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23- 1

McGraw-Hill/Irwin

Notions de base sur les

obligations


23- 2

McGraw-Hill/Irwin

Topics Covered

Real and Nominal Rates of Interest

The Term Structure and YTM (Yield To

Maturity = rendement à l’échéance)

How Interest Rate Changes Affect Bond

Prices

Explaining the Term Structure


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McGraw-Hill/Irwin

Classical Theory of Interest Rates (Economics)

developed by Irving Fisher

Nominal Interest Rate = The rate you actually pay when you

borrow money

Real Interest Rate = The theoretical rate you pay when you

borrow money, as determined by supply and demand

Supply

Demand

$ Qty

r

Real r



23- 4

McGraw-Hill/Irwin

Nominal r = Real r + expected inflation

Real r is theoretically somewhat stable

Inflation is a large variable

Q: Why do we care?

A: This theory allows us to understand the Term Structure of Interest Rates.



23- 5

McGraw-Hill/Irwin

Taux actuariel brut (TAB) à l’émission : c’est le TRI de l’investissement (= taux qui annule la VAN de l’opération) pour le souscripteur qui achèterait toutes les obligations à l’émission et les conserverait toutes jusqu’à l’échéance. (= coût actuariel du financement pour l’émetteur, avant impôts et hors frais d’émission)

Soit Ft, le flux de liquidités générés par l’emprunt (l’obligation) à chaque période t (on supposera ici que t : année)

F0 : flux initial = - VE (flux négatif pour le souscripteur)

F1 : premier coupon = RN × VN

F1 = F2 = F3 =…= FT-1 = F

FT : dernier coupon et remboursement in fine de l’obligation =

(RN × VN) + VR ou F + VR

5

Le taux actuariel brut à l’émission

(TAB)


23- 6

McGraw-Hill/Irwin

Le TAB à l’émission est le taux qui égalise la somme des flux actualisés générés par l’obligation à la valeur d’émission de l’obligation :

VE = F1/(1+TAB) + F2/(1+TAB)2 + F3/(1+TAB)3 +… + FT/(1+TAB)T

VAN0 = -VE + F1/(1+TAB) + F2/(1+TAB)2

+ F3/(1+TAB)3 +… + FT/(1+TAB)T = 0**Point de vue du prêteur. Il faut inverser les signes si l’on se

place du point de vue de l’emprunteur

6


(TAB)


23- 7

McGraw-Hill/Irwin7

2 3

1

1 1 1 1

1

1 1

1 11

1 1

NE T

TN

E t Tt

NE T T

F VF F FV

TAB TAB TAB TAB

VV F

TAB TAB

VV F

TAB TAB TAB


(TAB)


23- 8

McGraw-Hill/Irwin8

0 1 2 3 4 5 6 3

0

VE

VN + coupon

terminalEchéancier de flux (point de vue du

prêteur)

Coupons : RN ×

VN

…………..


(TAB)


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McGraw-Hill/Irwin

Calcul du TAB

Exemple : une entreprise émet au pair des obligations remboursables in fine au terme de 10 ans. Le taux nominal est égal à 5%.

La séquence de flux dont le TRI est le TAB s’écrit alors :

{- 1 000, + 50/(1,05), + 50/(1,05)2, …,1050/(1,05)10 }

Ou encore : 1 000 = 50/(1,05) + 50/(1,05)2 +… + 1050/(1,05)10

Ou encore : VAN = - 1 000 + 50/(1,05) + 50/(1,05)2 +… + 1050/(1,05)10 = 0

Variante : Supposons que la valeur d’émission soit de 950 €, la valeur nominale et la valeur de remboursement étant égales à 1 000 € (émission au-dessous du pair)

La séquence de flux s’écrit alors :

{- 950, + 50/(1,0567), + 50/(1,0567)2, …,1050/(1,0567)10 }

Ou encore : 950 = 50/(1,0567) + 50/(1,0567)2 +… + 1050/(1,0567)10

Ou encore : VAN = - 950 + 50/(1,0567) + 50/(1,0567)2 +… + 1050/(1,0567)10 = 0

NB : dans ce cas, le TAB est supérieur au taux nominal

Que se passerait-il si l’obligation était émise au-dessus du pair ?

