеющих вес и число существенных переменных pi иmi соот-ветственно, ρB = min pi/(mi − 1) (минимум берется по функциямиз базиса, имеющим не менее двух существенных переменных), а за-пись log x здесь и далее означает log2 x. Отметим, что нижняя оценкавеличины LB(n) выводится стандартным мощностным методом.
С. А. Ложкиным в работе [2] дано краткое схематичное описаниеметода, позволяющего следующим образом усилить верхнюю оцен-
ку: LB(n) ≤ ρB2n
n
(1 + (1 + κB + o(1)) log nn
), где κB = 1 в случае,
когда базис B симметричный [2], и κB = 0 в остальных случаях.В тезисах [3] анонсировано получение верхней оценки LB(n) ≤
ρB2n
n
(1 + (1 + o(1)) log nn
), которая вместе с мощностной нижней
оценкой дает равенство
LB(n) = ρB2n
n
(1 + (1 + o(1))
logn
n
). (1)
При этом стоит заметить, что доказательство заявленной верхнейоценки, насколько известно авторам, до сих пор не опубликовано.
2. Сложность сборки слов схемами конкатенации.Для функции Шеннона сложности получения слов схемами кон-
катенации [4] выявлена возможность усиления аналога мощностнойнижней оценки из соотношения (1).
Дадим определение схем конкатенации, немного отличающеесяот определения из [4]. Пусть операция конкатенации (склейки в од-но слово) mi двоичных слов (наборов) имеет вес (стоимость) pi идоступно множество B операций конкатенации с числом аргумен-тов m1, . . . ,ms. Cхемы конкатенации над множеством операций Bбудем рассматривать как схемы из функциональных элементов, са-ми схемы имеют два входа, на которые подаются символы 0 и 1,а элементам схемы соответствуют операции из множества B. Подсложностью Lc(S) схемы конкатенации S понимается сумма весовэлементов схемы. Положим LcB(α) = minLc(S), где минимум беретсяпо всем схемам конкатенации, реализующим двоичное слово α надмножеством операций B. Соответсвующая функция Шеннона опре-деляется стандартным образом: LcB(n) = maxLcB(α), где максимумберется по всем двоичным словам α длины n.
При аккуратном применении известных методов можно получитьследующие нижнюю и верхнюю оценки:
140
ρBn
logn
(1+(1+o(1)) log lognlogn
)≤ LcB(n) ≤ ρB
nlog n
(1+(2+o(1)) log lognlog n
),
где ρB = min pi/(mi − 1).Здесь мощностная нижняя оценка имеет такой же вид, что и
нижняя оценка из соотношения (1) (с точностью до изменения ло-гарифма количества реализуемых объектов с 2n на n). Однако, какпо-существу показано в [4], в отличие от случая реализации булевыхфункций для задачи о сложности сборки слов схемами конкатенациинижняя оценка может быть усилена:
Теорема 1. При n→ ∞ справедливо равенство
LcB(n) = ρBn
logn
(1 + (2 + o(1))
log logn
logn
).
Отметим, что теорема 1 естественным образом обобщается наслучай схем конкатенации над произвольным конечным алфавитом.
3. Сложность возведения в степень.Для задачи об эффективном возведении в степень [5, раздел 4.6.3]
обозначим через l(xn) миниальное число операций умножения, до-статочное для вычисления по переменной x степени xn (результа-ты промежуточных вычислений можно использовать многократно).Положим l(n) = max l(xk), где максимум берется по всем k, не пре-восходящим n.
А. Брауэр доказал (см., например, [5, раздел 4.6.3, теорема D])верхнюю оценку
l(xn) ≤ logn+ lognlog logn
(1 + (2 + o(1)) log log logn
log log n
),
которая вместе с очевидной нижней оценкой l(xn) ≥ logn устанав-ливает асимптотику роста величины l(xn) при n→ ∞.
П. Эрдеш усилил (см., например, [5, раздел 4.6.3, теорема E])нижнюю оценку, показав, что для любого ε > 0 при всех достаточнобольших n выполняется неравенство
l(n) ≥ logn+ (1− ε) log nlog logn .
Эта нижняя оценка состоит из двух слагаемых — первое присут-ствует в нижней оценке сложности возведения в любую степень и«отвечает» за величину показателя степени, а второе (мощностное)слагаемое имеет место для почти всех показателей степени и «отве-чает» за «структуру» числа n.
Возникает вопрос — можно ли мощностную составляющую ниж-ней оценки для величины l(n) усилить хотя бы до вида, аналогичногонижней оценке из формулы (1), т. е. верно ли соотношение
141
l(n) ≥ logn+ lognlog logn
(1 + (1 + o(1)) log log logn
log logn
)?
Этот вопрос оказался весьма непростым. Тем не менее в этомнаправлении получено следующее продвижение.
Теорема 2. Пусть n→ ∞. Тогда l(n)−(logn+ logn
log logn
)→ ∞.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 14–01–00598.
Список литературы1. Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управля-
ющих систем. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.2. Ложкин С. А. Оценки высокой степени точности для сложно-
сти управляющих систем из некоторых классов // Математическиевопросы кибернетики. Вып. 6. — М.: Наука, 1996. — С. 189–214.
3. Ложкин С. А. Асимптотические оценки высокой степени точно-сти для сложности реализации булевских функций схемами из функ-циональных элементов // Труды II Международной конференции«Дискретные модели в теории управляющих систем» (23–28 июня1997 г.) — Москва: Диалог-МГУ, 1997. — С. 37–39.
4. Кочергин В. В., Кочергин Д. В. Уточнение асимптотическогоповедения сложности сборки слов схемами конкатенации // Вестн.Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. — 2016, 2. — С. 12–18.
5. Кнут Д. Е. Искусство программирования, т. 2. 3-е изд. — М.:Издательский дом «Вильямс», 2000.
О НЕМОНОТОННОЙ СЛОЖНОСТИФУНКЦИЙ k-ЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ
В.В. Кочергин, А. В. Михайлович (Москва)
Исследуются различные обобщения известных теорем А. А. Мар-кова [1, 2] об инверсионной сложности систем булевых функций.
Пусть Pk (k ≥ 2) — множество всех функций k-значной логики,M — класс всех функций из Pk, монотонных относительно порядка0 < 1 < . . . < k − 1.
Предметом изучения является сложность реализации функцийk-значной логики схемами из функциональных элементов над бази-сами B, имеющими вид: B = M ∪ ω1, . . . , ωs, где ωi ∈ Pk \ M ,
142
i = 1, . . . , s, причем функциям из множества M приписан нулевойвес, а функциям ω1, . . . , ωs — ненулевой (как правило, единичный).
Определим немонотонную сложность IB(S) схемы S над бази-сом B стандартным образом как суммарный вес элементов схемы S.В случае, когда все немонотонные функции базиса имеют одинако-вый вес, который без ограничения общности можно считать единич-ным, величина IB(S) равна числу немонотонных элементов схемы S.
Немонотонную сложность над базисом B функции k-значнойлогики f (системы функций F ) определим как минимальную немо-нотонную сложность схем, вычисляющих над базисом B функ-цию f (систему функций F ). Для немонотонной сложности функ-ции f (системы функций F ) будем использовать обозначение IB(f)(соответственно, IB(F )).
ОбозначимEk = 0, 1, . . . , k−1. Последовательность α1, α2, . . . , αrнаборов из множества Enk назовем цепью отноcительно порядка0 < 1 < . . . < k − 1, если все наборы αi = (αi1, . . . , αin) различны ивыполняются неравенства αij ≤ αi+1,j , i = 1, . . . , r − 1, j = 1, . . . , n.
Пусть f(x1, . . . , xn) ∈ Pk. Упорядоченную пару наборов α =
(α1, . . . , αn) и β = (β1, . . . , βn), α, β ∈ Enk , будем называть обрывомдля функции f , если αj ≤ βj для всех j = 1, . . . , n, но при этом
f(α) > f(β).Обрывом для системы функций будем называть любую пару на-
боров, являющуюся обрывом хотя бы для одной функции системы.Под падением dC(F ) системы F ⊂ Pk на цепи C будем понимать
число обрывов для сиcтемы F на парах соседних наборов цепи C.Спад d(F ) системы F определим равенством d(F ) = max dC(F ),
где максимум берется по всем цепям C.Теорема 1 [А. А. Марков, 1957–1963]. Пусть k = 2, B0 =
M ∪ x. Тогда для любой конечной системы F ⊂ P2 выполняет-ся равенство
IB0(F ) = ⌈log2(d(F ) + 1)⌉ .Для формулировки обобщений этой теоремы потребуются допол-
нительные определения.Для произвольной функции f(x1, . . . , xn) ∈ Pk и произвольной
цепи C наборов из Enk введем величину uC(f) как наибольшую дли-
ну t подпоследовательности β1, . . . , βt последовательностиC, удовле-творяющей условию f(β1) > f(β2) > . . . > f(βt). Положим u(f) =maxuC(f), где максимум берется по всем цепям C наборов из Enk .
143
Теорема 2. Для любого базиса B, имеющего вид B = M ∪ω1, . . . , ωs, ωi ∈ Pk \M, i = 1, . . . , s, где все монотонные функцииимеют нулевой вес, а функции ω1, . . . , ωs — положительные весаp(ω1), . . . , p(ωs)„ найдется такая константа c(B), что для любойконечной системы F функций из Pk верны неравенства
p(ωj)⌈logu(ωj)(d(F ) + 1)
⌉−c(B) ≤ IB(F ) ≤ p(ωj)
⌈logu(ωj)(d(F ) + 1)
⌉,
где функция ωj ∈ B определяется из соотношения
u(ωj)1/p(ωj) = max
u(ω1)
1/p(ω1), . . . , u(ωs)1/p(ωs)
.
Следующее утверждение устанавливает невозможность исполь-зования в теореме 2 вместо c(B) абсолютной константы.
Теорема 3. Для любого k ≥ 2 и для любого заданного значенияN найдутся функция gN ∈ Pk и базис BN ⊂ Pk, все монотонныефункции которого имеют нулевой вес, а немонотонные — единич-ный, такие что выполняется неравенство
⌈logu(BN )(d(gN ) + 1)
⌉− IBN (gN) > N.
Для случая булевых функций теоремы 2 и 3 установлены в [3].Далее рассматриваются такие базисы в Pk: BP =M ∪ NP (x) и
BL =M∪NL(x), где NP (x) — отрицание Поста, т. е. функция x+1(mod k), а NL(x) — отрицание Лукасевича, т. е. функция k − 1 − x.В этих базисах веса немонотонных функций считаем единичными.
Теорема 4. Для любой конечной системы F функций k-значнойлогики справедливы равенства
IBP (F ) = ⌈log2(d(F ) + 1)⌉ , IBL(F ) = ⌈logk(d(F ) + 1)⌉ .
Стандартным образом определим функции Шеннона немонотон-ной сложности функций от n переменных и сложности систем изm функций от n переменных над базисом B:
IB(n) = maxf∈Pk(n)
IB(f), IB(n,m) = maxF=f1,...,fm: fj∈Pk(n)
IB(F ).
Положим
T (k, n) = (k − 1)n−⌊(k − 1)n
k
⌋+ 1 = (k − 2)n+
⌈nk
⌉+ 1.
144
Теорема 5. Для любых n и m, n ≥ 1, m ≥ 2, верны равенства
IBP (n) = ⌈log2 T (k, n)⌉ , IBP (n,m) = ⌈log2((k − 1)n+ 1)⌉ ;
IBL(n) = ⌈logk T (k, n)⌉ , IBL(n,m) = ⌈logk((k − 1)n+ 1)⌉ .В заключение перейдем к задаче об обычной сложности (когда
под сложностью LB(f) функции f понимается минимально возмож-ное число всех элементов при реализации функции f схемами надбазисом B) функций из Pk в бесконечных базисах BP и BL.
Теорема 6. Для любой функции f ∈ Pk при k ≥ 2 выполняетсяравенство
LBL(f) = 2 logk(d(f) + 1) +O(1),
а при k ≥ 3 — равенство
LBP (f) = 3 log3(d(f) + 1) +O(1).
Данное научное исследование (14–01–0144) выполнено при под-держке Программы «Научный фонд НИУ ВШЭ» в 2014/2015 гг. Ра-бота первого автора выполнена при частичной финансовой поддерж-ке РФФИ, проект 14–01–00598.
Список литературы1. Марков А. А. Об инверсионной сложности систем функций //
ДАН СССР. — 1957. — Т. 116, 6. — С. 917–919.2. Марков А. А. Об инверсионной сложности систем булевых
функций // ДАН СССР. — 1963. — Т. 150, 3. — С. 477–479.3. Кочергин В. В., Михайлович А. В. О сложности схем в базисах,
содержащих монотонные элементы с нулевыми весами // Приклад-ная дискретная математика. — 2015. — 4 (30). — С. 24–31.
О НИЖНЕЙ ОЦЕНКЕ СЛОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИСИСТЕМЫ ВСЕХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
СИММЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КЛАССЕРАЗДЕЛИТЕЛЬНЫХ КОНТАКТНЫХ СХЕМ
Е. Г. Красулина (Москва)
В работе рассматривается задача о реализации системы всех эле-ментарных периодических симметрических функций контактными
145
разделительными схемами. Определение контактной схемы можнонайти в работе [1].
Контактную схему назовем (1, k)-полюсником, если в ней естьнекоторый полюс, называемый входом, и k полюсов, называемых вы-ходами. Обычно с (1, k)-полюсниками связывают систему из k функ-ций, каждая из которых реализуется между входом и некоторым вы-ходом. (1, k)-полюсник назовем разделительным, если проводимостьмежду любыми двумя его выходами тождественно равна нулю.
Функция алгебры логики называется симметрической, если онане изменяется ни при какой перестановке своих переменных. Из это-го определения следует, что симметрическая функция f(x1, . . . , xn),равная единице на наборе α = (α1, . . . , αn), равна единице и на вся-ком наборе, имеющем столько же единиц, сколько их содержитсяв α. Число a называется рабочим числом симметрической функцииf , если f равна единице на (всяком) наборе, имеющем a единиц.Каждой симметрической функции f(x1, . . . , xn) поставим в соответ-ствие последовательность πf = (π0, π1, . . . , πn) из нулей и единицдлины n+1 — характеристическую последовательность, определя-емую следующим образом: πa = 1, если a является рабочим числомфункции f , и πa = 0 в противном случае. Будем говорить, что сим-метрическая функция f(x1, . . . , xn) является периодической с пери-одом τ = (τ0, τ1, . . . , τd−1) (или имеет период τ), если для ее харак-теристической последовательности πf = (π0, π1, . . . , πn) выполненоусловие: πkd+i = τi (k = 0, 1, . . . , [n/d] , i = 0, 1, . . . , d − 1), то естьхарактеристическая последовательность πf является периодическойс периодом τ (без предпериода). Число d называется длиной пери-ода. Такую функцию будем обозначать символом T τn . Периодиче-скую симметрическую функцию назовем элементарной периодиче-ской, если она представима в виде T τn и ее период τ содержит ровноодну единицу. Для этой функции будем использовать также обозна-чение T d,an .
Первые результаты о сложности реализации симметрическихфункций были получены Шенноном в работе [2]. В этой работе былапостроена контактная схема, реализующая систему всех элементар-ных симметрических функций, и число контактов в этой схеме неболее n(n+ 1).
О. Б. Лупанов в работе [3] показал, что совокупность d функ-ций T d,0n , T d,1n , . . . , T d,d−1
n от n переменных может быть реализованаодним и тем же разделительным (1, d)-полюсником, имеющим не бо-лее d(2n− d+ 1) контактов.
146
Будем рассматривать реализацию системы всех элементарныхпериодических симметрических функций в классе разделительныхконтактных схем. Вопрос разделительных контактных схем изучал-ся в работе Мура [4], где была доказана минимальность разделитель-ного контактного дерева.
Теорема. Если контактная схема реализует все элементарныепериодические симметрические функции T d,0n , T d,1n , . . . , T d,d−1
n от nпеременных с периодом d и является разделительным (1, d)-
полюсником, то в этой схеме должно быть не меньше dn− d(d−3)2
вершин и не меньше dn− (d−1)(d−2)2 контактов.
Список литературы1. Лупанов О. Б. О синтезе некоторых классов управляющих си-
стем // Проблемы кибернетики. Вып. 10. — М.: Физматгиз, 1963. —С. 63–97.
2. Shannon С. Е. The synthesis of two-terminal series parallelnetworks // Bell Syst. Techn. J. — 1949. — Vol. 28, 1. — P. 59–98.(Русский перевод в сб. Шеннон К. Работы по теории информации икибернетике. — М.: ИЛ., 1963. — С. 59–101.)
3. Лупанов О. Б. К вопросу о реализации симметрических функ-ций алгебры логики контактными схемами // Проблемы кибернети-ки. Вып. 15. — М.: Наука, 1965. — С. 85–99.
4. Edward F. Moore. Minimal complete relay decoding networks //IBM Journal. November 1960. — P. 525–531. (Русский перевод в сб.Кибернетический сборник (старая серия). — М.: ИЛ., 1963. — 6. —С. 139–152.)
ТОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ШЕННОНАДЛЯ СЛОЖНОСТИ КОНТАКТНЫХ СХЕМ
ОТ ПЯТИ ПЕРЕМЕННЫХ
С.А. Ложкин, М.С. Шуплецов, В. А. Коноводов,Б. Р. Данилов, В. В. Жуков, Н.Ю. Багров (Москва)
Построение минимальных и близких к ним схем в заданной мо-дели дискретных управляющих систем является актуальной зада-чей математической кибернетики. Каталоги или библиотеки такихсхем находят свое применение в различных алгоритмах логического
147
синтеза цифровых схем (см., например, [1]). Первые каталоги ми-нимальных контактных схем (КС), реализующих функции алгебрылогики (ФАЛ) от малого числа переменных, появились еще в 1950-хгг. Так, например, в статье [2], в книге [3] и работе [4] приведенытаблицы верхних оценок контактной сложности для всех типовыхФАЛ четырех переменных (всего 402 функции).
В [5] Г. Н. Поваровым с помощью построения схем было уста-новлено, что одна ФАЛ из этих 402 требует не более 14 контактов,четыре ФАЛ — не более 13 контактов, а остальные — не более 12 кон-тактов. Затем В. Л. ван дер Пуль [6] построил для первой из этихфункций схему с 13 контактами. Ю. Л. Васильев [4], взяв за осно-ву каталоги из работ Г. Н. Поварова [5], Игоннэ и Греа [7], указалминимальные значения всех функций от четырех переменных. ТриФАЛ имели сложность 12, и две — 13. Позднее в работе В. Ю. Сусо-ва [8] каталог Ю. Л. Васильева был уточнен, и было доказано, чтосложность 13 имеет только одна функция от четырех переменных.
В работе К. Шеннона [9] было доказано, что для реализации лю-бой ФАЛ от 5 переменных в классе контактных схем достаточно 30контактов. Позднее, Г. Н. Поваров [10] уточнил эту оценку до 28 кон-тактов, используя метод каскадов и полученные ранее результатыдля ФАЛ от четырех переменных. В. Ю. Сусовым [8] была найденаФАЛ от 5 переменных, контактная сложность которой не меньше 19.
Пусть X = x1, . . . , xn, . . . — счетный алфавит входных пере-менных, а P2(n) — множество всех ФАЛ от переменных x1, . . . , xn.Обозначим через UK класс (1,1)-КС от переменных из алфавита X .Сложностью L(Σ) КС Σ, Σ ∈ UK , называется общее число контактовв этой схеме, а сложностью L(f) ФАЛ f, f ∈ P2(n), называется ми-нимальная сложность КС Σ, реализующей ФАЛ f . Введем обычнымобразом функцию Шеннона L(n) для сложности КС:
L(n) = maxf∈P2(n)
L(f).
Основным результатом работы является следующая теорема.Теорема. Точное значение функции Шеннона для контактной
сложности ФАЛ от 5 переменных равно 19:
L(5) = 19.
Теорема была доказана в результате построения каталога минималь-ных и близких к ним КС [11], найденных в результате примененияразличных алгоритмов построения КС.
148
Стоит отметить, что при построения каталога все ФАЛ от пятипеременных были разбиты на классы эквивалентности относительноопераций перестановки и инвертирования переменных, так как этиоперации не меняют структуры КС, реализующей указанные ФАЛи позволяют существенно сократить число рассматриваемых ФАЛ.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант15-01-07474.
Список литературы1. Mishchenko A., Chatterjee S., Brayton R. DAG-aware AIG
rewriting: A fresh look at combinational logic synthesis // Proc.DAC’06. — P. 532–536.
2. Polya G. J. Sur les types des propositions composes // Symb.Logik. — 1940. — 5, 3. — P. 98.
3. Синтез электронных вычислительных и управляющих систем.Пер. с англ. под ред. Шестакова В. И. — М.:, 1954.
4. Васильев Ю. Л. Минимальные контактные схемы для буле-вых функций четырех переменных // ДАН СССР. — 1959. — Т. 127,вып. 2.
5. Поваров Г. Н. Исследование контактных схем с минимальнымчислом контактов. — Дисс., ИАТ АН СССР, 1954.
6. Van der Poel W. L. Engine bijzondere onderwerpen uit deschakelalgebra // De Ingenieur (Utrecht). —1955. — V. 67, Nr. 1, blz.E. 9.
7. Higonnet R., Grea R. Etude logique des circuits electriques et dessystemes binairs. — Paris: 1955.
8. Сусов В. Ю. Два алгоритма переборного типа для синтеза ми-нимальных контактных схем и их реализация. — Дипломная работа.М.: ВМК МГУ, 1981.
9. Shannon C. E. The synthesis of two-terminal switching circuits //Bell System Techn. Journ. — 1949. — V. 28, 1. — P. 59–98.
10. Поваров Г. Н. Математико-логическое исследование синтезаконтактных схем с одним входом и k выходами // Сб. Логическиеисследования, ИАН СССР. — М.: Наука, 1959.
11. Ложкин С. А., Шуплецов М. С., Коноводов В. А., Дани-лов Б. Р. База данных "Значения функционалов сложности иизвестные оптимальные схемы из функциональных элементов иконтактные схемы для булевых функций" (Электронный ресурс:http://mks2.cmc.msu.ru/.)
12. Поваров Г. Н. Метод синтеза вычислительных и управляющихконтактных схем // Автоматика и телемеханика. — 1957. — Т. 18.2. — С. 145–162.
149
ОБ ОЦЕНКАХ ФУНКЦИЙ ШЕННОНА СЛОЖНОСТИСХЕМ В НЕКОТОРЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ БАЗИСАХ
О. В. Подольская (Москва)
В работе изучается сложность реализации булевых функций схе-мами из функциональных элементов в двух бесконечных полных ба-зисах. Первый базис состоит из линейных и антицепных функций отлюбого числа переменных. В этом базисе установлена верхняя оцен-ка сложности реализации произвольной булевой функции от n пе-ременных порядка
√n log2 n. Также в этом базисе доказана нижняя
оценка порядка√n наибольшей сложности булевых функций от n
переменных. Второй базис состоит из функций голосования и анти-цепных функций от любого числа переменных. Доказано, что в этомбазисе наибольшая сложность булевых функций от n переменных попорядку роста равна log2 n.
Базисом называется произвольное функционально полное мно-жество булевых функций. Следуя [1], будем называть базис бесконеч-ным, если он содержит функции, существенно зависящие от скольугодно большого числа переменных.
Булева функция, принимающая значение 1 лишь на попарнонесравнимых наборах, называется антицепной. Булева функцияln(x1, . . . , xn) = x1 + . . .+ xn (mod 2) называется линейной функци-ей. Булева функция mn(x1, . . . , xn), принимающая значение 1 лишьна тех наборах, в которых число единиц не меньше n/2, называетсяфункцией голосования. Функция называется симметрической, еслиона не изменяется при любой перестановке своих переменных. Слоембулева куба называется множество всех наборов куба, содержащиходинаковое количество единичных компонент. Для симметрическойбулевой функции f через k(f) обозначается количество слоев куба,на которых функция f равна 1.
Совокупность всех антицепных функций от любого числа пере-менных обозначается через AC. Множество AC образует полный ба-зис, это следует, например, из полноты содержащейся в нем системыфункций ¬,&.
Сложностью схемы называется число элементов в этой схе-ме, сложностью функции — наименьшая сложность схемы, реа-лизующей эту функцию (определение схемы и другие, используе-мые в работе понятия, см., например, в [4]). Для базиса B черезLB(S) обозначается сложность схемы S в этом базисе, через LB(f)— сложность функции f . Функцией Шеннона называется функцияLB(n) = maxLB(f), где максимум берется по всем булевым функ-циям f от n переменных.
150
Пусть две действительнозначные функции a(n) и b(n) натураль-ного аргумента при всех достаточно больших n принимают поло-жительные значения. Следуя [3], будем говорить, что порядок ростафункции a(n) не больше b(n) и обозначать это через a(n) = O(b(n)),если существует такая положительная константа c, что a(n) 6 cb(n)при всех достаточно больших n. При этом будем говорить, что по-рядок роста функции b(n) не меньше a(n), и обозначать это черезb(n) = Ω(a(n)). Если одновременно a(n) = Ω(b(n)) и a(n) = O(b(n)),то будем говорить, что порядки роста функций a(n) и b(n) равны, иобозначать это через a(n) = Θ(b(n)).
В работах [1, 2, 5–7] изучались оценки сложности схем в базисеAC. В частности, опираясь на результаты работ [1, 2, 5], в [7] былополучено точное значение сложности произвольной симметрическойбулевой функции f , зависящей от n переменных:
LAC(f) = min (k(f), n− k(f) + 2).
Тем самым в [7] были установлены точные значения сложности ре-ализации линейной функции и функции голосования от n перемен-ных: при всех n > 2 L(ln) = ⌊n+1
2 ⌋, L(mn) =⌊n2
⌋+ 1, а также со-
отношение LAC(n) = Ω(n). В [1] была установлена верхняя оценкафункции Шеннона LAC(n) 6 n+1, которая затем была усилена: в [6]доказана оценка LAC(n) 6 n. Указанные оценки функции Шеннонапозволили установить ее порядок роста в базисе AC: LAC(n) = Θ(n).
При дальнейшем исследовании возник вопрос: как изменяетсяфункция Шеннона при расширении базиса AC, в частности, при до-бавлении к этому базису функций, имеющих в нем высокую слож-ность.
Рассмотрим два полных базиса: базис ACL получается из базисаAC добавлением линейных функций от любого числа переменных,базис ACM — добавлением функций голосования от любого числапеременных.
В [7] отмечено, что в базисе AC линейные функции и функцииголосования обладают почти одинаковой и притом наибольшей попорядку роста сложностью. В данной работе показано, что в базисахACL и ACM наблюдается существенное понижение порядка ростафункции Шеннона по сравнению с базисом AC, при этом порядокроста функций Шеннона в этих базисах оказывается разным.
Установлены следующие оценки функции Шеннона в бази-се ACL.
Теорема 1. Выполнены соотношения: LACL(n) = O(√n log2 n),
LACL(n) = Ω(√n).
151
Нижняя оценка получается из доказанной в работе оценки слож-ности реализации функций голосования.
Теорема 2. Выполнено соотношение: LACL(mn) = Ω(√n).
Также установлен порядок роста функции Шеннона в бази-се ACM .
Теорема 3. Выполнено соотношение: LACM (n) = Θ(log2 n).Автор благодарит А. В. Кочергина за полезные замечания.Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 14–01–00598.
Список литературы1. Касим-Заде О. М. О сложности схем в одном бесконечном ба-
зисе // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. —1994. — 6 — С. 40–44.
2. Касим-Заде О. М. О сложности реализации булевых функцийсхемами в одном бесконечном базисе // Дискретный анализ и иссле-дование операций. — 1995. — Т. 2, вып. 1. — С. 7–20.
3. Касим-Заде О. М. О порядках роста функций Шеннона слож-ности схем над бесконечными базисами // Вестн. Московск. ун-та.Сер. 1. Математика. Механика. — 2013. — 6 — С. 55–57.
4. Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляю-щих систем. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.
5. Подольская О. В. О нижних оценках сложности схем в базисеантицепных функций // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Математика.Механика. — 2013. — 2. — С. 17–23.
6. Подольская О. В. Об оценках сложности схем в одном беско-нечном базисе // Материалы IX Молодежной научной школы по дис-кретной математике и ее приложениям (16–23 сентября 2013 г.). —С. 97–100.
7. Подольская О. В. Сложность реализации симметрических бу-левых функций схемами в базисе антицепных функций // Дискрет-ная математика. — 2015. — Т. 27, вып. 3. — С. 95–107.
152
О ЕДИНИЧНЫХ ДИАГНОСТИЧЕСКИХ ТЕСТАХДЛЯ СХЕМ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В НЕКОТОРЫХ БАЗИСАХ
К. А. Попков (Москва)
Рассматриваются задачи синтеза легкотестируемых схем изфункциональных элементов, реализующих заданные булевы функ-ции. Логический подход к тестированию схем предложен С. В. Яб-лонским и И. А. Чегис в [1]. Пусть имеется схема S, реализующаяфункцию f(xn), где xn = (x1, . . . , xn). Под воздействием некоторо-го источника неисправностей один или несколько элементов схемы Sмогут перейти в неисправное состояние. В результате схема S вместоисходной функции f(xn) будет реализовывать некоторую функциюg(xn), вообще говоря, отличную от f . Все такие функции g(xn), полу-чающиеся при всевозможных допустимых неисправностях элементовсхемы S, называются функциями неисправности данной схемы.
