novo espaco10 resolucao

8/10/2019 Novo Espaco10 Resolucao

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Novo Espao Matemtica A 10. anoProposta de Teste Intermdio

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Proposta de Resoluo

GRUPO I

1. A opo correta a (C): , 2, 1 1, 2 , x y k k

Como 2 5 0 2 5x y y x , conclui-se que o declive da reta r 2.

O par ordenado 2, 1 soluo da equao 2 5y x , pois 1 2 2 5 ,

pelo que o ponto 2, 1 pertence reta r.

Como um vetor diretor da reta de equao , 2, 1 1, 2 , , x y k k

1, 2 , ento o declive da reta 2

21

m .

Assim, as retas definidas por 2 5 0x y e , 2, 1 1, 2 , , x y k k

tm um ponto em comum e igual declive, concluindo-se, assim, que so

coincidentes (representam a mesma reta).

2. A opo correta a (C): 135

Seja ra razo de semelhana que transforma o prisma I no prisma II.

Sabe-se que 222,5

2,2510

r . Daqui resulta que 2, 25 1,5r .

Se a altura do prisma I 4 cm, ento a altura do prisma II 6 cm, pois

4 1,5 6.

O volume do prisma II

3

135 cm , dado por 22,5 6 135

.

3. A opo correta a (A): 2, 1, 4

O centro da superfcie esfrica o ponto 1, 2, 0C . Como [AB] um

dimetro, conclui-se que B C AC .

1,2,0 0,3, 4 1, 1,4AC C A

1,2,0 1, 1,4 2,1,4B C AC


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4. A opo correta a (D): 0s tm m

Sabe-se que: 0rm , 0sm e 0tm .

Assim, 0s tm m , pois s tm m .

5. A opo correta a (B): 4

Como a mediatriz de um segmento de reta o conjunto dos pontos equidistantes

dos extremos, conclui-se que C um ponto da reta 12

xy .

Assim, 1 1 2 2 2 42kk k k k .

GRUPO II

1.1.1 2 ED GP , porque 2 2D GP D PG D BG E .

1.1.2 CP PG DF , porque DF CG CP PG .

1.2 Seja amedida da aresta do cubo e PH x .

Recorrendo ao Teorema de Pitgoras, tem-se:

2 2

2 2 2 5

2 4

a ax a x

Daqui resulta que25 5

4 2

aPH a .

A rea da seco produzida no cubo pelo planoPHE 5 e dada por:

25 5

2 2PH HE a a a

2 255 2

2a a , pelo que a aresta do cubo igual a 2 .

O volume do cubo dado por: 3

2 8 2 2


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2. A seco produzida no cone pelo plano um crculo.

Sejar o raio desse crculo.

2.1 Recorrendo semelhana de tringulos e tal como sugerido

na figura ao lado, tem-se:4 5

12 5 3

rr .

A rea do crculo dada por:

2

2 5 25

3 9

r .

2.2 No espao, o crculo que resulta da seco produzida pelo plano pode ser

definido como a interseo da esfera de centro em 8,0,0 e raio5

3com o plano

de equao 8z .

Assim: 22 2 2 225 25

8 8 89 9

x y z z x y z

3.1 Se os pontos A e B pertencem mesma reta horizontal ento tm a mesma

ordenada.

Assim: 3 4 7k k .

3.2 2 , 3 2, 4 2 2, 7 AB B A k k k k

O vetor 1,1u tem a direo da bissetriz dos quadrantes mpares, pelo que basta

determinar o valor de kde modo que os vetores u e AB sejam colineares.

u e AB so colineares se : AB u

2 2, 7 , AB u k k

2 2 2 2 7

7 7

5

12

k k k

k k

k

Conclui-se que o vetor AB tem a direo da bissetriz dos quadrantes mpares se

5 k .


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3.3 Seja ro raio da circunferncia: 2 2

2 0 4 0 20r OA .

A equao da circunferncia 2 2 20x y .

Para que o ponto 2 , 3B k k pertena circunferncia, ento:

2 2 2 2 2

2 3 20 4 9 6 20 5 6 11 0 k k k k k k k

6 36 220 6 16 6 16

10 10 10

111

5

k k k

k k

Os valores de kpara os quais o pontoBpertence circunferncia de centro Oe

que passa emAso 1 e11

5.

4.1 O ponto C a interseo da reta1

23

y x com o eixo Oy.

Atendendo a que a ordenada na origem da reta1

23

y x 2, conclui-se que

0, 2C .

O pontoD a interseo da retaADcom o eixo Ox.

A reta AD paralela reta1

23

y x , logo tm o mesmo declive. Assim, a

reta AD do tipo1

3y x b e como passa no ponto 3, 2A , ento:

12 3 1

3

b b

Concluindo, a equao da retaAD dada por1

13

y x .

Como o ponto , 0D x pertence reta1

13

y x , ento:

10 1 3

3x x

Assim, as coordenadas do pontoDso 3, 0 .


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4.2 Circunferncia de centro 0, 2C e raio 2: 22

2 4x y

Mediatriz de [AB]:

Seja ,P x y um ponto genrico da mediatriz de [AB].

2 2 2 2

3 2 6 0PA PB x y x y

Daqui resulta que:

2 2 2 26 9 4 4 12 36x x y y x x y

3 234 6 23

2 4y x y x

A regio sombreada dada pela seguinte condio:

22 1 3 23

2 4 2 03 2 4

x y y x y x x

5.1 O planoEFG definido pela equao 4z .

O centro da esfera o ponto 0,10,0R e o raio r dado por 4 0 4r .

A condio que define a esfera 22 2

10 16x y z .

5.2 Aresta : 8 4 0 8 FG x z y

5.3 O pontoPpertence ao plano 8y . Ento, ,8,P x z .

Equao vetorial da retaRA:

8, 0, 4 0, 10, 0 8, 10, 4 RA A R

: , , , RA x y z A kRA k , ou seja:

, , 8, 0, 4 8, 10, 4 , x y z k k

Como o pontoPpertence retaRA, ento:

, 8, 8, 0, 4 8, 10, 4 , x z k k

Daqui resulta que:

32 88

5 58 84 4

8 0 105 5

4 416 4

4 5 5

x x

x k

k k k

z k

z z


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Ento,8 4

, 8,5 5

P .

O pontoEtem de coordenadas 0,0,4 .

8 4 8 240, 0, 4 , 8, , 8,5 5 5 5

PE E P .

6. Repara que:

AC AB BC (1)

AC AD DC (2)

De (1)e(2)resulta que:

AB BC AD DC

ou seja:

AB DC AD BC

Donde se conclui que AB CD AD CB , como se queria demonstrar.

D C

BA

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