9

Voir slide

suivant pour le

calcul du TAB


23- 10

McGraw-Hill/Irwin10

Le calcul sous EXCEL est très simple : entrez tous les flux, sans oublier F0 ! Puis tapez la fonction «TRI=». Une parenthèse s’ouvre : sélectionnez alors la colonne des flux, fermez la parenthèse et cliquez : le résultat apparaît. Ici : 5,67%

A défaut d’EXCEL ou d’une fonction dédiée sur une calculatrice, on peut procéder par essais et erreurs successifs et obtenir une valeur approchée (qui nous suffira).

Période Flux

0 -950

1 50

2 50

3 50

4 50

5 50

6 50

7 50

8 50

9 50

10 1050

TRI 5,67%

Calcul du TAB


23- 11

McGraw-Hill/Irwin

Valeur de marché de l’obligation

Valeur de marché et taux d’intérêt : la valeur

de marché de l’obligation à la date (t) est égale

à la valeur actualisée de la séquence des flux

(coupons et remboursement) calculée sur la

base d’un taux d’actualisation égal au taux

d’intérêt en vigueur sur le marché à la date

(t) pour les obligations de même risque et de

même durée

11

Il ne s’agit donc plus du TAB à l’émission

(contractuel et invariable, sauf clause

particulière), mais du taux actuariel de

marché (non contractuel sauf clause

particulière, et variable)


23- 12

McGraw-Hill/Irwin

V0,R0= F1/(1+R0) + F2/(1+R0)2 + …+FT/(1+R0)

T

Vt= Ft+1/(1+Rt) + Ft+2/(1+Rt)2 + …+FT/(1+Rt)

T

Vt =[(Coupon/Rt ) × (1 – 1/(1+Rt)T)]+[Valeur

nominale/(1+Rt)T]

Rt = taux de rentabilité à l’échéance (TRET)

(« yield to maturity ») pour un investisseur

qui conserverait le titre jusqu’à son

échéance

(NOTA BENE : en t = 0, TAB = TRET)

12

Valeur de la séquence des flux actualisée en t au taux du marché Rt



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McGraw-Hill/Irwin13

1 1 ou 1

1 1

Nt t T T

t t t

VP V F

R R R

Hypothèses : flux F constants (coupons invariables), valeur de

remboursement égale à la valeur nominale VN


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McGraw-Hill/Irwin

La valeur d’une obligation une fois émise

varie ensuite pour deux raisons :

– 1) l’effet du temps : avec le temps qui passe,

l’échéance se rapproche et la valeur actuelle des

flux futurs restants change mécaniquement

– 2) la variation possible (probable) du taux

d’intérêt sur le marché : le taux de rendement

à l’échéance varie en fonction de l’évolution

des taux d’intérêt sur le marché.

14



23- 15

McGraw-Hill/Irwin

Exemple (fichier EXCEL): si la vente de l’obligation sur le marché secondaire a lieu entre le versement de deux coupons, le calcul de la valeur de marché de l’obligation est le suivant :

Supposons que nous soyons la première année et que la vente ait lieu 127 jours avant le paiement du premier coupon (le 26 août), soit une fraction d’année courue (d) égale à (N – 127)/N, où N est le nombre exact de jours dans l’année

Supposons N = 365 : d = (365 – 127)/ 365 = 0,652. (En d’autres termes, 0,652 fraction d’année depuis le paiement du précédent coupon)

Le jour de la vente de l’obligation sur le marché, le taux de marché pour des obligations de même durée et de même risque est de 10%. La valeur du titre est alors égale à :

V0+d= (1,10)0,652 [100/1,10 + 100/1,102+…+ 1100/1,1030]= 1064,1€

15

Valeur de marché de l’obligation –

Effet du temps


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McGraw-Hill/Irwin

Exemple (voir fichier EXCEL) : une entreprise émet au pair une obligation dont le nominal est 1 000 €. Le taux nominal est de 10% et la durée de 30 ans. Le coupon est annuel. En t = 0 (au moment de l’émission), la valeur de marché de l’obligation est égale à 1 000 € :

V0 = 100/1,10 + 100/1,102 + 100/1,103 +…+ 1100/1,1030 = 1 000

------------------------------------------------------------

Immédiatement après l’émission de cet emprunt obligataire, le taux à pour des obligations de même échéance et de même risque tombe à 5%. Cette obligation vaut alors sur le marché :