Проверяющим (диагностическим) тестом для схемы S называ-ется такое множество T входных наборов данной схемы, что по зна-чениям схемы на этих наборах можно однозначно определить, реа-лизует ли схема S «правильную» функцию f или же какую-то функ-цию неисправности, отличную от f (соответственно, какую именнофункцию реализует схема S). Число наборов в T называется длинойтеста. В качестве тривиального диагностического (и проверяющего)теста длины 2n для схемы S всегда можно взять множество T , состо-ящее из всех двоичных наборов длины n. Тест называется полным,если в схеме могут быть неисправны сколько угодно элементов, иединичным, если в схеме может быть неисправен только один эле-мент. Единичные тесты обычно рассматривают для неизбыточныхсхем [2], в которых любая допустимая неисправность любого одногоэлемента приводит к функции неисправности, отличной от исходнойфункции, реализуемой данной схемой.
Пусть зафиксирован вид неисправностей элементов, B — произ-вольный функционально полный базис и T — единичный диагно-стический тест (ЕДТ) для некоторой схемы S. Введем следующиеобозначения: DB(T ) — длина теста T ; DB(S) = minDB(T ), где ми-нимум берeтся по всем ЕДТ T для схемы S; DB(f) = minDB(S),где минимум берeтся по всем неизбыточным схемам S в базисе B,реализующим функцию f ; DB(n) = maxDB(f), где максимум берeтся по всем функциям f от n переменных, для которых определе-но значение DB(f). Функция DB(n) называется функцией Шеннонадлины ЕДТ.
153
Будем рассматривать схемы в базисахB0 = &,∨,¬,B1 = &,⊕,1, 0 и B∗
1 = ∨,∼, 0, 1, а в качестве неисправностей элементов —однотипные константные неисправности типа p на выходах элемен-тов, при которых значение на выходе любого неисправного элементастановится равно заданной булевой константе p. Для удобства в ка-честве нижнего индекса у буквы D будем ставить символ «0» или«1» в случаях p = 0, p = 1 соответственно.
С использованием идей С. В. Яблонского по аналогии с дока-зательством [2, т. 9, с. 113] можно показать, что DB
p (n) . 2n
n дляp = 0, 1 и любого функционально полного конечного базиса B. Н. П.Редькиным в [3] были получены оценки DB0
p (n) 6 2n+ 1, p = 0, 1.Рассмотрим классический базис B0. Выделим два возможных
представления функции f :
f(xn) = xi, (a)
где i ∈ 1, . . . , n;f(xn) = K1 ∨ . . . ∨Km, (b)
где m > 1 и каждое слагаемое Kj , j = 1, . . . ,m, имеет вид либо xij ,либо xij , либо xijxi′j для некоторых ij , i′j ∈ 1, . . . , n, ij 6= i′j .
Теорема 1. Для любой функции f(xn), отличной от тожде-ственной единицы, справедливо равенство
DB01 (f) =
0, если f представима в виде (a),
1, если f представима в виде (b), но не в виде (a),
2, если f не представима в виде (b).
Если же f ≡ 1, то значение DB01 (f) не определено.
Следствие 1. Справедливо равенство DB01 (n) = 2.
По принципу двойственности из теоремы 1 и следствия 1 нетруд-но получить двойственные им результаты для случая p = 0, в част-ности,
Следствие 2. Справедливо равенство DB00 (n) = 2.
Доказательства теоремы 1, следствия 1 и двойственных им ре-зультатов даны в [4]. Следствия 1 и 2 уточняют оценки DB0
p (n) 6
2n+ 1 для p = 0, 1 из [3].Рассмотрим теперь базис Жегалкина B1. Будем считать, что кон-
станты 0 и 1, содержащиеся в этом базисе, подаются со входов схемы,
154
не являются элементами и, соответственно, не могут быть неисправ-ны. Выделим ещe два возможных представления функции f :
f(xn) = 0, 1 или xi, (c)
где i ∈ 1, . . . , n;f(xn) = L1& . . .&Lm, (d)
где m > 1 и каждый множитель Lj , j = 1, . . . ,m, имеет вид либо xij ,либо xij , либо xij ⊕ xi′j для некоторых ij, i′j ∈ 1, . . . , n, ij 6= i′j.
Теорема 2. Для любой функции f(xn) справедливо равенство
DB10 (f) =
0, если f представима в виде (c),
1, если f представима в виде (d), но не в виде (c),
2, если f не представима ни в одном из видов (c), (d).
Следствие 3. При n > 2 справедливо равенство DB1
0 (n) = 2.По принципу двойственности из теоремы 2 и следствия 3 нетруд-
но получить двойственные им результаты для случая p = 1 и бази-са B∗
1 , в частности,
Следствие 4. При n > 2 справедливо равенство DB∗
11 (n) = 2.
Список литературы1. Чегис И. А., Яблонский С. В. Логические способы контроля
работы электрических схем // Труды МИАН. — 1958. — Т. 51. —С. 270–360.
2. Редькин Н. П. Надежность и диагностика схем. — М.: Изд-воМГУ, 1992.
3. Редькин Н. П. О единичных диагностических тестах для одно-типных константных неисправностей на выходах функциональныхэлементов // Вестник Московского университета. Серия 1. Матема-тика. Механика. — 1992. — 5. — С. 43–46.
4. Попков К. А. О точном значении длины минимального единич-ного диагностического теста для одного класса схем // ПрепринтыИПМ им. М.В.Келдыша. — 2015. —74. — 21 с. Электронный адрес:http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2015-74
155
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ И АНАЛИЗУПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ
М. А. Рачинская, М. А. Федоткин (Н. Новгород)
Объект исследования работы — система управления m ≥ 2 по-токами Πj , j = 1, 2, . . . ,m случайных заявок. Предполагается, чтопоступление заявок в систему по потоку Πj (здесь и далее пола-гаем j ∈ 1, 2, . . . ,m, если не указано иное) происходит группами(пачками). При этом интенсивность пуассоновского поступления па-чек — параметр λj , а произвольная пачка может состоять из одной,двух или трех заявок с вероятностями pj , qj и sj соответственно(pj + qj + sj = 1). Такие неординарные пуассоновские потоки бы-ли подробно изучены в [1]. В работе изучается случай, когда по-ступление заявок по различным потокам происходит независимымобразом и, кроме того, различные потоки имеют различный прио-ритет и интенсивность. Так, поток Π1 — низкоинтенсивный поток свысоким приоритетом, Π2, . . . ,Πm−1 — низкоинтенсивные потоки снизким приоритетом, а Πm — высокоинтенсивный поток с низкимприоритетом.
Изучаемая система, помимо функции управления потоками,несет функцию обслуживания заявок этих потоков. Рассматривает-ся так называемые конфликтные потоки: обслуживание заявок раз-личных потоков должно происходить в непересекающиеся интерва-лы времени. Кроме того, системе необходимо время на осуществ-ление переналадочных работ при переходе от обслуживания заявокодного потока к обслуживанию заявок другого. В связи с этим и сучетом особенностей различных потоков, в устройстве, осуществля-ющем обслуживание заявок, выделено 2m+1 состояние. В состояниивида Γ(2j−1), j ∈ 1, 2, . . . ,m − 1, с интенсивностью µj происходитобслуживание только заявок потока Πj ; в состоянии переналадкиобслуживающего устройства (ОУ) вида Γ(2j), j ∈ 1, 2, . . . ,m − 1,только завершается обслуживание заявок потока Πj , новое обслу-живание не начинается. Обслуживание заявок высокоинтенсивногопотока Πm (и только его) происходит в состояниях Γ(2m−1) и Γ(2m) синтенсивностями µm и µ′
m соответственно. В свою очередь, заверше-ние обслуживания заявок потока Πm и переналадка ОУ происходитв состоянии Γ(2m+1). Предполагается, что в любом состоянии Γ(k),k ∈ 1, 2, . . . , 2m + 1, ОУ находится в течение времени Tk, а затемпроисходит переключение состояния согласно алгоритму со следую-щим графом переходов:
156
...Г(1) Г(2) Г(3)
Г(2m-2)Г(2m)Г(2m+1)
Г(2m-1)
①①
②
②
Здесь переходы вида 1© совершаются в случае, если количествозаявок в очереди ожидания по потоку Π1 достигло фиксированнойвеличины H1, в противном случае осуществляется переход типа 2©.
Для того, чтобы построить адекватную модель такой управляю-щей системы, рассмотрим ее с точки зрения кибернетического под-хода Ляпунова-Яблонского. Согласно такому подходу схема любойуправляющей кибернетической системы может быть описана с по-мощью нескольких структурных блоков. Во-первых, это входные по-люса. В нашей системе входные полюса представлены потоками Πj(1 ≤ j ≤ m). Выделяется также внешняя память, в качестве ко-торой в системе выступают накопители Oj (1 ≤ j ≤ m) заявоксоответствующих потоков, поступивших в систему и вынужденныхожидать обслуживания. Накопители функционируют согласно дис-циплине FIFO. Устройство по переработке информации внешнейпамяти представлено в изучаемой системе экстремальной страте-гией обслуживания: в состоянии обслуживания потока Πj из оче-реди Oj выбирается на обслуживание как можно большее количе-ство имеющихся заявок, но не превышающее величины lj = [µjT2j−1](1 ≤ j ≤ m) или l′m = [µ′
jT2m] — пропускной способности устройствав соответствующем состоянии. Устройство обслуживания представ-ляет блок внутренней памяти, а алгоритм смены его состояний —устройство по переработке информации внутренней памяти. По-следним блоком являются выходные полюса — потоки Π′
j (1 ≤ j ≤ m)обслуженных заявок. По аналогии с работой [2] в изучаемой управ-ляющей системе выделяется информация, координаты и функция.
Задав основные свойства исследуемой системы, можем перейтик кодированию информации о системе и нелокальному описаниюструктурных блоков. При этом существенную роль играет фунда-ментальный принцип кибернетического подхода — принцип дискрет-ности актов функционирования системы. Итак, вводятся следующие
157
основные случайные величины: τi, i = 0, 1, . . ., — случайный моментпереключения состояния ОУ; Γi ∈ Γ = Γ(k); 1 ≤ k ≤ 2m+1 — состо-яние ОУ на промежутке [τi, τi+1); ηj,i — число заявок, поступивших всистему по потоку Πj в промежутке [τi, τi+1); æj,i ∈ 0, 1, . . . — чис-ло заявок, находящихся в очереди по потоку Πj в момент времени τi;ξ′j,i — число обслуженных в промежутке [τi, τi+1) заявок потока Πj .В терминах введенных величин можно формализовать условия пере-ходов по представленному выше графу: 1© выражается неравенствомæ1,i + η1,i ≥ H1, а 2© — неравенством æ1,i + η1,i < H1. Наибольшийинтерес представляет динамика изменения количества заявок в оче-реди ожидания, а также количество обслуженных заявок по потокамΠ1 и Πm. Применение кибернетического подхода позволило доказатьтеорему, открывающую возможности для применения в дальнейшемисследовании аппарата теории цепей Маркова.
Теорема. Последовательность
(Γi,æ1,i,æm,i, ξ′1,i−1, ξ
′m,i−1); i = 0, 1, . . .,
с начальным распределением вектора (Γ0,æ1,0,æm,0, ξ′1,−1, ξ
′m,−1) яв-
ляется однородной цепью Маркова.Работа выполнена в ННГУ при финансовой поддержке госбюд-
жетной темы 01201456585 "Математическое моделирование и анализстохастических эволюционных систем и процессов принятия реше-ний" и государственной программы "Поддержка ведущих универси-тетов РФ в целях повышения их конкурентоспособности среди веду-щих мировых научно-образовательных центров".
Список литературы1. Fedotkin M., Rachinskaya M. Parameters estimator of the prob-
abilistic model of moving batches traffic flow // Distributed Computerand Communication Networks. Ser. Communications in Computer andInformation Science. 2014. — V. 279. — P. 154–168.
2. Рачинская М. А., Федоткин М. А. Подход Ляпунова—Яблонского при построении и исследовании модели управляю-щих систем обслуживания конфликтных потоков // Материа-лы XVII международной конференции "Проблемы теоретическойкибернетики"(16–20 июня 2014 г.). — Казань: Отечество, 2014. —C. 280–282.
158
ОБ ОЦЕНКАХ ФУНКЦИЙ ШЕННОНА ДЛИНЫ ТЕСТАОТНОСИТЕЛЬНО КОНСТАНТНЫХ НЕИСПРАВНОСТЕЙ
Д. С. Романов, E. Ю. Романова (Москва)
Под длиной минимального проверяющего (диагностического) те-ста для булевой функции или системы функций f , реализованной спомощью СФЭ в базисе B, относительно источника неисправностейU понимается величина Ldetect
B (U, f) (соответственно, LdiagnB (U, f)),
равная минимуму по всем неизбыточным реализующим f СФЭ S вбазисе B минимума длины теста T по всем проверяющим (соответ-ственно диагностическим) тестам T для S относительно U . Пусть
P2(n) — множество всех булевых функций, существенно зависящихот всех своих n переменных. Функцией Шеннона длины проверяю-щего (диагностического) теста для реализованной с помощью СФЭв базисе B булевой функции f относительно источника неисправно-стей U называется величина Ldetect
B (U, n) = maxf∈P2(n)
LdetectB (U, f) (со-
ответственно, величина LdiagnB (U, n) = max
f∈P2(n)LdiagnB (U, f)) (см. [1]).
Обозначение для источника неисправностей будет иметь вид Xyz , где
X — это одна или несколько заглавных латинских букв, указываю-щих на место возможной неисправности (P — неисправности на вхо-дах схем, I — неисправности на входах функциональных элементов(ФЭ), O — неисправности на выходах ФЭ), y — это название типанеисправности (const, 0, 1 — константные неисправности: произволь-ные, типа 0 и типа 1 соответственно, inv — инверсные неисправно-сти), z указывает на максимальное число возможных неисправно-стей (нижний индекс отсутствует, если ограничений нет). Приведемкраткий обзор работ, в которых получены невысокие верхние оцен-ки функций Шеннона длин тестов для СФЭ без введения допол-нительных входов и выходов (n всюду далее по умолчанию произ-вольное натуральное). В работе [2] фактически было доказано, чтов базисе Жегалкина B1 = x & y, x ⊕ y, 1 имеют место неравен-ства: Ldetect
B1(IOconst
1 , n) ≤ n + 3, LdetectB1
(PIOconst1 , n) ≤ 3n + 3. Бы-
ло установлено, что LdiagnB0
(O01 , n) = Ldiagn
B0(O1
1 , n) ≤ 2n + 1 [3], при
B∞0 = x∪ ⋃
i≥2
x1& · · ·&xi, x1∨· · ·∨xi имеет место: LdiagnB∞
0(O0
1 , n) =
LdetectB∞
0(O1
1 , n) ≤ 2⌈log2 n + 1⌉ + 1 [4]. Доказано, что в произвольном
полном базисе B: LdetectB (Oinv
1 , n) ≤ 3 [5], LdetectB (Oconst
1 , n) ≤ n+ 3 [6–
159
7], 2 ≤ LdetectB (Oconst
1 , n) ≤ 4 [15]. В базисе B1: LdetectB1
(Oinv1 , n) = 1
[8], LdetectB1
(O11 , n) = 1 [9], Ldetect
B1(O0, n) = 1 [10]. В базисе B0 =
x&y, x ∨ y, x: LdetectB0
(O0, n) = LdetectB0
(O1, n) = 2 при n > 1 [11].
Отметим, что Ldetectx|y (O
1, n) ≥ n + 1 [12]. Найдены [13, 14] примеры
полных конечных базисов B′, B′′ таких, что LdetectB′
(Oconst, n) ≤ 4,
LdetectB′′
(Oinv, n) ≤ 4. В работе [16] установлено, что LdiagnB0
(O01 , n) =
LdiagnB0
(O11 , n) = 2, причем для каждой булевой функции указана дли-
на минимального теста. Независимо один из авторов установил [17],
что LdiagnB1
(Oinv1 , n) = 1. Имеют место следующие утверждения.
Теорема 1. ∀n, n ∈ N: LdetectB1
(IOconst1 , n) ≤ 80.
Следствие. ∀n, n ∈ N: LdetectB1
(PIOconst1 , n) = 2n−2 log2 n+O(1).
Теорема 2. ∀n, n ∈ N: LdiagnB1
(Oconst1 , n) ≤ 130.
Следствие. ∀n, n ∈ N: LdiagnB1
(POconst1 , n) = 2n+O(1).
Работа выполнена в рамках проектов РФФИ 15-01-07474-а и16-01-00593-а и государственного задания Министерства образо-вания и науки РФ 2014/601 (код проекта 3106).
Список литературы1. Редькин Н. П. Надежность и диагностика схем. — М.: Изд-во
МГУ, 1992.2. Reddy S. M. Easily testable realization for logic functions // IEEE
Trans. Comput. — 1972. — Vol. 21, Iss. 1. — P. 124–141.3. Редькин Н. П. О единичных диагностических тестах для одно-
типных константных неисправностей на выходах функциональныхэлементов // Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Матем. Механика. —1992. — 5. — С. 43–46.
4. Редькин Н. П. О синтезе легкотестируемых схем в одном беско-нечном базисе // Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Матем. Механика. —2007. — 3. — С. 29–33.
5. Редькин Н. П. Единичные проверяющие тесты для схем приинверсных неисправностях элементов // Математические вопросыкибернетики. Вып. 12. — М.: Физматлит, 2003. — С. 217–230.
6. Коляда С. С. Единичные проверяющие тесты для схем изфункциональных элементов в базисах из элементов, имеющих не бо-лее двух входов // Дискретный анализ и исследование операций. —2013. — Т. 20, 2. — C. 58–74.
7. Коляда С. С. Единичные проверяющие тесты для схем изфункциональных элементов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем.
160
Мех. — 2013. — 4. — С. 32–34.8. Коваценко С. В. Синтез легкотестируемых схем в базисе Же-
галкина для инверсных неисправностей // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. — 2000. — 2. — С. 45–47.
9. Бородина Ю. В. О схемах, допускающих единичные тестыдлины 1 при константных неисправностях на выходах элементов //Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Мех. — 2008. — 5. — С. 49–52.
10. Бородина Ю. В., Бородин П. А. Синтез легкотестируемыхсхем в базисе Жегалкина при константных неисправностях типа “0”на выходах элементов // Дискретная математика. — 2010. — Т. 22,вып. 3. — С. 127–133.
11. Бородина Ю. В. О синтезе легкотестируемых схем в случаеоднотипных константных неисправностей на выходах элементов //Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. — 2008. —1. — С. 40–44.
12. Бородина Ю. В. Нижняя оценка длины полного теста в базисеx|y // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Мех. — 2015. — Т. 70,4. — С. 49–51.
13. Романов Д. С. О синтезе схем, допускающих полные прове-ряющие тесты константной длины относительно произвольных кон-стантных неисправностей на выходах элементов // Дискретная ма-тематика. — 2013. — Т. 25, вып. 2. — С. 104–120.
14. Романов Д. С. О синтезе схем, допускающих полные проверя-ющие тесты константной длины относительно инверсных неисправ-ностей на выходах элементов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл.матем. и киберн. — 2015. — 1. — С. 30–37.
15. Романов Д. С. Метод синтеза легкотестируемых схем, допус-кающих единичные проверяющие тесты константной длины // Дис-кретная математика. — 2014. — Т. 26, вып. 2. — С. 100–130.
16. Попков К. А. О точном значении длины минимального еди-ничного диагностического теста для одного класса схем. — М.: Из-дательство ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2015. 20 с.
17. Романов Д. С. Метод синтеза неизбыточных схем в базисеЖегалкина, допускающих единичные диагностические тесты длиныодин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.Физико-математические науки. — 2015. — 4. — С. 38–54.
161
АСИМПТОТИКА ДЛИНЫ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХФУНКЦИЙ ПО СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ
С. Н. Селезнева (Москва)
В работе получена асимптотика длины полиномиальных функ-ций k-значной логики при составных k.
Пусть k ≥ 2 — натуральное число, Ek = 0, 1, . . . , k − 1, иPk = f (n) : Enk → Ek | n = 0, 1, . . . — множество всех функцийk-значной логики. Функция k-значной логики называется полино-миальной, если ее можно представить каким-то полиномом по мо-дулю k. Равенство Pk = Polk, где Polk обозначает множество всехполиномиальных функций k-значной логики, справедливо тогда итолько тогда, когда k — простое число [1].
Если k — простое число, то каждая функция k-значной логикизадается однозначным полиномом по модулю k, в котором степенькаждой переменной не превосходит k − 1 [1]. При составных k од-нозначные виды полиномов одноместных полиномиальных функцийk-значной логики получены в работах [2–4]. В [5] при составных kпредложен однозначный вид полиномиальных функций k-значнойлогики, зависящих от произвольного числа переменных. Рассмотримэтот канонический вид.
Сначала пусть k = pm, где p — простое число, m ≥ 1. Опре-делим cоставную характеристику cp,m(xs) степени переменной xs,s ≥ 0, как наибольшее число t из чисел 0, 1, . . . ,m− 1,m, такое, чтонайдется полином g(x) = xs + cs−1x
s−1 + · · · + c1x = 0(mod pt) скоэффициентами c1, . . . , cs−1 ∈ Epm (по определению полагаем, чтоxs = 0(mod p0)). Из результатов работ [2, 4] следует, что cp,m(xs) =t, где t — наибольшее число из чисел 0, 1, . . . ,m − 1,m, такое, чтофакториал s! числа s делится нацело на число pt. Составной ха-
рактеристикой cp,m(K) монома K =n∏i=1
xsii , где xs — степени, т.е.
xs = 1 при s = 0, xs = x · . . . · x︸ ︷︷ ︸s
при s ≥ 1, назовем величину
min(m,n∑i=1
cp,m(xsii )).
Теорема 1 [5]. Если k = pm, где p — простое число, m ≥ 1,то каждая функция f(x1, . . . , xn) ∈ Polk задается однозначным по-
линомом по модулю k вида P (f) =l∑
j=1
cj · Kj, где Kj — мономы,
cp,m(Kj) < m, cj ∈ Ek и cj < pm−cp,m(Kj), j = 1, . . . , l.
162
Теперь пусть k = pm11 · . . . · pmr
r , где p1, . . . , pr — попарно раз-личные простые числа, m1, . . . ,mr ≥ 1, r ≥ 1. В силу необходимогоусловия полиномиальности из [6, 7] каждой функции f ∈ Polk по-ставим в соответствие однозначный набор функций (f1, . . . , fr), гдеfi ∈ Polpmi
i, i = 1, . . . , r. Тогда каждая функция f ∈ Polk задается
однозначным полиномом по модулю k вида P (f) =l∑
j=1
cjKj , в кото-
ром Kj — мономы, cj ∈ Ek является однозначным (по китайской тео-
реме об остатках) решением системы сравнений c = c(i)j (mod pmi
i ),
где c(i)j ∈ Epmii
— коэффициент, с которым моном Kj входит в поли-
ном P (fi), i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , l [8].Длиной функции f ∈ Polk назовем число попарно различных
слагаемых с ненулевыми коэффициентами в ее полиноме P (f). Вве-дем функцию Шеннона Lk(n) длины полиномиальных функций k-значной логики как наибольшую длину среди всех полиномиальныхфункций, зависящих от n переменных. Если k — простое число, тоLk(n) = kn [1].
Теорема 2. Если k = pm, где p — простое число, m ≥ 2, то
Lk(n) =1
(m−1)! · nm−1pn +Θ(nm−2pn) при n→ ∞.
Теорема 3. Если k — составное число, k = pm11 · . . . · pmr
r , гдеp1, . . . , pr — попарно различные простые числа, m1, . . . ,mr ≥ 1, r ≥2, и pi0 = max
1≤i≤rpi, p = pi0 , m = mi0 , то
Lk(n) ∼ 1(m−1)! · nm−1 · pn при n→ ∞.
Работа поддержана РФФИ, грант 16-01-00593-а.Список литературы
1. Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значной ло-гике // Труды Математического института им. В.А. Стеклова АНСССР. — 1958. — Т. 51. — С. 5–142.
2. Niven I., Warren L. J. A generalization of Fermat’s theorem //Proc. Amer. Math. Soc. — 1957. — V. 8. — P. 306–313.
3. Айзенберг Н. Н., Семйон И. В., Циткин А. И. Мощность клас-са функций k-значной логики от n переменных, представимых по-линомами по модулю k // В кн. Многоустойчивые элементы и ихприменение. — М.: Сов. радио, 1971. — С. 79–83.
163
4. Singmaster D. On polynomial functions (mod m) // J. NumberTheory. — 1974. — V. 6, is. 5. — P. 345–352.
5. Селезнева С. Н. Быстрый алгоритм построения для k-значныхфункций полиномов по модулю k при составных k // Дискретнаяматематика. — 2011. — Т. 23, вып. 3. — С. 3–22.
6. Айзенберг Н. Н., Семйон И. В. Некоторые критерии предста-вимости функций k-значной логики полиномами по модулю k // Вкн. Многоустойчивые элементы и их применение. — М.: Сов. радио,1971. — С. 84–88.
7. Мещанинов Д. Г. Метод построения полиномов для функций k-значной логики // Дискретная математика. — 1995. — Т. 7, вып. 3. —С. 48–60.
8. Селезнева С. Н. Линейная оценка схемной сложности распо-знавания полиномиальности функций над кольцом вычетов по со-ставному модулю // Вестник Московского университета. Серия 15.Вычислительная математика и кибернетика. — 2013. — 1. — С. 27–31.
О ДЛИНЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХФУНКЦИЙ k-ЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ В КЛАССЕ
ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ФОРМ
С. Н. Селезнева, М. М. Гордеев (Москва)
В работе получены необходимые и достаточные условия того, чтодлина последовательности симметрических периодических функцийс одним и тем же периодом в классе поляризованных полиномиаль-ных форм равна по порядку функции Шеннона в этом классе.
Пусть Ek = 0, 1, . . . , k − 1, где k ≥ 2 — натуральное число,Pk = f (n) : Enk → Ek | n = 0, 1, 2, . . . — множество всех функцийk-значной логики. Поляризованной полиномиальной формой (ППФ)по вектору поляризации δ = (d1, . . . , dn) ∈ Enk назовем выражениеl∑
j=1
cj(x1 + d1)mj1 · . . . · (xn + dn)
mjn , где cj ∈ Ek — коэффициенты,
mj1, . . . ,mjn ∈ Ek — степени, сложение и умножение рассматрива-ются по модулю k. Длиной l(P ) ППФ P называется число ее попарноразличных слагаемых с ненулевыми коэффициентами.
164
Если k — простое число, то каждая функция f(x1, . . . , xn) ∈ Pkпредставима однозначной ППФ P δ(f) по каждому вектору поляри-зации δ ∈ Enk . Далее считаем, что k — простое число. Длиной l(f)функции f ∈ Pk в классе ППФ называется наименьшая длина средивсех ППФ, представляющих эту функцию. Рассматривается функ-
ция Шеннона LППФk (n) длины функций k-значной логики в клас-
се ППФ как наибольшая длина в классе ППФ среди всех функций,зависящих от n переменных.
В [1] получено точное значение функции Шеннона для функций
алгебры логики: LППФ2 (n) = ⌊ 2
3 · 2n⌋. В [2] найдена верхняя оценка
функции Шеннона при k ≥ 3: LППФk (n) ≤ k(k−1)
k(k−1)+1 ·kn, которая в [3]
усилена: LППФk (n) ≤ k(k−1)−1
k(k−1) · kn. В [4] получена нижняя оценка
функции Шеннона: k−1k · kn . LППФ
k (n). В [1] построены последова-
тельности таких функций fn(x1, . . . , xn) ∈ P2, что l(fn) ≥ ⌊ 23 ·2n⌋, в [5,
6] получены последовательности таких функций fn(x1, . . . , xn) ∈ P3,что l(fn) ≥ ⌊ 3
4 ·3n⌋. Отметим, что в [1, 6] указанные последовательно-сти составлены из симметрических периодических функций с одними тем же периодом.
Периодической функцией k-значной логики f(n)τ (x1, . . . , xn) с пе-
риодом τ = (τ0, τ1, . . . , τT−1) ∈ ETk длины T ≥ 1 назовем следующую
функцию: для набора α = (a1, . . . , an) ∈ Enk верно f (n)τ (α) = τs, если
n∑i=1
ai = s (mod T ). Периодические функции явлются симметриче-
скими, т.е. не меняются при любой перестановке их переменных. От-метим, что период τ ∈ ETk задает последовательность периодических
функций f (n)τ , (n = 1, 2, . . .). Период τ ∈ ETk называется сложным,
если найдутся такое натуральное число n0 ≥ 1 и такое действитель-
ное число C > 0, что l(f(n)τ ) ≥ C · kn при n ≥ n0, и называется
вырожденным, если l(f (n)τ ) = o(kn) при n→ ∞.
