Ruben Sebastian

rbnterrassa@gmail.com

Actualització: 11/09/2014

https://sites.google.com/site/matematicasrbnterrassa/

http://www.youtube.com/user/rbnterrassa

Dosier Matemáticas Números reales by Ruben Sebastian is licensed under a Creative

Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional License.

.

Nombres reals

1. Nombres racionals

Els nombres racionals, són els que podem representar mitjançant un quocient o una fracció de

dos nombres enters.

El conjunt dels nombres racionals es representa amb el símbol .

1.1. Pas de nombre decimal a fracció

A vegades ens pot interessar transformar un nombre decimal

en fracció per treballar amb ella i obtenir un resultat més

exacte, ja que si el decimal és periòdic normalment acabem

arrodonint-lo (i al fer-ho el resultat no és tan exacte).

Aquesta fracció irreductible que compleix que si fem la divisió

del numerador entre el denominador dóna el nombre

decimal que volem, es coneix amb el nom de fracció

generatriu.

Per obtenir la fracció generatriu d’un nombre decimal, el primer que hem de fer és identificar

quin decimal tenim, perquè la forma de resoldre-ho és diferent si és un decimal exacte,

decimal periòdic pur, o decimal periòdic mixt.

1.1.1. Fracció generatriu de decimals exactes.

Els nombres decimals exactes són els que tenen un número limitat de xifres a la part decimal.

Alguns exemples serien: 1,2 982,18305 0,002 27,83

EXERCICI: Troba la fracció generatriu de 12,6.

1 Anomenem N al nombre decimal. N = 12,6

2 Multipliquem els dos membres (els dos costats de l’igual)

per un 1 seguit de tants zeros com nombres hi ha a la part

decimal.

Com a l’exemple hi ha un número a la part decimal (el 6)

multiplicarem per 10.

10 · N = 10 · 12,6

10N = 126

RECORDA

El número superior de

la fracció s’anomena

numerador, i el inferior,

denominador.

Nombres reals

3 Aïllem la N per obtenir la fracció. N =

4 Simplifiquem sempre que es pugui, per obtenir la fracció

generatriu.

N =

Per tant, la fracció generatriu de 12,6 és

.

Per fer la comprovació i saber si el resultat és correcte, has de dividir 63 entre 5, i veuràs com

el resultat és el nombre decimal 12,6.

1.1.2. Fracció generatriu de decimals periòdics purs.

Els decimals periòdics purs són els que tenen una part decimal que es repeteix constantment.

Exemples: 1,46464646... 621,999999999... 53,789478947894...

Normalment veiem aquests nombre amb el símbol del període:

621,999999999...

53,789478947894...

EXERCICI: Troba la fracció generatriu de 7,54545454...

1 Escriure bé el decimal. 7,54545454...

2 Anomenem N el nombre decimal. N =

3 Multipliquem els dos membres per un 1 seguit de tants

zeros com xifres hi ha al període.

En aquest cas, al període tenim 54, que són dos xifres. Per

tant multipliquem per 100.

100· N = 100 ·

100N =

Mira el vídeo de Youtube per veure més exemples: VÍDEO

Nombres reals

4 Fem la resta de les dues equacions que tenim.

Primer posem la equació que hem calculat al pas 3, i a

sota la del pas 2. Quan fem la resta, davant de N sempre

queda un número amb nous (9, 99, 999, 9999...)

100N =

N =

99N = 747

5 Aïllem la N per obtenir la fracció. N =

6 Simplifiquem sempre que es pugui, per obtenir la fracció

generatriu.

N =

De manera que la fracció generatriu de es

. Recordes com fer la comprovació? Prova-

ho ara!

1.1.3. Fracció generatriu de decimals periòdics mixtes.

Els decimals periòdics mixtes són els que tenen a la part decimal unes xifres que es repeteix

constantment, i alguna que no es repeteix.

Exemples: 7,233333... 52,1386868686...

Normalment veiem aquests nombre amb el símbol del període:

7,233333...

52,1386868686...