V0+ = 100/1,05 + 100/1,052 + 100/1,053 +…+ 1100/1,0530 = 1 768,6 €

Si le taux diminue à 5%, la valeur de marché de l’obligation augmente

Si le taux augmente à 15%, la valeur de marché de l’obligation diminue à : V0+ = 100/1,15 + 100/1,152 + 100/1,153 +…+ 1100/1,1530

= 671,7€

16

Valeur de marché de l’obligation -

Effet d’une variation du taux de marché

Les investisseurs sont disposés à payer plus de 1 000 € pour l’ obligation précédemment émise qui délivre un coupon de

100 € quand pour 1 000 € ils ne peuvent désormais obtenir qu’un coupon de 50 €

Les investisseurs ne sont pas disposés à payer 1 000 € pour une obligation délivrant un coupon de 100 €

quand pour 1 000 € ils peuvent obtenir un coupon de 150 €


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McGraw-Hill/Irwin

Term Structure and Yield To Maturity

2

1 2

1 1 1

1 1 1N

N

PVr r r

The Term Structure can be reflected in using various

“r” terms for different time periods

: taux d’intérêt au comptant (spot rate) d’un investissement à un an

2r1r

: taux d’intérêt au comptant (spot rate) d’un investissement à 2 ans


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McGraw-Hill/Irwin



23- 19

McGraw-Hill/Irwin


Yield to Maturity / Le rendement à l’échéance

Plutôt que d’actualiser chacun des cash flows à un taux

d’intérêt différent, on peut trouver un seul taux d’actualisation

qui produit la même valeur actuelle. On l’appelle rendement à

l’échéance ou taux de rendement actuariel (TRA) :

2 2

1 2

1 1 1 1 1 1

1 11 1 1 1N N

Nr TRAr r TRA TRA


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McGraw-Hill/Irwin

23.2.1 : Le rendement à l'échéance

Obligation

Coupon- échéance

Cours Taux de rendement (TRA)

A 5 %–N+5 85,21% 8,78%

B 10 %–N+5 105,43% 8,62%



Question : ces deux obligations ont la

même date d’échéance, mais elles

n’ont pas le même taux de rendement

actuariel. Est-ce normal ? (= la

cotation de ces obligations est-elle

correcte ?)


23- 21

McGraw-Hill/Irwin

Oblig.

Coupon -

échéance FM0

FM

1

FM

2

FM

3

FM

4 FM5

Rendement

à l’échéance

A 5 %–N+5 –852,11 50 50 50 50 1 050 8,78%

B 10 %–N+5 –1054,29 100 100 100 100 1 100 8,62%




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McGraw-Hill/Irwin

A B C

1 Cash Flows Obligation A Obligation B

2 CF0 -852,11 -1054,29

3 CF1 50 100

4 CF2 50 100

5 CF3 50 100

6 CF4 50 100

7 CF5 1050 1100

8 TRI ou TRA 8,78% 8,62%



=TRI(B2:B7) =TRI(C2:C7)


23- 23

McGraw-Hill/Irwin

Tableau 24.1 : Déterminer la valeur actuelle de deux obligations lorsque les taux

d’intérêt à long terme sont plus élevés que les taux d’intérêt à court terme

Calculs de valeur actuelle

5 %–N+5 10 %–N+5

Période Taux d’intérêt Flux VA au taux rt Flux VA au taux rt

T =1 r1 = 0,05 50 € 47,62 € 100 € 95,24 €

T =2 r2 = 0,06 50 € 44,50 € 100 € 89,00 €

T =3 r3 = 0,07 50 € 40,81 € 100 € 81,63 €

T =4 r4 = 0,08 50 € 36,75 € 100 € 73,50 €

T =5 r5 = 0,09 1 050 € 682,43 € 1 100 € 714,92 €

Totaux 852,11 € 1 054,29 €


Le TRA plus élevé de l’obligation à 5% s’explique par le fait que les taux à long

terme sont plus élevés que les taux à court terme



23- 24

McGraw-Hill/Irwin

Pourquoi le titre à 5% a-t-il un meilleur rendement à

l’échéance ? Parce que pour chaque € investi dans ce

titre, on reçoit un cash-flow relativement plus faible (que le

l’obligation à 10%) pendant les 4 premières années et un

rendement relativement plus élevé la dernière année. En

ce sens, le titre à 5% représente un investissement à plus

long terme que celui à 10%. Son plus fort rendement à

l’échéance reflète le fait que le taux à long terme est plus

élevé (ici) qu’à court terme


23- 25

McGraw-Hill/Irwin

Taux d'intérêt Obligation à 1 an coupon 5% Obligation à 10 ans coupon 5% Obligation à 30 ans coupon 5%