Рассмотрим матрицы Ad ∈ Ek[k × k], d ∈ Ek из [7]: Ad[0,−d] = 1,Ad[0, j] = 0 при j 6= −d, Ad[i, j] = −(j + d)k−1−i при i = 1, . . . , k − 1
(считаем, что 00 = 1). Построим матрицы B(T )d,s ∈ Ek[T×T ], d, s ∈ Ek,
T ≥ k: выберем строку с номером s в матрице Ad и дополним ее спра-
ва нулями до T столбцов, в результате получим строку b(T )d,s , которая
является первой строкой матрицы B(T )d,s , а каждая следующая стро-
165
ка этой матрицы получается из предыдущей сдвигом вправо на одинэлемент.
Если τ ∈ ETk , то положим B0(τ) = τ, Bt+1(τ) = B(T )d,s σ | σ ∈
Bt, d, s ∈ Ek, t ≥ 1, и B(τ) =⋃t≥0
Bt(τ). Периоды из множества B(τ)
назовем порожденными периодами для периода τ .Теорема 1. Пусть k — простое число.1. Период τ ∈ ETk является сложным в том и только в том
случае, когда 0 /∈ B(τ), где 0 = (0, . . . , 0) ∈ ETk — нулевой период
длины T , при этом l(f(n)τ ) ≥ 1
kT · kn для всех n, начиная с некото-рого n0.
2. Период τ ∈ ETk является вырожденным в том и только в том
случае, когда 0 ∈ B(τ), где 0 = (0, . . . , 0) ∈ ETk — нулевой периоддлины T .
Следствие 1. Если k — простое число, то для произвольногопериода τ ∈ ETk верно, что либо он сложный, либо он вырожденный.
Следствие 2. Если k — простое число, то задача выяснения позаданному периоду τ ∈ ETk , он сложный или вырожденный, явля-ется алгоритмически разрешимой.
Теорема 2. Если k — простое число и T взаимно просто с k,то все ненулевые периоды τ ∈ ETk с нулевой суммой компонентявляются сложными в том и только в том случае, когда все одно-
родные системы уравнений с матрицами B(T )d,s , d, s ∈ Ek, не имеют
других решений, кроме (c, . . . , c) ∈ ETk , c ∈ Ek.Следствие 3. Если k — простое число, то задача выяснения по
заданному числу T , взаимно простому с k, все ли ненулевые пери-оды τ ∈ ETk с нулевой суммой компонет сложные, является алго-ритмически разрешимой.
Работа частично поддержана РФФИ, грант 16–01–00593-а.Список литературы
1. Перязев Н. А. Сложность булевых функций в классе полино-миальных поляризованных форм // Алгебра и логика. — 1995. —Т. 34, вып. 3. — С. 323–326.
2. Селезнева С. Н. О сложности представления функций много-значных логик поляризованными полиномами // Дискретная мате-матика. — 2002. — Т. 14, вып. 2. — С. 48–53.
3. Балюк А. С., Янушковский Г. В. Верхние оценки функций надконечными полями в некоторых классах кронекеровых форм // Из-
166
вестия Иркутского государственного университета. Серия: Матема-тика. — 2015. — Т. 14. — С. 3–17.
4. Алексеев В. Б., Вороненко А. А., Селезнева С. Н. О сложностиреализации функций k-значной логики поляризованными полинома-ми // Сб. Труды V Международной конференции «Дискретные мо-дели в теории управляющих систем» (Ратмино, 26–29 мая 2003 г.). —М.: МАКС Пресс, 2003. — С. 8–9.
5. Маркелов Н. К. Нижняя оценка сложности функций трехзнач-ной логики в классе поляризованных полиномов // Вестник Москов-ского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибер-нетика. — 2012. — 3. — С. 40–45.
6. Селезнева С. Н. Сложность систем функций алгебры логикии систем функций трехзначной логики в классах поляризованныхполиномиальных форм // Дискретная математика. — 2015. — Т. 27,вып. 1. — С. 111–122.
7. Селезнева С. Н., Маркелов Н. К. Быстрый алгоритм по-строения векторов коэффициентов поляризованных полиномов k-значных функций // Ученые записки Казанского университета. Се-рия Физико-математические науки. — 2009. — Т. 151, книга 2. —С. 151–147.
NP-ПОЛНОТА ЗАДАЧ ПРОВЕРКИ РАЗРЕШИМОСТИЛИНЕЙНЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ
И СОВМЕСТНОСТИ ИХ СИСТЕМ
М. Р. Старчак, Н. К. Косовский(Санкт-Петербург)
Для задач, NP-полнота которых доказана, неизвестен эффектив-ный (полиномиальный по числу шагов машины Тьюринга) алгоритмрешения. В некоторых случаях фиксированное значение одного изпараметров задачи позволяет построить полиномиальный алгоритм,с другой стороны, важно понимать, ограничения на какие парамет-ры оставляют задачу NP-полной.
Многие естественные задачи, встречающиеся в математическихисследованиях, допускают переформулировку в виде линейных дио-фантовых уравнений, а также в виде их систем.
NP-полнота задачи проверки совместности в неотрицательныхцелых числах систем линейных уравнений с коэффициентами из0, 1 при переменных. Обозначим L(x1, ..., xn) линейное выражение
167
вида a1x1 + ...akxk + b. Линейное уравнение будем записывать в ви-де L(x1, ..., xn) = 0. Докажем следующее усиление следствия 18.1aтеоремы 18.1 [1].
Теорема 1. NP-полна задача проверки совместности в неотри-цательных целых числах систем линейных уравнений с коэффици-ентами из 0, 1 и свободными членами, равными −1. При этом вкаждом уравнении не более трех коэффициентов при переменных,отличных от нуля.
Доказательство. Принадлежность задачи классу NP следует изследствия 18.1a [1]. Задача о 3-выполнимости при одном истинномлитерале (далее 3-ВПОИЛ) [2] полиномиально сводится к рассматри-ваемой задаче. Константы истина и ложь кодируются соответствен-но 1 и 0. Пропозициональные переменные соответствуют перемен-ным для неотрицательных целых чисел. Литералы с отрицанием ко-дируются дополнительными переменными со штрихом и дополни-тельными уравнениями вида x+x′−1 = 0. Элементарный дизъюнктвида x∨ y∨ z кодируется уравнением x+ y+ z− 1 = 0. Совместностьв неотрицательных целых числах полученной системы эквивалентнаразрешимости 3-ВПОИЛ.
Аналогично доказывается следующее по существу усиление след-ствия 18.1b [1].
Теорема 2. NP-полна задача проверки совместности в 0, 1числах систем линейных уравнений с коэффициентами из 0, 1 исвободными членами, равными −1. При этом в каждом уравнениине более трех коэффициентов при переменных, отличных от нуля.
В то же время, несложно показать, что в приведенных теоремахнельзя заменить словосочетание "не более трех" на "не более двух".Имеет место следующее
Утверждение 1. Принадлежит классу P проверка совместно-сти в неотрицательных целых числах системы линейных уравне-ний, елси в каждом уравнении не более двух коэффициентов припеременных, отличных от нуля.
Фиксирование числа переменных, как следует из результата Лен-стры (следствие 18.7a [1]), дает полиномиальный алгоритм реше-ния задачи. В то же время, для любого фиксированного числа,большего 2, ненулевых коэффициентов в каждом уравнении, задачаостается NP-полной. Как видим, количество ненулевых коэффици-ентов в уравнениях системы не есть параметр задачи, позволяющийстроить при его фиксации полиномиальные по времени алгоритмы.
NP-полнота задачи разрешимости линейных диофантовых урав-нений на отрезке. Докажем NP-полноту следующего обобщения за-дачи СУММА РАЗМЕРОВ [2] и следствия 18.1c из [1].
168
Теорема 3. Для любого невырожденного отрезка [m,m1− 1] це-лых чисел NP-полна задача разрешимости в целых числах из этогоотрезка линейных уравнений с целыми коэффициентами и отрица-тельными свободными членами.
Доказательство. Принадлежность задачи классу NP очевидна,поскольку каждая переменная принимает значения из указанногоотрезка. Воспользуемся доказательством Теоремы 1 и аналогичноему осуществим полиномиальное сведение задачи 3-ВПОИЛ к си-стеме линейных уравнений с только тремя ненулевыми коэффици-ентами. Обозначив Li(xi,1, xi,2, xi,3) = xi,1 + xi,2 + xi,3, запишем:
L1 − 3m− 1 = 0
L2 − 3m− 1 = 0...LM − 3m− 1 = 0
.
Совместность этой системы в целых числах из отрезка [m,m1−1]равносильна разрешимости на этом отрезке уравнения (L1 − 3m −1)+3m1(L2−3m−1)+...+(3m1)
i−1(LM−3m−1) = 0. Таким образом,
линейное уравнение вида∑M
i=1(3m1)i−1Li =
(3m+ 1)(3mM1 − 1)
3m1 − 1раз-
решимо на [m,m1 − 1] тогда и только тогда, когда задача 3-ВПОИЛимеет решение. Поскольку M не превосходит размера входных дан-ных, длина записи числа mM
1 не превосходит полинома от длинывходных данных.
Заключение. Результаты первой части сообщения указывает нато, что произвольное фиксированное число ненулевых коэффициен-тов при переменных в системе диофантовых уравнений не дает внастоящее время существенного уменьшения вычислительной слож-ности задачи.
Доказательство NP-полноты задачи разрешимости линейного ди-офантова уравнения на произвольном невырожденном отрезке по-казывает, что при использовании компьютерного типа integer дляпеременных, на данный момент не известен полиномиальный по вре-мени алгоритм решения этой задачи.
Список литературы1. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программи-
рования. Т.2. — М.: Мир, 1991.2. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и трудноре-
шаемые задачи. — М.: Мир, 1982.
169
АЛГЕБРАИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕКОНТАКТНЫХ СХЕМ
Ю.Г. Таразевич (Минск)
Предлагается алгебраизация класса контактных схем [1–3], пред-ставляющая матрицы инциденций [4] контактных схем как подклассспециального класса расширенных матриц (РМ) над кольцом поли-номов Жегалкина [2] (ПЖ) и позволяющая:1) полностью отойти от традиционного «наглядно-геометрического»подхода к задачам эквивалентных преобразований, анализа и син-теза контактных схем и формулировать и решать такие задачи наалгебраическом языке;2) в рамках класса РМ над кольцом ПЖ естественным образом рас-ширить класс контактных схем (т.е. «контактных графов») до ново-го нетривиального класса контактных гиперграфов (интерпретируе-мых как неориентированные двумерные «контактные полиэдры»), вкотором можно получать, в частности, новые нетривиальные оценкисложности реализации булевых функций.
1. Расширенные полиномиальные матрицы. Пусть P(n)2 и
ПЖ(n) — изоморфные кольца булевых функций и полиномов Же-галкина, зависящих от набора переменных x = (x1, . . . , xn).
Определение. Расширенной матрицей (РМ-матрицей) будемназывать произвольную непустую прямоугольную матрицу с однимвыделенным источниковым столбцом, элементами которой явля-ются произвольные полиномы Жегалкина. Класс всех РМ-матриц(любых размеров) над кольцом ПЖ(n) обозначим РМ(n). Подмат-рицу (возможно пустую), состоящую из неисточниковых столбцовРМ-матрицы, будем называть ее основной матрицей.
Определим функционирование РМ-матриц. Любой матрицеA(x) ∈ РМ(n) и любому булевому набору α ∈ 0, 1n естественным
образом сопоставляется двоичная РМ-матрица A(α) ∈ РМ(0), кото-рую можно рассматривать как расширенную матрицу (над полем0, 1) системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) [5]. Че-рез ∆A(α) обозначим разницу рангов расширенной и основной мат-рицы этой СЛАУ (в случае пустой основной матрицы ее ранг счи-
тается равным нулю). Будем говорить, что матрица A(x) ∈ РМ(n)
реализует функцию f(x) ∈ P(n)2 , если для любого набора α ∈ 0, 1n:
f(α) = ¬∆A(α) = 1−∆A(α) (1)
170
(иначе говоря, f(α) = 1, если СЛАУ с матрицей A(α) — совместна).
Замечание. Класс РМ(n) можно определить как счетно порож-денный модуль [5] над кольцом ПЖ(n). Кроме того, в классе РМ(n)
имеется полная система эквивалентных преобразований [3] (сохраня-ющих функцию (1)), обобщающая известную систему элементарныхпреобразований строк и столбцов обычных многочленных матриц [5]и позволяющая любую РМ-матрицу приводить к однозначно опре-деляемому одноэлементному каноническому виду (аналог диагона-лизации).
2. Алгебраизация контактных схем. Покажем, что класс КС(n)
всех двухполюсных контактных схем, построенных из контактов пе-ременных из набора x = (x1, . . . , xn), является, по существу, подклас-
сом класса РМ(n).Рассмотрим произвольную двухполюсную схему S(x) ∈ КС(n),
дополненную («расширенную») источниковым ребром, соединяю-щим полюса. Любой такой «расширенной» схеме (т.е. неориентиро-ванному графу без петель [4] с одним ребром — источником и осталь-ными ребрами — контактами) естественным образом сопоставляетсярасширенная двоичная матрица инциденций [4] A(x) (по две едини-цы в каждом столбце), каждый столбец которой, кроме одного (ис-точникового), помечен символом замыкающего (xi) или размыкаю-щего (xj) контакта некоторой переменной. Неисточниковые столбцыматрицы A(x) будем называть контактными столбцами.
Метки xi и xj = xj ⊕ 1 контактных столбцов матрицы инциден-ций контактной схемы естественным образом рассматриваются какполиномиальные множители своих столбцов. Тогда, умножив кон-тактные столбцы матрицы инциденций A(x) на свои метки (полино-мы Жегалкина xi или xj ⊕ 1), получим ту же матрицу инциденций,
записанную в собственно полиномиальном виде, т.е. РМ(n)-матрицу,содержащую по два одинаковых полинома xi⊕σ в каждом контакт-ном столбце и две единицы в источниковом столбце.
Следующий факт очевиден.Утверждение. Имеет место взаимно-однозначное соответ-
ствие между цепями контактов, соединяющими полюса в произ-вольной двухполюсной контактной схеме, дополненной источнико-вым ребром, и одномерными циклами [4], содержащими источнико-вое ребро этой схемы, такое, что соответствующий цикл объеди-няет соответствующую цепь и источниковое ребро.
Так как всякий цикл суть эйлеров подграф [4] (с четными сте-
171
пенями всех вершин), то легко видеть, что функция, реализуемаядвухполюсной схемой S(x), совпадает с функцией (1), реализуемой
РМ(n)-матрицей, представляющей собой (записанную в полиноми-альном виде) матрицу инциденций A(x) схемы S(x), дополненной ис-точниковым ребром. Таким образом (с учетом замечания), мы имеем
алгебраизацию класса КС(n) как подкласса класса РМ(n).
3. Обобщение контактных схем. Если в двоичных матрицах ин-циденций контактных схем (т.е. «контактных графов») снять обяза-тельное для графов ограничение — не более двух единиц в столбце, —то получим более широкий (по сравнению с КС(n)) подкласс клас-
са РМ(n) — контактные гиперграфы (КГ(n)) — с существенно болеенизкой, но все же экспоненциальной функцией Шеннона [1–3] (по
порядку 2n/2 в классе КГ(n) против 2n/n в классе КС(n)), а такжес более низкой, но все же нелинейной нижней оценкой сложностифункции Нечипорука [2] (n3/2−o(1) в классе КГ(n) против n2−o(1) для
КС(n) и формул в конечном базисе).
В итоге получаем цепочку включений КС(n) ⊂ КГ(n) ⊂ РМ(n), вкоторой РМ(n) — это «максимальный» алгебраический класс (мо-
дуль над кольцом ПЖ(n), с полной системой эквивалентных преоб-разований), а КГ(n) — нетривиальный «промежуточный» класс (сновыми оценками сложности реализации булевых функций).
Список литературы1. Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управля-
ющих систем. — М.: Изд-во МГУ, 1984.2. Нигматуллин Р. Г. Сложность булевых функций. — М.: Наука,
1991.3. Яблонский С. В. Элементы математической кибернетики. —
М.: Высш. школа, 2007.4. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. — М.: Наука,
1974.5. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1970.
172
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ СООТНОШЕНИЯГЛУБИНЫ И СЛОЖНОСТИ
ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ
Тарасов П. Б. (Москва)
В работе рассматривается задача о реализации функций k-значной логики из замкнутых классов формулами в конечных бази-сах, состоящих из функций, принадлежащих этим же классам. Всенеобходимые определения можно найти в работах [1–3].
Обозначим через Pk множество всех функций k-значной логики,а через Pk,s — множество всех функции k-значной логики, прини-мающих значения из множества Es = 0, 1, . . . , s − 1, k ≥ s ≥ 2.Пусть A — конечная система функций из Pk. Через [A] обозначимзамкнутый класс, порожденный системой A. Пусть Φ — формуланад A. Обозначим через L(Φ) (сложность формулы Φ) число симво-лов переменных, входящих в Φ, а через D(Φ) — глубину формулыΦ. Пусть f ∈ [A]. Положим DA(f) = minD(Φ), LA(f) = minL(Φ),где минимум берется по всем формулам Φ над A, реализующим f .Конечную систему функций A будем называть равномерной, еслисуществуют такие константы c и d (зависящие только от A), что длялюбой функции f ∈ [A] выполнено неравенство
DA(f) ≤ c log2 LA(f) + d.
В работах [4, 5] доказана равномерность всех конечных полныхсистем булевых функций (см. также [6]). В [7] установлена равно-мерность всех конечных систем, порождающих класс M всех моно-тонных булевых функций. В работах [8, 9] доказана равномерностьвсех конечных систем булевых функций (см. также [3]).
Ряд публикаций посвящен задаче о соотношении глубины и слож-ности формул над конечными системами функций многозначной ло-гики [10, 11].
Еще одной очень важной задачей теории управляющих системявляется задача сравнения базисов. Конечные системы функций A иB такие, что [A] = [B], называются полиномиально эквивалентными,если существуют такие константы c1 и c2, что для любой функцииf ∈ [A] выполнены неравенства
(LA(f))c1 ≤ LB(f) ≤ (LA(f))
c2 .
В работах [3, 9] доказано, что все конечные системы функций P2,порождающие один и тот же замкнутый класс, полиномиально эк-вивалентны. В той же работе приведен пример систем функций из
173
P4, порождающих один и тот же замкнутый класс и не являющихсяполиномиально эквивалентными. Примеров не полиномиально экви-валентных систем функций из P3 до настоящего времени не приводи-лось. Кроме того, не было известно примеров систем, порождающиходин и тот же замкнутый класс, часть из которых равномерна, ачасть — нет.
Обозначим через d3(x1, x2, x3) функцию x1x2 ∨ x2x3 ∨x1x3 из P2.Определим функцию f(x1, x2, x3, x4, x5, x6, y1, y2, z1, z2, z3) из P3,2
следующим образом. Пусть (α1, α2, α3, α4, α5, α6, β1, β2, γ1, γ2, γ3) ∈E11k — набор значений переменных функции f . Пусть X =
(2, 2, 2, 2, 1, 1), (2, 2, 1, 1, 2, 2), (2, 2, 1, 1, 1, 1), Y = (1, 1, 2, 2, 2, 2).Тогда
f(α, β, γ) =
β1&β2&d3(γ1, γ2, γ3), если α ∈ X и βi, γj ∈ E2;β1 ∨ β2 ∨ d3(γ1, γ2, γ3), если α ∈ Y и βi, γj ∈ E2;0, в остальных случаях.
Положим
f2(x1, x2, x3, y, z1, z2, z3) = f(x1, x1, x2, x2, x3, x3, y, y, z1, z2, z3),
A = f, A′ = f, f2.Очевидно, что [A] = [A′].
Теорема. Справедливы следующие утверждения:1) система A равномерна,2) система A′ не является равномерной,3) системы A и A′ не являются полиномиально эквивалентными.
Равномерность системы A нетрудно получить, обобщив теорему 1из работы [11]. Факт, что система A′ не является равномерной, сле-дует из теоремы 1 работы [12]. То, что системы A и A′ не явля-ются полиномиально эквивалентными, следует из двух предыдущихутверждений и определения полиномиальной эквивалентности.
Автор благодарен Р. М. Колпакову и О. С. Дудаковой за обсуж-дение результатов работы и ряд ценных замечаний.
Список литературы1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.:
Высшая школа, 2001.2. Lau D, Function Algebras on Finite Sets. — Springer-Verlag Berlin
Heidelberg, 20063. Угольников А. Б. О глубине и полиномиальной эквивалентно-
сти формул для замкнутых классов двузначной логики // Матема-тические заметки. — 1987. — Т. 42, вып. 4. — С. 603–612.
174
4. Яблонский С. В., Козырев В. П. Математические вопросы ки-бернетики. // Информационные материалы / М.: Научный совет покомплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР, 1978. — Вып. 32 —С. 76–94.
5. Spira Р. М. On time-hardware complexity tradeoffs for Booleanfunctions // Proc. 4th Hawai Symposium on System Sciences, NorthHollywood, 1971. — P. 525–527.
6. Храпченко В.М. О соотношении между сложностью и глуби-ной формул // Методы дискретного анализа в синтезе управляющихсистем. — 1978. — Вып. 32. — C. 76–94.
7. Wegener I. Relating Monotone Formula Size and Monotone Depthof Boolean Functions // Information Processing Letters. — 1983. — 16. —P. 41–42.
8. Угольников А. Б. О соотношении между глубиной и сложно-стью формул для замкнутых классов двузначной логики // IV Всесо-юзная конференция "Применение методов математической логики":тезисы докладов. Таллин. 1986. — С. 184.
9. Ragaz M. E. Parallelizable algebras // Archiv fur mathematischeLogik und Grundlagenforschung. — 1986. — 26(7) — P. 77–99.
10. Сафин Р. Ф. О глубине и сложности формул в некоторыхклассах k-значной логики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика.Механика. — 2000. — 6. — С. 65–68.
11. Тарасов П. Б. О некоторых достаточных условиях равномер-ности систем функций многозначной логики // Вестн. Моск. ун-та.Сер 1. Математика. Механика. — 2013. — 5. — C. 41–46.
12. Тарасов П. Б. Некоторые условия равномерности функций k-значной логики, принимающих значения 0 и 1 // Ученые запискиКазанского университета. — 2014. — 3. — С. 123–129.
СИНТЕЗ РАСПИСАНИЙВ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ ОБСЛУЖИВАНИЯ
МУЛЬТПОТОКА ПАКЕТОВ ОБЪЕКТОВ
М. А. Трухина (Нижний Новгород),Д. И. Коган (Москва), Ю. С. Федосенко,
А. В. Шеянов (Нижний Новгород)
Рассматривается модель обслуживания стационарным процессо-ром конечного мультипотока объектов [1, 2], поступающих в составе
175
пакетов [3]; ставятся и исследуются оптимизационные задачи оцен-ки качества расписаний обслуживания. Модель обслуживания адек-ватно описывает процессы подачи к терминалу грузовой обработкимногосекционных судовых составов [4].
Процессор P должен выполнить обслуживание мультипотока Mобъектов, прибывающих в составе пакетов O(s), s = 1, h. В при-нимаемых далее обозначениях первый индекс каждого объекта изM совпадает с номером пакета, которому объект принадлежит; вто-рой индекс объекта через порядковый номер идентифицирует еговнутри пакета. Количество объектов в пакете O(s) обозначим n(s),n(s) ≥ 1. Таким образом, каждый пакет O(s) состоит из объектовos,1, os,2, . . . , os,n(s), подлежащих однократному без прерываний об-
служиванию, s = 1, h, а общее количество n таких объектов в муль-типотоке M определяется суммой
∑hs=1 n(s). Для каждого пакета
O(s) считается известным момент ts, s = 1, h, его поступления вочередь для обслуживания процессором P . Не ограничивая общно-сти рассмотрения, полагаем 0 = t1 ≤ . . . ts . . . ≤ th. В начальныймомент времени t = 0 процессор считается свободным, находясь всостоянии готовности к выполнению обслуживания объектов подпо-тока Mg0 ∈ M . Обслуживание объектов процессором P может вы-полняться в произвольном порядке, т.е. без учета принадлежностиих тому или иному пакету. Длительность обслуживания объекта os,lопределяется значением параметра τs,l, s = 1, h, l = 1, n(s).
Каждый объект os,l характеризуется величиной g — признакомпринадлежности объекта к подпотоку Mg, g = 1,m. Если в моментпостановки на обслуживание объекта, принадлежащего подпотокуMj, j = 1,m, процессор P настроен на обслуживание объектов под-потока Mq, q = 1,m, j 6= q, то выполняется процедура переналад-ки процессора. Длительности переналадки с режима обслуживанияобъекта из подпотока Mj на режим обслуживания объекта из под-потока Mq определены квадратной матрицей H(h(j, q)), в которойh(j, q) > 0 при j 6= q и h(j, q) = 0 при j = q и j, q = 1,m. Обслужи-вание объекта реализуется процессором без прерываний; в каждыймомент времени он может обслуживать только один объект; по за-вершению обслуживания объект немедленно освобождает процессор;немотивированные простои процессора и объектов запрещены.
Пакет объектов O(s) считается обслуженным, если завершены
обслуживанием все входящие в его состав объекты os,l, l = 1, n(s),s = 1, h.
176
Стратегия обслуживания записывается как произвольная пере-становка S = ((α1, β1, ), (α2, β2), . . . , (αi, βi), . . . , (αn, βn)) двойныхиндексов всех объектов, т.е. элементов мультипотока M . При из-вестной стратегии S для каждого объекта os,l моменты tbs,l(S) и
tfs,l(S) соответственно начала и завершения обслуживания вычисля-
ются очевидным образом арифметически; обозначаемый через tfs (S)момент завершения обслуживания пакета O(s) оказывается равным
max(tfs,1(S), tfs,2(S), . . . , t
fs,n(s)(S)).
За время от момента прибытия до момента завершения обслужи-вания по пакету O(s) налагается штраф Fs(∆) = αs∆, ∆ = tfs − ts,s = 1, h, αs — величина штрафа за единицу времени пребывания па-кета в системе обслуживания. Функция Fs(∆) именуется функциейиндивидуального штрафа по пакету O(s), s = 1, h.
Рассматриваемые задачи записываются в виде.1. Построить расписание обслуживания объектов мультипото-
ка M , минимизирующее суммарный штраф по всем пакетам, т.е.
minS
h∑
s=1
Fs(tfs (S)− ts). (1)
2. Построить расписание обслуживания объектов мультипото-ка M, минимизирующее значение максимального из индивидуаль-ных штрафов по всем пакетам, т.е.
minS
(maxs=1,h
Fs(tfs (S)− ts)
). (2)
Для решения задач (1) и (2) в докладе предлагаются алгоритмы,сконструированные на основе схем динамического программирова-ния и ветвей и границ; приводятся результаты вычислительных экс-периментов по оценке быстродействия алгоритмов для практическизначимых значений параметров модели обслуживания и размерно-сти мультипотока M .
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 15–07–03141).
Список литературы1. Коган Д. И., Трухина М. А., Федосенко Ю. С., Шеянов А. В.
Модель и алгоритм синтеза стратерий обслуживания мультипотокаобъектов мобильным процессором // Системы управления и инфор-мационные технологии. — 2015. — 2. — С. 40–44.
177
2. Трухина М. А., Федосенко Ю. С., Шеянов А. В. Управлениеобслуживанием мультипотока объектов мобильным процессором //Труды IX Международной конференции “Дискретные модели в тео-рии управляющих систем” (20–22 мая 2015 г.). — М.: МАКС Пресс,2015. — С. 242–244.
3. Коган Д. И., Федосенко Ю. С. Однопроцессорное обслужива-ние потока пакетов объектов: модели и синтез оптимальных стра-тегий // Вестник МГТУ МИРЭА — М.: Изд-во МГТУ МИРЭА. —2015. — Т. II, 3. — С. 108–117.
4. Федосенко Ю. С., Трухина М. А. Каноническая модель изадача синтеза стратегий однопроцессорного обслуживания пото-ка пакетов объектов // Материалы IV Международной научно-практической конференции “Информационные управляющие систе-мы и технологии” (22–24 сентября 2015 г.). — Одесса: Изд-во Одес-ского национального морского университета, 2015. — С. 83–85.
КОНВЕЙЕРНОЕ ГЕНИРИРОВАНИЕДИСКРЕТНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
НА ОСНОВЕ РАЗЛОЖЕНИЯСТОХАСТИЧЕСКИХ МАТРИЦ
С. В. Шалагин (Казань)
Предложен метод конвейерного генерирования дискретных мар-ковских процессов (ДМП), заданных стохастическими матрицами(СМ). Метод не предполагает каких-либо ограничений ни на струк-туру СМ, ни на вид ее элементов.