EXERCICI: Troba la fracció generatriu de 142,7561561561...

1 Escriure bé el decimal. 142,7561561...

2 Anomenem N el nombre decimal. N =

RECORDA

Parts dels decimals

periòdics mixtes:

Antiperiode / Periòde

Mira el vídeo de Youtube per veure més exemples: VÍDEO

Nombres reals

3 Multipliquem els dos membres per un 1 seguit de tants

zeros com xifres hi ha a l’antiperíode.

En aquest cas, l’antiperiòde és 7, que és una xifra. Per

tant multipliquem per 10.

10· N = 10 ·

10N =

4 Tornem a multiplicar els dos membres del principi, per un

1 seguit de tants zeros com xifres hi ha a l’antiperíode i al

període.

En aquest cas, tenim el 7561, que són quatre xifres. Per

tant multipliquem per 10000.

10000· N = 10000 ·

10000N =

5 Fem la resta de les dues equacions que hem calculat.

Primer posem la equació que hem calculat al pas 4, i a

sota la del pas 3. Quan fem la resta, davant de N sempre

queda un número amb nous i zeros (90, 990, 900, 9990...)

10000N =

10N =

9990N = 1426134

5 Aïllem la N per obtenir la fracció. N =

6 Simplifiquem sempre que es pugui, per obtenir la fracció

generatriu.

N =

Per tant, la fracció generatriu de es

. Fes la comprovació!

Mira el vídeo de Youtube per veure més exemples: VÍDEO

Nombres reals

2. Nombres irracionals

Els nombres irracionals són aquells que no podem representar mitjançant fraccions. Són

números decimal periòdics, però a la part decimal no hi ha cap part que es repeteixi com als

purs o als mixtes.

Alguns exemples de nombres irracionals són:

- El número pi: 3,1415...

- El número e: 2,71828...

- 1,41421356...

El conjunt de nombre irracionals es representa amb el símbol .

Nombres reals

3. Nombres reals

El conjunt dels nombres reals, , inclou els nombres racionals i irracionals.

3.1. Propietats dels nombres reals.

Quan fem operacions amb els nombres reals segueixen unes propietats, que són diferents si

estem sumant o multiplicant.

SUMA

Propietat Esquema Exemple

Oposat a + (-a) = 0 5 + (-5) = 0

-1 + (+1) = 0

Commutativa a + b = b + a 2 + 4 = 4 + 2 = 6

5 – 2 = - 2 + 5 = 3

MULTIPLICACIÓ

Propietat Esquema Exemple

Invers

Nombres

Reals

Racional

Enters Naturals i 0

Negatius

Decimals: exacte, periòdic pur i periòdic mixte.

Irracionals

Nombres reals

Commutativa a · b = b · a 2 · 4 = 4 · 2 = 8

(-3) · 5 = 5 · (-3) = -15

Distributiva a · (b + c) = a · b + a · c 2 · (3 + 4) = 6 + 8 = 14

3.2. Extracció de factor comú.

A vegades, quan ens trobem amb equacions que tenen números molt grans ens pot interessar

fer que aquests nombres siguin més petits, per facilitar els càlculs. Per això, es pot fer

l’extracció de factor comú.

EXERCICI: Extreu factor comú de l’expressió 24x3y5 + 12x2y2 – 42x4y3z2

1 Descompondre els coeficients/números i trobar el màxim

comú divisor (m.c.d).

El valor del m.c.d. serà el número que extraurem com a

factor comú.

24 = 2 · 2 · 2 · 3

12 = 2 · 2 · 3

42 = 2 · 3 · 7

m.c.d. = 2 · 3 = 6

2 De les variables, hem d’extreure les que apareixen a tots

els termes i la que tingui un exponent més baix.

Com els tres termes tenen x i

y extraurem els que tinguin

un exponent més baix: x2y2.

Com la z no està als tres

termes, no la podem

extreure.

3 El que hem anat obtenint als apartats anteriors és el

factor comú. L’apuntarem davant i a continuació obrim

un parèntesi.

6x2y2 · (...)