0 105 150 250

1 103,960396 137,885218 203,230833

2 102,941176 126,947755 167,189367

3 101,941748 117,060406 139,200883

4 100,961538 108,110896 117,292033

5 100 100 100

6 99,0566038 92,6399129 86,2351688

7 98,1308411 85,9528369 75,1819176

8 97,2222222 79,8697558 66,22665

9 96,3302752 74,3293692 58,9053838

10 95,4545455 69,2771645 52,8654277

How Interest Rates Changes Affect Bond

Prices


23- 26

McGraw-Hill/Irwin

Evolution du prix des obligations en fonction du taux

d'intérêt

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10

Taux d'intérêt (en %)

Co

urs

de

s o

bli

ga

tio

ns

, e

n %

de

la v

ale

ur

no

min

ale

Obligation à 1 an

coupon 5%

Obligation à 10 ans

coupon 5%

Obligation à 30 ans

coupon 5%


Prices

Les obligations à long

terme sont plus sensibles

aux variations de taux

d’intérêt


23- 27

McGraw-Hill/Irwin

La duration d’une obligation

1 2 31 2 3...

VA CF VA CF VA CFDuration

V V V

V : valeur (actuelle) du titre

VA(CFt) : valeur actuelle des flux monétaires (cash flows) de la

période t

Duration : durée de vie moyenne pondérée d’une obligation

(délai moyen de versements des cash flows)


Prices


23- 28

McGraw-Hill/Irwin

Une obligation zéro-coupon ne donne lieu

qu’à un seul versement à la date T.

Une obligation couponnée délivre des

revenus tous les ans jusqu’à la date T.

Ont-elle la même durée ? D’une point de

vue financier NON !


23- 29

McGraw-Hill/Irwin



Prices

Année Flux tVA (FMt) à

4,9%

Proportion de la

valeur totale

[VA(FMt) / Vt]

Proportion de la

valeur totale

multipliée par le

temps

1 68,75 65,54 0,060 0,060

2 68,75 62,48 0,058 0,115

3 68,75 59,56 0,055 0,165

4 68,75 56,78 0,052 0,209

5 1068,75 841,39 0,775 3,875

Somme = 1

V = 1085,74 Duration = 4,424

années

Obligation A


23- 30

McGraw-Hill/Irwin

Le délai moyen de versement (duration) est de

4,424 années alors que l’échéance est à 5 ans.

Supposez une obligation à 4,625% arrivant à

échéance (maturité) également dans 5 ans. Dans la

mesure où les coupons des 4 prochaines années

représentent une proportion plus faible dans la

valeur totale de l’obligation comparés à ceux de

l’obligation à 6,875%, EN CE SENS, l’obligation

à 4,625% est plus longue que l’obligation à

6,875%


23- 31

McGraw-Hill/Irwin

Année Flux tVA (FMt) à

4,9%

Proportion de la

valeur totale

[VA(FMt) / Vt]

Proportion de la

valeur totale

multipliée par le

temps

1 46,25 44,09 0,045 0,045

2 46,25 42,03 0,043 0,085

3 46,25 40,07 0,041 0,122

4 46,25 38,20 0,039 0,155

5 1046,25 823,68 0,834 4,168

Somme = 1

V = 988,06 Duration = 4,574

années



Prices

Obligation B


23- 32

McGraw-Hill/Irwin


PricesBond volatility / La sensibilité d’une obligation

Obligation A Obligation B

6,875 %–N+5 4,625 %–N+5

Nouveau cours Variation Nouveau cours Variation

Le rendement baisse de 0,5 % 1 108,96 € 2,14% 1 009,91 € 2,21%

Le rendement augmente de 0,5 % 1 063,16 € -2,08% 966,81 € -2,15%

Différence (sensibilité) 4,22% 4,36%

Comment évolue la VA

de chacune de ces

deux obligations

lorsque les taux

changent ?


23- 33

McGraw-Hill/Irwin



Sensibilité =

Duration

1 + Taux de rendement actuariel

La sensibilité est exprimée en %

Ainsi la sensibilité de l’obligation A calculée de cette

manière est égale à : 4, 424/(1,049) = 4,22% le résultat

obtenu par différence dans le slide précédent !