Известна задача синтеза конечных цепей Маркова и их стохасти-ческих функций, задаваемых СМ. Примерно с 70-х годов XX векаизвестен метод разложения СМ на имплицирующий вектор и стоха-стические булевы матрицы [1–3]. Были предложены различные мо-дификации указанного метода, которые имеют ограничения в зави-симости как от вида элементов СМ [4], так и от структуры самойСМ [5, 6]. Предложенный в [7] и развиваемый в данной работе методразложения СМ не предполагает каких-либо ограничений ни на ееструктуру, ни на вид ее элементов.
178
Для СМ размерности l на n имеет место выражение [3]:
Pl×n =B∑
b=1
ab ·Ab, (1)
где B ≤ (n−1) · l+1, (ab) — имплицирующий вектор (ИВ), (Ab)l×n —
система стохастических булевых матриц, b = 1, B. Является актуаль-ной задача снижения верхней границы для значения B, имеющегопорядок O(n · l).
СМ Pl×n представима согласно выражению:
Pl×n =(P
(i)1×d · P d×n(i)
), i = 1, l, (2)
где p(i)1×d =(p(i)1 ...p
(i)d
), P d×n(i) =
(M
(i)1 ...M
(i)d
)·Sd, p(i)k =
∑j∈Dk
pij ,
M(i)k =
(pij/p
(i)k
)1×q
, j ∈ Dk, k = 1, d, q =]n/d[, Sk — (d×n)-матрица,
в которой k-я строка содержит значения «1», а остальные элемен-ты — значения «0», i = 1, l. Справедлива [7]
Лемма. Любая стохастическая матрица Pl×n представима со-гласно (2).
Лемма обосновывает метод конвейерного генерирования ДМП,включающий два этапа (две ступени конвейера):
1) получение дискретной случайной величины X ∈ [1, d], распреде-
ленной в соответствии со СМ Pl×d =(P
(i)1×d
)l×1
=(p(i)k
)l×d
, при
заданном значении i (начальном состоянии ДМП): i = 1, l, k = 1, d;2) генерирование значения ДМП в соответствии с одной из d СМ
P l×q(X)=(M
(i)
X
), k = 1, l, при заданном значении X, X = 1, d.
Замечание 1. Если s = n mod d 6= 0, то столбцы P l×q(X)
под
номерами 1 + s, q – нулевые.
СМ вида Pl×d представима на основе разложения вида (1): Pl×d =∑Bf=1 af · Af , где B ≤ (d− 1) · l + 1.
Верхняя оценка для B имеет порядок O(d · l). Множество СМ
179
мощности d видаP l×q
(X)
, X = 1, d, представимо согласно (1):
P l×q(X)=
B∑
h=1
ah
(X)· Ah,
где B ≤ (q − 1) · l + 1. Варьируя ИВ(ah
(X))
, h = 1, B, получаем
различные СМ из множестваP l×q
(X)
, X = 1, d. Верхняя оценка
B имеет порядок O(n · l/d). Значения(M
(i)
X
), i = 1, l, X = 1, d,
получены согласно (2). На основе леммы справедливаТеорема. Для d < n СМ Pl×n представима согласно (2) на
основе разложений вида (1): Pl×d =∑B
f=1 af · Af и P l×q(X)
=∑Bh=1 ah
(X)·Ah, X = 1, d, причем B ≤ (d−1)·l+1, B ≤ (q−1)·l+1.
Согласно теореме, для d =]√n[, порядок верхних оценок для ве-
личин B и B составляет O(l · √n).Замечание 2. Возможно рекурсивное применение предложен-
ного метода к стохастическим матрицам Pl×d и P l×q(X), d =
]√n[, полученным согласно (2) на основе исходной СМ Pl×n.В случае t-кратного рекурсивного применения предложенного
метода, t = 1, 2, ..., значение d =]n2−t
[, порядок верхних оценок
для величин B и B каждом из разложений будет равен O(l · n2−t
).
Список литературы1. Поспелов Д. А. Вероятностные автоматы — М.: Энергия, 1970.2. Ченцов В. М. Об одном методе синтеза автономного стохасти-
ческого автомата // Кибернетика. — 1968. — 3. — С. 32–35.3. Лоренц А. А. Синтез надежных вероятностных автоматов. —
Рига: Зинатне, 1975.4. Захаров В. М. Анализ алгоритмов разложения двоично-
рациональных стохастических матриц на комбинации булевых мат-риц // Информационные технологии. — 2008. — 3. — С. 54–59.
5. Кузнецов С. Е., Нурмеев Н. Н., Салимов Ф. И. Задача о мини-мальном имплицирующем векторе // Математические вопросы ки-бернетики. Вып. 3. — 1991. — С. 199–216.
6. Альпин Ю. А., Захаров В. М., Моделирование случайных по-следовательностей автономными автоматными схемами // Вероят-
180
ностные автоматы и их приложения. — Казань: Изд-во КГУ, 1986. —С. 22–29.
7. Шалагин С. В. Метод разложения стохастических матриц длясинтеза конвейерных генераторов дискретных марковских процес-сов // Вестник технологического университета. — 2015. — Т. 18,Вып. 10. — С. 160–162.
181
Секция«Функциональные системы»
О ВЫРАЗИМОСТИ АВТОМАТОВ ОТНОСИТЕЛЬНОСУПЕРПОЗИЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ В БАЗИСЕ
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ И ЗАДЕРЖКИ
Д. Н. Бабин, А. А. Летуновский (Москва)
Известно, что в общем случае работа со схемами автоматов натал-кивается на существенные трудности [1]. Так в работе [2] уста-новлена континуальность множества предполных классов для си-стем автоматных функций, а в работе М. И. Кратко [3] установле-на алгоритмическая неразрешимость задачи полноты относительносуперпозиции для конечных систем автоматных функций.
Ограничение арности (числа входов) систем автоматов не важно,так как системы, состоящие из автоматов с двумя входами уже обра-зуют полную систему [4].
Альтернативным подходом к полноте автоматов относитель-но суперпозиции является теорема Крона—Роудза [5], в которойрассматривается частный случай: автоматы с полной системой пе-реходов и максимально возможным числом состояний. Соотношениетеоремы Крона—Роудза и общего случая суперпозиции автоматовописано в [6].
Ранее в задачах полноты относительно суперпозиции и обратнойсвязи хорошо зарекомендовал себя метод использования систем фун-кций, содержащих фиксированную добавку [7, 8]. Такой же методприменяется нами для выразимости автоматов относительно однойтолько суперпозиции.
Авторы вводят понятие расширенной суперпозиции, как суперпо-зиции с обязательным наличием в системе "задержки" и функцииШеффера. Для расширенной суперпозиции авторам удалось дока-зать алгоритмическую разрешимость задачи выразимости для ши-рокого класса автоматных функций: константных автоматных функ-ций [9], групповых автоматных функций Медведева [10], а также ли-нейных автоматных функций, что в случае обычной суперпозициибыло алгоритмически неразрешимо. Выразимость линейных авто-матных функций была расмотрена в работе [11].
182
Класс всех автоматных функций обозначим через P . Констант-ной автоматной функцией назовем автоматную функцию, выдаю-щую одно и тоже периодическое сверхслово на всех входных сверх-словах. Класс константных автоматных функций обозначим че-рез K.
Автомат A = (Ek2 , Q,El2, φ, ψ, q0), Q ⊂ En2 , называется групповым,
если для любого a ∈ Ek2 отображение φa : Q → Q — биекция. Здесьφa : (q) = φ(q, a). Автомат называется автоматом Медведева, еслиB = Q и ψ(q, a) = q. Класс всех линейных автоматных функцийобозначим через L. Будем обозначать замыкание системы автоматовM относительно расширенной суперпозиции через < M >.
Результат М. И. Кратко [3] об алгоритмической неразрешимостивыразимости константных автоматов можно в наших обозначенияхпредставить так.
Теорема 1 [3]. Не существует алгоритма, проверяющего выра-зимость константой автоматной функции суперпозициями элеме-нтов конечной системы автоматных функций.
Теорема 2 [7]. Пусть M ∈ P , |M | < ∞, K1 ∈ K. Тогда задачаK1 ∈< M > алгоритмически разрешима.
Теорема 3 [8]. Пусть M ∈ P , |M | <∞, G1 - групповой автоматМедведева. Тогда задача G1 ∈< M > алгоритмически разрешима.
Теорема 4. Пусть M ∈ P , |M | < ∞, L1 ∈ L. Тогда задачаL1 ∈< M > алгоритмически разрешима.
Список литературы1. Кудрявцев В. Б., Алешин С. В., Подколзин А. С. Введение в
теорию автоматов — M.: Наука, 1985.2. Кудрявцев В. Б. О мощности множеств предполных классов
некоторых функциональных систем, связанных с автоматами //Проблемы кибернетики, вып.13. — 1965. — C. 45–74.
3. Кратко М. И. Алгоритмическая неразрешимость проблемыраспознавания полноты для конечных автоматов // ДАН СССР. —1964. — Т. 155, вып. 1. — C. 35–37.
4. Бабин Д. Н. О полноте двухместных автоматных функцийотносительно суперпозиции // Дискретная матетматика. — 1989. —Т. 1, вып. 4. — C. 423–431.
5. Арбиб М. А. Алгебраическая теория автоматов, полугрупп иязыков. — М.: Наука, 1975.
6. Алешин. С. В. Об одном следствии теоремы Крона—Роудза //Дискретная математика — 1999. — Т. 11, вып. 4 — C. 101–109.
7. Буевич В. А. Об алгоритмической неразрешимости распозна-вания А-полноты для о.д.-функций // Математические заметки. —
183
1972. — Т. 12, вып. 6. — C. 687–697.8. Бабин Д. Н. Разрешимый случай задачи о полноте автоматных
функций // Дискретная математика. — 1992. — Т. 4, вып. 4 — C. 41–56.
9. Летуновский А. А. О выразимости константных автоматовсуперпозициями // Интеллектуальные системы. — 2009. — Т. 13,вып. 1–4. — C. 397–406.
10. Летуновский А. А. О выразимости суперпозициями группо-вых автоматов Медведева // Интеллектуальные системы. — 2011. —Т. 15, вып. 1–4. — C. 402–412.
11. Летуновский А. А. Выразимость линейных автоматов относи-тельно расширенной суперпозиции // Интеллектуальные системы. —2015. — Т. 19, вып. 1. — C. 161–170.
ГИСТОГРАММНАЯ ФУНКЦИЯ АВТОМАТА
Д. Н. Бабин, Д. В. Пархоменко (Москва)
Автоматная функция при подаче всех входных слов в общем слу-чае некоторые выходные слова не выдает, а некоторые из них вы-дает неоднократно. Такая автоматная функция и автомат, еe поро-ждающий, в компактном виде кодируют частоту встречаемости сво-их выходных слов. Если сопоставить слову число его появлений навыходе автомата, то данное соответствие определяется функцей, на-званной авторами гистограммной функцией автомата.
Под конечным детерминированным инициальным автоматом,согласно [1] , будем понимать шестерку
V = (A,Q,B, φ, ψ, q0),
где A — входной алфавит, Q — множество состояний, B — выход-ной алфавит, все три множества конечны, q0 начальное состояние.Функционирование автомата происходит по тактам времени, соглас-но каноническим уравнениям, здесь φ и ψ функции переходов и вы-ходов, соответственно, q0 — начальное состояние. Обозначим черезK(A,B) множество конечных автоматов с входным алфавитом A ивыходным алфавитом B.
184
Гистограммной автоматной функцией автомата V [2] назовемфункцию κV : B∗ → N0, где
κV (β) = |α|ψ(q0, α) = β|.
Для натурального p и автомата V , p-языком, порожденным авто-матом V назовем множество:
Lp(V ) = β|κV (β) ≥ p.
Назовем класcом p-языков множество
Lp = Lp(V )|V ∈ K(A,B).
Имеет местоТеорема 1 [3]. Для всех V и p множество Lp регулярный язык.
Теорема 2 [4]. Для натуральных s 6= p выполнено Ls + Lp.
Теорема 3 [4]. Существует алгоритм, который для любогорегулярного языка L, определяет все те p, для которых L ∈ Lp.
Список литературы1. Кудрявцев В. Б., Алешин С. В., Подколзин А. С. Введение в
теорию автоматов. — М.: Наука, 1985.2. Бабин. Д. Н. Частотные регулярные языки // Интеллектуаль-
ные системы. — 2014. — Т. 18, вып. 1. — C. 205–210.3. Пархомнеко Д. В. Вторая автоматная функция и с нею связан-
ные классы регулярных языков // Интеллектуальные системы. —2013. — Т. 17, вып. 1–4.
4. Пархоменко Д. В. Порожденные автоматами p-языки // Дис-кретная математика. — 2014. — Т. 26, вып. 1. — C. 96–102.
О МАКСИМАЛЬНЫХ КЛОНАХЧАСТИЧНЫХ УЛЬТРАФУНКЦИЙ
С. А. Бадмаев, И. К. Шаранхаев (Улан-Удэ)
Пусть A = 0, 1 и F = ∅, 0, 1, 0, 1. Определим следую-щие множества функций:
P ∗2,n = f |f : An → F, P ∗
2 =⋃
n
P ∗2,n,
185
P2,n = f |f ∈ P ∗2,n и |f(α)| = 1 для всех α ∈ An, P2 =
⋃
n
P2,n.
Функции из P2 называют булевыми функциями, из P ∗2 – мульти-
функциями на A.Для того, чтобы суперпозиция
f(f1(x1, . . . , xm), . . . , fn(x1, . . . , xm)),
где f, f1, . . . , fn ∈ P ∗2 , определяла мультифункцию g(x1, . . . , xm), сле-
дуя [1, 2], определим значения мультифункции g на наборах из под-множеств множества A следующим образом: если (α1, . . . , αm) ∈Am, то
g(α1, . . . , αm) =
⋂βi∈fi(α1,...,αm)
f(β1, . . . , βn), если не пусто;⋃
βi∈fi(α1,...,αm)
f(β1, . . . , βn), в противном случае.
На наборах, содержащих ∅, мультифункция принимает значение ∅.Это определение позволяет вычислить значение f(x1, . . . , xn) на лю-бом наборе (σ1, . . . , σn) ∈ Fn.
Если мультифункции на A рассматриваются с данной суперпози-цией, то их называют частичными ультрафункциями на A.
Клоном называется множество функций, замкнутое относитель-но суперпозиции, добавления и удаления несущественных перемен-ных, содержащее все проекции.
Клон K называется максимальным, если не существует клона K1
такого, что K ⊂ K1 ⊂ P ∗2 .
Для упрощения записи используется следующая кодировка: ∅ ↔∗, 0 ↔ 0, 1 ↔ 1, 0, 1 ↔ 2.
Обозначим через Pol(R) класс функций, сохраняющих преди-кат R.
Теорема. Класс Pol(R) является максимальным клоном ча-стичных ультрафункций на A, где
R=
(0 0 1 1 1 1 1 2 2 0 1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 1 0 1 1 1 2 1 2 ∗ ∗ ∗ 0 1 2 ∗ ∗ ∗ ∗0 1 1 0 1 2 1 1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 1 2 ∗
)
или
R=
(0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 0 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 0 1 0 1 0 2 0 2 ∗ ∗ ∗ 1 0 2 ∗ ∗ ∗ ∗0 1 0 0 1 2 0 0 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1 0 2 ∗
).
186
Список литературы1. Бадмаев С. А., Шаранхаев И. К. Минимальные частичные уль-
траклоны на двухэлементном множестве // Известия Иркутскогогос. университета. Серия Математика. — 2014. — Т. 9. — С. 3–9.
2. Пантелеев В. И. О двух максимальных мультиклонах и частич-ных ультраклонах // Известия Иркутского гос. университета. СерияМатематика. — 2012. — Т. 5, 4. — C. 46–53.
РЕШЕТКА ЗАМКНУТЫХ КЛАССОВ ТРЕХЗНАЧНОЙЛОГИКИ, СОДЕРЖАЩИХ ФУНКЦИЮ МАКСИМУМА
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ЧАСТИЧНОГО ПОРЯДКА
Г. В. Боков (Москва)
Центральной задачей для функциональных систем конечнознач-ных функций является изучение и описание структуры замкнутыхклассов. Основополагающую роль в изучении данной структуры длядвузначной логики играет результат Поста [1]. Описание решетки за-мкнутых классов k-значных функций уже при k ≥ 3 натолкнулосьна принципиальные трудности, связанные с континуальным обилиемзамкнутых классов, обнаруженных Яновым и Мучником [2], вслед-ствие чего исследование этой решетки стало иметь лишь фрагмен-тарный характер [3]. Новый взгляд на соответствие Галуа междузамкнутыми классами функций и предикатов позволил продвинуть-ся в решении данных проблем. Так, например, недавно Жук [4] втерминах данного соответствия описал структуру континуальной ре-шетки замкнутых классов самодвойственных функций трехзначнойлогики.
В данной работе, используя соответствия Галуа между функци-ями, и предикатами описана структура решетки замкнутых классов
187
функций трехзначной логики, содержащих функцию максимума длячастичного порядка (0, 2), (1, 2):
f(x, y) =
2, x = 2 ∨ y = 2;1, x = 0 ∨ y = 0;0, иначе.
Пусть Ek = 0, 1, . . . , k − 1 и
P(n)k = f | f : Enk → Ek, Pk =
⋃
n≥1
P(n)k ,
R(m)k = ρ | ρ ⊆ Emk , Rk =
⋃
m≥1
R(m)k .
Для Q ⊆ Pk и S ⊆ Rk определим [Q] — замыкание относительносуперпозиции и [S] — замыкание относительно позитивных формулпервого порядка [3]. Предполагаем, что [Q] содержит селекторы и[S] содержит предикаты ∅,=.
Функция f ∈ P(n)k сохраняет предикат ρ ∈ Rk, если для любых
α1, . . . , αn ∈ ρ выполнено f(α1, . . . , αn) ∈ ρ. Положим
Pol(ρ) = f ∈ Pk | f сохраняет ρ, Pol(S) =⋂
ρ∈SPolρ,
Inv(f) = ρ ∈ Rk | f сохраняет ρ, Inv(Q) =⋂
f∈QInvf.
Тогда Q = Pol(Inv(Q)) для любого Q = [Q] ⊆ Pk и S = Inv(Pol(S))для любого S = [S] ⊆ Rk.
При n ≥ 1, 1 ≤ m ≤ 3 и l ≥ 2 введем следующие обозначения:
ρ∨,n(x1, x2, . . . , xn) = 1 ⇔ x1 = 2 ∨ x2 = 2 ∨ . . . ∨ xn = 2,
ρ→,m(x1, x2, . . . , xm) = 1 ⇔ x1 6= 2 ∨ x2 = 2 ∨ . . . ∨ xm = 2,
ρ=,l(x1, x2, . . . , xl) = 1 ⇔ x1 = x2 ∨ x3 = 2 ∨ . . . ∨ xl = 2,
ρ∼(x1, x2) = 1 ⇔ ρ→,2(x1, x2) ∧ ρ→,2(x2, x1),
ρ≃(x1, x2, x3) = 1 ⇔ ρ∼(x1, x2) ∧ ρ=,3(x1, x2, x3),ρ⊼(x1, x2, x3) = 1 ⇔ ρ→,1(x1) ∧ ρ→,1(x2) ∧ ρ=,3(x1, x2, x3),
P3 = Pol(∅), Tn = Pol(ρ∨,n), Fm = Pol(ρ→,m), El = Pol(ρ=,l),
M = Pol(ρ∼), S = Pol(ρ≃), I = Pol(ρ⊼).
188
Определим счетное семейство Θ замкнутых классов, являющихсяпересечением конечного числа классов из P3, Tn, Fm, El, M , S, I.
Пусть Bn — множество всех подмножеств в 1, . . . , n, En — мно-жество отношений эквивалентностей на 1, . . . , n и E∗
n = En∪⊥,⊤,причем ⊥ ⊆ A и A ⊆ ⊤ для всех A ∈ En. Отображение ξ : Bn → E∗
n
назовем характеристическим, если ξ(1, . . . , n) 6= ⊥, ξ(∅) 6= ⊤,M1 ⊆ M2 ⇒ ξ(M1) ⊆ ξ(M2), ξ(M1), ξ(M2) 6= ⊥ ⇒ ξ(M1 ∩M2) 6= ⊥и ξ(M) ∈ En для некоторого M ∈ Bn. Множество всех таких отоб-ражений обозначим через Xn. Пусть X =
⋃n≥2
Xn. Определим на X
оператор замыкания [ ], порожденный следующими операциями:1) tr : Xm → Xn. Если ζ = tr(ξ), то ζ(M) — минимальный элемент,для которого σξσ−1(M) ⊆ ζ(M), где σ : 1, . . . ,m → 1, . . . , n;2) pr : Xn+m → Xn. Если ζ = pr(ξ), то ζ(M) — минимальный элемент,для которого ξ(M) ∩ 1, . . . , n × 1, . . . , n ⊆ ζ(M);3) ∧ : Xn×Xn → Xn. Если ζ = ξ∧η, то ζ(M) — минимальный элемент,для которого ξ(M) ⊆ ζ(M) и η(M) ⊆ ζ(M).Подмножество X = [X ] ⊆ X будем называть замкнутым.
Пусть Mα = i | α(i) 6= 2 для α ∈ En3 , где α(i) — элемент с
номером i в α. Каждое ξ ∈ Xn задает n-местный предикат ρξ ∈ R(n)k :
ρξ(α) = 1 ⇔ ξ(Mα) ∈ En и ∀i, j ∈ ξ(Mα) : α(i) = α(j).
Положим RX = ρξ | ξ ∈ X для X ⊆ X и определим континуальноесемейство замкнутых классов Ξ = Pol(X) | X = [X ] ⊆ X.
Теорема. Если Q = [Q] ⊆ P3, то f ∈ Q ⇔ Q ∈ Θ ∪ Ξ.Для семейства Θ полностью описана решетка по включению. По-
парная вложенность классов из семейства Ξ определяется условием
R[X] = [RX ], R[X] ⊆ R[Y ] ⇔ [X ] ⊆ [Y ]
для всех X,Y ⊆ X . Попарная вложенность клонов из семейств Θ и Ξмежду собой полностью определяется из того факта, что Θ ∩ Ξ 6= ∅.
Теорема. Все классы из Θ ∪ Ξ имеют базис.Кроме того, показано, что все классы из Θ имеют конечный ба-
зис, состоящий из не более чем 4 элементов. Так как семейство Ξконтинуальное, то в Ξ существуют замкнутые классы с бесконечнымбазисом.
Список литературы1. Post E. Two-valued iterative systems of mathematical logic. —
Princeton: Princeton Univ. Press, 1941.
189
2. Янов Ю. И., Мучник А. А. О существовании k-значных за-мкнутых классов, не имеющих конечного базиса // ДАН СССР. —Т. 127, 1 — 1959. — C. 44–46.
3. Lau D. Function algebras on finite sets: a basic course on many-valued logic and clone theory. — Berlin: Springer, 2006.
4. Жук Д. Н. Решетка замкнутых классов самодвойственныхфункций трехзначной логики. — М.: Издательство МГУ, 2011.
О ПРОВЕРКЕ k-ЗНАЧНОСТИКОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ-ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
НАД ПОЛУГРУППАМИ
З. А. Джусупекова, В. А. Захаров (Москва)
Автоматы-преобразователи в качестве модели последовательныхреагирующих программы используются в системном программиро-вании, в компьютерной лингвистике, в криптографии, при проекти-ровании микроэлектронных схем и др. Преобразователь принимаетна входе последовательность сигналов и выполняет некоторую по-следовательность действий, преобразуя тем самым конечные словавходного алфавита в полугрупповые выражения, значения которыхи являются результатами вычислений.
Пусть задана некоторая конечно порожденная полугруппа S. Ко-нечным автоматом-преобразователем над полугруппой S называ-ется система π = 〈Σ, S,Q, qin, F, T 〉, в которой Σ — конечный алфа-вит, Q — конечное множество состояний, qin — начальное состоя-ние, F — подмножество финальных состояний, T ⊆ Q×Σ×S×Q —конечное отношение переходов. Вычислением преобразователя π навходном слове w = a1a2 . . . an называется последовательность пере-
ходов q0a1/s1−→ q1
a2/s2−→ · · · an/sn−→ qn, где q0 = qin, qn ∈ F . Элементполугруппы s1s2 · · · sn считается результатом данного вычисления.Преобразователь π называется k-значным, если для любого входногослова количество различных результатов всех возможных вычисле-ний преобразователя на этом слове не превосходит некоторого k.
190
Далее мы будем рассматривать автоматы-преобразователи надпроизвольной полугруппой S, которая вложима в некоторую конеч-но порожденную группу с разрешимой проблемой тождества. В ста-тье [1] было установлено, что задача проверки k-значности конечныхавтоматов-преобразователей над свободными моноидами разреши-ма. Затем в статье [2] было показано, что эту задачу можно решитьза время, полиномиальное относительно размера преобразователей.Более общий метод анализа поведения автоматов преобразователейнад полугруппами, вложимыми в разрешимые группы, был пред-ложен в статье [3]. Однако в этой статье применение этого методабыло обосновано только для решения задачи проверки 2-значностиавтоматов-преобразователей. Цель данной работы — показать, чтопри помощи метода из [3] можно для любого k, k ≥ 1, за полиноми-альное время проверять свойство k-значности конечных автоматов-преобразователей, работающих над полугруппой, вложимой в конеч-но порожденные разрешимые группы.
Рассмотрим произвольный преобразователь π =〈Σ, S,Q, qin, F, T 〉, и пусть G — разрешимая группа, в которуювложима полугруппа S. Запись Mπ[q0] будет обозначать конечныйавтомат 〈Σ, Q, qin, F, ϕπ〉, в котором отношение переходов задается
множеством ϕπ = (q, a, q′) : ∃s : qa/s−→ q′ ∈ T . Для проверки свой-
ства k-значности преобразователя π введем систему переходов (LTS)Γkπ = 〈Q × (Q × G)k,−→〉. Отношение переходов −→ определяетсяследующим образом: для пары вершин v1 = (q0, (q1, g1), . . . , (qk, gk))
и v2 = (q′0, (q′1, g
′1), . . . , (q
′k, g
′k)) LTS Γkπ и произвольной буквы
a, a ∈ Σ, отношение v1a−→ v2 выполняется тогда и только тогда,
когда qia/si−→ q′i, 0 ≤ i ≤ k, где g′j = (s0)
−gjsj , 1 ≤ j ≤ k иk⋂i=0
L(Mπ[q′i]) 6= ∅. Вершину vin = (qin, (qin, e), (qin, e), ..., (qin, e)),
где e — единичный элемент группы G, назовем стартовой верши-ной LTS Γkπ. Множество всех вершин достижимых из стартовойвершины обозначим записью V kπ . Вершину (q0, (q1, g1), ..., (qk, gk))будем называть опровергающей, если она удовлетворяет условиям:1) qi ∈ F и gi 6= e для всех i = 0, k, и 2) gi 6= gj для всех пар i, j,
1 ≤ i < j ≤ k. Множество всех опровергающих вершин LTS Γkπобозначим записью Rkπ.
Справедливы следующие утвержденияЛемма 1. Преобразователь π не является k-значным тогда и
191
только тогда, когда V kπ⋂Rkπ 6= ∅.
Лемма 2. Пусть множество V kπ содержит N = C2k+1 вершин
vi = (q0, (q1, g1i ), (q2, g2i ), . . . , (q
k, gki )), 1 ≤ i ≤ N , удовлетворяющихсоотношениям:1) gmi 6= gmj для всех троек (m, i, j), где m = 1, N , 1 ≤ i < j ≤ N ,
2) gmi (gni )− 6= gmj (gnj )
− для всех четверок (m,n, i, j), где 1 ≤ i < j ≤N , 1 ≤ m < n ≤ N .Тогда V kπ
⋂Rkπ = ∅.
Лемма 3. Предположим, что в LTS Γkπ есть k+2 различных вер-
шин vi = (q0, (q1, g1i ), (q2, g2i ), . . . , (q
k, gki )), 1 ≤ i ≤ k+2, и пусть всеэти вершины удовлетворяют одному из следующих наборов усло-
вий для всех пар i, j чисел из множества 1, k + 2:
g1i = g1j , g2i = g2j , ... , gk−2
i = gk−2j , gk−1
i = gk−1j ,
g1i = g1j , g2i = g2j , ... , gk−2
i = gk−2j , gki = gkj ,
· · ·g2i = g2j , g
3i = g3j , ... , gk−1
i = gk−1j , gki = gkj ,
g1i = g1j , g2i = g2j , ... , gk−2
i = gk−2j , (gk−1
i )−gki = (gk−1j )−gkj ,
g1i = g1j , g2i = g2j , ... , gk−3
i = gk−3j , (gk−2
i )−gk−1i = (gk−2
j )−gk−1j ,
· · ·(g1i )
−g2i = (g1j )−g2j , (g
1i )
−g3i = (g1j )−g3j , ... , (g1i )
−gki = (g1j )−gkj .
Тогда, если опровергающая вершина достижима из вершины vk+2,то некоторая опровергающая вершина также достижима из однойиз других вершин vj, 1 ≤ j ≤ k + 1.
