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An R and S-Plus companion to multivariate analysis
Brian Everitt, Srpinger, 2004
An R and S-Plus companion to multivariate analysis
Brian Everitt, Srpinger, 2004
Uma empresa que atua no mercado varejista
identificou nove atributos, considerados pelos consumidores
como determinantes no critério de escolha entre diversas lojas:
Uma forma alternativa de abordar o problema consiste em
trabalhar com um pequeno número de dimensões mais gerais ou
fatores, ao invés de itens específicos representados por cada um
dos atributos.
A administração da empresa quer
compreender como os
consumidores tomam a decisão,
mas percebe que analisar e
estabelecer estratégias de
marketing para cada atributo é uma
tarefa muito complicada.
Motivação (HAIR et al, 2005)
Matriz de correlações
Matriz de correlações após a troca das posições das linhas e colunas
• A variáveis em cada bloco compartilham um mesmo fator comum, por
isso as correlações elevadas entre elas.
• Identificamos três construtos que emergiram a partir dos grupos de
variáveis altamente correlacionadas,
Neste exemplo : serviços, oferta e valor. Estes resultados dão a
equipe da administração da empresa um pequeno conjunto de
conceitos que devem ser considerados na elaboração de
estratégias de marketing.
A cada grupo de variáveis
encontrado pela análise da
matriz de correlação é
associado um fator não
observável (latente), com
um significado que deve ser
interpretado com base nas
variáveis envolvidas.
A análise da matriz de correlação revela a existência de grupos de
variáveis altamente correlacionadas entre si, mas que tem relativamente
uma baixa correlação com outras variáveis da matriz.
Cada grupo de variáveis correlacionadas representa um construto básico
(não observável) responsável pelas elevadas correlações entre as
respostas.
Os construtos são conceitos mais amplos, cujas facetas são as
observações das variáveis em cada grupo.
Ao invés de usar um grande número de características específicas
(variáveis) para sumarizar um conjunto de dados, pode-se utilizar um
pequeno número de construtos que condensem a maior parte da
informação contida nas variáveis.
Assim, eliminamos a informação que possa ser considerada como redundante garantindo perda mínima de informação.
Análise fatorial (Conceitos)
Análise fatorial (Conceitos)
Técnica de dependência Técnica de interdependência
Análise fatorial
Dois enfoques
Análise fatorial exploratória: busca dimensões
latentes, para saber o que é mais importante ou
mais significativo de um conjunto de variáveis.
Analise fatorial confirmatória: se desenha uma
estrutura dos fatores e em seguida, busca-se a
confirmação desta, estudando as variáveis
observadas. (uso em modelagem de
comportamento).
Exemplo 1 – Análise Fatorial
da regiões administrativas do
município do Rio de Janeiro
Matriz de dados (24 regiões e 8 variáveis)
Matriz de correlações
Matriz de correlações
Análise fatorial
Os bairros, originalmente
descritos em um espaço
de oito dimensões,
podem ser projetados em
um mapa (representação
bidimensional) formado
pelas duas primeiras
componentes que juntas
concentram 91% da
variância total
Matriz de correlações (dados originais)
Matriz de correlações aproximada pela
representação bidimensional das 8 variáveis
Matriz de resíduos
Matriz de
correlações
(dados
originais)
Matriz de
correlações
aproximada pela
representação
bidimensional das
8 variáveis
Matriz de
resíduos = -
Valores reduzidos para os resíduos indicam que a representação
bidimensional preserva boa parte da estrutura de correlação entre as
variávies. A representação bidimensional fornece uma boa representação
dos dados.
A comunalidade quantifica a parcela da variância de
uma variável que é concentrada pelas componentes
selecionadas
As elevadas comunalidades indicam que a
representação bidimensional concentra a maior parte da
variância em cada variável, o mapa gerado pelas duas
primeiras componentes fornece uma boa representação
da estrutura de cvoariância entre as variáveis
Representação das variáveis no mapa bidimensional
Escores das regiões nos eixos fatoriais
Representação das regiões nos eixos fatoriais
Exemplo 2 – Análise Fatorial das
taxas de retorno de uma carteira de
ações Johnson & Wichern 2002.