4 A l’interior del parèntesi queda tot el que no hem extret

amb el factor comú.

24x3y5 : 6x2y2 = 4xy3

12x2y2 : 6x2y2 = 2

42x4y3z2 : 6x2y2 = 7x2yz2

5 Solució final 6x2y2 · (4xy3 + 2 - 7x2yz2)

Nombres reals

EXERCICI: Extreu factor comú de l’expressió 25m2n6 + 5m2n3

1 Descompondre els coeficients/números i trobar

el màxim comú divisor (m.c.d).

El valor del m.c.d. serà el número que extraurem

com a factor comú.

25 = 5 · 5

5 = 5

m.c.d. = 5

2 De les variables, hem d’extreure les que

apareixen a tots els termes i la que tingui un

exponent més baix.

m2n6 i m2n3 m2n3

3 El que hem anat obtenint als apartats anteriors és

el factor comú. L’apuntarem davant i a

continuació obrim un parèntesi.

5m2n3 · (...)

4 A l’interior del parèntesi queda tot el que no hem

extret amb el factor comú.

Si extraiem tot un terme, queda un 1.

25m2n6 : 5m2n3 = 5n3

5m2n3 : 5m2n3 = 1

5 Solució final 5m2n3 · (5n3 + 1)

Nombres reals

4. Intervals

Un interval és un conjunt de nombres reals compresos entre dos valors.

A la següent figura hi ha un exemple d’interval:

Aquest interval inclou tots els valors que van des del 3 fins el 6,5.

Si has mirat bé l’exemple hauràs vist que al 3 hi ha un punt vermell i al 6,5 un cercle blanc. Els

extrems dels intervals són molt importants:

- Obert: es representen amb un cercle i indica que aquell nombre no s’inclou a l’interval.

Per exemple, el 6,5 anterior no estaria inclòs (l’interval s’apropa molt i inclouríem fins

el però no el 6,5)

- Tancat: es representen amb un punt i indica que aquell nombre si està inclòs a

l’interval. Per exemple el 3 de l’exemple anterior.

A part de la representació gràfica, podem interpretar els intervals amb nombres i xifres o amb

equacions:

Representació gràfica Interval Equació

(4 , 6 ]

Fixat en la simbologia dels extrems:

Extrem Inclòs Representació gràfica Interval Equació

Obert No ( , )

Tancat Si [ , ]

Nombres reals

EXEMPLES D’INTERVALS:

Representació gràfica Interval Equació Notes

[-3 , 2 ]

(0 , 5]

Quan un extrem

s’inclou utilitzem el

símbol , i si no

s’inclou .

(-2 , 1)

Si l’interval no té un

extrem limitat, vol

dir que va cap a

l’infinit.

4.1. Operacions amb intervals.

Quan volem veure quins números tenen en comú diversos intervals, o volem tenir un nou

interval que inclogui tots els números de diversos intervals, em de fer una petita operació.

4.1.1. Unió d’intervals:

Anomenem unió dels intervals A i B al conjunt d’elements o números que trobem com a mínim

en un d’aquests intervals. Per representar la unió d’intervals utilitzem el símbol .

Mira el vídeo de Youtube per veure més exemples: VÍDEO

Nombres reals

EXERCICI: Calcula la unió de A = (-4 , 2) i B = [-1, 5)

A B = (-4 , 5)

A

B

A U B

Com es veu a la imatge, per fer la unió d’intervals agafem els nombre que es troben en un dels

dos intervals o als dos.

4.1.2. Intersecció d’intervals:

Anomenem intersecció dels intervals A i B al conjunt d’elements o números que trobem en

comú en aquests intervals. Per representar la unió d’intervals utilitzem el símbol .

EXEMPLE: Calcula la intersecció de A = (-4 , 2) i B = [-1, 5)

A B = [-1 , 2)

Mira el vídeo de Youtube per veure més exemples: VÍDEO

Nombres reals

A

B

A B

Mira el vídeo de Youtube per veure més exemples: VÍDEO

Nombres reals

5. Aproximacions i errors

Quan tenim nombres decimals periòdics solem fer aproximacions, que consisteix en reduir-lo

a un nombre decimal exacte que tindrà un valor semblant al número original.