При помощи лемм 2 и 3 можно доказать следующую теорему.Теорема 1. Если полугруппа S вложима в конечно порожден-
ную разрешимую группу G, то свойство k-значности конечных пре-образователей над полугруппой S разрешимо. Кроме того, если про-блема равенства слов в группе G разрешима за полиномиальное вре-мя, то и свойство k-значности конечных преобразователей над Sразрешима за полиномиальное время.
Теорема 2. Свойство k-значности преобразователей над сво-
бодной полугруппой можно проверить за время 2O(k2)ℓmk+1nk+1,где n — количество состояний, m — количество переходов, и ℓ —максимальная длина выхода на переходе.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ(проект 15-01-05742).
Список литературы1. Weber A. Decomposing finite-valued transducers and deciding
192
their equivalence // SIAM Journal on Computing. — 1993. — V. 22. —P. 175–202.
2. Sakarovitch J., de Souza R. On the decidability of boundedvaluedness for transducers // Proceedings of the 33rd InternationalSymposium on Mathematical Foundations of Computer Science. —2008. — P. 588–600.
3. Захаров В. А. Моделирование и анализ поведения последова-тельных реагирующих программ // Труды Института системногопрограммирования РАН. — 2015. — Т. 27, вып. 2. — С. 221–250.
КРИТЕРИЙ КОНЕЧНОЙ ПОРОЖДЕННОСТИКЛАССОВ ФУНКЦИЙ, МОНОТОННЫХ
ОТНОСИТЕЛЬНО МНОЖЕСТВ ВЫСОТЫ 5С НАИМЕНЬШИМ И НАИБОЛЬШИМ ЭЛЕМЕНТАМИ
О. С. Дудакова (Москва)
Известно, что при k ≤ 7 все предполные классы в Pk являютсяконечно-порожденными [1], а начиная с k = 8, существуют пред-полные классы монотонных функций, не имеющие конечного бази-са [2]; полного описания конечно-порожденных предполных классовмонотонных функций к настоящему времени не получено. В ряде ра-бот (см., например, [3, 4]) выделены некоторые семейства частичноупорядоченных множеств, для которых получены критерии конеч-ной порожденности соответствующих классов монотонных функций.В данной работе продолжены исследования в этом направлении.
Пусть 4 — частичный порядок на множестве Ek = 1, 2, . . . , k.Положим P = (Ek,4). Всюду далее будем считать, что множество Pимеет наименьший и наибольший элементы. Через MP будем обо-значать класс всех монотонных функций над P (отметим, что длямножеств с наименьшим и наибольшим элементами класс MP явля-ется предполным [5]).
Частично упорядоченные множества называются изоморфными,если существует взаимно-однозначное соответствие между их эле-ментами, сохраняющее отношение порядка.
193
Пусть a1 и a2 — элементы множества P , несравнимые относитель-но 4. Элемент b ∈ P называется верхней гранью элементов a1 и a2,если выполняется неравенство a1, a2 4 b. Верхняя грань b элементовa1 и a2 называется минимальной верхней гранью этих элементов, ес-ли не существует такой верхней грани c элементов a1 и a2, что c 4 bи c 6= b. Через |P| обозначается число элементов множества P . Ве-личину max |I|, где максимум берется по всем цепям I множества P ,будем называть высотой множества P (обозначение l(P)).
Через T будем обозначать множество из 8 элементов, приведен-ное в работе [2].
Пусть a1, a2, b1, b2, c1, c2 ∈ P . Будем говорить, что эти элементыобладают свойством (T6), если элементы a1 и a2 несравнимы, эле-менты b1, b2 являются минимальными верхними гранями элементовa1, a2, а элементы c1, c2 являются минимальными верхними граня-ми элементов b1, b2. Заметим, что если множество P (с наименьшими наибольшим элементами) содержит шестерку элементов, облада-ющих свойством (T6), то l(P) ≥ 5.
Основным результатом работы является следующее утвержде-ние:
Теорема 1. Пусть l(P) ≤ 5. Класс MP является конечно-по-рожденным тогда и только тогда, когда P не содержит шестеркуэлементов, обладающих свойством (T6).
Доказательство теоремы опирается на следующие леммы.Лемма 1. Пусть l(P) = 5, P содержит шестерку элементов,
обладающих свойством (T6). Тогда класс MP не имеет конечногобазиса.
Доказательство этой леммы получается обобщением доказатель-ства основного утверждения из работы [2].
Лемма 2. Пусть l(P) ≤ 5, P не содержит шестерку элемен-тов, обладающих свойством (T6). Тогда в классе MP существуетмажоритарная функция.
Функция µ(x1, . . . , xn), n ≥ 3, называется мажоритарной, еслидля любых a, b ∈ P выполняется
µ(a, b, . . . , b) = µ(b, a, b, . . . , b) = . . . = µ(b, . . . , b, a) = b.
Известно [6], что если в замкнутом классе содержится мажоритарнаяфункция, то класс имеет конечный базис.
Далее переформулируем теорему 1 в других терминах.Пусть Q ⊆ P , Q 6= ∅. Будем говорить, что множество P стягива-
ется к множеству Q, если если существует монотонное отображениеϕ : P → Q, такое, что ϕ(x) = x для всех x ∈ Q.
194
Нетрудно доказать следующее утверждение:Утверждение 1. Пусть l(P) ≤ 5. Множество P содержит
шестерку элементов, обладающих свойством (T6) тогда и толькотогда, когда P стягивается к множеству, изоморфному множе-ству T .
Теорема 2. Пусть l(P) ≤ 5. Следующие условия эквивалентны:(1) класс MP имеет конечный базис,(2) в P нет шестерки элементов, обладающих свойством (T6),(3) P не стягивается к множеству, изоморфному T ,(4) в классе MP содержится мажоритарная функция.
Доказательство. Импликация (1) ⇒ (2) следует из леммы 1. Им-пликация (2) ⇒ (4) следует из леммы 2. Импликация (4) ⇒ (1) сле-дует из результата работы [6]. Эквивалентность (2) ⇔ (3) следует изутверждения 1.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект14-01-00598.
Список литературы1. Lau D. Bestimmung der Ordnung maximaler Klassen von Funktio-
nen der k-wertigen Logik // Z. math Log. und Grundl. Math. — 1978. —24. — S. 79–96.
2. Tardos G. A not finitely generated maximal clone of monotoneoperations // Order. — 1986. — 3. — P. 211–218.
3. Zadori L. Series parallel posets with nonfinitely generated clones //Order. — 1993. — 10. — 305–316.
4. Дудакова О. С. О классах функций k-значной логики, моно-тонных относительно множеств ширины два // Вестн. Моск. ун-та.Серия 1. Математика. Механика. — 2008. — 1. — С. 31–37.
5. Мартынюк В. В. Исследование некоторых классов в много-значных логиках // Проблемы кибернетики. — М.: Наука. — 1960. —Т. 3. — С. 49–60.
6. Baker K., Pixley A. Polynomial interpolation and the Chineseremainder theorem for algebraic systems // Math. Z. — 1975. — 143. —165–174.
195
О ПРОБЛЕМЕ ЛОГИКО-ТЕРМАЛЬНОЙЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ
СТАНДАРИТНЫХ СХЕМ ПРОГРАММ
В. А. Захаров, У. В. Попеско (Москва)
Стандартные схемы программ были введены в статье [1] для раз-работки математических методов решения задач трансляции, опти-мизации и верификации последовательных операторных программ.Эта модель вычислений определяется следующим образом.
Пусть заданы конечные множества переменных X , функциональ-ных символов F и предикатных символов P . Над этими множества-ми обычным образом определяются множества термов Term(F ,X ) иатомарных формул (атомов) Atom(P ,F ,X ). Подстановкой назовемвсякое отображение θ : X → Term(F ,X ). Множество всех подста-новок условимся обозначать записью Subst(F ,X ). Результатом при-менения подстановки θ к выражению (терму или атому) E являетсявыражение Eθ, получающийся одновременной заменой в E каждойпеременной x термом θ(x). Композиция θη подстановок θ, η — этоподстановка, которая определяется равенством θη(x) = (xθ)η длякаждой переменной x.
Стандартная (детерминированная) схема программ — это конеч-ный размеченный ориентированный граф π, удовлетворяющий сле-дующим условиям.1. Каждой вершине v графа π, приписана атомарная формула Av измножества Atom(P ,F ,X ).2. Из каждой вершины исходят две дуги, одна из которых помеченасимволом 0, а другая — символом 1.3. Каждой дуге, ведущей в графе π из вершины u в вершину v, при-писана подстановка θuv из множества Subst(F ,X ).4. Одна из вершин vin графа π особо выделена в качестве входа, адругая вершина vout играет роль выхода; вершине выхода приписанособая атомарная формула Out(xi1 , . . . , xik).
Трассой в схеме программ π называется всякий маршрут из еевхода vin = v0 в выход vout = vn
tr = v0θ1,σ1−→ v1
θ2,σ2−→ · · · θn,σn−→ vn. (∗)Отношение эквивалентности на множестве схем программ можно
ввести двояко. Функциональная эквивалентность [1] определяетсяна множестве эрбрановских интерпретаций. Каждая эрбрановскаяинтерпретация — это отображение I : Atom(P ,F ,X ) → 0, 1. Трас-са (∗) реализуема в интерпретации I, если для любого i, 1 ≤ i ≤ n,
196
выполняется равенство I(Aiθi · · · θ1) = σi. Каждая схема программπ вычисляет частичное отображение Fπ множества эрбрановскихинтерпретаций в множество атомарных формул: для каждой эр-брановской интерпретации I значение Fπ(I) определено и равноOut(t1, . . . tk) в том и только том случае, если в схеме π существуеттрасса (∗), реализуемая в интерпретации I и удовлетворяющая ра-венству Out(t1, . . . tk) = Avnθn · · · θ1. Для детерминированной схемыпрограмм π функция Fπ определена однозначно. Схемы программ π1и π2 функционально эквивалентны, если Fπ1(I) = Fπ2(I) для любойэрбрановской интерпретации I. Стандартные схемы программ с от-ношением функциональной эквивалентностью адекватно моделиру-ют поведение последовательных императивных программ. Главныйнедостаток этой разновидности моделей программ состоит в том, чтоотношение функциональной эквивалентности неразрешимо.
Для преодоления этого недостатка в статье [2] было введено бо-лее строгое отношение эквивалентности схем программ — логико-термальная эквивалентность. Логико-термальной историей трассы(∗) называется последовательность пар
lth(tr) = (Av1η1, σ1), (Av2η2, σ2), . . . , (Avnηn, 0),
в которой ηi = θiθi−1 · · · θ1 для каждого i, 1 ≤ i ≤ n. Схемы про-грамм π1 и π2 логико-термально эквивалентны, если множестваих логико-термальных историй совпадают. Как было показано в [2],логико-термальная эквивалентность аппроксимирует функциональ-ную эквивалентность стандартных схем программ. Другое достоин-ство логико-термальной эквивалентности состоит в том что это отно-шение разрешимо за полиномиальное время [3, 4]. Возникает вопрос:можно уточнить отношение логико-термальной эквивалентности, со-хранив при этом ее полиномиальную разрешимость?
Покажем, что достичь этой цели, по меньшей мере, затрудни-тельно. Для этого рассмотрим недетерминированный вариант стан-дартных схем программ, который отличается от детерминированно-го варианта тем, что требование п. 2 приведенного выше определенияослаблено: из каждой вершины недетермированной схемы может ис-ходить произвольное конечное множество дуг помеченных одним итем же символом σ, σ ∈ 0, 1.
Теорема. Проблема логико-термальной эквивалентности длянедетерминированных стандартных схем программ алгоритмиче-ски неразрешима.
Доказательство этого утверждения опирается на следующие двафакта.
197
1. Как показано в статье [5], проблема эквивалентности конечныхнедетерминированных автоматов-преобразователей алгоритмическинеразрешима.2. Существует такая эффективная трансляция Tr конечных авто-матов-преобразователей в недетерминированные стандартные схе-мы программ, что для любой пары автоматов-преобразователей M1
и M2 эти автоматы эквивалентны тогда и только тогда, когда со-ответствующие им стандартные схемы программ Tr(M1) и Tr(M2)логико-термально эквивалентны.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ(проект 15-01-05742).
Список литературы1. Luckham D. C., Park D. M., Paterson M. S. On formalized
computer programs // Journal of Computer and System Science. —1970. — V. 4, iss. 3. — P. 220–249.
2. Иткин В. Э. Логико-термальная эквивалентность схем про-грамм // Кибернетика. — 1972. — 1. — C. 5–27.
3. Сабельфельд В. К. Полиномиальная оценка сложности рас-познавания логико-термальной эквивалентности // ДАН СССР. —1979. — Т. 249, 4. — C. 793–796.
4. Захаров В. А., Новикова Т. А.. Полиномиальный по времениалгоритм проверки логико-термальной эквивалентности программ// Труды Института системного программирования РАН. — 2012. —Т. 22 — С. 435–455.
5. Griffiths T. The unsolvability of the equivalence problem for ε-free nondeterministic generalized machines // Journal of the ACM. —1968. — V. 15. — P. 409–413.
О ПЕРИОДАХ ВЫХОДНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙАВТОМАТОВ С МАГАЗИННОЙ ПАМЯТЬЮ БЕЗ ВХОДА
И. И. Иванов (Москва)
Автомат с магазинной памятью возник в математике в связи сразвитием теории формальных языков. Он является распознавате-лем для контекстно-свободных грамматик. Важность магазинов (из-вестных также под названием стеков) в процессах обработки языковбыла осознана в начале 1950-х годов. Эттингер [1] и Шютценберже
198
[2] первыми формaлизовали понятие автомата с магазинной памя-тью. Эквиваленность автоматов с магазинной памятью и контекстно-свободных грамматик была показана Хомским [3] и Эви [4].
Очень скоро стало понятно, что класс контектно-свободных язы-ков устроен сложнее класса регулярных. В работах [5, 6] появилисьследующие примеры алгоритмически неразрешимых проблем.1. Не существует алгоритма, позволяющего установить равенстводвух контестно-свободных языков.2. Не существует алгоритма проверки, что один контектно-свободный язык лежит в другом.3. Не существует алгоритма проверки, что пересечение двухконтекстно-свободных языков является пустым.4. Не существует алгоритма проверки контекстно-свободного языкана регулярность.
Заметим, что все эти проблемы разрешимы в классе регуляр-ных языков. Исследования их свойств довольно скоро сформировалитеорию автоматов как отдельное направление дискретной математи-ки. Возникли уже самостоятельные задачи описания автоматов какфункциональных систем. Были доказаны такие фундаментальныесвойства автоматов как преобразователей, как сохранение периоди-ческих последовательностей и как следствие отсутствие конечныхполных систем (относительно суперпозиции) [7]. Д. Н. Бабиным бы-ло доказано, что что арность множества автоматных функций рав-на двум (аналог 13-й проблемы Гильберта для автоматных функ-ций) [8].
Оказалось, что многие техники работы с конечными автоматамии регулярными языками для автоматов с магазинной памятью неработают. В частности, было показано, что класс языков, разпозна-ваемых детерминированными автоматами с магазинной памятью, неравен классу всех контекстно-свободных языков, а является его соб-ственным подмножеством [2, 9].
В данной работе будет рассмотрен автономная версия автомата.Инициальным детерминированным автоматом с магазиной памятьюбез входа будем называть "восьмерку"P = Q,B,Γ, ϕ, ψ, η, q0, γ0,где Q — конечное множество состояний, B — выходной алфавит, Γ— алфавит памяти (алфавит ленты магазина), ϕ : Q × (Γ ∪ λ) → Q— функция переходов, ψ : Q × (Γ ∪ λ) → B — функция выхода, η :Q× (Γ∪ λ) → Γ∗ — функция памяти, q0 ∈ Q — начальное состояние,γ0 ∈ Γ∗ — начальная запись в магазине.
Функционирование P можно определить с помощью системы ка-нонических уравнений, которые задают в каждый момент времени tсостояние автомата q(t), записанное в магазине слово γ(t), и выход
199
автомата b(t):
q(0) = q0,
γ(0) = γ0,
z(t) = LS(γ(t)),
q(t+ 1) = ϕ(q(t), z(t)),
γ(t+ 1) = S(γ(t))η(q(t), z(t)),
b(t) = ψ(q(t), z(t)).
где LS : Γ∗ → Γ ∪ λ возвращает последний символ при подаченепустого слова и LS(λ) = λ, а S : Γ∗ → Γ∗ — стирает последнийсимвол входного слова и S(λ) = λ.
Теорема 1. Автономный автомат с магазинной памятьюP = Q,B,Γ, ϕ, ψ, η, q0, γ0 генерирует периодическую выходную по-следовательность.
Обозначим n = |Q|, m = |Γ|, k = max(q,z)∈Q×Γ∪λ
|η(q, z)| и будем
говорить, что P ∈ M0(n,m, k).Для автомата с магазинной памятью без входа обозначим L(P )
минимальную длину периода периодической последовательности,которую он генерирует. Нас будет интересовать максимальная длинапериода в классе автоматов L(n,m, k) = max
P∈M0(n,m,k)L(P ).
Теорема 2. При k > 1 и n→ ∞
L(n, 1, k) =k(k − 1)
4k − 2n2(1 + o(1)).
Теорема 3. При k > 1 выполнено, L(n,m, k) ≤ n(knm+1−1)k−1 .
Теорема 4. При m > 1, k > 1 и n→ ∞
L(n,m, k) &
12 · 2 2n
9 , m = 2, k = 2,
(k−1k )nkn(m−1)
Список литературы1. Oettinger A. Automatic syntatic analysis and the pushdown
store // Structure of Language and its Mathematical Concepts, Proc.12th Symposium on Applied Mathematics. — 1961. — P. 104–129.
2. Schutzenberger M. P. On contex-free languages and pushdownautomata // Information and Control. — 1963. — 6:3. — P. 246–264.
200
3. Chomsky N. Context-free gtammars and pushdown storage.Quarlerly Progress Report, 65, Research Laboratory of Electronics,Massachusetts Institute of Technology, Cambrig, Mass. — 1962.
4. Evey R.J. Applications of pushdown-store machines // Proc.AFIPS Fall Joint Computer Conference, 24, 1963. — P. 215–227.
5. Bar-Hillel Y., Perles M., Shamir E. On formal properties ofsimple phrase structure grammars // Z. Phonctik, Sprachwissensch.Kommunikationsforsch. — 1961. — 14. — P. 143–172.
6. Ginsburg S., Rose G.F. Some recursively unsolvable problems inALGOL-like languages // J. Assoc. Computing Machinety. — 1963. —10. — P. 175–195.
7. Кудрявцев В. Б., Алешин С. В., Подколзин А. С. Введение втеорию автоматов. — М.: Наука, 1985.
8. Бабин Д. Н. О полноте двухместных автоматных функций от-носительно суперпозиции // Дискретная математика. — 1989. — Т. 1,вып. 4. — C. 423–431.
9. Ginsburg S., Greibach S. Deterministic context free languages //Information and Control. — 1966. — V. 9, is. 6 — P. 620–648.
ИНЪЕКТИВНОСТЬ И ПРОЕКТИВНОСТЬ ПОЛИГОНОВНАД ВПОЛНЕ ПРОСТЫМИ ПОЛУГРУППАМИ
И. Б. Кожухов, А. О. Петриков (Москва)
Важную роль в общей алгебре играют инъективные и проектив-ные объекты. Теория инъективности и проективности развиваласьпод большим влиянием теории колец и модулей, где понятия инъек-тивности и проективности занимают одно из ведущих мест. В моно-графии [1] приведены многие результаты этой теории в случае уни-тарных полигонов над моноидоами. Аналогично модулям над коль-цом могут быть определены инъективная оболочка полигона — наи-меньший инъективный полигон, содержащий данный, и проективноенакрытие полигона — наименьший проективный полигон, имеющийсюръективный гомоморфизм на данный. Как и в случае колец имодулей, инъективная оболочка существует у всякого полигона, апроективное накрытие не у всякого. Целью данной работы является
201
описание инъективных и проективных полигонов над вполне про-стыми полугруппами.
Полигоном над полугруппой S называется множество X , на ко-тором действует полугруппа S, то есть определено отображениеX × S → X , (x, s) 7→ xs такое, что x(st) = (xs)t при всех x ∈ X ,s, t ∈ S. Полигон является унарной алгеброй — элементы полугруп-пы S задают унарные операции на X . Кроме того, полигон являетсяалгебраической моделью автомата [2]. Полигон X называется проек-тивным, если для любого сюръективного гомоморфизма α : A→ Bполигонов и любого гомоморфизма ϕ : X → B существует гомомор-физм ψ : X → A такой, что ψα = ϕ. Полигон X называется инъек-тивным, если для любого инъективного гомоморфизма α : A → Bполигонов и любого гомоморфизма ϕ : A → X существует гомомор-физм ψ : B → X такой, что αψ = ϕ.
Если полигон X является объединением попарно не пересекаю-щихся подполигонов Xi (i ∈ I), то X называется копроизведением иобозначается
∐i∈I Xi.
Пусть G — группа, H — ее подгруппа (не обязательно нормаль-ная) и пусть G/H — множество правых смежных классов Hg. ТогдаG/H — полигон над G относительно умножения Hg · g′ = Hgg′.
Вполне простой полугруппой называется полугруппа, не име-ющая нетривиальных идеалов и содержащая примитивный идем-потент (то есть минимальный относительно естественного порядкаe ≤ f ⇔ ef = fe = f). Согласно теореме Сушкевича—Риса [3, §3.2]вполне простые полугруппы — это в точности рисовские матричныеполугруппы M(G, I, Λ, P ) (обозначения см. в [3]). Полигоны над та-кими полугруппами были описаны в [4] следующим образом. ПустьX — множество,G — группа, Q =
∐γ∈ΓG/Hγ — полигон, πi : X → Q
(i ∈ I), κλ : Q → X (λ ∈ Λ) — отображения и qκλπi = q · pλiдля всех q ∈ Q, i ∈ I, λ ∈ Λ; тогда множество X с умножениемx · (g)iλ = (xπi ·g)κλ является полигоном над полугруппой S = M(G,I, Λ, P ), и все S-полигоны имеют такой вид.
Следующие теоремы обобщают результаты, полученные в [5].Теорема 1. Полигон X над вполне простой полугруппой S =
M(G, I,Λ, P ) инъективен в том и только том случае, если (i) Xсодержит хотя бы один нуль и (ii) для любого отображения ω:I → Q существует такое x ∈ X, что xπi = iω при всех i ∈ I.
Теорема 2. Пусть S = M(G, I,Λ, P ) — вполне простая полу-группа, X — полигон над S. Если в X нет нуля, присоединим к Xнуль z0; если в X есть нули, зафиксируем какой-нибудь из них иобозначим его через z0. При присоединении нуля z0 внешним обра-
202
зом множество Q пополнится элементом q0. Далее, для каждогоотображения ω : I → Q (или ω : I → Q ∪ q0 в случае присоеди-нения нуля), для которого не существует элемента x ∈ X такого,что xπi = iω при всех i ∈ I, присоединим к X элемент bω и опреде-лим действие на нем элементов полугруппы S следующим образом:bω · (g)iλ = (iω ·g)κλ. Тогда полученный после присоединения элемен-
тов полигон X является инъективной оболочкой полигона X.Теорема 3. Пусть X — полигон над вполне простой полугруп-
пой S = M(G, I,Λ, P ), XS — подполигон, A = X \XS, Z = XS \AS.Полигон X проективен в том и только том случае, когда выпол-нены условия (i) as = bt ⇒ (a = b) ∧ (s = t) при a, b ∈ A, s, t ∈ S и(ii) z · (g)iλ = z ·(h)iµ ⇒ (g = h) ∧ (λ = µ) при z ∈ Z, i ∈ I, λ, µ ∈ Λ,g, h ∈ G.
В полугруппе S = M(G, I,Λ, P ) для i ∈ I положим Ri =(g)iλ|g ∈ G, λ ∈ Λ. Очевидно, Ri — правый идеал полугруппыS. Он является также R-классом Грина этой полугруппы и rS = Riдля любого r ∈ Ri (имеет место даже более сильное утверждение:rRi = Ri при всех r ∈ Ri). Также ясно, что Ri являются подполиго-нами полигона SS и SS =
∐i∈I Ri.
Теорема 4. Пусть S = M(G, I,Λ, P ) — вполне простая полу-группа. Для i ∈ I пусть Ri = (g)iλ|g ∈ G, λ ∈ Λ. Полигон Xнад полугруппой S проективен в том и только том случае, еслиX ∼=
∐δ∈∆ Yδ ⊔
∐ε∈E Zε, где Yδ ∼= S1, Zε ∼= Ri для любых δ ∈ ∆,
ε ∈ E. При этом возможно, что ∆ = ∅ или E = ∅.Теорема 5. Пусть X — полигон над вполне простой полугруп-
пой S = M(G, I,Λ, P ). Представим X в виде X = (A ∪ AS) ⊔∐γ∈Γ zγS. Пусть F (A) — свободный S-полигон с множеством сво-
бодных образующих A, Ri = (g)iλ|g ∈ G, λ ∈ Λ — правый S-полигон
(i ∈ I фиксировано). Положим P (X) = F (A)⊔∐γ∈ΓR(γ) (R(γ) ∼= Ri)
и определим отображение β : P (X) → X по правилу (as)β = as (для
a ∈ A, s ∈ S1), (g)iλβ = zγ(g)iλ (если (g)iλ рассматривается как эле-
мент из R(γ)). Тогда β — сюръективный гомоморфизм, а P (X) —проективное накрытие полигона X.
Список литературы1. Kilp M., Knauer U., Mikhalev A. V. Monoids, acts and
categories. — Berlin: W. de Gruyter, N.Y., 2000.2. Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы
алгебраической теории автоматов. — М.: Высш. шк., 1994.3. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. —
203
М. Мир, 1972.4. Avdeyev A. Yu., Kozhukhov I. B. Acts over completely 0-simple
semigroups // Acta Cybernetica. — 2000. — V. 14, 4. — P. 523–531.5. Кожухов И. Б., Халиуллина А. Р. Инъективность и проектив-
ность полигонов над сингулярными полугруппами // Электронныеинформационные системы. — 2014 . — 2 (2). — С. 45–56.
ТЕМПОРАЛЬНАЯ ЛОГИКАДЛЯ ВЕРИФИКАЦИИ
АВТОМАТОВ-ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
Д. Г. Козлова, В. А. Захаров (Москва)
Верификация моделей программ — один из наиболее эффектив-ных методов проверки правильности поведения реагирующих про-грамм [1]. В качестве модели реагирующей программы обычно ис-пользуются модели Крипке — размеченные системы переходов. Вы-числениями модели являются бесконечные последовательности со-стояний, связанные отношением переходов. Для спецификации тре-бований правильного поведения модели используются формулы тем-поральных логик. Модель M удовлетворяет спецификации ϕ, еслиформула ϕ выполняется во всех начальных состояниях модели M .
Характерная особенность моделей Крипке и большинства темпо-ральных логик (PLTL, CTL, PDL, µ-исчисление и др.), используе-мых в качестве формальных языков спецификации, состоит в том,что элементарные свойства вычислений зависят только от состоя-ний модели, но не от вычислений, которыми достигаются состоя-ния. Однако для стороннего наблюдателя поведение реагирующейсистемы проявляется в соответствии между последовательностямистимулов (сигналов), которыми внешняя среда воздействует на си-стему, и откликов (действий), которые вырабатывает или исполняетсистема в ответ на внешние воздействия. Поэтому при верификациинекоторых видов реагирующих систем элементарными свойствамистановятся множества конечных последовательностей действий. Этообстоятельство должно быть также учтено при разработке формаль-ного языка спецификаций поведения таких систем.
204
В данной статье рассмотрена задача формальной верификацииреагирующих систем, моделируемых конечными автоматами-преоб-разователями [2]. Для спецификации их поведения предложен новыйвариант темпоральной логики линейного времени LTL-FL (LTL withFormal Languages). Формальные языки (множества конечных словфиксированных алфавитов) в формулах LTL-FL используются дляпредставления элементарных свойств вычислений, а также для па-раметризации темпоральных операторов. Установлено, что задачапроверки выполнимости формул регулярного фрагмента FL-LTL наконечных автоматах преобразователях разрешима.
Пусть заданы конечные алфавита событий C и действий A. Сло-ва и ω-слова в алфавите C будем называть потоками событий. Дей-ствия из множества A являются образующими моноида (S, , e). Эле-менты моноида S будем называть историями. Бесконечную последо-вательность пар α = (c1, s1), (c2, s2), . . . , (ci, si), . . . , где ci ∈ C, si ∈ S
для всех i, i ≥ 0, назовем траекторией. Запись α|i используется дляобозначения суффикса (ci, si), (ci+1, si+1), . . . траектории α.
Пусть выделены счетное семейство языков L,L ⊆ ℘(C∗), в алфа-вите событий и счетное множество одноместных предикатов P ,P ⊆℘(S) в моноиде S. Для конструктивного описания языков из L ипредикатов из P могут быть использованы различные средства —формальные грамматики, автоматы, алгебраические выражения идр. Множество формул LP-LTL строится из предикатов множестваP при помощи булевых связок и параметризованных темпоральныхоператоров, причем параметрами являются языки из множества L.