23- 34

McGraw-Hill/Irwin

Taux d'intérêt

Cours d'une obligation à 30 ans

coupon 5% exprimé en % du

nominal Duration Sensibilité

0 250

1 203,23

2 167,19

3 139,20

4 117,29

5 100,00 16,14 15,37

6 86,24

7 75,18

8 66,23

9 58,91

10 52,87




23- 35

McGraw-Hill/Irwin

A



Cours d'une obligation à 30 ans coupon 5% exprimé en % du nominal

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10

Taux d'intérêt

Co

urs

de

l'o

blig

ati

on

, e

n %

de

la

va

leu

r n

om

ina

le

Cours d'une obligation à

30 ans coupon 5%

exprimé en % du

nominalA

La sensibilité mesure l’effet probable d’une

variation du taux d’intérêt sur la valeur de

l’obligation. C’est la pente de la courbe

représentative de l’évolution du cours de

l’obligation en fonction du taux d’intérêt. Par

exemple, une obligation à 30 ans au taux fixe de

5% présente une sensibilité de 15,4% lorsque le

taux d’intérêt est de 5%. En ce point (A), la

variation du prix (cours) représente 15,4 fois

la variation du taux d’intérêt. La sensibilité

augmente à mesure que le taux diminue et

diminue à mesure que le taux augmente


23- 36

McGraw-Hill/Irwin

What Determines the Shape of the TS?

1 - Unbiased Expectations Theory

2 - Liquidity Premium Theory

3 - Market Segmentation Hypothesis

Term Structure & Capital Budgeting

CF should be discounted using Term Structure info

Since the spot rate incorporates all forward rates, then you

should use the spot rate that equals the term of your project.



23- 37

McGraw-Hill/Irwin

Spot Rate - The actual interest rate today (t=0)

Forward Rate - The interest rate, fixed today, on a loan made

in the future at a fixed time.

Future Rate - The spot rate that is expected in the future

Yield To Maturity (YTM) - The IRR on an interest bearing

instrument

YTM (r)

Year

1981

1987 & Normal

1976

1 5 10 20 30



23- 38

McGraw-Hill/Irwin

r1 : taux d’intérêt au comptant (spot) des emprunts d’Etat français à 1 an

r2 : taux d’intérêt au comptant (spot) des emprunts d’Etat français à 2 ans

rN : taux d’intérêt au comptant (spot) des emprunts d’Etat français à N ans

Exemple : Supposons que les taux spot actuels soient :

r1 = 2,7%

r2 = 2,8%

1 euro investi pour 1 an au taux r1 devient 1,027 € au bout d’un an

1 euro investi pour 2 ans au taux r2 devient (1,028)2 € au bout de 2 ans =

1,0568 €

La différence (1,0568 – 1,027) correspond à une augmentation de 2,9%.

C’est ce qu’on obtient en supplément pour investir pour 2 ans au lieu d’un.

On l’appelle taux d’intérêt à terme (forward).

C’est le taux à un an dans un an. On le note f2



23- 39

McGraw-Hill/Irwin

Il est donc équivalent d’un point de vue financier de placer aujourd’hui à deux ans au taux r2 ou de placer à un an au taux r1 et de réinvestir dans un an pour une année supplémentaire au taux f2. On doit donc avoir :

2

2 1 2

2

2

2

1

2

2

1 1 1

1d'où : 1

1

1 0,0281 0,029 ou 2,9%

1 0,027

r r f

rf

r

f



23- 40

McGraw-Hill/Irwin


The Expectations Theory / La théorie des anticipations

1r2 : taux d’intérêt anticipé dans un an pour une dette arrivant à

échéance dans 2 ans (c’est-à-dire le taux au comptant à un an dans un

an tel qu’on l’anticipe aujourd’hui).

On peut investir à 2 ans de deux

manières : (a) investir directement

dans un titre à 2 ans ou (b) investir

dans 2 titres successifs à 1 an.

Selon la théorie des anticipations,

à l’équilibre des marchés de

capitaux les revenus anticipés des

deux stratégies doivent être égaux.