Per exemple, el número 1,4839485... el podem aproximar com a 1,48. Això fa que sigui més

fàcil treballar amb ell, per exemple quan l’escrivim a la calculadora.

Les aproximacions les podem fer de dues maneres:

- Per truncament: eliminem les xifres del decimal a partir d’un punt.

Exemple: 1,45283503... 1,452

- Per arrodoniment: eliminem les xifres del decimal a partir d’un punt, però la xifra

anterior augmentarà en una unitat si el primer número que deixarem d’escriure és 5 o

superior.

Exemple: 1,45283503... 1,453

15,43290842... 15,432908

5.1. Errors

El problema de fer arrodoniments, es que al deixar de tenir en compte alguns decimals, el

resultat final no és exacte, i per tant hi ha un error.

L’error absolut, Ea , és la diferència entre el valor exacte i el valor aproximat, en valor absolut.

Ea = Vexacte – Vaproximat

Com el resultat es dóna en valor absolut, sempre serà positiu.

L’error relatiu, Er , és el quocient entre l’error absolut i el valor exacte. Com es multiplica per

100, el resultat és un percentatge.

Nombres reals

Exemple: Un pintor va venir a mesurar les parets de casa per pintar-les. Ell va dir que una de

les parets del menjador faria uns 7 metres de llarg, però amb el metro va veure que mesurava

6,80 metres. Quins errors va cometre amb la seva aproximació?

Valor exacte = 6,80 m Valor aproximat = 7 m

Ea = 6,8 – 7 = 0,2

Er =

· 100 = 2,94 %

Per valorar situacions sempre és millor fer-ho amb l’error relatiu, perquè és un percentatge.

Ara pensa. Si un professor s’equivoca al contar la puntuació d’un examen (conta 7 punts, però

en realitat tens 8 punts), l’error absolut és 1 i l’error relatiu és 12,5%. En canvi, si la puntuació

es sobre 100 i el professor conta un punt menys (conta 75 i tenies 76), l’error absolut continua

sent 1, però l’error relatiu és de 1,32%. Per tant, tot i que en les dues situació l’error absolut ha

sigut igual, l’error relatiu ens mostra que ha sigut menor l’error en la segona situació.

Mira el vídeo de Youtube per veure més exemples: VÍDEO

Nombres reals

Exercicis

1. Indica el tipus de decimal i troba la fracció generatriu:

a) 4,32 b) 1,2933333... c) 15,44444... d) 18,391391391...

e) 16,893 f) 51,2676767... g) 2,6 h)3,41515151515...

SOLUCIONS: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. Indica quins dels següents nombres són irracionals. Raona la teva resposta:

a) 3,472651... b) 15,283 c) 9,13131313... d) 8,0394852124...

3. Raona si les següents afirmacions són certes o falses.

a) Tots els nombres racionals són reals. ......

b) Tots els nombres reals són decimals. ......

c) Tots els nombres decimals es poden expressar mitjançant fraccions. ......

d) Totes les arrels quadrades són irracionals. ......

4. Calcula l’oposat dels següents nombres:

a) 3 b) -5 c) d)

5. Calcula l’invers dels nombres anteriors:

6. Indica quines de les següents operacions tenen com a resultat un nombre irracional

o un nombre racional:

Nombres reals

7. Extreu factor comú de les següents expressions:

a) 66x3y2 + 24x5y2 – 42xy4

b) 30m3n6 + 5m2n3 – 15m4n4

c) 27x2y3z + 45x6yz2 – 9x3y3z

d)

e)

8. Representa gràficament a la recta real els següents intervals:

a) (-1 , 4) b) [-5 , -2) c) [0 , 3]

d) (- , -4] e) (-2 , + )

9. Omple la següent taula:

Representació gràfica Interval Equació

(-3, 0)

[1 , + )

10. Fes les operacions que s’indiquen amb els següents intervals:

A = (-2 , 3) B = [0 , 5) C = [-5, 1] D = [-2 , + ) E = (- 4)

a) A U B b) C U D c) E B d) A D e) D U A

f) D U E g) B C h) D C i) A U E j) C A

SOLUCIONS DESORDENADES: [-2 , 1] (- , + ) (-2 , 5 ) [-2 , + )

[0 , 4) [0 , 1] (-2 , 1] [-5 , + ) (- 4) (-2 , 3)

Nombres reals

11. Els preus per fer una volta en un vehicle amfibi pel llac Jökulsárlón d’Islàndia són els

següents.