Формулы логики LP-LTL — это выражения, устройство которыхопределяется следующими правилами:1) если P ∈ P , то P — атомарная формула;2) если ϕ и ψ — формулы, c ∈ C, и L,L1, L2 ∈ L, то формулами явля-ются выражения ¬ϕ, ϕ ∧ ψ, X[c]ϕ, Y[c]ϕ, F[L]ϕ, G[L]ϕ, ϕU[L1, L2]ψи ϕR[L1, L2]ψ.
Семантика формул LP-LTL определяется отношением выполни-мости на траекториях и историях. Пусть задана некоторая траекто-рия α=(c1, s1), (c2, s2), . . . , (ci, si), . . . и история s,s ∈ S. Тогда• если ϕ0 = P — атомарная формула, то α, s |= ϕ0 ⇔ s ∈ P ;• α, s |= ¬ϕ ⇔ α, s 6|= ϕ;• α, s |= ϕ ∧ ψ ⇐⇒ α, s |= ϕ1 и α, s |= ϕ2;• α, s |= X[c]ϕ ⇐⇒ c = c1 и α|2, ss1 |= ϕ;• α, s |= Y[c]ϕ ⇐⇒ c 6= c1 или α|2, ss1 |= ϕ;• α, s |= F[L]ϕ ⇐⇒ ∃i : i ≥ 0 : c1c2 . . . ci ∈ L и α|i+1, ss1s2 · · · si |= ϕ;
205
• α, s |= G[L]ϕ⇐⇒∀i : i ≥ 0 : c1c2 . . . ci ∈ L⇒ α|i+1, ss1s2 · · · si |= ϕ;• α,s |=ϕU[L1,L2]ψ⇐⇒∃i : i≥0 :1) c1c2 . . . ci∈L2 и α|i+1, ss1 · · · si |=ψ
и 2) ∀j : 0≤j<i : c1c2 . . . cj ∈ L1 ⇒ α|j+1, ss1s2 · · · sj |= ϕ;• α,s |=ϕR[L1,L2]ψ⇐⇒1) ∀i : i≥0 :c1 . . . ci∈L2 ⇒ α|i+1, ss1 · · · si |=ψ
или 2) ∃i : i ≥ 0 : c1c2 . . . ci ∈ L2 и α|i+1, ss1s2 · · · si |= ϕ и
∀j : 0≤j≤ i : c1c2 . . . cj ∈ L1 ⇒ α|j+1, ss1s2 · · · sj |= ψ.Формула ϕ выполнима на траектории α (обозначается α |= ϕ),
если α, e |= ϕ.Формулы LP-LTL можно использовать в качестве формальных
спецификаций для реагирующих систем. Вычисления системы по-рождают траектории. События из A играют роль воздействий внеш-ней среды на систему. Действия из A — это реакция системы на воз-действия среды, а истории — это результат выполнения действий. Вкачестве моделей реагирующих систем можно использовать автома-ты-преобразователи над алфавитами C и A.
Конечный автомат-преобразователь π = 〈C,A, Q,Q0, T 〉 — этосистема переходов, состоящая из множества состояний Q, подмно-жества начальных состояний Q0 и отношения переходов T ⊆ Q ×C → Q×A∗. Отношение переходов T тотально, т.е. из любого состо-яния q в множестве T есть некоторый переход (q, c, q′, h). Вычисле-нием преобразователя π называется всякая бесконечная последова-тельность четверок(q0, c1, q1, h1), (q1, c2, q1, h2), . . . , (qi−1, ci, qi, hi), (qi, ci+1, qi+1, hi+1), . . .в которой q0 ∈ Q0 и (qi−1, ci, qi, hi) ∈ T для любого i, i ≥ 1. Последо-вательность α = (c1, h1), (c2, h2), . . . , (ci, hi), . . . называется траекто-рией данного вычисления. Множество траекторий всех вычисленийпреобразователя π обозначим записью Tr(π).
Формула ϕ выполняется на преобразователе π, если отношениеα |= ϕ выполняется для любой траектории α из Tr(π).
Теорема. Если L — семейство регулярных языков, S — сво-бодный моноид, и P — множество всех регулярных предикатов,то задача проверки выполнимости формул LP-LTL на конечныхавтоматах-преобразователях алгоритмически разрешима.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ(проект 15-01-05742).
Список литературы1. Кларк Э. М., Грамберг О., Пелед Д. Верификация моделей про-
грамм. Model Checking. — М.: МЦНМО, 2002.
206
2. Захаров В. А. Моделирование и анализ поведения последова-тельных реагирующих программ // Труды Института системногопрограммирования РАН. — 2015. — Т. 27, N 2. — С. 221–250.
ТРИ СЕМЕЙСТВА ЗАМКНУТЫХ КЛАССОВ В P k,ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ d-РАЗНОСТЯМИ
Д. Г. Мещанинов (Москва)
В [1, 2] анализировались замкнутые классы R(d) и L(d) функцийиз Pk, сохраняющих и, соответственно, абсолютно сохраняющих d-разности, d|k.
Теорема 1 [1, 2]. Классы R(d) и L(d) обладают следующимисвойствами.1. Если d 6= 1 и d 6= k, то L ⊂ L(d) ⊂ R(d) ⊂ C(d), где L — классвсех линейных по модулю k функций, C(d) — класс функций сохра-няющих сравнение по модулю d:
x ≡ y (mod d) ⇒ f(x) ≡ f(y) (mod d).
2. Имеют место равенства
L(1) = R(1) = L, L(k) = R(k) = C(k) = C(1) = Pk.
3. Классы R(d) при различных d|k образуют решетку по включе-нию, изоморфную решетке делителей числа k. Такую же решеткуобразуют классы L(d).4. Класс L(d) является предполным в R(d) в точности при k = pd,где число p простое. В точности при том же условии класс R(d)является предполным в C(d).
Классы C(d) при всех d 6= 1, d 6= k являются предполными вPk [3].
Эти свойства классов семейств R(d) и L(d) позволили построитьрешетку всех классов, содержащих L, при k = p2, k = p1 · · · pm, гдеp1, . . . , pm — различные простые числа. Свойства классов R(d) и L(d)позволяют также дать им следующую характеризацию.
207
Функция, удовлетворяющая условию
x ≡ y (mod d) ⇒ f(x) = f(y),
называется d-периодической.Введем функции
gd(x) =
1, x ≡ 0 (mod d),0, x 6≡ 0 (mod d),
χd,j(x) = xjgd(x), j = 1, . . . , n.
Теорема 2. Функция принадлежит классу R(d) тогда и толькотогда, когда ее можно представить в виде
f(x) = l(x) + g(x) + h(x), (1)
где l(x) ∈ L, g(x) — d-периодическая и h(x) — линейная комбинацияфункций χd,j(x − µ), j=1,. . . n, µ ∈ Ed, причем функция l(x) имеетспециальный вид и все слагаемые суммы (1) определены однозначно.
Теорема 3. Функция принадлежит классу L(d) тогда и толькотогда, когда ее можно представить в виде
f(x) = l(x) + g(x), (2)
где l(x) ∈ L, g(x) — d-периодическая, причем функция l(x) имеетспециальный вид и слагаемые суммы (2) определены однозначно.
В связи с этим рассмотрим функции, допускающие представле-ние в виде
f(x) = l(x) + h(x), (3)
где l(x) ∈ L, h(x) — линейная комбинация функций χd,j(x − µ),j = 1, . . . n, µ ∈ Ed.
Теорема 4. Функции вида (3) образуют замкнутый подкласс вR(d).
Обозначим этот класс как S(d). Тогда
[L(d) ∪ S(d)] = R(d).
Теорема 5. Если k = p2, то класс S(p) является предполным вR(p).
Такое свойство классов S(p) позволило описать решетку всехклассов, содержащих L, при k = p2 [4]. В случае k = 4 эта решеткабыла построена ранее в [5].
208
Список литературы1. Мещанинов Д. Г. О первых d-разностях функций k-значной
логики // Математические вопросы кибернетики. Вып. 7. — М.: На-ука, 1998. — С. 265–280.
2. Мещанинов Д. Г. О замкнутых классах k-значных фунуций,сохраняющих первые d-разности // Математические вопросы кибер-нетики. Вып. 8. — М.: Наука, 1999. — С. 219–230.
3. Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значнойлогике // Труды МИАН СССР. — 1958. — Т. 51. — C. 5–142.
4. Мещанинов Д. Г. О замкнутых классах полиномов над коль-цом Zk // Труды IX Междунар. конф. "Дискретные модели в тео-рии управляющих систем" (20–22 мая 2015 г.) — М.: МАКС-Пресс,2015. — С. 161–163.
5. Крохин А. А., Сафин К. Л., Суханов Е. В. О строении ре-шетки замкнутых классов полиномов // Дискретная математика. —1997. — T. 9, вып. 2. — C. 24–39.
О БАЗИРУЕМОСТИ КЛАССОВФУНКЦИЙ ТРEХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ,
ПОРОЖДEННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИМИСИММЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
А. В. Михайлович (Москва)
Э. Пост [1] показал, что все замкнутые классы булевых функ-ций имеют конечный базис. В k-значных логиках при k ≥ 3 этотрезультат не сохраняется. В работе [2] установлено, что при всехk ≥ 3 в множестве функций k-значной логики существуют как за-мкнутые классы со счетным базисом, так и классы, не имеющиебазиса. Следует отметить, что порождающие системы замкнутыхклассов в этих примерах состоят из симметрических функций, ко-торые принимают значения из множества 0, 1, причeм ненулевыезначения принимаются на наборах, состоящих только из единиц идвоек. В работе [3] рассматривались периодические симметрическиефункции трехзначной логики, принимающие только значения 0 и 1,
209
причем единичное значение — на таких наборах из единиц и дво-ек, в которых число единиц образует периодическую последователь-ность. Для классов, порождeнных периодическими симметрически-ми функциями с ограниченным периодом, получен критерий бази-руемости и показано, что классы такого вида либо имеют конечныйбазис, либо не имеют базиса. В данной работе рассматриваются клас-сы, у которых период является степенью некоторого простого числа.Для таких классов получены критерии базируемости и конечной по-рождeнности.
Дадим некоторые определения. Все недостающие определенияможно найти в [4].
Функции f и g называются конгруэнтными, если одна из нихполучается из другой переименованием переменных без отождеств-ления.
Будем обозначать через Nf множество всех наборов, на которыхфункция f принимает значение 1.
Пусть E = 0, 1, 2. Множество всех наборов из En, которые по-лучаются друг из друга перестановкой компонент, будем называтьслоем. Слой из En, содержащий e единиц и n − e двоек, обозначимчерез L(e, n− e).
Обозначим через R множество всех функций трехзначной логики,принимающих значения только из множества 0, 1 и равных нулюна всех наборах, содержащих хотя бы одну нулевую компоненту.
Пусть t ∈ N. Функция f(x1, . . . , xn) из множества R называетсяэлементарной периодической симметрической функцией с периодомt, если Nf 6= ∅ и для некоторых e и d, удовлетворяющих условиямe+ d = n, 0 ≤ d < t, выполняется соотношение
Nf =
s⋃
i=0
L(e − it, d+ it),
где s = ⌈n−dt ⌉. Будем обозначать через tf период функции f, а черезef и df — число единиц и двоек соответственно в слое из Nf с наи-большим числом единиц. Множество всех элементарных периодиче-ских симметрических функций будем обозначать через PS, множе-ство всех элементарных периодических симметрических функций спериодом t — через PSt, а множество всех элементарных периодиче-ских симметрических функций, у которых период является степеньюпростого числа p — через PS[p]. Множество функций PS1 обозначимчерез I.
210
Доказательство основного результата опирается на следующийвспомогательный факт, при формулировке которого под записью(a, b) понимается наибольший общий делитель чисел a и b.
Лемма. Пусть f(x1, . . . , xn), g(x1, . . . , xm) ∈ PS, (1m), (2m) 6⊂Ng, tf > 1, df + tf ≤ n. Тогда имеют место следующие утвержде-ния:1. Функция f содержится в классе [g] тогда и только тогда,
когда dg кратноtgtf(df , tf ) и существуют такие s ∈ Z+, q ∈ N и
k ∈ Z+, что выполняются условия:
a) q кратноtgtf,
b) m = qn+ stg,c) 0 < q < tg,d) dg + ktg = qdf .
2. Функция f содержится в классе [g ∪ I] тогда и только тогда,
когда dg кратноtgtf(df , tf ) и существуют такие q ∈ N и k ∈ Z+,
что выполняются условия:
a) q кратноtgtf,
b) m ≥ qn,c) 0 < q < tg,d) dg + ktg = qdf .
Пусть G ⊂ PS[p]. Положим
Gt =
f ∈ G | tf
(df , tf )= pt
.
Основным результатом данной работы является следующий кри-терий базируемости и конечной порожденности для классов, по-рождeнных функциями из рассматриваемых семейств.
Теорема. Пусть G — множество попарно неконгруэнтных
функций из PS[p], F = [G]. Тогда справедливы следующие утвер-ждения:1. Класс F имеет базис тогда и только тогда, когда множествоG\I конечно.2. Класс F имеет счeтный базис тогда и только тогда, когда мно-жество G\I бесконечно и для любого t ∈ N множество Gt конечно.3. Класс F не имеет базиса тогда и только тогда, когда множествоG\I бесконечно и существует t ∈ N, такое что множество Gtбесконечно.
211
Отметим, что в отличие от классов, порождeнных периодически-ми симметрическими функциями с ограниченным периодом, средирассматриваемых классов существуют классы со счeтным базисом.
Данное научное исследование (14-01-0144) выполнено при под-держке Программы «Научный фонд НИУ ВШЭ» в 2014/2015 гг.
Список литературы1. Post E. L. The two-valued iterative systems of mathematical
logic // Annals of Math. Studies. — Princeton Univ. Press, 1941.2. Янов Ю. И., Мучник А. А. О существовании k-значных за-
мкнутых классов, не имеющих конечного базиса // ДАН СССР. —1959. — 127, 1. — С. 44–46.
3. Михайлович А. В. О замкнутых классах функций в P3, по-рожденных периодическими симметрическими функциями // Вест.Нижегор. ун-та им. Н. И. Лобачевского. — 2013. — 1. — С. 208–212.
4. Михайлович А. В. О замкнутых классах функций многознач-ной логики, порожденных симметрическими функциями // Матема-тические вопросы кибернетики. Вып. 18. — М.: Физматлит, 2013. —С. 123–212.
О ТРИВИАЛЬНЫХ ПЕРЕСЕЧЕНИЯХПРЕДПОЛНЫХ КЛАССОВ СЕМЕЙСТВА C \ T
В ЧЕТЫРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКЕ
А. С. Нагорный (Москва)
Пусть k ≥ 2, Ek = 0, 1, . . . , k−1. Обозначим через Pk множествовсех конечноместных функций на Ek. Элементы множества Pk будемназывать k-значными функциями или функциями k-значной логики.Определения основных понятий можно взять, например, из [1].
Предикат, заданный на Ek, назовем центральным, если он явля-ется вполне рефлексивным, вполне симметричным, отличен от тож-дественно истинного предиката, и существует такое непустое подмно-жество множества Ek (называемое центром), что предикат являетсяистинным для любого набора, пересекающегося с центром. При лю-бом k ≥ 2 классы k-значных функций, сохраняющих центральные
212
предикаты, являются замкнутыми и предполными в Pk [2]. Обозна-чим через C семейство всех таких классов. Пусть также T есть мно-жество тех классов из семейства C, которые сохраняют одноместныецентральные предикаты.
Опишем все пересечения классов из семейства C \ T в четырех-значной логике, которые являются тривиальными, т. е. содержаттолько константы и селекторные функции. Интерес к данному се-мейству обусловлен тем фактом, что с ростом k почти все предпол-ные классы в Pk лежат в C \ T [3].
Пусть π — произвольная перестановка на Ek, f(xn) ∈ Pk. Функ-цию f∗(xn) = π−1(f(π(x1), π(x2), . . . , π(xn))) назовем двойственнойк функции f относительно перестановки π.
Класс функций Φ∗ назовем двойственным классу функций Φ,если существует такая перестановка π, что Φ∗ состоит из всех функ-ций, двойственных функциям из Φ относительно π, и только из них.
Тривиальное пересечение замкнутых классов Ki1 ∩Ki2 ∩ . . .∩Kis
назовем неприводимым, если после удаления любогоKim получаетсянетривиальное пересечение оставшихся классов.
В P2 семейство C \ T не содержит ни одного класса, в P3 оносостоит из трех классов C0, C1 и C2, отвечающих предикатам с цен-трами 0, 1 и 2, соотвественно (при этом тривиальным являетсятолько пересечение всех трех этих классов). В четырехзначной ло-гике семейство C \T состоит из 26 предполных классов. Это классыфункций, сохраняющих двухместные центральные предикаты:
C0 = Pol4
(01230001230123123000
)и еще 3 двойственных класса,
C01 = Pol4
(0123000123112301231230002311
)и еще 5 двойственных классов,
C012 = Pol4
(012300012312012312300021
)и еще 11 двойственных классов
и трехместные центральные предикаты: D0 =
= Pol4((x1 = x2) ∨ (x1 = x3) ∨ (x2 = x3) ∨ j0(x1) ∨ j0(x2) ∨ j0(x3))и еще 3 двойственных класса.
Теорема. В четырехзначной логике имеется ровно 1315 непри-водимых тривиальных пересечений классов из семейства C \T , сре-ди которых ровно 78 попарно недвойственных (все они перечисленыв нижеследующей таблице). Знак ∩ для краткости всюду опущен.
213
Пересечение классов Пересечение классов1 C012C123C302 2 C0C1C2C3
3 C0C1C2C301 4 C0C1C2D3
5 C0C1C02C312 6 C0C1C230C3017 C0C1C230C302 8 C0C1C230C3129 C0C1C230D3 10 C0C01C231C30111 C0C01C231C312 12 C0C12C13C23
13 C0C12C13C230 14 C0C12C123C30215 C0C12C130C302 16 C0C12C301C30217 C0C123C120C302 18 C0C123C230C30119 C0C123C230C302 20 C0C123C230C31221 C0C123C230D3 22 C0C123C231C31223 C0C123C231D3 24 C01C02C123C30225 C01C023C231C301 26 C01C023C231C31227 C01C230C231C301 28 C012C013C231C31229 C012C123C230C301 30 C0C1C2C03C13
31 C0C1C02C13C23 32 C0C1C02C23C13033 C0C1C02C23C302 34 C0C1C02C23D3
35 C0C1C23C012C130 36 C0C1C23C012C31237 C0C1C23C012D3 38 C0C1C23C201C30139 C0C1C23C201D3 40 C0C1C23D2D3
41 C0C01C02C12C312 42 C0C01C12C23C31243 C0C01C12C230C312 44 C0C01C12C302C31245 C0C01C12C312D2 46 C0C12C13C023C23147 C0C12C13C231C312 48 C0C12C13C231D3
49 C0C12C013C231C312 50 C0C12C013C302C31251 C0C12C013C312D2 52 C0C12C130C230C31253 C0C12C130C230D3 54 C0C12C130C312D2
55 C0C12C301C312D2 56 C0C12C312D1D2
57 C0C120C130C230D3 58 C01C02C03C12C31259 C01C02C03C123C231 60 C01C02C12C301C30261 C01C02C13C231C302 62 C01C02C013C231C31263 C01C02C123C301C312 64 C01C02C120C302C31265 C01C012C231C302C312 66 C01C023C123C230C31267 C01C023C123C230D3 68 C01C230C231C302C31269 C01C230C201C301C312 70 C01C230C201C301D1
71 C012C013C123C231D3 72 C012C013C120C312D2
73 C01C02C03C12C13C23 74 C01C02C13C23C013C23175 C01C02C13C013C231D3 76 C01C23C023C123C201C30177 C01C23C023C123C201D3 78 C01C23C023C123D2D3
214
Отметим, что полученные результаты могут служить отправнойточкой для построения решетки основных замкнутых классов (явля-ющихся пересечениями предполных классов) четырехзначной логи-ки. Кроме того, их удается обобщать на случай произвольного k ≥ 3,формулируя и доказывая аналогичные утверждения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 16-01-00593-а).
Список литературы1. Марченков С. С. Функциональные системы с операцией супер-
позиции. — М.: Физматлит, 2004.2. Rosenberg I. G. Uber die funktionale Vollstandigkeit in den mehr-
wertigen Logiken // Rozpravy Ceskoslovenske Akad. Ved. N. 80. Praha:Rada Math. Prir. Ved., 1970. — P. 3–93.
3. Захарова Е. Ю., Кудрявцев В. Б., Яблонский С. В. О предпол-ных классах в k-значных логиках // ДАН СССР. — 1969. — Т. 186.3. — С. 509–512.
РАЗБИЕНИЕ РЕШЕТОККЛОНОВ (СУПЕРКЛОНОВ) НА ИНТЕРВАЛЫ
Н. А. Перязев (Санкт-Петербург),И. К. Шаранхаев (Улан-Удэ)
Пусть A — множество, B(A) — множество всех подмножеств A.Тогда n-местная операция над A— это f : An → A, а n-местная муль-тиоперация над A — это f : An → B(A). При этом операции можнорассматривать как частный случай мультиопераций, отождествляяэлементы с одноэлементными множествами. Обозначим через PnA ,PA — множества всех n-местных и всех операций над A, а через Mn
A,MA — множества всех n-местных и всех мультиопераций над A.
Мультиоперация f на множестве A называется пустой, полной,проектирования по i аргументу, если для любых a1, . . . , an из Aвыполняется, соответственно:
f(a1, ..., an) = Ø, f(a1, ..., an) = A, f(a1, ..., an) = ai.
215
Определим суперпозицию мультиопераций f, f1, ..., fn:
f ∗ (f1, ..., fn)(a1, ..., am) =⋃
bi∈fi(a1,...,am)
f(b1, ..., bn);
разрешимость мультиоперации f по i-му аргументу:
µif(a1, ...an) = a | ai ∈ f(a1, ..., , ai−1, a, ai+1, ..., an);
пересечение мультиопераций:
(f ∩ g)(a1, ..., an) = f(a1, ..., an) ∩ g(a1, ..., an).Клоном над множеством A называется любое подмножество
K ⊆ PA, содержащее все операции проектирования и замкнутое от-носительно суперпозиций. Алгеброй n-местных операций над A на-зывается любое подмножество K ⊆ PnA , содержащее все n-местныеоперации проектирования и замкнутое относительно суперпозиций.В [1] такие алгебры называются m-замкнутыми классами.
Суперклоном над множеством A называется любое подмножествоR ⊆MA, содержащее все полные и пустые мультиоперации проекти-рования и замкнутое относительно суперпозиций и разрешимостей[2]. Алгеброй n-местных мультиопераций над A называется любоеподмножество R ⊆ Mn
A, содержащее все n-местные мультиоперациипроектирования, пустую, полную мультиоперации и замкнутое от-носительно суперпозиций, разрешимостей и пересечений.
Мощность множества A называется рангом клона, суперклонаили алгебры. Введем обозначения:[F ] — клон над A, порожденный множеством F ⊆ PA;Stn(F ) = f |fni ∈ F ⇒ f ∗ (fn1 , ..., fnm) ∈ F;〈R 〉 — суперклон над A, порожденный множеством R ⊆Mn
A;Stn(R) = g|gni ∈ R ⇒ g ∗ (gn1 , ..., gnm) ∈ R и (µig) ∗ (gn1 , ..., gnm) ∈ R;Fn = F ∩ PnA ; Rn = R ∩Mn
A.Теорема 1. а) Для любого клона F ранга k выполняется [Fn] ⊆
F ⊆ Stn(Fn). б) Для любого суперклона R ранга k выполняется
〈Rn 〉 ⊆ R ⊆ Stn(Rn).
Следствие. а) Решетка клонов ранга k для любого n разбивает-ся на конечное число интервалов вида [[K], Stn(K)], где K — алгебраn-местных операций ранга k.
б) Решетка суперклонов ранга 2 для любого n разбивается наконечное число интервалов вида [〈B 〉 , Stn(B)], где B — алгебра n-местных мультиопераций ранга 2.
216
В случае n = 1 получается хорошо известное разбиение решет-ки клонов на моноидальные интервалы [3]. Напомним, что решет-ки клонов и суперклонов одного ранга являются антиизоморфными,поэтому разбиение решетки клонов определяет некоторое разбиениерешетки суперклонов, и наоборот.
Теорема 2. а) Для любой алгебры K n-местных операций рангаk существует клон F ранга k такой, что Fn = K.
б) Для любой алгебры B n-местных мультиопераций ранга 2существует суперклон R ранга 2 такой, что Rn = B.
Мультиоперации f ∈ MA, где A = a0, ..., ak−1 можно представ-лять как отображения f : 20, 21, ..., 2k−1n → 0, 1, ..., 2k − 1, по-лучаемых из f при кодировке ai1 , ..., ais → 2i1 + ... + 2is ; ai →2i; Ø → 0. Векторная форма f = (α1, ..., αkn) для n-местной муль-тиоперации f , определяется следующим образом: αi ∈ 0, 1, ..., 2k−1и αi = f(2i1 , ..., 2in), где (i1, ..., in) есть представление i− 1 в системеисчисления по основанию k.
Алгебры унарных операций ранга 2 (всего — 6):[(12)], [(11)], [(22)], [(21)], [(11), (22)], [(11), (21)].
Алгебры бинарных операций ранга 2 (всего — 26):[(1212)], [(1111)], [(2222)], [(2121)], [(1112)], [(1222)], [(1221)],[(2112)], [(1211)], [(2212)], [(2111)], [(1111), (2222)], [(1111), (1112)],[(1111), (1222)], [(1112), (2222)], [(1222), (2222)], [(1111), (2121)],[(1221), (2112)], [(1112), (1222)], [(1211), (1222)], [(1112), (2212)],[(1112), (1111), (2222)], [(1222), (1111), (2222)], [(1112), (1222), (1111)],[(1112), (1222), (2222)], [(1112), (1222), (1111), (2222)].
Алгебры унарных мультиопераций ранга 2 (всего — 19):〈 (12) 〉, 〈 (11) 〉, 〈 (22) 〉, 〈 (21) 〉, 〈 (31) 〉, 〈 (23) 〉, 〈 (11), (22) 〉,〈 (11), (23) 〉, 〈 (22), (31) 〉, 〈 (11), (21) 〉, 〈 (13) 〉, 〈 (11), (13) 〉, 〈 (22), (32) 〉,〈 (13), (31) 〉, 〈 (23), (32) 〉, 〈 (11), (23), (32) 〉, 〈 (22), (13), (31) 〉,〈 (11), (22), (13) 〉, 〈 (31), (23) 〉.
Алгебры бинарных мультиопераций ранга 2 (всего — 44):〈 (1212) 〉, 〈 (1111) 〉, 〈 (2222) 〉, 〈 (3131) 〉, 〈 (1111), (2222) 〉,〈 (1111), (1313) 〉, 〈 (2323) 〉, 〈 (1111), (2323) 〉, 〈 (2222), (3131) 〉,〈 (1111), (2121) 〉, 〈 (1313) 〉, 〈 (2121) 〉, 〈 (2222), (3232) 〉,〈 (1111), (2222), (1313) 〉, 〈 (1313), (3131) 〉, 〈 (2111) 〉,〈 (1111), (2323), (3232) 〉, 〈 (2222), (1313), (3131) 〉, 〈 (3331) 〉, 〈 (2333) 〉,〈 (2323), (3232) 〉, 〈 (3131), (2323) 〉, 〈 (1221) 〉, 〈 (2112) 〉, 〈 (1332) 〉,〈 (2222), (3331) 〉, 〈 (3331), (3322) 〉, 〈 (3332), (3331) 〉, 〈 (1111), (2333) 〉,〈 (2333), (1133) 〉, 〈 (3331), (2222), (3322) 〉, 〈 (2333), (1111), (1133) 〉,
217
〈 (1221), (2112) 〉, 〈 (3332) 〉, 〈 (3332), (2222) 〉, 〈 (3332), (2222), (3331) 〉,〈 (1333) 〉, 〈 (1333), (2333) 〉, 〈 (1333), (1111) 〉, 〈 (1333), (2333), (1111) 〉,〈 (1333), (3332) 〉, 〈 (2333), (3332) 〉, 〈 (1333), (3331) 〉, 〈 (1332), (2211) 〉.
В книге [4] приведено перечисление всех 699 алгебр унарных опе-раций (унарнопорожденных клонов, моноидов операций) ранга 3.В [5] дано описание всех 2079040 алгебр унарных мультиоперацийранга 3.
Список литературы1. Черепов А. Н., Черепов B. А. Классы сохранения основания в
многозначных логиках // Труды 4-й Международной конференции«Дискретные модели в теории управляющих систем» (19–25 июня2000 г.). — М.: МАКС Пресс, 2000. — С. 135–136.
2. Перязев Н. А., Шаранхаев И. К. Теория Галуа для клонов исуперклонов // Дискретная математика. — 2015. — Т. 27, вып. 4. —С. 79–93.