Este exemplo refere-se ao conjunto das séries de retorno semanais
no período de janeiro de 1975 até dezembro de 1976 (n=100
semanas) de 5 empresas norte americanas (p=5) listadas na New
York Stock Exchange. A série de retorno semanal é definida como
Matriz de correlação
Au
tov
alo
res e
au
tov
eto
res
Os dois primeiros fatores
concentram cerca de 73% da
variância total dos dados:
(2,8570 + 0,8090)/5 = 0,7332
Exemplo 3 – Análise Fatorial
com o SPSS Fávero et al, 2009.
Um analista de mercado quer estudar as
relações estruturais entre quatro indicadores
financeiros provenientes de 45 empresas:
• Prazo médio de recebimento das vendas
• Endividamento
• Vendas
• Margem líquida das vendas
Dados
Selecione Analysis/Data Reduction/Factor
Selecione as variáveis Clique aqui
para
selecionar
as variáveis
marcadas
Preencha as opções da caixa de diálogo
Matriz de correlações
Teste KMO e Bartlett Neste caso a estatística KMO indica a
adequação dos dados para proceder uma
análise fatorial.
Um KMO menor que 0,5 é um indicativo
de que os resultados da análise fatorial
são de pouca utilidade.
Matriz Anti-imagem
Na diagonal são dispostos os valores da estatística MSA (medida de
adequação da amostra de cada variável), valores menores que 0,5
sugerem que a variável pode não se ajustar à estrutura definida pelas
outras variáveis e eventualmente poderia ser eliminada
Comunalidades
Comunalidades elevadas,
ou seja todas as
variáveis têm forte
relação com os fatores
retidos.
Nenhuma variável
precisa ser eliminada
Variância explicada pelos fatores
Cerca de 83% da
variância total está
concentrada em
apenas dois fatores
Critério de Kaiser:
autovalores maiores que 1
Scree-Plot
O Scree-plot corrobora a retenção de apenas dois fatores
Matriz de componente (matriz L)
Peso das variáveis nos fatores
(loadings)
Permite verificar qual fator
explica melhor cada variável
Fator 1: variáveis prazo médio
de recebimento das vendas,
vendas e margem líquida das
vendas
Fator 2: endividamento
Ajuda na interpretação e na atribuição de um significado aos fatores:
Fator 1: volume de negócios (faturamento)
Fator 2: estrutura de capital
Matriz de componente (matriz L)
PMRV = 0,876 F1 + 0,0442F2
Endividamento = 0,269 F1 + 0,94F2
Vendas = 0,868 F1 + 0,0608F2
Margem = 0,806 F1 - 0,437F2
Variáveis
representadas
como combinações
lineares dos
fatores
Matriz de correlação reproduzida
A matriz de correlações
aproximada pelos dois
fatores
diferença entre a matriz de
correlações original e a matriz
de correlações aproximada
As pequenas magnitudes dos resíduos confirmam a boa
aproximação gerada pelos 2 fatores.
Variáveis no plano fatorial
Fator 1
Fator 2 Imagem das correlações
entre as variáveis e
destas com os fatores
Matriz de escores fatoriais
Com base nestes coeficientes podemos calcular os fatores para cada
observação da amostra, levando-se em conta as variáveis padronizadas
Fator 1 = 0,391 ZPMRV + 0,120 ZEndividamento + 0,387 ZVendas + 0,359 ZMargem
Fator 2 = 0,041 ZPMRV + 0,878 ZEndividamento + 0,057 ZVendas - 0,398 ZMargem
Coordenadas das empresas no plano fatorial
Duas novas variáveis inseridas pelo SPSS
na base de dados, cujos valores são os
fatores 1 e 2 para cada empresa
Fator 1 = 0,391 ZPMRV + 0,120 ZEndividamento + 0,387 ZVendas + 0,359 ZMargem
Fator 2 = 0,041 ZPMRV + 0,878 ZEndividamento + 0,057 ZVendas - 0,398 ZMargem
Fazendo o gráfico das empresas no plano fatorial
Selecionando as coordenadas para o gráfico
Empresas no plano fatorial
Faturamento (56%)