Representa les següents dades en intervals.

12. Representa les següents dades dels preus de les entrades al cinema en intervals.

13. El Pau vol vendre un terreny que té al poble. Ell creu que feia 58 metres de llarg per

46 d’ample. El comprador va anar al registre de l’ajuntament i va veure que les

mesures de del terreny eren 60 metres de llarg i 45 d’ample.

a) Calcula l’error absolut i l’error relatiu que ha fet el Pau amb les seves mesures.

b) Si el metre quadrat val 35 €, calcula quin error hagués comès al vendre la finca amb

les seves mesures:

14. Prova-ho amb el company! Digueu quant creieu que fa la teva llibreta d’amplada i

després mesureu-la. Calculeu els error absoluts i relatius que heu comès els dos.

15. Al començament de curs van portar una pissarra nova que mesurava 2,3 metres

d’ample, però la paret feia 2,15 metres. Quins errors han comès els de la fàbrica?

Nombres reals

ACTIVITAT COMPETENCIAL

Em llogat un local per posar el nostre negoci de pastissos.

1. Volem canviar el terra sencer. El local és rectangular i fa 16 metres d’ample per 10 de

llarg. Ens han agradat dos tipus de rajoles: unes quadrades de 50 cm de costat, i unes

rectangulars de 20 x 30 cm.

a) Quantes rajoles quadrades ens faran falta?

b) Quantes rajoles rectangular faran falta, com a mínim, per enrajolar tot el terra?

Pensa de quantes maneres les podem col·locar:

c) El preu de les quadrades és de 10,54 € i de les rectangulars 10,25 €, però ens els

dos casos s’ha de sumar l’IVA (que és del 21%). Quin serà el preu final del metre

quadrat amb l’IVA inclòs?

d) Quant ens valdrà enrajolar tot el local amb cada tipus de rajoles?

2. Volem pintar el sostre del local. Busca per internet quant val un pot de pintura blanca

(posa la pàgina d’on ho has tret o fes una captura de pantalla), i tingues en compte

que per cada litre de pintura podem pintar deu metres quadrats, i que haurem de

donar dues capes de pintura.

3. Un mes després ja vam obrir el negoci. Un encàrrec va ser un pastís per a 100

persones. Busca a internet una recepta d’un pastis (posa la pàgina d’on ho has tret o

fes una captura de pantalla), i calcula quanta farina, quants ous, quant sucre i quanta

mantega farà falta per fer-ho per les cent persones.

a) Ara ves a la botiga i fes una foto del preu dels productes anteriors, i calcula quant

valdrà la farina, l’ou, el sucre i la mantega per fer el pastís.

Nombres reals

4. Després d’un temps has decidit fixar una mica més els preus, i en lloc de cobrar per

ració (7 euros per cada ració de pastís) o faràs de la següent manera:

Racions Preu per ració

20 - 30 10 €

31 - 40 9 €

41 - 50 8 €

51 - 70 7 €

71 - 100 6,5 €

101 - 200 6 €

Representa les dades de la taula amb intervals.

5. Quan un client va venir a recollir el seu pastís, vam veure un error. El client ens va

demanar un pastís per a 60 persones, però el vam fer per a 80. Li vam haver de donar

el pastís que havíem fet, però:

a. Calcula quant li valia el primer pastís per a 80 persones, i quant va pagar pel de 60

persones.

b. Amb els preus calculats a l’apartat anterior, calcula quin error absolut i quin error

relatiu s’ha comès.