3. Scendrei A. Clones in universal algebra. — Montreal: Les pressesde l‘universite de Montreal, 1986.
4. Lau D. Function algebras on finite sets. — Springer-Verlag BerlinYeideWater Resourses Research, 2006.
5. Казимиров А. С., Перязев Н. А. Алгебры унарных мультиопе-раций // Тезисы докладов Международной конференции «Мальцев-ские чтения» (11–15 ноября). — Новосибирск, 2013. — C. 156.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯВ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХПРОГРАММ С ПРОЦЕДУРАМИ
Р. И. Подловченко, А. Э. Молчанов (Москва)
Один из разделов теории схем программ посвящен алгебраиче-ским моделям программ [1, 2]. Эти модели строятся для заданнойформализации понятия программы и аппроксимируют классы фор-мализованных программ. При формализации программы в [2] учте-ны все основные композиции базисных операторов и логических
218
условий, над которыми строятся реальные программы, включая ап-парат процедур. Если этот аппарат не используется, то модель назы-вается простой.. Для моделей программ исследуются проблемы эк-вивалентности и эквивалентных преобразований (э.п.) схем. Перваясостоит в поиске алгоритма, который распознает эквивалентностьсхем в модели. Вторая проблема состоит в построении системы э.п.схем, обладающей свойством полноты: существует алгоритм, кото-рый для любых двух эквивалентных схем из данной модели строитконечную цепочку э.п., трансформирующих одну схему в другую.Обе проблемы решены для широкого класса простых алгебраиче-ских моделей программ, называемых далее избранными [3]. В дан-ной статье полученные в [3] результаты использованы для решенияобеих проблем в некотором классе моделей программ с процедурами.
Нами применялась разработанная в [4] методика α построенияполной системы э.п. в модели вычислений, объектами которой яв-ляются конечные размеченные графы. Согласно ей вводится поня-тие фрагмента объекта модели, частным случаем которого являетсясам объект, и определяется отношение вхождения фрагмента в объ-ект. Для двух фрагментов описывается операция подстановки вместовхождения в объект одного из них вхождения другого, результатомкоторой является объект. Таким образом, парой фрагментов опре-деляется преобразование исходного объекта модели в другой. Еслинезависимо от выбора исходного объекта и вхождения в него какого-либо из этой пары фрагментов получаемый объект эквивалентен ис-ходному, то фрагменты объявляются безусловно эквивалентными;в случае алгоритммического ограничения на вхождение — условноэквивалентными. Так вводится формальное исчисление, элемента-ми которого служат фрагменты, единственным правилом вывода —операция подстановки, а аксиомой — множество пар эквивалентныхфрагментов. Выбор в качестве аксиом рекурсивных множеств такихпар может индуцировать полную в модели систему э.п. Методика αприменяется к модели с разрешимой проблемой эквивалентности и ктакой, в каждом классе эквивалентности которой есть каноническаяформа. Методика α требует, чтобы разрешающий алгоритм транс-формировал эквивалентные схемы в каноническую форму. Анали-зом операций, выполняемых таким алгоритмом, создаются искомыеаксиомы. Полнота индуцируемых ими э.п. обеспечена.
Объектами алгебраическиx моделей программ, введенных в [2],являются схемы программ, представляющие собой конечные оргра-фы. Их вершины размечены символами операторов, вызовов и воз-вратов из множеств Y,C,R соответственно, а дуги — элементами ко-нечного множества X . Граф состоит из подграфов, один из которых
219
называется главным, а остальные — процедурными. Вход в схему ивыход из нее — это вершины главного подграфа, каждый процедур-ный подграф тоже имеет вершину-вход и вершину-выход. Остальныевершины подразделяются на преобразователи, вызовы и возвраты.Дуга из вызова ведет во вход процедурного подграфа, а из выходаэтого подграфа дуга ведет в парный ему возврат. Из каждой верши-ны типа вход, преобразователь, возврат исходят дуги, помеченныеэлементами из X . Вычисление схемы проводится на функции раз-метки, отображающей множество H цепочек символов из Y,C,R вмножество X . Вычисление представляет собой обход ее графа, начи-нающийся во входе схемы при пустой цепочке и сопровождающийсяприписыванием к ней символов, помечающих проходимые вершины.Обход завершается при достижении выхода схемы, и полученная це-почка объявляется результатом выполнения схемы на взятой функ-ции разметки. Так схема реализует отображение множества функ-ций разметки в множество H . Эквивалентность схем определяетсямножеством допустимых функций разметки, на которых выполня-ются схемы, и отношением эквивалентности в H , используемым присравнении результатов их выполнения. Пара указанных параметровидентифицирует модель.
В множестве алгебраических моделей программ с процедураминами отобраны т.н. перегородчатые алгебраические модели, пара-метры которых индуцируются параметрами ее простой подмодели[5]. В этих моделях выделены классы примитивных схем. В [6] до-казано, что разрешимость эквивалентности в классе примитивныхсхем следует из разрешимости эквивалентности в индуцирующейего простой модели. Далее в качестве последней берется исключи-тельно избранная модель. Важным обстоятельством является то, чтодля класса примитивных схем выполнены необходимые условия при-менимости методики α. Исчисление фрагментов примитивных схемстроится как расширение такового для избранной модели, изложен-ное в [3]. В частности, определяется каноническая форма примитив-ной схемы и доказывается, что существует алгоритм, разрешающийэквивалентность примитивных схем путем их приведения в канони-ческую форму. Эти результаты, дающие решение проблемы э.п. длякласса примитивных схем, индуцированных любой избранной моде-лью, получены в [7].
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ(проект 15-01-05742).
Список литературы1. Подловченко Р. И. Иерархия моделей программ // Програм-
мирование. — 1981. — 2. — C. 3–14.
220
2. Подловченко Р. И. Рекурсивные программы и иерархия их мо-делей // Программирование. — 1991. — 6. — C. 44–51.
3. Подловченко Р. И. Об одном массовом решении проблемы экви-валентных преобразований схем программ // Программирование. —2000. —1. — C. 66–77; Программирование. — 2000. — 2. — C. 3–11.
4. Подловченко Р. И. Эквивалентные преобразования в матема-тических моделях вычислений. — М.: Издат. отдел факультета ВМКМГУ, МАКС-Пресс, 2011.
5. Подловченко Р. И., Молчанов А. Э. Разрешимость эквивалент-ности в перегородчатых моделях программ // Моделирование и ана-лиз информационных систем. — 2014. — Т. 1, вып. 2. — С. 56–70.
6. Подловченко Р. И. Исследование примитивных схем программс процедурами // Моделирование и анализ информационных си-стем. — 2014. — Т. 21, вып. 4. — С. 116–131.
7. Молчанов А. Э. Разрешимость проблемы эквивалентных пре-образований в классе примитивных схем программ // Труды Инсти-тута системного программирования РАН. — 2015. — Т. 27, вып. 2. —С. 173–188.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ В P -МНОЖЕСТВАХ
А. А. Родин (Москва)
Обозначим через P 2 множество всех ограниченно-детерминиро-ванных функций (автоматных отображений), входные и выходныепеременные которых определены на множестве бесконечных после-довательностей, составленных из нулей и единиц.
Будем считать, что на множестве P 2 определена операция супер-позиции [1]. Пусть M ⊆ P 2. Замыкание множества M относительносуперпозиции обозначим через [M ].
Пусть D — произвольный замкнутый класс Поста [2]. Введемпонятие P -множества, порожденного классом D, — это множествовсех ограниченно-детерминированных (о.-д.) функций, в каждом со-стоянии которых реализуется функция алгебры-логики, принадле-жащая D. Будем обозначать такое множество через PD. Несложно
221
видеть, что любое P -множество является замкнутым множествомавтоматных функций.
В работах [3, 4] рассмотрены особенности P -множеств. Приведемнекоторые из них.
Свойство 1. Пусть класс Поста D содержит тождественнуюфункцию алгебры логики. Тогда существует такая о.-д. функция u,что
[PD ∪ u] = P 2.
Свойство 2. Пусть несобственный класс Поста D содержиттождественную функцию алгебры логики. Тогда в P 2 существуетконтинуум предполных классов, содержащих PD.
Свойство 3. Пусть несобственный класс Поста D содержиттождественную функцию алгебры логики и обе константы. Тогдасуществует алгоритм распознавания полноты систем вида PD ∪M, где M — произвольное конечное множество о.-д. функций.
Интересно, что алгоритм распознавания полноты существует не-смотря на континуальность предполных классов, содержащих PD.Таким образом, P -множества являются важным объектом с точкизрения задач распознавания полноты. Поэтому интересно рассмот-реть P -множество как самостоятельную функциональную систему.
Одной из важных задач, возникающих в любой функциональ-ной системе является исследование свойств полных систем. Очевид-но, что не существует конечных полных систем в P -множестве (заисключением тривиальных случаев). В P 2 также не существует ко-нечных полных систем. В [1] показано, что в P 2 существует полнаясистема, не содержащая базиса, вместе с тем, в P 2 можно выделитьбазис. С этой точки зрения интерес представляет аналогичная за-дача для функциональной системы PD, порожденной произвольныммножеством D.
Целью данной работы является доказательство следующихутверждений.
Теорема 1. Пусть 0, 1, x ∈ D. Тогда в PD существует полнаясистема, не содержащая базиса.
Теорема 2. Пусть 0, 1, x ∈ D. Тогда в PD существует базис.Теорема 3. Пусть порождающее множество D содержит
тождественную функцию алгебры логики и функцию отрицания.Тогда в PD существует полная система, из которой нельзя выде-лить базис.
Теорема 4. Пусть порождающее множество D содержиттождественную функцию алгебры логики и функцию отрицания.Тогда в PD существует базис.
222
Доказательство всех сформулированных теорем конструктивно.Список литературы
1. Кудрявцев В. Б., Алешин С. В., Подколзин А. С Введение втеорию автоматов. — М.: Наука, 1985.
2. Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б. Функцииалгебры логики и классы Поста. — М.: Наука, 1966.
3. Родин А. А. О некоторых свойствах P -множеств ограниченно-детерминированных функций // Вестник Московского университе-та. Сер. 1. Математика. Механика. — 2013. — 1. — С. 51–53.
4. Родин А. А. Критерий полноты некоторых систем, содержащихP -множества о.-д. функций // Дискретная математика. — 2013. —Т. 25, вып. 1. — 76–89.
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА ДЕЛЬТА-ЗАМКНУТЫХКЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ
Д. Е. Стародубцев (Москва)
Исследуются замкнутые классы функций k-значной логики [1, 2].Известно, что семейство таких замкнутых классов при k ≥ 3 имеетмощность континуума [1, 3]. С целью получить более “просто” устро-енную решетку замкнутых классов функций рассматриваются раз-личные усиления операции суперпозиции (обзор работ в этом на-правлении см., например, в [4]). В данной работе на множестве функ-ций k-значной логики вводится дополнительная операция — опера-ция обращения, которая в некотором смысле является обратной коперации отождествления переменных. Один из вариантов операцииобращения рассматривался в работе [5]. В этой работе были описанывсе классы функций k-значной логики (k > 3), замкнутые относи-тельно суперпозиции и введенного варианта обращения. В настоя-щей работе рассматривается “слабый” вариант операции обращенияи показано, что существует континуум классов, замкнутых относи-тельно суперпозиции и “слабого” варианта обращения.
Пусть k > 3. Обозначим через Ek множество 0, 1, . . . , k − 1, че-рез Pk — множество всех функций k-значной логики. Для каждогоκ ∈ Ek на множестве функций k-значной логики определим опе-рацию обращения с параметром κ следующим образом. Для n > 2
223
обозначим через An множество наборов α = (α1, . . . , αn) ∈ Enk , та-ких, что αn = αi для некоторого i ∈ 1, . . . , n−1. Рассмотрим функ-цию f(x1, . . . , xn) из Pk. Будем говорить, что функция g(x1, . . . , xn+1)получена из функции f с помощью операции обращения, если вы-полнено g(α1, . . . , αn+1) = f(α1, . . . , αn) при (α1, . . . , αn+1) ∈ An+1 иg(α1, . . . , αn+1) = κ в остальных случаях. Определенную таким об-разом функцию g будем обозначать через ∆κ(f). Через [F ]κ будемобозначать замыкание множества функций F относительно опера-ций суперпозиции и обращения с параметром κ. Соответствующиезамкнутые классы будем называть дельта-замкнутыми с парамет-ром κ.
Пусть κ1 = κ− 1 при κ > 0 и κ1 = 1 при κ = 0; пусть κ2 = κ− 2при κ > 1 и κ2 = 2 при κ 6 1. Обозначим приm > 2 через Rm множе-ство всех наборов из Emk вида (κ2, . . . ,κ2,κ1,κ2, . . . ,κ2). При n > 2рассмотрим функции ϕn(x1, . . . , xn), такие, что ϕn(α1, . . . , αn) = κ1
при α ∈ Rn и ϕn(α1, . . . , αn) = κ в остальных случаях. Для каждойфункции f (n) ∈ Pk определим множество Nf ⊆ Enk как множествонаборов, на которых функция f принимает значения, отличные отκ. Далее будем рассматривать только функции, принимающие зна-чения κ и κ1, такие функции, соответственно, на всех наборах из Nfпринимают значение κ1. Для набора (α1, . . . , αn) набор (α1, . . . , αm)при m 6 n будем называть его префиксом длины m.
Пусть M = m1,m2, . . . ⊆ (N\1). Будем считать, что M непу-стое и m1 6 m2 6 . . . . Обозначим через ΦM множество функций,содержащее константу κ и все функции f(x1, . . . , xn) (а также всефункции, получающиеся из них переименованием переменных безотождествления), удовлетворяющие следующим условиям:
1. Функция f принимает только значения κ1 и κ.2. Все наборы в Nf состоят только из значений κ1 и κ2.3. Множество всех переменных, от которых зависит функция f ,
представимо в виде объединения групп x1, . . . , xp, xp+1, . . . , xp+q,xp+q+1, . . . , xp+q+r (здесь n = p+ q + r, q > m1), таких, что:a) для каждого i ∈ 1, . . . , p существует a ∈ κ1,κ2, такое, что изα ∈ Nf следует, что αi = a;b) для каждого i ∈ p + 1, . . . , p + q найдется m ∈ M , такое, чтосуществуют различные j1, . . . , jm−1 ∈ (p+1, . . . , p+ q \ i), такие,что из α ∈ Nf следует, что (αi, αj1 , . . . , αjm−1) ∈ Rm;c) для каждого i ∈ p + q + 1, . . . , p + q + r из α ∈ Nf следует,
что для каждого набора β ∈ κ1,κ2r набор (α1, . . . , αp+q, β1, . . . , βr)принадлежит Nf .
224
Переменная первой группы в некоторых случаях может быть от-несена ко второй группе, а переменная второй группы — к первой.Третья группа переменных определяется однозначно.
Пусть m > 2. Обозначим через Ψm множество функций f ∈ Pk,удовлетворяющих хотя бы одному из следующих условий:
1. f ∈ ΦN\1,m.2. f ∈ ΦN\1 и среди переменных, от которых зависит функция f ,
найдется такая, которая во всех наборах из Nf принимает значениеκ2.
Семейства функций Ψm обладают следующими свойствами:Утверждение 1. При любом p > 2 и любом κ ∈ Ek класс Ψp
замкнут относительно операций суперпозиции и обращения с па-раметром κ.
Утверждение 2. Для любого m > 2 имеет место соотношение[⋃i∈N\1,mϕi(x1, . . . , xi)
]κ⊂ Ψm.
Из этих утверждений следует факт, приведенный ниже, помога-ющий доказать основную теорему при помощи рассуждения, анало-гичного приведҷнному в [3].
Утверждение 3. При всех m > 2 имеет место соотношениеϕm(x1, . . . , xm) /∈
[⋃i∈N\1,mϕi
]κ.
Теорема. При всех k > 3 и при всех κ ∈ Ek в Pk существуетконтинуум классов, замкнутых относительно операций суперпози-ции и ∆κ .
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 14-01-00598("Вопросы синтеза, сложности и контроля управляющих систем")и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгеб-раические и комбинаторные методы математической кибернетики иинформационные системы нового поколения"(проект "Задачи опти-мального синтеза управляющих систем").
Список литературы1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.:
Высшая школа, 2001.2. Lau D. Function algebras on finite sets: a basic course on many-
valued logic and clone theory. — Berlin: Springer, 2006.3. Янов Ю. И., Мучник А. А. О существовании k-значных замкну-
тых классов, не имеющих конечного базиса // Докл. АН СССР. —1959. — Т. 127, 1. — С. 44–46.
4. Угольников А. Б. О некоторых задачах в области много-значных логик // Материалы X Международного семинара «Дис-кретная математика и ее приложения» (Москва, МГУ, 1–6 февраля
225
2010 г.) / Под редакцией О. М. Касим-Заде. — М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2010. — С. 18–34.
5. Стародубцев Д. Е. Классы функций многозначной логики, за-мкнутые относительно операций суперпозиции и обращения. Мате-риалы X молодежной научной школы по дискретной математике иее приложениям (Москва, 5–11 октября 2015 г.) / Под редакциейА. В. Чашкина. — М.: ИПМ им. М. В. Келдыша, 2015. — С. 69–73.
КРИТЕРИЙ НЕЯВНОЙ ПОЛНОТЫВ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКЕ
М. В. Старостин (Москва)
Понятие неявной выразимости в k-значной логике введеноА. В. Кузнецовым как одно из обобщений понятия выразимости посуперпозиции [1].
Функция называется явно выразимой над системой Σ функцийk-значной логики, если она выразима над системой Σ
⋃x посред-ством суперпозиций. Множество всех функций, явно выразимых надсистемой Σ, называется явным замыканием системы Σ и обозначает-ся через E(Σ). Говорят, что функция f(x1, . . . , xn) неявно выразиманад системой функций Σ, если существуют такие явно выразимыенад Σ функции Aj(x1, x2, ..., xn, z) и Bj(x1, x2, ..., xn, z), 1 ≤ j ≤ m,где z — вспомогательная переменная, что построенная из этих функ-ций система неявных уравнений вида
Aj(x1, x2, ..., xn, z) = Bj(x1, x2, ..., xn, z), j = 1, ...,m.
имеет единственное решение z = f(x1, x2, ..., xn). Множество всехфункций, неявно выразимых над Σ, называется неявным расширени-ем Σ и обозначается через I(Σ). Система Σ ⊆ Pk называется неявнополной в Pk, если I(Σ) = Pk. Систему Σ в Pk назовем неявно пред-полной, если она не является неявно полной, но становится таковойпри добавлении всякой не принадлежащей ей функции [2].
Проблема неявной выразимости в P2 решена в [3], где найденывсе неявно предполные классы. В работах [2, 4] найдены различные
226
критерии неявной полноты систем функций в Pk при произвольномk ≥ 2. Критерий неявной полноты в P3 в терминах минимальныхнеявно полных классов функций был получен в [5].
В настоящей работе получен критерий неявной полноты в P3 втерминах неявно предполных классов. Введем обозначения для этихклассов.
Пусть A — замкнутый по суперпозиции класс булевых функций.
Через Σa,bA обозначим класс всех функций из P3, сохраняющих под-
множество a, b, таких, что при ограничении их на множество a, bи последующей замене a на 0, b на 1, полученные булевы функциилежат в классе A.
Класс эквивалентности наборов значений переменных функцийтрехзначной логики относительно некоторого разбиения множества0, 1, 2 называется блоком.
Пусть A — замкнутый по суперпозиции класс булевых функций.
Через Σa,bcA обозначим класс всех функций из P3, сохраняющих
разбиение a, bc, таких, что все ограничения этой функции наблоках либо совпадают с константой c, либо после замены a на 0, bна 1 становятся функциями из класса A.
Пусть N3 — класс квазилинейных функций [4], DM3i ,KM
3i , i ∈
1, 2, 3 — классы функций, перестановочных с функциями max(x, y)и min(x, y) относительно линейных порядков 0 ≺ 1 ≺ 2, 1 ≺ 2 ≺0, 2 ≺ 0 ≺ 1 соответственно [6], Fc — класс сохранения предиката,задаваемого матрицей
(a b a a b b ca b a b a b ca b c c c c c
),
R′c — класс сохранения предиката, задаваемого матрицей [5]
(a b a b c c ca b c c a b ca b c c c c c
),
W ′c — класс сохранения предиката, задаваемого матрицей
(a b a b a b ca b a b c c ca b c c a b c
).
Здесь a, b и c — попарно различные элементы множества 0, 1, 2.
227
Через K (соответственно,D) обозначим класс всех функций рав-ных конъюнкциям (дизъюнкциям) переменных или константам 0, 1.Остальные обозначения см. в [7].
Теорема. Система Σ ⊆ P3 неявно полна тогда и только то-гда, когда она целиком не содержится ни в одном из следую-щих 54 неявно предполных классов: S3, L3, N3, T
3ǫ0,0, T
3ǫ1,0, T
3ǫ2,0,
Σ0,1S , Σ
0,1K , Σ
0,1D , Σ
0,1L , Σ
0,2S , Σ
0,2K , Σ
0,2D , Σ
0,2L , Σ
1,2S ,
Σ1,2K , Σ
1,2D , Σ
1,2L , Σ
0,12T0
, Σ0,12T1
, Σ0,12K , Σ
0,12D , Σ
0,12L ,
Σ0,21T0
, Σ0,21T1
, Σ0,21K , Σ
0,21D , Σ
0,21L , Σ
1,20T0
, Σ1,20T1
,
Σ1,20K , Σ
1,20D , Σ
1,20L , DM3
1 , KM31 , DM
32 , KM
32 , DM
33 , KM
33 ,
U3ǫ0,1,ǫ2
⋂U3ǫ0,2,ǫ1 , U
3ǫ0,1,ǫ2
⋂U3ǫ1,2,ǫ0 , U
3ǫ1,2,ǫ0
⋂U3ǫ0,2,ǫ1 , F0, F1, F2, R
′0,
R′1, R
′2, W
′0, W
′1, W
′2, T
3ǫ0,1,0
⋂U3ǫ0,1,ǫ2
⋂T 3ǫ2,1, T
3ǫ0,2,0
⋂U3ǫ0,2,ǫ1
⋂T 3ǫ1,1,
T 3ǫ1,2,0
⋂U3ǫ1,2,ǫ0
⋂T 3ǫ0,1.
Часть приведенных в теореме классов была описана в [4–6, 8].Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект
14–01–00598) и Программы фундаментальных исследований ОМНРАН «Алгебраические и комбинаторные методы математической ки-бернетики и информационные системы нового поколения» (проект«Задачи оптимального синтеза управляющих систем»).
Список литературы1. Кузнецов А. В. О средствах для обнаружения невыводимости
или невыразимости // Логический вывод. — М.: Наука. 1979.2. Касим-Заде О. М. О неявной полноте в k-значной логике //
Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика. — 2007. — 3.3. Касим-Заде О. М. О неявной выразимости булевых функций //
Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика. — 1995. — 2.4. Орехова Е. А. Об одном критерии неявной полноты в k-значной
логике // Математические вопросы кибернетики. Выпуск 11. — М.:Физматлит, 2002.
5. Орехова Е. А. Об одном критерии неявной полноты втрехзначной логике // Математические вопросы кибернетики. Вы-пуск 12. — М.: Физматлит, 2003.
6. Данильченко А. Ф. О параметрической выразимости функцийтрехзначной логики // Алгебра и логика. — 1977. Т. 16, 4.
7. Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значнойлогике // Труды МИАН СССР. — 1958. — Т. 51. — C. 5–142.
8. Орехова Е. А. О критерии неявной шефферовости в
228
трехзначной логике // Дискретный анализ и исследование опера-ций. Серия 1. — 2003. — Т. 10. 3.
9. Касим-Заде О. М. О неявной выразимости в двузначной логикеи криптоморфизмах двухэлементных алгебр // Доклады РАН. —1996. — Т. 448, 3. — С. 299–301.
КВАЗИУНИВЕРСАЛЬНЫЕ ИНИЦИАЛЬНЫЕ БУЛЕВЫАВТОМАТЫ С КОНСТАНТНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ
Л. Н. Сысоева (Москва)
Пусть P2(n) — множество всех булевых функций, зависящих отфиксированных переменных x1, x2, . . . , xn, n ≥ 1. Под булевым авто-матом будем понимать автомат V = (0, 1, 0, 1, Q, F,G) c произ-вольным числом входов, входным алфавитом 0, 1, выходным ал-фавитом 0, 1, алфавитом состояний Q, функцией перехода G ифункцией выхода F . Определения автомата и инициального автома-та можно найти в [1, 2]. Пусть n — число входов автомата V . Безограничения общности будем полагать, что входы автомата V за-нумерованы от 1 до n и на i-й вход автомата V подается значениебулевой переменной xi. Тем самым можно считать, что в каждыймомент времени на входы автомата V подается некоторый двоич-ный набор значений переменных x1, x2, . . . , xn и для любого состо-яния q ∈ Q функция выхода F (q, x1, x2, . . . , xn) является булевойфункцией от переменных x1, x2, . . . , xn. Булев автомат V будем на-зывать булевым автоматом с константными состояниями, еслидля любого q ∈ Q функция F (q, x1, x2, . . . , xn) является константнойбулевой функцией 0 или 1.
Пусть Vq1 = (0, 1, 0, 1, Q, F,G, q1) — инициальный булевавтомат с начальным состоянием q1 и n входами. Пусть C =
(β1, β2, . . . , β2n) — упорядоченная последовательность всех двоичныхнаборов длины n, n ≥ 1. Будем говорить, что автомат Vq1 с последо-вательностью C реализует булеву функцию f(x1, x2, . . . , xn), еслипри последовательной подаче на входы автомата Vq1 наборов из Cв каждый момент t = 1, 2, . . . , 2n на выходе автомата Vq1 выдается
229
значение f(βt). Будем также говорить, что функция f реализуетсяавтоматом Vq1 , если для некоторой последовательности наборов Cавтомат Vq1 с последовательностью C реализует f . Обозначим черезP (Vq1) множество всех булевых функций, реализуемых автоматомVq1 .
Под 0-состоянием булевого автомата V будем понимать состо-яние с функцией выхода 0(x1, x2, . . . , xn), а под 1-состоянием —состояние с функцией выхода 1(x1, x2, . . . , xn). Без существенногоограничения общности мы будем рассматривать инициальные буле-вы автоматы, содержащие хотя бы одно 0-состояние и хотя бы одно1-состояние, при этом начальным состоянием является 0-состояние.Множество всех таких автоматов с n входами обозначим через V(n).Множество всех таких автоматов с k константными состояниями и nвходами обозначим через Vk(n).
Обозначим через pk(n) максимальную мощность множества бу-левых функций из P2(n), реализуемых автоматом из Vk(n). Авто-маты из Vk(n), реализующие pk(n) функций, называются квазиуни-версальными. В данной работе рассматривается задача полученияточного значения p3(n). Получено, что p3(n) = 22
n − 2n, при n ≥ 6, иописаны все квазиуниверсальные автоматы из V3(n). Аналогичнаязадача для инициальных булевых автоматов с двумя константны-ми состояниями рассматривалась в работе [3], где было получено,что p2(n) = 5
8 · 22n , при n ≥ 1, и описаны все квазиуниверсальныеавтоматы из V2(n). В работах [4, 5] исследовались вопросы реали-зации булевых функций формулами над автоматными функциями.Сформулируем основные результаты данной работы.
Теорема 1. Для любого n ≥ 6 выполняется p3(n) = 22n − 2n.
Теорема 2. Для любого n ≥ 2 максимальная мощность множе-
ства P (Vq1 ) для автомата Vq1 из V(n) равна 22n − 2.
Можно описать все квазиуниверсальные автоматы из V3(n). Обо-значим через V0
3(n) множество всех автоматов из V3(n), содержащихровно одно 1-состояние. Пусть Vq1 — автомат из V0
3(n). Обозначимчерез A00 множество всех наборов, при подаче которых автомат Vq1переходит из начального 0-состояния в 0-состояние, не являющее-ся начальным. Через A01 обозначим множество всех наборов, приподаче которых автомат Vq1 переходит из начального 0-состоянияв 1-состояние. Через A10 обозначим множество всех наборов, приподаче которых автомат Vq1 переходит из 1-состояния в начальное0-состояние. Через B00 обозначим множество всех наборов, при пода-че которых автомат Vq1 переходит из 0-состояния, не являющегося
230
начальным, в начальное 0-состояние. Через B01 обозначим множе-ство всех наборов, при подаче которых автомат Vq1 переходит из0-состояния, не являющегося начальным, в 1-состояние. Через B10
обозначим множество всех наборов, при подаче которых автомат Vq1переходит из 1-состояния в 0-состояние, не являющееся начальным.Верна следующая теорема.
Теорема 3. При n ≥ 9 автомат V из множества V3(n) явля-ется квазиуниверсальным тогда и только тогда, когда V принад-лежит V0
3(n) и задается одним из следующих наборов условий:
1. A00 = α, A01 = 0, 1n\α, A10 = β, B01 = β, B10 = α,B00 ⊆ µ, α;2. A00 = α,A01 = 0, 1n\α, A10 = β, B01 = α, β, B10 = α,B00 ⊆ µ;3. A00 = α, A01 = 0, 1n\α, x, A10 = β, B01 = β, x, B10 =α, B00 ⊆ µ, α;4. A00 = α, A01 = 0, 1n\α, x, A10 = β, B01 = α, β, x, B10 =α, B00 ⊆ µ;5. A00 = α, κ, A01 = 0, 1n\α, κ, A10 = β, B01 = β, κ,B10 = α, B00 ⊆ µ, α,где α, β, x, µ — различные наборы из 0, 1n.
