Libro “Nonlinear Theory of elasticity:Applications in Biomechanics”. Larry A.Taber, 2004

Ej 6-3/pag 316.

A rectangular bar has the undeformed dimensions 20x5x4 mm .It is composed of an isotropic

compressible material with the strain-energy density function : 1/20 1 3( 4)w c I I −= + − donde

0c =20 kPa is a material constant. An axial load F stretches the long dimensions of the bar to

the length 28mm.

a) Determine the stretch ratio .

b) Determine the Cauchy stress in the loaded bar.

c) Determine .

Ecuaciones generales

TC F F=sr sr sr

(Tensor de Cauchy-Green derecho)

TB F F=sr srsr

(Tensor de Cauchy-Green izquierdo)

detJ F=sr

(Jacobiano)

t nσ=t srt

(tensor de Cauchy)

1 TS J F Fσ

− −=

sr sr srsr

(2do tensor de Piola-Kirchoff)

Tt F S F=t srsrsr

(Tensor de Cauchy)

1 1( ) ( )2 2

TE F F I C I= − = −sr sr sr t sr t

(Tensor de deformaciones de Green-Lagrange)

Actualizando las restricciones del material. Si el material es isotrópico podemos concluir quesolo va a tener 3 autovalores principales. Al plantear la condición de compresibilidad podemosagregar lo siguiente

1. 1 2 3 1λ λ λ ≠

2. dv dV≠

Inciso a)

Cuerpo en diagrama para definir direcciones, siendo la dirección 1 la profundidad,

1 20ds mm= , 2 5ds mm= , 3 4ds mm= .

Para determinar los alargamientos principales, tenemos las condiciones siguientes:

11

1

dSds

λ =

Siendo dS1 la posición deformada, y lo aplicamos al alargamiento de línea que forma el cuerpoen la dirección lo cual también puede ser aplicada a superficie y volúmenes.[2]

En nuestro caso la única dirección en la cual existe un alargamiento es la dirección 1 por tanto

11

1

28 720 5

dSds

λ = = =

22

2

5 15

dSds

λ = = =

33

3

4 14

dSds

λ = = =

Por tanto tenemos terminado el inciso a)

Para el inciso b)

Vamos a determinar el tensor de Cauchy- Green derecho) el cual está relacionado con losalargamientos en la siguiente forma [2].

31 1 1 2 112 13

1 1 1 2 1 311 12 13

2 1 2 2 2 121 22 23 21 23

2 1 2 2 2 131 32 33

3 3 3 31 231 32

3 1 3 2 3 3

cos cos

cos cos

cos cos

dSdS dS dS dS dSds ds ds ds ds ds

c c cdS dS dS dS dS dSC c c cds ds ds ds ds ds

c c cdS dS dS dSdS dSds ds ds ds ds ds

θ θ

θ θ

θ θ

= =

sr

Por tanto calculando y manteniendo los ángulos constantes después de la deformación,estamos en presencia de una deformación homogénea , sin distorsión los ángulos iníciales de

las caras igual a los finales de valor 90 grados, 012cos cos90θ = .

1 212

1 2

cos 0dS dSds ds

θ∴ =

Y así sucesivamente, nos queda la matriz de la forma

21

22

23

49 0 00 0 250 0 0 1 00 0 0 0 1

Cλ

λλ

= =

sr

Podemos concluir de la forma de la matriz que es simétrica

TF F∴ =sr sr

Además los autovalores de la matriz coinciden con los alargamientos

Sabiendo que para un material hiperelástico, la función de energía

1 2 3( , , )W w I I I=

Donde tenemos que calcular 11σ utilizamos la siguiente relación

1 TS J F Fσ

− −=

sr sr srsr

(2do tensor de Piola-Kirchoff)

Despejando

1 TJ F S Fσ −=

sr srsrsr

Sabiendo que

2w wSE C

∂ ∂= =

∂ ∂

sr

sr sr

31 2

1 2 3

: : : II Iw w w wI I IC C C C

∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂sr sr sr sr

2 2 21 1 2 3 11 22 33 ( )I c c c Tr Cλ λ λ= + + = + + =

sr

2 2 2 2 2 3 22 2 3 3 1 1 2 11 22 22 33 33 11 12 21 23 32 13 31 1

1 ( ( ))2

I c c c c c c c c c c c c I Tr Bλ λ λ λ λ λ= + + = + + − − − = −sur

3 22 2 23 1 2 3 1 2

1 ( ) ( ) ( ) det( )3

I Tr C I Tr C I Tr C Bλ λ λ = = − − =

sr sr sr sr

1I IC

∂∴ =

∂

t

sr

2 :I TrC I CC

∂∴ = −

∂

sr sr

sr

123I J CC

−∂∴ =

∂

sr

sr

Al calcular1

wI

∂∂

,2

wI

∂∂

,3

wI

∂∂

de la expresión 1/20 1 3( 4)w c I I −= + −

01

w cI

∂∴ =

∂

2

0wI

∂∴ =

∂

3/20 3

3

12

w c II

−∂∴ = −

∂

Sustituyendo y despejando finalmente

13/2 20 0 3

122

S c I c I J C−− = −

sr t sr

Debemos determinar Fsr

para poder calcular el Jacobiano

detJ F=sr

Si resolvemos esto estamos dando respuesta al inciso c) del problema

7 0 050 1 00 0 1

F

=

sr

Vamos a utilizar el programa auxiliar Derive 6.0 para calcular Ssr

.

0 0.02c MPa=

R/ Por tanto 11 0.0244628σ = MPa

Utilizando el método de elementos finitos en especial el programa comercial Abaqus versión6.4 vamos a realizar el mismo ejercicio.

Usando una subrutina para definir las propiedades del material hiperelástico donde comodatos tenemos que agregar siguiente información al programa. Nota la utilización de ui1 esdebido a la consecuencia de la subrutina mostrada en la figura 1.1

1

1(1) wuiI

∂=

∂

2

2(1) wuiI

∂=

∂

3(1) wuiJ

∂=

∂

20

w J cJ

−∂= −

∂

La subrutina es la siguiente:

Figura 1.1 Note los valores necesarios para la implementación de la subrutina hiperelástica.

Si calculamos los Errores, juntando los resultados de las figuras (1.2-1.4)obtenidos por el método de elementos finitos tenemos:

Tenemos Error= True value- approxiValue

0.02446 0.02482 0.00036Error = − = −

0.00036 / 0.02446 0.014717Error relativo = − = −

Los resultados en el visualizador

Figura 1.2 Valor de la tension en la direccion 3 igual 0.02482 MPa , en cuyo caso es nuestro 11σ

Figura 1.3 Valor de la tension en la direccion 1 igual 0.002898 MPa , en cuyo caso es nuestro

22 33σ σ=

Figura 1.4 Valor de desplazamiento el cual es impuesto e igual 8 mm.

Figura 1.4 Esqueme representativo de la deformación en un factor de escala de 1 .

Bibliografia

Han-Chin Wu, “Continuum Mechanics and Plasticity” , 2005

Rodriguez.R , Monografia “Nonlinear Solid Mechanics”

Apendices