En d’autres termes, le taux

d’intérêt à terme (f2) doit être

égal au taux d’intérêt au

comptant anticipé (1r2)


23- 41

McGraw-Hill/Irwin

Si des investisseurs supportent un risque

supplémentaire lorsqu’ils détiennent des

obligations à long terme (rappel : les oblig. à long

terme et à duration élevée sont plus volatiles que

les titres à court terme), ils demanderont une

compensation sous la forme d’un taux plus élevé.

Le taux à terme devrait donc être plus élevé que le

taux au comptant anticipé. La différence s’appelle

prime de liquidité.

The Liquidity Preference Theory



23- 42

McGraw-Hill/Irwin


Explication par la segmentation des

marchés


23- 43

McGraw-Hill/Irwin

L’idée fondamentale est qu’il existe une

relation entre les taux (une structure) telle

que les niveaux et les variations de taux (et

de prix des obligations) sont étroitement liés

les uns aux autres.


23- 44

McGraw-Hill/Irwin


Tableau 23.3 : Hypothèses pour chacun des trois titres d’État. On remarque que les

fluctuations les plus importantes correspondent au titre à la plus forte duration. Nous ne

savons pas ce que vaut le titre à moyen terme ; nous devrons l’établir à partir de ses

variations de prix suite à une augmentation ou une diminution des taux d’intérêt.

Variation de prix

Prix de

départ

Si le taux

d’intérêt

augmente

Si le taux

d’intérêt

diminue

Valeur

finale

Bon du Trésor (court terme) 98 + 2 + 2 100

Obligation à moyen terme ? –6,5 + 10 ?

Obligation à long terme 105 –15 + 18

90 ou

123

Relations entre obligations

Solution par la construction d’un portefeuille obligataire qui reproduit la variation de valeur

de l’obligation à moyen terme


23- 45

McGraw-Hill/Irwin

1. L’hypothèse est que le taux à court terme est SANS RISQUE et

CERTAIN et est de +2%.

2. Le rendement des deux obligations dépendra de l’évolution des taux

d’intérêt.

3. On envisage deux possibilités : une forte hausse ou une forte baisse

des taux (moyen/long).

4. On part de 100€ (hypothèse).

5. En plaçant la moitié sur le titre à court terme et l’autre moitié sur le titre

à long terme quelle est la variation de la valeur du portefeuille ?

6. Rep.1 : 0,5×2 + (0,5×(-15)) = - 6,5 € (on reproduit ainsi la variation de la valeur de l’obligation à moyen terme en cas d’augmentation des taux)

7. Rep.2 : 0,5×2 + (0,5×(+18)) = +10 € (on reproduit ainsi la variation de la valeur de l’obligation à moyen terme en cas de baisse des taux).

8. Puisque ce portefeuille a exactement les mêmes résultats que l’obligation à moyen terme, ces deux actifs doivent avoir le même prix !

9. Quel prix aujourd’hui ? 0,5×98 + (0,5×(105)) = 101,5 €10. Quel prix demain ? 101,5 – 6,5 = 95 € si les taux augmentent et 101,5 + 10=

111,5 € si les taux diminuent


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Réponse :

Valeur finale

Débours

initial

Si le taux d’intérêt

augmente

Si le taux

d’intérêt

diminue

Portefeuille équivalent de bon du

Trésor et de titre à long terme

(0,5 x 98) +

(0,5 x

105) =

101,5

(0,5 x 100) + (0,5 x

90) = 95

(0,5 x 100) + (0,5

x 123) =

111,5

Obligation à moyen terme 101,5 101,5 – 6,5 = 95 101,5 +10 =111,5


Relations entre obligations

On observe que les variations de valeur du portefeuille sont les mêmes que

celles d’une obligation à moyen terme. Dès lors le portefeuille et l’obligation

à moyen terme doivent avoir la même valeur


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Quelques exercises OBLIG…


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CH 2 (23) _ Exercice 1


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CH 2 (23)_ Exercice 1 SOL


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…(si vous le pouvez)…



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CH 2 (23) _ Exercice 2 SOL


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Le taux d'intérêt au comptant pour un an est r1 = 6 %,

et le taux à terme d'un prêt à un an remboursable

dans deux ans est f2 = 6,4 %.

De même, f3 = 7,1 %, f4 = 7,3 % et f5 = 8,2%

Quels sont les taux au comptant r2, r3, r4 et r5 ?

Si la théorie des anticipations est respectée, que

pouvez-vous dire des taux d'intérêt futurs anticipés ?



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