Автор выражает искреннюю признательность Р. М. Колпакову запостановку задачи и обсуждение результатов работы и О. С. Дуда-ковой за ценные советы и замечания.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 14-01-00598(“Вопросы синтеза, сложности и контроля управляющих систем”).
Список литературы1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.:
Высшая школа, 2006.2. Конспект лекций О. Б. Лупанова по курсу “Введение в матема-
тическую логику” / Отв. ред. А. Б. Угольников. — М.: Изд-во ЦПИпри механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломо-носова, 2007.
3. Сысоева Л. Н. О реализации булевых функций обобщенны-ми α-формулами // Ученые записки Казанского университета. Сер.Физико-математические науки. — 2014. — Т. 156, вып. 3. — C. 116–122.
4. Сысоева Л. Н. Максимальное число булевых функций, порож-даемых инициальным автоматом с двумя константными состояния-ми // IX Международная конференция «Дискретные модели в тео-
231
рии управляющих систем», Москва и Подмосковье, 20–22 мая 2015г.: Труды. — М.: МАКС Пресс, 2015. — С. 239–241.
5. Сысоева Л. Н. О некоторых свойствах обобщенных α-формул // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика.Механика. — 2013. — 4. — С. 51–55.
ОПТИМИЗИРУЮЩИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯПОТОКОВЫХ ПРОГРАММ
Г. Г. Темербекова, В. А. Захаров (Москва)
Потоковые алгоритмы возникают при решении многих приклад-ных задач [1]. В статье [2] предложена модель потоковых программ —автоматов-преобразователей над полугруппами — и для нее былаисследована проблема эквивалентности. В настоящей работе описанметод оптимизации потоковых программ. Этот метод является обоб-щением ранее известного подхода, предложенного в статье [3] дляминимизации автоматов-преобразователей.Решение задачи миними-зации потоковых программ над группами представлено в статье [4].
Пусть заданы конечные множества операторов A и событий C.Операторы из A являются образующими моноида (S, , e); элементыкоторого играют роль состояний данных. Всякое слово α в алфавитеC (включая пустое слово ε) будем называть потоком событий.
Потоковая программа π = 〈V, vin, Vout, T, h0〉 — это система пе-реходов, состоящая из множества точек программы V , точки вхо-да vin, множества точек выхода Vout, функции переходов T : V ×C → V × A∗ и инициализатора h0, h0 ∈ A∗. Функцию перехо-дов T можно распространить на потоки событий следующим об-разом: 1) T ∗(v, ε) = (v, e), и 2) T ∗(v, cα) = (v′′, hg), если T (v, c) =(v′, h) и T ∗(v′, α) = (v′′, g). Программа π вычисляет функцию Φπ :C∗ → S, значения которой определяются следующим образом: еслиT ∗(vin, α) = (v, h) и v ∈ Vout, то Φπ(α) = h0h; в противном случаезначение Φπ(α) неопределено. Программы π1 и π2 называются S-эквивалентными, если для любого потока событий α выполняетсяравенство Φπ1(α) =S Φπ2(α).
232
Задача минимизации потоковых программ состоит в том, чтобыдля заданной программы π построить S-эквивалентную программус наименьшим числом точек. Решение этой задача приводится длямоноидов S, обладающих свойствами R1-R3, описанными ниже.
R1: Для любых g, h1, h2 из S верно gh1 =S gh2 ⇒ h1 =S h2.В полугруппе S определим бинарное отношение S , полагая
h1 S h2 ⇔ ∃g : h1g =S h2, и потребуем, чтобы это отношениеобладало следующим свойством.
R2: (S,S) — это фундированная решетка, в которой точная ниж-няя грань любой пары элементов эффективно вычислима.
Для обозначения операции взятия точной нижней грани элемен-тов h1 и h2 в решетке (S,S) воспользуемся записью h1∨h2. Добавимк S особый элемент τ , полагая gτ =S τg =S τ для любого элемента gиз S. Обозначим множество S ∪ τ записью Sτ . Очевидно, что τ —наибольший элемент ЧУМ (Sτ ,S).
R3: Существует алгоритм решения уравнений hX =S g в монои-де S.
Из условия R3 следует, что проблема тождества в моноиде S раз-решима. Требованиям R1-R3 удовлетворяют, например, свободныемоноиды, свободные частично коммутативные моноиды (трассы) [5],моноиды консервативных подстановок [6].
Минимизация потоковых программ для моноидов, удовлетворя-ющих требованиям R1-R3, проводится в три этапа.
Этап 1: вычисление НОД. Наибольшим общим делителемH(π, v) точки v программы π назовем точную нижнюю грань множе-ства элементов h : ∃w, v′ : α ∈ C∗, v′ ∈ Vout, T
∗(v, α) = (v′, h). Длявычисления НОД всех точек программы π составим систему урав-нений EQ = Xv = Ev : v ∈ V относительно переменных Xv. Длякаждой точки v выражение Ev либо является единицей e моноида Sв случае v ∈ Vout, либо имеет вид
∨(u,h)∈T (v,c):c∈C
hXu, если v /∈ Vout.
Теорема 1. Для любой программы π множество H(π, v) : v ∈V является единственным решением системы уравнений EQ.
Для решения системы уравненийEQ можно воспользоваться ите-ративной процедурой последовательной аппроксимации НОД. Здесьсущественно важна фундированность решетки (Sτ ,S).
Этап 2: редукция программы. Программа π′ называется приве-денной, если H(π′, v′) = e для любой точки v′. Для произвольнойпрограммы π = 〈V, vin, Vout, T, h0〉 ее редукцией red(π) назовем про-грамму π′ = 〈V, vin, Vout, T ′, h′0〉, в которой h′0 = h0H(π, vin), а зна-чения функции переходов T ′ для любой пары (v, c) из множества
233
V ×C определяется соотношением T ′(v, c) = (u, h′) ⇔ T (v, c) = (u, h)и H(π, v)h′ =S hH(π, u).
Теорема 2. Для любой программы π ее редукция red(π) являет-ся приведенной программой, S-эквивалентной π.
Если вычислены НОД для всех точек программы π, и моноид Sудовлетворяет требованию R3, то преобразование программы π в еередукцию red(π) вычисляется эффективно.
Этап 3: минимизация программы. Поставим в соответствие каж-дой программе π = 〈V, vin, Vout, T, h0〉 автомат Рабина-Скотта Mπ =(C × A∗, V, vin, Vout, ϕ), в котором функция переходов ϕ определя-ется условием ϕ(v, (c, h)) = u ⇔ T (v, c) = (u, h). Программы π1 иπ2 назовем автоматно эквивалентными, если автоматы Mπ1 и Mπ2
допускают один и тот же язык.Теорема 3. Приведенные программы π1 и π2 эквивалентны то-
гда и только тогда, когда эти программы автоматно эквивалент-ны.
В доказательстве теоремы 3 используется тот факт, что в ЧУМ(Sτ ,S) любые два элемента имеют точную верхнюю грань.
Таким образом, для минимизации приведенной программы мож-но применить любой из известных алгоритмов минимизации детер-минированных конечных автоматов.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ(проект 15-01-05742).
Список литературы1. Veanes M., Hooimeijer P., Livshits B., et al. Symbolic finite state
transducers: algorithms and applications // Proceedings of the 39thACM SIGACT-SIGPLAN Symposium on Principles of ProgrammingLanguages. — 2012. — P. 137–150.
2. Захаров В. А. Моделирование и анализ поведения последова-тельных реагирующих программ // Тр. Института системного про-граммирования РАН. — 2015. — Т. 27, 2. — С. 221–250.
3. Mohri M. Minimization algorithms for sequential transducers //Theoretical Computer Science. — 2000. — V. 234. — P. 177–201.
4. Захаров В. А. Подымов В. В. Применение алгоритмов проверкиэквивалентности для оптимизации программ // Тр. Института сист-емного программирования РАН. — 2015. — Т. 27, 4. — С. 145–174.
5. Diekert V., Metivier Y. Partial commutation and traces //Handbook of formal languages. — 1997. — V. 3 — P. 457–533.
6. Zakharov V.A. On the decidability of the equivalence problem fororthogonal sequential programs // Grammars. — 1999. — V. 2, Is. 3. —P. 271–281.
234
О ПРИБЛИЖЕНИЯХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙВЕРОЯТНОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
ИЗ ЗАМКНУТЫХ КЛАССОВ
А. Д. Яшунский (Москва)
Рассматривается задача приближения бернуллиевских распре-делений путем подстановки вместо переменных некоторых буле-вых функций независимых бернуллиевских случайных величин, рав-ных 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью 1− p.
Р. Л. Схиртладзе в [1] показал, что функции, выражаемые беспо-вторными формулами над &,∨, ¯, позволяют сколь угодно точноприблизить произвольное бернуллиевское распределение. Авторомв [2] показано, что для приближения произвольных распределенийдостаточно бесповторных формул над &,∨, а также найдены неко-торые достаточные условия приближения произвольного распреде-ления бесповторными формулами над заданной системой функций.
Рассмотрение произвольных (а не только бесповторных) формулнад заданной системой булевых функций естественным образом при-водит к изучению приближений распределений булевыми функция-ми из замкнутых классов. В данной работе исследуется, какие рас-пределения могут быть приближены функциями из различных за-мкнутых классов.
Введем необходимые определения. Весом набора α ∈ 0, 1n на-зывается число единичных компонент в α. Пусть задана булевафункция f(x1, . . . , xn). Количество наборов веса i, на которых f рав-на единице, обозначим через Ai. Тогда характеристическим много-членом функции f(x1, . . . , xn) называется
hf (p) =n∑
i=0
Aipi(1− p)n−i.
Легко видеть, что 0 ≤ Ai ≤(ni
), откуда 0 ≤ hf (p) ≤ 1 для любой
функции f при любом p ∈ [0, 1].Содержательно характеристический многочлен функции f вы-
ражает вероятность обращения в 1 этой функции при подстановкевместо всех ее переменных независимых одинаково распределенныхбернуллиевских случайных величин, равных 1 с вероятностью p и 0с вероятностью 1− p.
Для множества X ⊆ [0, 1] через cl(X) будем обозначать (тополо-гическое) замыкание X , т. е. множество X , дополненное всеми свои-ми предельными точками. Пусть A— множество булевых функций.
235
Положим:WA(p) = cl(hf(p) : f ∈ A).
WA(p) будем называть множеством распределений, аппроксимиру-емых функциями из A в точке p. Содержательно WA(p) состоитиз всех значений на отрезке [0, 1], которые могут быть сколь угод-но точно приближены значениями характеристических многочленовфункций из множества A в точке p. В частности, если WA(p) = [0, 1],то, подставляя в функции из множества A независимые одинаковораспределенные случайные величины с заданным бернуллиевскимраспределением (1−p, p), можно сколь угодно точно приблизить про-извольное бернуллиевское распределение.
В настоящей работе установлен вид множества WA(p) для всехзамкнутых классов булевых функций A при всех p ∈ (0, 1). В даль-нейшем изложении используются обозначения замкнутых классов,принятые в [3].
Теорема 1. Пусть A— один из замкнутых классов M01, M0,M1, T0, T1, T01, M , P2. Тогда WA(p) = [0, 1] при всех p ∈ (0, 1).
Теорема 2.
WS(p) =WS01(p) =
[0, 1] при p ∈ (0, 1/2) ∪ (1/2, 1),1/2 при p = 1/2.
Теорема 3. Пусть A— один из классов Iµ, MIµ, Iµ1 , MIµ1 . Тогда
WA(p) =
[0, p], если 0 < p ≤ 1− 1
µ ,
[0, 1], если 1− 1µ < p < 1.
Пусть A— один из классов Oµ, MOµ, Oµ0 , MOµ0 . Тогда
WA(p) =
[0, 1], если 0 < p < 1
µ ,
[p, 1], если 1µ ≤ p < 1.
Теорема 4. Пусть A— один из классов I∞, MI∞, I∞1 , MI∞1 .Тогда WA(p) = [0, p]. Пусть A— один из классов O∞, MO∞, O∞
0 ,MO∞
0 . Тогда WA(p) = [p, 1].Теорема 5.
WSM (p) =
[0, p], при 0 < p < 1/2,1/2, при p = 1/2,[p, 1], при 1/2 < p < 1.
236
Теорема 6. Пусть A— один из классов K,K0,K1,K01. Тогда прилюбом p ∈ (0, 1) имеет место WA(p) ⊆
⋃npn ∪ 0, 1.
Теорема 7. Пусть A— один из классов D,D0, D1, D01. Тогда прилюбом p ∈ (0, 1) имеет место WA(p) ⊆
⋃n1− (1− p)n ∪ 0, 1.
Теорема 8. Пусть A— один из классов L,L0, L1, L01, SL. Тогдапри любом p ∈ (0, 1) имеет место WA(p) ⊆
⋃n 12 (1±(1−2p)n)∪ 1
2.Теорема 9. Пусть A— один из классов U , SU , U0, U1, MU ,
C, C0, C1, U01. Тогда при любом p ∈ (0, 1) имеет место WA(p) ⊆0, 1, p, 1− p.
Автор выражает благодарность О. М. Касим-Заде за внимание кработе.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 14–01–00598) и Программы фундаментальных исследований ОМНРАН «Алгебраические и комбинаторные методы математической ки-бернетики и информационные системы нового поколения» (проект«Задачи оптимального синтеза управляющих систем»).
Список литературы1. Схиртладзе Р. Л. О методе построения булевой величины
с заданным распределением вероятностей // Дискретный анализ.Вып. 7. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1966. — С. 71–80.
2. Яшунский А. Д. О преобразованиях вероятности беспо-вторными булевыми формулами // Материалы XVI Междуна-родной школы-семинара «Синтез и сложность управляющих си-стем» (Санкт-Петербург, 26–30 июня 2006 г.) — М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2006. — С. 150–155.
3. Угольников А. Б. Классы Поста. Учебное пособие. — М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имениМ. В. Ломоносова, 2008.
237
CПИСОК ПЛЕНАРНЫХ ДОКЛАДОВ,ПРОЧИТАННЫХ НА СЕМИНАРЕ
В.В. Кочергин (Москва) Об одной задаче О.Б. Лупанова
М. П. Минеев, В. Н. Чубариков (Москва) Криптография иp-адический анализ
А.М. Зубков, А.А. Серов (Москва) Итерации случайныхотображений конечных множеств
Л.А. Шоломов (Москва) Две постановки задачи кодированиянедоопределенных данных
С.А. Ложкин, В. А. Коноводов (Москва) Синтез схем и фор-мул из элементов с прямыми и итеративными входами
Ф.М. Аблаев, М.Ф. Аблаев (Казань) Квантовое криптогра-фическое хеширование
В.Б. Кудрявцев (Москва) О кафедре МаТИС
С.Н. Селезнева (Москва) Сложность полиномиальных пред-ставлений функций k-значной логики
А.В. Тимофеенко (Красноярск) К теории выпуклых мно-гогранников с правильными и сложенными из правильных много-угольников гранями
А.А. Часовских (Москва) Условия выразимости и полноты вклассах линейных автоматов
И.П. Чухров (Москва) Задача минимизации булевых функций:условия минимальности и вероятностный метод
Ф.И. Соловьева (Новосибирск) О пропелинейных, транзитив-ных и гомогенных кодах
Д.С. Кротов (Новосибирск) Трейды в комбинаторных конфи-гурациях
Д.Г. Мещанинов (Москва) Семейства замкнутых классов вPk, определяемых полиномиальными и аддитивными представле-ниями функцийР. М. Колпаков (Москва) Об оценке числа и эффективном по-иске повторов и палиндромов с разрывами в формальных словах
410
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Пленарные доклады
В.В. Кочергин Об одной задаче О.Б. Лупанова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4М.П. Минеев, В.Н. Чубариков Криптография и p-адическийанализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Л.А. Шоломов Две постановки задачи кодирования недоопреде-ленных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35В.А. Коноводов, С.А. Ложкин О синтезе схем и формул изэлементов с прямыми и итеративными входами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Ф.М. Аблаев, М.Ф. Аблаев Квантовое криптографическое хе-ширование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58С.Н. Селезнева Сложность полиномиальных представленийфункций k-значной логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63И.П. Чухров Задача минимизации булевых функций: условия ми-нимальности и вероятностный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Д.С. Кротов Трейды в комбинаторных конфигурациях . . . . . . . . . . . . 84Д.Г. Мещанинов Семейства замкнутых классов в Pk, определя-емых аддитивными и полиномиальными представлениями функ-ций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Р.М. Колпаков Об оценке числа и эффективном поиске повторови палиндромов с разрывами в формальных словах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Секция«Синтез, сложность и надежность
управляющих систем»
М.А. Алехина О k-значных функциях специального класса . . . . . . 116А.В. Бухман О сложности проверки равенства полиномов, поля-ризованных по разным векторам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118А.В. Васильев Квантовое хеширование для конечных абелевыхгрупп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121А.Ф. Гайнутдинова Вычислительная мощь конечных автоматов,решающих унарные задачи отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Е.Л. Довгалюк О реализации мультиплексорной функции схема-ми контактного типа, вложенными в единичные кубы . . . . . . . . . . . . . . . 126Р.Н. Ибрагимов Иерархия для двусторонних вероятностных ав-томатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Г.В. Калачев О порядке роста мощности плоских схем для за-мкнутых классов булевых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
411
О. М. Касим-Заде О точных значениях сложности чисел при ре-ализации схемами из единичных сопротивлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134А.В. Кочергин О задержке функций k-значной логики в конеч-ных базисах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137В.В. Кочергин, Д. В. Кочергин Об уточнении некоторых мощ-ностных нижних оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139В.В. Кочергин, А.В. Михайлович О немонотонной сложностифункций k-значной логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Е. Г. Красулина О нижней оценке сложности реализации систе-мы всех элементарных периодических симметрических функций вклассе разделительных контактных схем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145С.А. Ложкин, М.С. Шуплецов, В.А. Коноводов, Б.Р. Да-нилов, В.В. Жуков, Н. Ю. Багров Точное значение функцииШеннона для сложности контактных схем от пяти переменных . . . . . 147О. В. Подольская Об оценках функций Шеннона сложности схемв некоторых бесконечных базисах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150К.А. Попков О единичных диагностических тестах для схем изфункциональных элементов в некоторых базисах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153М.А. Рачинская, М.А. Федоткин Построение модели и анализуправляющих систем обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156Д.С. Романов, Е.Ю. Романова Об оценках функций Шеннонадлины теста относительно константных неисправностей . . . . . . . . . . . . . 159С.Н. Селезнева Асимптотика длины полиномиальных функцийпо составному модулю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162С.Н. Селезнева, М.М. Гордеев О длине симметрических пе-риодических функций k-значной логики в классе поляризованныхполиномиальных форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164М.Р. Старчак, Н. К. Косовский NP-Полнота задач проверкиразрешимости линейных диофантовых уравнений и совместности ихсистем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167Ю.Г. Таразевич Алгебраизация и обобщение контактных схем . . . . 170П.Б. Тарасов Об одном свойстве соотношения глубины и слож-ности функций многозначной логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173М.А. Трухина, Д. И. Коган, Ю.С. Федосенко, А.В. Шея-нов Синтез расписаний в дискретной модели обслуживания муль-типотока пакетов объектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175С.В. Шалагин Конвейерное генерирование дискретных марков-ских процессов на основе разложения стохастических матриц . . . . . . . 178
Секция«Функциональные системы»
Д.Н. Бабин, А.А. Летуновский О выразимости автоматов от-носительно суперпозиции при наличии в базисе булевых функций изадержки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
412
Д.Н. Бабин, Д.В. Пархоменко Гистограммная функция авто-мата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184С.А. Бадмаев, И.К. Шаранхаев О максимальных клонах ча-стичных ультрафункций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Г.В. Боков Решетка замкнутых классов трехзначной логики, со-держащих функцию максимума для нелинейного частичного поряд-ка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187З.А. Джусупекова, В.А. Захаров О проверке k-значности ко-нечных автоматов-преобразователей над полугруппами . . . . . . . . . . . . . 190О. С. Дудакова Критерий конечной порожденности классов функ-ций, монотонных относительно множеств высоты 5 с наименьшим инаибольшим элементами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193В.А. Захаров, У.В. Попеско О проблеме логико-термальнойэквивалентности недетерминированных стандартных схем про-грамм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196И.Е. Иванов О периодах выходных последовательностей автома-тов с магазинной памятью без входа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198И.Б. Кожухов, А.О. Петриков Инъективность и проектив-ность полигонов над вполне простыми подгруппами . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Д.Г. Козлова, В.А. Захаров Темпоральная логика для верифи-кации автоматов-преобразователей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Д.Г. Мещанинов Три семейства замкнутых классов в Pk, опре-деляемых d-разностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207А.В. Михайлович О базируемости классов функций трехзначнойлогики, порожденных периодическими симметрическими функция-ми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209А.С. Нагорный О тривиальных пересечениях предполных клас-сов семейства C \ T в четырехзначной логике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Н.А. Перязев, И. К. Шаранхаев Разбиение решеток клонов(суперклонов) на интервалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Р.И. Подловченко, А.Э. Молчанов Эквивалентные преобра-зования в алгебраических моделях программ с процедурами . . . . . . . . 218А.А. Родин Полные системы в P -множествах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Д.Е. Стародубцев Мощность множества дельта-замкнутых клас-сов функций многозначной логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223М.В. Старостин Критерий неявной полноты в трехзначной ло-гике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Л.Н. Сысоева Квазиуниверсальные инициальные булевы автома-ты с константными состояниями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Г. Г. Темербекова, В.А. Захаров Оптимизирующие преобразо-вания потоковых программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232А.Д. Яшунский О приближениях распределений вероятностей спомощью булевых функций из замкнутых классов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
413
Секция«Комбинаторный анализ»
Л.Н. Бондаренко, М.Л. Шарапова Обобщенные многочленыМоцкина и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Д.В. Грибанов Задача поиска ширины симплекса, заданного си-стемой с ограниченным спектром миноров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241И.В. Грибушин О возможных значениях максимума относитель-ного влияния переменных для булевых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243А.В. Ильев, В.П. Ильев Определение матроида как геометри-ческой конфигурации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246А.Н. Исаченко, А.М. Ревякин Некоторые задачи на матрои-дах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Р.М. Колпаков, М.А. Посыпкин Оптимальная стратегия вы-бора переменной ветвления для решения задачи о сумме подмно-жеств методом ветвей и границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252Н.В. Котляров О словах, избегающих повторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Е.Е. Маренич, В. Е. Маренич Дистрибутивные векторные про-странства над решетками и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257О. Р. Мусин Дискретные версии теорем о неподвижных точках . . . . 260А.М. Останин, А.Б. Дайняк Вокруглеммы обизолировании . . . . 262А.М. Ревякин, А.Н. Исаченко Матроиды, связанные с разби-ениями множеств, и их сильные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264П.Н. Сырбу, Д.К. Чебан Паратопии ортогональных систем тер-нарных квазигрупп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267С.П. Тарасов О комбинаторном тождестве Hajnal—Nagy . . . . . . . . . 270Е.Б. Титова, В.Н. Шевченко О минимальном многочлене мат-рицы ограничений многоиндексной транспортной задачи . . . . . . . . . . . . 271И.П. Чухров О независимых семействах множеств в задаче о по-крытиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274В.Н. Шевченко Циклы в линейном и целочисленном линейномпрограммировании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Секция«Теория графов»
И.С. Быков, А.Л. Пережогин О дистанционных кодах Грея . . . . 281А.А. Валюженич Минимальные носители собственных функцийграфов Хэмминга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284В.А. Воблый Простая формула для числа помеченных внешне-планарных k-циклических блоков и их асимптотическое перечисле-ние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285В.А. Воблый, А.К. Мелешко Перечисление помеченных пла-нарных полноблочно-кактусных графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287М.А. Иорданский Избыточность конструктивных описаний га-мильтоновых графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290
414
Т.А. Макаровских, А.В. Панюков Алгоритм построения АОЕ-цепи в плоском связном 4-регулярном графе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293Д.С. Малышев Граничные классы графов в замкнутых семей-ствах классов графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296Б.Ф. Мельников, Н.П. Чурикова О дифференциации графовна основе быстро вычисляемых инвариантов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Д.Б. Мокеев О равенстве чисел упаковки и покрытия относи-тельно P4 в расщепляемых графах и их расширениях . . . . . . . . . . . . . . . 302В.А. Перепелица, Д. А. Тамбиева Об одном теоретико-гипергафовом подходе решения задачи о кликах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305В.Б. Поплавский Булево-матричные идемпотенты . . . . . . . . . . . . . . . 308С.В. Савченко О транзиентных взвешиваниях бесконечных силь-но связных орграфов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311С.Н. Селезнева, М.В. Мельник О кликовых покрытиях реберв графах с ограничением степеней вершин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313М.Ф. Семенюта Графы, не допускающие (a, d)-дистанционнуюантимагическую разметку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315З.А. Шерман О некоторых конструкциях SD-графов . . . . . . . . . . . . 318
Секция«Математическая теорияинтеллектуальных систем»
Д.В. Алексеев К вопросу о восстановлении трехмерного тела поего плоским проекциям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320А.В. Быстрыгова Точная параметро-эффективная расшифровкалинейных функций k-значной логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Д.И. Васильев О стабилизации автономной модели миграцион-ных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325И.К. Ведерников Частичное прогнозирование общерегулярныхсверхсобытий в многозначном алфавите . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .328Э.Э. Гасанов, П.А. Пантелеев Реконфигурируемый на лету ап-паратный БЧХ декодер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330В.Н. Козлов Свойства аффинно эквивалентных плоских изобра-жений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333Т.М. Косовская Выделение общей подформулы формул исчис-ления предикатов для решения ряда задач искусственного интел-лекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335А.А. Лыков, В.А. Малышев, М.В. Меликян Искусственныйинтеллект на дорогах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338А.А. Мельникова О новой версии алгоритма построения базис-ного конечного автомата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341Е.М. Перпер О синтаксическом анализе нормативных актов . . . . . 344С.Б. Родин Линейно реализуемые автоматы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
415
Секция«Дискретная геометрия»
М.Б. Банару О типовых числах гиперповерхностей Кенмоцу иСасаки в специальных эрмитовых многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Ф.Л. Дамиан, В.С. Макаров, П. В. Макаров Гиперболиче-ские линзовые 3-многообразия над платоновой поверхностью 5, 5рода 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351Н.Ю. Ероховец Жесткие фрагменты на простых трехмерныхмногогранниках с не более чем шестиугольными гранями . . . . . . . . . . . 354М.Д. Ковалев О шарнирниках с одинаковым внутренним напря-жением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357Я.В. Кучериненко, В.C. Макаров Геометрия бикристаллов итрехмерные сферические многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360Е.С. Окладникова, А.В. Тимофеенко К теореме о типах вы-пуклых многогранников с паркетными гранями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362А.С. Пахомова Граничные значения для отношений типа Штей-нера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365В.И. Субботин Многогранники с симметричными ромбическимивершинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Секция«Теория кодирования
и математические вопросытеории защиты информации»
Н.П. Варновский, В.А. Захаров, А.В. Шокуров К вопросуо дедуктивной безопасности вычислений над зашифрованными дан-ными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371Н.М. Глазунов Дзета-функции многообразий и семейств много-образий над конечными полями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374Н.М. Глазунов, О. В. Кузик Сжимаемое опознавание: матема-тические основы и компьютерная реализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376И.В. Зубков Об использовании атаки линейным разложением припостроении протокола генерации общего ключа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378М.Э. Коваленко Подмножества малой мощности в системах
Штейнера S(2, 4, 4h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381С.Ю. Корабельщикова, Б.Ф. Мельников Обобщенные табли-цы соответствия состояний специальных классов регулярных язы-ков и оценки числа этих таблиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384А.В. Куценко О расстоянии Хэмминга между самодуальнымибулевыми бент-функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386И.М. Мартынов О распределении нетерминалов в деревьях вы-вода согласованной стохастической КС-грамматики . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
416
В.А. Носов, А. Е. Панкратьев О применении булевых функцийдля построения квазигрупп и синтеза блочных шифров . . . . . . . . . . . . . 391Ю.В. Таранников О возможности построения m-устойчивыхфункций с оптимальной нелинейностью в рамках одного метода . . . . 394Л.Б. Тяпаев Сохраняющие меру и эргодические асинхронно ав-томатные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398Е.В. Хинко О двух новых рекурсивных конструкциях платовид-ных устойчивых булевых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401А.В. Чашкин Хеш-функции в булевом кубе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403А.В. Черемушкин Распределение ранга квадратичной формынад полем из двух элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
Список пленарных докладов, прочитанных на семинаре . . . 410
417