Estrutura
de capital
(27%)
Exemplo 3 – Análise Fatorial de
indicadores do mercado segurador
brasileiro (Corrar et al, 2007)
Matriz de dados formada por 15 indicadores financeiros de 107
empresas seguradoras no ano de 2001
Ìndices de estrutura de capital
Índice de captações ICAP = PTL/ATT
Índice de endividamento IEND = (PCD+ELP)/PTL
Índice de recursos próprios de giro IRPG = (PTL-IMO-IVD-RLP)/ACL
Índice de imobilização de recursos IIMR = (IMO+IVD)/PTL
Ìndices de rentabilidade
Índice de sinistralidade ISIN = SRT/PGN
Índice de colocação do seguro ICOL = DCM/PGN
Índice de despesas administrativas IDAD = DAD/PRT
Índice de lucratividade sobre pêmio ganho ILPG = LLQ/PGN
Índice de retorno sobre o PL IRPL = LLQ/PTL
Índices de alavancagem
Índice de solvência prêmios PRPL = PRT/PTL
Índice de alavancagem líquida IALI = (PRT + PCC + PCD)/PTL
Ìndices de liquidez
Índice de liquidez corrente ILCO = ACL / (PCC + PCD)
Índice de liquidez geral ILGE = (ACL+RLP)/(PCC + PCD + ELP)
Ìndices operacionais
Índice combinado ICOM = (SRT + DCM + DAD)/PGN
Índice combinado ampliado ICOA = (SRT + DCM + DAD) / (PGN + RPC)
ACL = ativo circulante ATT = ativo total
DAD = despesa administrativa DCM = despesa comercial
ELP = exigível a longo prazo IMO = imobilizado
IVD = investimento diferido LLQ = lucro líquido
PCC = previsão comprometida circulante
PCD = passivo circulante – demais
PCP = provisão comprometida PGN = prêmio ganho
PRT = prêmio retido PTL = patrimônio líquido
RFC = resultado financeiro RLP = realizável a longo prazo
SRT = sinistro retido
Teste KMO
O KMO obtido sugere a retirada de uma ou mais variáveis
Matriz Anti-imagem
Foram retiradas as variáveis com MSA (na diagonal da matriz
de correlação anti-iamgem) menores que 0,5: ICOA, IIMR1,
ISIN2 e IRPL2
Comunalidades
ICOA, IRPL, ISIN, IIMR, IRPG não são
bem explicadas na estrutura de dois
fatores
Parcela da variância concentrada
nos dois fatores, apenas 45%
KMO após a retirada das variáveis
Matriz de Anti-imagem
Foram retiradas as variáveis com MSA (na diagonal da matriz
de correlação anti-iamgem) menores que 0,5: ICOL
Comunalidades
ICOL e IRPG não são bem
explicadas na estrutura de dois
fatores
Parcela da variância concentrada
nos dois fatores, subiu para 60%
após retirada de ICOL
KMO após a retirada da
variável ICOL
Matriz de Anti-imagem
Comunalidades
IRPG não é bem explicada na
estrutura de dois fatores e será
retirada
Resultados com 9 indicadores
Matriz de Anti-imagem
Solução com 9 indicadores e 3 fatores
Solução com 9 indicadores e 3 fatores
Sem rotação
Solução com 9 indicadores e 3 fatores
Com rotação VARIMAX
Fator 1: controle de despesas
operacionais
Formado pelas variáveis ICOM,
IDAD e ILPG
Fator 2: Alavancagem
Formado pelas variáveis ICAP,
IEND, PRPL e IALI
Fator 3: Liquidez
Formado pelas variaveis ILCO
e ILGE
Considerações finais
Referências bibliográficas
CORRAR, L.J.; PAULO, E.; DIAS FILHO, J.M. (coordenadores) Análise Multivariada para os cursos de administração, ciências contábeis e esconomia, Editora Atlas, São Paulo, 2007.
EVERITT, B. An R and S-Plus companion to multivariate analysis, Springer-Verlag, London, 2007.
FÁVERO, L.P.; BELFIORE, P.; SILVA, F.L.; CHAN, B.L. Análise de dados: modelagem multivariada para tomada de decisões, Campus, Rio de Janeiro, 2009.
HAIR, J.F.; ANDERSON, R.E.; TATHAM R.L.; BLACK W.O. Análise Multivariada de Dados, Bookman, 2005.
JOHNSON, R.A. & WICHERN, D.W. Applied Multivariate Statistical Analysis, 5th edition, Prentice Hall, New Jersey, 2002.